TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0,

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1 TEMA: FUNCIONES: ÍNDICE:. Inroducción.. Dominio y recorrido.. Gráficas de funciones elemenales. Funciones definidas a rozos. 4. Coninuidad.. Crecimieno y decrecimieno, máimos y mínimos. 6. Concavidad y conveidad. 7. Punos de core con los ejes. 8. Simería. 9. Periodicidad. 0. Asínoas.. Tasa variación media. INTRODUCCIÓN: Punos y coordenadas Para represenar en el plano se oman dos recas perpendiculares OX y OY, llamadas ejes de coordenadas. El eje OX se llama eje de abscisa y el eje OY eje de ordenadas. El puno O es el origen de coordenadas. Cada uno de esos ejes se gradúa con números poivos y números negaivos. De ese modo, a cada puno P del plano le corresponde un par de números, y que llamamos coordenadas del puno. El er número o ª coordenada corresponde al eje horizonal abscisa. El º número ó ª coordenada y corresponde al eje verical ordenada Cuadranes er cuadrane, 0, y 0 º cuadrane, 0, y 0 er cuadrane, 0, y 0 4º cuadrane, 0, y 0 Ejemplo: Represenar en el plano los guienes punos, ; -,4;,-; -4, - Qué es una función: f y Una función es una relación enre dos magniudes, de manera que a cada valor de la primera magniud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen. Una función puede venir dada por una fórmula, por ejemplo: la relación y = +, epresa que la variable depende de la variable y, por eso se llama a variable independiene, y a y variable dependiene. Variable independiene Represena los disinos valores que se admien y consiuyen el dominio de la función. Variable dependiene Represena los disinos valores que resulan a parir de los valores de. El conjuno de los valores de y consiuye el recorrido o rango de la función. Tema: Funciones Maemáicas B 4ºESO

2 . DOMINIO Y RECORRIDO: Dominio y recorrido: El dominio Df de una función son los valores que puede omar la. El recorrido o imagen Rf o Imgf de una función son los valores que oma la y. 4 Ejemplo: Para la función dada por la fórmula y : 4 El dominio son odos los números reales menos el 0 porque = 0, y, que no 0 iene senido. Es decir Df = R-{0} 4 El recorrido son odos los números reales menos el 0, pues la ecuación 0 no iene solución. Ejercicio: Indica el Dominio y el recorrido de las guienes funciones: Cálculo del Dominio de una función. 4 a. Funciones Polinómicas: D f = R. Ejemplo: f 7 b. Funciones Racionales: D f R { punos donde se anula el deno min ador} Ejemplo: 6 f D f R {} f D f R {, } c. Funciones Radicales Raíces : a. Índice Impar: Df = Dominio del radicando b. Índice Par: Df = {Punos donde el radicando es poivo o cero}

3 Ejemplo: f 6 Df = R f 6 Df, U, f D f R {} f D f,0 U, Ejercicio: Calcular el dominio de las guienes funciones: a. 7 f b. g c. h 6 7 Noa: = no esá en el dominio, pues en ese puno se anula el denominador d. k e. l f. i. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES A cada epreón algebraica de una función le corresponde una gráfica. Mediane la gráfica de una función podemos apreciar las caracerísicas principales de dicha función. a. Función consane. y f a Su gráfica es una línea reca que pasa por el puno 0,a y es paralela al eje OX b. Funciones afines y lineales: I. Función lineal. y f m Su gráfica es una reca que pasa por el origen de coordenadas 0,0 y iene de pendiene m. Se represena muy fácilmene mediane una abla de valores. II. Función afín. y f m n Su gráfica es una reca que pasa por el puno 0,n y iene de pendiene m. Se represena muy fácilmene mediane una abla de valores. c. Funciones cuadráicas: y f a b c Su gráfica es una parábola.veamos como represenarla Curvaura: a 0 pero a 0 b b Vérice: V y Vy f V f a a Punos de core con los ejes: Core con el eje 0Y omo = 0 y calculo y Core con el eje 0X omo y =0 y calculo pueden ser 0, ó valores Tabla de valores Ejemplo: f y 6 Curvaura: como a = > 0 Convea Vérice: V 0` y V y f 6` 4

4 Por ano el vérice es V ; 0`; 6` 4 Punos de core con los ejes: Eje 0Y omo = 0 enonces y f 0 6 el puno es 0, -6 Eje 0X omo y = 0 enonces 0 = 6 y calculo obengo dos valores de, = - y = -,0 y,0 Tabla de valores: d. Funciones eponenciales. y f a I. a 0 II. y f a a 0 III. y f e ; y f e análogo a las aneriores omando a=e= 78 4

5 e. Valor Absoluo. I. Ejemplo: f Esudio el gno de + 0 Por ano f II. Ejemplo: f Esudio el gno de 0 Por ano f Ejercicio: Represenar las guienes funciones: a. f b. 7 4 y c. 4 y d. h 4 e. s e s g f. 4 g g. h h. f Funciones Definidas a Trozos: Ejercicio: Represena las guienes funciones: a. 8 f b g c. 0 h d. log 6 j 4. CONTINUIDAD. Idea de coninuidad en un puno: Una función f y es coninua cuando puede dibujarse n levanar el lápiz del papel.

6 Coninuidad en un inervalo: Una función f es coninua en un inervalo a, b cuando es coninua en odos sus punos. a Es coninua b Es disconinua en el puno =, porque supone un salo de dos unidades en f. c Es disconinua en el puno =0 porque no esá definida en el puno f 0. Tipos de disconinuidad: a Disconinuidad eviable. b Ineviable de salo finio. Ejemplo b anerior. En ese caso el Salo de la función es c Ineviable de salo infinio Ejemplo c anerior Ejercicio: Dada la gráfica de la guiene función: Esudia: a Coninuidad en el 0 b Coninuidad en el c Coninuidad en el inervalo 0,. d Coninuidad en el inervalo, Ejercicio. Dada las gráficas de las guienes funciones: Esudia: a Coninuidad en = b Coninuidad en =0 c Coninuidad en el inervalo -, 0 d Coninuidad en el inervalo -, 4 e Indica en que punos es coninua cada función. 6

7 . CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Función creciene: Una función f es creciene en un inervalo para odo par de valores que f f h. h se verifica Si h f f h Función decreciene: Una función f es decreciene en un inervalo para odo par de valores verifica que f f h.. h se Si h f f h Función consane: Una función f es consane en un inervalo para odo par de valores que f f h. h se verifica Si h f f h Máimo: Una función iene un máimo en el puno c, eise un inervalo c-h, c+h donde se verifica que fc > f para odo valor pereneciene al inervalo. 7

8 Mínimo: Una función iene un mínimo en el puno c, eise un inervalo c-h, c+h donde se verifica que fc < f para odo valor pereneciene al inervalo. Ejemplo: Ejercicio: Indica los inervalos de crecimieno y decrecimieno y los máimos y mínimos de las guienes funciones Indicando en caso de que eisan los máimos y mínimos absoluos 6. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Función convea: Una función es convea en un inervalo, al unir dos punos cualesquiera del inervalo, el segmeno queda por encima de la gráfica de la función. Función cóncava: Una función es cóncava en un inervalo, al unir dos punos cualesquiera del inervalo, el segmeno queda por debajo de la gráfica de la función. Punos de infleión: Los punos de infleión son aquellos en los que la función cambia de curvaura. 8

9 Ejercicio: Indica los inervalos de crecimieno y decrecimieno, los inervalos de concavidad y conveidad, así como los máimos, mínimos y punos de infleión de la guiene gráfica: Ejercicio: Esudia odo lo viso hasa ahora en la guiene función: 7. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. Con el eje de abscisas eje OX: buscamos los punos de la función y f donde la ordenada es 0 y = 0, luego resolvemos la ecuación f 0 Con el eje de ordenadas eje OY: buscamos los punos y de la función y f donde la abscisa es 0 = 0, luego resolvemos la ecuación y f 0 Ejemplo: Calcula los punos de core de las guienes funciones: a f 4 c h b g d i 0 Ejercicio: Indica en que inervalos las guienes funciones son poivas, y en cuales son negaivas: 9

10 a f 0 b g 7 c h d i 4 e j 8. SIMETRÍA. Una función es mérica respeco del eje de ordenadas eje OY cuando f f. Se llama ambién función par. Una función es mérica respeco del origen cuando f f. Se llama ambién función impar. Ejercicio: Esudia la mería de las guienes funciones: 4 f ; g ; h ; f ; g ; h 9. PERIODICIDAD. Una función es periódica cuando los valores que oma se repien cada ciero inervalo fijo T; que se llama periodo. Eso es, : Ejemplo: f T f Ejemplos: a. Funciones rigonoméricas. b. Alura de una noria en función del iempo c. Péndulo d. Elecrocardiograma. 0. ASÍNTOTAS. Las asínoas son recas a las cuales la función se va aproimando indefinidamene n llegar nunca a corarlas. 0

11 Asínoas horizonales: Ejemplo: Asínoa horizonal: y= Asínoas vericales: Ejemplo: Asínoa verical: =0 Ejercicio: Esudia las asínoas de las res gráficas guienes:

12 Ejercicios:. Indica el dominio y recorrido de las funciones:. Indica por qué las gráficas adjunas no corresponden a las de una función:. Consruye una abla de valores asociada a cada una de las funciones: a. A cada número le corresponde su miad. b. A cada cuadrado le corresponde su superficie: 4. Traza las gráficas del ejercicio anerior: a.. Di son coninuas las guienes funciones; en caso conrario, da los punos de disconinuidad, y el dominio: 6. Di son coninuas las guienes funciones; en caso conrario, da los punos de disconinuidad, y el dominio: 7. Di son coninuas las guienes funciones; en caso conrario, da los punos de disconinuidad, y el dominio:

13 8. Calcula los punos de core con los ejes en el ejercicio anerior: 9. Calcula los punos de core con los ejes en las guienes funciones: 0. Indica enre que valores la función es creciene y enre cuáles decreciene:. Dibuja la gráfica de una función que sea decreciene enre y ; y enre 4 y 6, y creciene enre y 4; y enre 6 y 9.. Represena una función f con Domf=[0,7] y Rf=[,] y que, además, cumpla: a. Crece en el inervalo,4 y decrece en el reso. b. Crece en el inervalo,, decrece en el inervalo,4 y se maniene consane hasa =7.. Indica los inervalos de crecimieno y decrecimieno de las gráficas: 4. Indica los máimos y los mínimos de las funciones dadas en el ejercicio anerior. Indica los inervalos de crecimieno y decrecimieno, y los máimos y los mínimos de las funciones dadas por las guienes gráficas: 6. Indica los inervalos de crecimieno y decrecimieno, y los máimos y los mínimos de las funciones dadas por las guienes gráficas:

14 7. Indica los inervalos de concavidad y de conveidad en los ejercicios aneriores, 7, 8, 0, 8. Dibuja una función que pase por los punos A,, B0,, C,0, D4, y E6,6, endo A y E máimos, C mínimo y B y D punos de infleión. Indica en qué inervalos es cóncava y en cuáles convea. 9. Complea esas gráficas para que sean méricas: 0. Di de qué ipo de mería presenan las guienes funciones dadas por sus gráficas:. Di cuáles de las guienes funciones son periódicas. En caso afirmaivo, deermina su periodo.. Inerprea la guiene gráfica: 4

15 . En una finca en la que se planan dos ipos de horalizas: omaes y lechugas, se van a uilizar kilos de abono. Las canidades de kilos de omaes y lechugas obenidos en función del abono uilizado vienen dadas respecivamene por las dos funciones guienes: T y L. 0 a. Cuános kilos de lechuga obendré uso 0 kilos de abono? b. Cuános kilos de abono neceo para obener kilos de omae?. c. Cuál es la función h que nos da la canidad de kilos de horalizas obenidas, en función del abono uilizado? d. Cuános kilos de horalizas obendré con 60 kilos de abono? 4. El dueño de un mananial de agua mineral llega a la concluón de que, el precio a que vende la boella es peseas, sus beneficios vendrán dados por la fórmula B 0 en miles de peseas por día. Represenar la función precio-beneficio e indicar cuál será el precio de la boella para obener el beneficio máimo.. El día uno de mayo el precio del melón es de 00 peseas el kilo. Cada día que pasa, el precio por kilo disminuye en pas. Un agriculor iene el uno de mayo 80 kilos de melones y esima producir cada día 0 kilos más. Cuándo deberá vender el agriculor sus melones? 6. Algunos eperos esimaron, a comienzos de los años novena, que el SIDA crecía a razón del 0% anual. Si suponemos que en esa fecha, en una deerminada ciudad, había 000 enfermos de SIDA y la fórmula del crecimieno viene dada por E 000 0, 0 se pide: a. Cuános habría a comienzos de 99?. Y en el año 000? b. Cuáno ardará en duplicarse el número de afecados? 7. Las funciones de ingresos y coses anuales por la fabricación y vena de q unidades de un deerminado produco vienen dadas por: I q 000q 0,04q y C q q 0,00q. Halla: a. La función que da el beneficio anual. b. Cuánas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo? c. Cuál es ese beneficio? d. El cose de producción de unidades diarias de un deerminado produco es 4 y el precio de vena de una de ellas esá en función de la producción oal es 0 euros 4 por cada unidad. i. Hallar el precio de vena se producen unidades. ii. Deerminar los ingresos al producir unidades. iii. Deerminar los beneficios al producir unidades. iv. Esablecer la función que da los beneficios en función de las unidades vendidas. v. Esablecer el número de unidades que deben producirse diariamene para que el beneficio sea máimo. NOTA: BENEFICIOS = INGRESOS GASTOS

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