CAPÍTULO 1. Rectas y ángulos

Transcripción

1 ÍTUO 1 Elementos ásicos de l Geometrí Rects y ángulos 1.1 En Geometrí hy ides ásics que todos entendemos pero que no definimos. Ésts son ls ides de unto, Rect, lno y Espcio. Señlmos un punto con un mrc que puede ser. o y l uicmos en un mrco de referenci, generlmente en el Sistem rtesino. Un punto se crcteriz y se diferenci de otro punto sólo por su uicción. Si está en un plno, su posición se indic por un pr ordendo de números reles (, y) (Figur 1). Si está en el espcio, se indic con un trío ordendo de números reles (, y, z) (Figur 2). Z Y z y (, y) X (, y, z) y Y X Figur 1 Figur 2 Señlmos un rect por un prte de ell, considerndo siempre que l rect es ilimitd. nomrmos con un letr () o mrcndo dos puntos culesquier de ell. Elementos ásicos de l geometrí

2 d punto de un rect divide ést en dos semirrects. El punto es l fronter entre ms y no pertenece ningun de ells. Se llm ryo un semirrect unid con su fronter Q O. O Se llm segmento o trzo un porción continu de rect limitd por mos ldos. segmento o trzo medid o longitud de se design por m() o simplemente. Señlmos un plno por un porción de él y generlmente le dmos l form de prlelogrmo. No deemos olvidr que el plno es ilimitdo. Normlmente lo designmos por un letr. : plno Un rect en un plno divide éste en dos semiplnos, siendo l rect l fronter entre los dos semiplnos. Semiplno Semiplno rect fronter Elementos ásicos de l geometrí mos semiplnos y l rect fronter constituyen un prtición del plno. En el plno encontrmos diverss figurs geométrics que se crcterizn por su form. Si son línes ierts constituids por segmentos unidos por sus etremos, se llmn poligonles; curvs si no contienen segmentos, y mits si están formds por segmentos y porciones de curvs. Si ls línes son cerrds, dividen l plno que ls contiene en tres prtes: su interior, su eterior y l fronter. s línes cerrds encierrn un región, y su áre es l medid de l prte del plno que constituye el interior de l figur. Quedn limitds por su contorno o fronter, cuy medid de longitud se denomin perímetro. lo lrgo de grn prte de este liro proponemos ejercicios que tienen que ver con distints figurs geométrics, sus elementos constitutivos, sus elementos secundrios, su perímetro y su áre, sí como l relción entre ls medids de sus elementos y l form de construirls.

3 ÍTUO 1 Espcio es el miente tridimensionl en que nos movemos. ropondremos, estudiremos y resolveremos prolems reltivos cuerpos geométricos. Entendemos por cuerpo geométrico un porción continu del espcio limitd por superficies curvs y/o plns. Si sólo está limitdo por plnos, se llm poliedro. Si su límite tiene lgun prte que es un superficie curv, se llm cuerpo redondo. medid de es porción limitd de espcio que constituye un cuerpo es lo que llmmos volumen del cuerpo. s porciones de plnos que limitn el cuerpo se llmn crs y si son porciones de superficies curvs, se denominn mnto o superficie de revolución. sum de ls áres de ls crs y/o de ls superficies de revolución constituye el áre del cuerpo geométrico. Un plno divide l espcio en dos semiespcios, siendo el plno l fronter entre mos; no pertenece ninguno de ellos. mos semiespcios y el plno divisorio constituyen un prtición del espcio. En est primer prte del teto nos remitiremos solmente trjr con figurs geométrics en el plno. En el cpítulo 9 veremos lgunos prolems de geometrí del espcio que tienen que ver con cuerpos geométricos. untos y rects en el plno 1.2 Un rect es horizontl si sigue l dirección, por ejemplo, de ls gus en reposo. Un rect es verticl si sigue l dirección, por ejemplo, de un edificio o de un plomd. ulquier rect que no se horizontl o verticl se llm rect olicu. Elementos ásicos de l geometrí

4 or un punto se pueden trzr infinits rects coplnres (que están en el mismo plno). 2 3 {} = se llm punto de concurrenci de ls rects,, 3 y 4. Dos puntos definen un únic rect. : rect que contiene los puntos y. Dos rects de un plno se llmn prlels si coinciden en todos sus puntos o si su intersección es vcí. = El símolo que usmos pr prlelismo es. = { = = or un punto fuer de un rect se puede trzr un sol rect prlel ell., contiene Dos rects que se intersectn se llmn secntes. 10 Elementos ásicos de l geometrí

5 ÍTUO 1 Ángulos 1.3 Se llm ángulo l unión de dos ryos que tienen origen común. El origen recie el nomre de vértice y l ertur que se produce entre los ryos es lo que llmmos medid del ángulo. os ryos se llmn ldos del ángulo. S Q O R O: ángulo O Tmién podemos entender l medid del ángulo como l prte del plno que recorre el ryo Q O pr llegr l posición Q O, mnteniendo fijo el punto O. onsiderndo que el punto puede ser elegido en culquier prte del ryo Q O (ldo del ángulo), ROS, OQ y culquier otr elección representn el mismo ángulo. onvengmos en que, en l figur nterior, O = O; OR = OS; O = OQ. Diremos entonces que es un rco con rdio O, RS es un rco con rdio OR y Q es un rco con rdio O. Medid de ángulos: medid de un ángulo se consider positiv si l ertur se recorre en sentido inverso l movimiento que relizn ls mnecills del reloj, y se consider negtiv si l ertur se recorre en el mismo sentido en que se mueven ls mnecills del reloj. ángulo de medid negtiv Dos ángulos son igules si el vlor soluto de sus medids es igul. Si el ryo Q O d un vuelt complet en torno su vértice O, decimos que se h descrito un ángulo completo. ángulo de medid positiv O onsiderremos quí dos sistems de medid de ángulos: Sistem segesiml: l unidd de medid es 1 grdo (1 ) y éste se define como un 360 vo del ángulo completo. Un grdo contiene 60 minutos y un minuto contiene 60 segundos. Elementos ásicos de l geometrí 11

6 Sistem de rdines: l unidd de medid es 1 rdián (1 rd) y se define como l prte del ángulo completo cuyo rco es igul l rdio. El ángulo completo mide entonces 360 ó 2p rd. Se llm ángulo etendido l mitd del ángulo completo. Mide 180 ó p rd. O O: ángulo etendido Se llm ángulo recto l mitd del ángulo etendido. Mide 90 ó p 2 rd. O: ángulo recto O os ángulos menores que 90 ó p 2 rd se llmn ángulos gudos. O O O os ángulos myores que 90 ó 2 p se llmn ángulos otusos. rd y menores que 180 ó p rd O O Si un ángulo mide más de 360 ó 2p rd se consider equivlente l myor ángulo menor que 360 ó 2p rd luego de herle restdo n. 360 ó n. 2p, con n N. or ejemplo: 560 es equivlente con = es equivlente con = = 73 7p es equivlente con 7p 3. 2p = 7p 6p = p os ángulos se pueden nomrr tmién usndo letrs griegs, como,, g, d, e, f, etc. Se uicn en su interior y representn su medid. g 12 Elementos ásicos de l geometrí

7 ÍTUO 1 Dos ángulos tles que l sum de sus medids es 90 ó 2 p rd se llmn ángulos complementrios. Si y son ángulos complementrios, entonces es el complemento de y es el complemento de. + = 90 Dos ángulos tles que l sum de sus medids es 180 ó p rd se llmn ángulos suplementrios. Si y son ángulos suplementrios, entonces es el suplemento de y es el suplemento de. + = 180 Si y son dos ángulos tles que un ldo de coincide con un ldo de y l sum de sus medids es 180 ó p rd, entonces y se llmn ángulos dycentes suplementrios y se dice que formn un pr linel de ángulos. Dos rects secntes formn cutro ángulos. g d El pr y g se llmn ángulos opuestos por el vértice y tienen l mism medid. El pr, y d se llmn ángulos opuestos por el vértice y tienen l mism medid. ulquier ángulo de l primer prej es suplemento de culquier ángulo de l segund prej. Un prej es de ángulos gudos ( y g) y l otr es de ángulos otusos ( y d); menos que los cutro ángulos que se formn sen igules, en cuyo cso cd uno mide 90 ó 2 p rd y ls rects se llmn perpendiculres. Se us el símolo. g d Elementos ásicos de l geometrí 13

8 En geometrí se llmn postuldos o ioms quells verddes que por ser evidentes se ceptn como tles. No necesitn ser demostrds. Sore l se de los postuldos y utilizndo ls definiciones que se hn ddo, hy otrs verddes que no son tn evidentes y por lo tnto deen ser demostrds. Ésts son ls que llmmos teorems. El enuncido de un teorem const de dos prtes: un, llmd hipótesis, que contiene los dtos, y l otr, llmd tesis, que es l verdd que se quiere demostrr. El rzonmiento o deducción lógic que se hce pr concluir l tesis utilizndo l hipótesis se llm demostrción. Eisten tmién los lems, que son teorems de menor importnci, cuyo único ojeto es fcilitr l demostrción de otro teorem más importnte. Se llm corolrio tod consecuenci direct de un teorem que se deduce por un rzonmiento simple. Un teorem se llm teorem recíproco de otro cundo l tesis del primero ps ser l hipótesis del segundo y l hipótesis del primero se convierte en l tesis del segundo. ostuldos o ioms: 1. or dos puntos se puede trzr un únic rect. 2. or un punto fuer de un rect se puede trzr un sol perpendiculr ell. 3. or un punto de un rect se puede trzr un sol perpendiculr ell. 4. or un punto fuer de un rect se puede trzr un sol prlel ell. 5. Dos rects perpendiculres un mism rect son prlels entre sí. 6. Dos rects prlels un mism rect son prlels entre sí. Definiciones: 1. Se llm distnci entre dos puntos l medid del segmento que los une. 2. Se llm distnci de un punto un rect l medid del segmento que se inici en el punto y lleg perpendiculrmente l rect (por postuldo nterior hy uno solo). Q R S 3. Todo segmento trzdo desde un punto un rect que no es perpendiculr l rect se llm segmento olicuo. Q y S son segmentos olicuos. os puntos Q, R y S se denominn pie de los segmentos Q, R y S, respectivmente. 14 Elementos ásicos de l geometrí

9 ÍTUO 1 Dos segmentos olicuos cuyos respectivos pies están igul distnci del pie de l perpendiculr tienen longitudes igules. Si el pie de un segmento olicuo está myor distnci del pie de l perpendiculr que otro, es más lrgo que ese otro. perpendiculr l rect es isectriz del ángulo formdo por dos segmentos olicuos de igul medid (Ver definición 6). 4. Se llm distnci entre dos rects prlels l medid del segmento determindo por ls rects en un perpendiculr ms. 3 = distnci entre y 3 y 3 5. Se llm simetrl de un segmento l rect perpendiculr l segmento que ps por su punto medio. S 1 M : Segmento M: unto medio de S 1 : Simetrl de S 1 Todos los puntos de l simetrl de un segmento equidistn de los etremos del segmento: = ; M = M. 6. Se llm isectriz de un ángulo l ryo que divide l ángulo en dos prtes de igul medid, es decir, lo isect. O s isectrices de dos ángulos dycentes suplementrios son perpendiculres. D 2 2 O 2 2 : isectriz de OD de medid : isectriz de DO de medid Elementos ásicos de l geometrí 15

10 7. Dos rects prlels cortds por un secnte (o trnsversl) genern dos grupos de ángulos : secnte Teorems: s prejs 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 se llmn ángulos correspondientes y tienen igul medid. s prejs 4 y 6 3 y 5 se llmn ángulos lternos internos y tienen igul medid. s prejs 1 y 7 2 y 8 se llmn ángulos lternos eternos y tienen igul medid. 1. Dos rects son prlels si y sólo si l ser cortds por un trnsversl, los ángulos correspondientes tienen medids igules. 2. Dos rects son prlels si y sólo si l ser cortds por un trnsversl, los ángulos lternos internos tienen medids igules. 3. Dos rects son prlels si y sólo si l ser cortds por un trnsversl, los ángulos lternos eternos tienen medids igules. Not: en cd uno de los tres teorems nteriores están enuncidos un teorem y su recíproco. or ejemplo, en el Teorem 1 podemos decir: rects prlels cortds por un trnsversl genern ángulos correspondientes de igul medid (l hipótesis es que se tienen dos rects prlels cortds por un trnsversl y l tesis es que los ángulos correspondientes tienen medids igules). Y el teorem recíproco es: En dos rects cortds por un trnsversl, si los ángulos correspondientes tienen medids igules, entonces ls rects son prlels (l hipótesis es que los ángulos correspondientes tienen medids igules y l tesis es que ls rects son prlels). d vez que un enuncido contiene un si y sólo si, cuy simologí es, hy dos teorems involucrdos y uno es recíproco del otro. Oservndo l figur nterior, el Teorem 1 qued: m 1 = m 5 4. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen medids igules. 16 Elementos ásicos de l geometrí

11 Ejercicios resueltos 1. Si = , hllr su complemento. El complemento de un ángulo es lo que le flt éste pr completr 90 ; por lo tnto, el complemento de es: (90 ) r relizr l rest tommos 1 de los 90 y lo epresmos como 59 60, sí nos qued: El complemento de es el ángulo que mide ÍTUO 1 2. Hllr el suplemento del complemento de, si = 32. El complemento de es (90 ) = = 58 El suplemento de 58 es ( ) = 122 uego el suplemento del complemento de es Epresr l medid de un ángulo de 35 en rdines. Semos que 180 corresponden p rd. pregunt es: cuántos rdines equivlen 35? Se estlece un proporción direct: 180º 35º = p fi = 35º. p 180º = 36 7p 0,61 rd El ángulo de 35 epresdo en rdines es de proimdmente 0,61 rd. 4. Epresr l medid de un ángulo de 2p rd en grdos. 3 Semos que el ángulo de p rd equivle 180. pregunt es: cuántos grdos corresponden los 2p rd? Se form l proporción direct 3 correspondiente: p = 180º fi = 2p. 180º = 120º 2p º 3p 3 El ángulo de 2p rd epresdo en grdos es Se = y = Hllr el vlor de = 4. ( ) = = 2. ( ) = = = = uego, el vlor de 4 2 es Indicr cuál es l hipótesis y cuál es l tesis en el siguiente teorem: Dos ángulos opuestos por el vértice tienen medids igules. Hipótesis: Dos ángulos son opuestos por el vértice. Tesis: Esos dos ángulos tienen medids igules. Elementos ásicos de l geometrí 17

12 r relizr un demostrción en geometrí, frecuentemente se diuj un figur; luego, l hipótesis y l tesis se escrien en símolos de cuerdo con l figur: Hipótesis: y son ls medids de dos ángulos opuestos por el vértice. Tesis: = 7. Demostrr que ls isectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrects opuests, es decir, son prtes de un mism rect. 1 g 2 Hipótesis: = son ángulos opuestos por el vértice, formdos por ls rects y. Q 1 isectriz de Q 2 isectriz de Tesis: Q 1 y Q 2 son semirrects opuests. Demostrción: 1. El ángulo g es el suplemento de y de (formn pres lineles) 2. uego: + g = g = Sumndo: + + 2g = s rects y Q 1 se intersectn en, formndo el ángulo de medid s rects y Q 2 se intersectn en, formndo el ángulo de medid Dividiendo por 2 en el pso 3: g = or lo tnto, Q 1 y Q 2 formn un ángulo etendido. 8. uego, Q 1 y Q 2 son semirrects opuests. 18 Elementos ásicos de l geometrí

13 ÍTUO 1 8. Ddos dos segmentos, y D, construir segmentos que midn: ) + D ) D c) 2 d) 2 Sen los segmentos: y D ) onstrucción del segmento de medid + D (sum de segmentos). 1. Se diuj l rect. 2. Se fij en un punto. 3. (, ) se copi sore. 4. (, D) se copi D sore continución de. 5. D = + D. D ) onstrucción del segmento de medid D, con > D 1. Se diuj l rect. 2. Se fij en un punto. 3. (, ) determin sore ( copido). 4. (, D) determin D sore, pero en sentido contrrio l usdo pr copir. 5. D = D. D c) onstrucción del segmento de medid Se diuj un rect. 2. Se fij en un punto. 3. Se copi dos veces, un continución de l otr, determinndo. 4. = 2. d) onstrucción del segmento de medid (isectr un segmento) 1. Se diuj un rect. 2. Se copi el segmento en. 3. (, r) (, r) = {, Q}. ( r = culquier rdio myor que 2 ). 4. Q = {M} (M es punto medio) 5. M = M. 2 M Q Elementos ásicos de l geometrí 19

14 9. Dividir un segmento ddo en n prtes de igul medid. onsiderremos n = 5. Se el segmento que se dese dividir. 1. Se copi. 2. Desde el etremo, con culquier ángulo, se trz un segmento Q señlndo en él 5 uniddes culesquier. 3. Se une el etremo Q de Q con el punto (etremo lire del segmento ). 4. Se trzn prlels Q por cd uno de los puntos que indicn ls uniddes señlds en Q. 5. 1, 2, 3, 4 son ls intersecciones de cd prlel con y mrcn los puntos de división del segmento en cinco prtes de igul medid Q 10. onstruir l isectriz de un ángulo ddo. Se O el vértice del ángulo ddo. 1. Desde el punto O, con rdio r (culquier) se descrie un rco de circunferenci, determinndo los puntos y sore los ldos del ángulo. 2. Desde el punto, con rdio r, se descrie un rco de circunferenci. 3. Desde el punto, con el mismo rdio r, se descrie un rco de circunferenci que intersecte l nterior. 4. (, r) (, r) = {}. 5. Q O es l isectriz pedid. O r r 11. Sen y dos ángulos ddos con >. onstruir ángulos de medid: ) + ) 2 c) d) (isectriz de un ángulo) 2 Sen los ángulos: 20 Elementos ásicos de l geometrí

15 ÍTUO 1 ) onstrucción de + (Sum de ángulos). 1. Se mrcn rcos en mos ángulos con el mismo rdio r. 2. Se diuj un rect. 3. Se fij un punto V sore, que será el vértice. 4. (V, r) = {}. 5. Desde se copi, determinndo. 6. Desde y continución se copi, determinndo. 7. V = +. V + ) onstrucción de 2 (Duplicción de un ángulo). 1. Se diuj un rect. 2. Se fij un punto V sore, que será el vértice. 3. (V, r) = {}. 4. Desde se copi 2 veces sore l circunferenci, determinndo D. 5. VD = 2. D V 2 (en l mism form se continú pr otener 3, 4, 5, etc.) c) onstrucción de (Diferenci de ángulos). 1. Se mrcn rcos en y en con el mismo rdio r. 2. Se diuj un rect. 3. Se fij un punto V sore, que será el vértice. 4. (V, r) = {}. 5. Desde se copi, determinndo. 6. Desde y en sentido contrrio se copi, determinndo. 7. V =. V d) onstrucción de (isectriz de un ángulo). Ver ejercicio Elementos ásicos de l geometrí 21

16 12. Sen un ángulo y Q D su isectriz. Se Q E un semirrect en el eterior del. ror que: 2 DE = E + E. Sumndo: E = ED + D E = ED D E + E = 2 DE + D D como D = D (D isectriz) se tiene: E + E = 2 DE E D 13. onstruir un ángulo de Se trz un semirrect Q O. 2. Se descrie (O, O). 3. (O, O) (, O) = {}. 4. O = 60º O 60º M O es equilátero: O = O = r y = r, por construcción. Ejercicios 1. Efectur ls siguientes operciones: ) f) ) g) c) h) d) i) e) ( ) j) Si = y = , hllr: ) + 2 c) 2 e) 5 3 ) d) 3 22 Elementos ásicos de l geometrí

17 ÍTUO 1 3. Hllr el complemento y el suplemento de los siguientes ángulos: ) g) p 3 m) 2p ) h) 6 p n) 9p 10 c) 125 i) p 4 o) 3,5 rd d) j) p 18 p) 2 rd e) 12 6 k) 2p 3 q) 0,3 rd f) l) 5p 6 r) 3 4 rd 4. Hllr el dole, el triple y l mitd de cd uno de los siguientes ángulos: ) d) p ) e) 2p 3 c) f) 4 p 5. Epresr los siguientes ángulos como grdos y frcción de grdos: ) d) ) e) c) f) Epresr los siguientes ángulos en términos de grdos, minutos y segundos: ) 25,5 d) 15,9 ) 143,36 e) 95,3 c) 14,124 f) 27,03 7. Epresr los siguientes ángulos en rdines: ) 30 f) ) 120 g) c) 270 h) 44,6 d) 45 i) 120,5 e) 60 j) Epresr los siguientes ángulos en grdos: ) 3 p e) 8 p i) 7p 3 ) 2 p f) 3p 4 j) 5p 6 c) 6 p g) 5p 3 k) 3,2 rd d) 4 p h) 2p l) 2,5 rd 9. En ls siguientes proposiciones, indicr cuál es l hipótesis y cuál es l tesis. ) Si un número termin en cero, entonces es divisile por 10. ) Si un número es divisile por 10, entonces termin en cero. Elementos ásicos de l geometrí 23

18 c) Dos ángulos de l mism nturlez (mos gudos o mos otusos) con sus ldos respectivmente perpendiculres tienen medids igules. d) os puntos de l isectriz de un ángulo equidistn de los ldos del ángulo. e) s isectrices de dos ángulos dycentes suplementrios formn un ángulo recto. f) Si dos rects prlels son cortds por un trnsversl, los ángulos lternos internos tienen medids igules. g) Si dos rects l ser intersectds por un trnsversl producen ángulos lternos internos de igul medid, ls rects son prlels. h) Ddos dos ángulos, uno gudo y el otro otuso, si tienen sus ldos respectivmente perpendiculres, son suplementrios. i) En un triángulo rectángulo, el cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos. j) Dds dos rects prlels cortds por un trnsversl, ls isectrices de dos ángulos internos del mismo ldo de l trnsversl se intersectn formndo un ángulo recto. k) s isectrices de dos ángulos dycentes suplementrios son perpendiculres. l) Si desde un punto fuer de un rect se trzn olicus l rect cuyos pies equidistn del pie de l perpendiculr trzd desde el mismo punto, ls olicus formn ángulos de igul medid con l perpendiculr. 10. Demostrr que ls isectrices de dos ángulos dycentes suplementrios formn un ángulo recto. 11. Demostrr que ls isectrices de dos ángulos dycentes complementrios formn un ángulo de Sen y ls medids de dos ángulos dycentes. Demostrr que el ángulo formdo por sus isectrices mide En l figur E y D. Demostrr que m( ED) = m( ). E D 14. Sen un segmento y M su punto medio; si está en l prolongción de, pror que M = Elementos ásicos de l geometrí

19 ÍTUO Si M es punto medio del segmento y es un punto del interior de, pror que: M = Sen M, MN, N y segmentos consecutivos de un mism rect tles que M =, MN = 2, N = = + 1 y = 17. Hllr l medid de cd uno. 17. Ddo un segmento = 50 cm. Desde sus etremos se mrcn y Q en tles que = Q = 2QR. Siendo R un punto entre y Q tl que R = + 1, hllr l medid de todos los segmentos. 18. Sen Q un segmento y R un punto interior tl que Q = 5R y RQ = 20 cm. Hllr l medid de Q. 19. Sen un segmento y un punto fuer de él, en l mism rect, tl que = Si =, cuánto mide? 20. Sen y ángulos dycentes suplementrios tles que = 3. Hllr l medid de cd uno. 21. Sen, y g ángulos dycentes tles que formn un ángulo etendido. Si = 3 y g = 2, hllr l medid de cd uno. 22. Sen,, g y d ángulos dycentes tles que su sum es 3p. Si =3 y g + d = 3, 2 qué se puede decir de l medid de cd uno de los ángulos? 23. Sen un ángulo, Q D su isectriz y Q E un semirrect interior del. ror que 2m( DE) = m( E) m( E). 24. Sen un ángulo y D su isectriz. Si Q D en, quedndo entre y Q, pror que: m( ) = m( Q) 25. onstruir un perpendiculr un rect en un punto ddo de l rect. 26. onstruir un perpendiculr un rect dd desde un punto fuer de ell. 27. onstruir un prlel un rect por un punto ddo fuer de ell. 28. onstruir un ángulo de onstruir un ángulo de onstruir un ángulo de Trisectr el ángulo de onstruir un ángulo de onstruir un ángulo de onstruir un ángulo de 75. Elementos ásicos de l geometrí 25

20 35. onstruir un ángulo de 127, En l figur siguiente,, S secnte. Hllr el vlor de y l medid de los ángulos y, siendo que = y = 3. S 37. En l figur,, = 96 y = 20. Hllr l medid de los ángulos, y y z. y z 38. En l figur,, S secnte. Si = y = + 25, hllr l medid de,, g y e. S g e 39. En l figur,, = 35 y = 16. Hllr l medid del ángulo. 26 Elementos ásicos de l geometrí

21 ÍTUO En l figur, y 3 4. Si = 110, hllr ls medids de, g, y d. g d En l figur, y 3 4. ror que = En l figur, = 42, = 60 y g = 18. ror que. (Sugerenci: Trzr por un rect prlel ). g 43. En l figur, = y. ror que es isectriz del D. D 44. En l mism figur nterior, con = y D = +. Si es isectriz del D, pror que. Elementos ásicos de l geometrí 27

22 45. En l figur,. ror que es igul l sum de Sen un ángulo gudo y un punto de su isectriz. Trzr l rect F, con F Q y tl que m( F) = m( F). ror que F. 47. Demostrr que dos ángulos que tienen sus ldos respectivmente prlelos tienen igul medid si son de l mism nturlez y son suplementrios si son de distint nturlez. 48. Demostrr que dos ángulos que tienen sus ldos respectivmente perpendiculres tienen igul medid si son de l mism nturlez y son suplementrios si son de distint nturlez. 49. Sen y D D. lculr l medid de D + D. 50. or un punto D del ldo del ángulo se trz un perpendiculr DE ; E es el punto de intersección con el ldo. En E se trz EF ; F. Qué se puede decir del, del DEF y del DFE? or qué? Soluciones 1. ) 40º 52 5 ) 87º c) 48º 5 2 d) 38º e) 130º f) 34º g) 44º h) 179º i) 63º j) 57º ) 128º ) 33º c) 41º 32 d) 7º e) 207º ) 4º ; 94º ) 57º ; 147º c) No tiene ; 55º d) 41º 46 ; 131º 46 e) 77º ; 167º f) 16º 57 7 ; 106º 57 7 g) 6 p ; 2p 3 h) 3 p ; 5p 6 i) p 4 ; 3p 4 j) 4p 9 ; 17p 18 k) No tiene ; p 3 l) No tiene ; p 6 m) No tiene ; No tiene 28 Elementos ásicos de l geometrí

23 ÍTUO 1 n) No tiene ; p 10 o) No tiene ; No tiene p) No tiene ; 1,14 rd q) 1,27 rd ; 2,84 rd r) 0,82 rd ; 2,39 rd 4. ) 32º ; 49º ; º ) 6º 10 6 ; 9º 15 9 ; 1º 32 31,5 c) 288º ; 432º ; 2º 6 2,5 d) 2p ; 3p ; 2 p e) 4p 3 ; 2p ; 3 p f) p 2 ; 3p 4 ; 8 p 5. ) 25,2º ) 132,883º c) 15,5º d) 17,5375º e) 24,203º f) 5,01694º 8. ) 60º ) 90º c) 30º d) 45º e) 22,5º f) 135º g) 300º h) 360º i) 420º j) 150º k) 183,35º l) 143,24º 9. ) Se n un número. Hipótesis: n termin en 0. Tesis: n es divisile por 10. ) Se n un número. Hipótesis: n es divisile por 10. Tesis: n termin en 0. c) Hipótesis: y son ángulos de l mism nturlez que tienen sus ldos respectivmente perpendiculres. Tesis: = 6. ) 25º 30 ) 143º c) 14º 7 26,4 d) 15º 54 e) 95º 18 f) 27º ) 6 p ) 2p 3 c) 3p 2 d) 4 p e) 3 p f) 0,7 g) 0,263 h) 0,78 i) 2,1 j) 3p 4 d) Hipótesis: isectriz de. Tesis: = ( y son el pie de l perpendiculr trzd desde mos ldos del ángulo). O e) Hipótesis: + son dos ángulos dycentes y suplementrios; y son sus respectivs isectrices. Elementos ásicos de l geometrí 29

24 Tesis:. f) Hipótesis: ; S secnte; y ángulos lternos internos. Tesis: =. g) Hipótesis: y ángulos lternos internos; =. Tesis:. S j) Hipótesis: ; S trnsversl; y ángulos internos del mismo ldo de l trnsversl; Q isectriz de, Q isectriz de. Tesis: Q Q. S k) Hipótesis: y ángulos dycentes sumplementrios; isectriz de ; isectriz de. Tesis:. h) Hipótesis: ángulo gudo de ldos y ; ángulo otuso de ldos 3 y 4 ; 3 ; 4. Tesis: + = 180º. 4 l) Hipótesis: rect; ; M en M; y olicus con y en ; M = M. Tesis: M = M. 3 M i) Hipótesis: triángulo rectángulo en. Tesis: = M = 3 ; MN = 6 ; N = = = Q = 14 cm; QR = 7 cm; R = 15 cm 18. Q = 25 cm 19. = = 45º ; = 135º 21. = 18º ; = 54º ; g = 108º 22. = 62,31º ; = 20,77º; g + d = 186,92º 30 Elementos ásicos de l geometrí

25 ÍTUO = 35º ; = 75º ; = 105º 37. = 76º ; y = 76º ; z = 84º 38. = e = 115º ; = g = 65º 39. = 51º 40. g = 110º ; d = = 70º º 50. m( ) = m( DEF) tiene ldos respectivmente perpendiculres si es gudo; m( ) + m( DEF) = 180º si es otuso. m( DFE) + m( ) = 90º euclides (?, h ?, h ) Mtemático griego. oco se conoce cienci ciert de l vid de quien fuer el mtemático más fmoso de l ntigüedd. Se educó prolemente en tens, lo que eplicrí con su uen conocimiento de l geometrí elord en l escuel de ltón, unque no prece que estuvier fmilirizdo con ls ors de ristóteles. trdición h conservdo un imgen de Euclides como homre de notle milidd y modesti, y h trnsmitido sí mismo un nécdot reltiv su enseñnz, recogid por Jun Estoeo: un joven principinte en el estudio de l geometrí le preguntó qué gnrí con su prendizje; Euclides, trs eplicrle que l dquisición de un conocimiento es siempre vlios en sí mism, ordenó su esclvo que dier uns moneds l muchcho, ddo que éste tení l pretensión de otener lgún provecho de sus estudios. Fue utor de diversos trtdos, pero su nomre se soci principlmente uno de ellos, los Elementos. Se trt, en esenci, de un compilción de ors de utores nteriores, que ls superó de inmedito por su pln generl y l mgnitud de su propósito. De los trece liros que l componen, los seis primeros corresponden lo que se entiende todví como geometrí elementl; recogen ls técnics geométrics utilizds por los pitgóricos pr resolver lo que hoy se considern ejemplos de ecuciones lineles y cudrátics, e incluyen tmién l teorí generl de l proporción. os liros del séptimo l décimo trtn de cuestiones numérics y los tres restntes se ocupn de geometrí de los sólidos, hst culminr en l construcción de los cinco poliedros regulres y sus esfers circunscrits. Euclides estleció lo que, prtir de su contriución, hí de ser l form clásic de un proposición mtemátic: un enuncido deducido lógicmente prtir de unos principios previmente ceptdos. En el cso de los Elementos, los principios que se tomn como punto de prtid son veintitrés definiciones, cinco postuldos y cinco ioms o nociones comunes. nturlez y el lcnce de dichos principios hn sido ojeto de frecuente discusión lo lrgo de l histori, en especil por lo que se refiere los postuldos y, en prticulr, l quinto (postuldo de ls prlels). Su condición distint respecto de los restntes postuldos fue y perciid desde l mism ntigüedd, y huo diverss tenttivs de demostrrlo como teorem; los esfuerzos por hllrle un demostrción prosiguieron hst el siglo XIX, cundo se puso de mnifiesto que er posile definir geometrís consistentes, llmds «no euclidins», en ls que no se cumplier l eistenci de un únic prlel trzd un rect por un punto eterior ell. Elementos ásicos de l geometrí 31

26 rue de selección múltiple 1. De ls siguientes firmciones son flss: I. sum de los ángulos dycentes lrededor de un punto vle siempre cutro ángulos rectos. II. os ángulos dycentes formdos un ldo de un rect sumn siempre 180º. III. Dos rects de un plno, perpendiculres un tercer, son prlels entre sí.. Sólo I. Sólo II. Sólo III D. Sólo I y II E. Ningun 2. De ests firmciones son verdders: I. sum de los ángulos dycentes suplementrios equivle un ángulo etendido. II. os ángulos opuestos por el vértice son igules. III. Dos ángulos son suplementrios si l sum de ellos es igul 180º.. Sólo I. Sólo II. Sólo III D. Sólo I y II E. I, II y III 3. Si O O, se firm que: I. y son complementrios II. + = 90º III. es el suplemento de De ests firmciones son verdders:. Sólo I. Sólo II. Sólo II y III D. Sólo I y II E. I, II y III 4. Se firm que: I. 0º < ángulo gudo < 90º II. 0º < ángulo otuso < 180º III. 90º < ángulo etendido < 180º De ests firmciones son flss:. Sólo I. Sólo I y II. Sólo I y III D. Sólo II y III E. I, II y III 5. Si I J, IJ J, m OE = 45º, se firm que en l figur: I. m OI = 90º II. m GOD = 45º III. m DOH = m OE E F 45 O O J I G H D O De ests firmciones es(son) verdder(s).. Sólo I. Sólo I y II. Sólo I y III D. I, II y III E. Ningun 32 Elementos ásicos de l geometrí

27 ÍTUO 1 6. Si, D D, m DMM = 110º, se firm que en l figur: I. m M MN = 70º II. m KMD = 30º III. m EN = 110º K D D II. Dos ángulos otusos que tienen sus ldos respectivmente perpendiculres son igules. III. Dos ángulos gudos cuyos ldos son respectivmente perpendiculres son igules. uál(es) de ls firmciones es(son) verdder(s)? M 110 O M F. Sólo I y II. Sólo II y III. Sólo I y III D. I, II y III E. Ningun 9. Si, cuánto vle? E N N De ests firmciones es(son) fls(s):. Sólo I. Sólo I y II. Sólo II y III D. Sólo I y III E. I, II y III 7. Se firm que: I. or un punto eterior un rect ps un sol prlel dich rect. II. Dos rects prlels un tercer son prlels entre sí. III. Dos ángulos internos de distinto ldo de l trnsversl entre prlels son complementrios. H De ests firmciones son verdders.. 35º. 45º. 16º D. 59º E. 79º Se, cuánto vle 2 y + z? y z 105 O. Sólo I y II. Sólo II y III. Sólo I y III D. I, II y III E. Ningun 72 O 8. Se firm que: I. Dos ángulos, uno gudo y otro otuso, que tienen sus ldos respectivmente perpendiculres, son complementrios.. 180º. 30º. 40º D. 50º E. 230º Elementos ásicos de l geometrí 33

28 11. Se tienen dos rects prlels, y. Sore se elige un punto y sore se elige un punto D, los cules se unen con un punto E situdo entre ls prlels. Hllr l medid del ED siendo que E = 60º y ED = 140º. 60º 14. En l figur siguiente, si, cuánto vle? 122 O º. 120º. 140º D. 160º E. 90º E 140º D 12. En l figur siguiente, cuánto vle q?. 45º. 60º. 90º D. 180º E. 360º q 13. En l figur siguiente, cuánto vle?. 180º ( + ). 180º º + + D. 180º + E. 180º ( ) q q q. 56º º º 55 D. 55º 57 E. 55º Si = 25º 10 y = 14º 20 12, entonces el vlor de 2 3 es: 4. 1º º º D. 1º 49 E. 1º Hllr l medid del ángulo que, disminuido en su suplemento, es igul l triple de su complemento:. 22,5º. 45º. 60º D. 90º E. 180º 17. diferenci entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces l medid del ángulo. Determinr el suplemento del complemento del ángulo.. 15º. 75º. 90º D. 105º E. 165º 34 Elementos ásicos de l geometrí

29 ÍTUO En l figur, y es su punto de intersección. rect ps por. Entonces es igul:. 2º. 3º. 4º D. 27º E. ( ) º 21. En l figur, determinr el vlor de y :.. 45º. 270º D. 180º 2 E. 90º 19. Sen y : = 2 : 5. Determinr el vlor de :. 10º. 15º. 25º D. 30º E. 35º 3y + 15º 5y 15º 22. Si, determinr el vlor de : 5 8º 40 O 3 + 4º. 20º. 40º. 50º D. 120º E. 100º 20. Si y es secnte, determinr el vlor de : +24º. 23º º º 59 D. 23º 59 E. Ningun de ls nteriores 23. En l siguiente figur, determinr el vlor de : + 40º 2+20º 10+6º E Elementos ásicos de l geometrí 35

30 . 50º. 40º. 30º D. 20º E. 10º S 24. Si, encontrr ls medids, y y z de los ángulos que se indicn en l figur: S y. 50º. 60º. 80º D. 130º E. 180º z 123º 27. Encontrr l medid de dos ángulos complementrios cuy rzón es 2 : 3.. = 57º; y = 57º; z = 57º. = 123º; y = 123º; z = 57º. = 57º; y = 123º; z = 123º D. = 123º; y = 123º; z = 123º E. = 123º; y = 57º; z = 123º 25. Sen los ryos Q O, Q O y Q O, tles que el ángulo O es igul 130º. Hllr el ángulo formdo por ls isectrices de los ángulos O y O, siendo que éstos se diferencin en 50º.. 43º y 47º. 36º y 54º. 36º y 45º D. 25º y 65º E. 15º y 75º 28. En l siguiente figur, determinr el vlor de. 2 3 O. 30º. 45º. 60º D. 65º E. 90º. 20º. 25º. 30º D. 35º E. 40º 29. En l siguiente figur, y = 130º. Encontrr el vlor de + g : 26. Si y el dole de es 30º menor que, determinr en cuántos grdos se diferencin y. 36 Elementos ásicos de l geometrí g

31 ÍTUO 1. 50º. 75º. 100º D. 130º E. 140º M 30. Si = 38º y d = 24º, encontrr el vlor de e y. y d O. 2. ( ) = 117º, y = 25º. = 118º, y = 24º. = 116º, y = 23º D. = 23º, y = 116º E. = 24º, y = 118º D. ( + ) 2 E Si = 37º y Q es isectriz de, cuánto mide el complemento de ( 2)? 31. En l siguiente figur, encontrr el vlor de q. q 42º 49º 72º 124º. 270º. 0º. 180º D. 90º E. Ningun de l nteriores. 53º. 63º. 73º D. 83º E. 93º 34. Si, 4 es isectriz de y g = 35º, cuánto mide el suplemento de? Ddos los ángulos dycentes O y O, donde m( O) = y m(o) =, determinr m( OM), siendo OM Q isectriz de O. g 3 Elementos ásicos de l geometrí 37

32 . 70º. 180º. 90º D. 35º E. 110º 35. Si ls 3 prtes de l medid de un ángulo 4 se les rest el 20%, de es medid, se otiene 110º. Determinr el complemento del 10% del ángulo.. 10º. 20º. 50º D. 70º E. 80º 36. Si el 25% de es 5º30 y el 40% de es 52º, clculr º. 40º. 92º D. 130º E. 152º 37. Si, 3 y 4 secntes, con 4, entonces es igul : 38. Si D, secnte, E isectriz de, E isectriz de D, determinr l medid de.. 90º. 60º. 45º D. 30º E. 15º 70º 39. Si en l figur, entonces el vlor de es: 63º E D 30º 133º. 47º. 70º. 110º D. 133º E. 147º 40. Si y : = 3 : 4, g = 82º, entonces el vlor de es: g º º º 240 D. 112º 240 E. 110º 240 Elementos ásicos de l geometrí

33 ÍTUO 1. 66º. 56º. 36º D. 26º E. 42º 41. Si y : = 2 : 5, determinr el vlor de. 43. Siendo que D y D y Q es isectriz, hllr l medid de. 40º D 80º. 30º. 70º. 50º D. 90º E. 40º 42. Si, 3 y S es secnte ls rects, y 3, determinr los vlores de y.. 60º. 80º. 20º D. 35º E. 40º 44. Si Q, determinr el vlor de. S Q 58º R. = 122º, = 132º. = 132º, = 132º. = 132º, = 122º D. = 122º, = 122º E. = 58º, = 58º 3. 90º. 90º º D. 180º + E. 45º Elementos ásicos de l geometrí 39

34 45. Sen ; Q D y Q DE isectrices. Determinr el vlor de. 47. Si en l figur, cuál es el vlor de? D 120º E. 100º. 92º. 88º 100 D. 120º 90 E. 88º Si y 3 4, cuál es el vlor de en función de? º º D. E. 180º 48. Sen 3. Determinr el vlor de + g. 35º º 4 65º g. + 35º º. 35º D. 180º E. 180º. 80º. 90º. 150º D. 65º E. 85º 40 Elementos ásicos de l geometrí

35 ÍTUO Sen y 3. Determinr el vlor de. 51. Sen y Q O isectriz. Determinr el vlor de. 55º 10º O 3 55 O º. 45º. 40º D. 10º E. 35º 50. Sen M y M. Determinr el vlor de g.. 62º º º 30 D. 62º 17 E. 62º Sen y W 1 W. Determinr el vlor de. 150º W 1 g W 45º. 90º. 60º. 30º D. 40º E. 45º M. 30º. 45º. 60º D. 90º E. 135º Elementos ásicos de l geometrí 41

36 53. En l figur,, 3 4 y 5 isectriz del ángulo. Determinr el vlor de. 55. Si, cuál es el vlor de? 60º 45º 122º S. 30º. 45º. 60º D. 100º E. 120º 54. Si, determinr l mitd de.. 30º. 68º. 77º D. 122º E. 158º 56. Si 3 ; 4 5 y : = 2 : 3, determinr el vlor de g. 70º g º. 50º. 55º D. 70º E. 110º. 36º. 60º. 70º D. 72º E. 108º 42 Elementos ásicos de l geometrí

37 ÍTUO En l figur,, = 140º, Q y Q isectrices. Determinr el vlor de. 59. Determinr el vlor de si. 130º 111º. 30º. 40º. 60º D. 75º E. 90º 58. Si m( O)= 70º y : = 2 : 3, determinr los vlores de y. 91º. 62º. 61º. 63º D. 91º E. 111º 60. Determinr el vlor de siendo que y 3 4. O 10º 4 170º. = 38º y = 32º. = 28º y = 42º. = 24º y = 46º D. = 10º y = 60º E. = 40º y = 30º º. 60º D. 20º E. 10º 3 Elementos ásicos de l geometrí 43

38 Soluciones 1. D E E E 42. D D E 33. D D E D 45. E D E D D E E E E Elementos ásicos de l geometrí