Determinización: Construcción de Safra

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Luis Camacho Gallego
hace 8 años
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1 Determinizción: Construcción de Sfr Ddo: Autómt de Büchi A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) Supong que Q = {q 1,...,q n }. Vmos construir un utómt de Rin determinist B tl que L ω (A) = L ω (B), donde B está compuesto por: Conjunto de estdos Q 1. Estdo inicil q 0. Función de trnsición δ 1 : Q 1 Σ Q 1. Conjunto de pres de ceptción. M. Arens Autómts sore plrs infinits 47 / 73

Vmos construir un utómt de Rin determinist B tl que L ω (A) = L ω (B), donde B está

2 Construcción de Sfr: Estdos Se {c 1,...,c 2n } un conjunto de 2n colores. Cd estdo en Q 1 contiene los siguientes elementos: Pr cd estdo q i Q, un stck de colores S i. Un orden linel < en {S 1,...,S n }. Un pr (B,M), donde B,M {c 1,...,c 2n }. Estdo inicil q 0 : Pr cd estdo q i Q 0 : S i = c 1. Pr cd estdo q i Q \ Q 0 : S i =. c 1 <. (, ). M. Arens Autómts sore plrs infinits 48 / 73

$Estdo inicil q 0 : Pr cd estdo q i Q 0 : S i = c 1. Pr cd estdo q i Q \ Q 0 : S i =. c 1 <. (, ).$

3 Construcción de Sfr: Función de trnsición Ddo: Estdo α = (S 1,...,S n,< 1,(B 1,M 1 )) y un símolo Σ. δ 1 (α,) = (T 1,...,T n,< 2,(B 2,M 2 )) es clculdo usndo ls siguientes regls: 1. Intuición: Si q i δ(q j,), entonces el stck S i es reemplzdo por S j. Si pr un estdo q i hy vris lterntivs, se consider el menor stck según el orden < 1. Formlmente: Pr i [1,n], se A i = {S j q i δ(q j,)}. Entonces: T i es el menor elemento de A i según < 1 (si A i =, entonces T i = ). M. Arens Autómts sore plrs infinits 49 / 73

Intuición: Si q i δ(q j,), entonces el stck S i es reemplzdo por S j.

4 Construcción de Sfr: Función de trnsición 2. Pr cd estdo finl q i F: Se reemplz T i por T i d i, donde d i es un color no utilizdo. Si pr q i,q j F se tiene que el tope de T i es igul l tope de T j, entonces d i = d j. 3. Un color es invisile si no está en el tope de ningún stck. Si c es invisile, entonces pr cd T j que contiene c, se remueve todos los elementos que están sore c. M. Arens Autómts sore plrs infinits 50 / 73

Si pr q i,q j F se tiene que el tope de T i es igul l tope de T j, entonces d i = d j. 3.

5 Construcción de Sfr: Función de trnsición Psos 1 l 3: Son clculdos T 1,..., T n. Los siguientes psos clculn < 2 y (B 2,M 2 ): 4. Pr T i T j, se tiene que T i < 2 T j si lguno de los siguientes csos se cumple: Ti extiende T j, vle decir, T i = T j d 1 d k, donde cd d i es un color. Ti = PdQ y T j = PeR, donde d y e son distintos colores, y se tiene que PdQ y PeR ern stcks en α tles que PdQ < 1 PeR. Ti = PdQ y T j = PeR, donde d y e son distintos colores y e fue gregdo en el pso 2. M. Arens Autómts sore plrs infinits 51 / 73

6 Construcción de Sfr: Función de trnsición 5. B 2 y M 2 son el resultdo de plicr ls siguientes regls: Si un color c dej de ser invisile en el pso 3, entonces c B2. Si un color c es elimindo de todos los stcks en el pso 1 ó 3, entonces c M 2. M. Arens Autómts sore plrs infinits 52 / 73

dej de ser invisile en el pso 3, entonces c B2.

7 Construcción de Sfr: Ejemplo Antes de ver cuáles son los pres de ceptción, vemos como funcion l construcción en un ejemplo. Supong que Σ = {,} pr el siguiente utómt de Büchi:, 0 1 M. Arens Autómts sore plrs infinits 53 / 73

8 Construcción de Sfr: Ejemplo S 1 = B S 0 < S 1 (, ) S 1 = B S 0 < S 1 (, {B}) S 1 = S 0 < S 1 (, ) S 1 = WB S 1 < S 0 (, ) S 1 = WB S 1 < S 0 ({B}, {R}) S 1 = WB S 1 < S 0 (, {B}) M. Arens Autómts sore plrs infinits 54 / 73

9 Construcción de Sfr: Pres de ceptción Este es el pso fundmentl pr demostrr que l construcción de Sfr funcion: Lem A cept w si y sólo si existe un ejecución ρ de B sore w y un color c tles que: Existe estdo (S 1,...,S n,<,(b,m)) en Inf(ρ) tl que c B. Pr ningún estdo (S 1,...,S n,<,(b,m)) en Inf(ρ) se tiene que c M. Ejercicio: Demuestre el lem. M. Arens Autómts sore plrs infinits 55 / 73

Existe estdo (S 1,...,S n,<,(b,m)) en Inf(ρ) tl que c B. Pr ningún estdo (S 1,.

10 Construcción de Sfr: Pres de ceptción Cuáles son entonces los estdos finles de B? = {(V 1,R 1 ),...,(V 2n,R 2n )}, donde: V i R i = {(S 1,...,S n,<,(b,m)) Q 1 c i B}, = {(S 1,...,S n,<,(b,m)) Q 1 c i M}. M. Arens Autómts sore plrs infinits 56 / 73

11 Ejemplo: Pr de ceptción pr color B S 1 = B S 0 < S 1 (, ) S 1 = B S 0 < S 1 (, {B}) S 1 = S 0 < S 1 (, ) S 1 = WB S 1 < S 0 (, ) S 1 = WB S 1 < S 0 ({B}, {R}) S 1 = WB S 1 < S 0 (, {B}) M. Arens Autómts sore plrs infinits 57 / 73

12 Construcción de Sfr: Tmño Sólo nos qued estimr el tmño de B. Cuántos estdos tiene el utómt B? Número de estdos de B: Posiles stcks (n + 1) 2n Ordenes pr cd cominción de n stcks n! Pres (B,M) pr cd cominción de n stcks 2 2n 2 2n Totl: (n + 1) 2n... (n + 1) 2n n! 2 2n 2 2n = 2 O(n2 log n). } {{ } n veces M. Arens Autómts sore plrs infinits 58 / 73

Número de estdos de B: Posiles stcks (n + 1) 2n Ordenes pr cd cominción de n stcks n!

13 Construcción de Sfr: Tmño Mejor estimción: No es necesrio lmcenr por seprdo los n stcks; st con lmcenr dos funciones: un que indic que color está en el tope de cd stck: f : {1,...,n} {c 1,...,c 2n, }, y un que indic que color está inmeditmente jo en cd stck: g : {c 1,...,c 2n } {c 1,...,c 2n, }, Por qué st con ests dos funciones? M. Arens Autómts sore plrs infinits 59 / 73

..,n} {c 1,...,c 2n, }, y un que indic que color está inmeditmente jo en cd stck: g : {c 1,.

14 Construcción de Sfr: Tmño Nuev estimción: (2n + 1) n (2n + 1) 2n n! 2 2n 2 2n = 2 O(n log n). Teorem (Sfr) Pr cd utómt de Büchi A con n estdos, se puede construir un utómt de Rin determinist B con 2 O(n log n) estdos tl que L ω (A) = L ω (B). M. Arens Autómts sore plrs infinits 60 / 73

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