Estadística I Ejercicios Tema 3 Curso 2015/16

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1 Estadística I Ejercicios Tema 3 Curso 2015/16 1. En la siguiente tabla se representa la distribución conjunta de frecuencias (relativas) de 2 variables: calificación en Estadística I, y número de horas semanales dedicadas al estudio de la asignatura. # de h: \ nota: Suspenso Aprobado Notable Sobresaliente a) Obtén las dos distribuciones de frecuencias marginales (relativas). b) Obtén las siguientes distribuciones condicionadas: nota condicionada a cada uno de los distintos valores de número de horas de estudio. Lo mismo para número de horas de estudio condicionada a cada uno de los distintos valores de nota. c) Calcula el número de horas que deben dedicarse a la asignatura para alcanzar un notable. Y para sobresaliente? 2. Tenemos la siguiente distribución conjunta de frecuencias (relativas) correspondiente a observaciones bivariantes (X, Y ), donde X = número de hijos e Y = renta mensual (en euros). # de hijos \ renta: a) Obtén las distribuciones de frecuencias marginales. b) Obtén la distribución condicionada de Y X = 2. Calcular la media y la varianza condicionada. c) Obtén la distribución condicionada de X 1000 < Y < Calcular la media y la varianza condicionada. 3. La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable X, que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable Y, que refleja el número de compras semanales que han sido pagadas con tarjeta de crédito. Núm. compras por semana Núm. tarjetas a) Si se sabe que en el estudio han participado 300 personas, halla la distribución conjunta de frecuencias absolutas. b) Halla la distribución marginal de Y. Cuál es el número medio y la desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito? c) Obtén la distribución del número de tarjetas de crédito que poseen las personas de dicho estudio. Cuál es el número más frecuente de tarjetas de crédito que posee una de estas personas? d) Calcula la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. Cuál es la media de esta distribución? 4. Se dispone de la siguiente información sobre ventas de automóviles en 12 concesionarios: Comunidad Autónoma en la que se encuentra ubicado el concesionario (CA), precio medio de venta de cada modelo de automóvil en 2008 (en miles de euros) y cambio en el volumen de ventas del año 2007 al año 2008 en tanto por ciento. 1

2 CA Precio Medio Cambio Madrid Castilla y León Madrid Castilla-La Mancha Madrid Madrid Castilla-La Mancha Castilla-La Mancha Madrid Madrid Castilla y León Castilla-La Mancha a) Representa la tabla de contingencia para las variables CA y Cambio empleando cuatro grupos para los valores de la segunda variable. b) Indica las frecuencias condicionadas para la variable Cambio cuando la variable CA toma el valor Madrid. c) Construye ahora la tabla de doble entrada correspondiente a las variables Precio Medio y Cambio. Emplea 3 grupos para los valores de la variable Precio Medio, e indica los valores de las frecuencias marginales relativas de ambas variables (agrupadas de la manera indicada). d) Indica las frecuencias relativas de la variable Precio Medio condicionadas a que la variable Cambio tome valores entre 29.5 y e) Calcula el promedio de los valores de la variable Cambio condicionada a que Precio Medio esté entre 20 y Se ha realizado una encuesta a 80 hombres casados en la que se les ha preguntado por el número de hermanos (X) y el número de hijos (Y ) que han tenido. Los resultados son los que aparecen a continuación: a) Construye una tabla de doble entrada y representa la distribución mediante un diagrama de dispersión. b) Según el diagrama anterior, qué valor crees que tendrá la covarianza entre X e Y? Y el coeficiente de correlación lineal? Justifica tu respuesta. c) Calcula el coeficiente de correlación lineal. 6. Los siguientes datos representan el número de años de experiencia (x) y los beneficios anuales (y, en millones de euros) de varias companías: años experiencia beneficio a) Representa el diagrama de dispersión para estos datos. b) Obtén el coeficiente de correlación, r (x,y) c) La relación (lineal) es: positiva o negativa?, débil o fuerte? 7. Se han recogido los siguientes datos en una cierta ciudad, que representan el tamaño de la unidad familiar (x) y el número de paquetes de detergente consumidos por mes (y): tamaño familia # paquetes a) Determina el coeficiente de correlación r (x,y) entre x e y. La relación (lineal) es, positiva o negativa?, débil o fuerte? 2

3 b) Realiza una tabla de doble entrada que presente la distribución de frecuencias absolutas y de frecuencias relativas para estos datos. c) Calcula de nuevo el coeficiente de correlación lineal a partir únicamente de la tabla de frecuencias relativas y comprueba que se obtiene lo mismo que en el apartado a). 8. Los siguientes datos muestran el número de inventarios por año y el porcentaje de ventas de cinco compañías: Compañía # inventarios % ventas A 3 10 B 4 8 C 5 12 D 6 15 E 7 13 Determina el coeficiente de correlación r (x,y) entre el número de inventarios y el porcentaje de ventas. La relación (lineal) es: positiva o negativa?, débil o fuerte? 9. El dueño de una tienda de souvenirs sospecha que sus ventas semanales (y) están relacionadas con las fluctuaciones (semanales) del índice Dow Jones (x). Para corroborar su sospecha ha recogido los siguientes datos: Dow Jones ventas sem Dow Jones ventas sem a) Representa en un diagrama de dispersión las ventas semanales en función de la fluctuación (semanal) del Dow Jones. b) Qué puedes decir sobre la sospecha del dueño de la tienda? c) Crees que la asociación entre x e y significa que x afecta a y? Justifica tu respuesta. 10. (Examen Junio 2010) La siguiente tabla contiene información sobre la edad y la antigüedad, ambas medidas en años, de una plantilla de 75 trabajadores de una empresa (atención: se han dejado en blanco las casillas que contienen un cero): Antigüedad Edad [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 2 5 a) Indica el tipo de las variables Edad y Antigüedad. b) Especifica la distribución marginal de la variable Antigüedad. Cual es la antigüedad media para los trabajadores de esta empresa? c) Compara la dispersión de las variables Edad y Antigüedad (coeficiente de variación). d) Calcula la covarianza y correlación entre las variables Edad y Antigüedad. Interpretación. 11. (Examen Mayo 2012) La tabla siguiente contiene los resultados de una encuesta realizada en 1000 hogares españoles, donde se registraron los valores de (X, Y ), siendo X = número de coches en propiedad en 2011, con posibles valores 0, 1, 2, e Y = renta neta del hogar en 2011 (en miles de euros). Y [0, 50) [50, 100) [100, ) X (a) De qué tipo son las variables X e Y? (b) Obtener la frecuencia marginal absoluta de X. Calcular la media y cuasi-desviación típica de X. (c) Para los hogares con renta neta inferior a 50 mil euros, determinar el promedio y el número más frecuente de coches en propiedad. Se dispone de la siguiente información de la variable Y, respecto de los tres grupos que define X: 3

4 Resumen Estadístico para Y X = 0 X = 1 X = 2 Recuento Promedio Mediana Varianza Desv. Estándar Coef. de Variación % % % Mínimo Máximo Rango Primer Cuartil Tercer Cuartil Rango Intercuartílico (d) Identificar cada diagrama de caja con cada uno de los grupos X = 0, X = 1, X = 2. Justificar la respuesta. (e) Relacionar los histogramas I), II), III) con los diagramas de caja a), b), c) del apartado anterior. Justificar la respuesta. (f) Escogemos un hogar de cada uno de los tres grupos y observamos su renta (en miles de euros). Los valores son: 51 para X = 0; 62 para X = 1 y 75 para X = 2. Decidir y justificar cuál de estos tres hogares es más pobre en relación con los tres grupos que define la variable X. (Indicación: estandarizar). 12. Dada la siguiente tabla de doble entrada, correspondiente a una muestra de 20 valores de dos variables aleatorias, X e Y, selecciona la respuesta correcta: Y X a) La media muestral de la variable Y condicionada a X = 2 es 16/7. b) La frecuencia relativa marginal correspondiente a Y = 1 es 5/20. c) La frecuencia relativa de Y = 1 condicionada a X = 3 es 5/20. d) La media muestral de la variable X condicionada a Y = 1 es 16/ A partir de una muestra de valores de dos variables aleatorias X e Y, se ha obtenido que su covarianza es 30 y las desviaciones típicas son 5 y 8 respectivamente. Indica la respuesta correcta: a) No existe relación lineal significativa entre X e Y. b) En general, a mayores valores de X se observan mayores valores de Y. c) En general, a menores valores de X se observan menores valores de Y. d) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y es

5 14. Dada una muestra de tamaño 10 de dos variables X e Y, si la frecuencia marginal de X = 2 es 3 y la frecuencia marginal de Y = 3 es 2, cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. El par (2, 3) se ha observado 5 veces. II. El par (2, 3) se ha observado al menos 5 veces. III. El par (2, 3) se ha observado como mucho 2 veces. IV. La frecuencia relativa de Y = 3 es menor que la de X = 2. a) I solamente. b) III y IV solamente. c) IV solamente. d) II y IV solamente. 15. Cuál o cuáles de las siguientes expresiones son correctas? I. x i y j = x i y j II. III. x i y j = a) I, II y III. j=1 i=1 j=1 i=1 y j x i ( ) x i y j = x i b) I y II solamente. c) I y III solamente. d) II y III solamente. i=1 j=1 y j 5