13 Longitudes y áreas

Transcripción

1 13 Longitudes y áreas ACTIVIDADES INICIALES 13.I. La imagen muestra el patrón de un cuarto delantero de una falda. Fíjate en las medidas anotadas y calcula las dimensiones mínimas de un pedazo de tela rectangular con el que podamos confeccionar la falda. Recuerda que una falda tiene cuatro cuartos. 5 cm 18 cm 50 cm Con un pedazo de tela rectangular de cm podemos construir los cuatro cuartos de la falda como indica la figura, sobrándonos los dos paralelogramos blancos. 0 cm 13.II. Mide las longitudes principales de una de tus prendas preferidas y dibuja el patrón correspondiente que pueda servir de modelo para fabricar una parecida. Respuesta abierta 13.III. Qué significa cortar al bies, dobladillo, fruncir? Cortar al bies: cortar en sesgo respecto de la dirección del hilo. Dobladillo: pliegue que, como remate, se hace a la ropa en los bordes, doblándola un poco hacia dentro dos veces para coserla. Fruncir: recoger la tela haciendo en ella arrugas pequeñas. 13.IV. En parejas, elaborad una lista de 10 profesiones o actividades en las que medir sea una parte importante. Después, exponed la lista en clase y comparad con las que hayan hecho vuestros compañeros. Respuesta abierta 18 Unidad 13 Longitudes y áreas

2 ACTIVIDADES PROPUESTAS Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm 3 cm cm cm a) p = +,5 = = 13 cm b) p = = 9 cm 13.. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de 6 centímetros de lado. b) Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros. c) Un hexágono regular cuyo lado mide 7 centímetros. a) Perímetro = 6 = cm b) Perímetro = = = 1 cm c) Perímetro = 6 7 = cm Calcula el área de estas figuras, tomando como medida el cuadrado de la cuadrícula. a) b) a) La superficie contiene 13 cuadrados. Por tanto, el área es de 13 unidades. b) La superficie contiene 1 cuadrados. Por tanto, el área es de 1 unidades Calcula el área de la figura, utilizando como unidad de medida el triángulo rectángulo. La superficie contiene 1 triángulos. Por tanto, el área es de 1 unidades Actividad resuelta Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Por el teorema de Pitágoras: a = b + c a = a = 100 a = 100 = 10 cm Unidad 13 Longitudes y áreas 19

3 13.7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 centímetros, y un cateto, 8. Cuánto mide el otro? Por el teorema de Pitágoras: a = b + c 10 = 8 + c = c c = 36 = 6 cm Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 1 y 5 centímetros, respectivamente. Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d 1 cm d = d = 6 d = 6 = 5,10 cm 5 cm Halla la medida de la altura de estos triángulos. a) Equilátero, cuyo lado mide 10 centímetros. b) Isósceles, con la base de centímetros, y lados iguales de 3 centímetros. a) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. Por ser equilátero, AH es el semilado de la base: 10 = 5 cm. B Utilizando el teorema de Pitágoras: 10 cm h a = b + c 10 = 5 + c = c c = 75 = 8,66 cm A 5 cm H C b) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. B Por ser isósceles, AH es el semilado de la base: = cm. Utilizando el teorema de Pitágoras: 3 cm h a = b + c 3 = + c 9 = c c = 5 =, cm A cm H C Es posible que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mida centímetros, y cada cateto, 1 centímetro? Si el triángulo es rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a = b + c. Sustituyendo en la fórmula, se tendría: = y. Como la igualdad que se obtiene es falsa, es imposible que el triángulo sea rectángulo Actividad resuelta Calcula el área de estas figuras en las que las medidas vienen dadas en centímetros. a) b) 6 a) A = l A = = 16 cm b) A = b h A = 6 = cm 0 Unidad 13 Longitudes y áreas

4 Halla el área de un rectángulo cuya base mide 15 centímetros, y su diagonal, 17. Para calcular la altura utilizamos el teorema de Pitágoras: a = b + c 17 = 15 + c 89 5 = c c = 6 = 8 cm Área del rectángulo: A = 15 8 = 10 cm Un retal de tela mide 3,5 metros de largo por 1,75 de alto. Si la tela se vende a 1 euros el metro cuadrado, qué precio tiene el retal? 3,5 1,75 = 6,15 m 6,15 1 = 73, Halla el área de la figura descomponiéndola antes en rectángulos y cuadrados. 1 8 La figura se puede descomponer en un rectángulo y un cuadrado. A rectángulo = b h = 1 = 8 cm A cuadrado = l = = 16 cm A figura = 8 cm + 16 cm = 6 cm Actividad resuelta Halla el área de un paralelogramo de 6 centímetros de base y 5 milímetros de altura. Altura: h =,5 mm =,5 cm A = b h = 6,5 = 15 cm Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 7 centímetros, respectivamente. La base y la altura del triángulo rectángulo coinciden con sus catetos. A = b a = 73 = 10,5 cm Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 decímetros y 100 centímetros, respectivamente. Diagonal menor: d = 6 dm = 60 cm A = D d = = 3000 cm = 30 dm Actividad interactiva Actividad resuelta Unidad 13 Longitudes y áreas 1

5 13.. Calcula el área de estos trapecios. a) b) cm 1 cm 6 cm 9 cm 8 cm a) A = b) A = 10 cm B+ b h = 10 = 100 cm B+ b 9+ 6 h = = 30 cm Halla el área del siguiente trapecio. 3 cm cm 5 cm Se calcula la altura h, utilizando el teorema de Pitágoras: La base es: 5 3 = 1 cm Entonces: h + 1 = h = 16 1 = 15 h = 15 = 3,87 cm B + b A = 13.. Actividad resuelta 5+ 3 h = 3,87 = 15,8 cm *Halla el área de un decágono regular de 5 centímetros de lado y 7,69 centímetros de apotema. Se calcula el perímetro: p = 10 5 = 50 cm A = p a = 50 7,69 = 19,3 cm * Cuál es el área de un pentágono regular de 8 centímetros de lado y 6,81 centímetros de radio? Se calcula la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado. 6,81 = a + a = 6,38 16 = 30,38 a = 30,38 = 5,51 cm p a n l a Entonces, A = = = 5 8 5,51 = 110, cm El área del pentágono es de 110, cm. Unidad 13 Longitudes y áreas

6 13.7. Calcula el área de las siguientes figuras por cuadriculación, considerando que el lado de cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 centímetro. a) b) 1 cm 1 cm a) A = b) A = cuadrados 8 cm + = = = = + = + 6 = 8 cuadrados = 8 cm Halla por triangulación el área del trapezoide. 5 cm 10 cm 5 cm 8 cm Dividimos el trapezoide en dos triángulos como muestra la figura. Calculamos la altura del triángulo rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras: a = b + c 10 = 8 + c = c c = 36 = 6 cm Calculamos el área del triángulo T : A T 8 6 = = cm La altura calculada para el triángulo rectángulo es la base del triángulo isósceles, y para calcular la altura de este triángulo volvemos a aplicar el teorema de Pitágoras: a = b + c 5 = 3 + c 5 9 = c c = 16 = cm Por lo que el área del triángulo T 1 es: cm A T = = El área total del trapezoide es: A = A + A = + = T1 T 1 36 cm Calcula la longitud de una circunferencia de 9 centímetros de radio. L = π r = π 9 = 18π = 56,55 cm Halla el radio de una circunferencia de 3,96 centímetros de longitud T 1 c h T 8 3,96 L = π r = 3,96 r = = 7 cm π de radio Unidad 13 Longitudes y áreas 3

7 En un campo de fútbol, el radio del círculo central mide 9,15 metros. Calcula la longitud de la circunferencia que hay que pintar. L = π r = π 9,15 = 57,9 m El diámetro de una circunferencia mide 8 decímetros. Cuál es la longitud de un arco de 85º? d = 8dm= 80cm r = 0cm π r nº π 0 85º L = = = 59,3 cm 360º 360º Calcula la longitud de una semicircunferencia inscrita en un cuadrado de 8 metros de lado. Si el cuadrado tiene 8 metros de lado, el radio de la semicircunferencia para que esté inscrita en el cuadrado es de m. La longitud de la semicircunferencia es: π r L = = π = 1,57 m Actividad interactiva 8 m Actividad resuelta Cuál es el área de un círculo de 0 metros de diámetro? A =π r =π 10 =π 100 = 31,16 m Calcula el área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y 1,0 centímetros, respectivamente. A = π (R r ) = π (1,60 1,0 ) = π 1,1 = 3,5 cm Determina el área de la siguiente superficie. 10º A cm B cm C La figura está formada por un sector circular y un semicírculo. A sector π r nº π 10º = = = 16,75 cm 360º 360º π r π Asemicírculo = = = 6,8 cm A = 16,75 + 6,8 = 3,03 cm Actividad resuelta Unidad 13 Longitudes y áreas

8 13.0. Halla el área de la siguiente figura, sabiendo que todas las medidas están expresadas en metros. 1,5 7 La figura se puede descomponer en dos rectángulos y un triángulo. A rectángulo 1 = b h = 3 1,5 =,5 m A rectángulo = b h = 7 = 1 m 1 1,5 b h 1,5 A triángulo = = =3 m El área de la figura es: A =,5 m + 1 m + 3 m = 1,5 m 3 7 1, Calcula el área de la siguiente figura. 1 cm 1 cm cm cm La figura se puede descomponer en un rectángulo, un trapecio y dos semicírculos iguales. A rectángulo = b h = = 8 cm ( B+ b ) h ( + ) 1 A trapecio = = = 3cm π r π 1 A semicírculo = = = 1, 57 cm El área de la figura es: A = ,57 = 1,1 cm. cm 1 cm 1 cm cm cm 1 cm 13.. Actividad resuelta Calcula el área de la zona coloreada en verde. cm 3 cm Se observa que se trata de un círculo donde se ha quitado un cuadrado: A círculo = π r = π 3 = 8,6 cm A cuadrado = l = = cm Entonces, el área de la zona coloreada es: A = A círculo A cuadrado = 8,6 =,6 cm. Unidad 13 Longitudes y áreas 5

9 13.. Halla el área de la siguiente figura. 5º 5 cm 30º 1 cm La figura es un rectángulo al que le han quitado dos sectores circulares de 5 cm de radio y 5º y 30º, respectivamente. π 5 5º π 5 30º A = Arectángulo Asector 1 Asector = 1 5 = 60 9,8 6,5 = 3,6 cm 360º 360º Actividad interactiva Perímetros EJERCICIOS Halla el perímetro de las siguientes figuras. a) Un dodecágono regular de 10 centímetros de lado. b) Un rombo de 7 metros de lado. c) Un romboide cuyos lados iguales miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. a) Perímetro = 1 10 = 10 cm b) Perímetro = 7 = 8 cm c) Perímetro = = = 8 cm El perímetro de un cuadrado mide 36 centímetros. Cuánto mide el lado? L = 36 : = 9 cm El perímetro de un triángulo isósceles es de 5 decímetros. Si el lado desigual mide 0 decímetros, cuánto miden los lados iguales? 5 0 L = = 17 dm Teorema de Pitágoras Los siguientes datos, en centímetros, corresponden a las medidas de los lados de dos triángulos. Son triángulos rectángulos? a) 15, 0 y 5 b) 3, 6 y 8 Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a = b + c. a) = = 65 = 5 Se cumple el teorema de Pitágoras, luego es un triángulo rectángulo. b) = = 5 8 No se cumple el teorema de Pitágoras, luego no es un triángulo rectángulo. 6 Unidad 13 Longitudes y áreas

10 Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos. a) b) c) d) 7 cm 3 cm 6 cm 10 cm 6 cm 7 cm 9 cm cm Como los triángulos son rectángulos, aplicamos el teorema de Pitágoras: a) a = b + c 10 = + c 100 = c c = 96 = 9,80 cm b) a = b + c a = a = 5 a = 5 = 6,71 cm c) a = b + c a = a = 98 a = 98 = 9,90 cm d) a = b + c 9 = 6 + c = c c = 5 = 6,71 cm Halla la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 1 y 8 centímetros. La diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d = d = 15 d = 15 = 35 cm Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado, en centímetros, mide 6. La altura, c, es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: a = b + c 6 = 13 + c = c La altura mide: c = 507 =,5 cm Determina la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 5 centímetros, y el lado desigual, 60 milímetros. La altura es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: 60 mm = 6 cm a = b + c 5 = 3 + c 5 9 = c c = 16 = cm La altura mide cm Halla el perímetro de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. El triángulo AOB del rombo es un triángulo rectángulo. B Los lados AO y OB son la mitad de las diagonales. Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo AOB se obtiene el lado del rombo. a = 3 + a = a = 5 = 5 cm Perímetro = 5 = 0 cm A 3 O Unidad 13 Longitudes y áreas 7

11 Con los datos de la figura, calcula el lado del cuadrado. 6 cm El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado: d = 6 = 1 cm. Esta forma con los lados del cuadrado un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales. Utilizando el teorema de Pitágoras: a = b + c. A l 1 cm B 1 = l + l 1 = l l = 1 = 7 l = 7 = 8,9 cm El lado del cuadrado mide 8,9 cm. D l C Averigua la medida de los lados de esta figura. 16 cm 0 cm 15 cm El triángulo ADC es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: A B AD = 0 15 = 175 AD = 175 = 13,3 cm El triángulo ABD es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: AB = 16 13,3 = 81 AB = 81 = 9 cm Si M es el punto de corte de la altura del trapecio, BM = AD, el triángulo BMC es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: BC = BM + MC = AD + MC BC = 13,3 + (15 9) = = 11 D 16 cm 0 cm 15 cmm C BC = 11 = 1,53 cm Los lados de la figura miden 15, 13,3, 9 y 1,53 cm. Áreas de figuras planas Calcula el área de las siguientes figuras, cuyas longitudes vienen dadas en centímetros. a) b) a) A = b h = = 8 cm b) A = b a = = cm 8 Unidad 13 Longitudes y áreas

12 Halla el área de estas figuras. a) Un cuadrado de 6 decímetros de lado. b) Un romboide de 5 centímetros de base y 3 centímetros de altura. a) A = l A = 6 A = 36 dm b) A = b h A = 5 3 A = 15 cm Fíjate en el siguiente triángulo equilátero. 10 6,5 a) Halla el lado del triángulo. b) Calcula el área del triángulo. a) El triángulo ABC es equilátero; por tanto, el lado AC = AH = a. Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo AOH: B 10 = a + 6,5 a = 100,5 = 57,75 a = 57,75 = 7,6 cm O El lado del triángulo es: 7,6 = 15, cm. b) Para calcular el área, calculamos primero la altura del triángulo equilátero, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABH: A 15, = h + 7,6 h = 31,0 57,75 = 173,9 a = 173,9 = 13,16 cm 10 a 6,5 H C A = l h 15, 13,16 = = 100,0 cm Calcula el área por cuadriculación. El área es: A = = 10,5 unidades cuadradas Cuál es el área de las siguientes figuras, cuyas medidas vienen expresadas en decímetros? a) 5,5 b),5 3 5 a) A = b a = 5,5,5 = 1,38 dm b) A = B+ b h = 5+ 3 = 10,5 dm Unidad 13 Longitudes y áreas 9

13 13.6. Halla el área de estos polígonos regulares. a) b) 3,5 m 5,6 cm 3 cm m p a a) A = = n l a = 6 3,5 = m b) A = p a = 1 3 5,6 = 100,8 cm Determina el área de los siguientes paralelogramos. a) 7 cm b) 8 cm 1 cm 10 cm 8 cm a) Para conocer la altura del trapecio se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo BCM: 8 = h + 3 h = 6 9 = 55 a = 55 = 7, cm B+ b A = h = 7, = 63,0 cm b) Para conocer la diagonal menor del rombo, se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo ABO y se multiplica la altura por : 8 = h + 6 h = 6 36 = 8 a = 8 = 5,9 cm d = 5,9 = 10,58 cm A = D d 1 10,58 = = 63,5 cm 7 cm 10 cm B O B 8 cm 3 cm C M 8 cm A Calcula el área de estas figuras, teniendo en cuenta que las medidas vienen expresadas en centímetros. a) 5 b) a) Para calcular el área es necesario hallar primero la altura. El romboide se descompone en un trapecio y un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa y un cateto. Utilizando el teorema de Pitágoras: 5 = 3 + h h = 5 3 = 16 h = 16 = cm El área es: A = b h = 9 = 36 cm. b) Hay que hallar la altura del triángulo. Se observa en la figura que: La altura h es BH, cateto del triángulo AHB. AH es la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: 5 =,5 + h 5 6,5 = h h = 18,75 =,33 cm 9 5 h 1 9 = 3 B 5 h 5 1 El área del triángulo es: A = b a = 5,33 = 10,83 cm. A,5 H C 30 Unidad 13 Longitudes y áreas

14 *Determina el área de los siguientes polígonos por triangulación. a) b) cm cm cm 13 cm 5 cm 3 cm 1 cm cm 5 cm cm a) Se dibujan diagonales tal como se muestra en la figura. 3 El área del triángulo T 1 es igual al T : AT = A 6 1 T = = cm El triángulo T 3 tiene cm de altura, por lo que es igual al triángulo T, y su área es: AT = A 3 T = = cm El área total de la figura es: A = A + A = 6+ = 0 cm T1 T3 b) Se divide la figura en dos triángulos y un trapecio. La base del triángulo T 1 se calcula por Pitágoras: 13 = 1 + b b = = 5 h = 5 = 5 cm 1 5 El área del triángulo T 1 es igual a: = = 30 cm cm El altura del triángulo T se calcula mediante el Teorema de Pitágoras: 5 = + h 5 16 = h h = 9 = 3 A T 1 cm 3 El área del triángulo es: A T = = 6 cm Del trapecio, ya conocemos sus bases, y 5 cm, y su altura, 3 cm, por lo que su área + 5 será: A T = 3 3 = 13,5 cm El área total de la figura es: A = A + A + A = ,5 = 9,5 cm Longitudes de circunferencias y de arcos T1 T T En una circunferencia de centímetros de radio, dibuja un ángulo inscrito de 30 o. Cuál es la longitud del arco de circunferencia que abarca? 5 cm 1 cm cm T 3 T T T 1 cm 5 cm T cm T 1 T 3 cm 13 cm 3 cm 30º cm L π r nº π 30º L = = =,09 cm 360º 360º Calcula la longitud de una circunferencia de 18 centímetros de diámetro. r = 9 cm L = π r = π 9 = 56,55 cm La longitud de una semicircunferencia es de 9, centímetros. Cuánto mide el radio? 9, L =π r = 9, r = = 3 cm de radio π Unidad 13 Longitudes y áreas 31

15 Áreas de círculos y figuras circulares Calcula el área de un círculo sabiendo que su diámetro mide 8 centímetros. A = π r = π = 50, cm Cuál es el área de una corona circular cuyo radio mayor mide 8, centímetros y cuyo radio menor mide 5 centímetros? A = π (R r ) = π (8, 5 ) = π, = 13,63 cm Halla el área de estos sectores circulares. a) b) 5 cm 30 7 cm 150 a) A = π r nº 360º = 5 30º π 360º = 6,5 cm b) A = π r nº 360º = 7 150º π 360º = 6,11 cm Composición y descomposición de figuras Calcula el área de las siguientes figuras. a) c) e) b) d) f) a) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un semicírculo. π r π 3 A semicírculo = = = 1,13 cm A rectángulo = b h = 3 = 6 cm A figura = 1,13 cm + 6 cm = 0,13 cm 3 3 b) La figura se puede descomponer en un rectángulo y dos trapecios iguales. A rectángulo = b h = = 8 cm B + b A trapecio = h = = 16,5 cm A figura = 8 cm + 16,5 cm = 1 cm Unidad 13 Longitudes y áreas

16 c) La figura se puede descomponer en dos romboides y un sector circular. A romboide = b h = 16 8 = 18 cm π r nº π 10 10º A sector circular = = = 10,67 cm 360º 360º A figura = 18 cm + 10,67 cm = 360,67 cm d) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un romboide. A rectángulo = b h = 6 5 = 30 cm A romboide = b h = 6 = cm A figura = 30 cm + cm = 5 cm e) La figura se puede descomponer en un semicírculo y un rectángulo menos un semicírculo. π r π 3,5 A semicírculo = = = 19,3 cm A rectángulo = b h = 7 3,5 =,5 cm 3 7 3,5 π r π 1,5 A semicírculo = = = 3,53 cm A figura = 19,3 cm + (,5 cm 3,53 cm ) = 0, cm f) La figura se puede descomponer en un triángulo isósceles y un cuadrado al que se le ha quitado un semicírculo. 5 = 3 + h 5 9 = h h = 16 = cm 5 A triángulo = 6 h = 1 cm 3 A cuadrado = 6 6 = 36 cm π r π 3 A semicírculo = = = 1,1 cm A figura = 1 cm + (36 cm 1,1 cm ) = 33,86 cm ,5 6 Unidad 13 Longitudes y áreas 33

17 PROBLEMAS Iván quiere enmarcar una acuarela que le ha regalado una amiga. El cuadro tiene 3,5 centímetros de largo y centímetros de ancho. Si el metro de marco que ha elegido cuesta 15 euros, cuánto le costará enmarcar la acuarela? Se debe calcular la longitud del marco, que es el perímetro de un rectángulo. p = 3,5 + = 113 cm = 1,13 m El marco costará: 15 1,13 = 16, Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de la escalera está a metros del muro. Calcula la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera. Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que forma la escalera con el muro y el suelo, calculamos la altura: 5 = + h h = 1 =,58 m Andrea quiere pintar las paredes y el techo de su habitación. El largo del cuarto es de metros; el ancho, de 3; y la altura, de,5. Cuál es el área que tendrá que pintar? A techo = 3 = 1 m A paredes largo =,5 = 10 m A paredes ancho = 3,5 = 7,5 m A total = ,5 = 7 m Se quiere forrar el borde de una mesa circular de 90 centímetros de diámetro. Cuántos metros de material se necesitan? L = π r = π 5 = 8,7 cm Un carpintero construye marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que no se deformen, clava un travesaño en diagonal. Una de las ventanas mide 1, metros de base y metros de altura. El carpintero ha cortado un travesaño de 3 metros. Ha hecho lo correcto? El travesaño es la diagonal de un rectángulo. Por tanto, para que sea correcto, se debe cumplir el teorema de Pitágoras: 3 3 = 1, + 9 1, + Como la igualdad no es cierta, el travesaño que ha cortado no es de la longitud correcta. 3 Unidad 13 Longitudes y áreas

18 El padre de Carlos ha comprado dos alfombrillas para el ratón del ordenador. Una es cuadrada, de 19,5 centímetros de lado, y la otra, circular, de 11 centímetros de radio. Carlos cree que es mejor la circular porque ocupa mayor superficie, pero su padre opina que es mejor la cuadrada. Cuál de los dos tiene razón? A cuadrada = l = 19,5 = 380,5 cm A circular = π r = π 11 = 379,9 cm Aunque la diferencia es mínima, tiene razón el padre de Carlos Un terreno tiene forma de rectángulo, y otro, forma de cuadrado. El terreno rectangular tiene 3 metros de largo y 18 de ancho. Si los dos terrenos tienen el mismo perímetro, cuál tiene mayor superficie? El perímetro del rectángulo es 3 m + 18 m = 100 m. 100 El lado del cuadrado es l = = 5 m. El área del rectángulo es A rectángulo = 3 18 = 576 m. El área del cuadrado es A cuadrado = 5 5 = 65 m. El terreno cuadrado tiene mayor superficie Cuántos centímetros de alambre se necesitan para construir un rombo si sus diagonales miden 18 y 1 centímetros, respectivamente? Se calcula el lado del rombo que junto con la mitad de las diagonales forma un triángulo rectángulo, AOB, en el que el lado AB es la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras: l = = =117 l = 117 = 10,8 cm El perímetro del rombo es: p = l = 10,8 = 3,8 cm. Se necesitan 3,8 cm de alambre. A l 9 B 6 O Calcula el área de esta pared de ladrillos, sabiendo que las medidas vienen dadas en centímetros. El número total de ladrillos que forman la pared son 36. A ladrillo = b h = 3 11 = 53 cm A total = = 9108 cm El área de la pared es de 9108 cm. Unidad 13 Longitudes y áreas 35

19 13.8. Julia ha construido una casita de muñecas con unos trozos de madera que ha encontrado. El diseño de la casa no es regular por la forma que tenía la madera. Ahora la va a decorar y en el suelo pondrá un papel adhesivo que parece parquet. Cuántos centímetros cuadrados necesita para el suelo del dormitorio si su forma es la del dibujo? 13 cm cm 1 cm Trazando la diagonal de arriba abajo, el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos. Calculamos la medida de la diagonal mediante el teorema de Pitágoras: 13 = 1 + h h = 5 = 5 cm El área del triángulo T 1 es: 1 5 T1 = = 30 cm 3 El área del triángulo rectángulo T es: T = = 6 cm. El suelo de la habitación mide: A= T 1 + T = = 36 cm. 3 cm 13 cm 1 cm T 1 h T cm 3 cm Una fuente circular tiene alrededor un seto. Determina el área del seto si la fuente tiene metros de diámetro, y el seto, 1,5 metros de ancho. El área del seto es el de una corona circular. El radio del círculo menor es: r = = m. El radio del círculo mayor es: R = r + 1,5 = 3,5 m. A seto = π (R r ) = π (3,5 ) =,83 m El Ecuador terrestre tiene kilómetros de longitud aproximadamente. Si suponemos que la Tierra es una esfera perfecta, cuánto mide su radio? El Ecuador es una circunferencia máxima de la esfera terrestre, por lo que el radio del Ecuador es el mismo que el radio de la Tierra L = π r = 0000 r = = 6366, m de radio π 36 Unidad 13 Longitudes y áreas

20 Lola ha comprado una parcela de 0 por 50 metros que quiere dividir en tres zonas como muestra la figura: 75 metros cuadrados para la casa, 85 para el jardín, y el resto para la zona deportiva. Zona deportiva Jardín 0 m Casa 50 m Calcula las dimensiones que ha de tener cada zona. La zona deportiva tendrá una extensión de: = 900 m. El ancho de la zona deportiva será, por tanto: 900,5 0 = m. El ancho de la zona de la casa y del jardín será: 50,5 = 7,5 m. El largo de la zona de la casa será: ,5 = m. El largo del jardín será: 0 10 = 30 metros. Unidad 13 Longitudes y áreas 37

21 AMPLIACIÓN Cuál de las regiones sombreadas tiene área distinta de todas las demás? a) b) c) d) Área a = 1 3 = 3 Área c = 1 3 = 3 Área b = 1 3 = 3 Área d = 9 ( ) < 3 Respuesta d Si dos lados de un triángulo rectángulo miden 5 y 6 centímetros, respectivamente, cuántas posibilidades hay para la longitud del tercer lado? a) 0 b) 1 c) d) 3 Los lados dados pueden ser los catetos, con lo que la hipotenusa sería 61, o ser un cateto y la hipotenusa, con lo que el otro cateto sería 11. Así pues, hay dos posibilidades. Respuesta c En la figura se observan dos rectángulos: ABCD y DBEF. Cuál es, en centímetros cuadrados, el área del rectángulo DBEF? a) 10 c) 1 b) 16 d) 1 D 3 cm F C E A cm B El triángulo BCD ocupa la mitad de la superficie del rectángulo ABCD. Pero también ocupa la mitad de la superficie del rectángulo BDFE, pues tiene igual base, BD, e igual altura. Así pues, ambos rectángulos tienen igual área, 1 cm. Respuesta d Las circunferencias de la figura son tangentes entre sí como se observa. Si los radios de las pequeñas son de y 3 cm, cuánto mide, en cm, el área sombreada? a) π c) 9π 3 b) 6π d) 1π El radio de la circunferencia mayor es 5, pues su diámetro es 10. Así pues, área sombreada = π 5 (π 3 + π ) = 1π 38 Unidad 13 Longitudes y áreas

22 AUTOEVALUACIÓN 13.A1. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura. 1 cm Perímetro = = 3,31 cm Área = = 0 cm 13.A. Qué longitud debe tener una escalera para que alcance la altura de 10 metros, si su base se apoya a 3 metros de la pared? La escalera forma con el muro y el suelo un triángulo rectángulo en el que ella es la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras: e = e = 109 e = 109 = 10, m. La escalera debe tener una longitud de 10, m. 13.A3. *Calcula el área de estas figuras planas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) 3,11 a) A = 6 b a = 6 = 1 cm b) A = 3 p a = n l a = 7 3 3,11 = 3,66 cm 13.A. Calcula la longitud de una semicircunferencia sabiendo que el diámetro mide decímetros. L = π r = π 1 = 75, dm 13.A5. Halla el área de una corona circular de 8, centímetros de radio mayor y 5 centímetros de radio menor. A = π (R r ) = π (8, 5 ) = 13,71 cm Unidad 13 Longitudes y áreas 39

23 13.A6. Calcula el área de las siguientes figuras. a) b) 9 cm 10 cm 1,5 cm π r nº π 9 10º a) A sector circular = = = 8,78 cm 360º 360º b) La figura es la mitad de una corona circular de radio mayor cm y radio menor 0,5 cm. A = π ( R r ) π = ( 0,5 ) = π 3,75 = 5,89 cm 13.A7. Averigua el área de estas figuras. a) 6, cm b) 8,5 cm 13,5 cm,1,1 8,5 cm 3, 3, 3,,5 cm 10, cm 9,6 cm a) La figura está formada por un rectángulo y un trapecio isósceles. A rectángulo = b h = 10, 8,5 = 86,7 cm B+ b (,1+ 10, +,1) + 6, A trapecio = h = 8,5 = 10, 8,5 = 88, cm El área de la figura es: A = A rectángulo + A trapecio = 86,7 + 88, = 175,10 cm b) Esta figura está formada por un trapecio isósceles y un triángulo. B+ b 9,6 + 3, A trapecio = h =,5 = 8,8 cm A triángulo = b a = 9,6 13,5 = 6,8 cm El área de la figura es: A = A trapecio + A triángulo = 8,8 + 6,8 = 93,6 cm. 13.A8. Un solar cuadrado mide 1600 metros cuadrados. Cuántos metros mide su lado? l = 1600 = 0 m 0 Unidad 13 Longitudes y áreas

24 PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Imagina y construye > Patrones de cabeza Vamos a tratar de diseñar y fabricar un sombrero de mago. Actividad manual siguiendo los pasos indicados en el libro Con las medidas que has tomado, dibuja el patrón del sombrero de Dumbledore. r 10 cm.π.r Usando el patrón que has hecho, construye las piezas, decóralas y fabrica con ellas el sombrero. Actividad manual 13.. Enumera las figuras geométricas que has utilizado para fabricar los dos sombreros y calcula el área total que ocupa cada una de ellas. Sombrero de mago: Sector circular: a = Corona circular: a = π ( R r corona ) Sombrero de Dumbledore: Tapa: a = π r Lateral: a = h b = h π r π rsector nº π rsector rcorona = = π rsector r 360º r sector corona Muchas profesiones y actividades culturales y folclóricas tienen asociado un sombrero típico. Busca tres de estas profesiones o actividades y describe, usando términos geométricos, sus sombreros. Sombrero de cocinero: cilindrico Sombrero de nazareno: cónico Sombrero de policia británico: semiesfera Sombrero de guardia civil (tricornio): similar a un prisma triangular Hay sombreros que se han hecho famosos en otras películas. Podrías citar alguna otra película o personaje en el que el sombrero sea un elemento distintivo? Pon en común con tus compañeros esta información y haced una lista. El sombrero de El Sombrerero Loco en Alicia en el País de las Maravillas. El sombrero de Indiana Jones. El sombrero del Inspector Gadget. El bombín de Charlot. El casco de Asterix o él de Obelix. Los gorros de los pitufos. Unidad 13 Longitudes y áreas 1

25 Interpreta y construye > La parcela Joaquín desea construirse un chalet y está buscando anuncios de parcelas urbanizables. Hoy ha encontrado estos cuatro anuncios: 1. Solar cuadrado en urbanización de 30 años de antigüedad, situada a 10 km del casco urbano. 88 m, Ocasión: urbano + rústico 15 dam Terreno urbano llano de 9 17 m. Muy buenas vistas, a 0 minutos del centro. Acometidas de saneamiento, agua y electricidad pegadas a la finca.. Se vende parcela de 500 m en terreno urbanizable. Luz y agua en el terreno. Bien comunicado. Ideal para construir casa Terreno 0 1 m Todos los servicios, agua y luz. Vista panorámica. A 5 minutos de la estación y a 5 del centro Calcula cuál es el precio de un metro cuadrado de terreno en cada caso ,39 88 = /m = /m = /m ,67 0 = /m 13.. En el primer anuncio, cuánto mide aproximadamente el lado de la parcela? Mide 88, aproximadamente 9 m En el anuncio que dice ocasión, cuál es la superficie del terreno urbanizable? 9 17 = 93 m 13.. Qué parcela elegirías? Analiza pros y contras. Actividad abierta Unidad 13 Longitudes y áreas

26 Observa y calcula > El teorema de Pick Halla el área de los siguientes polígonos. 1. A = = cm.. A = = cm. 3. A = = cm Unidad 13 Longitudes y áreas 3

27 Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, josé Santos, Estudio Haciendo el león Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de Página fotocopiable. Ediciones SM Impreso en España Printed in Spain