Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).

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1 ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros C y E están de acuerdo en los mismos candidatos B, C y D. El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros. Al candidato E no le prefiere ninguno de los otros consejeros. De hecho, es el único que no se considera idóneo para el cargo. Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados. olo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente.... egún los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa por lo menos eso piensan sus compañeros del consejo. Página 49 Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos que hay el martes desde el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama. B B B B 3 B 4 C C C C C B 3 B 0 B 3 0 B 4 0 Unidad. Álgebra de matrices

2 Una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y llegar el martes a C. A B A A A 3 B B B 3 B 4 En total tenemos 5 posibles formas de ir de A a C. Continúa tú, rellenando raonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta. Página 5. Escribe las matrices traspuestas de: A = B = 3 5 C = D = E = F = A t = B t = C t = D t = E t = F t =. Escribe una matri X tal que X t = X. Por ejemplo, X = C C A 5 A A Unidad. Álgebra de matrices

3 3. Escribe una matri que describa lo siguiente: Página 5. ean las matrices: A = B = C = D = 4 3 Calcula E = A 3B + C D E = + = Página 55. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices: A = B = C = D = A C = ; A D = ; B A = C B = 39 3 ; D C = ; D D = Unidad. Álgebra de matrices 3

4 3. Intenta conseguir una matri I 3 de dimensión 3 3 que, multiplicada por cualquier otra matri A3 3, la deje igual. Es decir: A I 3 = I 3 A = A La matri I 3 se llama matri unidad de orden 3. Cuando la tengas, sabrás obtener una matri unidad de cualquier orden. I 3 = 0 Página 56. Comprueba las propiedades, 3 y 4 anteriores, referentes al producto de números por matrices, tomando: a = 3, b = A = B = A = A + 6A = = A = 3A + 6A A + B = 3 = A + 3B = = A + B = 3A + 3B 4 A = = A Página Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices: A = B = C = D = A B + C = A = A B + A C = = Unidad. Álgebra de matrices 4

5 A B + C = A B + A C B + C D = D = B D + C D = + = 48 B + C D = B D + C D 60 Página 59. Calcula, utiliando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: a b c a La inversa es b 0 La inversa es : 0 c / / / / No tiene inversa. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: a b c a ª ª ª No tiene inversa 3 0 b 0 0 Unidad. Álgebra de matrices 5

6 ª 3-ª 3-ª La inversa es c 3-ª 5 3-ª 3-ª : 5 / / 0 /5 3/5 /5 La inversa es /5 3/5 /5 : 0 3-ª 0 3-ª : / 0 / 3 0 / / /5 /5 /0 /5 /5 /0 3-ª / ª / 0 / 005 / /5 /5 /0 Página 6 3. Calcula x, y,, t para que se cumpla: x y = 5 t 0 x y = x y t = 5 x = 5 x = y t = 3 y = = 0 = 0 t = t = x y olución: = 5/ 3/ t t a A B + C = A B + A C b A + B C = A C + B C c A B C = A B C t Para las matrices: A =, B =, C =, comprueba: Unidad. Álgebra de matrices 6

7 3 5 a A B + C = A = A B + A C = = b A + B C = C = A C + B C = + 5 = c A B C = A = A B C = C = 5 5. ean A = y B =. Encuentra X que cumpla: 3 X A = 5 B X = 5B + A = = X = 5 7/ Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión que cumplan: 4 A + B = A B = A + B = umando: 3A = A = A B = 0 B = A = 0 = olución: A =, B = 0 7. Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen: 5 4 X 3Y = y X Y = X 3Y = X 3Y = X Y = X + Y = A B + C = A B + A C A + B C = A C + B C A B C = A B C Unidad. Álgebra de matrices 7

8 umando: Y = Y = X = + Y = = olución: X =, Y = Averigua cómo ha de ser una matri X que cumpla: X = X x y X = X = x y = x x + y t + t X = x y = x + y + t x = x + x + y = y + t = + t = t x y olución: X = 0 x 9. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas: 4 7 A = B = C = a A B + A C b A B C c A B C a A B + A C = = b A B C = = c A B C = = 3 0. Dada la matri A = comprueba que A I = 0. A I 0 = 0 = 0 0. Halla la inversa de las matrices: a b t 0 0 x = t = t t han de ser iguales, donde x e y son números reales cualesquiera. Unidad. Álgebra de matrices 8

9 7 3 x y a = 0 7x + 3 7y + 3t = 0 Por tanto, la inversa es. 3 x y b = 0 3x 3y t = x + 3 = x + = 0 t t 3 7 8x + 5 8y + 5t x = = x + y + t 7y + 3t = 0 y + t = y = 3 t = 7 3x = 8x + 5 = 0 x = 5 = 8 3y t = 0 8y + 5t = y = t = Por tanto, la inversa es. Página 64. Calcula el rango de las siguientes matrices: A = B = C = D = A = B = C = D = ª ª ran C = + 3-ª 3-ª + 4-ª 3-ª 4-ª + 3-ª ª 3-ª ª ran D = 3 ran A = 3 ran B = 3-ª + 4-ª 4 Unidad. Álgebra de matrices 9

10 Página 65. Expresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones: x y 3 t = 9 x + = 0 x y = 7 y + + t = a x +3y = 7 b c x y = y t = 6 3x + 4y + = 3 3x y + t = 5 a x y = 7 A X = C b x y = 7 x = 7 c x + = 0 x +3y = 7 3x + 4y + = 3 x y = x y 3 t = 9 y + + t = y +3 + t = 6 3x y + t = A X = C y { { { 3 { x y t { = { A X = C. Comprueba que las inversas de las matrices asociadas a los sistemas del ejercicio anterior son las que damos a continuación: 3/ 3/ a b c / 3/ Resuelve con ellas, matricialmente, los sistemas del ejercicio. a Comprobamos que es la inversa: 3/ 3/ / 3/ Resolvemos el sistema: 3/ 3/ 0 7 / 3/ 3 A A = = = I X = A C = = 5 olución: x =, y = 5, = 9 b Comprobamos que es la inversa: /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 0 B B = = = I Unidad. Álgebra de matrices 0

11 Resolvemos el sistema: X = B /3 /3 C = 7 = olución: x =, y = 5 c Comprobamos que es la inversa: 6 3 C C 3 5 = Resolvemos el sistema: X = C D = /3 / olución: x = 0, y =, = 5, t = = = 0 0 = I = Página 70 EJERCICIO Y PROBLEMA PROPUETO PARA PRACTICAR Operaciones con matrices Dadas las matrices A = y B =, calcula: a A + 3B b A B c B A d A A B B 3 4 7/ a b c d 9 0 = / Efectúa el producto = a on iguales las matrices A = y B = 3? b Halla, si es posible, las matrices AB; BA; A + B; A t B. 3 0 Unidad. Álgebra de matrices

12 a No, A tiene dimensión y B tiene dimensión. Para que dos matrices sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término. 4 6 b A B = ; B A = 3; A + B no se puede hacer, pues no tienen la misma dimensión. 6 9 A t B = 3 3 = Dadas las matrices: A = y B = comprueba que: a A + B t = A t + B t b 3A t = 3A t a A + B t = t = A t + B t = 0 + = b 3A t = t = A t = 3 0 = Calcula 3AA t 3 I, siendo A = 5. 3A A t I = = = 30 5 = 0 = Dadas las matrices A = y B =, comprueba que A B t = B t A t. 3 5 A B = A B t 3 = 5 B t A t = = Calcula, en cada caso, la matri B que verifica la igualdad: 3A t = 3A t A + B t = A t + B t A B t = B t A t Unidad. Álgebra de matrices

13 a + B = b 3B = a B = 3 5 = b 3B = 3B = = 4/3 B = Matri inversa 8 Comprueba que la matri inversa de A es A : 3 6 A = 0 A = A A = I Cuál es la matri inversa de la matri unidad? La matri unidad, I. 0 Halla la matri inversa de A = y la de B =. A = A 0 = / / B = 4 B 0 = Con las matrices A y B del ejercicio anterior y sus inversas, A y B, comprueba que: a A + B A + B b A B = B A a A + B 0 = = 4 / 0 A + B = 3/4 b A B 3 8 = = 0 /8 3/8 B A 0 = 0 = / / / /4 0 / / 3 A + B A + B /8 3/ A B = B A Unidad. Álgebra de matrices 3

14 Halla la matri inversa de las siguientes matrices: A = 0 0 B = / Por tanto: A = / Por tanto: B = 0 Rango de una matri 3 Di cuál es el rango de las matrices A y B: 0 A = 0 0 B = /3 : 3-ª : 3 3-ª ran A = 3 ya está en forma escalonada / B = ª ran B = ª 4 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.I.: 3 3 A = B = C = D = ª A = 3-ª + Unidad. Álgebra de matrices 4

15 3 7 4 ran A = 3 Hay 3 columnas linealmente independientes en A B = Hay columnas linealmente independientes en B. C = ª 3 3-ª 4-ª 3ª + 4ª ª ª 4ª ran C = ran B = Hay dos columnas linealmente independientes en C. D = 3-ª 4-ª ran D = 4 Las cuatro columnas de D son linealmente independientes. Ecuaciones con matrices 5 Halla las matrices X e Y que verifican el sistema 4 X + Y =, X Y = X + Y = 0 X Y = 0 3 /3 3X = X = 3 0 umando las dos ecuaciones, queda: 0 Unidad. Álgebra de matrices 5

16 Despejamos Y en la ecuación: /3 /3 Y = X = = 0 /3 0 0 / Por tanto, X = y Y = Calcula X tal que X B = A B, siendo: 0 A = 0 B = 0 0 X = A B + B A B = 0 0 B = 7 Determina los valores de m para los cuales m 0 X = verifique X 5 X + I = m 0 0 X X + I = + = m = 0 5 m 0 m + = 5/m + 0 = X = m m Tiene que cumplirse que: m 5 m + = 0 m 5m + = 0 5 ± ± 3 m = = 4 4 = m = m = Hay dos soluciones: m = ; m = x x 3 8 Resuelve: = x x 3 = 3 y 3 y y y Unidad. Álgebra de matrices 6

17 x y 3x + y 3 + x 3y = x y = 3 + x 3x + y = 3y x + y = 3 3x y = 5 5 umando: 4x = 5 x = y = 3 x = 3 + = olución: x = ; y = Página 7 PARA PRACTICAR 9 Dada la matri A =, calcula A, A 3,, A 8. A = A A = ; A3 = A A = = I; A4 = A 3 A = I A = A 4 4 A 8 = A = A 3 4 A = I 4 A = I A = A = Comprueba que A = A I, siendo: A = de orden 3. Utilia esa igualdad para calcular A A = A A = A I = 4 0 = Calculamos A 4 : A 4 = A = A I = A I A I = 4A A A + I = = 4A I 4A + I = 8A 4I 4A + I = 4A 3I = e I la matri unidad = = = Determina a y b de forma que la matri A = verifique A = A. a b A = A I Unidad. Álgebra de matrices 7

18 A = A A = = 4 a b a b a b a + ab a + b 4 a b a + ab a + b A = A = Por tanto, a = y b =. a b 4 a = a = b = b = a + ab = a 4 = a + b = b + = Calcula A n y B n 0 siendo: A = 0 B = /7 /7 /7 /7 /7 /7 A = A A = 0 = 0 /7 /7 /7 /7 3/7 3/7 A 3 = A A = 0 = 0 n/7 n/7 Así, A n = 0. Lo probamos por inducción: Acabamos de comprobar que para n = primer caso relevante, funciona. uponemos que es cierto para n : n /7 n /7 /7 /7 n/7 n/7 A n = A n A = 0 0 = 0 B 0 = = = B 3 = B 0 B = = = Por tanto, B n 0 = 0 3 n. Lo probamos por inducción: Igual que en el caso anterior, para n = se cumple. uponemos que es cierto para n : B n = B n 0 B = = n n 0 3 /7 / Dada la matri A =, halla una matri B tal que A B =. Unidad. Álgebra de matrices 8

19 0 3 A B = A AB = A B = A Calculamos A : A = 3; A = Por tanto: B = = = Demuestra después que la matri I + A + A es la matri inversa de I A. 4 Dada la matri A =, prueba que A3 es la matri nula Multiplica I + A + A por I A A = ; A3 = A A = Veamos que I + A + A es la inversa de I A: I + A + A I A = I A + A A + A A 3 = I A 3 = I 0 = I. Como I + A + A I A = I, entonces I + A + A es la inversa de I A. 5 Dada la matri A = comprueba que A + I = 0 y expresa A co mo combinación lineal de A e I A + I = = A + I = = Expresamos A como combinación lineal de A e I: A + I = 0 A + I A + I = A + A + A + I = A + A + I = 0 A = A I 6 a Comprueba que la inversa de A es A : 5 0 /5 /5 0 A = A = 3/5 6/ b Calcula la matri X que verifica XA = B, siendo A la matri anterior y B = 3. Unidad. Álgebra de matrices 9

20 a A A = I b XA = B X A A = B A X = B A Por tanto: X = 3 3/5 6/5 = 7 7 Determina las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial: A B = A + B = A B = A + B = Multiplicando por la ecuación y sumando, obtenemos: A = 7 4 A = 3 Despejamos B de la ecuación: B = = olución: A = 3 ; B = Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k : M = N = 3 P = 6 4 k Q = 3 0 k k M = 4 ran M = 3 para cualquier valor de k. + 3-ª 4 N = k = 0 si k = k /5 / ª 5 0 k k + + k k Unidad. Álgebra de matrices 0

21 i k =, ran N =. i k, ran N = P = 6 4 k ª : k i k = ran P = i k ran P = 3-ª k k Q = k + 3-ª k ª 3 i k = ran Q = i k ran Q = 3 9 Halla el valor de k para que el rango de la matri A sea A = A = k ª 0 k 7 0 k 7 3-ª + Para que ran A =, ha de ser k = 0; es decir, k =. 0 k 0 30 Halla X e Y sabiendo que 5X + 3Y = y 3X + Y = X + 3Y = 5X 9Y = X + Y = 5X + 0Y = X = Y = = X = olución: X = ; Y = umando: Y = 0 3 Unidad. Álgebra de matrices

22 3 3 Dada la matri A = halla dos números reales m y n tales que A + ma + ni = 0. 0 A + ma + ni = 0 + m + n = m + n + m 0 0 = + m 3 + 3m + n olución: m = ; n = m + n = 0 n = 0 + m = 0 m = + m = 0 m = 3 + 3m + n = 0 n = 0 3 Determina, si es posible, un valor de k para que la matri A ki sea la matri nula, siendo: 0 A = 0 0 k 0 0 k A ki = 0 0 k 0 = k 3 k k 3 k A ki = = = k = k = 3 k k 3 k 3 k k k 4k 4 k k 4k 4 k k k 6k Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y cada una de ellas de tres modelos: E económico, M medio y L lujo. Cada mes produce 0 modelos E, 5 M y 0 L de butacas; modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 8 modelos E, 0 M y L de sillas. Representa esta información en una matri y calcula la producción de un año. BUTACA MECEDORA ILLA E M L Cada mes: E M L Cada año: 8 5 = 8 BUTACA MECEDORA ILLA Unidad. Álgebra de matrices

23 Página 7 34 En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a Escribe una matri que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b Calcula la matri que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. P G C B L3 a ; P L4 P G C B C B L3 L3 b P L4 = L4 G 35 Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes T y opacas O. De cada tipo se hacen cuatro modelos: M, M, M 3 y M 4. T O M Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas M de cada tipo y modelo. M M El porcentaje de bombillas defectuosas es el % en el modelo M, el 5% en el M, el 8% en el M 3 y el 0% en el M 4. Calcula la matri que expresa el número de bombillas transparentes y opacas, buenas y defectuosas, que se producen. D B L5 L5 G T O M M M 3 M 4 M ,0 0,05 0,08 0, M = 0,98 0,95 0,9 0,9 M M L5 T O T O 96 60,9 D , B D B 36 Escribe en forma matricial y resuelve, si es posible, utiliando la matri inversa: x y = a b x + y = 7 x + = 50 y = 34 y + = 57 Unidad. Álgebra de matrices 3

24 a x y = x = x + y = 7 A X = B Calculamos la inversa de A: : 3 /3 /3 /3 /3 A = : 3 Resolvemos el sistema: y /3 /3 7 { { 0 3 /3 /3 0 3 b X = A B = = olución: x = 5, y = x + = 50 y = 34 y + = 54 /3 /3 /3 /3 x 50 0 y = A X = B Calculamos la inversa de A: { A = 0 3-ª 3-ª Resolvemos el sistema: 3-ª 0 50 X = A B = 0 34 = 34 0 olución: x =, y = 34, = Escribe en la forma habitual los sistemas: a = b 3 x x 5 3 = 5 0 y 0 7 y 5 a 3x y = x + 5y = 0 7y = b x + 5y 3 = x + y + 5 = Unidad. Álgebra de matrices 4

25 38 Dada A = 0, calcula, si es posible: a Una matri X tal que XA = 0. b Una matri Y tal que YA =. Calculamos la inversa de A: ª + 3-ª 5 3-ª 3-ª : 3-ª Por tanto, A = ª ª a X = 0 A = 3 b Y = A = 0 x 0 39 Calcula los valores de x para que la matri A = A 6A + 9I = A x 0 x 0 = = x 0 0 x 0 x 0 x 0 x verifique la ecuación x 0 0 x x 0 0 x 0 x 6x x 6x +9 A 6A +9I = 6 +9 = = 0 0 = x 6x + 9 = 0 x 3 = 0 x = Unidad. Álgebra de matrices 5

26 40 Resuelve la ecuación matricial A = AX + B siendo A = y B =. Calculamos la inversa de A: A = + Resolvemos la ecuación: A + AX + B = 0 AX = B A = 0 = X = A = 0 = 3 4 Dada la matri A = A xa yi = 0. A 3 3 = = halla el valor de x e y para que se cumpla la igualdad A 9 xa yi = x 3 y 0 = x y 9 3x = x 5 x y x y = 0 y = x = 8 9 3x = 0 x = x = 0 x = 3 5 x y = 0 y = 5 x = 8 olución: x = 3, y = 8 / 0 / 4 Dada A = : a Calcula A + A b Resuelve el sistema A 5 =. a A = / / 0 = / 0 / 0 0 A + A = / 0 + / 0 = 3/0 0 / x y 0 5 / / / 3/0 0 Unidad. Álgebra de matrices 6

27 b A 3 = A A = / / 0 = 3/ 0 A 5 = A A 3 = / 0 3/ 0 = / 0 Calculamos la inversa de A 5 : / / 0 A5 = / 0 Resolvemos el sistema: x 0 0 y = / 0 5 = 5 olución: x = 0, y = 5, = 9 x 43 ean las matrices A =, B = x, C =, D = 0 y : 3-ª : a abiendo que A B + C = 3D, plantea un sistema de ecuaciones para determinar x, y,. b Encuentra, si es posible, una solución. x a A B + C = x + y x + y + x + = x y + = x y + y 3 3D = 3 0 = 0 /3 / / x / / / x 3-ª / 3/ 9 x + y / / / /3 x + y Igualamos: x + y + = 3 x y + = 0 x + y = x 3 En forma matricial: y = 0 M X = N { { Unidad. Álgebra de matrices 7

28 b Intentamos resolver el sistema en forma matricial. Para ello, calculamos la inversa de M: / 3/ + 3/ 3-ª 3-ª 3-ª Luego, la matri M no tiene inversa. Como ran M = y se nos anula la segunda ecuación, tomamos las otras dos para resolver el sistema: x + y + = 3 x + y = + y = 4 y = x = 3 y = olución: λ,, λ para todo λ Á. 44 Calcula una matri X que conmuta con la matri A, esto es, A X = X A, siendo A =, y calcula A + A X. a c b d X = a + c = a b + d = a + b d = c + d a b a + c b + d A X = = c d c d a b a a + b X A = = c = 0 d = a c = 0 c d a b X =, con a, b Á 0 a A + A X = + = + = 0 a 0 a + a + b a = + a a b Observamos que la matri que hemos obtenido también es de las que conmutan con A. c c + d a han de ser iguales. b a 45 ean A y B las matrices dadas por: 5 0 a b 0 A = 5 0 B = c c 0 Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b, c para que se verifique A B = B A. Unidad. Álgebra de matrices 8

29 5 0 a b 0 5a + c 5b + c 0 A B = 5 0 c c 0 = a + 5c b + 5c 0 a b a + b a + 5b 0 B A = c c = 7c 7c 0 Para que A B = B A, debe cumplirse que: 5a + c = 5a + b 5b + c = a + 5b a + 5c = 7c b + 5c = 7c c = b c = a 7c = 7c 7c = 7c a = b = c 46 Dada la matri: A = prueba que se verifica A3 + I = 0 y utilia esta igualdad para obtener A 0. Ha A 0 = A 3 3 A y ten en cuenta que A 3 = I A = 4 4 ; A3 = 0 0 A 3 + I = Obtenemos A 0 teniendo en cuenta que A 3 + I = 0 A 3 = I : Página A 0 = A 3 3 A = I 3 A = I A = A = Una matri cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. 3/5 x 0 Calcula x e y para que esta matri A sea ortogonal: A = y 3/5 0 Ha A A t = I. i A = A t, ha de ser A A t = I; entonces: Unidad. Álgebra de matrices 9

30 3/5 x 0 3/5 y 0 9/5 + x 3/5y 3/5x 0 A A t = y 3/5 0 x 3/5 0 = 3/5y 3/5x y + 9/5 0 = x = x 6 4 = x = ± y x = 0 y = x y = x 5 5 y 9 + = y 6 = Hay dos soluciones: x = ; y = x = ; y = Resuelve la ecuación matricial: X = 4 4 = ; 0 = 3 4 Por tanto: X = X = = olución: X = = = / / / CUETIONE TEÓRICA 49 Justifica por qué no es cierta la igualdad: A + B A B = A B cuando A y B son dos matrices cualesquiera. A + B A B = A AB + BA B Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB = BA; y, en general, no es cierto para dos matrices cualesquiera. 50 ea A una matri de dimensión 3: a Existe una matri B tal que A B sea una matri de una sola fila? b Y para B A? Pon un ejemplo para cada caso, siendo: A = 0 Unidad. Álgebra de matrices 30

31 a No; A B tendrá filas necesariamente. Por ejemplo, tomando A = y B =, tenemos que: A B = 0 b í; si tomamos una matri de dimensión ha de tener dos columnas para poder multiplicar B A, el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo: 0 i A = y B =, entonces B A = ean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño. i A y B son simétricas, lo es también su producto A B? i la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contraejemplo. i A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su producto, A B, no tiene por qué ser una matri simétrica. Por ejemplo: i A = y B = 3 0 A B = 5 no es simétrica ean A = a ij m, n, B = b ij n, p, C = c ij q, r. Qué condiciones deben cumplir p, q y r para que se puedan efectuar las siguientes operaciones? a A C B b A B + C a n = q = r b n = q; p = r 53 Una matri de 3 filas y 3 columnas tiene rango 3. a Cómo puede variar el rango si quitamos una columna? b i suprimimos una fila y una columna, podemos asegurar que el rango de la matri resultante será? a Tendrá rango dos. b No. Podría ser dos o uno. Por ejemplo: i en A = suprimimos la primera fila y la tercera columna, queda 0 0, que tiene rango A tenía rango Es posible añadir una fila a la matri matri tenga rango 4? Raona la respuesta. Calculemos el rango de la matri dada: de forma que la nueva Unidad. Álgebra de matrices 3

32 ª ª Tiene rango ; luego, añadiendo una fila, la matri resultante no podrá tener rango 4 tendría rango ó Qué condición debe cumplir una matri A de dimensión 3 3 para que se verifique que A + A t = A? A + A t = A A t = A A = A A = A t Luego, la condición es que la matri coincida con su traspuesta. Es decir, A debe ser de la forma: a b c A = b d e 56 a i A es una matri regular de orden n y existe una matri B tal que AB + BA = 0, probar que BA + A B = 0. 3 b i A =, halla una matri B 0 tal que AB + BA = a Multiplicamos por A por la iquierda en la igualdad: AB + BA = 0 A AB + A BA = 0 B + A BA = 0 Ahora multiplicamos la igualdad obtenida por A por la derecha: BA + A BAA = 0 BA + A B = 0 b i B = c d, entonces: 3 a b A B = = 3a c 3b d 4 3 c d 4a + 3c 4b + 3d a b B A = 3 3a + 4b a + 3b = Así: a c c e f b d 4 3 6a + 4b c a d 0 0 AB + BA = = 4a + 4d 3c + 4d c + 3d 4b c + 6d 0 0 6a + 4b c = 0 a d = 0 4a + 4d = 0 4b c + 6d = 0 3a b + c = 0 a + d = 0 d = a a + d = 0 b c + 3d = 0 3a b + c = 0 c = 3a + b a b 3a + b a Por tanto: B =, a y b 0 Unidad. Álgebra de matrices 3

33 Por ejemplo, con a = y b =, queda B =. 57 Demuestra que si una matri verifica A = 0 0 es la matri nula, entonces A no puede tener inversa. upongamos que se verifica que A = 0, pero que A sí tiene inversa, que existe A. Multiplicando la igualdad A = 0 por A, quedaría: A A = 0 A A = 0 I = 0; lo cual es absurdo. Por tanto, deducimos que no existe A. PARA PROFUNDIZAR 58 ean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. De la igualdad A B = A C no puede deducirse, en general, que B = C. a Prueba esta afirmación buscando dos matrices B y C distintas tales que A B = A C, siendo A =. b Qué condición debe cumplir la matri A para que de A B = A C se pueda deducir que B = C? a Por ejemplo, si B = y C =, entonces: 3 3 b Debe existir A. 3 A B = = A C, pero B C Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores de a: a 0 M = 4 a A = 3 M = 4 a 0 0 a + a 3-ª a a a i a =, ran M = i a =, ran M = i a y a, ran M = 3 a 0 a 0 A = 3 3 a 3-ª i a = 0, ran A = i a 0, ran A = 3 Unidad. Álgebra de matrices 33

34 60 e dice que una matri es antisimétrica cuando su traspuesta es igual a su opuesta. Obtén la forma general de una matri de orden que sea antisimétrica. a b i A =, entonces a c At = y A = a b c d b d c d. Para que A t = A, ha de ser: a c = a b b d c d a = a c = b b = c d = d a = 0 c = b d = 0 0 b Por tanto, una matri antisimétrica de orden es de la forma: b 0 Unidad. Álgebra de matrices 34