SESIÓN PRÁCTICA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. PROF. Esther González Sánchez. Departamento de Informática y Sistemas

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1 SESIÓN PRÁCTICA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROF. Esther González Sánchez Departamento de Informática y Sistemas Facultad de Informática Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Curso

2 Tema 6. Contrastes de Hipótesis En esta práctica analizaremos los comandos que facilita el SPSS para realizar los contrastes de hipótesis paramétricos que hemos visto en clase. La formulación de hipótesis estadísticas con SPSS Las propiedades de la distribución normal nos permiten saber cuán extremo es el estadístico (p.ej, una media) calculado a partir de una muestra concreta en comparación con la distribución de los estadísticos de todas las muestras posibles. Si nuestro modelo propone una media hipotética en la población, entonces podemos calcular cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra al azar la media calculada sea muy diferente (en términos de desviaciones típicas) de la media de la población. Obtener una media muestral que está a muchas desviaciones típicas de la media hipotetizada es poco probable si nuestro valor hipotético es cierto. De modo que si obtuviéramos una media con probabilidades tan pequeñas de aparecer al azar, lo más lógico sería que rechazáramos el valor hipotético de la media de la población. Esta es la base de los tests de hipótesis estadísticas. Para realizar contrastes paramétricos, el SPSS facilita, entre otros, el comando T-TEST que nos permite realizar contrastes sobre si la media de una distribución normal tiene un valor determinado o no (H 0 : µ = µ 0 ), y nos permite testear diferencias entre las medias de dos poblaciones (H 0 : µ 1 = µ 2 ) siendo este caso su función principal. También realiza algún contraste de igualdad de varianzas. Para aplicar este contraste para la comparación de medias, partimos de dos conjuntos de datos y, en primer lugar, deberemos distinguir si se trata de dos grupos independientes o si se trata de datos emparejados. La decisión que tratamos de tomar con este contraste es si las diferencias obtenidas entre las medias de los dos grupos, pueden ser debidas al azar o a que las muestras proceden de poblaciones con medias diferentes. Para ello se tendrán en cuenta, además de las medias, las desviaciones típicas y los tamaños muestrales de los dos grupos considerados. 6.1 El procedimiento T-Test para una muestra. El procedimiento Prueba T para una muestra contrasta si la media de una sola variable difiere de una constante especificada. Comprueba la diferencia entre la media de una muestra y un valor hipotético conocido y permite especificar el nivel de confianza para la diferencia. Esta prueba asume que los datos están normalmente distribuidos; sin embargo, esta prueba es bastante robusta frente a las desviaciones de la normalidad. Ejemplo. Un investigador desea comprobar si la puntuación media del coeficiente intelectual de un grupo de alumnos difiere de 100. O bien, un fabricante de copos de cereales puede tomar una muestra de envases de la línea de producción y comprobar si el peso medio de las muestras difiere de 1 Kg con un nivel de confianza al 95%. Veamos un ejemplo en el que vamos a hacer un test sobre la probabilidad de que la media de edad de la población tenga un valor muy distinto al que encontramos en la muestra. Abrimos el fichero de datos correspondiente. 1

3 Vamos a Analizar Comparar medias Prueba T para una muestra. En la ventana que aparece, escogemos la variable de edad a la izquierda y la pasamos al espacio de la derecha. En la parte inferior aparece un espacio (valor de prueba) en el que debemos escribir el valor hipotético de la media en la población con el que queremos comparar la media de la muestra (supongamos que 55 años). Ahora damos al botón Opciones y aparece el intervalo de confianza establecido al 95%. Si dejamos este valor, SPSS va a calcular un intervalo de diferencias entre la media de la muestra y la media de la población que, si calculáramos las medias de todas las muestras posibles del mismo tamaño, contendría en un 95% de los casos la diferencia que hemos obtenido. Es decir, sólo asumimos un riesgo del 5%, ya que habría un 5% de casos en los que la diferencia no estaría contenida en el rango. Este valor podemos aumentarlo (p.ej, a 99%) si queremos estar más seguros del rango de valores de la diferencia, o disminuirlo si no nos importa asumir más riesgo. La casilla sobre valores perdidos sirve para decidir cómo se excluyen los valores perdidos. La dejamos como está. En la ventana de resultados aparecen dos tablas. La primera nos muestra los estadísticos básicos: el tamaño de la muestra, la media de la edad en la muestra, la desviación típica de la edad en la muestra y el error típico de la media muestral. El error típico de la media muestral nos informa de cuál es la desviación típica de las medias de todas las muestras posibles con respecto a la media real de la población. La segunda tabla es la que realiza el test de hipótesis de forma concreta. Se muestra el valor t (equivalente en este caso al valor z) observado para el estadístico en la muestra, 2

4 los grados de libertad (n-1), la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la de la población sea mayor o igual, en valor absoluto, que el estadístico t observado, y el intervalo de la diferencia al 95% de confianza. Si la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población es muy pequeña, rechazamos la hipótesis de que la media de edad en la población sea de 55 años. Es decir, si la media de edad en la población fuera de 55 años, la probabilidad de que hubiéramos obtenido el valor del estadístico muestral realmente obtenido es muy baja. Por eso, concluimos que la media no es de 55 años. Veamos otro ejemplo. Supongamos que, en un fichero, tenemos los datos correspondientes al control de calidad de una empresa que fabrica discos de freno para coches de alto-standing. El fichero de datos contiene medidas de diámetro de 16 discos de freno para cada una de 8 máquinas de producción diferentes. El diámetro final de los discos es 322 milímetros. Usamos el procedimiento t-test de una muestra para determinar si el diámetro de los frenos de cada muestra difiere significativamente de 322 milímetros. Una variable nominal, Machine Number, identifica la máquina de producción usada para fabricar el disco. Como los datos de cada máquina se deben probar como muestras separadas, el fichero debe dividirse en grupos, previamente, por dicha variable (Datos Dividir fichero) y luego realizar el análisis 3

5 Como resultados se devuelven dos tablas: la tabla descriptiva muestra el tamaño de la muestra, la desviación típica y el error para cada una de las 8 muestras. La tabla del contraste muestra los resultados del test: La columna de la t muestra el estadístico t observado para cada muestra, calculado como el cociente entre la diferencia de medias dividida por el error estándar de la media de la muestra. Los grados de libertad (n-1). La columna Sig.(bilateral) muestra la probabilidad, en una distribución t de Student con 15 grados de libertad, de obtener un valor absoluto mayor o igual que el valor observado, si la diferencia entre la media de la muestra y el valor de prueba es puramente aleatorio. 4

6 La diferencia de la media se obtiene restando el valor de prueba (322 en este caso), de la media de cada muestra. El intervalo de confianza del 90% de la diferencia da una estimación de los límites entre los cuales se encuentra la diferencia de medias del 90% de todas las posibles muestras aleatorias de 16 discos de freno producidos por esa máquina. Como el intervalo de confianza cae enteramente sobre 0, puede asegurarse que la máquinas 2,5 y 7 están produciendo discos que son significativamente más anchos de 322 milímetros de media. De forma similar, puesto que su intervalo de confianza cae enteramente bajo 0, la máquina 4 está produciendo discos que no son suficientemente anchos. Se pueden elegir más de una variable para comparar su media con un valor dado: T TEST TESTVAL / VARIABLES = CHISAL LASAL NYSAL Este test compara las medias de las variables CHISAL, LASAL y NYSAL, cada una con el valor señalado de El procedimiento T-Test para muestras emparejadas El procedimiento Prueba T para muestras relacionadas compara las medias de dos variables de un solo grupo. Calcula las diferencias entre los valores de las dos variables de cada caso y contrasta si la media difiere de 0. Especifique dos variables cuantitativas (nivel de medida de intervalo o de razón) para cada prueba de pares. En un estudio de pares relacionados o de control de casos, la respuesta de cada sujeto de la prueba y su sujeto de control correspondiente deberán hallarse en el mismo caso en el archivo de datos. Uno de los diseños de experimentos más comunes es el diseño pre-post. Un estudio de este tipo generalmente consiste en dos medidas tomadas al mismo sujeto, una antes y otra después de la introducción de un tratamiento o estímulo. La idea básica es simple. Si el tratamiento no tiene efecto, la diferencia promedio de las medidas es 0 y se acepta la hipótesis nula. Por otro lado, si el tratamiento tiene efecto (intencionado o no intencionado), la diferencia promedio no es 0 y la hipótesis nula se rechaza. Ejemplo. En un estudio sobre la hipertensión sanguínea, se toma la tensión a todos los pacientes al comienzo del estudio, se les aplica un tratamiento y se les toma la tensión otra vez. De esta manera, a cada paciente le corresponden dos medidas, normalmente denominadas medidas pre y post. Un diseño alternativo para el que se utiliza esta prueba consiste en un estudio de pares relacionados o un estudio de control de casos. En estos, cada registro en el archivo de datos contiene la respuesta del paciente y de su sujeto de control correspondiente. En un estudio sobre la tensión sanguínea, pueden emparejarse pacientes y controles por edad (un paciente de 75 años con un miembro del grupo de control de 75 años). 5

7 Este procedimiento t-test se usa para probar la hipótesis de no diferencia entre dos variables. Los datos pueden corresponder a dos medidas tomadas a los mismos sujetos o una medida tomada a pares de sujetos relacionados. Adicionalmente el procedimiento calcula: Estadísticos descriptivos para cada variable del test La correlación de Pearson entre cada par de variables y su nivel de significación Un intervalo de confianza para la diferencia promedio (al 95% o valor que se especifique) Como ejemplo vamos a suponer que un médico está evaluando una nueva dieta para sus pacientes con una historial familiar de enfermedades del corazón. Para probar la efectividad de la dieta se somete a 16 pacientes a la misma durante 6 meses. Se mide su peso y su nivel de triglicéridos antes y después del estudio y el médico está interesado en saber si el conjunto de medidas ha cambiado. Se usará el t-test para muestras emparejadas. Como resultados de este test se devuelven tres tablas que pasamos a comentar: La primera de ellas es la tabla de estadísticos descriptivos, que muestra la media, tamaño de la muestra, desviación típica y error típico de la media para cada grupo. 6

8 Considerando todos los 16 sujetos, el nivel de triglicéridos descendió entre 14 y 15 puntos en promedio después de los 6 meses de nueva dieta. Los sujetos claramente bajaron de peso durante el estudio, sobre unos 8 kilos en promedio. La desviación típica de las medidas pre y post- dieta revelan que los sujetos fueron más variables respecto al peso que al nivel de triglicéridos. La segunda tabla es la de correlaciones de las muestras relacionadas: El valor de la correlación entre los niveles de triglicéridos antes y después del estudio no es estadísticamente significativo. Los niveles descendieron en total, pero el cambio fue inconsistente entre los sujetos. Mientras hubo muchos en los que descendieron los niveles, otros no variaron sus niveles o incluso los incrementaron levemente. Por otro lado, el valor de la correlación de Pearson entre el peso antes y después de la nueva dieta muestra una correlación casi perfecta entre ambos. A diferencia del nivel de triglicéridos, todos los sujetos perdieron peso y lo hicieron de forma consistente. La tercera tabla es la que devuelve los resultados del test propiamente dicho. La columna de la media muestra la diferencia promedio entre el nivel de triglicéridos y el peso antes y después de los 6 meses de dieta. La columna de la desviación típica muestra la desviación típica de la diferencia promedio. La columna del error estándar de la media da el índice de variabilidad que se puede esperar en muestras aleatorias repetidas de 16 pacientes similares a los del estudio. 7

9 El intervalo de confianza al 95% de la diferencia da una estimación de los límites entre los cuales cae la verdadera diferencia en el 95% de todas las posibles muestras aleatorias de 16 pacientes similares a los que han participado en el estudio. El estadístico t se obtiene dividiendo la diferencia media por el error estándar. La columna de sig. (bilateral) muestra la probabilidad de obtener un valor del estadístico cuyo valor absoluto sea mayor o igual que el estadístico t obtenido. Como el valor de la significación para el cambio de peso es menor que 0.05 podemos concluir que la pérdida media de peso de 8.06 kilos por paciente no es debida a variaciones aleatorias y puede atribuirse al cambio de dieta. Sin embargo, el valor de significación mayor de 0.10 para el cambio en el nivel de triglicéridos muestra que la dieta no reduce significativamente dichos niveles. En la sintaxis de este comando se pueden añadir palabras clave como WITH y PAIRED que modifican la ejecución del comando de la siguiente manera: T-TEST PAIRS = TEACHER CONSTRUCT MANAGER Este comando compara TEACHER con CONSTRUCT, TEACHER con MANAGER y CONSTRUCT con MANAGER T-TEST PAIRS = TEACHER MANAGER WITH CONSTRUCT ENGINEER Este comando compara TEACHER con CONSTRUCT, TEACHER con ENGINEER, MANAGER con CONSTRUCT y MANAGER con ENGINEER. TEACHER no se compara con MANAGER y CONSTRUCT no se compara con ENGINEER T-TEST PAIRS = TEACHER MANAGER WITH CONSTRUCT ENGINEER (PAIRED) Este comando compara TEACHER con CONSTRUCT y MANAGER con ENGINEER. 6.3 El procedimiento T-Test para muestras independientes Cuando comparábamos las medias de dos grupos independientes, se nos podían presentar 4 casos diferentes, dependiendo de las varianzas y tamaños muestrales: Varianzas conocidas: El estadístico utilizado seguía una distribución normal. Varianzas desconocidas y muestras grandes, aprox. iguales: Estadístico con distribución normal. Varianzas desconocidas, pero iguales, y muestras pequeñas: Estadístico con distribución t de Student con n 1 + n 2-2 grados de libertad. Varianzas desconocidas y distintas, muestras pequeñas: Estadístico con distribución t de Student, cuyos grados de libertad vienen dados por el redondeo al entero más cercano de la aproximación de Welch. Como su propio nombre indica, este comando T_TEST sólo realiza el test de la t de Student, es decir, analiza los dos últimos casos. 8

10 El procedimiento Prueba T para muestras independientes compara las medias de dos grupos de casos. Para esta prueba, idealmente los sujetos deben asignarse aleatoriamente a dos grupos, de forma que cualquier diferencia en la respuesta sea debida al tratamiento (o falta de tratamiento) y no a otros factores. Para las variables de agrupación numéricas, defina los dos grupos de la prueba t especificando dos valores o un punto de corte: Usar valores especificados. Escriba un valor para el Grupo 1 y otro para el Grupo 2. Los casos con otros valores quedarán excluidos del análisis. Los números no tienen que ser enteros (por ejemplo, 6,25 y 12,5 son válidos). Punto de corte. Opcionalmente, puede escribir un número que divida los valores de la variable de agrupación en dos conjuntos. Todos los casos con valores menores que el punto de corte forman un grupo, y los casos con valores mayores o iguales que el punto de corte forman el otro grupo. Para las variables de agrupación de cadena corta, escriba una cadena para el Grupo 1 y otra para el Grupo 2; por ejemplo sí y no. Los casos con otras cadenas quedarán excluidos del análisis. Ejemplo. Se asigna aleatoriamente un grupo de pacientes con hipertensión arterial a un grupo con placebo y otro con tratamiento. Los sujetos con placebo reciben una pastilla inactiva y los sujetos con tratamiento reciben un nuevo medicamento del cual se espera que reduzca la tensión arterial. Después de tratar a los sujetos durante dos meses, se utiliza la prueba t para dos muestras para comparar la tensión arterial media del grupo con placebo y del grupo con tratamiento. Cada paciente se mide una sola vez y pertenece a un solo grupo. Este procedimiento t-test se usa para probar la hipótesis de diferencia entre la media de dos muestras independientes. Adicionalmente el procedimiento calcula: Estadísticos descriptivos para cada variable del test Un test de igualdad de varianzas (test de Levene) Un intervalo de confianza para la diferencia promedio (al 95% o valor que se especifique) Vamos a hacer ahora una hipótesis similar a la que hicimos al principio de la práctica sobre la edad pero, esta vez, comparando la media de dos grupos distintos: hombres y mujeres de nuestra muestra. Vamos a Analizar Comparar medias Prueba T para muestras independientes. En el espacio de Contrastar variables ponemos la edad y en el espacio de Variable de agrupación la variable sexo. Aparecen ahora unos interrogantes y damos al botón Definir grupos : en el grupo 1 escribimos 1 (el código que identifica a los hombres) y en el grupo 2 escribimos 2 (el código que identifica a las mujeres). Así le estamos indicando a SPSS que tiene que comparar los dos grupos de casos que vienen identificados por los valores que le hemos establecido. El resultado muestra dos tablas. En la primera se nos indica la media de edad para cada grupo, hombres y mujeres, la desviación típica para ambos y el error típico de la media. La segunda tabla es la que realiza el test de hipótesis. En la parte de la izquierda SPSS 9

11 calcula un test que nos permite saber si los dos grupos (hombres y mujeres) muestran varianzas iguales con respecto a la variable en cuestión. El resultado del test debe interpretarse del siguiente modo: la probabilidad de que las dos varianzas sean iguales de 0,185 y, por tanto, no podemos rechazar la hipótesis de que sean iguales. La siguiente sección nos muestra el test de hipótesis sobre la igualdad de las medias de edad entre hombres y mujeres: la diferencia de las medias es de 2,36, a la que se asocia una probabilidad de 0,001 (sig. Bilateral). La hipótesis de la que partimos es que la diferencia de las medias es 0 (si ambas son iguales su diferencia es 0). Pero si la hipótesis fuera cierta, la probabilidad de que encontráramos una diferencia tan grande en una muestra sería muy pequeña (1 entre mil). Por tanto, concluimos que los hombres y las mujeres de nuestra población tienen medias de edad distintas y que parece que las mujeres alcanzan edades mayores que los hombres. Como otro ejemplo consideremos un analista de unos grandes almacenes, que está interesado en evaluar los resultados de una promoción reciente de tarjetas de crédito. Con este fin se seleccionaron, al azar, 500 clientes con tarjeta. La mitad recibió una reducción del tipo de interés en las compras realizadas en los siguientes 3 meses y la otra mitad no. Estamos interesados en valorar la diferencia de las medias de compras efectuadas por los clientes seleccionados. El resultado muestra dos tablas. En la primera se nos indica el tamaño de la muestra, la media de gastos la desviación típica y el error típico de la media para cada grupo. En promedio, los clientes que recibieron la reducción del tipo de interés cargaron alrededor de 70 $ más que el otro grupo de comparación y variaron un poco más alrededor de su media. 10

12 El procedimiento realiza dos test de diferencias entre los dos grupos. Un test supone que las varianzas de los dos grupos son iguales. El test estadístico de Levene comprueba esta suposición. En este ejemplo, el valor de significación del estadístico es Como este valor es mayor que 0.05, se puede asumir que los grupos tienen igual varianza e ignorar el segundo test. La columna t muestra el valor del estadístico t observado en las muestras, calculado como el cociente entre la diferencia de medias de las muestras y el error estándar de la diferencia. El número de grados de libertad se muestra en la columna correspondiente, que para el test t de muestras independientes es igual al número total de casos en las dos muestras menos 2. La columna de sig. (bilateral) muestra la probabilidad de una distribución t con 498 grados de libertad. El valor mostrado es la probabilidad de obtener un valor absoluto mayor o igual que el valor t del estadístico observado en la muestra, si la diferencia entre las medias de las muestras fuera puramente aleatoria. Hasta ahora hemos considerado que todos los test son bilaterales. Si consideramos el test unilateral, la probabilidad de obtener el valor t muestral que aparece en los resultados del programa deberemos dividirla por dos. 11

13 La media de la diferencia se obtiene restando la media de la muestra del grupo 2 (grupo con la promoción) de la media de la muestra del grupo 1 El intervalo de confianza al 95% de la diferencia proporciona una estimación de los límites entre los cuales se encuentra la verdadera diferencia en el 95% de todas las posibles muestras aleatorias de 500 poseedores de tarjetas. Como el valor de significación del test es menor que 0.05, se puede concluir que el promedio de $ gastados de más por los poseedores de tarjetas con la reducción en el interés no se debe sólo al azar. La tienda debería considerar entonces el extender la oferta a todos los clientes. PRACTICAS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (SESION 6) 1. Cargar el fichero de datos practica.sav. 2. Los que han elegido la carrera de Psicología como primera opción (opción) son más sociables, en promedio, que los que no? 3. El promedio de peso de los que cursan su primer año de la carrera de Psicología (año) es el mismo que el de los que no? 4. Podemos considerar que la edad promedio de los alumnos estudiados está en torno a los 19 años? Y su estatura promedio en torno a 1.75 cms? 5. Comparar las medias de las 4 características de personalidad entre sí (de todas las formas posibles) 6. Consumen bebidas alcohólicas con la misma frecuencia promedio los hombres que las mujeres? 7. Comparar el promedio de la creatividad de los que fuman y los que no. 12