GUÍA N 1 CUARTO AÑO MEDIO

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Jesús Giménez Quiroga
hace 8 años
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1 Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesor: Nathalie Sepúlveda Delgado GUÍA N 1 CUARTO AÑO MEDIO Nombre del alumno/a: Fecha: Unidades de aprendizaje: Objetivo Contenidos: Nivel: Vectores Conocer, comprender y aplicar conceptos asociados a vectores Vectores, ecuación vectorial y cartesiana de la recta Recuerda: Vector: Corresponde a un desplazamiento. Por ejemplo: velocidad, fuerza. Un vector posee módulo, dirección y sentido. Módulo: Corresponde al valor numérico de la magnitud vectorial. Longitud de la flecha. Distancia entre los extremos del vector. Sea el vector v el módulo del vector se denota por v. v = a 2 + b 2 donde v = < a, b > Dirección: Corresponde a la orientación en el plano o el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: Se muestra por medio de una punta de flecha en la punta del vector. 1) Determina el vector en cada caso, a partir de los puntos: A = (25,4), B = (7,22), C = (21,29), D = (2, 6). Luego, calcula su módulo. a) AB b) BC c) AD d) BD e) DC 2) Calcula el resultado de las siguientes operaciones. a) < 2, -1 > - < 2, > b) -2 < 7, - > + 5 < 0, 5 > c) 5 <, -2 > - 4 < -1, 0 > + 2 < -1, - > ) Dados los vectores a = <, 2 >, b = < 1, 5 > y c = < 4, 6 >, determina: a) a b + c b) a + b c

Por ejemplo: velocidad, fuerza. Un vector posee módulo, dirección y sentido. Módulo: Corresponde al valor numérico de la magnitud vectorial. Longitud de la flecha.

2 c) a b c 4) Calcula el módulo de los siguientes vectores. a) < 1, 2, 0 > b) <, -7, 1 > c) < 15, 0, 20 > d) < 9, 0, 0 > 5) Para los vectores u = < 1, 0, 2 >, v = < 2, 5, 7 >, w = <, 4, 1 > y el escalar λ =, calcula: a) v + w b) λ(u + v) (v w + u ) c) v λ(v w ) Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana 1) La ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen O(0,0) y el punto P(x, y) está dada por: OP = λd Luego, la ecuación de la recta L es < x, y > = λ< d 1, d 2 > Donde: P (x, y) punto de la recta Vector director: d = < d 1, d 2 > Ejemplo: Dado el punto A (4, 7), determina la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto A. 2) La ecuación vectorial de la recta que no pasa por el origen. Entonces si la recta L tiene vector d, y además pasa por un punto P 0 (x 0, y 0 ) y el punto P(x, y) está dada por: OP = OP 0 + λd Luego, la ecuación de la recta L es < x, y > = < x 0, y 0 > + λ< d 1, d 2 > Donde: P (x, y) punto de la recta Vector director: d = < d 1, d 2 > Ejemplo: Dados los puntos A (2, ) y B (5, 2), determina la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos. Qué sucede si λ = 1 2?

) Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana 1) La ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen O(0,0) y el punto P(x, y) está dada por: OP = λd Luego, la ecuación

3 Dado vector director y un punto de la recta determinar ecuación vectorial y cartesiana Ejemplo: Si la recta L tiene vector director d = < 6, 4 > y el punto A (5, 7) pertenece a la recta. Determinar a) Ecuación vectorial de recta L. Utilizamos: < x, y > = < x 0, y 0 > + λ < d 1, d 2 > b) Ecuación cartesiana de recta L. < x, y > = < 5, 7 > + λ < 6, 4 > Para determinar la ecuación de una recta se necesitan dos puntos. Se tiene el punto A (5, 7). Utilizaremos la ecuación vectorial encontrada anteriormente < x, y > = < 5, 7 > + λ < 6, 4 > Para determinar un punto B que pertenezca a la recta se asigna un valor a λ. Por ejemplo λ = 2. < x, y > = < 5, 7 > + 2 < 6, 4 > b = < 5, 7 > + 2 < 6, 4 > b = <5, 7 > + < 12, 8 > b = < 17, 15 > Entonces, se calcula la ecuación dados dos puntos A (5, 7) y B (17, 15) (y y 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 2 (x x 1 ) O bien, se calcula la ecuación por punto pendiente A (5, 7) y m = d 2 d 1 (y y 1 ) = m (x x 1 ) Ejercicios: 6) Determinar ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director d, en cada caso. a) P (2, 1) y d = < -2, 6 > b) P (-1, 4) y d = <, 8 > c) P (0, 5) y d = < 4, -7 > Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por cada par de puntos? a) (1, ) y (2, 4) b) (, -5) y (0, ) c) (5, 1) y (-2, 1 )

< x, y > = < 5, 7 > + λ < 6, 4 > Para determinar la ecuación de una recta se necesitan dos puntos. Se tiene el punto A (5, 7).

4 Dada la ecuación vectorial de la recta determinar ecuación cartesiana Sea la ecuación vectorial < x, y > = < 5, 2 > + λ <, 1 > < x, y > = < 5, 2 > + < λ, 1λ > < x, y > = < 5 + λ, 2 + λ > Se igualan los componentes x = 5 + λ y = 2 + λ En ambas ecuaciones se despeja λ. Entonces, se tiene λ = x 5 por otra parte λ = y 2 Se igualan las ecuaciones x 5 = y - 2, luego se ordena X 5 = (y 2) X 5 = y 6 x + y + 1 = 0 Ejercicios 7) Para cada ecuación vectorial de la recta, determina la ecuación cartesiana correspondiente. a) < x, y > = < 1, 2 > + λ < 4, 8 > b) < x, y > = < 5, 1 > + λ < 0, > c) < x, y > = <, -2 > + λ < 1, -6 > d) < x, y > = <, 5 > + λ < 0, 4 > Dada la ecuación cartesiana de la recta determinar ecuación vectorial Sea la ecuación 4x + y + 7 = 0. 1) Determinar vector posición. Se considera un valor para x y se encuentra valor para y. Sea x = -1 al reemplazar en la ecuación 4x + y + 7 = 0 se tiene: 4 (-1) + y + 7 = y + 7 = 0 y + = 0 y = - Y = -1 Luego el vector posición es < -1, -1 > 2) En segundo lugar calcular vector director. Utilizamos m = d 2 d 1 y la pendiente de la recta. En la recta 4x + y + 7 = 0, despejamos y para determinar la pendiente de la recta. 4x + y + 7 = 0 y = -4x -7 Y = 4 x 7 m = 4 Como m = d 2 d 1 y m = 4 Entonces d 2 = 4 y d 1 = a) La ecuación vectorial es < x, y > = < -1, -1 > + λ <, -4 >

Entonces, se tiene λ = x 5 por otra parte λ = y 2 Se igualan las ecuaciones x 5 = y - 2, luego se ordena X 5 = (y 2) X 5 = y 6 x + y + 1 = 0 Ejercicios 7) Para cada ecuación vectorial de la recta,

5 8) Determinar la ecuación vectorial para cada recta. a) 8x y = -6 b) -7x + y -18 = 0 c) 2x - 5y + 1 = 0 d) 4x + 2 = y - Ecuación vectorial de la recta en el espacio: < x, y, z > = P 0 + λd < x, y, z > = < x 0, y 0, z 0 > + λ < d 1, d 2, d >, donde: d = < d 1, d 2, d > es el vector director de la recta. P 0 = < x 0, y 0, z 0 > es el vector posición de la recta. λ es el parámetro. 9) Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por: a) P(12, -5, 7) y Q(0, 6, -) b) P(4, 2, 7) y Q(, -1, 6) c) P(0,, 5) y Q(-2, 1, -) d) P(1,, -4) y Q(0, -2, 2) 10) Calcula, en cada caso, el valor de k de modo que las operaciones entre vectores tengan el resultado indicado: a) < 2, k > + < 1, -6 > = <, 1 > b) < 1, k > + < k, > = < 4, 6 > c) < 4, k > - 4 < k, 7 > = < 20, -4 > 11) Decide si los siguientes vectores son paralelos o no. a) < -, -6, > y < 5, 10, -5 > b) < 2, 0, -1 > y < -8, 0, 4 > c) <, 2, 1 > y < 1, 2, > 12) Para qué valor de p, en cada caso, los vectores dados son perpendiculares? a) < 4, 5 > y < p, -12 >

< d 1, d 2, d > es el vector director de la recta. P 0 = < x 0, y 0, z 0 > es el vector posición de la recta. λ es el parámetro.

6 b) < 6, 15 > y < -9, p > c) < p, 1 > y < 1 2, 5 > 1) Cuál es el punto Q de modo que el vector PQ sea igual al vector v? a) P(2, ) y v = < 4, 7 > b) P(-4, 5) y v = < 1, -2 > c) P(2, ) y v = < 4, 1 > d) P(1, 0, 2) y v = <, 4, 0 > 14) Determina el punto medio del segmento PQ, en cada caso a) P(, 5) y Q(4, 1) b) P(5, -2) y Q(-2, 1) c) P( 4, 5) y Q(2, 5) d) P(, 1) y Q(1, ) 15) Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta < 2, 0, -4 > + λ < 1, -5 2 >? a) (1, 0, ) b) (0, -2, 4) c) (4, -10, 0) d) (1, 5, -2) e) (, -5, -6)

medio del segmento PQ, en cada caso a) P(, 5) y Q(4, 1) b) P(5, -2) y Q(-2, 1) c) P( 4, 5) y Q(2, 5) d) P(, 1) y Q(1, ) 15) Cuál

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