EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*

Transcripción

1 EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes 5..- Teorem de eisteci uicidd de l solució de u ecució diferecil de rimer orde. Se f (, ) u fució cotd cotiu e u domiio D del lo ( ;, ) que stisfce l codició de Lischitz resecto de e D : f, f, h Idiquemos co (, ) u uto ritrrio de D. Etoces eiste u etoro ( ) u úic fució = ϕ tl que: ) ϕ está defiid e N( ) N( ) es (, ϕ ) D. ) = ϕ. c) ϕ es solució úic de l ecució = f (, ) e N( ) idetidd ϕ f, ϕ N ( ). Demostrció: l ecució = f (, ) juto co l codició iicil ϕ ( ) equivlete l ecució itegrl, Por ser f cotd e D, es f (, ) N, verificádose l = es = + f t t dt () (, ) D. Escojmos hor u úmero δ > de mer que se cuml ls codicioes : δ, δ coteido e D, hδ <. Desigemos medite C el escio de fucioes cotius ϕ defiids sore el segmeto δ tles que ϕ δ, co l métric d ( ϕ, ϕ) = ϕ ϕ. El escio C es comleto sore [ δ, + δ ]. Cosideremos el oerdor T defiido or l eresió: dode δ. T( ϕ ) = +, ϕ () f t t dt

2 Este oerdor trsform el escio comleto C e si mismo es u cotrcció e él. E efecto, se ϕ C δ. E este cso Etoces T : C C. T( ϕ ) =, ϕ () Además T( ϕ ) T( ϕ ) f t t dt δ ( ) ( () ) f t, ϕ () t f t, ϕ t dt hδ m ϕ ϕ = hδ ϕ ϕ Puesto que hδ <, T es u oerdor de cotrcció. Por tto, eiste ϕ úico tl que ϕ T( ϕ) = = + f t, ϕ () t dt U teorem de eisteci de l fució imlícit. Se f u fució defiid e u d B : B = {(, ) / ; < <+ } Admitmos que eiste l derivd rcil co resecto que stisfce l desiguldd m f,, B () < dode m so costtes tles que m. Suogmos demás que r cd fució ϕ cotiu e [, ] l fució comuest g = f, ϕ es cotiu e [, ]. Etoces eiste u sólo u fució = cotiu e [, ] tl que: f, e [, ] () Demostrció: Desigemos co C el escio liel de ls fucioes cotius e [, ] defimos u oerdor T : C C medite l eresió: T( ϕ ) = ϕ f, ϕ T ϕ C siemre que ϕ C. r cd de [, ]. Vmos demostrr que T es u cotrcció luego deduciremos que T tiee u úico uto fijo e C. Pr est fució tedremos = T( ) lo que sigific: = f, [, ] lo que os roorciorá (). Comezmos escriiedo l difereci f, ϕ f, ψ T( ϕ) T( ψ) = ϕ ψ ( ) (3) Por el teorem del vlor medio, teemos: f, ϕ f, ψ = ϕ ψ f, η ψ. dode η está situd etre ϕ

3 Reemlzdo e (3), result: f, η T( ϕ) T( ψ) = ϕ ψ De () se otiee: m f, η < f, η m < f, η m < E cosecueci (4) roorcio: m T( ϕ ) T( ψ) ϕ ψ k ϕ ψ m dode k = < L desiguldd (5) es válid,. Luego T es u oerdor de cotrcció. [ ] Etoces T tiee u uto fijo úico: = T = = f,. Así que siedo T( ) f, result [, ] (4) (5) Teorem de eisteci r ecucioes itegrles. Se l ecució itegrl liel o homogée de Fredholm de segud esecie: ϕ λ (, ) f = + K f d () dode K (llmd úcleo) ϕ so fucioes dds, f l fució icógit λ u rámetro ritrrio. ostrremos que el método es licle r vlores suficietemete equeños del rámetro λ., ϕ so cotius e, ; or Suogmos que K( ) cosiguiete K(, ) >. Cosideremos el oerdor T del escio comleto C [, ] e sí mismo, defiido or: ϕ λ (, ) T f = + K f d Llmmos solució de () l fució f ( ) que, l ser sustituid e dich ecució, l trsform e u idetidd (resecto ). L demostrció se s e ror que T es u oerdor de cotrcció. Pr esto tomemos e C dos fucioes culesquier f f hgmos l difereci. λ T f T f f f d λ f f d =

4 siedo k λ ( ) = λ f f = k f f =. Por tto, T es u cotrcció si < k <, o se cudo λ < ( ) Luego λ que verifique (), l ecució de Fredholm tiee u solució cotiu úic C. e [, ] Ls roimcioes sucesivs f, f,..., f... de est solució tiee l form: (, ) f = ϕ + λ K f d () 6.- Geerlizció Presetmos hor u geerlizció r oerdores de cotrcció Teorem: Se A u licció cotiu del escio métrico comleto E e sí mismo tl que l licció A = T es u cotrcció r lgú ; e este cso l ecució: = A tiee u solució sólo u. E efecto, tomemos u uto ritrrio E cosideremos l, = A = T, = A = T = A = T,... es decir sucesió: = A ( ) = T ( ) ( =,,,3,... ). Reitiedo l rte corresodiete de l demostrció del teorem 4.., odemos ror que est sucesió coverge. = lim A = lim T () Pogmos: queremos ror que A =. E efecto, deido l cotiuidd de A, teemos A = A lim T = lim T A () ( ) Puesto que A = T es u oerdor de cotrcció d A ( A ), A = d T ( A ), T kd T ( A ), T... k d A,. Etoces: lim d A ( A ), A = lim d T ( A ), T lim k d ( A ), = ues k cudo, que k <. Etoces, or l cotiuidd de l distci d, de () (), se tiee: d A, = A =. L uicidd surge de que, como todo uto fijo resecto A, tmié será fijo resecto l oerdor A = T que es de cotrcció, este uto fijo es úico Teorem de eisteci r l ecució itegrl de Volterr de segud esecie. Est ecució es de l form:

5 ϕ λ (, ) f = + K t f t dt que se difereci de l ecució de Fredholm or teer e el etremo suerior de l itegrl l vrile. Alicremos e este cso el teorem 6.. Proremos que ciert oteci del oerdor es u cotrcció. Se f ϕ λ (, ) A f = + K t f t dt f dos fucioes cotius sore [, ]. Etoces: λ (, ) () () λ A f A f = K t f t f t dt f f. Aquí hemos llmdo co m K(, t) =. De l desiguldd terior (ver édice 7.5.), se tiee: A ( f ) A ( f ) λ f f e geerl ( ) ( ) λ λ A f A f f f f f!! Etoces, culquier que se el vlor de λ, odemos escoger t grde de modo que ( ) λ <! es decir, el oerdor A es de cotrcció r suficietemete grde. Por cosiguiete l ecució de Volterr de segud esecie, tiee solució úic, culquier que se λ. 7.- Aédice 7..- Relció etre ls ecucioes difereciles lieles ls ecucioes itegrles de Volterr. L resolució de l ecució diferecil liel ( ) = co coeficietes cotiuos i ( ) = C,... ( i,,..., ) ( ) = codicioes iiciles: = C,..., = C uede ser reducid l solució de ciert ecució itegrl de Volterr de segud esecie. Demostrremos esto r l ecució diferecil liel de segudo orde: Hgmos = C, = C Por tto () ϕ t dt = = C + + = () = ϕ ()

6 = + (3) ϕ ( t) dt C Aálogmete t = ϕ ( z) dz+ C dt+ C t t ϕ( z) dz+ C dt = ϕ( z) dz dt+ C Vmos itegrr or rtes. Llmemos: u ϕ Cosiderdo t (4) = z dz dv = dt v= t como u costte ditiv. t t z dz dt t z dz t t dt ϕ z dz dt+ C= t ϕ t dt+ C Así result: ϕ = ( ) ϕ ( ) ϕ t Reemlzdo e (4) E cosecueci: = ( ) ϕ + + Reemlzdo (), (3) (5) e (), os qued: t t dt C C (5) ϕ + ϕ t dt+ C + t ϕ t dt+ C + C = ϕ + + ( t) ϕ( t) dt = C + C Llmdo: os qued: K(, t) = + ( t) = (6) f C C C ϕ = K(, t) ϕ( t) dt+ f (7) que es u ecució de segud esecie de Volterr. L eisteci de l solució úic de (7) se desrede del teorem demostrdo e 6..,, f so fucioes cotius. Resolviedo l ecució (7) co K que K( t ) f ddos or (6) sustituedo l eresió oteid r ϕ e (5), se tiee l solució úic de l ecució () que stisfce ls codicioes iiciles dds. Ce tmié cotr, que l eisteci uicidd de (7) se desrede de l eisteci uicidd de l solució del rolem de Cuch r l ecució diferecil liel co coeficietes cotiuos e u etoro de = Cotiuidd de l distci.

7 Teorem: L fució uméric (, ) d(, ) sore E E. defiid sore E E es cotiu Bst demostrr que e el escio métrico ( Ed, ), si (, ) tiede (, ) distci defiid sore E E, etoces d(, ).tiede d(, ). De l desiguldd trigulr, culesquier que se:, z, z,..., z, z, E Por lo tto, r,,,, será: (, ) (, ) + (, ) (, ) d d z d z z d z d(, ) d(, ) + d(, ) + d(, ) d(, ) d(, ) + d(, ) + d(, ) como: d(, ) = d(, ) d(, ) = d(, ) se tiee: (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) (, ) (, ) + (, ) d d d d d d d d.segú l Luego: (, ) (, ) (, ) (, ) d d d + d () Etoces, llmdo =, =, =, =, reemlzdo e l desiguldd terior () os qued l eresió: d(, ) d(, ) d(, ) + d(, ) que comlet l demostrció Not: Ce destcr que l desiguldd () rue que l distci d es uiformemete cotiu sore E E( E liel) E u escio métrico se us e umeross cuestioes sucesioes covergetes. coverj u uto Por tl motivo, hcemos otr que r que u sucesió { } E, es ecesrio suficiete que d, tied cero. Pues si coverge hci, tod ol iert co cetro rdio ε cotiee todos los, slvo los que corresode u úmero fiito de ídices, or tto, se cul se ε >, se verific d < ε slvo r u úmero fiito de vlores de. (, ) Iversmete, si (, ) ε cotiee todos los u úmero fiito. d, r culquierε >, l ol iert de cetro rdio tles que d( ), < ε or tto, los cotiee todos, slvo Trtremos e este uto, co más detlle l demostrció del teorem 6.. Hímos rodo que: A( f) A( f) λ ( ) f f Etoces, siedo

8 Por tto: como: Luego: A f A A f K t A f t dt ( ) ϕ λ (, ) = = + = λ (, ) A f A f K t A f t A f t dt λ (, ) () () A f A f K t A f t A f t dt λ ( t ) f f t dt ( t ) ( ) dt = = ( ) λ A f A f f f e geerl, or iducció: ues [, ]. ( ) λ A ( f ) A ( f ) f f! BIBLIOGRAFÍA APOSTOL, Tom. Aálisis temático. Ed. Rverté S.A. Brcelo. 98. APOSTOL, Tom. Clculus. Ed. Reverté S.A. Brcelo. 99. DIEUDONNÉ, J. Fudmetos de álisis modero. Ed. Reverté S.A. Brcelo.966. KOLOGOROV, A.N. FOIN, S.V. Elemetos de l teorí de fucioes del álisis fuciol. Editoril IR. oscú PISOT, C ZAANSKY,. temátics Geerles. oter Simo S.A. Brcelo TARZIA, Domigo A. Itroducció ls iecucioes vricioles elítics sus liccioes rolems de froter lire. Argeti. CONICET. Bueos Aires. 98. ZAANSKY, rc. Itroducció l álger álisis modero. oter Simo S.A. Brcelo. 97.