Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE Opción A

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1 SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES, empaquetando el material de dos formas distintas. El primer paquete contiene 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos, mientras que el segundo contiene 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. El primer paquete se vende al precio de 6,50 euros, mientras que el segundo se vende a 7 euros. Usando técnicas de programación lineal, cuántos paquetes de cada tipo han de realizar para obtener la máxima recaudación? A cuánto asciende dicha recaudación? 2.- a) El beneficio obtenido por una empresa depende del capital inicial z invertido en la empresa a través de la expresión h (z) = z 2 + 6z 5. Para qué valores de z la empresa obtiene beneficios máximos? Para qué valores de z la empresa obtiene beneficios positivos? b) Los beneficios obtenidos por otras empresas A y B dependen de los capitales x e y invertidos, respectivamente, en dichas empresas mediante las funciones f (x) = x 1 en la empresa A y g (y) = y 5 en la empresa B. Qué valores de x e y permiten que la expresión f (x) g (y) tome el mayor valor posible si la inversión total está fijada en x + y = 10? 3.- Hay una epidemia de gripe. Un síntoma muy común es el dolor de cabeza, pero este síntoma también se presenta en personas que tienen un catarro común y en personas que no tienen ningún trastorno serio. La probabilidad de tener dolor de cabeza, padeciendo gripe, catarro y no teniendo nada serio es 0.99, 0.5 y respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 10 % de la población tiene gripe, el 15 % catarro y el resto nada serio. Se desea saber: a) Elegida al azar una persona, qué probabilidad hay de que tenga dolor de cabeza? b) Se sabe que una determinada persona tiene dolor de cabeza, cuál es la probabilidad de que tenga gripe? 4.- Suponemos que las notas del último examen para 120 alumnos siguen una distribución normal cuya media y desviación típica son µ = 5.5 y σ = 2.04, respectivamente. Si tomamos una muestra de 30 alumnos que han hecho dicho examen, cuál es la distribución de la media muestral basada en esos 30 alumnos? pto. Matemáticas 1 / 9 IES Ramón Olleros

2 Opción B 1.- Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 117 euros por los tres regalos tras habernos hecho un descuento del 10 % sobre el precio total. Además sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A y que el regalo C es 20 euros más caro que el regalo B. Cuánto hemos gastado en cada regalo? 1 si 8 x < ada la función f (x) = x + 2 si 4 x < 2 8/ x si x 2 a) Representa gráficamente f (x). b) Estudia su continuidad y crecimiento. c) Representa gráficamente f (x). 3.- Una máquina envasadora de café molido envasa paquetes de café que siguen una distribución normal de media µ = 500 g y desviación típica σ = 35 g. Los paquetes se embalan en cajas de 100 paquetes de café. a) Calcula la probabilidad de que la media de los pesos de los paquetes de una caja sea menor que 495 g. b) Calcula la probabilidad de que una caja de 100 paquetes pese más de 51 kg. 4.- Un opositor conoce como para aprobar 45 de los 90 temas que componen el temario. Si el examen consiste en elegir 1 tema de entre 3 extraídos al azar, cuál es la probabilidad de que suspenda el examen? pto. Matemáticas 2 / 9 IES Ramón Olleros

3 SOLUCIONES Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES, empaquetando el material de dos formas distintas. El primer paquete contiene 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos, mientras que el segundo contiene 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. El primer paquete se vende al precio de 6,50 euros, mientras que el segundo se vende a 7 euros. Usando técnicas de programación lineal, cuántos paquetes de cada tipo han de realizar para obtener la máxima recaudación? A cuánto asciende dicha recaudación? Sean x e y el número de cada uno de los paquetes respectivamente. A partir del enunciado del problema podemos establecer las siguientes condiciones: 2x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x 0 y 0 La función a maximizar es: F (x, y) = 6,50x + 7y ibujemos la región factible: Los vértices de esta región son los puntos: O = (0, 0) A = (0, 200) B = (150, 100) C = (200, 0) El máximo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual: F (0, 0) = 6, = 0 F (0, 200) = 6, = 1400 F (150, 100) = 6, = 1675 F (200, 0) = 6, = 1300 pto. Matemáticas 3 / 9 IES Ramón Olleros

4 Por tanto la máxima recaudación es de 1675 euros y se consigue elaborando 150 paquetes del primer tipo (2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos) y 100 paquetes del segundo tipo (3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo). 2.- a) El beneficio obtenido por una empresa depende del capital inicial z invertido en la empresa a través de la expresión h (z) = z 2 + 6z 5. Para qué valores de z la empresa obtiene beneficios máximos? Para qué valores de z la empresa obtiene beneficios positivos? b) Los beneficios obtenidos por otras empresas A y B dependen de los capitales x e y invertidos, respectivamente, en dichas empresas mediante las funciones f (x) = x 1 en la empresa A y g (y) = y 5 en la empresa B. Qué valores de x e y permiten que la expresión f (x) g (y) tome el mayor valor posible si la inversión total está fijada en x + y = 10? a) Calculemos los máximos de la función h (z) = z 2 + 6z 5. Para ello calculemos la derivada primera: h (z) = 2z + 6 Igualándola a cero obtenemos los puntos singulares: h (z) = 0 2z + 6 = 0 z = 3 Como h (z) = 2 h (3) = 2 < 0 Máximo Por tanto, para z = 3 los beneficios son máximos (h (3) = = 4). Por otra parte, los beneficios serán positivos si h (z) > 0, esto es: z 2 + 6z 5 > 0 Para resolver esta inecuación, calculamos las raíces del primer miembro: z 2 + 6z 5 = 0 z = 1 y z = 5 Por tanto los beneficios serán positivos para z (1, 5). b) En este caso, tenemos que calcular los valores de x e y permiten que la expresión f (x) g (y) tome el mayor valor posible, es decir, debemos maximizar la función f(x) g (y): f (x) g (y) = (x 1) (y 5) Esta función depende de dos variables, pero como conocemos que la inversión total está fijada de antemano (x + y = 10), podemos expresar la función a maximizar en función de una única variable: x + y = 10 y = 10 x La función a maximizar, h (x), queda entonces como: h (x) = (x 1) (10 x 5) = (x 1) (5 x) = x 2 + 6x 5 Esta función es la misma que en el apartado anterior y por tanto los valores que hacen máxima la expresión f (x) g (y) son x = 3 e y = Hay una epidemia de gripe. Un síntoma muy común es el dolor de cabeza, pero este síntoma también se presenta en personas que tienen un catarro común y en personas que no tienen ningún trastorno serio. La probabilidad de tener dolor de cabeza, padeciendo gripe, catarro y no teniendo nada serio es 0.99, 0.5 y respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 10 % de la población tiene gripe, el 15 % catarro y el resto nada serio. Se desea saber: a) Elegida al azar una persona, qué probabilidad hay de que tenga dolor de cabeza? b) Se sabe que una determinada persona tiene dolor de cabeza, cuál es la probabilidad de que tenga gripe? pto. Matemáticas 4 / 9 IES Ramón Olleros

5 En primer lugar, consideremos los siguientes sucesos: : tener dolor de cabeza : no tener dolor de cabeza G: tener gripe C: tener catarro S: estar sano (no tener nada serio) Para resolver los dos apartados del ejercicio, hagamos el siguiente diagrama de árbol: 0.99 G 0, C S a) La probabilidad de que tenga dolor de cabeza (teorema de la probabilidad total): P () = P (G) P ( / G) + P (C) P ( / C) + P (S) P ( / S) = = 0,10 0,99 + 0,15 0,5 + 0,75 0,004 = 0,752 b) La probabilidad de que tenga gripe, sabiendo que la persona tiene dolor de cabeza viene dada por (teorema de Bayes): P( / G) P( G) P (G / ) = = 0,99 0,10 = 0,1316 P( ) 0, Suponemos que las notas del último examen para 120 alumnos siguen una distribución normal cuya media y desviación típica son µ = 5,5 y σ = 2,04, respectivamente. Si tomamos una muestra de 30 alumnos que han hecho dicho examen, cuál es la distribución de la media muestral basada en esos 30 alumnos? Para contestar a esta cuestión, recordemos lo que nos dice el Teorema Central del Límite : Si tenemos una población con media µ y desviación típica σ y de ella extraemos aleatoriamente todas las posibles muestras, de tamaño n, al obtener las medias de todas estas muestras, y considerarlas una distribución de datos (la distribución muestral de medias), comprobaríamos que: La media de los datos, es la media µ de la población, es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de la población. Estas medias se distribuyen alrededor de la media de la población, con una desviación típica (llamada desviación típica de la media) igual a la de la población dividida por la raíz de n, es decir, la desviación típica de la media es: σ pto. Matemáticas 5 / 9 IES Ramón Olleros n

6 La distribución de las medias muestrales, es una distribución de tipo normal, siempre que la población de procedencia lo sea, o incluso si no lo es, siempre que el tamaño de las muestras sea lo suficientemente grande (n 30). En consecuencia, si una población tiene media µ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (de tamaño al menos 30, o cualquier tamaño, si la población es normal ), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución: σ N µ, n En el caso que nos ocupa, como la población de partida se distribuye normalmente, con media µ = 5,5 y desviación típica σ = 2,04, entonces la distribución de la media muestral basada en esos 30 alumnos es: σ N µ, n = 2,04 N 5,5; N (5,5; 0,37) 30 pto. Matemáticas 6 / 9 IES Ramón Olleros

7 Opción B 1.- Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 117 euros por los tres regalos tras habernos hecho un descuento del 10 % sobre el precio total. Además sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A y que el regalo C es 20 euros más caro que el regalo B. Cuánto hemos gastado en cada regalo? Llamemos a, b y c al precio pagado por cada uno de los regalos A, B y C respectivamente. Con los datos del enunciado podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones: 0,9 ( a + b + c) = 117 a + b + c = 130 c = 2a 2a + c = 0 c = b + 20 b + c = 20 Resolvamos dicho sistema por el método de Gauss: f f + f f f + f El sistema equivalente obtenido es pues: a + b + c = 130 2b + 3c = 260 5c = 300 espejando c de la última ecuación se obtiene c = 60. Sustituyendo este dato en la segunda ecuación y despejando b se obtiene b = 40. Finalmente sustituyendo b y c en la primera ecuación y despejando a obtenemos a = si 8 x < ada la función f (x) = x + 2 si 4 x < 2 8/ x si x 2 a) Representa gráficamente f (x). b) Estudia su continuidad y crecimiento. c) Representa gráficamente f (x). a) Nos encontramos ante una función definida a trozos, cuyo dominio de definición es [ 8, + ). El primer trozo ( 8 x < 4), es una función constante, y por tanto su representación gráfica es una recta horizontal que corta al eje OY en el punto (0, 1). El segundo trozo ( 4 x < 2), es una función afín cuya representación gráfica es una recta. Para representarla, podemos hacer una tabla de valores: x f (x) El tercer trozo (x 2), es una hipérbola que tiene una asíntota horizontal (cuando x tiende a + ) que 8 es y = 0 (ya que = 0). La manera más fácil de representarla es mediante una tabla de valores: xlim + x pto. Matemáticas 7 / 9 IES Ramón Olleros

8 x f (x) Con todo lo anterior tenemos que la representación gráfica de la función es: b) El estudio de la continuidad y el crecimiento lo podemos hacer directamente observando la gráfica. A la vista de la misma se puede ver que en el tramo 8 x < 4, la función es constante. En el punto x = 4 la función presenta una discontinuidad de salto finito. En el tramo 4 x < 2 la función es creciente y además es continua para x = 2. Finalmente, en el tramo x 2, la función es decreciente. c) Para representar gráficamente f (x), debemos tener en cuenta es que su gráfica se puede obtener a partir de la de f (x), reflejando la parte que esté por debajo del eje OX sobre este. Así, la gráfica pedida es: pto. Matemáticas 8 / 9 IES Ramón Olleros

9 3.- Una máquina envasadora de café molido envasa paquetes de café que siguen una distribución normal de media µ = 500 g y desviación típica σ = 35 g. Los paquetes se embalan en cajas de 100 paquetes de café. a) Calcula la probabilidad de que la media de los pesos de los paquetes de una caja sea menor que 495 g. b) Calcula la probabilidad de que una caja de 100 paquetes pese más de 51 kg. a) La media de los pesos de los paquetes, X, sigue una distribución (por ser la población de los paquetes de café una distribución normal): σ X N µ, n = 35 N 500, = N (500, 3,5) 100 Nos piden la probabilidad P ( X < 495). Por tanto: P ( X < 495) = P Z < 3,5 P (Z < 1,43) = 1 P (Z < 1,43) = 1 0,9236 = 0,0764 b) Si consideramos la caja como suma de los 100 paquetes, entonces debemos tener en cuenta que la variable aleatoria suma, S, se distribuye según: S N (nµ, σ n ) = N ( g, 35g 100 ) = N (50000g, 350g) = N (50 kg, 0,35 Kg) Por tanto, la probabilidad pedida es P (S > 51): P (S > 51) = P Z > 0,35 P (Z > 2,86) = 1 P (Z < 2,86) = 1 0,9979 = 0, Un opositor conoce como para aprobar 45 de los 90 temas que componen el temario. Si el examen consiste en elegir 1 tema de entre 3 extraídos al azar, cuál es la probabilidad de que suspenda el examen? Consideremos el suceso: C = tema no conocido por el opositor El opositor suspenderá el examen si de los temas extraídos no conoce bien. Si utilizamos la notación C i para indicar que el opositor no conoce el tema i extraído (i = 1, 2, 3), entonces la probabilidad de que suspenda el examen viene dada por: P (Suspender) = P ( 1 C ) P ( 2 C / 1 C ) P ( 3 C / 1 C 2 C ) = = = 0,1208 pto. Matemáticas 9 / 9 IES Ramón Olleros