x [ 64, ] se tiene:
|
|
- Francisco Rodríguez Fernández
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6. del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora M.M.Re B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión hacer los ejercicios de la sección 6. Ejemplo Adicional Comparar las distancias entre un número real cualquiera los puntos 6 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos 6 4 la dividen en tres grandes intervalos (, 6), [ 6, 4] ( 4, ) (, 6) [ 64, ] ( 4, ) (, 6) se tiene: [ 64, ] se tiene: (4, ) se tiene: La distancia de cualquier punto al punto 6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede epresar así: ( 6) < < 4 a. El punto medio entre 6 4 es, por lo tanto al ubicar el punto en la distancia entre 6 es igual que la distancia entre 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: ( 6) = = 4 b. Si está más cerca de 6 que de 4, se tiene: ( 6) < < 4 c. Si está más lejos de 6 que de 4, se tiene: ( 6) > > 4 La distancia de cualquier punto al punto 6 es maor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede epresar así: ( 6) > > 4 Ejemplo adicional Comparar las distancias entre un número real cualquiera los puntos 5. Observando la recta numérica se tiene: 9/08/05
2 ( ; 5) ( 5;) ( ; La distancia de cualquier ( ; 5) al punto 5 es menor que la distancia al punto. Este hecho se puede epresar en términos de valor absoluto así: 5 < ó 5 < ( ) epresiones que son equivalentes El punto medio entre ( 5;) es el punto la distancia de este punto a 5 a es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como: 5 = ( ) Los ( 5; ) están más cerca de 5 que de, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: 5 < ( ) Los ( ; ) están más cerca de que de 5, lo qué en términos de valor absoluto es. 5 > ( ) La distancia de cualquier ; ( ) al punto 5 es maor que la distancia al punto, lo que escrito en término de valor absoluto es: 5 > ( ) EJERCICIOS. Eprese en términos de distancia las siguientes epresiones: a. 8 b c. 6 d. e. f. g. h. 7,5 i Epresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a unidades del b. Que se encuentran a menos de origen unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a más de unidades unidades de de 5 e. Que se encuentran a más de unidades f. Cua doble distancia a es maor que de. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números e es igual a b. El doble de la distancia que ha entre un número el punto es igual a 5 4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la epresión: a. b Diga si es falso o verdadero a. 5 ( ) = ( 5 ) 9/08/05
3 b. 0 + ( 4 ) = c d. ( ) = e. π = π f. = 0 es equivalente a decir que = 0 g. = significa que h. + = +,, R i., R < < j. La distancia entre k. = = ó = es l. es la distancia de a m. Si el triple de la distancia de a es 6, puede estar en 8 n. =, R 6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. m está a 5 unidades de b. está a menos de 5 unidades de c. q está a más de unidades de d. Los puntos cua distancia a no es maor que 7. e. La distancia entre dos números e es igual a g. La distancia entre los puntos 7. Eplique el significado de la epresión > 4 f. El doble de la distancia que ha entre un número el punto es igual a 5 8. Completar las siguientes afirmaciones.: a. Si es negativo, entonces =. b. El valor absoluto de un número es la distancia al en la recta numérica. 9. Eplique porqué es el único valor que satisface 0 0. Eprese en palabras el significado de: b. 5 < c. 0 < < 5 a. + > RESPUESTAS.a La distancia entre 8.b La distancia entre 4 5.c La distancia entre el origen 6.d La distancia entre el origen 9/08/05
4 .e La distancia entre un real.f La distancia entre un real.g La distancia entre un real.h La distancia entre 7,5 un real.i La distancia entre un real 5.a 0 =.b 5 <.c + < 4.d 5 >.e + >.f >.a =.b + = 5 4.c 0 4.d 0 5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero 5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso 5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso 5.m Falso 5.n Falso m 6.b < 5 6.c q > 6.d + < 7 6.a + = 5 6.e = 6.f + = 5 6.g + 7. Los puntos sobre la recta numérica cua distancia a es maor de 4 unidades. 8.a. 8.b origen 9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de que satisface es = 0.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a es maor de media unidad 0.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a es menor de unidades. 0.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva menor que cinco. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6. DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN realizar los ejercicios de la sección 6. EJEMPLO ADICIONAL Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de = 4 En éste caso significa la distancia entre, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es. 9/08/05 4
5 Al ubicar en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: (,) [, ) (,) [, ) (,) < > [, Como > la distancia de a es (el número maor menos el número menor), de donde: = Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: = 4 = 4 = = La solución en éste intervalo será: (,) { } = { } Como la distancia de a es (el número maor menos el número menor), de donde: = Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: = 4 = 4 = 7 La solución en éste intervalo será: [, ) { 7} = { 7} El conjunto solución de = 4 será por lo tanto { } { 7} { 7, } ó { = = 7} El conjunto solución se representa gráficamente así: EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de + 4 = 4 Para solucionar ésta ecuación en primer lugar ha que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto en la recta. Para leer + 4 en términos de distancia ha que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el maor el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como una diferencia ( 4) =, por lo tanto ( 4) significa la distancia entre el doble de 4 4, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación: + 4= 0 = Por lo tanto el punto de referencia es (, ) [, ) (, ) < < 4 4> [, 4 Como 4> la distancia de a 4 es 4 (el número maor menos el número menor), de donde: + 4 = 4 Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: Como 4 la distancia de a 4 es ( 4) (el número maor menos el número menor), de donde: + 4 = + 4 Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: 9/08/05 5
6 = 4 = = = La solución en éste intervalo será: 7 7 (, ) { 8 } = { 8 } = + 4= = = La solución en éste intervalo será: 5 5 [, { 8} = { 8} El conjunto solución de + 4 = es por lo tanto 4 { 7 } { 5 } { }, 7 5 = = 8 8 El conjunto solución se representa gráficamente así: 8 ó { } EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 9 = En éste caso eisten dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación: 9= 0 = + = 0 = La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:,, (, ) , 9 = 9 + = Por lo tanto: 9 = = + 0 = 0 = 0, 9 = 9 + = ( ) = + Por lo tanto: 9 = = =8 = (, ) : 9 = 9 + = ( ) = + Por lo tanto: 9 = = = 0 La solución en éste intervalo es:, { 0} = La solución en éste intervalo es: { } { }, = La solución en éste intervalo es: (, ) R= (, El conjunto solución de 9 = es: { } (, [, ó { } EJERCICIOS 9/08/05 6
7 Encontrar la solución de: a. = 5 c. 5 = 4 b. 5 = 4 d. 5 = e. 5 = 4 f. = 5 g. + = h. = i. 4 = 4 j. ( )( + ) = 6 k. = m. a = n. = + RESPUESTAS 5 l. = 4 b. No ha solución 9 ó c. ó ± e. ± ó ± 9 f. 5 ó d. g. h. 0 ó ± 4 0 k. No ha solución j. m. n. (, ) (,0) 6 i. 0 ó ± l. ± 9 SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir = 0 =, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( ;) ( ; /08/05 7
8 En éste intervalo < 0 por lo tanto: = Lo que nos lleva a decir que tiene. Dada la condición de conjunto solución es:, ( ;) ( ] ( ;), el se En éste intervalo > 0por lo cual =, por lo tanto se tiene. 5 Dada l a condición ( ; solución es: ; 5, = 5, ( ) [ ) [ ), el conjunto C.S.: (,] [ 5, EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de + 4 Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de donde + = 0 =, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( ;) ( ; En éste intervalo + > 0 por lo tanto: + = + Lo que nos lleva a decir que ( ;) tiene: + 4 Dada la condición de ( ;) conjunto solución es: ; ; = ; ( ) [ ) [ ), el se En éste intervalo + < 0 por lo cual + = +, por lo tanto se tiene. ( ) ( + ) , ( ;, por lo tanto el conjunto solución es: ; ; 7 = ; 7 ( ) ( ] [ ] C.S.: [ ; ) [ ; 7] = [ ; 7] Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM HASTA 4 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de > En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que no es un real positivo para todo valor de. Qué podemos hacer para resolverlo? Haciendo un análisis sobre la recta numérica.primero se determina el punto donde = 0, lo que permite establecer dos intervalos 9/08/05 8
9 ; ; ; se tiene que < 0, por lo tanto = ( ) / ; se tiene que > 0, por lo tanto = Por lo que la situación planteada equivale a > resolver: ( ) Por lo que la situación planteada equivale a resolver: > + > 5 > < C.S. 5 > > < ; = ; 5 5 C.S. = ; ; 5 5 ; C.S. ; ( ; ) = EJEMPLO ADICIONAL 9 Encontrar el conjunto solución de > Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir aquellos puntos donde = 0 = 0, al resolver estas ecuaciones se tiene que: = =, lo que permite establecer tres intervalos, ; ; / / 0 En este intervalo < 0 por lo tanto = > 0 por lo tanto = En este intervalo < 0 por lo tanto = < 0 por lo tanto = ( ) En este intervalo > 0 por lo tanto = < 0 por lo tanto = ( ) De lo anterior el problema planteado > se convierte en De lo anterior el problema planteado > De lo anterior el problema planteado > se convierte en 9/08/05 9
10 > < + < + 7 < > 7 C.S., ; = ; C.S. 7 7 C.S. se convierte en > > ( > + < ( ) 7 > + < + < < 7 < 9 9 C.S. ; 9 = 9 ; ; ; ; 7 7 ( ) El conjunto solución de > puede darse utilizando diferentes notaciones: En notación de intervalos: ; ; 9 ó 9 ; 7 { } 7 En notación de inecuación compuesta < < ó < < 9 7 En representación gráfica: /7 / 9/ 0 EJEMPLO ADICIONAL 0 Encontrar el conjunto solución de Usando propiedades del valor absoluto se tiene: Lo que en términos de distancia significa los números reales cua distancia a es maor o igual al doble de la distancia a 0 En este intervalo < 0 < 0 En este intervalo < 0 > 0 En este intervalo > 0 > 0 Por lo tanto Por lo tanto Por lo tanto 9/08/05 0
11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C.S. ( ; ] [ ; = [ ; ] C.S. [ ; ] ; 5 = ; 5 C.S. [ ; ] ; 5 = ; 5 C.S. [ ; ( ; ] = El conjunto solución representado en la recta numérica es: - 0 5/ EJERCICIOS. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones: a. 7 > b. 4 0 d. > 4 e. f. c. + 4 = > g. < + 5 h. = 5 > i. ( + ) 5 j. k. + 4 > m. 0 + < n. + > 7, 4 l. + ó < 0 o. > 0 p. 7 > 5, q. + 5 > 4 r. 5 < 4 s. 7 > t. 8 + u. 7 + v > a. (, w. + + RESPUESTAS 5, b., c. = ó = d.,, e.,, f. 4 8, g. (, 8) (, h. = ó = 8 6,4 i. [ ] 9/08/05
12 j. [ 0,] k. (, 5] [, l. (,0) m. (,) o. R {} 9 7 n.,, p.,, q., s., 0 6 7, r. (, 4), 4 t. u. v. w. 5 9/08/05
13 EJERCICIOS DE REPASO. Encuentre el valor de m n para que el conjunto de números reales que satisface m n tenga la siguiente representación gráfica: -0/ /. Para qué valores de p la inecuación 7 p. Encontrar el conjunto solución. no tiene solución? a b. 4 0 c. 7 = d. + < e. f > g. 8 = - < 8 h. i. + 4 > j. + k l. ( + ) 5 m. 6 4 n. 4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo en notación de desigualdad,, eprese en palabras la situación. a. b. < + 5 c. = 5 > 5. Escriba en notación de intervalo, si > 6. Los valores de que cumplen con = 7. Los valores de que cumplen con < 8. Completar a. Si > 0, entonces, a a = b b = b. Si < 0, entonces, c. La distancia entre 9 5 es: d. El conjunto de todos los reales tales que = es 9. Complete la tabla siguiente: X /08/05
14 0. Simplifique. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las epresiones de la derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla. a < b 5 < 5 ( ) > a b < 7 a 5 0 > 5 b > 67 a 4 < b 4 < < 5 5 a 5 + > 5 b 6 R. Que podemos decir de z, si, z z < 0. Demuestre que ( ) = eprese en palabras el significado de la igualdad. 4. En qué caso es igual a -? En qué caso es igual a -? 5. Encontrar la solución de: c. ( ) + > a. ( ) 9 > 5 b. 4 ( ) 4 d e. f < g. 5 > 9 h i j k. 7 l. < m. > n o.. 6. p. q. ( ) + > + 7 > RESPUESTAS m = 4 n =. p < a. [ 6, b., c. ó 7 7, f. No ha solución,, 5, d. R e. [ ] g. h. [ 0 ] i. ( ] [ ) j. [ 4, ] [, 0] l. [,8 ] k., 4 m. n. 4. 9/08/05 4
15 a. 7, 4 b. ( 8 ) (, ), c. = ( 0, 6. [ 0, 7. (,0) a. a b. b c. 4 d. R 9. X Y a con, a con, a con, a con,. z < 0. b 4 b 6 4. Si 0 cuando < 0 5. b 4 b a. b. c. d. e. a con b 5 f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. 9/08/05 5
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones
Más detallesDESIGUALDADES página 1
DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detalles1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:
Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesMatemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Más detallesEcuación ordinaria de la circunferencia
Ecuación ordinaria de la circunferencia En esta sección estudiatemos la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. Cuando hablemos de la forma ordinaria de una cónica, generalmente nos referiremos
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Corregido por: Prof. AOUAD Jamil Prof. LAURENTÍN María Prof.
Más detallesPropiedades de les desigualdades.
Desigualdades Inecuaciones Diremos que a < b a es menor que b si b a es un número positivo. Gráficamente, a queda a l esquerra de b. Diremos que a > b a mayor que b si a b es un número positivo. Gráficamente,
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia
Más detalles164 Ecuaciones diferenciales
64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación
Más detallesLección 4: Suma y resta de números racionales
GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,
Más detallesDra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 1 MÓDULO DE LOS ENTEROS. Por profesoras: Iris Mercado y Carmen Ivelisse Santiago GUÍA DE AUTO-AYUDA
Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 1 1 MÓDULO DE LOS ENTEROS Por profesoras: Iris Mercado y Carmen Ivelisse Santiago GUÍA DE AUTO-AYUDA Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 2 Módulo 3 Tema: Los Enteros
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesNOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,
Más detallesSaint Louis School Educación Matemática NB2. Miss Rocío Morales Vásquez
Saint Louis School Educación Matemática NB2 Miss Rocío Morales Vásquez Objetivo s de aprendizajes Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6,
Más detallesCapítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES
Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesFundación Uno. ) 2n, el resultado es: D) b a E)1. entonces el valor de "y" es: II) x y = 3 A)16 B)9 C)4 D)1 E)2. Desarrollo
ENCUENTRO # 27 TEMA: Inecuaciones. CONTENIDOS: 1. Desigualdades.Propiedades. 2. Inecuación lineal o de primer grado. 3. Inecuación cuadrática o de segundo grado. Ejercicio Reto 1. Al simplificar ( a 2
Más detallesSOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que satisfacen la inecuación. Terminología: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales
Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento
Más detallesFUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA Problema : COMPARAR ÁREAS DE CUADRADOS A partir de un cuadrado realizaremos una nueva construcción: se trazan las diagonales y por cada vértice se dibuja una paralela
Más detallesINTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3]
Más detallesInterpolación polinómica
9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,
Más detallesTema 6: Ecuaciones e inecuaciones.
Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =
Más detallesNÚMEROS REALES MÓDULO I
MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano
Más detallesMATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas
ECT UNSAM MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen
Más detallesGeometría Tridimensional
Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] IR IR una función continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesTeoría de Conjuntos y Funciones
Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos
Más detallesLa ventana de Microsoft Excel
Actividad N 1 Conceptos básicos de Planilla de Cálculo La ventana del Microsoft Excel y sus partes. Movimiento del cursor. Tipos de datos. Metodología de trabajo con planillas. La ventana de Microsoft
Más detallesFUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido
Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos
Más detallesDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA 1 SEGUNDO SEMESTRE 2015. PROYECTO No. 2
PROYECTO No. 2 Fecha de publicación: Jueves 7 de septiembre de 205 Entrega: viernes 6 de octubre de 205 Instrucciones: Grupos de tres personas máximo Continuando con el desarrollo de los proyectos del
Más detallesFunciones definidas a trozos
Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detalles5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones
Programa Inmersión, Verano 206 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 3023 Clase #6: martes, 7 de junio de 206. 5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales
Más detallesValor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable Real
Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Precáculo I Tabla de : Discutiremos: la definición de valor absoluto. : Discutiremos: la definición de valor absoluto.
Más detallesContinuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í
Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A
Más detallesCapítulo 5: Ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales
º de ESO Capítulo : Ecuaciones de segundo grado sistemas lineales Autora: Raquel Hernández Revisores: Sergio Hernández María Molero Ilustraciones: Raquel Hernández Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones
Más detallesmcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx
mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Divisores de un número entero 2 2. Máximo común divisor
Más detallesLección 9: Polinomios
LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios
Más detallesAdvierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:
SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las
Más detalles2. GRAFICA DE FUNCIONES
. GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará
Más detallesUNIDAD I NÚMEROS REALES
UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesd s = 2 Experimento 3
Experimento 3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Objetivos 1. Establecer la relación entre la posición y la velocidad de un cuerpo en movimiento 2. Calcular la velocidad como el cambio de posición
Más detallesguía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN TERCER GRADO MATEMÁTICAS
TM guía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN TERCER GRADO MATEMÁTICAS 3 Las escuelas de los Estados Unidos de América están trabajando para brindar una enseñanza de mayor calidad nunca antes vista. La
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesx : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3
3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones
Más detallesSe llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesCapitulo 4. Polinomios
Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN
Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,
Más detallesTEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1
TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES
ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);
Más detallesGráfica de una función
CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detallesINECUACIONES: DESIGUALDADES. 3. Usa métodos para solucionar desigualdades lineales y cuadráticas.
FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA EDUARDO CABALLERO CALDERON Espacio Académico: Matemáticas Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda mbvelascob@uqvirtual.edu.co CICLO: V INICIADORES DE LOGRO INECUACIONES: DESIGUALDADES
Más detallesVectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
Más detallesPara cada cada valor de la función original lo multiplicas por 3 lo recorres 45 a la derecha y lo subes 5 unidades.
3.5 Gráficas de las funciones: f(x) = a sen (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d f(x) = a tan (bx + c) + d en donde a, b, c, y d son números reales En la sección 3.4 ya realizamos algunos ejemplos en
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detalles2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace
2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma
Más detalles2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples.. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una función f :(, ) f(, ) continua positiva cuo dominio
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Juan Jesús Pascual TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x 5x 6 en [ 0, 5 ]? El teorema de Rolle
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesLic. Manuel de Jesús Campos Boc
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 0 Lic. Manuel
Más detalles1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica
1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tres grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente:
Más detalles1 Límites de funciones
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a
Más detalles9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas
Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 77 9 Límites que involucran funciones eponenciales y logarítmicas 9 El número e como un ite El ite: + n) n 9) se conoce como el número e Su valor aproimado,
Más detallesPROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
PROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Por: ELÍAS LOYOLA CAMPOS 1. En un recinto del zoológico se tienen dos tipos de animales: avestruces y jirafas. Hay 30 ojos y 44 patas, cuántos animales hay de cada tipo?
Más detalles2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42
PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesReduce expresiones algebraicas (páginas 469 473)
A NOMRE FECHA PERÍODO Reduce expresiones algebraicas (páginas 469 473) Reduce expresiones algebraicas Los expresiones 3(x 4) 3x 2 son expresiones equivalentes, porque tienen el mismo valor sin importar
Más detalles