IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

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1 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un d ls cutro custions d l opción lgid punturá 5 puntos como máimo Cundo l solución d un custión s bs n un cálculo, ést dbrá incluirs n l rspust dd OPCIÓN A Ejrcicio º) ) Enunci l Torm d Roll Prub qu culquir qu s l constnt α l función f ( ) 5 7 cumpl ls hipótsis d dicho torm n l intrvlo [, ] Clcul un punto dl intrvlo (, ) cu istnci sgur l Torm d Roll ) El torm d Roll s pud nuncir dl modo siguint: Si f() s un función continu n l intrvlo [, b] drivbl n (, b) si s c, b tl qu f () cumpl qu f() f(b), ist l mnos un punto ( ) L función f ( ) 5 7 s continu drivbl n todo su dominio, qu s R, por lo tnto l s plicbl l Torm d Roll n culquir intrvlo rl, por lo tnto, n l intrvlo (, ) Aplicndo l Torm: ( ) f 5 7 ( ) 5 f 7 f f ( ) 7 45 f ( ) ( ) ( ) f L función 7 f ( ) 5 7 stisfc l Torm d Roll n [, ] ± 84 ± 6 6 ± 4 5 ± 6 No s válido l vlor por no prtncr l intrvlo (, ) 7 El vlor qu stisfc l Torm d Roll s pr 7

2 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Ejrcicio º) ) Rprsnt, d form proimd, l figur pln limitd por l curv ( ), su rct tngnt n l punto A(, ) l rct (Pud sr útil clculr los corts d l curv ( ) con los js d coordnds) Clcul l ár d dich figur pln ) Los puntos d cort con los js d l curv ( ) son A(, ) B(, ) L pndint d l tngnt pdid s l vlor d l drivd d l función pr l vlor d n l punto A(, ), o s: ( ) 6( ) m ( ) 6( ) m 6 L tngnt s l rct horiontl qu ps por A(, ): t B Y Pr fcilitr l rprsntción gráfic proimd d l función, vmos dtrminr sus trmos rltivos, tnindo n cunt qu pr s nuln lguns d ls drivds sucsivs d ( ) ( ) ( ) ( ) S O A f() En stos csos pud utilirs l siguint torm: Si f() s un función con drivd d ordn n continu n un vlor tl qu cumpl qu n n f f f f, ntoncs: ( ) ( ) ( ) ( ) - Si n s impr, l función f() s monóton n, sindo strictmnt crcint cundo f n > strictmnt dcrcint cundo f n ( ) < ( ) - Si n s pr, l función f() tin un máimo rltivo f n > n cundo f n ( ) < un mínimo rltivo cundo ( ) Por sr l trcr drivd (impr) l qu s hc distint d cro (mnor qu cro) pr l vlor crítico, l función ( ), l función s monóton dcrcint n su dominio, qu s R

3 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Con los dtos ntriors pud hcrs un rprsntción gráfic, proimd, d l situción, qu s l qu s indic n l figur djunt D l obsrvción d l figur s dduc l ár pdid, qu s l siguint: t t S d dt t ( ) d ( ) d ( ) d ( ) 4 4 t S t dt u S 4 4 4

4 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho 4 Ejrcicio º) Clcul ls mtrics d l form qu cumpln l cución t dond t t s l mtri trspust d ; ; t

5 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Ejrcicio 4º) ) Estudi, n función d los prámtros α b, l posición rltiv d l rct d cución r l plno π b Pr cd un d ls posicions obtnids, dig cómo s l sistm formdo por ls cucions,, α b ) L rct r l plno π dtrminn l sistm b Ls mtrics d coficints mplid son ls siguints: b Sgún los rngos d pudn prsntrs los siguints csos: Rngo Rngo Scnts (un punto n común) Rngo Rngo Prllos (ningún punto n común) Rngo Rngo Rct contnid n plno ( puntos n común) Los rngos d son los siguints: Rngo Pr Rngo Rngo L rct r l plno π son scntgs Pr Rngo b Rngo L rct r l plno π son prllos Pr Rngo b Rngo L rct r stá contnid n l plno π 5

6 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Pr α l rct r l plno π tinn un punto n común: Sistim Comptibl Dtr min do Pr α b l rct r l plno π no tinn ningún punto n común: Sistim Inomptibl Pr α b l rct r l plno π tinn infinitos puntos n común: Sistim Comptibl Indt r min do 6

7 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho OPCIÓN B Ejrcicio º) ) Enunci l Torm dl Vlor dio dl Cálculo Intgrl Clcul l punto l qu s rfir dicho torm pr l función ( ) n l intrvlo [, ] ) f El Torm dl Vlor dio dl cálculo intgrl s pud nuncir sí: Si un c, b tl qu función f() s continu n un intrvlo [, b], ist un vlor [ ] b ( ) d f ( c) ( b ) f Y Y O S b f() f(c) O P S c S N Q b f() L intrprtción gométric pud obsrvrs n ls figurs ntriors El ár S d l primr figur s quivlnt l ár dl rctángulo d vértics PNQ, cu bs s (b ) su ltur s f(c) El vlor d < c < b s tl qu hc qu ls suprficis S S cul justific qu S (b ) f(c) son iguls, lo S S ( ) d [ ] ( ) ( ) ( ) c c u S u S c 7

8 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Ejrcicio º) ) Estudi ls síntots, los trmos rltivos los puntos d inflión d l función f ( ) Rprsnt, utilindo los dtos obtnidos n l prtdo ntrior, l gráfic d l función f ( ) ) Asíntots horiontls: son d l form k, sindo: lím lím lím k f ( ) Indt ( L Hopitl) lím lím k f ( ) No Asíntots vrticls: son los vlors rls d qu nuln l dnomindor: R No tin rl Asíntots oblicus: son d l form m n, sindo m rl distinto d n ( ) lím f lím lím m No tin Los máimos mínimos rltivos son los siguints: f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) < áimo ( ) áimo A, 8

9 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho f f ( ) P I B, ( ) f ( ) P I Con los dtos ntriors pud sbors l gráfic d l función, qu s l qu s prs continución, tnindo n cunt dmás qu: f ( ) O(, ) f ( ) C(, ) Y A B - - O f() - - C - 9

10 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Ejrcicio º) Discut, n función dl prámtro α, l sistm d cucions ( ) (No s ncsrio rsolvrlo n ningún cso) Ls mtrics d coficints mplid son ls siguints: El rngo d n función dl prámtro α s l siguint: ( ) ( ) ( ) do Dtr Comptibl incógnits n Rngo Rngo Pr min º { } C C C s Pr α Rngo Rngo Incomptibl Rngo Rngo Pr

11 IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho Ejrcicio 4º) Considr ls rcts r s ) Dtrmin l plno π qu contin l rct r cort prpndiculrmnt s Clcul l punto dond s cortn l plno π l rct s Un vctor dirctor d s s ( ),, v El plno π, por sr prpndiculr l rct s, tin como vctor norml l vctor dirctor d s, por lo qu su cución gnrl s d l form D π L prsión d r por uns cucions prmétrics s l siguint: r r El plno π, por contnr l rct r, contin todos sus puntos Uno d los puntos d r s dduc d l prsión prmétrics d r, qu s A(, -, ) Pr obtnr l vlor d D n l prsión gnrl d π tnmos n cunt qu contin l punto A(, -, ), por lo cul, tin qu stisfcr su cución: ( ),, D D A D π π El punto P d cort dl plno π l rct s s l soluci ón dl sistm qu formn: ( ),, P s π

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