4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Transcripción

1 .1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO. APROXIMACIONES. ANALISIS MARGINAL. COSTO MEDIO.5 ELASTICIDAD.6 MONOTONÍA.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS.8 CONCAVIDAD.9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.1 PROBLEMAS PRACTICOS DE OPTIMIZACIÓN.11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS.11.1 TEOREMA DE LAGRANGE.11. TEOREMA DE ROLLE.11. TEOREMA DE CAUCHY.11. TEOREMA DE L HOPITAL OBJETIVOS: Resolver problemas de razón de cambio. Aproimar variaciones de unciones. Aplicar e interpretar el Análisis Marginal Calcular Elasticidad de la demanda Elaborar gráicas. Resolver problemas prácticos de Optimización Calcular indeterminaciones empleando la regla de L hopital 81

2 .1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Suponga que se tiene y (t) y que se da una variación en t, denotada como t, esto provoca una variación en la unción, denotada como y. Esta variación puede ser en sentido de aumento, positiva, o en sentido de disminución, negativa. La variación de la unción sería: y ( t t) ( t) Se considera la variación media de la unción como: y ( t t) ( t ) t t Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio instantáneo de la unción, es decir: y ( t t) lim lim t t t t ( t) Observe que la última epresión es la derivada de la unción (t) ; entonces, la derivada (t) epresa el cambio instantáneo que eperimenta la unción..1.1 DEFINICIÓN. Sea y (t). La RAZÓN O RAPIDEZ DE CAMBIO de y con respecto a t, se deine como: ( t) lim t t t t ( ) ( ) t La RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL se deine como: ( t) 1 ( t) Obtener rapidez de cambio porcentual posibilita la comprensión del cambio signiicativo con respecto al valor original. Esto nos va a permitir resolver problemas de aplicación. 8

3 Ejemplo 1 En un estudio realizado a partir del año 1999 se determinó que el impuesto predial estaba dado por I( t) 1t 7t 5 dólares, donde "t " signiica años después de a) Calcule la razón a la que aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 5. b) A qué razón porcentual aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo en 5? a) La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de I (t), es decir: I ( t) t 7 dólares por año desde el año 1999 al año 5 han transcurrido 6 años, por tanto: I (6) Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 19 DÓLARES PO R AÑO. I (6) b) La razón de cambio porcentual será: 1 I(6) calculemos I (6) : I(6) dólares I (6) 19 Entonces % I(6) 18 Es decir, después de seis años el impuesto estará cambiando al 1. 8% anual. Ejemplo Un comerciante estima que la demanda de cierto artículo estará dada por D( p) p artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por p ( t) t t dólares por artículo. A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 1 semanas? SOLUCIÓN d El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será; D( p) dt Como la demanda D es unción de precio p, aplicamos la regla de la cadena para obtener la derivada de la demanda con respecto al tiempo t, es decir: d dd dp D( p) dt dp dt 8 t 1 p Después de 1 semanas el precio de los artículos será: (1) Entonces: p dólares por artículos. 8

4 d dt 8 p D( p) t 1 8 (1) 1 1 artículos / semana 7. semana En 1 semanas, la demanda semanal estará dismuyendo a una razón de 7. Ejercicios Propuestos.1 1. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por U ( t).1t 1t miles de dólares, " t " años después de su ormación en 1. a) A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de la compañía, con respecto al tiempo, en el 5?. b) A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo en el 5?. Después de " t " SEMANAS, la cantidad de personas que utilizan un nuevo sistema de cajero automático está dada por P ( t) 6t 5t 8 personas. A qué RAZÓN PORCENTUAL cambió el uso del sistema después de 1 semanas?. Dentro de " t " AÑOS la población de cierta ciudad está dada p ( t) miles de habitantes. Un t 1 estudio ambiental revela que la contaminación del agua estará dada por C ( p) p p 1 UNIDADES de contaminación cuando la población sea p MILES DE HABITANTES, a qué RAZÓN PORCENTUAL variará la contaminación del agua después de años?. Cuando un determinado artículo se v enda a " p " dólares por unidad, la demandad de los consumidores locales estará dada por D( p) unidades al mes. Se estima que dentro de " t " meses el precio del artículo p estará dado por p ( t ) t dólares por unidad. A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 6 meses? 5. Dentro de "t " AÑOS, la población de cierta ciudad está dada por: P ( t) t t 1 habitantes. a) Eprese la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población como una unción de t b) Qué sucederá con la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población a largo plazo? 6. El PNB de cierto país crece a una razón constante desde 1996, cuyo valor era $15. millones y en 1998 era $155. millones. A qué razón porcentual aumentó el PNB en 1. 8

5 . APROXIMACIONES Suponga que se esté produciendo un determinado artículo; los costos de producción, los ingresos y por ende la utilidad se verían aectados si variamos la producción. Estos cambios en el costo, en el ingreso y en la utilidad pueden ser encontrados, en sus valores aproimados, empleando el cálculo dierencial. Es decir, podemos hallar el valor aproimado de la variación de una unción, cuando su variable independiente cambia, a partir de su regla de correspondencia. Empecemos mencionando la deinición de dierenciales...1 DEFINICIÓN. DIFERENCIALES. Sea y una unción dierenciable. La dierencial de la variable independiente se denota como d y la DIFERENCIAL de y denotada como dy, se deine como: dy ( ) d Ahora hagamos una interpretación graica. Observe la igura: 85

6 Note que la variación de " denotada como " decir d Además observe que, si entonces y dy, es decir: y ( ) " es igual a su dierencial, es Entonces, el cambio real ) ( ) es aproimadamente igual a ( ). ( Además, Se deine la VARIACIÓN RELATIVA como: y y Y la VARIACIÓN PORCENTUAL sería: y 1 y 1 Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta ábrica están dados por C( q) 5q 9q dólares, donde " q es el número de unidades producidas. En la actualidad se están produciendo unidades. a) Calcule la variación real en el costo, si se decide producir unidades b) Utilice el Cálculo para aproimar el CAMBIO que se generará en el costo al producir las unidades. c) Calcule el cambio porcentual SOLUCIÓN. a) El cambio real se lo puede calcular obteniendo la dierencia entre el costo de producir unidades y el costo de producir las unidades. CambioReal en el Costo C C() C() $65 86

7 b) Por otro lado Cambio Aproimado en el Costo C ( ) q En este caso q y ( q) 1q 9 Entonces: C () 1 $6 9 C 6 c) Cambio porcentualen el Costo 1 1.% C 515 Ejemplo La producción de cierta ábrica está dada por Q( L) 6L unidades, donde L representa el tamaño de la uerza laboral. El abricante desea incrementar la producción en un 1 %. Aplique el Cálculo para estimar EL INCREMENTO PORCENTU AL que se requerirá en la mano de obra. SOLUCIÓN. Se pide L% si Q 1% L El cambio porcentual en L estaría dado por L% 1. L Q El cambio porcentual en Q está dado por Q% 1 y como Q Q L entonces Q Q L Q% 1 Q 1 La derivada de Q sería Q 6 L L 1. Reemplazando, tenemos: Q L Q% 1 Q 1 L L 1 1 6L L 1 1 L L Despejando L, resulta L. Y inalmente reemplazando L L% 1 L L L% 1 1.5% L 87

8 Ejercicios Propuestos. 1. Dada la ecuación de la demanda demandan q 1. 5 unidades. 1 p q, utilice dierenciales para estimar el precio p cuando se. Se estima que la producción semanal en cierta planta está dada por Q 5 9 unidades, donde " " es el número de trabajadores empleados en la planta. En la actualidad hay trabajadores empleados en la planta. a) Utilice el cálculo para estimar el cambio que se generará en la producción semanal al aumentar en 1 trabajador la uerza laboral. b) Calcule el cambio real que se generará en la producción al emplear 1 trabajador más.. En cierta ábrica la producción Q está relacionada con los insumos " " e " y " mediante la ecuación Q y 1 y. Si los niveles actuales de insumos son e y, utilice el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en el insumo " y " para compensar una disminución de.5 unidades en el insumo " ", de manera que la producción se mantenga en su nivel actual.. La producción Q de una ábrica está relacionada con los insumos e y mediante la ecuación Q y y. Si los niveles actuales de insumos son 1 e y, aplique el Cálculo para estimar el CAMBIO que debería realizarse en el insumo y que debería realizarse para COMPENSAR UN INCREMENTO de. 5 en el insumo, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual En cierta ábrica un obrero que llega al trabajo a las 8 a. m. habrá producido Qt t t 1t unidades, t horas más tarde. a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9 a.m. b) A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9 a.m.? c) Aplique el cálculo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9 a.m. y las 9:6 a.m. d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 9: a.m. y las 9:6 a.m. 6. En determinada Fábrica, la producción diaria está dada por Q K L unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa medida en unidades de $1. y L representa el tamaño de la uerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión actual de capital es de $. y que se utilizan 11 horas-trabajador todos los días. Emplee el cálculo marginal para estimar el eecto que, sobre la producción diaria, tendrá una inversión de capital adicional de $1., si el v olumen de la uerza laboral permanece igual. 7. En determinada empresa, la producción está dada por Q( K) K unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa. Estime qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de capital?

9 . ANALISIS MARGINAL En Economía, ocasionalmente se hace necesario determinar la variación de una unción cuando su variable independiente cambia en una unidad. Si y () entonces y ( ). Considerando 1 tenemos que y (). A este resultado, es decir a () se la llama la FUNCIÓN MARGINAL de (). Lo anterior quiere decir que: Si tenemos C (q) el COSTO de producir q unidades, entonces C (q) sería el COSTO MARGINAL y signiica el costo adicional por producir la unidad q 1. Si tenemos I (q) el INGRESO por la venta de q unidades, entonces I (q) sería el INGRESO MARGINAL y signiica el Ingreso adicional por la venta de la unidad q 1. Si tenemos U (q) la UTILIDAD por la producción y venta de q unidades, entonces U (q) sería la UTILIDAD MARGINAL y signiica la utilidad adicional por la producción y venta de la unidad q 1. Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta planta están dados por dólares, donde " q es el número de unidades producidas. C( q) 5q 9q a) Determine el Costo Marginal. Interprete. b) Suponga que se están produciendo 1 unidades, emplee el Costo Marginal para estimar el costo de abricar la unidad 11. a) El costo marginal seria C ( q) 1q 9 dólares, el cual signiica el costo adicional de producir la unidad q 1. b) El costo adicional por abricar la unidad 11 es C ( 1) dólares. 89

10 . COSTO MEDIO. Sea C (q) el COSTO de producir q unidades, entonces el COSTO MEDIO, denotado como C, se deine como: Ejemplo 1 C( q) C q Para el costo C( q) 5q 9q, donde q es el número de unidades producidas, determine el Costo Medio. C( q) 5q C q 9q $ 5q 9 q unidad Ejemplo Suponga que el costo medio para un determinado artículo está dado por C ( q) q 1q 5, donde q es el número de unidades producidas, determine el Costo Marginal. Como C C( q) q entonces C( q) q C qq 1q 5 q 1q 5q Por lo tanto el Costo marginal sería: C ( q) q q 5 Ejercicios Propuestos. 1. Si la unción de Costo total, para un abricante está dada por C q 5 5q q, siendo q las unidades producidas. Determine el costo marginal y el costo medio cuando se producen 1 unidades. Interprete. q C q q ; sabiendo que la ecuación de la demanda es: 1 Dq 5 q, determinar las unciones de Ingreso, Costo y Utilidad Marginales. Interprete 5 C q 1 q q 5 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 1 pq 6 q el precio al cual se v enderán las q unidades. a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la venta de la cuarta unidad.. La unción de costo total está dada por: 67. Sea 57 9

11 1. Sea Cq q q 67 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 1 pq 5 q el precio al cual se v enderán las q unidades. 5 a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la v enta de la cuarta unidad..5 ELASTICIDAD Suponga ahora que se desea determinar la variación porcentual de una unción cuando su variable independiente varía en 1%. Esto es, si tenemos y () y suponga que 1 1% es decir que Bien, sabemos que el Reemplazando, tenemos:. 1. Cambio Porcentual Cambio Porcentual Este cambio porcentual de, es lo que se denomina ELASTICIDAD de..5.1 DEFINICIÓN Sea y (). La ELASTICIDAD de con respecto a, denotada como, se deine como: y denota el cambio porcentual de cuando varía en 1%. Es muy común utilizar este concepto para la demanda. 91

12 Suponga que se tiene la ecuación de la demanda D ( p) D ( p) entonces Dp p y de dice que: Si 1 la demanda es INELASTICA Ejemplo 1 Si 1 la demanda es ELÁSTICA Si 1 la demanda es de ELASTICIDAD UNITARIA Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D ( p) p ; p cuando el precio del artículo es p. Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $. Interprete Empleando la deinición D ( p) p p p () p p.57 D p p p 16 p 16 () p Esto quiere decir que cuando el precio del ar tículo es de $ si este precio varía en 1% entonce s la cantidad demandada disminuirá en.57%. Y como tenemos una DEMANDA ELÁSTICA. Ejercicios Propuestos. 1. Determine las elasticidades de la demanda en unción de p para: a) q 5 p g) D( q) q 9 b) q h) q 1 p p 1 c) D: p i) ( p )( q 1) 8 q 1 8 d) D: p q p q 5 e) 16 ) D ( q) q. Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D( p) p p cuando el precio del artículo es p. Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $. Interprete 9

13 .6 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una unción..6.1 Teorema de Monotonía Sea una unción continua en un intervalo a, b y dierenciable en todo punto interior de a, b. Entonces: 1. Si ( ), a, b entonces es creciente en a, b. Si ( ), a, b entonces es decreciente en a, b. DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que ( ), a, b. Sea a b ( ) entonces ( ), es decir lím ; esto, lím indica que lím En el primer caso el denominador es negativo por tanto el numerador debe ser también negativo, es decir ( ), lo cual también indica que es creciente. En el segundo cado en denominador es positivo ( ), lo cual indica que es creciente Para el caso ( ), la demostración es análoga. por tanto el numerador debe ser también positivo, es decir Ejemplo 1 Analice la monotonía de ( ) 5 De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de. Es decir, a ( ) 9

14 El asunto es determinar en qué intervalo para esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual actorizamos ( ) ( 1) ; se observa que: ( ) 1 Negativa (-) decrece 1 Positiva(+) crece Ejemplo Analice la monotonía de Analizando la primera derivada ( ) 6 En la orma actorizada ( ) se observa que: ( ) Positiva (+) crece Negativa (-) decrece Positiva (+) crece Ejercicios Propuestos.5 Determine los interv alos de crecimiento y de decrecimiento para cada unción:

15 .7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más importante que se resuelve con la ayuda de la derivada..7.1 DEFINICIÓN Sea : I. Suponga que pertenece al intervalo I. Entonces: 1. ( ) es el valor máimo de en I, si ( ), I. (El mayor de todos). ( ) es el valor mínimo de en I, si ( ), I. (El menor de todos) Al máimo y al mínimo de se lo llama VALOR EXTREMO. Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la eistencia de los valores etremos..7. TEOREMA. Condición suiciente para la eistencia de Máimos y Mínimos Si es una unción continua deinida en un intervalo a, b entonces alcanza un valor máimo y un valor mínimo en a, b. Lo anterior quiere decir que siempre habrá etremos para unciones continuas en un intervalo cerrado. Pero continúa la interrogante cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben eistir puntos candidatos a ser etremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos Críticos. 95

16 .7. DEFINICIÓN. Puntos Críticos. Sea una unción deinida en un intervalo a, b que contiene a. Entonces es llamado Punto Crítico si es: Un punto etremo del intervalo, es decir a, b. Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir ( ). Este será llamado Punto Crítico Estacionario. (En este punto la recta tangente es horizontal). O bien, Un punto donde la derivada no eiste; es decir ( ) no está deinida. Este será llamado Punto Crítico Singular. (En estos puntos la gráica de tiene unos picos. Por ejemplo, tiene un punto crítico singular (pico) en ).7. TEOREMA Sea una unción deinida en un intervalo a, b que contiene a. Si ( ) es un valor etremo entonces es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de rontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los 96

17 etremos de la unción. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. DEMOSTRACIÓN. Sea ) un valor máimo; es decir ( ) (, entonces: ( ) ( ) Si, dividiendo por tenemos ( ) Ahora obteniendo límite lím lím resulta ( ). ( ) Para, tenemos, obteniendo límite lím lím resulta ( ) Suponga que es derivable en, entonces ( ) ; es decir es un punto crítico estacionario. Suponga que no es derivable en, entonces ( ) no eiste; es decir es un punto crítico singular. La demostración ser ía análoga para el caso de que ) sea un valor mínimo. ( Por lo tanto, los valores etremos de una unción se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: 97

18 Si no es un punto crítico entonces no será etremo. Necesariamente los etremos se producen en los puntos críticos. Es suiciente que ( ) sea un etremo para que sea un punto crítico. Que sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suiciente. Es decir, no todo punto crítico es etremo. En las gráicas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran etremos. Esto nos hace pensar que deben eistir criterios para clasiicar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta. Ejemplo 1 en, Determinar los etremos para ( ) 5 De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: y. Puntos críticos Estacionarios: valores de para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada: ( ) Ahora ( ) ( 1), entonces el Punto Crítico Estacionario sería: 1.. Puntos críticos Singulares: valores de para los cuales la derivada no eiste. Al observar la derivada notamos que se deine para toda ; por tanto, no eiste puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las unciones polinomiales son continuas y derivables en todo. Bien, ahora nos corresponde clasiicar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la unción en los puntos críticos: 5 5 (1) Por inspección, se determina que: En se encuentra el Valor Máimo. Y en 1 se encuentra el Valor Mínimo de

19 Ejemplo en, Determinar los etremos para Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: y. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada ( ) Entonces serían: y.. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la unción: 6 ( ) () () () 1 ( ) 6, tenemos: () () 7 7 () De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máimo de la unción es, que se produce tanto en como en ; y, el valor mínimo de la unción es -17 que se produce en. Ejercicios Propuestos.6 1. Determine el v alor máimo y el valor mínimo : 1. ( ) en, en, en 5,. ( ) 1 5 en 1, en, 1 en 1, 6. Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la unción y el menor de todos en un intervalo de su dominio, pero si analizamos la unción en todo su dominio, esto nos deja insatisechos. Qué ocurre con los puntos críticos que son etremos en un intervalo? 99

20 .7.5 Máimos y Mínimos Locales O Relativos Sea una unción de variable real. Sea un punto del dominio de. Entonces: 1. ( ) es un valor máimo local de, si eiste un intervalo a, b en el dominio de que contiene a tal que ( ) es el valor máimo de en a, b.. ( ) es un valor mínimo local de, si eiste un intervalo a, b en el dominio de que contiene a tal que ( ) es el valor mínimo de en a, b.. ) es un valor etremo local de, si ( es un máimo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará etremos absolutos. Observe el siguiente gráico: Un criterio para clasiicar a los etremos locales es el que sigue. 1

21 .7.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea continua en a, b que contiene al punto crítico. Entonces: 1. Si ( ), a, y ),, b ( entonces ) es un valor máimo local de. (. Si ( ), a, y ),, b ( entonces ) es un valor mínimo local de. (. Si () tiene el mismo signo a ambos lados de entonces ( ) NO es un valor etremo de. Ejemplo Para Analizando la primera derivada ( ) se observó que: ( ) Positiva (+) crece Negativa (-) decrece Positiva (+) crece Entonces: 1. Como antes de la derivada es positiva y después es negativa se concluye que () es un máimo local.. Como antes de la derivada es negativa y después es positiva se concluye que () 1 es un mínimo local. Ejercicios Propuestos.7 Emplee el criterio de la primera derivada para clasiicar los e tremos locales:

22 Si nuestro objetivo ahora uese trazar la gráica de las unciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la inormación que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 en, Trazar la gráica de ( ) 5. Se ha obtenido 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráica de la unción es decreciente y después es creciente, por tanto su gráica sería: Má. P.C.F.,11 5,5 P.C.F. Mín 1, P.C.E. Note que para obtener la gráica de la unción anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de unciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya amiliarizando con los criterios nuevos, epuestos en esta sección. Ejemplo Graicar en, ( ) Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios y, también se determinó que antes de la gráica de la unción es creciente y después es decreciente hasta el otro punto ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráica es: P.C.E y má. P.C.F P.C.E ( ) P.C.F y mín 1

23 Ejercicios Propuestos.8 Bosqueje la gráica de: y 5 y Para los casos de unciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suicientes para obtener una buena aproimación de su gráica, debido a que son unciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graicar 5 Analizando la derivada 1 5 ( ), tenemos: Punto Crítico Singular: ( ) Negativa (-) decrece Positiva (+) crece Por tanto, se puede decir que su gráica es: y 5 Para la gráica del último ejemplo se hace necesario determinar la orma de la curva, porque con la inormación de monotonía obtenida queda la duda de que la 1

24 gráica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos:.8 CONCAVIDAD.8.1 Teorema de concavidad Sea una unción dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si ( ), I entonces es cóncava hacia arriba en I.. Si ( ), I entonces es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de 1 Como la primera derivada de es ( ) entonces la segunda derivada es 5 ( ) 5 5 Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: 5 6 ( ) Negativa (-) Cóncava hacia abajo Negativa (-) Cóncava hacia abajo Certiicando con esto que la gráica de es la que se proporcionó. Otra deinición importante es la que presentamos a continuación. 1

25 .8. Puntos de Inleión Sea continua en, llamamos a, ( ) un punto de inleión de la gráica de, si es cóncava hacia arriba a un lado de y cóncava hacia abajo al otro lado. Es decir, en un punto de inleión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo Analizar la concavidad de ( ) Como la primera derivada de es ( ) 6 6 6( 1) ( ) 6 entonces la segunda derivada es ( ) 1 Negativa (-) Cóncava hacia abajo 1 Positiva (+) Cóncava hacia arriba Esto conirma la gráica de proporcionada anteriormente y además completa la inormación del comportamiento de la unción. P. Inleión ( ) Note que en la unción del ejemplo anterior hay un punto donde su gráica cambia de concavidad, éste es el punto de inleión. 15

26 Ejercicios Propuestos.9 Determine los interv alos de concavidad: Para clasiicar los puntos críticos estacionarios en máimos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio..8. Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que y eisten en a, b que contiene a y que ( ). 1. Si ( ) entonces ( ) es un valor máimo local de.. Si ( ) entonces ( ) es un valor mínimo local de. Ejemplo Determinar los etremos aplicando el criterio de la segunda derivada para De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: y. Bien, ahora nos corresponde clasiicar a los puntos críticos, para lo cual: ( ) 6 6 a) () 6() 6 6 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) () (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO. 16

27 .9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráicas de unciones con reglas de correspondencias soisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1. Establecer el dominio de la unción..establecer la simetría de las gráicas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna..establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas..establecer los puntos críticos de rontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los etremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inleión. Ejemplo 1 Graicar ( ) Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Paso. SIMETRÍA: Dom R por tanto es IMPAR. ( ) 17

28 Paso. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay ( por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al ininito lím lím lím 1 1 Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos ininito, es decir: lím Por tanto el eje ( y ) es asíntota horizontal tanto para el ininito positivo como para el ininito negativo. Paso. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. Por qué? P.C.E: P.C.S: no hay. Por qué? ( ) 81 ( ) por lo tanto tenemos P.C.E: y Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí eiste un Mínimo local.. En la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí eiste un Máimo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada decrece ( ) D crece decrece 18

29 Entonces: 5 5 Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en, puntos de inleión: 5, 5 En conclusión:,, 5 y y 5, 5. ( ) ( ) entonces eisten tres - - Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inleión - + Decrece y cóncava hacia arriba + Punto crítico estacionario, Mínimo local + + Crece y cóncava hacia arriba Punto de inleión + - Crece y cóncava hacia abajo - Punto crítico estacionario, Máimo local - - Decrece y cóncava hacia 1 5 abajo 5 Punto de inleión Decrece y cóncava hacia arriba ( ).5 Má. P.C.E P.I.9;1.68 P.I.9; 1.68 P.I P.C.E Mín..5 19

30 Ejemplo Graicar 1 1 Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom R 1,1 1 1 Paso. SIMETRÍA: ( ) por tanto es PAR. ( ) 1 1 Paso. ASÍNTOTAS: VERTICALES: 1 y 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al ininito Por tanto, lím lím y es la asíntota horizontal tanto el ininito positivo como para el ininito negativo. Paso. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. Por qué? P.C.E: 1 1() ( ) P.C.S: no hay. Por qué? Por lo tanto tenemos Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí eiste un Máimo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 1 1 ( ) D Entonces: crece 1 crece decrece 1 decrece

31 Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: ( ) ( ) Crece y cóncava hacia arriba 1 Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo - Punto crítico estacionario, Máimo local Decrece y cóncava hacia abajo 1 Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba y 1 1 Má. Local P.C.E Ejercicios Propuestos.1 1. Graicar las siguientes unciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, e tremos, concav idad, puntos de inleión: e

32 . Bosqueje una unción de variable real que cumpla las siguientes condiciones: lím lím 1 lím 1 '( ) '() '(/ ),, 1 '( ) en,1 ''() y, ( ) 1, ( ). Suponga que '( ) ( )( 1) una gráica para. y (1), 5, () 5, esboce.1 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo epuesto es posible resolver problemas prácticos de optimización. Se recomiendo seguir los siguientes pasos: 1. Deina la Función Objetivo. Función a maimizar o minimizar.. Simpliique la Función Objetivo.. Encuentre los Puntos Críticos.. Clasiique los Puntos Críticos. Determine los etremos (máimos o mínimos) 5. Encuentre la Función Óptima. De ser solicitada. 11

33 Ejemplo 1 Un abricante puede producir cierto artículo a un costo de $ 1 cada uno y estima que si se venden a " " DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán ARTÍCULOS POR DÍA. A qué PRECIO debe el abricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será la utilidad del artículo. U Ingresos Costos PASO. Simpliicamos: 1 U 1 U PASO. Obtenemos los puntos críti cos: U PASO. Clasiicamos el punto crítico: Empleemos el criterio de la segunda derivada: du d Esto nos asegura que el abricante debe vender los artículos a $ para obtener la máima utilidad. Ejemplo Un almacén vende bicicletas a US$ por unidad. A este precio las personas han comprado 5 bicicletas al mes. El propietario desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán bicicletas menos cada mes. Si cada bicicleta tiene un costo de US$5 para el almacén, A qué precio debería vender las bicicletas para maimizar las utilidades? PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será también será la utilidad. Utilidad = Ingresos- costos = (precio venta)(cantidad) - (costo unitario)( cantidad) Sea número de incrementos de $1en el precio de venta Entonces: U PASO. Simpliicamos: U U 75 PASO. Obtenemos los puntos críti cos: U 5 PASO. Clasiicamos el punto crítico: du d Por tanto, el propietario debe hacer 5 incrementos de $1 en precio, es decir debe vender las bicicletas a $5 para obtener la máima utilidad. 11

34 Ejercicios propuestos Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de q unidades de cierto artículo es: I q q 68q 18. En qué nivel de ventas el ingreso es máimo?. Un estudio de eiciencia indica que un trabajador que llega a las 8h ensamblará t 9 Q t t 15t unidades/ hora. En qué momento de la mañana opera con eiciencia máima.. La ecuación de la demanda para el producto de un abricante es p 6 q y la unción de costo C medio es C.q 8, donde q es el número de unidades y tanto p como C q q están epresados en dólares por unidad. Determine el nivel de producción para obtener la mayor utilidad posible.. Una unción de precio p, está deinida por p( ), donde es el número de unidades vendidas. Determine el valor de donde el ingreso marginal es máimo. 5. Una librería puede obtener un cierto libro a $ cada uno. La librería está vendiendo el libro a $ cada uno y a este precio vende ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, la librería está planeando bajar ese precio y estima que por cada dólar de reducción en el precio del libro se venderán libros más al mes. Determine: a) El precio que debe venderse el libro a in de generar el mayor beneicio para el dueño de la librería. b) La cantidad adicional de libro vendida al nuevo precio. 6. Un minorista puede obtener cámaras del abricante a un costo de $5 por unidad. El minorista vende las cámaras a un precio de $8 cada una y, a este precio, los consumidores han comprado cámaras al mes. El minorista planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 1 cámaras más cada mes. A qué precio debería el minorista vender las cámaras para maimizar el rendimiento total? 7. En una página de un libro debe haber 15 cm de teto escrito. Los márgenes laterales deben ser de cm y los márgenes superior e inerior de cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 8. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 5cm. El material del ondo del recipiente cuesta centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta centavos el cm. Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente? 9. Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de elaborar la base se dispone de un material que cuesta centavos el cm. Para cm y el material usado para la supericie lateral cuesta centavos el cm. Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especiicaciones dadas de tal orma que el costo de abricación sea mínimo. 1. Un observatorio debe tener la orma de un cilindro circular recto, rematado por una bóveda hemisérica, con un volumen total dado. Si la bóveda hemisérica cuesta el doble por pie cuadrado que el muro cilíndrico. Cuáles son las proporciones más económica? 11

35 .11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si es una unción continua en a, b y derivable en a, b entonces, eiste al menos un número en a, b tal que ( ) ( b) ( a) b a Lo que nos indica este teorema es que si la unción es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces eistirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los etremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Tangente Recta Secante (b) y () ( b) - ( a ) (a) b- a a b Demostración:, donde g es la recta entre los puntos, ( a) Sea la unción S( ) g( ) b, ( b), entonces podemos obtener su ecuación: Es decir: y y y ( a) m ( b) ( a) b a a a y 115

36 y g( ) ( a) ( b) ( a) b a a Reemplazando, resulta: ( b) ( a) S( ) ( a) b a Note que también S es continua en ab, y derivable en ab, Obtengamos ahora Sa ( ) y Sb (): a ( b) ( a) S ( a) ( a) ( a) b a ( b) ( a) S ( b) ( b) ( a) b a b a a, b tal que S ( ) Por tanto, Para lo cual Por lo último a a ( b) ( a) ( b) ( a) S ( ) ( ) y b a S ( ) ( ) b a ( b) ( a) ( ) L.Q.Q.D. b a Ejemplo 1 Encuentre el número garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si en 1,. Observe que es continua en 1, y como ( ) por tanto es dierenciable en 1, en 1, cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la eistencia de () ( 1) ( ) está garantizada y lo podemos encontrar. 1 Para lo cual ( ) y 1 Igualando y despejando, resulta: 1. Geométricamente. () ( 1) se tal que 116

37 Recta Secante Recta Tangente.5 Ejemplo Use el teorema del valor medio para demostrar que: Usemos sen. Note que es una unción continua en, sen b sen a a b ( b) ( a) al teorema de Lagrange, eiste un a, b tal que ( ). b a Reemplazando y simpliicando senb sena cos b a Por otro lado cos 1 senb sena Entonces 1 b a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb sena 1 b a senb sena b a Que es lo que se quería demostrar. ab y derivable en ab, por tanto de acuerdo Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. 117

38 .11. TEOREMA DE ROLLE Si es una unción continua en a, b y derivable en a, b y si ( a) ( b) entonces, eiste al menos un número en a, b tal que ( ) Ejercicios Propuestos.1 1. Sea. Hallar todos los valores de " " en el interv alo [-,] tales que '( ). La unción satisace la hipótesis del teorema del v alor medio en el intervalo [,]. Diga si esto es verdadero o also, justiicando apropiadamente su respuesta. El teorema del valor medio para dos unciones sería: 118

39 .11. TEOREMA DE CAUCHY Sean y g unciones continuas en ab, y dierenciables en ab, entonces, eiste al menos un número en ab, tal que: ( ) ( b) ( a) g ( ) g( b) g( a) Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones..11. TEOREMA DE L HOPITAL Suponga que lím lím g( ) o también u u u u lím lím g( ). Si ( ) lím u g ( ) sentido inito o ininito; entonces: ( ) lím lím u g( ) u g ( ) Donde u a, a, a,, eiste en Ejemplo 1 Calcular sen lím Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: sen cos lím lím cos

40 Ejemplo Calcular lím 1 1 Transormando la epresión primero, resulta: lím 1 ln1 1 lím e 1 lím e Aplicando el teorema de L hopital al eponente, tenemos: 1 ln(1 ) lím lím Por tanto, lím e e ln 1 ln1 lím e Ejemplo Calcular sen lím Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: sen cos 1 lím lím Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L Hopital, y así tantas veces como sea cos 1 sen 1 necesario: lím lím 6 6 Ejemplo 5 1 Calcular lím Note que aquí tenemos: 6 5 Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: lím 8 6 Volviendo a aplicar L Hopital resulta: lím 8 Ejemplo 5 Calcular lím tg 1 Observe que aquí tenemos 1. Entonces la regla de L hopital no es aplicable directamente. Transormando la epresión primero, resulta: 1

41 lím 1 e tg tg ln tg ln lím líme 1 1 Aplicando el teorema de L hopital al eponente, tenemos: 1 ln( ) 1 lím lím 1 cot g 1 csc Por tanto, lím tg e 1 e ln lím 1 cot g Ejemplo Calcular lim 1 ln 1 Observe que aquí tenemos. Transormando la epresión primero, resulta: ln lim 1 ln 1 lim 1 ln 1 Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: ln 1 lim lim lim lim 1 ln ln 1 ln 1 1 ln Volviendo a aplicar L hopital: lim lim 1 1 ln 1 1 1ln Ejercicios Propuestos.1 Calcular: 1 1. lim sen. lim tg sen tg. lim e e 1. lim ctg lim 1 cos c tg 5. cos 1 6. lim 1 cos lim lim sen lim cos lim cos lim lim ln ln cos lim lim 1 sen 15. lim c tg 11

42 .1 POLINOMIO DE TAYLOR y La ecuación de la recta tangente en el punto, ( ) ( es decir y ( ) (. ) ) es En la vecindad de, y () ; por tanto una buena aproimación para una unción dierenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: (. ) ( ) Lo anterior corresponde a la aproimación de una unción mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!! n!... n El Polinomio de Taylor de orden n para una unción. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: () () ()! ()!... Ejemplo 1 Hallar el polinomio de Taylor de orden para e, alrededor de y empléelo para.1 calcular e. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! IV e e e!!! e 1 6 Bien, ahora reemplazando. 1 resulta: (.1) e e e (.1)

43 Ejemplo e alrededor de Hallar el polinomio de Taylor de orden para Se puede emplear el polinomio del ejemplo anterior, sería cuestión de reemplazar e 1 ( ) ( ) ( ) ( )!! e 1!! por, es decir: Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden para Ahora, es cuestión de reemplazar por, es decir: e 1 ( ) ( ) ( )!! e 1!! e alrededor de Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden 5 para sen alrededor de sen () ( ) cos () 1 ( ) sen () Obtenemos primero ( ) cos () 1 IV V ( ) sen () cos () 1 Luego, reemplazando en: IV V () () () () () () 6! 5! Se obtiene: sen! 5! sen! 5! IV V 5 1

44 Ejemplo 5 Hallar el polinomio de Taylor de orden para cos alrededor de cos () 1 ( ) sen () Obtenemos primero ( ) cos () 1 ( ) sen () IV cos () 1 Luego, reemplazando en: () () () () () 6! Se obtiene: ( 1) 1 cos 1!!! cos 1! 6! IV IV Ejemplo 6 Demuestre la IDE NTIDAD DE EULER e i cos i sen. Sea i ( ) e. Hallemos el polinomio de Maclaurin correspondiente. Sería cuestión de reemplazar i por, en la serie de cos sen ( ) e es decir: i e 1 ( i) ( i) ( i) ( i) ( i)!! 5! i i i i i!! 5! i i i!! 5! i!! 5! i 1 Recuerde que: i i i 1i i i i i Por lo tanto, se concluye que e i cos i sen 1

45 Ejercicios Propuestos.1 1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden n para: a) e ; n= d) b) e ; n= c) sen ; n= 1 ; n= 1. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de. a) 1 ; n=; 1 c) ln ; n=; 1 b) ; n=; Misceláneos 1) Bosqueje el graico de analizando dominio, simetría, asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, etremos locales y puntos de inleión a. 1 g. 5 5 b. 5 h. 1 c. i. 8 1 d. j. 1 8 e.. e 1 ) Bosqueje una gráica posible de una unción que tenga todas las siguientes características: es continua en toda su etensión ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) para, ( ) para, ( ) para. ( ), ( ), ( ) para ( ) para, ( ) para ) Bosqueje una gráica posible de una unción que tenga todas las siguientes características: 15

46 lím a ( c) ( e) lím lím a b d e, ( b) 5, ( ), ( a) ( d) 1 ( b), (c ) no eiste, ( d), ( d),, ac, d ( ), a, cd, ( ), aa, b ( ), b, cc, ( ) ) Calcular : a) lim sen sec tg b) lim 1 cos c) lim e cos d) lim tan cos 16