Teoría de grafos. Notas de clase (versión preliminar) Universidad EAFIT

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1 Teoría de grafos. Notas de clase (versión preliminar) Raúl Gómez Marín, Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT 1999

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3 Capítulo 1 Grafos Es un hecho conocido que la teoría de grafos tiene sus raíces en un artículo del matemático suizo Leonhard Euler, publicado en el año de Las ideas básicas de la teoría las desarrolló Euler en torno al problema conocido como el problema de los siete puentes de Köningsberg. Recientemente la teoría ha conocido nuevos desarrollos y ha realizado extensiones métodicas en las ciencias de la computación, la química y la investigación de operaciones, entre otras. En el caso particular de las ciencias de la computación, la teoría de grafos juega un papel importante en áreas tales como la teoría de la conmutación y diseño lógico, la inteligencia artificial, lenguajes formales, sistemas operativos, compiladores, telemática y análisis de algoritmos, entre otras. La presente lección tiene como objetivo desarrollar, con cierto grado de formalización los objetos y propiedades de la teoría de grafos. Antes de comenzar nuestro proceso de formalización presentamos, a manera de introducción y motivación, el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.1. En varias aplicaciones de la ciencias de la computación es conveniente modelar (representar) los algoritmos o programas de computador mediante grafos. Un ejemplo de este tipo de aplicación es el que surge en el contexto de la generación de casos de prueba para un módulo de algún programa. Se llega a estas pruebas mediante el análisis de la estructura de un módulo de programa en lo tocante al flujo de control. El flujo de control de un módulo se modela mediante un grafo de flujo. Cada vértice del grafo de flujo representa una o más sentencias de procedimientos. Una sucesión de sentencias de procedimientos seguida por una sentencia condicional, tal como pueda ser una sentencia while o una sentencia case se corresponde 3

4 4 CAPÍTULO 1. GRAFOS con un único nodo. Los arcos (aristas dirigidas) del grafo de flujo representan el flujo de control. Secuencia If then else W hile T V F V Repeat U ntil Case V F Figura 1.1: Notación de grafos de flujo para distintas estructuras Cualquier módulo que se haya especificado en algún lenguaje de procedimientos se podrá traducir a un grafo de flujo. Por ejemplo, la figura 1.1 muestra las representaciones en forma de grafo de flujo correspondientes a algunas estructuras familiares, que suelen estar disponibles en la mayoría de los lenguajes de procedimientos. El rótulo V que aparece en algunas aristas denota que se ejecuta la opción Verdadero, y la F denota que se ejecuta la opción Falso. Para evitar complejidades innecesarias, se supone que todas las condiciones son atómicas, esto es, que no contienen operadores lógicos tales como and y or. Los módulos de programa contienen una secuencia de estructuras del lenguaje que proceden de un conjunto base tal como el que se da en la figura 1.2.

5 5 procedure Loquesea(... ) begin while (... ) do begin s1; if Indicador1 = 0 then begin s2; s3; s4 end else begin if Indicador2 = 0 then s5; else s6; s7 end; end; end ; Figura 1.2: Esqueleto de un módulo En la figura 1.3 aparece un ejemplo de grafo de flujo correspondiente al esqueleto de módulo de la figura 1.2, en donde los nodos 1 y 9 denotan, respectivamente, el nodo inicial y final del módulo. Las sentencias s 1 a s 7 de la figura 1.2 se consideran sentencias que no ejercen control, tales como las sentencias de asignación. Para poder pensar y representar formalmente el objeto que denominados grafo, es imprescindible realizar múltiples distinciones al interior del concepto. En una primera intancia necesitamos introduccir una distinción que nos permita pensar el grafo bien como objeto matemático o bien como objeto geométrico.

6 6 CAPÍTULO 1. GRAFOS condición while V s 1, cláusula if F V cláusula if V F s 2, s 3, s 4 s 5 s 6 s 7 fin while F fin procedimiento Figura 1.3: Modelado de un módulo mediante un grafo de flujo 1.1. Definiciones de Grafo Antes de introducir las diferentes definiciones de una grafo, presentamos algunas definiciones auxiliares. Definición 1.1 (Lenguaje de la lógica de predicados). Un lenguaje de la lógica de predicados de primer orden está definido por: L = {{P i, i I}, {F j, j J}, {C k, k K}} donde: {P i, i I}: Conjunto de símbolos de predicado {F j, j J}: Conjunto de símbolos de funciones {C k, k K}: Conjunto de símbolos de constantes Definición 1.2 (Modelo). Sea L un lenguaje de la lógica de primer orden, un modelo para L está definido por: U =< A, ℸ > donde:

7 1.1. DEFINICIONES DE GRAFO 7 A: Conjunto no vacío, llamado dominio del modelo ℸ: Es una función biyectiva de interpretación tal que: ℸ-1 Cada símbolo Pi n, de predicado de aridez n, es interpretado por una relación n-ádica R, es decir: ℸ(P n i ) = R R A n. ℸ-2 Cada símbolo Fj m, de función de aridez m, es interpretado por una función m-ádica, es decir: ℸ(F m j ) = f f: A m A. ℸ-3 Cada símbolo de constante C k es interpretado por un elemento fijo de A, es decir: ℸ(C k ) = t t A. Definición 1.3 (Cardinalidad de modelos). Sean L un lenguaje de la lógica de primer orden y U =< A, ℸ > un modelo para L. = U = = A, es decir, el cardinal del modelo U es el cardinal del dominio del modelo El grafo como objeto matemático Un grafo, en tanto objeto matemático o estructura relacional, nos obliga a reforzar su distinción entre grafo no dirigido (o simplemente grafo) y grafo dirigido (o simplemente digrafo). Definición 1.4 (Digrafo: Como objeto matemático). Un digrafo G, es un modelo de un lenguaje L = {P 2 }, donde P 2 es un símbolo de predicado de aridez dos. En otros términos, un digrafo es una estructura G =< V, R >, donde: V : Conjunto no vacío cuyos elementos llamamos vértices. R: Relación binaria definida sobre V (R V V ). Cada digrafo G =< V, R > puede ser representado por medio de un diagrama, en donde cada vértice v V se representa por medio de un circulo etiquetado con el símbolo v, y cada (v i, v j ) R se representa por medio de un arco del vértice v i al vértice v j.

8 8 CAPÍTULO 1. GRAFOS Ejemplo 1.2. Los siguientes objetos matemáticos son digrafos infinitos: G 1 =< N, < > G 2 =< Z, R >, donde, R = {(x, y) x 2 y} Ejemplo 1.3. Los siguientes objetos matemáticos son digrafos finitos: G 1 =< {1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} >, representado por la figura Figura 1.4: Ejemplo digrafo finito (1). G 2 =< {0, 2, 5, 7, 8}, >, representado por la figura Figura 1.5: Ejemplo digrafo finito (2). G 3 =< {v 1 } >, representado por la figura 1.6. v 1 Figura 1.6: Ejemplo digrafo finito (3). G 4 =< {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}, R >, donde, R(a, b) ssi a b. G 5 =< A, R >, donde, A = {x N x es divisor de 128} y R(a, b) ssi (a b) es divisor de 64. Definición 1.5 (Lazo o bucle). Sea G =< V, R > un digrafo. La pareja ordena (v, v) R tal que v V se denomina un lazo o bluce. Ejemplo 1.4. Para el digrafo G 2 =< {0, 2, 5, 7, 8}, > representado por la figura 1.5, las parejas ordenas (0, 0), (2, 2), (5, 5), (7, 7) y (8,, 8) pertenecientes a la relación, son lazos.

9 1.1. DEFINICIONES DE GRAFO 9 Aunque un grafo G =< V, R > también es un modelo de un lenguaje L = {P }, donde P es un símbolo de predicado de aridez dos, la diferencia entre un digrafo y un grafo, consiste en que este último debe satisfacer un axioma no exigido al primero. Definición 1.6 (Grafo: Como objeto matemático). Un grafo G =< V, R > es un modelo de un lenguaje L = {P 2 }, tal que G satisface el axioma de simetría para la relación R, es decir, G = x y((x, y) R = (y, x) R). Cada grafo G =< V, R > puede ser representado por medio de un diagrama en donde cada vértice v V se representa por medio de un circulo etiquetado con el símbolo v y cada par de elementos (v i, v j ), (v j, v i ) R se representan por medio de una arista del vértice v i al vértice v j. Ejemplo 1.5. Los siguientes objetos matemáticos son grafos (algunos infinitos, otros finitos): G 1 =< Z, R >, donde, R(x, y) ssi (x = 1 + y x = y 1). G 2 =< {A, B, C, D}, R >, donde, R = {(A, A), (A, B), (B, A), (C, D), (D, C), (A, C), (C, A), (B, D), (D, B)}. El grafo G 2 es representado por la figura 1.7. A B C D Figura 1.7: Ejemplo grafo no dirigido finito. Nuestra definición de grafo (digrafo), como objeto matemático, no permite representar grafos cuya estructura relacional presenta aristas (arcos) tales como los indicados por la figura 1.8. La situación anterior hace necesario introducir una distinción adicional que nos permita ampliar nuestra noción de grafo, de forma tal que nos permita capturar objetos tales como el representado por la figura 1.8.

10 10 CAPÍTULO 1. GRAFOS a b Figura 1.8: No grafo (como objeto matemático) El grafo como objeto geométrico Desde el punto de vista geométrico podemos pensar un grafo como un esquema situado en el espacio R 2 y constituido por vértices y lados. Lo denotamos por G =< V, E >. Definición 1.7 (Digrafo: Como objeto geométrico). Un digrafo, en tanto objeto geométrico, es un esquema G =< V, E >, representado en el espacio R 2, donde: V : Conjunto no vacío cuyos elementos llamamos vértices. E: Conjunto de elementos e i = (v a, v b ) llamados lados. Cada digrafo G =< V, E > puede ser representado por medio de un diagrama en donde; cada vértice v V se representa por medio de un circulo etiquetado con el símbolo v, y cada e i = (v i, v j ) E se representa por medio de un arco del vértice v i al vértice v j etiquetado con el símbolo e 1. Ejemplo 1.6. El siguiente objeto es un ejemplo de un grafo dirigido: G 1 =< {a, b, c, d, f}, {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } >,representado por la figura 1.9, donde: e 1 = (b, c), e 2 = (c, a), e 3 = (c, d), e 4 = (a, b), e 5 = (a, f), e 6 = (d, b), e 7 = (f, d). Definición 1.8 (Grafo: Como objeto geométrico). Un grafo, en tanto objeto geométrico, es un esquema G =< V, E > representado en el espacio R 2, donde: V : Conjunto no vacío cuyos elementos llamamos vértices. E: Conjunto de elementos e i = {v a, v b } llamados lados. Se observa que los

11 1.1. DEFINICIONES DE GRAFO 11 e 1 b c e 3 e 2 e 4 e 6 a d e 5 e 7 f Figura 1.9: Ejemplo grafo dirigido. lados del grafo no tienen orientación. Para el caso especial en que el lado e i represente un lazo, es decir, e i = {v a, v a }, se seguirá la convención matemática usual que determina que {v a, v a } = {v a }. Cada grafo G =< V, E > pude ser representado por medio de un diagrama en donde, cada vértice v V se representa por medio de un circulo etiquetado con el símbolo v, y cada e = (v i, v j ) E se representa por medio de una arista del vértice v i al vértice v j etiquetada con el símbolo e. Ejemplo 1.7. Los siguientes objetos son ejemplos de grafos. G 1 =< {5, 7, 8, 9}, {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } >, representado por la figura 1.10, donde: e 1 = {5, 7}, e 2 = {8, 5}, e 3 = {7, 9}, e 4 = {8, 9}, e 5 = {5}. 5 e 1 7 e 2 e 3 8 e 4 9 Figura 1.10: Ejemplo grafo no dirigido (1).

12 12 CAPÍTULO 1. GRAFOS G 2 =< {1, 2, 3}, {e 4, e 5, e 6 } >, representado por la figura e e 5 e 6 3 Figura 1.11: Ejemplo grafo no dirigido (2). G 3 =< {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {e 1,..., e 9 } >, representado por la figura e 1 7 e 2 e e 5 e 8 3 e 3 e 6 e e 9 9 Figura 1.12: Ejemplo grafo no dirigido (3). En un grafo, visto como objeto geométrico, es posible que existan al menos dos vértices conectados por dos o más lados diferentes. En este caso se hace necesario introducir otra distinción, llamando a tal grafo: multigrafo. Definición 1.9 (Lados paralelos (grafos)). Sea G =< V, E > un grafo. Dos lados son llamados paralelos si e i = {v a, v b } y e j = {v a, v b } para i j. Definición 1.10 (Multigrafo (grafos)). Un grafo G =< V, E > es un multigrafo si y sólo si G tiene lados paralelos. Ejemplo 1.8. Los siguientes objetos son ejemplos de multigrafos. G 1 =< {a, b}, {e 1, e 2, e 3 } >, representado por la figura G 2 =< {1, 4, a, c}, {e 1,..., e 8 } >, representado por la figura 1.14.

13 1.1. DEFINICIONES DE GRAFO 13 e 3 e 1 a b e 2 Figura 1.13: Multigrafo (1). 1 e 4 e 7 e 1 e 2 c e 6 4 a e 3 e 8 e 5 Figura 1.14: Multigrafo (2) Los lados e 2, e 3 son lados paralelos de G 1 ; e 1, e 2 y e 4, e 5, e 6 lo son de G 2. No existe un consenso actual acerca de la definición de un grafo. Algunos autores sólo los consideran desde el punto de vista geométrico o desde el punto de vista matemático. Otros autores por su parte no admiten los grafos con lazos ni los multigrafos. Nuestro objetivo en la presentación que hemos realizado del concepto de grafo, está el de presentar el concepto de grafo como una estructura matem tica de modelamiento con la mayor capacidad de representación posible. Los temas siguientes serán ofrecidos para un presentación de grafo en particular (como objeto matemático o como objeto geométrico) o para alguna clase en particular de grafo o para ambas (grafo no dirigido o grafo dirigido). Nuestras convenciones serán las siguientes: 1. Sea G =< V, R > un digrafo... En este caso estamos hablando de un digrafo como un objeto matemático. 2. Sea G =< V, R > un grafo... En este caso estamos hablando de un grafo como un objeto matemático.

14 14 CAPÍTULO 1. GRAFOS 3. Sea G =< V, R > un grafo (digrafo)... En este caso estamos hablando de un grafo o de un digrafo como un objeto matemático. 4. Sea G =< V, E > un digrafo... En este caso estamos hablando de un digrafo como un objeto geométrico. 5. Sea G =< V, E > un grafo... En este caso estamos hablando de un grafo como un objeto geométrico. 6. Sea G =< V, E > un grafo (digrafo)... En este caso estamos hablando de un grafo o de un digrafo como un objeto geométrico Representación de Grafos El análisis de un grafo, mediante un computador, requiere representaciones diferentes al esquema geométrico. Veamos algunas de ellas Matriz de adyacencia Sea G =< V, R > un grafo (digrafo) finito. Podemos representar al grafo G mediante una matriz booleana, llamada su matriz de adyacencia. Definición 1.11 (Matriz de adyacencia). Sea G =< V, R > un grafo (digrafo) finito cualquiera. Podemos asociar a G, la matriz booleana (matriz cuyos elementos son uno o cero) M[R], llamada su matriz de adyacencia y, tal que, si = V = n, entonces: M[R] = (X i,j ) n n X i,j = { 1 ssi (v i, v j ) R, 0 ssi (v i, v j ) / R. Ejemplo 1.9. Dado el grafo representado en la figura 1.15, obtenemos la matriz M[R] = (X i,j ) 4 4 representada por la tabla 1.1. Observe que los vértices han sido ordenados alfabéticamente: v 1 = A, v 2 = B, v 3 = C y v 4 = D. Además; X 3,4 = 1, ya que (v 3, v 4 ) R y X 1,4 = 0, ya que (v 1, v 4 ) / R.

15 1.2. REPRESENTACIÓN DE GRAFOS 15 A B C D Figura 1.15: Grafo para obtener la matriz de adyacencia representada por la tabla 1.1. M[R] v 1 v 2 v 3 v 4 v v v v Cuadro 1.1: Matriz de adyacencia para el grafo de la figura Ejemplo Un fabricante para producir juguetes requiere seis pasos, los cuales obligatoriamente deben realizarse de acuerdo al siguiente orden parcial. Primero los procesos A o B, luego el proceso C. A continuación los procesos D, E o F. Modelizado por un grafo dirigido, obtenemos el grafo G representado por la figura 1.16 (Diagrama de Hasse) y su matriz de adyacencia M[R] representada por la tabla 1.2. D E F C A B Figura 1.16: Diagrama de Hasse. Ejemplo Para el grafo representado en la figura 1.17, obtenemos la matriz M[R] = (X i,j ) 6 6 representada por la tabla 1.3.

16 16 CAPÍTULO 1. GRAFOS M[R] A B C D E F A B C D E F Cuadro 1.2: Matriz de adyacencia para el grafo de la figura D E F C A B Figura 1.17: Grafo para obtener la matriz de adyacencia representada por la tabla 1.3. Algunas observaciones con respecto a la matriz de adyacencia M[R]: La matriz M[R] es una matriz booleana, lo cual permite optimizar el espacio para almacenarla y el tiempo para manipularla. La matriz M[R] permite representar lazos. La matriz M[R] no permite representar lados paralelos (debido a que opera sobre la definición matemática de grafo (digrafo)). La matriz M[R] es simétrica en el caso de los grafos, por ello no es un modo muy eficiente de representación. La matriz M[R] no es simétrica en el caso de los digrafos Matriz de incidencia Si el grafo (digrafo) está definido como un esquema geométrico G =< V, E >, podemos representarlo por medio de una matriz, llamada matriz

17 1.2. REPRESENTACIÓN DE GRAFOS 17 M[R] A B C D E F A B C D E F Cuadro 1.3: Matriz de adyacencia para el grafo de la figura de incidencia. Es necesario que presentemos dos definiciones para la matriz de incidencia, una para grafos y la otra para digrafos; situación que no se presentó, como pudimos observar, en la presentación de la matriz de adyacencia. Antes de presentar la matriz de incedencia para grafos, es necesaria la siguiente definición: Definición 1.12 (Vértices incidentes). Sea G =< V, E > un grafo, si e = {v i, v j } es un lado de G, entonces se dice que los vértices v i, v j son vértices incidentes al lado e. Definición 1.13 (Matriz de incidencia (grafo geométrico)). Sea G =< V, E > un grafo finito cualquiera. Podemos asociar a G, la matriz M[E], llamada su matriz de incidencia y, tal que, si = V = n y = E = m, entonces: M[E] = (X i,j ) n m X i,j = { 1 ssi v i es incidente al lado e j, 0 ssi v i no es incidente al lado e j. Ejemplo Dado el grafo representado en la figura 1.18, obtenemos la matriz M[E] = (X i,j ) 5 7 representada por la tabla 1.4. Algunas observaciones acerca de la matriz de incidencia M[E]: La matriz M[E] permite representar lazos. La matriz M[E] permite representar lados paralelos.

18 18 CAPÍTULO 1. GRAFOS b e 3 e 2 e a 4 c e 1 e 7 e Figura 1.18: Grafo para obtener la matriz de incidencia representada por la tabla 1.4. e 6 e 5 d M[E] e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 a b c d e Cuadro 1.4: Matriz de incidencia para el grafo de la figura Antes de presentar la matriz de incidencia para digrafos, necesitamos algunas definciones adicionales. Definición 1.14 (Extremos, vértice inicial, vértice final). Sea G =< V, E > un digrafo, si e = (v i, v j ) es un lado de G, entonces los vértices v i, v j son llamados los extremos del lado e. El vértice v i es llamdo el vértice inicial del lado e y el vértice v j es llamado el vértice final del lado e. Definición 1.15 (Matriz de incidencia (digrafo geométrico)). Sea G =< V, E > un digrafo finito cualquiera. Podemos asociar a G, la matriz M[E], llamada su matriz de incidencia y, tal que, si = V = n y = E = m, entonces: 1 si v i es el vértice inicial del lado e j, M[E] = (X i,j ) n m X i,j = 1 si v i es el vértice final del lado e j, 0 si v i no es extremo del lado e j. Ejemplo Dado el grafo representado en la figura 1.19, obtenemos la matriz de incidencia M[E] = (X i,j ) 4 7 :

19 1.3. CONECTIVIDAD 19 e 1 a b e 7 e 4 e e e e 2 d c Figura 1.19: Digrafo para obtener la matriz de incidencia representada por la tabla 1.5. M[E] e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 a ±1 b c d Cuadro 1.5: Matriz de incidencia para el grafo de la figura Observe que la posición X a,e7 tiene el valor ±1, esto debido a que un lazo tiene como extremo inicial y extremo final el mismo vértice Conectividad Caminos y circuitos Inicialmente realizaremos la formalización de ciertos conceptos vinculados con la noción de conectividad, los cuales seran de importancia en los temas subsiguientes. Comenzamos presentando las definiciones de camino y circuito para un digrafo como objeto geométrico. Definición 1.16 (Enlace (digrafo geométrico)). Sea G =< V, E > un digrafo. La relación de enlace entre dos lados de un digrafo, representada por E d (e i, e j ), está definida por: Sean e i = (x i, y i ) y e j = (x j, y j ) entonces, E d (e i, e y ) def. (y i = x j ).

20 20 CAPÍTULO 1. GRAFOS Definición 1.17 (Camino (digrafo geométrico)). Sea G =< V, E > un digrafo cualquiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesión finita de lados enlanzados, es decir, Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E d (s i, s i+1 ))). Un camino finito del vértice a al vértice b denotado por Π(a, b), definido por: Π(a, b) =Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E d (s i, s i+1 ))) ((s 1 = (a, y 1 ) s n = (x n, b))). Definición 1.18 (Circuito (digrafo geométrico)). Sea G =< V, E > un digrafo cualquiera. Un circuito denotado por Π(a) es un camino del vértice a al vértice a en el cual no es posible repetir lados, es decir: Π(a) =Π(a, a) = < s 1, s 2,..., s n 1, s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E d (s i, s i+1 ))) ((s 1 = (a, y 1 ) s n = (x n, a))) ( i j {1, 2,..., n} (i j = s i s j )). Para las definiciones de camino y circuito para el caso de los grafos como objetos geométricos, es necesario utilizar una nueva relación de enlace entre los lados de un grafo no dirigido. Definición 1.19 (Enlace (grafo geométrico)). Sea G =< V, E > un grafo. La relación de enlace entre lados de un grafo, representada por E nd (e i, e j ), está definida por: Sean e i = {x i, y i } y e j = {x j, y j } entonces,

21 1.3. CONECTIVIDAD 21 E nd (e i, e y ) def. ((x i = x j ) (x i = y j ) (y i = x j ) (y i = y j )). Definición 1.20 (Camino (grafo geométrico)). Sea G =< V, E > un grafo cualquiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesión finita de lados enlanzados, es decir, Sea s i = x i, y i un lado, entonces: Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E nd (s i, s i+1 ))) ( i {1, 2,..., n 1} ((x i s i 1 y i s i+1 ) (x i s i 1 y i s i+1 ))). Un camino finito del vértice a al vértice b denotado por Π(a, b), es un camino Π =< s 1 s 2... s n > definido por: Sean s 1 = {a, y 1 }, s 2 = {x 2, y 2 }, s n 1 = {x n 1, y n 1 } y s n = {b, y n }, entonces: Π(a, b) =Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E nd (s i, s i+1 ))) ( i {1, 2,..., n 1} ((x i s i 1 y i s i+1 ) (x i s i 1 y i s i+1 ))) ((y 1 = x 2 y 1 = y 2 ) (x n 1 = x n y n 1 = x n )). Definición 1.21 (Circuito (grafo geométrico)). Sea G =< V, E > un grafo cualquiera. Un circuito denotado por Π(a) es un camino del vértice a al vértice a en el cual no es posible repetir lados, es decir: Sean s 1 = {a, y 1 }, s 2 = {x 2, y 2 }, s n 1 = {x n 1, y n 1 } y s n = {a, y n }, entonces:

22 22 CAPÍTULO 1. GRAFOS Π(a) =Π(a, a) = < s 1, s 2,..., s n 1, s n > ( i {1, 2,..., n 1} (E nd (s i, s i+1 ))) ( i {1, 2,..., n 1} ((x i s i 1 y i s i+1 ) (x i s i 1 y i s i+1 ))) ((y 1 = x 2 y 1 = y 2 ) (x n 1 = x n y n 1 = x n )) ( i j {1, 2,..., n} (i j = s i s j )). Definición 1.22 (Longitud de un camino (grafo o digrafo geométrico)). Sea G =< V, E > un grafo (digrafo) cualquiera y Π(a, b) =< s 1, s 2,..., s n 1, s n > un camino del vértice a al vértice b. La longitud del camino Π(a, b) denotada por l(π(a, b)) está definida por: l(π(a, b)) = l(< s 1, s 2,..., s n 1, s n >) = n. Dado que es posible considerar todo grafo (digrafo) matemático como un grafo (digrafo) geométrico, es posible pensar que no es necesario ofrecer las definiciones de camino, longitud de un camino y circuito para los grafos (digrafos) como objetos matemáticos, ya que se realizaron dichas definiciones para los grafos (digrafos) como objetos geométricos. Sin embargo como se observará en las secciones posteriores, las definiciones y en particular algunas demostraciones relacionadas con la conectividad entre los vértices de una grafo, son mucho mejor presentadas si se trabaja con los grafos (digrafos) como objetos matemáticos. Por esta razón presentamos las definiciones mencionadas para los grafos (digrafos) como objetos matemáticos. Definición 1.23 (Camino (grafo o digrafo matemático)). Sea G =< V, R > un grafo (digrafo) cualquiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesión finita de vertices enlazados, es decir, Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (R(s i, s i+1 ))). Aunque denotamos las sucesiones de vértices enlazados y lados enlazados

23 1.3. CONECTIVIDAD 23 con los mismos símbolos (< s 1, s 2,..., s n >), el contexto aclarará a cual de ellos corresponde. Un camino finito del vértice a al vértice b denotado por Π(a, b), es un camino Π =< s 1, s 2,..., s n > definido por: Π(a, b) =Π = < s 1, s 2,..., s n > ( i {1, 2,..., n 1} (R(s i, s i+1 ))) (a = s 1 b = s n ). Definición 1.24 (Circuito (digrafo matemático)). Sea G =< V, R > un digrafo cualquiera. Como vimos en la definición de un circuito para una digrafo como objeto geométrico, un circuito denotado por Π(a) es un camino del vértice a al vértice a en el cual no es posible repetir lados. La sucesión que constituye un circuito para un digrafo como objeto matemático, es un sucesión de vértices, por la tanto, la no repetición de lados se traduce en que no se pueden repetir parejas de vértices en la sucesión, por lo que el circuito está definido por: Π(a) =Π(a, a) =< s 1, s 2,..., s n 1, s n > ( i {1, 2,..., n 1} (R(s i, s i+1 ))) (a = s 1 a = s n ) ( i j {1, 2,..., n 1} ((i < j s i = s j ) = (s i+1 s j+i )). Definición 1.25 (Circuito (grafo matemático)). Sea G =< V, R > un grafo cualquiera. Como acabamos de observar, la definición de un circuito para una digrafo como objeto matemático, no admite la existencia de parejas de vértices repetidas en la sucesión de vértices que componen el circuito. En el caso de una grafo, es necesario añadir que si los vértices v i, v j están contiguos en la sucesión, no es posible admitir posteriormente la existencia de nuevo de los vértices v j, v i contiguos en la sucesión, por la cual la definición de un circuito está dada por:

24 24 CAPÍTULO 1. GRAFOS Π(a) =Π(a, a) =< s 1, s 2,..., s n 1, s n > ( i {1, 2,..., n 1} (R(s i, s i+1 ))) (a = s 1 a = s n ) ( i j {1, 2,..., n 1} ((i < j s i = s j ) = (s i+1 s j+i )) ( i j {1, 2,..., n 1} ((i < j x i = x j+1 ) = (x i+1 x j )). Definición 1.26 (Longitud de un camino (grafo o digrafo matemático)). Sea G =< V, R > un grafo (digrafo) cualquiera y Π(a, b) =< a, s 2,..., s n 1, b > un camino del vértice a al vértice b. La longitud del camino Π(a, b) denotada por l(π(a, b)) está definida por: l(π(a, b)) = l(< a, s 2,..., s n 1, b >) = n 1. Ejemplo La figura 1.20, nos modeliza la estructura de un cierto tipo de elecciones de acciones a realizar. A B 5 4 C Figura 1.20: Grafo para seleccionar algunos caminos y circuitos sobre él. De la figura, descubrimos caminos de longitud especificadas, e igualmente circuitos sobre G. Π 1 (A, 8) =< A, 4, 5, C, 2, 7, 8 >, l(π 1 ) = 6 Π 2 (A) =< A, 4, 3, A >, l(π 2 ) = 3 Π 3 (C) =< C, 2, 7, C >, l(π 3 ) = 3

25 1.3. CONECTIVIDAD 25 Π 4 (B) =< B, A, B >, l(π 4 ) = 2 Π 5 (3, 7) =< 3, A, 4, C, 2, 7 >, l(π 5 ) = 5 Observemos que no existe Π(5), es decir, no exite un circuito que se origine a partir del vértice Relación de n-conectividad R n Presentamos a continuación la relación de n-conectividad sobre un digrafo G, esta relación nos representa los caminos de longitud n sobre el digrafo. Definición 1.27 (Relación de n-conectividad). Sea G =< V, R > un digrafo y n un entero positivo. Definimos en V la relación de n-conectividad denota por R n, como sigue: R n (x, y) def. ( Π)(Π(x, y) l(π) = n). Ejemplo Consideremos el grafo dirigido G, representado por la figura 1.21: a b d c e Figura 1.21: Digrafo para obtener la relación de 2-conectividad Observemos que: R 2 (a, c), puesto que: R(a, b) R(b, c), luego ( Π)(Π(a, c) l(π) = 2); R 2 (b, c), puesto que: R(b, c) R(c, d), luego ( Π)(Π(b, d) l(π) = 2); R 2 (a, a), puesto que: R(a, a) R(a, a), luego ( Π)(Π(a, a) l(π) = 2).

26 26 CAPÍTULO 1. GRAFOS Es posible observar además que, R 2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, d), (b, e), (c, e)}. Esta relación R 2 sobre V = {a, b, c, d, e} nos define una nuevo grafo < V, R 2 >, grafo dado por los vértices y las relaciones que indican los vértices que están conectados por caminos de longitud 2. Este nuevo grafo, para el ejemplo, lo representamos por la figura a c b e d Figura 1.22: Grafo definido por la relación R 2. Para presentar algunos teoremas importantes de la teoría de grafos, necesitamos previamente definir algunas operaciones booleanas, operaciones que operan sobre las matrices booleanas. Definición 1.28 (Operaciones booleanas). Como mencionamos anteriormente, una matriz booleana es una matriz cuyos elementos son cero o uno. Las tablas 1.6 y 1.7 definen las operaciones booleanas y respectivamente Cuadro 1.6: Operación booleana Cuadro 1.7: Operación booleana. Como el lector puede observar, las operaciones y corresponden la

27 1.3. CONECTIVIDAD 27 disyunción ( ) y a la conjunción ( ) lógicas, respectivamente. Sean A m p y B p n dos matrices booleanas. Se define el producto booleano de matrices A B por: A B = (X i,j ) m n = X i,j = (a i,1 b 1,j ) (a i,2 b 2,j ) (a i,p b p,j ). Es decir, el producto booleano de matrices es similar al producto de matrices, excepto que se cambian las operaciones de suma y multiplicación ordinarias por las operaciones y respectivamente. Teorema 1.1. Sea G =< V, R > un digrafo finito y sea G 2 =< V, R 2 > el digrafo obtenido mediante la relación de 2-conectividad R 2, entonces: M[R 2 ] = M[R] M[R] Demostración. Sean M[R] n n, X i,j M[R 2 ] Y i,k M[R] y Y k,j M[R]. Probemos que X i,j = 1 R(v i, v k ) R(v k, v j ). Es decir, probemos que existe un camino de longitud 2 del vértice i al vértice j si y solo si existe algun vértice k, tal que, exista un camino de longitud 1 del vértice i al vértice k y exista un camino de longitud 1 del vértice k al vértice j. Así: 1 R(v i, v k ) R(v k, v j ) Hipótesis auxiliar 2 Y i,k = 1 Y k,j = 1 Definición de M[R] 3 Y i,k Y k,j = 1 4 X i,j = (Y i,1 Y 1,j ) (Y i,k Y k,j ) (Y i,n Y n,j ) = 1 5 M[R 2 ] = M[R] M[R] Podemos extender el teorema 1.1 a la relación de n-conectividad. Teorema 1.2. Sea G =< V, R > un digrafo finito y sea G n =< V, R n > el digrafo obtenido mediante la relación de n-conectividad R n, entonces para n 1:

28 28 CAPÍTULO 1. GRAFOS M[R n ] = M[R] M[R] M[R] } {{ } n veces Demostración. Por inducción finita: 1. Para n = 1 Como R 1 = R entonces M[R 1 ] = M[R] 2. Hipótesis inductiva: Supongamos para n = k válido el teorema 3. Probemos la validez del teorema para n = k + 1 (con ayuda de la hipótesis inductiva). Sea M[R] n n, X i,j M[R k+1 ] y Z i,j M[R k ] M[R]. Probemos que X i,j = 1 Z i,j = 1 1 X i,j = 1 Hipótesis auxiliar 2 Π(Π(v i, v j ) l(π) = k Π (Π (v i, v k ) R(v k, v j ) l(π ) = k) 4 R k (v i, v k ) R(v k, v j ) 5 Y i,k = 1 W k,j = 1, Y i,k M[R k ] W k,j M[R] 6 Y i,k W k,j = 1, 7 Z i,j = (Y i,1 W 1,j ) (Y i,k W k,j ) (Y i,n Y n,j ) = 1 8 M[R n ] = M[R] M[R] M[R] Por principio } {{ } n veces de inducción completa El retorno Z i,j = 1 = X i,j = 1 es inmediato de la demostración anterior Relación de conectividad general R La relación de conectividad general sobre un digrafo G, nos representa todos los caminos posibles sobre el digrafo. Definición 1.29 (Relación de conectividad general). Sea G =< V, R > un digrafo cualquiera, definimos en V la relación de conectividad general denotada por R :