ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)

Transcripción

1 ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger todos los cocos que pudiera de las palmeras que estaba a su alcace. Los iba poiedo e u motó, y como ya era muy tarde cuado acabaro, decidiero repartirlos a la mañaa siguiete. Uo de los moos, que descofiaba de los demás, se levató de madrugada, y pesado que alguo de los otros los podría robar esa oche, decidió llevarse su parte. Así que hizo motoes iguales y le sobró u coco. Se llevó uo de los motoes y volvió a jutar el resto. El segudo moo, que tambié descofiaba de los demás, tambié se levató de madrugada y pesado tambié que alguo de los otros los podría robar esa oche decidió llevarse su parte. Así que tambié hizo motoes iguales y le sobró u coco. Se llevó uo de los motoes y volvió a jutar el resto. Así pesaro e hiciero el resto de los moos. La úica diferecia fue que al sexto moo o le sobró igú coco al hacer los seis motoes. La preguta es la siguiete: uál es el míimo úmero de cocos que había recogido? (Pista: La solució es u úmero curioso por algua razó...)

2 2. Resolució. Partiedo de que había x cocos e el motó iicial habría que ir deduciedo cuatos coge cada uo y cuatos va dejado al siguiete. omo el primero hace motoes iguales y le sobra u coco: Queda 1º x 1 x 1 x x x Haciedo las sucesivas particioes quedaría algo como esto: Queda 2º x 1 x x 2x+ 11 x x º... 1 x º... 1 x + º... 1 x Sólo podemos geeralizar hasta este quito moo pues el sexto al hacer los motoes o le sobra iguo. Así que el sexto moo coge: º Queda x Desarrollado esta expresió, os da la catidad de cocos que coge el sexto moo, que debe ser igual a u úmero etero, por lo que: x 1 + x +

3 El úmero de cocos iicial debe ser por tato: + x ( 1) Esta expresió ha de ser u úmero etero. omo o puede ser uca múltiplo de, se ha de cumplir que ( -1) ha de ser u múltiplo de : 1 k, dode k es u úmero etero Etoces será: k E esta expresió, dado el valor míimo a k, k1 os da: ocos que coge el sexto moo. Por lo que volviedo a la expresió del úmero de cocos iicial e fució de los que coge el sexto teemos que: + x 7777 ocos que recogiero etre todos. (uriosidad: Se puede observar que el úmero 7 se repite 4 veces.) Podríamos rellear ahora la tabla completa: Queda 1º º º º º º 21 20

4 3. Meditació. Pero, me preguto, qué pasaría al geeralizar este problema para u úmero de moos? No me fue fácil ecotrar la respuesta, pero di fialmete co ella. Procediedo co el mismo método se puede llegar a la coclusió de que la catidad de cocos que coge el último es: ( 1) x+ ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Por lo que el úmero de cocos totales iicial es: + ( 1) x ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) El úmero -1 o puede ser uca múltiplo de (-1) -1 por lo que: 1 ( ) 1 1 k, dode k es u úmero etero. Despejado teemos: 1 ( 1) k+ 1 Dado a k el valor k1, el valor de sólo es etero si es u úmero par, o lo que es igual, para valores impares e el expoete de la expresió (-1) -1, quedado el valor de : Para par: 1 ( 1) Para que el valor de sea etero tambié e el caso de valores de impar, k ha de teer u valor igual a (-1), de forma que la expresió aterior se covierte e: Para impar: ( 1), e la que volvemos a covertir el valor del expoete e la expresió (-1) e u úmero impar y se vuelve a cumplir la divisibilidad como e el caso aterior. Resumiedo. Para valores pares de la solució ya simplificada es: x 1

5 Y para los valores impares de : x 1 ( 1) Fialmete podríamos rellear la tabla que relacioa la catidad de cocos iicial y los que coge el último e fució del úmero de moos que hay: Nº moos Los que coge el último Nº de cocos iicial ometario: E el caso de u moo, teemos ua solució más que obvia, que viee por la geeralizació del problema, auque o tiee demasiado setido el hablar sólo de u moo. A partir de los ó 7 moos, la catidad de cocos empieza a tomar uos valores realmete de impresió, y es bastate improbable que e ua sóla oche les diera tiempo a hacer los motoes...

6 4. Demostració fial. Ahora bie, por qué se produce la diferecia de solució segú sea el úmero par o impar? No era fácil de ver hasta que partí de ua idea más geeral: Divisibilidad de poliomios. Recordado el teorema del resto, éste dice que el resto de la divisió de u poliomio P(x) etre el biomio (x-a) es igual a P(a). Es decir, el resto es igual al valor umérico que toma el poliomio al sustituir x por el valor de la raíz del biomio. Por tato si partimos de u poliomio P(x)x +1 que vamos a dividir etre el biomio (x+1), teemos que el valor de la raíz del biomio es -1 y por tato al calcular el resto de la divisió os daría: Resto P( 1) ( 1) omo se puede observar, el resto sólo puede ser cero cuado toma valores impares. Etoces podemos afirmar que se cumple que: para par : x 1, tiee como resto cero. x para impar : x, tiee como resto cero. x Estas expresioes se ha de cumplir para cualquier valor de x, por lo que si particularizamos para u valor de x - 1, teemos que estos valores coicide co el valor calculado ates, y será valores eteros al ser cero el resto de la divisió: Para par: Para impar: 1 ( 1) k, dode k es etero. ( 1) k, dode k es etero. Para fializar podemos afirmar que si i es u úmero impar, y cualquier úmero atural, se cumple que: i o puede ser úmero primo ( es par!!). i o puede ser primo, es divisible por ( ).