Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

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1 Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas Definición (Valores Etremos Sea f definida en un intervalo I conteniendo a c.. f (c es el mínimo de f en I sí f ( c f ( para todo en I.. f (c es el máimo de f en I sí f ( c f ( para todo en I. Definición de Valores Etremos El mínimo el máimo de una función se llaman valores etremos o etremos de la función en ese intervalo. Observaciones. A los valores etremos, se les llama mínimo máimo absolutos si se cumple la desigualdad correspondiente para todo en el dominio de f.. Tiene f un valor máimo o mínimo en I?. Una función puede no tener mínimo o máimo en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos. Ejemplo 4 (,4 Máimo 4 No Máimo f( = f( = (0,0 Mínimo (0,0 Mínimo Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máimo al cambiar el intervalo cerrado [-,] por el abierto (-,

2 4 (,4 Máimo 4 No Máimo f( = sí 0 sí = 0 f( = sí 0 sí = No Mínimo No Mínimo En los gráficos, observamos que una discontinuidad ( = 0 puede afectar la eistencia de etremos sobre un intervalo cerrado o abierto. El siguiente enunciado se trata de un teorema de eistencia, pues asegura que eiste el máimo el mínimo pero no dice cómo calcularlos. Teorema de Valores Etremos Teorema de Valor Etremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máimo mínimo en el intervalo. Por lo general una función que queremos maimizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito. Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo: [a, b] contiene a sus puntos frontera. [a, b contiene sólo al punto frontera de la izquierda. (a, b] contiene sólo al punto frontera de la derecha. (a, b no contiene puntos frontera. A menudo los etremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan en puntos frontera. Si c es un punto para el cual f '( c 0, lo llamamos punto estacionario. Los valores etremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si c es un punto interior a I en el que no eiste f, lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica

3 de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Los valores etremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos, son la clave de la teoría de máimos mínimos. Cualquier punto del dominio de f que sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de f. Números Críticos Definición de Número Crítico. Si f está definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f(c es un valor etremo entonces c debe ser un punto crítico de f; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos siguientes: (a un punto frontera, (b un punto estacionario de f ( f '( c 0 (c un punto singular de f en el que f '( c no eista. f (c no está definida f (c = 0 (tangente horizontal c f(a = 0 f(b = 0 f(a = 0 c f(b = 0 Etremos Relativos En la figura siguiente observamos que los valores etremos pueden ocurrir en puntos interiores o terminales (fronteras de un intervalo. Estos últimos se llaman etremos terminales los que ocurren en puntos interiores se llaman etremos relativos. Definición de Etremos Relativos. Sea f una función c Domf se dice que f tiene:

4 4. Un máimo relativo (o máimo local en el punto c si eiste un > 0 tal que f(c f(, para todo (c-, c+.. Un mínimo relativo (o mínimo local en un punto c si eiste un > 0 tal que f(c f(, para todo (c-, c+. Los máimos mínimos relativos de f reciben el nombre común de etremos relativos de f. Ejemplo Máimo Local Máimo Local Máimo Absoluto Máimo Local Mínimo local Mínimo Local Mínimo Local Mínimo Absoluto En la gráfica vemos que f tiene un máimo en algunos puntos respecto a ciertos intervalos no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además parece que la manera de obligar a esos puntos a ser etremos es escoger intervalos suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máimo absoluto de f el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas los otros valles corresponden a los máimos locales. Un máimo local o un mínimo local, son un máimo o un mínimo, sólo para una parte del dominio de la función.

5 5 Teorema (Teorema del punto crítico para etremos locales. Si f tiene un etremo local en c entonces c es un punto crítico de f. Guía para Hallar Etremos de un Intervalo Cerrado. Para hallar los etremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b], se sugiere:. Evaluar f en cada punto crítico que tenga en (a, b.. Evaluar f en los puntos a b.. El menor de tales valores es el mínimo; el maor es el máimo. Funciones Crecientes Decrecientes Definiciones. Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si solo si para todo par de números en el intervalo, < implica f( < f(.. Una función f se dice decreciente en un intervalo I si solo si para todo par de números en el intervalo, < implica f( > f(.. Una función f es estrictamente monótona sobre el intervalo I si solo si es creciente o decreciente sobre I. = a = b Decreciente Creciente Constante f ( < 0 f ( = 0 f ( > 0 De esta definición vemos que f es creciente si su gráfica asciende al mover hacia la derecha es decreciente si desciende al mover hacia la derecha. La derivada va a determinar cuando una función es creciente, pues como lo indica la figura: Una derivada positiva indica que la pendiente de la gráfica asciende. Una derivada negativa produce pendiente en descenso. Una derivada nula implica que la función es constante.

6 6 Teorema (Criterio para funciones crecientes decrecientes. Sea f una función derivable en el intervalo (a, b.. Si f '( 0 para todo en (a, b entonces f es creciente en (a, b.. Si f '( 0 para todo en (a, b entonces f es decreciente en (a, b.. Si f '( 0 para todo en (a, b entonces f es constante en (a, b. Para ver cómo aplicar el teorema anterior, notemos que para f continua, f '( solo puede cambia de signo en los números críticos. Luego para determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente se sugieren los siguientes pasos:. Localizar los números críticos de f.. Mirar el signo de f en un punto de cada intervalo determinado por dos números críticos consecutivos.. Decidir, mediante el teorema anterior, si f es creciente o decreciente en cada uno de esos intervalos de prueba. Una vez determinados los intervalos donde f es creciente o decreciente es fácil localizar sus etremos relativos, basta aplicar el siguiente teorema: Teorema (Criterio de la primera derivada. Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo I, ecepto a lo sumo en c entonces f(c puede clasificarse como sigue:. Si f cambia de negativa a positiva en c, f(c es un mínimo relativo de f.. Si f cambia de positiva a negativa en c, f (c es un máimo relativo de f.. Si f no cambia su signo en c, f(c no es mínimo ni máimo relativo.

7 7 f ( < 0 f ( > 0 f ( > 0 f ( < 0 f ( > 0 f ( > 0 a c b a c b a c b Mínimo Relativo Máimo Relativo Ni máimo ni mínimo Relativo Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente es útil para hallar su gráfica. Sin embargo, localizando los intervalos donde f crece o decrece, podemos determinar donde se curva hacia arriba o hacia abajo la gráfica de f. Concavidad Puntos de Infleión Definición de Concavidad. Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f es creciente en ese intervalo cóncava hacia abajo si f es decreciente en el intervalo. Interpretación Gráfica de la Concavidad hacia arriba. f creciente hacia abajo. f decreciente

8 8 De la figura anterior, se puede deducir la siguiente interpretación gráfica de la concavidad.. Si una curva está por encima de sus rectas tangentes, es cóncava hacia arriba.. Si una curva está por debajo de las rectas tangentes es cóncava hacia abajo. Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f, podemos usar la siguiente derivada para distinguir donde crece o decrece f. Bastará con tener en mente que la segunda derivada de f es la primera de f. Por lo tanto, f es creciente si f es positiva decreciente si f es negativa. Teorema (Criterio de concavidad. Sea f una función cua segunda derivada eiste en un intervalo abierto I: a Si f ''( 0 para todo en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba, b Si f ''( 0 para todo en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Definición. Si la gráfica de una función continua posee recta tangente en un punto donde la concavidad cambia de sentido, llamamos a ese punto de infleión. Punto de Infleión Punto de Infleión hacia abajo hacia arriba hacia arriba hacia abajo hacia arriba hacia arriba hacia abajo

9 9 Como se puede suponer, los puntos donde f ''( 0 o donde f ''( no eiste son candidatos viables para ser puntos de infleión, a que para concluir que ha un punto de infleión en algún donde f ''( 0, ha que asegurarse de que la concavidad cambia de sentido. Teorema (Criterio de la Segunda Derivada Sea f una función tal que f (c = 0 tal que f eista en un intervalo abierto que contenga a c.. Si f ''( c 0, entonces f(c es un mínimo relativo.. Si f ''( c 0, entonces f(c es un máimo relativo.. Si f ''( c 0, entonces el criterio no decide Observaciones. El criterio de la segunda derivadas sólo puede ser aplicado sí: a f es dos veces derivable en un intervalo abierto que contenga a c, b f ''( c 0 c f ''( c 0. Si el criterio de la segunda derivada no es aplicable, ha que recurrir a la primera derivada. Sobre la base de todo lo que hemos estudiado, a está en condiciones de esbozar con mucha precisión el gráfico de una función. La técnica puede resumirse en el siguiente cuadro: Pasos Qué debo estudiar? Eplicación Simetría Determinar si tiene simetría con respecto al eje Y o respecto al origen. En caso afirmativo el trabajo se reduce a la mitad. Sólo es necesario graficar los puntos con abscisa 0. Recordar que: a la gráfica de f es simétrica respecto al eje Y sí solo sí f ( f (, b la gráfica de f es simétrica respecto al origen sí solo sí f ( f (. Intersecciones con los ejes La intersección con el eje Y se encuentra haciendo = 0. La intersección con el eje X se encuentra haciendo = 0.

10 0 Pasos Qué debo estudiar? Eplicación Dominio, continuidad asíntotas 4 Estudiar la primera derivada 5 Estudiar la segunda derivada Hallar el dominio de la función, las discontinuidades los intervalos de continuidad. Calcular los límites unilaterales en los etremos de estos intervalos de continuidad. Estos límites nos proporcionan las asíntotas verticales de eistir los límites al infinito estos nos dan las asíntotas horizontales Estudiar la derivada f en los intervalos particionados por los puntos críticos los posibles puntos de infleión. Para así obtener los intervalos de crecimiento decrecimiento de la función aparte de los máimos mínimos de esta. Estudiar la segunda derivada (f en los intervalos obtenidos en el paso 4. Estudiar el signo de esta para obtener la concavidad puntos de infleión de f. 6 Graficar Esbozar el gráfico de f con la información encontrada en los pasos anteriores. Si es necesario calcular algunos puntos etra. Actividades de Autoevalución. Responda con verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados. Justifique su respuesta. a. Una función continua definida en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor máimo en ese intervalo. b. Si una función diferenciable f alcanza un valor máimo en un intervalo c de su dominio, entonces f (c = 0. c. Es posible que una función tenga un número infinito de puntos críticos. d. Sí f( = La gráfica de f es cóncava hacia arriba en todo el eje real. e. Si f ( > 0 para todo en I, entonces f es creciente en I. f. Si f ( = 0, entonces f tiene un punto de infleión (c,f(c. g. Si f ( > 0 para todo en [a,b] entonces f alcanza su máimo valor en b (de [a,b]. h. Si f ( = 0 para todo en [a,b], entonces f es constante en el intervalo.

11 i. La gráfica de = sen tiene un número infinito de puntos de infleión.. Use los pasos para trazar las gráficas de las ecuaciones dadas. 5 ( 0, ( 4 e d sen c b a, 8 i sen h g f Referencias Edwards, C. PENNEY, D. (996. Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición. Méico: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Fleming, W. Verberg, D. (999. Álgebra Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera edición. Méico: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Leithold, L. (990. El Cálculo con Geometría Analítica. Seta Edición. Méico: Harla. Purcell, E. Verberg, D. (99. Cálculo con Geometría Analítica, Seta Edición. Méico: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Sáenz, J. (995. Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Lara, Venezuela: HIPOTENUSA.

12 Swokowski, E. (988. Álgebra Trigonometría con Geometría Analítica. Segunda edición. Méico: Grupo Editorial Iberoamérica. Dos alas para volar en este mundo: coraje entusiasmo La vida no tiene sentido parece gris sin valor, si no ha entusiasmo. El entusiasmo da color belleza a nuestra vida. El coraje es lo que permite que el vuelo suceda, que el pájaro avance no retroceda. Puede que haa vientos fuertes, pero el coraje permite superar los obstáculos, endo hacia una meta mu definida" Autor Desconocido