Métodos para resolver integrales: Leibniz vs Fubini vs Cambio de Variable

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1 Alejandra Quintero García Métodos para resolver integrales: Leibniz vs Fubini vs Cambio de Variable esumen Las integrales y derivadas son muy útiles para resolver casi todos los problemas de la física, ya que estos se modelan con ecuaciones que en su mayoría son ecuaciones integro-diferenciales. Algunos de estos modelos se observan en las ondas electromagnéticas, en el cálculo de la carga total, el calor, el movimiento, o hallar un área entre curvas. Por lo cual, y en base a la importancia que tiene el saber resolver una integral, es también muy importante conocer diferentes métodos y/o teoremas que nos ayudan a resolver de una manera más sencilla las integrales, para esto se explica el Teorema de Leibniz, el Teorema de Fubini y el Teorema de Cambio de Variable haciendo énfasis en este último en el Jacobiano. También se muestran ejemplos del cómo se emplean dichos Teoremas. Palabras Claves: Fubini, Leibniz, Cambio de Variable, Integrales, Jacobiano. Metodología Existen diferentes formas de resolver una integral dependiendo de la forma de la función a integrar, a continuación se presentan algunas formas de realizar una integral dependiendo la forma del integrando. Por ejemplo, el método de sustitución se realiza de la siguiente manera: si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I y f(x) es continua en I, entonces f(g(x))g (x) = f(u)du después de realizar la integral se sustituye u por g(x) para expresar la respuesta final en términos de x. Otra forma de resolver integrales es por integración por partes. Este método se utiliza cuando la función a integrar se puede expresar como un producto de una función por la derivada de otra f(x)g (x) = f(x)g(x) + f (x)g(x) Cuando la función tiene la forma sen m (x)cos n (x), por ejemplo, entonces se le llama Potencias trigonométricas la manera de resolverla depende si m es impar, si n es impar o si m y n son par, o si tiene la forma sec m (x)tan n (x), la manera de resolverla dependen si m es par, si n es impar, o de no presentarse ninguno de los casos anteriores entonces se intenta convertir en senos y cosenos. También se puede resolver por sustituciones trigonométricas, esta se utiliza cuando el integrando tiene la forma a 2 u 2, a 2 + u 2 ó u 2 a 2, estas pueden estar elevadas a diferentes potencias. Integración de funciones racionales utilizando fracciones parciales, donde el integrando tiene la forma f(x) donde f(x) y g(x) son polinomios, se obtienen las fracciones y se integra dependiendo la g(x) forma de la fracción. Conclusiones: El realizar un proceso más corto para calcular o bien resolver una integral nos lleva a tener seguridad en que dicho proceso es correcto, aunque siempre existe la posibilidad de algún error, pero al realizar menos operaciones esta posibilidad disminuye. Por ello es útil conocer los diferentes métodos y Teoremas que existen para calcular una integral. Originalidad: Se presentan tres resultados importantes que facilitad el cálculo de integrales.

2 2 INTODUCCIÓN Las integrales y derivadas son muy útiles para resolver casi todos los problemas de la física, ya que estos se modelan con ecuaciones que en su mayoría son integro-diferenciales. Para ello existen diversos métodos para encontrar el resultado de una integral. Como se sabe el operador que se utiliza para denotar una integral es, esta notación fue creada por Leibniz. En sus primeros escritos, Leibniz utilizó la notación omn (abreviatura del vocablo latino omnes ) para denotar la integración. Después, en octubre de 675, escribió: será útil escribir, en lugar de omn. y por lo tanto, l en vez de omn. Dos o tres semanas más tarde refinó aún más la notación y escribió [ ] en vez del símbolo solo. También Leibniz desarrollo la egla de derivación, de la cual se mostrará más adelante su aplicación. b La dificultad para evaluar una integral simple f(x) depende normalmente de la función f, a y no del intervalo [a, b]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales simples y las integrales dobles, debido a que después de evaluar la primera integral se puede obtener un integrando muy complejo de integrar. El Teorema de Fubini lo demostró el matemático italiano Guido Fubini ( ). El Teorema establece que si es vertical u horizontal simple y f es continua en, la integral doble de f en es igual a una integral iterada. Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular, esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y de integrandos que contienen x 2 + y 2, y este cambio de coordenadas se puede realizar gracias al Teorema de Cambio de variables, donde utilizamos el Jacobiano, llamado así en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi quien realizó el primer estudio serio del cambio de variables en integrales múltiples a mediados del siglo XIX. INTEGAL La integral o también conocida como antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida. Como se sabe la derivada de cualquier función constante es cero, así pues, una vez que se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) = F + C = F. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes. Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de 2x. Una de estas primitivas es x 2, otra es x 2 +, una tercera es x 2 + 2, y en general x 2 + C. Cada una de estas funciones tiene por derivada 2x. esulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función (ver figura ). Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante, así pues se tiene que,

3 3 Figura.-Grafica de la función primitiva con diferentes valores de c. INTEGAL DEFINIDA Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), y las líneas verticales x = a y x = b. Tomando como ejemplo la función anterior f(x) = 2x, la integral dfinida en el intervalo [a, b] es el área representada de color azul en la figura 2. Figura 2.- epresentación del área bajo la curva de la función f(x) = 2x en el intervalo [a, b]. VOLUMEN BAJO LA SUPEFICIE Se requiere determinar el volumen contenido entre la superficie f(x, y) y el plano xy, donde la región transversal del solido está definido por la región (en este caso un rectángulo en 2 ); como se muestra en la figura 3. Si se utiliza como base rectángulos más pequeños de dimensiones x i y y i, donde y x i, y j es una partición de, tal que Lo anterior se muestra gráficamente en la figura 4. x i = x i x i, y j = y j y j, a = x < x < x 2 < < x n = b, c = y < y < y 2 < < y m = d,

4 4 Figura 3.- Área bajo la superficie. Figura 4.- Superficie. Entonces, una aproximación al volumen bajo la superficie es n m V i=j j= f(x i, y j ) x i y i, si n, m x i, y i si x = máx{ x i }, y = máx{ y j } n m V = lim x i=j j= f(x i, y j ) x i y i,. y = f(x, y)da donde da = dy ó da = dy es llamado diferencial de área. Ejemplo: Determinar el volumen del solido que se encuentra bajo z = + x 2 + y 2 y el plano xy, y que está acotado por x =, x =, y = y y =. Solución. + x 2 + y 2 dy = [( + x 2 )y + 3 y3 ] = ( x2 ) = [ 8 3 x x3 ] = 3 EGLA DE DEIVACIÓN DE LEIBNIZ En las aplicaciones, algunas veces se encuentran funciones como f(x) = x 2 senx ( + t)dt y 2 x g(x) = sent 2 dt, x definidas por integrales que al mismo tiempo tienen una variable en los límites superiores de integración y una variable en los límites inferiores de integración. La primera integral puede evaluarse directamente, pero la segunda no. Sin embargo, obtendremos la derivada de cualquier integral usando la fórmula llamada egla de Leibniz.

5 5 egla de Leibniz. Si f es continua en [a, b] y si u(x) y v(x) son funciones diferenciables de x, cuyos valores están en [a, b], entonces d v(x) u(x) dv f(t)dt = f(v(x)) f(u(x)) du La figura 5 da una interpretación geométrica de la regla de Leibniz. En ella se muestra una alfombra de ancho variable f(t), que se enrolla a la izquierdad al mismo tiempo que x se desenrolla a la derecha. (En esta interpretación, el tiempo es x). En el instante x, el suelo está cubierto desde u(x) hasta v(x). La tasa du a la que la alfombra se está enrollando no debe ser la misma que la tasa dv en la que se está desenrollando. En cualquier tiempo dado x, el área cubierta por la alfombra es v(x) A(x) = f(t)dt u(x) Figura 5.- Interpretación Geométrica. Corolario (egla de Derivación de Leibniz). Sean I, J intervalos no triviales, con I compacto y J abierto. Sea f: I J una función continua en I J tal que f(x) es derivable en J para todo x I. Supongase además que f λ es continua en I J. Sea t ε I y g: J I una función derivable. Entonces, f λ (, λ) es integrable para todo λ J, g(λ) f(x, λ) t es derivable en J para todo x I, y se cumple la regla de derivación de Leibniz g(λ) g(λ) d f(x, λ) = f(g(λ), λ)g f (λ) + (x, λ) λ J dλ t t λ La aplicación de este y de los demás teoremas se mostrara más adelante.

6 6 TEOEMA DE FUBINI El Teorema de Fubini da una técnica para el cálculo de integrales de funciones de varias variables mediante el cálculo de varias integrales de funciones de una variable. Teorema (Fubini). Sea f continua en una región plana.. Si está definida por a x b y g (x) y g 2 (x), donde g y g 2 son continuas en [a, b], entonces (ver figura 6) f(x, y)da = f(x, y)dy 2. Si está definida por c y d y h (y) x h 2 (y), donde h y h 2 son continuas en [c, d], entonces (ver figura 7) a b g 2 (x) g (x) f(x, y)da = f(x, y)dy c d h 2 (y) h (y) Figura 6.- egión del Teorema Fubini. Figura 7.- egión del Teorema Fubini 2. TEOEMA DE CAMBIO DE VAIABLE Cuando se quiere resolver una integral y se tiene un gran número de operaciones, esto puede conducir a un resultado erróneo, para evitar este tipo de problemas se puede utilizar el Teorema de Cambio de Variable. Antes de enunciar el Teorema, es necesario ver el concepto de Jacobiano, ya que es un concepto importante en el cambio de variable. Definición (Jacobiano en dos variables). Supóngase que x y y son dos variables independientes que se pueden expresar en términos de otras dos variables independientes u y v por la fórmula x = g(u, v) y y = h(u, v). El Jacobiano de x y y con respecto a u y v, denotado (x,y) (u,v) ó J(u, v), es J(u, v) = u y u v = y y u v y u v v

7 7 Definición (Jacobiano en tres variables). Supóngase que x, y y z son tres variables independientes que se pueden expresar en términos de otras tres variables independientes u, v y w por la fórmula x = g(u, v, w), y = h(u, v, w) y z = l(u, v, w). El Jacobiano de x, y y z con respecto a u, v y w, denotado (x,y,z) ó J(u, v, w), es (u,v,w) u y J(u, v, w) = u z u v y v z v w y w z w Teorema (Cambio de Variable 2 ). Si f(x, y) es continua en, 2 y existen relaciones uno a uno entre las variables u, v y x, y, es decir u = G(x, y), v = H(x, y) de manera que es posible escribir x = g(u, v), y = h(u, v) Si f es continua en una región u,v 2, entonces f(x, y)da x,y = f(g(u, v), h(u, v)) J(u, v) da u,v x,y u,v Una explicación de lo que se hace cuando se aplica el Teorema de Cambio de Variables es: si se denota como a una región en el plano xy y a S una región en el plano uv, entonces un cambio de variable se describe como una transformación T del plano uv al plano xy definida como T(u, v) = (x, y) donde x y y están dados por x = g(u, v) y y = h(u, v). Tal transformación trazara un mapeo de una región S en el plano uv en otra región en el plano xy (ver figura 8). En la mayoría de los casos se da la región y entonces hay que buscar una región S donde la región a integrar sea más sencilla y por lo cual se usa una transformación. Figura 8.- Mapeo de una región a otra mediante una transformación.

8 8 Teorema (Cambio de Variable 3 ). Si f(x, y, z) es continua en, 3 y existen relaciones uno a uno entre las variables u, v, w y x, y, z, es decir de manera que es posible escribir u = G(x, y, z), v = H(x, y, z), w = K(x, y, z), x = g(u, v, w), y = h(u, v, w). z = k(u, v, w) Si f es continua en una región u,v,w 3, entonces f(x, y, z)da x,y,z = x,y,z f(g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)) J(u, v, w) da u,v,w u,v,w EJEMPLOS DE APLICACIÓN Para poder comprender y entender cómo se aplican los resultados anteriores, veamos ejemplos de la aplicación de estos. Ejemplo. Evaluar ( 2 x2 2 y2 ) da donde es la región dada por x, y. Solución. Utilizando el Teorema de Fubini, como la región es un cuadrado, es vertical y horizontal simple y se puede emplear cualquier orden de integración; se elige dy colocando un rectángulo representativo vertical en la región, como se muestra en la figura 9. Con esto se obtiene lo siguiente. Figura 9.- ectángulo representativo vertical en la región de integración. ( 2 x2 2 y2 ) da = ( 2 x2 2 y2 ) dy = [( 2 x2 ) y 6 y3 ] = ( x2 ) = [ 5 6 x 6 x3 ] = 2 3

9 9 Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral si es la región mostrada en la figura da x 2 + y 2 Figura.- egión a integrar. Solución. Primero se aplica el Teorema de Fubini, entonces se tiene x 2 x 2 + y dy 2 Ahora se aplica el Teorema de Cambio de Variable haciendo el cambio de coordenadas a coordenadas polares. x = rcosθ Se obtiene el Jacobiano de la transformación: y = rsenθ r = x 2 + y 2 θ = arctan ( y x ) J(r, θ) = r y r θ cosθ rsenθ = y senθ rcosθ = rcos2 θ + rsen 2 θ = r θ e integrando, x 2 x 2 + y dy 2 π = r r dθdr π = dθdr = [θ] π dr = πdr = [πr] = π

10 Las figuras y 2, la parte de color azul muestran el área bajo la superficie, en coordenadas cartesianas y polares respectivamente, que acabamos de obtener. Cabe notar que en ambas el área bajo la superficie es la misma. Figura. Área bajo la superficie (coordenadas Cartesianas) Figura 2. Área bajo la superficie (coordenadas Polares) Ejemplo 3. Utilizando el Corolario de la egla de Leibniz encontrar las derivadas de la función x 2 F(x) = t 4 + x 3 dt Solución. Antes de aplicar directamente la egla de Leibniz, se localiza cada parte de la integral de acuerdo a dicha egla, esto es g(x) = x 2 y f(t, x) = t 4 + x 3 f(x 2, x) = x 4 + x 3 = x x 2 + x, g (x) = 2x y f x (t, x) = 3x 2 2 t 4 + x 3 Aplicando la egla de derivación de Leibniz g(x) x df 2 = 3x 2 f(x2, x)g (x) + f x (t, x)dt = (x x 2 + x) (2x) + 2 t 4 + x dt 3 Ejemplo 4. Utilice la regla de Leibniz para encontrar la derivada de la función f(x) = Solución. Analizando las partes para poder aplicar la egla de derivación de Leibniz x /x t dt v(x) = x, u(x) = x, f(t) = t, dv =, f(v(x)) = x, du = x 2, f(u(x)) = = x, x

11 Ahora sí, aplicando la regla de Leibniz x d t dt = ( x ) () (x) ( x 2) = x + x = 2 x /x CONCLUSIONES El realizar un proceso más directo para calcular o bien resolver una integral nos lleva a tener seguridad en que dicho proceso es correcto, aunque siempre existe la posibilidad de algún error, pero al realizar menos operaciones esta posibilidad disminuye. En la actualidad existen diversos softwares que nos ayudan a calcular integrales por ejemplo Máxima, Matlab, Maple; pero hay casos donde estos no nos pueden ayudar por ejemplo en integrales donde se aplica el Teorema de Leibniz, por lo cual es importante que se difunda este Teorema ya que existe muy poca información sobre él, y en algunos textos solo se toma como un tema de discusión y en otros ni siquiera se encuentra. BIBLIOGAFIA Larson,., Hostetler,. P., & Edwards, B. H. (26). Cálculo de varias variables II. Lax, P. (25). Change of variables in multiple integrals. Selected Papers Volumen II. incón, J. A. C. Derivación bajo la integral. udin, W. (976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. USA. Spivak, M.D. (988). Cálculo en Variedades. everté. Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J., & Giordano, F.. (25). Cálculo: una variable (Vol. ). Pearson Educación.