VECTORES: DERIVADAS E INTEGRALES

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Lorena Muñoz Rojo
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1 VECTOES: DEIVADAS E INTEGALES ( ), calcular: Siendo el vector de componentes 1, sen( t), cos t Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 05 Derivando componente a componente: ( 0, cos( t), sen t (1) ) Derivando de nuevo: d 0, sen( t), cos ( t ) Calculando el módulo de : Derivando esta expresión: Calculando el módulo de (1): 0 d 1 Integrando componente a componente: Donde C es un vector constante. ( ) + C t, cos( t), sen t

2 Siendo el vector de componentes ( e t, cos( 3t), sen( 3t) ), calcular: Solución: I.T.I. 95 Derivando componente a componente: (1) ( e t, 6sen( 3t), 6cos( 3t ) Derivando de nuevo: () ( e t, 18cos( 3t), 18sen( 3t) ) Calculando el módulo de (1): e t + 36 (3) Calculando el módulo de (): e t + 34 (4) Calculando el módulo de : e t + 4 e t Derivando esta expresión: e t + 4 (5) Vemos que no es lo mismo derivar y luego calcular el módulo, resultado (3), que calcular primero el módulo y luego derivar, resultado (5). Integrando componente a componente: e t, sen (6) Donde C 3 ( 3t ), cos 3 ( 3t ) + C es un vector constante.

(1): e t + 36 (3) Calculando el módulo de (): e t + 34 (4) Calculando el módulo de : e t + 4 e t Derivando esta expresión: e t + 4 (5) Vemos que no es lo

3 Siendo el vector de componentes sent, cos t, t d d d, calcular: d Solución: I.T.I. 9, I.T.T. 95, I.I. 94 Derivando componente a componente: cost, sent,1 (1) Derivando de nuevo: () ( sent, cos t, 0 ) Calculando el módulo de (1): (3) Calculando el módulo de (): 1 (4) Calculando el módulo de : 1+ t Derivando esta expresión: t 1+ t (5) Vemos que no es lo mismo derivar y luego calcular el módulo, resultado (3), que calcular primero el módulo y luego derivar, resultado (5). Integrando componente a componente: cos t, sent, t + C (6) Donde C es un vector constante.

módulo de (1): (3) Calculando el módulo de (): 1 (4) Calculando el módulo de : 1+ t Derivando esta expresión: t 1+ t (5) Vemos que no es lo

4 Siendo el vector de componentes d d d 1 t, t, e t, calcular: d Solución: I.T.I. 96, 00, 03, 06, I.T.T. 96, 00, 03, 06 Derivando componente a componente: (1) 1, t, e t t Derivando de nuevo: (),, e t t 3 Calculando el módulo de (1): d 1 (3) t + ( t) + ( e t ) Calculando el módulo de (): d (4) t 3 + ( ) + ( e t ) Calculando el módulo de : 1 t + ( t ) + ( e t ) 1 Derivando esta expresión: (5) t + 3 t3 e t 1 t + t4 + e t Vemos que no es lo mismo derivar y luego calcular el módulo, resultado (3), que calcular primero el módulo y luego derivar, resultado (5). Integrando componente a componente: ln t, t3 (6) Donde C 3, e t + C es un vector constante.

T. 96, 00, 03, 06 Derivando componente a componente: (1) 1, t, e t t Derivando de nuevo: (),, e t t 3 Calculando el módulo de (1): d 1 (3) t + ( t) + ( e t )

5 Siendo el vector de componentes sen( t), cos( t), 1 t, calcular: Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 01 Derivando componente a componente: cos( t), sen t (1), 1 t Derivando de nuevo: 4sen( t), 4 cos( t), () t 3 Calculando el módulo de (1): (3) t 4 Calculando el módulo de (): (4) t 6 Calculando el módulo de : 1+ 1 t Derivando esta expresión: (5) 1 t 6 + t 4 Vemos que no es lo mismo derivar y luego calcular el módulo, resultado (3), que calcular primero el módulo y luego derivar, resultado (5). Integrando componente a componente: (6) 1 cos Donde C ( t ), 1 sen( t), ln ( t ) + C es un vector constante.

T. 97, 01 Derivando componente a componente: cos( t), sen t (1), 1 t Derivando de nuevo: 4sen( t), 4 cos( t), () t 3 Calculando el módulo de (1): 4 + 1

6 ( ), calcular: Siendo el vector de componentes 3t, sen( t), cos t Solución: I.T.I. 94, 01, I.T.T. 0 Derivando componente a componente: d 3, cos( t), sen ( t ) Derivando de nuevo: d 0, sen( t), cos ( t ) Calculando el módulo de : 1+ 9t Derivando esta expresión: 9t 1+ 9t Derivando de nuevo: t 3 Integrando componente a componente: Donde C es un vector constante. 3 t, cos( t), sen( t) + C

T. 0 Derivando componente a componente: d 3, cos( t), sen ( t ) Derivando de nuevo: d 0, sen( t),

7 Siendo A un vector de módulo constante y dirección variable con t, demostrar que dicho vector y su derivada respecto de t son perpendiculares siempre que el módulo de la derivada sea distinto de cero. Solución: I.T.I. 9, 93, 95, 96, 97, 00, 03, 06, I.T.T. 95, 96, 97, 00, 03, 06, I.I. 94 Si A es constante: da 0 Por otro lado: A A A, luego: d A A Desarrollando el producto escalar: d A A 0 d A A + A d A A d A Por lo tanto si el módulo de la derivada no es nulo d A 0, la única solución posible es que el vector y su derivada sean perpendiculares: A d A Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que: si v es constante en módulo, entonces v d v 0, si v es constante en dirección v d v 0. Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 04 Si v es constante: dv 0 Por otro lado: v v v, luego: d v v 0 Desarrollando el producto escalar: d v v d v v + v d v v d v Por lo tanto si el módulo de la derivada no es nulo d v que el vector y su derivada sean perpendiculares: 0, la única solución posible es v d v 0

T.I. 9, 93, 95, 96, 97, 00, 03, 06, I.T.T. 95, 96, 97, 00, 03, 06, I.I. 94 Si A es constante: da 0 Por otro lado: A A A, luego: d A A Desarrollando el producto escalar: d A A 0 d A A + A d A A d A

8 El vector v se puede escribir en función de su módulo v y de un vector unitario ˆv en su misma dirección y sentido: v v ˆv. Si la dirección es constante ello implica que el vector unitario ˆv es constante con lo que: v d v v ˆv d ( v ˆv ) dv v ˆv ˆv v dv ( ˆv ˆv ) 0 Obtener la derivada de un vector unitario que gira en el plano XY con una velocidad angular constante ω. Comprobar que ambos son perpendiculares. Solución: I.T.I. 98, 01, I.T.T. 99, 01, 05 Si cogemos el origen de tiempos (t 0) en el momento en que el vector unitario era el vector i (θ 0), el ángulo que forma dicho vector unitario con el eje X vendrá dado por la siguiente ecuación: θ ω t: û cos[ ω t], sen[ ω t], 0 dû ω sen [ ω t ], cos[ ω t], 0 û dû 0 û dû

unitario que gira en el plano XY con una velocidad angular constante ω. Comprobar que ambos son perpendiculares. Solución: I.T.

9 ( [ ] ĵ ) donde A y ω son constantes. Determinar: a) su Sea el vector a A cos[ ω t]î + sen ω t módulo y la derivada de éste respecto de t, b) d a y perpendiculares. Solución: I.T.I. 99, 0, 05, I.T.T. 0 da, c) demostrar que a y d a son a) a a a A ( cos[ ω t] ) + ( sen[ ω t] ) A da 0 b) d a ( [ ] ĵ ) ω A sen[ ω t]î + cos ω t da ω A ( sen[ ω t] ) + ( cos[ ω t] ) ω A c) a d a 0 a d a Dados los vectores A t î + t 3 ĵ 4t 3t + 8 d( A B ) d( A B ), y ˆk, B t + 6 î 3t ĵ + ˆk, calcular: Solución: I.T.I. 98, I.T.T. 0 A B ( t + 6)t 6t 5 4t 3t + 8 6t 5 + t 3 t + 6t 16 Error!Marcador no definido. d A B 30t 4 + 6t 4t t t 48t î + 4t 40t + ĵ + 8t 3 36t ˆk

10 Dados los vectores a t, sent, 0 d a + b, d a b, calcular:, B 0, cost, t y d a b Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 04 d ( a + b ) a + b t, sent + cost, t a b sent cost sen t a b ( t sent, t 3, 4t cost) d( a b ) d( a b ) (, cost sent, t) cos( t) t sent + t cost î 6t ĵ + [ 4 cost 4t sent ] ˆk y Dados los vectores a t, t,1 a) ( a + b ), b) ( a b ), c) calcular: b 1, t, t +1 a b Solución: I.T.I. 99, 04, 05, I.T.T. 99, 0, 04 a) a + b ( t +1, t, t + ) ( a + b ) ( t +1, t, t + ) t t, t, t + t b) a b t +t +1 ( a b ) ( t +t +1) t t + t c) a b ( t,1 t 3 t, t 3 t) ( a b ) ( t,1 t 3 t, t 3 t) t 3 3, t t4 4 t3 3, t4 4 t

T. 04 d ( a + b ) a + b t, sent + cost, t a b sent cost sen t a b ( t sent, t 3, 4t cost) d( a b ) d( a b ) (, cost sent, t) cos( t) t sent + t cost î 6t

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