LA INTEGRAL DEFINIDA: UNA HERRAMIENTA COGNITIVA PODEROSA PARA MODELAR Y RESOLVER PROBLEMAS ECONÓMICOS.

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1 LA INTEGRAL DEFINIDA: UNA HERRAMIENTA COGNITIVA PODEROSA PARA MODELAR Y RESOLVER PROBLEMAS ECONÓMICOS. Ana Ida Vilir ivilir@cug.co.cu Rafal Cardoza Gámz cardoza@fc.cug.co.cu Univrsidad d Guantánamo Rsumn: Considrando las alabras dl matmático francés Julio Enriqu Poincaré ( ), quin sostnía qu: Toda cincia tin d cincia lo qu tin d Matmática, n st artículo, mdiant la modlación y rsolución d roblmas qu xign la alicación d la intgral dfinida, s ha tratado d significar la imortancia qu tin sta hrraminta cognitiva odrosísima ara los conomistas. Introducción: Es n l siglo XIX a través d la Rvolución Marginalista cuando las matmáticas adquirn rlvancia n la Cincia Económica us Lón Walras stablc la toría d Equilibrio d mrcado y sto lo hac matmáticamnt. Pro admás, l dsarrollo d los mrcados financiros ha sido crcintmnt gobrnado or modlos matmáticos, hcho qu ha dtrminado qu las matmáticas ncsariamnt san considradas ara analizar st tio d mrcados, convirtiéndolas n una hrraminta sncial ara transmitir idas conómicas Dsarrollo En una socidad, los individuos tomados tanto n forma aislada como n su conjunto, tinn ncsidads matrials (vivinda, alimntación, tc.) y no matrials (salud, rcración, tc.).pro, cómo las satisfacn si cuntan con rcursos qu son scasos o limitados? El camino s l d ralizar actividads roductivas.

2 En s marco s dfin la Economía: como la cincia qu s ncarga d distribuir n forma convnint los rcursos scasos d una socidad, con l objto d roducir bins qu rmitan satisfacr dircta o indirctamnt los dsos o ncsidads d los individuos. Los conomistas son los ncargados d ncontrar las rsustas al roblma qu surg ntr dsos y ncsidads ilimitadas, frnt a rcursos qu son scasos. Para intntar ntndr como funcionan stas rlacions utilizarmos modlos matmáticos. Un modlo s una abstracción simlificada d una ralidad más comlja y dsd l unto d vista matmático, modlar significa llvar una situación d la ralidad objtiva al lnguaj d las matmáticas, claro ara llo s ncsita tnr un sistma d conocimintos matmáticos, rvios qu n st caso constituyn las hrramintas cognitivas qu ls rmitan al qu modla traducir dl lnguaj común al matmático, admás d rsolvr l roblma. Estos robustcn al conomista, y l rmitn conocr qu las matmáticas son alicabls a difrnts contxtos. La modlación d roblmas conómicos s sustnta d las matmáticas, or lo qu s han considrado n st artículo, algunos contnidos sncialmnt d la ráctica contabl qu s nutrn d la misma ara sr rsultos, n scial d la intgral dfinida y con llo mantnr l antiguo status d la matmática, sto s: l d sr la hrraminta cuantitativa más imortant d la ráctica conómica. (MATTESICH 1964: 14,15), admás d dmostrar qu la modlación matmática d los fnómnos conómicos, ayudará a una mjor formulación y a una rsolución sistmática (s dcir: ordnada y fctiva) d los roblmas qu la Economía ncsita qu san rsultos, rtndindo admás qu sirva d ayuda ara rarar a los contadors dsd una rsctiva d las cincias conómicas. S hac énfasis dntro dl rocso, rcisamnt n l modlado, us la rsolución ud sr auxiliada con l uso d las nuvas tcnologías (TIC). Un modlo matmático s dfin como una dscrición dsd l unto d vista d las matmáticas d un hcho o fnómno dl mundo ral, dsd l tamaño d la oblación, hasta fnómnos físicos como la vlocidad,

3 aclración o dnsidad. El objtivo dl modlo matmático s ntndr amliamnt l fnómno y tal vz rdcir su comortaminto n l futuro. El rocso ara laborar un modlo matmático s l siguint: 1. Posr un roblma dl mundo ral.formular un modlo matmático acrca dl roblma, idntificando variabls (dndints indndints) y stablcindo hiótsis lo suficintmnt simls ara tratars d manra matmática (Traducir l roblma n términos matmáticos, ntoncs s dic qu s tin l modlo matmático) 3. Alicar los conocimintos matmáticos qu s os ara llgar a conclusions matmáticas (Obtnr la solución dl roblma). 4. Comarar los datos obtnidos como rdiccions con datos rals. Si los datos son difrnts, s rinicia l rocso (Intrrtar la solución matmática obtnida, n términos dl roblma original). Es imortant mncionar qu un modlo matmático no s comltamnt xacto con roblmas d la vida ral, d hcho, s trata d una idalización. Cómo uda l conomista alicar sta hrraminta intrrtar conómicamnt l rsultado obtnido, si dsconoc l concto d algunos lmntos involucrados n stos tios d roblmas?, or tanto s ncsario qu st rmmor rvio a afrontar los mismos, algunos conocimintos qu srán xustos a continuación: Dfinición: (Intgral dfinida d una función). b a b f ( x) dx = F( x) = F( b) F( a), dond F ( x) = f ( x) ara toda x ( a, b). a Esta dfinición no rquir qu a < b. Sin mbargo, si a > b y f(x) s a ositiva n l intrvalo [b, a], ntoncs b f ( x) dx s un númro ngativo. 3

4 S ha introducido l concto d intgral dfinida sin ncsariamnt darl una intrrtación gométrica, la razón stá dada n qu udn xistir varias intrrtacions, n dndncia dl contxto tratado. Por jmlo si f (r) s una función d dnsidad d la rnta, ntoncs a b f ( r) dr s la roorción d rsonas con rntas nt a y b. Es buno significar admás qu: Si una función ositiva f(x), dfinida n un intrvalo [a, b], s intgrabl (xist su intgral n [ b] a,, la intgral f ( x) dx qu rrsnta l ára d la surfici dtrminada or la gráfica d la función, l j d abscisas y las rctas x = a y x = b. Si la función y = f (x) fus ngativa n l intrvalo [a, b], la gráfica d la función qudaría or dbajo dl j d abscisas. Mrcado: Es l lugar n dond intractúan vnddors y comradors d distintos bins ara l intrcambio d éstos a través d rcios y cantidads. Equilibrio d Mrcado: n st contnido son alicabls los modlos linals y cuadráticos, claro considrando las funcions d igual nombr rsctivamnt, or cuanto las funcions d ofrta y dmanda involucradas n l quilibrio s modlan mdiant una d sta funcions, n la búsquda dl unto y cantidad d quilibrio, involucradas llas a su vz n l hallazgo d los xcdnts dl consumidor y roductor rsctivamnt. En fin xistirá una situación d quilibrio ntr ofrta y dmanda cuando los consumidors a los rcios d mrcado adquiran toda la cantidad qu dsan y los ofrtants logrn vndr todas las xistncias. Ofrta: Es l conjunto d rcios mínimos a los qu los roductors stán disustos a ofrtar las difrnts cantidads roducidas. Dnd d varios factors (tcnologías, costos tc.). Dmanda: Es l conjunto d rcios máximos qu stamos disustos a agar or las difrnts cantidads roducidas, dnd d difrnts factors (gustos, ingrsos rcios tc.) Excdnt dl Consumidor y Excdnt dl Productor. 4

5 En conomía, sabmos qu un individuo ird cuando dja d ganar dinro y gana cuando dja d agar. No obstant, las ganancias y érdidas antriors no son tangibls orqu no forman un flujo d dinro como s l caso, or jmlo, d un flujo d caja n una mrsa o una ganancia d una rsona n un ngocio. Por jmlo ustd gasta sistmáticamnt una cirta cantidad d dinro n un dtrminado roducto y los rcios d st disminuyn n un momnto dado, ntoncs lógicamnt gastará mnos y, disondrá d más dinro qu ud ahora invrtir n otros bins, o sncillamnt ahorrarlo. Por otro lado, si n un mrcado aumnta la roducción d bins d tal forma qu l rcio disminuya, las rsonas qu vnían consumindo dicho roducto s bnfician orqu agarán mnos. Pro no db olvidars qu cuando hay xansión d la dmanda d un bin, sto tra consigo qu s bnficin los roductors ya qu l rcio d st bin s surior al antrior. El xcdnt dl consumidor s dfin como la difrncia ntr lo qu starían disustos a agar los consumidors or una cantidad d roducto y lo qu ralmnt agan. EC q = q q Dond s l rcio qu s aga, q la cantidad qu s comra y s la cuación qu dfin a la dmanda. Al stablcrs un rcio d mrcado, todos los roductors ofrcn l roducto a s rcio, sin mbargo xistn roductors qu starían disustos a ofrcr l roducto a un rcio mnor. El xcdnt dl roductor s dfin como la difrncia ntr l rcio qu rcib l roductor y l rcio al qu staría disusto a ofrcr cada una d las unidads d roducto. Son las ganancias adicionals qu tinn los roductors, ocasionadas or la comtncia dl mrcado. Al sumar los xcdnts, s obtnida la contribución qu l mrcado hac al binstar gnral, qu n condicions d comtncia rfcta srá máxima. 5

6 EP= q q dq Dond s l rcio qu s aga, q la cantidad qu s comra y s la cuación qu dfin a la ofrta. Imortant: Los xcdnts udn sr calculados a través d las áras d los triángulos o l ára bajo la curva d dmanda y sobr la curva d ofrta. Ilustrmos como alicar los xcdnts, (llamados también surávits), a roblmas conómicos: A. Para cirto roducto, y n ambint d comtncia ura, la cantidad d unidads y l rcio unitario qudan dtrminados n forma d las coordnadas dl unto d intrscción d las curvas d ofrta y d dmanda. x Dada la curva d dmanda = 5 y la curva d ofrta x = +, calcula l 1 xcdnt d consumidors y l xcdnt d roductor. Ilustr los rsultados con las curvas d ofrta y d dmanda idntificando los xcdnts como áras. Solución: Busqumos l unto d intrscción igualando ambas funcions y dsjando la variabl x, l cual rsulta (, 4). Lugo: x x dx 4. 5x EC = 5 = = 44 sos 18. = = (B). EP= x 4. + dx = 8 x = sos x = 8 (4 + ) = 6

7 q : Cantidad d quilibrio () : Prcio d quilibrio (4) C. Ganancia Total: S dfin como la intgral d la difrncia ntr l ingrso marginal y l costo marginal, (ganancia marginal) valuado dsd una cantidad cro hasta una cantidad ara la cual la utilidad d la ganancia rsulta sr máxima. G= IT-CT= P*Q-CT Rlación con l IM y l CM: ara maximizar la ganancia, la mrsa db buscar l rcio y la cantidad d quilibrio, P* y Q* qu l rortn l máximo bnficio, s dcir la mayor difrncia ntr IT y CT. Est rcio y cantidad d quilibrio son aqullos con los qu l ingrso marginal s igual al costo marginal. IM=CM con una Q* y un P* d máximo bnficio. Vamos como ilustrarlo: Dadas las funcions d ingrso marginal y costo marginal siguints: IM=5 x ; CM= + 1 x. Hall la cantidad qu db roducirs, ara maximizar la utilidad. Dtrmin admás la utilidad total n dicho unto (n dólars). Busqumos la cantidad d quilibrio: 5 x = + 1 x x =1 ó x = -1, tomarmos la ositiva, orqu no xistn roduccions ngativas lugo: U t ilid ad total = = [ IT CT ] dx = [( 5 x ) ( + 1x )] dx 3 1 ( 3 3x ) dx = ( 3x 1x ) = 99 dólars. = 7

8 D. Formación d Caital. Si l caital qu tin una mrsa n l momnto t s f (t), ntoncs la drivada, f (t), s llamada flujo nto d invrsión. Si l flujo nto d invrsión s d t millons d dólars anuals (t rrsnta l númro d años), calcul l aumnto d (la formación d caital) dsd l cuarto hasta l octavo año. Solución: 8 3 t = t dt t = = millons d dólars. Conclusions: Los antriors roblmas A, B, C, y D ilustran algunas d las alicacions d la intgral dfinida, a la conomía, con los cuals ud dmostrars a los conomistas la imortancia d sta hrraminta, admás d otras como l ingrso total y la ganancia nta, qu también significan la utilidad d la misma. Todo lo antrior mustra la ncsidad d qu los conomistas conozcan la imortancia qu rvist la intgral dfinida, us ls rmit afrontar situacions roblémicas d la scialidad qu ncsitan d la modlación a través d sta imortant hrraminta cognitiva. Es rcisamnt a través d la modlación matmática, qu s logra todo lo antrior y algo más, vivnciar sus alicacions y la intgración d sta con otras ramas d la cincia, admás d convrtir a los conomistas dsd sta rsctiva, n intérrts y usuarios d las matmáticas d una manra conscint. Bibliografía Utilizada. 1. Barnt Raimond A. Matmáticas ara Administración y Cincias Socials. a Edición. Nuva Editorial Intramricana S. A. México, (Camarna 1).La Transosición Contxtualizada 3. (Colctivo d autors). Laboratorio d Matmática Surior 4. JAGDISH C. Arya y Robin W. Lardnr. (199) Matmáticas Alicadas a la Administración y Economía. 5. (Jams Stwart, ).Cálculo con Trascndnts Tmranas 8

9 6. Ptri, F. (4). Gnral Equilibrium, Caital, and Macroconomics: A Ky to Rcnt Controvrsis in Equilibrium Thory. Edward Elgar. 7. (Sydsatr, Hammond, 3).Matmáticas ara l Análisis Económico Volumn I. 9