Cómo realizar cálculos aproximados de integrales definidas con la calculadora Casio fx 9860G?

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1 Cómo relizr cálculos proximdos de itegrles defiids co l clculdor Csio fx 986G? Cálculo II Práctic Prof Robiso Arcos OBJETIVO GENERAL: Al culmir est práctic el estudite estrá e cpcidd de relizr cálculos proximdos de u itegrl defiid co l clculdor CASIO fx 986G por ls regls de los rectágulos, trpecios y Simpso RESUMEN: Pr evlur u itegrl defiid b f (x)dx usdo el Teorem Fudmetl del Cálculo, es ecesrio b determir u primitiv F de f, y e ese cso se tedrá que f(x) dx = F(b) F() E ocsioes es difícil, x icluso imposible coocer u primitiv de f, como e el cso de l fució f(x) = e, que o tiee u primitiv elemetl Esto sigific que o existe u fució F tl que F (x) = f(x) y cuy regl de correspodeci pued represetrse por u expresió lgebric costruid medite opercioes de dició, sustrcció, multiplicció, divisió y composició de fucioes elemetles Por otr prte, l plicr el teorem fudmetl del cálculo e u itegrl defiid, o debe pesrse que siempre se obtiee el vlor excto de l itegrl, e relidd lo que se obtiee es el vlor excto expresdo e térmios simbólicos, pero o e térmios uméricos Por ejemplo, x x + dx = ; quí el 7 5 resultdo está expresdo e térmios simbólicos Pr obteer el vlor umérico de l itegrl debemos hllr u proximció del úmero co l ctidd de decimles que se requier; digmos 7 5 x x + dx 565, que es u proximció de l itegrl co dos cifrs decimles excts E cosecueci, e culquier cso, l myorí de ls veces debemos relizr u estimció de l itegrl Icluso, si utilizmos el teorem fudmetl pr hllr u respuest exct e térmios uméricos, l precisió puede o teer setido si el itegrdo se model co dtos que se h obteido e form iexct e u situció problemátic de plicció Es posible que o hy u fórmul o expresió lgebric pr l fució f E l myor prte de ls pliccioes práctics o se requiere respuests excts Si el problem es predecir l ctidd de combustible usdo por u trsborddor espcil o l logitud de u cble de cero que soport u puete, se puede requerir sólo u cierto úmero de lugres decimles de precisió E est práctic uestro iterés se efocrá e coocer métodos pr clculr e form proximd u itegrl defiid y discutir cuáles result mejores e el setido de que rroj resultdos más cercos l vlor excto co meos trbjo Los métodos fucio tmbié que, e l myor prte de ls situcioes práctics, ls itegrles defiids se evlú uméricmete y o por tidiferecició y uso del teorem fudmetl del cálculo CONOCIMIENTOS PREVIOS: El estudite debe estr fmilirizdo co: L otció y sus propieddes El cocepto de l itegrl defiid y sus propieddes El cocepto de sums de Riem y su cálculo

2 INTRODUCCIÓN: El problem geerl se preset hciedo u estimció del áre de l regió R limitd por l gráfic de u fució f, el eje OX y ls rects de ecució x = y x = b Por el mometo supodremos que f(x) y cotiu e [,b], como e l Figur A l regió R l llmremos trpecio curvilíeo Pr ecotrr u estimció del áre del trpecio curvilíeo se sigue los siguietes psos: Pso: Se divide el itervlo [,b] e subitervlos Pr ello se dispoe de + putos que verific l siguiete codició: = x < x < x < L < xk < xk < L < x < x = b Est colecció de putos se deomi prtició del itervlo [,b] e subitervlos o subdivisioes Pso : E cd subitervlo [ xk, xk ] co k =,, L,, se elige culquier puto c k De mer que teemos elegidos putos c,c, L, c dode c se elige e el primer subitervlo [ x, x ], c se elige e el segudo subitervlo [ x, x ], y sí sucesivmete, observe l Figur Pso : Pr cd k =,, L, se clcul los úmeros: Δ xk = xk xk (logitud del subitervlo [ xk, xk ]) f(ck ) (vlor de l fució e x = ck ) f(ck ) Δxk El producto f(ck ) Δxk represet el áre del rectágulo que tiee por bse l logitud del subitervlo [ xk, xk ] y por ltur l logitud f(ck ) Pso 4: Se clcul l sum de los productos ecotrdos e el pso, esto es, S() = f(ck ) Δxk = f(c) Δx + f(c ) Δx + L + f(c) Δx Figur Figur Figur Est sum se deomi Sum de Riem de l fució f e el itervlo [,b] co subitervlos Lo importte de est sum es que l mism os d u proximció del áre de l regió R ( A(R) S() ) E l Figur se observ u sum de Riem de l fució f e el itervlo [,b] co = 5 subitervlos E este cso teemos l estimció: A(R) S(5) = f(c) Δx + f(c ) Δx + f(c ) Δx + f(c4 ) Δx4 + f(c5 ) Δx5 Observe que l elecció de los putos c k pr k =,,,4, 5 h sido rbitrri b Ddo que el áre de l regió R es precismete A (R) = f(x)dx, teemos que el vlor de l itegrl defiid b se proximd por u sum de Riem, esto es, f (x)dx f(ck ) Δxk E esto hecho es que precismete se bs l ide de proximr u itegrl defiid

3 Cómo clculr u proximció de l itegrl idefiid por el método de los rectágulos? Del cálculo terior se deduce que u sum de Riem es u sum de áres de rectágulos Cudo proximmos el vlor de u itegrl defiid por u sum de Riem, estmos proximdo l itegrl por el método de los rectágulos A fi de relizr el cálculo de u sum de Riem de mer práctic y co comodidd de computo, se divide el itervlo [,b] e subitervlos de l mism logitud y los úmeros c k pr k =,, L, o se elige rbitrrimete, sio que se tom los extremos derechos o los extremos izquierdos o el puto medio de cd uo de los subitervlos Si embrgo, debe teerse presete que l rzó de cosiderr sums de Riem que o se sums por l izquierd y por l derech, es que existe otrs opcioes de putos detro de cd subitervlo que puede producir mejores métodos de cálculo proximdo Pr clculr u sum de Riem por el método de los rectágulos se sigue los siguietes psos: Pso: Se costruye u prtició del itervlo [,b] e subitervlos de l mism logitud (prtició regulr), de modo que: b Δxk = xk xk = pr cd k =,, L, Pso : Ddo que e u prtició regulr cd x k viee ddo por l k(b ) progresió ritmétic x k = + pr cd k =,,, L,, los putos ck [ xk, xk ] se elige de cuerdo ls siguietes regls: Se seleccio el puto iicil (izquierdo) de cd subitervlo: (k )(b ) ck = xk = + pr cd k =,, L, Se seleccio el puto fil (derecho) de cd subitervlo: k(b ) ck = xk = + pr cd k =,, L, Se seleccio el puto medio de cd subitervlo: (k )(b ) ck = (xk + xk ) = + pr cd k =,, L, Extremos derechos: ck = x k pr k =,, L, Extremos izquierdos: ck = x k pr k =,, L, Figur 4 Putos medios: ck = (xk + xk ) / pr k =,, L, Figur 5 Figur 6

4 Estos tres métodos se llm, co rzó, l regl por l izquierd, l regl por l derech, y l regl del puto medio Pso : Se clcul l sum de Riem b S () = f(ck ) Δxk = f(ck ) k = Usremos IZQ(), DER() y MED() pr deotr los resultdos obteidos l usr ls regls descrits co subdivisioes L Figur 4 muestr gráficmete l sum de Riem IZQ() pr l fució cotiu y defiid por x f(x) = + e el itervlo cerrdo [,] Observe que e este cso, como l fució f es creciete e [,], l sum IZQ() os d u subestimció o proximció por defecto del áre del trpecio curvilíeo L Figur 5 os muestr gráficmete l sum de Riem DER() de l fució f e el mismo itervlo Por ser f creciete e [,], l sum os d u sobreestimció o proximció por exceso del áre del trpecio curvilíeo L Figur 6 os muestr el hecho itereste de que evlur f e el puto medio de cd subitervlo, muchs veces d u mejor proximció que l obteid l evlur f e los extremos izquierdos o e los extremos derechos del subitervlo Pr l fució f e prticulr, se puede observr que cd rectágulo rebs y recort el áre exct, y que ls ctiddes de exceso y recorte so prácticmete igules Es útil sber cudo u regl produce u subestimció y cudo u sobrestimció Se puede demostrr que: Si f es creciete e [,b], etoces pr culquier úmero etero positivo se tiee: b IZQ() f(x) dx DER() Si f es decreciete e [,b], etoces pr culquier úmero etero positivo se tiee: b DER() f(x) dx IZQ() Cómo se clcul ls sums de Riem co prticioes regulres e l clculdor CASIO fx-986g? Observcioes: Ates de cotiur, es importte señlr que el usurio debe relizr ls ctividdes propuests siguiedo cuiddosmete cd istrucció Pr distiguir e est práctic ls istruccioes y ctividdes de l mer trsmisió de iformció, estás se destcrá co los icoos,, o u brr gris e el mrge izquierdo de l pági El primer icoo o l brr gris dispuest lo lrgo de u secueci de istruccioes umerds, ucirá l usurio que se bre u secció dode úicmete podrá hcer uso de l clculdor pr ejecutr ls istruccioes que se idic El segudo icoo le ucirá que se está pltedo u situció problemátic que será resuelt o que está propuest pr que l desrrolle El último le ucirá que debe reportr por escrito l respuest l situció problemátic formuld Operció co l clculdor: Ates de relizr ls ctividdes presetds e est práctic, es ecesrio relizr lbores de limpiez y cofigurció e el meú de trbjo de l clculdor Presioe pr eceder l clculdor Presioe Seleccioe el meú [Ru-Mt] y presioe Pr cofigurr l clculdor e el meú [Ru-Mt], presioe ls tecls pr cceder l cudro de diálogo de cofigurció 4 Figur 7

5 4 E el cudro de diálogo prece el selecciodor ubicdo e [Iput Mode] Presioe (Figur 7) pr cofigurr el meú [Ru-Mt] e el modo [Lie] 5 E l tecl direcciol elíptic presioe El resltdor se ubicrá e [Disply] Presioe u o dos veces hst elegir el formto umérico e el modo [Norm] (Figur 8) Figur 8 6 Presioe pr slir del meú de cofigurció 7 Presioe l secueci de tecls: pr limpir ls vribles de l A hst l Z (Figur 9) 8 Pr usr el historil de cálculo presioe Esto cofigur el meú [Ru-Mt] e el modo [Mth] Figur 9 9 Presioe ls tecls pr borrr el historil de cálculo (Figur ) Ahor estmos e cpcidd de resolver uestr primer situció problemátic: Figur Situció problemátic: Clcule ls sums de Riem IZQ(), DER() y MED() pr =,,5,, que proxime l itegrl defiid x + dx Presete sus resultdos e u tbl 4 Operció co l clculdor: Comezremos sigdo vlores ls vribles A, B y N: Presioe A l vrible A le hemos sigdo el límite iferior del itervlo de, itegrció [ ] Presioe A l vrible B le hemos sigdo el límite superior del itervlo de, itegrció [ ] Presioe A l vrible N le hemos sigdo el úmero de subdivisioes ( = ) co que vmos clculr l proximció IZQ() (Figur ) Presioe l secueci de tecls: Figur Figur 5

6 Co esto hemos sigdo l vrible D l logitud cd subitervlo pr k =,,, L,9, (Figur ) Clculremos hor l sum IZQ(): b Δ x k = de 4 Presioe y luego pr que prezc e ptll el símbolo 5 Presioe l secueci de tecls: Figur Se obtiee el resultdo presetdo e frcció 6 Presioe pr obteer IZQ() e form deciml Figur 4 5 Reporte por escrito Presete el resultdo obteido y los subsecuetes e l siguiete tbl: IZQ() MED() DER() 5 Tbl Pr clculr ls sums IZQ() pr =,5,, hcemos uso del histórico de cálculo de l siguiete mer: Pr clculr IZQ() bst cmbir el vlor ctul de l vrible N por e el histórico de cálculo: 7 Presioe pr ubicr el cursor e l istrucció N e el histórico de cálculo (Figur 5) Figur 5 8 Presioe hor pr ctulizr el uevo vlor ( = ) de sigció pr l vrible N (Figur 6) 9 Presioe El histórico ctuliz los cálculos prtir de l istrucció modificd y preset utomáticmete el vlor de IZQ() como u frcció Figur 6 Presioe pr obteer IZQ() e form deciml Se obtiee IZQ() = 5875 (Figur 7) De mer álog, clcule ls sums IZQ(5), IZQ() y IZQ() Presete sus resultdos e l Tbl Figur 7 6

7 Pr clculr hor ls sums DER() pr =,5,, relizremos primermete lgus modificcioes e el histórico de cálculo: Pr clculr ls sums por l derech, ubique el cursor e l istrucció dode prece l sumtori como e l Figur 8 Presioe l tecl direcciol derech ueve veces hst ubicr el cursor tes de l letr K Ahor presioe l secueci de tecls: Figur 8 Co esto teemos l sumtori que correspode ls sums por l derech, observe l Figur 9 Ahor clculremos DER(): 4 E el histórico de cálculo, ubique el cursor e l istrucció N y ctulice el vlor ( = ) de sigció de l vrible N (Figur ) 5 Presioe El histórico ctuliz los cálculos prtir de l istrucció modificd y preset utomáticmete el vlor de DER() como u frcció 6 Presioe pr obteer DER() e form deciml Se obtiee DER() = 585 (Figur ) Figur 9 Figur Clcule ls sums DER(), DER(5), DER() y DER() ctulizdo e cd cso el vlor de l vrible N Presete los resultdos e l Tbl Figur Pr clculr filmete ls sums MED() pr =,5,,, hcemos uso uevmete del histórico de cálculo: 7 Pr clculr ls sums por l regl del puto medio, ubique el cursor e l istrucció dode prece l sumtori como e l Figur 8 Presioe l tecl direcciol derech ocho veces hst ubicr el cursor tes de l letr K 9 Ahor presioe l secueci de tecls: Co esto hemos isertdo lguos crcteres pr obteer l sumtori que correspode ls sums por l regl del puto medio, como e l Figur Clculemos MED(): E el histórico de cálculo, ubique el cursor e l istrucció N y ctulice el vlor ( = ) de sigció de l vrible N Presioe El histórico ctuliz los cálculos prtir de l istrucció modificd y preset utomáticmete el vlor MED() = 55 (Figur 4) Clcule ls sums MED() pr =,5,, y presete los resultdos e l Tbl 7 Figur Figur Figur 4

8 Podemos ecotrr e l clculdor fx-986g l itegrl defiid de f y comprr el vlor obteido co los resultdos presetdos e l Tbl : Limpiemos primermete l ptll de l clculdor: Presioe l secueci de tecls: Clculemos hor x dx + : Figur 5 Presioe Aprece l pltill del símbolo itegrl 4 Presioe l siguiete secueci de tecls pr editr l fució: Co esto teemos editdo el itegrdo Pr colocr los límites de itegrció y clculr l itegrl procedemos como sigue: Figur 6 5 Presioe x Se obtiee + dx = 5 Figur 7 6 Observcioes: l visulizr los resultdos presetdos e l Tbl y comprrlos co el vlor de l itegrl defiid, podemos hcer ls siguietes observcioes: Al usr el método de los rectágulos co culquier de sus tres regls se obtiee proximcioes más excts cudo se icremet el vlor de Cudo l fució f es creciete e el itervlo [,b], como e el cso que hemos trtdo, se tiee: IZQ() MED() DER() pr cd etero positivo De mer álog, si f es decreciete e [,b] se tedrá que: DER() MED() IZQ() pr cd etero positivo El uso de l regl del puto medio d u mejor cálculo proximdo l vlor de l itegrl defiid Por ejemplo, e el cso que hemos trtdo, observe que los vlores proximdos que se obtuviero de l itegrl pr = : IZQ () = 5 875, MED () = 5 5 y DER () = el vlor obteido por l regl del puto medio proxim l itegrl co tres cifrs decimles excts, lo que o sucede co ls otrs sums que solo so excts e l prte eter Si observmos el cso pr = 5 : IZQ (5) = 54, MED (5) = 5 y DER (5) = 54 4, l proximció por l regl del puto medio es exct hst l segud cifr deciml, ls proximcioes co ls otrs dos regls sólo so excts e l primer cifr eter Puede usrse ls sums de Riem pr proximr l itegrl defiid de u fució que tom vlores positivos y egtivos e el itervlo de itegrció? Cudo presetmos ls sums de Riem de u fució cotiu e el itervlo [,b] proximcioes de l itegrl defiid, supusimos que f er o egtiv e [,b] como Est codició se impuso mometáemete co l ide de observr que ls sums de Riem er sums de áres de rectágulos que proximb el trpecio curvilíeo defiido por l fució E relidd o existe tl restricció, ls sums de Riem proxim l itegrl defiid de u fució que tom vlores positivos, ulos y egtivos e el itervlo de itegrció 8

9 Cudo clculmos sums de Riem pr este tipo de fucioes, debe teerse presete que e el subitervlo [ xk, xk ] dode f(ck ) es egtivo, el rectágulo correspodiete se ecotrrá por debjo del eje OX, mietrs que e el subitervlo dode f(ck ) es positivo, el rectágulo se ecotrrá, como hemos visto, por ecim del eje OX E prticulr, e el subitervlo dode f(ck ) es ulo el rectágulo degeer e u segmeto U sum de Riem de u fució que tom vlores positivos y egtivos es u sum lgebric de áres de rectágulos Figur 8 E l Figur 8 se preset l gráfic de l fució defiid por (x) sex,π El itervlo se h subdividido e = subitervlos L sum de Riem presetd correspode l regl por l derech, esto es, DER() Si observ co deteimieto podrá drse cuet que DER() =, ddo que l mism, es l sum lgebric de áres positivs y egtivs co vlores igules y de sigo cotrrio Est sum correspode u proximció exct de l itegrl π sex dx, l cul es ul como puede precirse e l gráfic f = e el itervlo [ ] Cómo clculr u proximció de l itegrl defiid por el método de los trpecios? Hemos visto que l regl del puto medio puede teer el efecto de equilibrr los errores de ls regls por l izquierd y por l derech Existe otr mer de equilibrr estos errores: por qué o promedir los resultdos de ls regls por l izquierd y por l derech? Est proximció se llm regl del trpecio: IZQ() + DER() TRAP() = Pr cd k =,,, L,, l regl del trpecio promedi e cd subitervlo [ xk, xk ] de l prtició regulr, los vlores de f e los putos extremos izquierdo y derecho, y multiplic este vlor por l logitud Δ xk del subitervlo Esto es lo mismo que clculr e form proximd el áre del trpecio curvilíeo de f e cd subitervlo [ xk, xk ] por el áre de u trpecio (Figur 9) De cuerdo esto, teemos l fórmul: TRAP() f(xk ) + f(xk ) (b ) = Δxk = (f(x) + f(x) + f(x) + L + f(x ) + f(x)) Figur 9 Figur 9

10 L Figur 8 os idic Ituitivmete que proximr el áre del trpecio curvilíeo correspodiete cd subitervlo [ xk, xk ] pr cd k =,,, L,, por el áre de u trpecio, os brid u resultdo más cerco l vlor excto del áre bjo l curv que el que os brid el áre de u rectágulo cuy ltur se h clculdo e los extremos del subitervlo El l Figur se observ que co us pocs subdivisioes regulres del itervlo de itegrció, se obtiee u excelete proximció l áre dd por 6 f (x)dx U mer de estblecer qué t bue es u proximció e relció co otr, es clculdo el error que se comete l proximr u ctidd dd por el vlor que l proxim, esto es, Error cometido = Vlor excto Vlor Aproximdo Mietrs más pequeño es el error, mejor es l proximció Tomemos el ejemplo precedete dode hemos x clculdo proximcioes l itegrl dx + por el método de los rectágulos Defimos los siguietes errores pr cd u de ls regls trtds hst el mometo: x EIzq() x = + dx IZQ(), E () dx DER() Der = + x EMed() x = + dx MED() y E () dx TRAP() Trp = + x Asummos que el vlor excto de l itegrl es + dx = 5, ls siguietes tbls preset los errores cometidos e cd proximció: IZQ() ERROR DER() ERROR TABLA MED() ERROR TRAP() ERROR TABLA 7 Observcioes: prtir de los resultdos presetdos e ests tbls podemos hcer vris observcioes: Los errores e ls proximcioes co los putos extremos de l izquierd y l derech tiee sigos opuestos U error positivo idic que l proximció se reliz por defecto Cudo el error es egtivo l proximció se reliz por exceso

11 Los errores e ls proximcioes co los putos extremos prece dismiuir u fctor de más o meos cudo duplicmos el vlor de Ls regls trpezoidl y del puto medio so mucho más excts que ls proximcioes co los putos extremos Los errores e ls regls trpezoidl y del puto medio tiee sigos opuestos y prece dismiuir u fctor de 4 cudo duplicmos el vlor de L mgitud del error e l regl del puto medio es lrededor de l mitd de l mgitud del error e l regl trpezoidl Vemos e este mometo cuádo ls regls del puto medio y del trpecio produce subestimcioes y sobrestimcioes: Pr l regl del trpecio: si l gráfic de l fució f es cócv hci bjo, etoces cd trpecio estrá por debjo de l gráfic de f (Figur ) y l regl del trpecio drá u subestimció (proximció por defecto) Si l gráfic de f es cócv hci rrib (Figur ), l regl del trpecio drá u sobrestimció (proximció por exceso) Figur Figur Pr l regl del puto medio: debemos compreder previmete l relció etre l regl del puto medio y l cocvidd de l curv, tomemos u rectágulo cuy prte superior itersect l curv e el puto medio del itervlo Dibujemos demás, u tgete l curv e el puto medio; esto drá u trpecio (éste o es el mismo trpecio que el de l regl del trpecio, y que o toc l curv e los putos extremos del itervlo) El rectágulo del puto medio y el uevo trpecio tiee l mism áre, porque los triágulos sombredos e ls Figurs y 4 so cogruetes y e cosecueci, tiee l mism áre Figur Figur 4

12 Por lo tto, si l gráfic de l fució es cócv hci bjo, l regl del puto medio sobrestim (ve l Figur 5); si l gráfic es cócv hci rrib, l regl del puto medio subestim (ve l Figur 6) Figur 5 Figur 6 Como producto de este estudio, se obtiee el siguiete resultdo: Si l gráfic de l fució f es cócv hci bjo e el itervlo [,b], se tiee: b TRAP() f(x)dx MID() pr cd etero positivo Si l gráfic de l fució f es cócv hci rrib e el itervlo [,b], se tiee: b MID() f(x)dx TRAP() pr cd etero positivo Cómo clculr u cot de error pr ls regls del puto medio y el trpecio? Cudo se clcul u proximció siempre os preocup el error cometido, es decir, l difereci etre el vlor excto y el vlor proximdo Pero esto solo tiee u vlor teórico, uc se sbe el error excto; si se supier, tmbié se coocerí l respuest exct! Lo que se busc e relidd es lgu cot del error y lgu ide de cuto trbjo se ecesitrá pr hcer más pequeño el error El siguiete resultdo os permite estblecer cots pr el error cometido l usr ls regls trpezoidl y del puto medio: Supogmos que existe M > tl que f (x) M pr cd x b, etoces EMed() M(b ) y 4 ETrp () M(b ) dode E Med () y E Trp () so los errores cometidos l proximr l itegrl b f (x)dx por ls regls del puto medio y trpezoidl pr u prtició regulr de subdivisioes E l siguiete situció problemátic hcemos uso de ests fórmuls: 8 Situció problemátic: Clcule e form estimtiv el vlor de dx co cifrs decimles excts, usdo l regl del x trpecio Idique si l sum es u subestimció o sobreestimció

13 Solució l situció problemátic plted: Ecotremos u cot pr el error e fució del úmero de subdivisioes: Si f (x) = teemos que x f (x) = Ahor podemos estblecer lo siguiete: x Ddo que x teemos que f (x) >, de mer que l gráfic de f es cócv hci rrib e el itervlo [,] Por el resultdo terior, teemos que l regl del trpecio geer proximcioes por exceso pr culquier etero positivo (sobrestimcioes) Por otr prte, si x se tiee que x Por lo tto, f (x) = = = = M x x M(b ) ( ) El error cometido stisfce: E Trp () = = Lo que os d u cot de error e 6 fució del úmero de subdivisioes Cudo queremos obteer u proximció co k cifrs decimles excts, el error cometido e vlor (k + ) bsoluto, debe ser meor o igul Pr teer u proximció co tres cifrs decimles excts debe teerse E 4 Trp () Al resolver l iecució 4 e térmios de se obtiee 4 8 E cosecueci, pr hllr u proximció por l regl trpezoidl 6 bst clculr TRAP() co = 4 subdivisioes 9 Operció co l clculdor: 6 Presioe ls tecls pr limpir l ptll Comezremos sigdo vlores ls vribles A, B, N y D: 7 Presioe 8 Presioe 9 Presioe 4 Presioe l secueci de tecls: Figur 7 Clculremos hor l sum DER(4): 4 Presioe Aprece el símbolo 4 Presioe hor: Figur 8 Se obtiee DER(4) Gurdremos este vlor e l vrible G 4 Presioe Figur 9

14 Los psos que sigue permite clculr IZQ(4) Copiremos l sum DER(4) e l siguiete líe de edició: 44 Presioe pr situr el cursor e l líe de edició dode se ecuetr l sum DER(4) e otció L sum precerá resltd como e l Figur 4 45 Presioe pr copir e el portppeles l sum DER(4) e otció Figur 4 46 Presioe pr situr el cursor e l líe de edició 47 Presioe pr pegr l sum e l líe de edició Modificremos hor est sum pr clculr IZQ(4) 48 Presioe ueve veces pr situr el cursor delte de l vrible K Figur 4 49 Presioe Co esto hemos clculdo l sum IZQ(4) Pr clculr TRAP(4) debemos promedir DER(4) e IZQ(4) 5 Presioe dx Se obtiee el cálculo proximdo de co l x meos tres cifrs decimles excts Pr corroborr esto clculremos dx = l e l clculdor: x 5 Presioe Si se cept este último resultdo como el más preciso, compre ls cifrs decimles de TRAP(4) y l Figur 4 Figur 4 Cómo clculr u proximció de l itegrl defiid por el método de Simpso? Aú es posible mejorr más Si se observ que el error que se comete l plicr l regl del trpecio tiee sigo cotrrio, y como el doble de mgitud del error que se comete l plicr l regl del puto medio, es rzoble pesr e que u promedio poderdo de ls sums de ls dos regls, co l sum del puto medio poderd l doble de l sum de l regl del trpecio, tedrá u error mucho más pequeño Este cálculo proximdo se llm Regl de Simpso: MID() + TRAP() SIMP() = Pr comprr l eficieci de l regl de Simpso co ls regls previs, debe teerse presete que l regl de Simpso clcul los vlores de f, tto e el puto medio, como e los putos extremos de cd subitervlo Si usmos l regl de Simpso co = 5, pr comprr su precisió co ls demás regls debemos clculr ésts co = L regl de Simpso proxim l itegrl defiid prtir del uso de prábols, e lugr de segmetos rectilíeos Pr eteder e qué se bs est proximció por prábols, cosideremos los Itervlos de l form [, ] x(k ) xk, pr k =,,, 4, L,/ co pr, costituidos por l uió de dos subitervlos cosecutivos de l prtició regulr de itervlo de itegrció [,b] Se yk = f(xk ) pr cd k =,,, L, los vlores que tom f e los + putos de l prtició E cd itervlo [ x(k ), xk ] cosideremos el rco de prábol P k que ps por los tres putos ( x(k ),y(k ) ), ( xk,yk ), ( x k,yk ) de l gráfic de f 4

15 Etoces el rco k x(k ), xk Más ú, el áre debjo de l gráfic de f e este itervlo (ver Figur 44) se proxim por el áre debjo del rco de prábol (ver Figur 45) P proxim l gráfic de f e el itervlo [ ] Pr el cso mostrdo e l Figur 45, observe que e el primer subitervlo [ x, ] sobrestimció e l proximció, pero e el siguiete subitervlo [, ] (k ) xk se preset u xk xk se preset u subestimció Esto tiee el efecto de que los errores cometidos e cd uo de los dos subitervlos (Figur 46) se compese produciedo u proximció más precis del áre bjo l gráfic de f e [ x(k ), xk ] Figur 44 Figur 45 Figur 46 Se puede demostrr que el áre bjo l prábol mostrd e l Figur 45 viee dd por: Δk (y(k ) + 4yk + yk ), dode Etoces teemos l fórmul de proximció: O bie, SIMP () (b ) Δ k = co pr / / Δ = k (b ) (y(k ) + 4yk + yk ) = (y(k ) + 4yk + yk ) k = b (b ) f(x)dx (f(x ) + 4f(x) + f(x ) + 4f(x ) + L + f(x ) + 4f(x ) + f(x)) co pr L Figur 47 muestr l proximció de l itegrl defiid por l sum de Simpso co = 8 subdivisioes 4 ( e x se(4x) + )dx Observe los rcos de prábol e cd uo,,,,4 de los itervlos [ ], [ ], [ ] y [ ] El áre totl sombred debjo de los cutro rcos es l sum SIMP(8), l cul proxim el áre debjo de l gráfic de f e el,4 itervlo [ ] Observe ls compescioes de los errores (sobrestimcioes y subestimcioes) e cd uo de estos itervlos 5 Figur 47

16 Cómo clculr u cot de error pr l regl de Simpso? Existe u resultdo pr estimr u cot de error pr l regl de Simpso álogo ls estimcioes dds pr ls regls trpezoidl y del puto medio, pero se utiliz l curt derivd de f: Supogmos que existe M > tl que (4) f (x) M pr cd x b, etoces ESimp () M(b ) 5 8 dode E Simp () es el error cometido l proximr l itegrl b f (x)dx por l regl de Simpso pr u prtició regulr de subdivisioes, dode es u etero positivo pr Situció problemátic: ) 4 Clcule e form estimtiv el vlor de ( e x se(4x) + )dx usdo l Regl de Simpso co = 8 subdivisioes b) Clcule l itegrl terior co cifrs decimles excts, usdo l regl de Simpso Solució l situció problemátic plted e ): / b Tegmos presete que SIMP () = (f(x(k ) + 4f(xk ) + f(xk )) co pr Pr estblecer est sum e l clculdor podemos clculr previmete cd u de ls sums: y luego clculr: / / / E() = f(x(k ) ), F() = f(xk ) y G() = f(xk ) b SIMP () = ( E() + 4F() + G() ) Operció co l clculdor: 5 Presioe ls tecls pr limpir l ptll Comezremos sigdo vlores ls vribles A, B, N y D: 5 Presioe 54 Presioe 55 Presioe 56 Presioe l secueci de tecls: Figur 48 Figur 49 6

17 Clculremos hor l sum E(8): 57 Presioe pr obteer l pltill de l otció 58 Presioe l secueci de tecls: Figur 5 Teemos editdo el térmio geerl de l sum E(8) 59 Presioe Se obtiee E(8) Gurdmos el resultdo de est sum e l vrible E (Figur 5): 6 Presioe Copiremos est sum y luego l modificremos pr clculr F(): Figur 5 6 Presioe 6 Presioe 6 E est uev sum presioe sucesivmete pr ubicr el cursor e los espcios respectivos pr borrr y/o isertr los crcteres correspodietes pr relizr ls modificcioes respectivs fi de obteer l sum: N / K= ( (A+ (K )D) e si(4(a + (K )D)) + ) 64 Presioe luego pr obteer F() (Figur 5) Gurdmos est sum e l vrible F (Figur 5): Figur 5 Figur 5 65 Presioe E los siguietes psos clculremos G(): 66 Presioe pr pegr de uevo l sum 67 De mer álog, relice e est sum ls modificcioes correspodietes fi de obteer l sum: N / K= ( (A+ KD) e si(4(a + KD)) + ) Figur Presioe pr obteer G() (Figur 54) 69 Presioe pr gurdr l sum e l vrible G Clculemos hor SIMP(8): 7 Presioe l secueci de tecls: Figur 55 Se obtiee l proximció SIMP(8) = Figur 56 7

18 Compre este resultdo co el que se deduce proximdmete de l Figur 47 Solució l situció problemátic plted e b): Ecotremos u cot pr el error e fució del úmero de subdivisioes: Si f(x) = e x se(4x) + teemos que f (4) (x) = (7 cos(4x) + 48se(4x)) e x Ddo que x 4 teemos que 7 cos(4x) + 48se(4x) = y e x, de mer que (4) f (x) = M M(b ) 5 (4 ) El error cometido stisfce: E Simp () = = Lo que os d u cot de error e fució del úmero de subdivisioes Pr obteer u proximció co tres cifrs decimles excts debe teerse: Al resolver l iecució 656 E 4 Simp () e térmios de se obtiee 4 4 9, E cosecueci, pr hllr u proximció, co l meos tres cifrs decimles excts, por l regl de Simpso bst clculr SIMP() co = 9 subdivisioes Pr clculr SIMP(9) bst cmbir e el histórico de cálculo el vlor sigdo l vrible N por 9 7 Utilice l tecl direcciol elíptic pr ubicr el cursor e l líe dode prece l sigció N 8, observe l Figur 57 7 Borre el úmero 8 y sustitúylo por 9, luego presioe Se obtiee SIMP(9) = que es u proximció del vlor 4 de l itegrl ( e x se(4x) + )dx co l meos tres cifrs decimles excts E relidd el resultdo obteido tiee l meos 5 cifrs decimles excts Figur 57 Figur 58 Resume sobre de los errores que se comete l plicr ls diverss regls El siguiete resume pretede, de mer geerl, orietr l usurio cerc de qué t eficiete result plicr cd u de ls regls e el problem de ecotrr u proximció l itegrl defiid b f (x)dx co u determido grdo de error permisible y co meos trbjo de cómputo: Regls por l izquierd y por l derech: Los errores so proximdmete proporcioles /, dode es el úmero de divisioes de l prtició regulr del itervlo de itegrció [,b] Por ejemplo, duplicr hce decrecer el error e u fctor de /, e icremetr e u fctor de d u dígito más de precisió Pr u etero positivo ddo, los errores pr ls regls por l izquierd y por l derech so proximdmete igules e vlor bsoluto y opuestos e sigo Pr u etero positivo ddo, l mgitud del error depede de f 8

19 Regls del puto medio y del trpecio: Los errores so proximdmete proporcioles / Por ejemplo, duplicr hce decrecer el error e u fctor de / 4, e icremetr e u fctor de d dos dígitos más de precisió Pr u etero positivo ddo, el error cometido e l regl del puto medio tiee csi l mitd de l mgitud del error que se comete e l regl del trpecio y es de sigo opuesto Pr u etero positivo ddo, l mgitud del error depede de l mgitud de f Regl de Simpso: Los errores so proximdmete proporcioles / 4 Por ejemplo, duplicr hce decrecer el error e u fctor /6, e icremetr e u fctor de d cutro dígitos más de precisió Pr u etero positivo ddo, l mgitud del error depede de l mgitud de (4) f Coclusió: Ls itegrles defiids b f (x)dx puede clculrse de mer estimtiv e form rápid y precis, e l myorí de los csos, co l regl de Simpso L úic dificultd se preset cudo f, o u derivd de orde,b más lto que f o existe o e vlor bsoluto tiee u máximo muy grde e el itervlo [ ] E geerl, l regl de Simpso lcz u grdo rzoble de precisió cudo utiliz vlores de reltivmete pequeños, y result u bue elecció pr u método de proximció geerl Problems y ejercicios Clcule e form proximd el vlor de e x dx co ls regls del puto medio, del trpecio y de Simpso pr = y e cd cso estime el error cometido e idique cuáts cifrs decimles excts se h clculdo e l proximció Cosidere los cálculos proximdos de l regl de Simpso de ( x + x )dx ) Cuál es el vlor excto de est itegrl? b) Ecuetre SIMP() pr = 4,6 y Qué observ? Puede explicr este hecho? Pr cd u de ls siguietes itegrles, use l regl de Simpso co vrios vlores de pr evlur ls itegrles defiids co u error meor Explique por qué pies que h lczdo u vlor suficietemete grde de dx ) b) x se x dx c) + 4 e se x dx d) π / 4 se ( π x ) dx e) cos(x ) dx f) x 8 dx + g) sex cos x dx h) x dx x + 4 Clcule proximcioes del úmero π medite ls regls del puto medio, del trpecio y de Simpso 4dx estimdo l itegrl co =,, 5 y Icorpore los resultdos e u tbl y compre x + estos vlores co el vlor π, que es summete excto Observe que l regl del puto medio tiede estr ligermete más cerc de π que l del trpecio, pero igu t cerc, icluso pr =, como l regl de Simpso, co = 9

20 Cometrio L myor prte de ls clculdors grficdors y de los sistems lgebricos computrizdos CAS icluye progrms pr el cálculo umérico de itegrles defiids E geerl, estos progrms so muy rápidos y precisos Alguos pide l usurio especificr u tolerci y luego clcul u vlor proximdo decudo es tolerci Si embrgo, si l itegrl que está proximdo es prte crític de u trbjo importte, es ecesrio verificr el resultdo usdo l regl de Simpso pr u sucesió de vlores de Por otr prte, si lo úico que se cooce de u fució es u tbl de vlores clculdos e u úmero regulr de putos, l myorí de ls clculdors y progrms CAS o result útiles, sio los tres últimos métodos que se h trtdo quí Cómo relizr u cálculo estimtivo de u itegrl prtir de u tbl de vlores de l fució? Supogmos que queremos hcer u estimció de b f (x)dx, prtir de de lguos vlores de u fució descoocid f Es decir, sólo se cooce los vlores de f e + putos Estos vlores se represet comúmete e u tbl: x x x x x x f (x) y y y y y x y Desde el puto de vist gráfico, sólo se tiee l gráfic de + pres ordedos Cómo hcer l estimció del áre debjo de l curv prtir de estos putos? Cosideremos l siguiete situció problemátic: 4 Situció problemátic Los dtos de l tbl proviee de u peumotcógrfo, que mide e cd istte regulr de tiempo 4 (e segudos) el flujo de ire trvés de l grgt (e litros por segudo) L itegrl f (x)dx de este flujo de ire es igul l volume de ire exhldo (e litros) Estime este volume x (s) y (l / s) TABLA 4 Pr hcer u estimtivo del áre bjo de l curv prtir de estos putos, ecesitmos u mer rzoble de coectr estos putos L mer más simple es coectr los putos co segmetos de rect, como e l siguiete figur: Figur 59: coexió de putos por doce segmetos rectilíeos

21 Estos segmetos, como puede observse, defie pr l regió limitd por l gráfic de f y el eje OX e el,4, doce trpecios; que como hemos visto, estim e bue medid l itegrl de l fució itervlo [ ] 4 descoocid f (x)dx L Figur 6 muestr est proximció: Figur 6: doce trpecios Recuérdese que e l regl del trpecio se tom u prtició regulr del itervlo [,b] y pr cd subitervlo [ x, x ] co k =,,, L, se coect los putos x,f(x )) x,f(x k k de rect De mer que si coocemos los vlores de u fució f e form tbulr: ( k k y ( k k )) co u segmeto x x x x x x y y y y y y x y tedremos que: siempre que los vlores b (b ) f (x)dx TRAP() = L + x k pr cd k,,, L, ( y + y + y + + y + y y ) =, costituy u prtició regulr del itervlo [,b] Pr clculr TRAP() debemos relizr, pr cd k =,,, L,, los + productos etre el vlor y k ddo e l tbl por cd coeficiete multiplicdor correspodiete c k :,,, L,,, (ver l siguiete tbl): k y k y y y y y y c k c ky k y y y y y y Luego debemos relizr l sum de estos productos c k y k y multiplicrl por el fctor ( b ) (b ) De este modo obteemos TRAP () = c k y k Co el uxilio del Meú Estdístico podemos utilizr l Fució de List que provee l Clculdor fx 986G pr clculr, pr u úmero de subdivisioes del itervlo [,b], l sum TRAP() como veremos eseguid:

22 4 Operció co l clculdor: 7 Presioe 74 Seleccioe pr cceder l meú estdístico [STAT] 75 Presioe Aprece u rreglo rectgulr e fils y colums Ls fils está umerds desde hst 999 y ls colums está idetificds como List, List, hst List 6 Figur 6 76 Pr borrr el coteido de u colum (list) utilice l tecl direcciol elíptic pr desplzr el cursor e culquier fil de l list y presioe ls tecls 77 Borre tods ls lists presiodo Al termir su clculdor debe mostrr l ptll de l Figur 6 E l list igresremos los dtos y k de l Tbl 4 que se reproduce cotiució: x (s) y (l / s) Co el cursor el l primer fil de l list List (ver Figur 6) presioe Co esto qued editdo el primer vlor e l primer fil de List y el cursor se ubic e l segud fil de l List 79 Presioe 8 Edite de l mism mer cd uo de los dtos resttes Si se equivoc ubique el cursor l dto erróeo y sobrescrib el uevo dto 8 Desplce el cursor l fil 4 de List Este se ubicrá e l primer fil de List E List editremos los coeficietes c k :,,,,,, de mer que l fil y l fil de List coteg u y ls demás el úmero 8 Edite e List los coeficietes c k Figur 6 Figur 6 Clculremos hor los productos c kyk 8 Desplce el cursor l fil 4 de List 84 Presioe pr ubicr el cursor sobre ombre de list List (ve l Figur 64) 85 Presioe Aprecerá e List los productos c kyk pr k =,,, L, Clculremos hor TRAP() Figur Presioe, seleccioe el meú [RUN-MAT] y presioe 87 Presioe pr borrr l ptll Figur 65

23 Comecemos sigdo vlores ls vribles A, B, N y D: 88 Presioe 89 Presioe 9 Presioe 9 Presioe l secueci de tecls: Figur 66 9 Pr clculr TRAP() presioe primermete l siguiete secueci de botoes: Figur 67 ( b ) Co esto, se está multiplicdo por l sum c k y k de los productos que se ecuetr e List 4 Se obtiee f(x) dx TRAP() = 8, esto es, el volume de ire exhldo es proximdmete 8 litros Compre este resultdo co el que se deduce por estimció gráfic del áre bjo l curv e l Figur 6 Otr ltertiv pr hllr el áre bjo l curv de l fució descoocid f prtir de estos putos, es hcer uso de l Regl de Simpso, que como sbemos es más precis E este cso sustituimos l poligol que coect los putos y d orige los trpecios, por rcos de prábol que coecte estos putos, esto es, e cd uo de los subitervlos [ x(k ), xk ] pr cd k =,,, L, / el rco de prábol debe psr por los tres putos ( x(k ),y(k ) ), ( xk,yk ), ( x k,yk ) de l gráfic de f Aquí l exigeci es que el úmero de subdivisioes del itervlo [,b] debe ser pr L siguiete figur muestr est coexió de putos: Figur 68: coexió de putos por seis rcos de prábol Est curv que proxim l gráfic de l curv descoocid f e el setido de que l mism coect los putos y os permite ecotrr u mejor proximció l áre bjo l curv de f que l ecotrd co l Regl del Trpecio L sum de ls áres debjo de cd uo de los seis rcos de prábol os d, pr este cso, l 4 proximció pr l itegrl f(x) dx SIMP() del volume de ire exhldo L Figur 69 os preset el áre proximte:

24 Figur 69: áres bjo seis rcos de prábol Si coocemos los vlores de u fució f e form tbulr: x x x x x x y y y y y y x y tedremos que: b (b ) f (x)dx SIMP() = L + siempre que los vlores x k pr cd k,,, L, úmero de subdivisioes es pr ( y + 4y + y + 4y + y + 4y y ) =, costituy u prtició regulr del itervlo [,b] Observe e este cso el ptró de los coeficietes c k :, 4,, 4,, 4,L,4,,4, y el Pr clculr SIMP() debemos relizr, pr cd k =,,, L,, los + productos etre el vlor y k ddo e l tbl por cd coeficiete multiplicdor correspodiete c k :, 4,, 4,, 4,L,4,,4, (ver l siguiete tbl): k y k y y y y y y c k 4 4 c ky k y 4 y y y 4y y Luego debemos relizr l sum de estos productos c k y k y multiplicrl por el fctor ( b ) (b ) De este modo obteemos SIMP () = c k y k Vmos como clculmos est sum co l clculdor: 9 Presioe y seleccioe pr cceder l meú estdístico [STAT], presioe 94 Desplce el cursor co l tecl direcciol elíptic y ubique el cursor e l primer fil de List 95 Presioe pr borrr List 96 Edite los coeficietes, 4,, 4,, 4,L,4,,4, e List (observe ls Figurs 7 y 7) Figur 7 4

25 97 Desplce el cursor l fil 4 de List 98 Presioe pr ubicr el cursor sobre ombre de list List (ve l Figur 7) 99 Presioe Aprecerá ctulizdos e List los productos c kyk pr k =,,, L, Figur 7 Pr clculr SIMP() presioe, seleccioe el meú [RUN-MAT] y presioe Ubique el cursor e l istrucció ( D ) SumList Use l tecl pr ubicr el cursor delte del úmero Presioe pr borrr el úmero y presioe Hemos ctulizdo el fctor Presioe desde llí ( b ) 4 Se obtiee que f(x) dx SIMP() = 7 Al comprr co el resultdo terior se observ que éste es ligermete distito Figur 7 Figur 7 5 Problems y ejercicios 5 L siguiete tbl idic ls medids (e metros) del cho de u lote de terreo itervlos de metros Estime el áre del terreo usdo tto l regl de los trpecios como l regl de Simpso: x (m) y (m) E l siguiete tbl se preset dtos de l rpidez de u objeto itervlos regulres de tiempo Use estos dtos pr estimr l distci recorrid por el objeto t (s) v (m / s) E l tbl prece el cosumo de eergí eléctric (poteci) e megwtts de u ciudd, desde l medi oche hst el medio dí Utilice l regl de Simpso pr estimr l eergí usd durte ese período (Aplique el hecho de que l poteci es l derivd de l eergí) t P

26 8 El l siguiete figur se preset u suel colocd e u sistem rectgulr Si l escl uitri e cd eje represet u cetímetro, se pide: ) Estimr gráficmete el áre que ocup l suel b) Estimr gráficmete pr cd cetímetro x represetdo e el eje OX, el cho y correspodiete de l suel Represete los vlores ecotrdos e u tbl c) Aplique l regl de Simpso los dtos de l tbl pr estimr el áre de l suel BIBLIOGRAFÍA: Hughes D Gleso A (995) Cálculo México Compñí Editoril Cotietl, SA de CV Smith R Mito R () Cálculo Tomo Colombi Mc Grw Hill Stewt J (998) Cálculo Diferecil e Itegrl México Itertiol Thomsom Editores 6