ESTIMACIÓN DE VARIANZAS Y PROPORCIONES POBLACIONALES MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista CAPÍTUO 6 ESTIMACIÓN DE VARIANZAS PROPORCIONES POBACIONAES MEDIANTE INTERVAOS DE CONFIANZA 6.1 Itervalo de cofiaza ara la variaza de ua oblació oral 6. Itervalos de cofiaza ara la roorció oblacioal ara uestras grades 6.3 Itervalos de cofiaza ara la diferecia etre dos roorcioes Págia 1 de 9

2 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista 6.1 Itervalo de cofiaza ara la variaza de ua oblació oral Suogaos ua oblació N (, dode es descoocida y deseaos obteer u itervalo de cofiaza ara la variaza oblacioal al ivel de cofiaza del (1-100%. Para ello toaos ua uestra aleatoria ( 1,,, de la oblació, cosideraos el estiador utual de ya estudiado ( σˆ = S y usaos u estadístico ivote ue deeda del aráetro y de su estiador S y cuya distribució uestral o deeda de. Defiios el estadístico ivote coo sigue: - W ( 1,,..., ; ( i i 1 ( - i 1 i ( -1 ( - l1 i ( -1 ( -1S Recordeos ue, a S es la variaza uestral. ( -1S b ara cada valor fijo de sigue ua distribució Chi Cuadrado co (-1 grados de σ libertad (a esa v.a. la idicaos χ -1. Ua vez fijado el ivel de cofiaza (1-, odeos ecotrar dos valores k 1 y k tales ue: P[k 1 χ -1 k ] = 1- α Estos valores k 1 y k se deteria de aera tal ue el itervalo ue se obtega sea de logitud íia, ero, coo la distribució Chi Cuadrado o es siétrica resulta ue los extreos del itervalo deederá de los grados de libertad, y co el fi de silificar y oder llegar a u itervalo úico se adotará el criterio de cosiderar la isa robabilidad e los dos extreos, es decir, k 1 = / y k = / Distribució χ -1 Para obteer el itervalo de cofiaza lateaos: [ ( -1.s -1,1- / 1-1, / P -1,1- / -1, / ] 1- P[ ] 1- ( -1 ( -1 s s O bie, ( -1 s ( -1s ( -1s ( -1 s P [ ] 1- P[ ] 1- -1,1- / -1, / -1, / -1,1- / Podeos dar etoces la siguiete defiició: Págia de 9

3 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Defiició Itervalo de cofiaza ara la variaza de ua distribució oral Si s es la variaza uestral de ua uestra aleatoria de observacioes toadas de ua distribució oral co variaza descoocida, etoces u itervalo de cofiaza del (1-100% ara es, ( -1.s ( -1s -1, / Itervalos de cofiaza uilaterales a Para hallar u itervalo de cofiaza iferior del (1-100% ara, aálogaete a lo visto ateriorete lateaos, ( -1.S ( -1.S P 1- P 1- [ ] [ ] -1, -1, -1,1- / dode, χ -1, α/ y χ -1,1- α/ so los utos críticos suerior e iferior ue corresode al orcetaje / de la distribució Chi-Cuadrado co = -1 grados de libertad, resectivaete. or tato el itervalo tedrá la fora, ( - 1.S -1, b El itervalo de cofiaza suerior del (1-100% se obtiee lateado, ( -1.S ( -1.S P [ -1,1- ] 1 - [ ] 1 - P -1,1- obteiedo el itervalo, ( -1.S -1,1- Ejelo Ua fábrica de torillos está iteresada e la uiforidad de la áuia ue los corta. E cocreto es deseable ue la desviació tíica, del roceso de cortado sea eor ue cierta edida eueña. Suuesto ue la logitud de los torillos cortados or esa áuia está distribuida oralete y ue se ha obteido s = 0,0153, e ua uestra de 0 torillos, obteer u itervalo del 95 % de cofiaza ara. Solució Dado ue iteresa deteriar ua catidad ue ayore a, costruireos u itervalo de cofiaza suerior, es decir u itervalo ara de la fora, ( -1s (19.(0, ; 0; 0; ,1-19, ; Toado la raíz cuadrada u itervalo ara, co la isa cofiaza, es [0; 0,17] (Recordar ue siere > 0 6. Itervalos de cofiaza ara la roorció oblacioal ara uestras grades Págia 3 de 9

4 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Quereos costruir u itervalo de cofiaza ara la roorció de eleetos,, de ua oblació ue osee deteriada característica de iterés, a artir de la iforació obteida e ua uestra aleatoria sile de eleetos de la oblació. Para cada eleeto de la uestra aotareos u uo si osee la característica y u cero si carece de ella, or lo cual disodreos de ua uestra aleatoria sile ( 1,,, tal ue, 0 si o osee la característica (fracaso i i = 1,,, 1 si osee la característica (éxito Defiios la v.a. = Sabeos ue es ua variable aleatoria co distribució B(,, es decir ue rereseta el úero de éxitos e reeticioes ideedietes de u esayo de Beroulli. U estiador utual de la roorció e u exerieto bioial está dado or el estadístico, Por tato, la roorció de la uestra, N º de éxitos e ruebas Nº total de ruebas x se usará coo estiador utual del aráetro. El úero de éxitos, x, se uede iterretar coo la sua de valores ue cosiste sólo de ceros y uos, y es sólo la edia uestral de estos valores. Etoces or el Teorea Cetral del íite, ara suficieteete grade, está distribuido e fora aroxiadaete oral co edia, E P E ( ˆ ( y variaza, (1 - Var ( Estadarizado, ˆ - Z P N(0,1 Podeos escribir, P [-z / Z z / ] 1 - P[-z / - z / ] 1 - Oerado coveieteete, P [ - z ˆ / P z / ] 1 - Observar ue ara ua uestra articular de taaño, los extreos del itervalo de cofiaza ue se obtiee de la exresió aterior deede de, ue es el aráetro descoocido. Para evitar esta x situació reelazaos bajo el sigo radical or el estiador utual. Cuado es grade el error ue se itroduce al hacer esta sustitució es eueño. Págia 4 de 9

5 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Podeos dar ahora la siguiete defiició, Defiició Si es la roorció de éxitos e ua uestra aleatoria de taaño y = 1- u itervalo del (1-100% de cofiaza ara el aráetro bioial está dado or, - z / dode z /.ˆ z / es el valor de z ue deja. u área de / a la derecha Observacioes a El rocediieto exlicado o es cofiable y or tato o debe usarse cuado es eueña y está cercaa a 0 ó a 1, ara estar seguros se debe reuerir ue, 5 ó 5. b os itervalos uilaterales viee dados or, ˆ z ˆ - z ˆ ˆ (- ; z ˆ ˆ [ - z ˆ ˆ ] ˆ ˆ ; Ejelo 1 Co el objeto de deteriarla roorció de ersoas ue tiee coche e ua rovicia deteriada se realizó u uestreo aleatorio sile, de tal fora ue de los 100 ecuestados, 30 de ellos tiee coche. Calcular u itervalo de cofiaza del 95% ara la roorció de ersoas co coche e la rovicia. Solució - z /. z /. 0,3-1,96 (0,3.(0, ,3 1,96 (0,3.(0,7 100 or tato, el itervalo edido es, [ 0,1; 0,39] Taaño uestral ara estiar la roorció oblacioal de ua oblació Sabeos ue el itervalo al ivel de cofiaza del (1-100% ara la roorció oblacioal es: a logitud del itervalo es: [ - z /. ; z /. ].. z / desejado el valor de, se obtiee, z. ˆ.ˆ / 4 (1 a exresió (1 será usada ara deteriar el taaño de la uestra ecesario ara obteer u itervalo de cofiaza ara la roorció oblacioal al ivel de cofiaza (1-100% y, co ua logitud. Si e lugar de utilizar la logitud del itervalo utilizaos el error áxio: E ˆ -, el cual será coo Págia 5 de 9

6 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista E z /. z ˆ /.. etoces el taaño de la uestra es: ( E a exresió ( es euivalete a la (1.. Observació Coviee aclarar auí ue el estiador se uede obteer de varias aeras, a A artir de ua uestra revia, coo ya vios. b Utilizado el valor áxio ue uede toar.ˆ.(1 - ue se alcaza e: ˆ 0,5 etoces el valor áxio de. será: ˆ.(1 -. 0,5 uego sustituyedo e la exresió (1 teeos: z /.(0,5 4. (3 ue será el taaño uestral lo suficieteete grade ara garatizaros u itervalo de cofiaza de logitud. Ejelo a UNP retede estiar la roorció de igeieros atriculados e estudios de doctorado co u error áxio de 0,05 y u ivel de cofiaza del 90%. Deteriar: a El taaño de la uestra ecesario si se tiee coo iforació coleetaria ue la roorció coo áxio es 0,40. b El taaño de la uestra e la isa situació aterior ero co ua recisió de 0,1. c El taaño de la uestra cuado o se tiee iforació algua acerca del valor de la roorció y aditios ua recisió de 0,1. Solució a Alicado ( y toado el áxio valor de la roorció, ˆ 0, 40 teeos: z /. E (1,645.(0,40.(0,60 (0,05 59,7 toaos 60 b Coo la recisió es euivalete a la alitud del itervalo, debeos alicar la exresió (1, etoces: z ˆ /.. (0,60.(0, (1, ,7 toaos 60 (0,1 y veos ue efectivaete coicide co la solució aterior (coo dijios ates (1 y ( so euivaletes. c Coo o se tiee igua iforació sobre el aráetro toareos el valor ás desfavorable, es decir el valor de ue os dé el áxio taaño de uestra, y ese será el valor de ue hace áxio el roducto., luego alicado la exresió (3 se tiee: z /.(0,5 (0, (1, ,6 toaos 71 (0,1 6.3 Itervalos de cofiaza ara la diferecia etre dos roorcioes Págia 6 de 9

7 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Quereos costruir ahora itervalos de cofiaza ara la diferecia de roorcioes, eleetos de oblacioes ideedietes, e, ue verifica cierta característica de iterés. a aera de roceder es idética a la ya vista e el caso de itervalos ara ua roorció, co la salvedad de ue ahora teeos dos oblacioes. Cocretaete seleccioaos uestras aleatorias ideedietes de taaño y a artir de las dos oblacioes bioiales co edias. y. y variazas.. y.. resectivaete. as uestras seleccioadas será: ( 1,,, y ( 1,,,, dode: a i = 1 si el i-ésio eleeto elegido e la uestra reseta la característica de iterés i = 0 si el i-ésio eleeto elegido e la uestra o reseta la característica de iterés i = 1,,, b j = 1 si el j-ésio eleeto elegido e la uestra reseta la característica de iterés. j = 0 si el j-ésio eleeto elegido e la uestra o reseta la característica de iterés. j = 1,,, Defiiedo las v.a. = e = x y Defiios las roorcioes y. U estiador utual de la diferecia etre las dos roorcioes, - está dado or el estadístico -. Por tato, la diferecia de las roorcioes uestrales, ˆ - se usará coo estiació utual de -. Se uede establecer u itervalo de cofiaza ara P ˆ - -, de - al cosiderar la distribució uestral de. Sabeos ue ˆ. P N(, y ˆ P N (,. Al ser las uestras elegidas ideedietes, P ˆ y so ideedietes, etoces or la roiedad reroductiva de la distribució oral: Podeos asegurar ue, siedo: - N( -,. P (-z / Z z / 1 - ( Z - - ( -... ( - - ( - Por tato, odeos escribir: P [-z / z / ] Oerado ateáticaete y reelazado,,, bajo el sigo del radical or sus estiadores, ˆ x, y, 1-, dado ue:. 5,. 5,. 5 y. 5 se obtiee u itervalo de (1-100% de cofiaza ara -, del cual odeos dar la siguiete defiició: 1 - Págia 7 de 9

8 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Defiició Si ˆ y so las roorcioes de éxitos e uestras aleatorias de taaños y, resectivaete, ˆ 1 - y 1 -, u itervalo de (1-100% de cofiaza ara la diferecia de dos aráetros bioiales -, está dado or... ( - - z - ( ˆ / - z / dode z / es el valor de z ue deja u área de / a la derecha.. Deteriació del taaño uestral Suuesto ue elegios uestras del iso taaño e abas oblacioes ( =, uereos hallar el taaño uestral ecesario ara ue el itervalo del (1-100% de cofiaza ara la diferecia de roorcioes tega logitud redeteriada. Suoiedo ue el taaño uestral a elegir es grade ( 30, desejado e la exresió ara la logitud del itervalo de cofiaza ara la diferecia de roorcioes,.(1 - z.(1 -. /. se obtiee: 4. z /.[.(1 - (1 - ] Si reelazaos las roorcioes oblacioales or las roorcioes uestrales estiadas co uestras reliiares, el taaño uestral reuerido es 4. z ˆ ˆ /.[.(1 - (1 - ] si e cabio, suoeos la situació ás desfavorable = = ½, el taaño uestral resultate es z / Ejelo a Eresa Telefóica Argetia (e aos de caitales extrajeros E la ciudad de Barceloa se toa ua uestra aleatoria de 98 eresarios de los cuales 48 ha sido oseedores de accioes de Telefóica. E la ciudad de Madrid se seleccioa otra uestra aleatoria de 17 eresarios, de los cuales 1 ha sido oseedores de accioes de Telefóica. a Obteer u itervalo del 95% de cofiaza ara la diferecia etre las roorcioes de eresarios ue ha sido oseedores de este tio de accioes e abas ciudades. b Qué coclusió uede obteer del itervalo hallado? Solució a De la iforació dada e el euciado se deduce: Taaño de la uestra ( Eresarios ue ha teido accioes (x Barceloa Madrid 17 1 Proorció corresodiete ( ˆ ˆ ˆ 48 0, , Págia 8 de 9

9 UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista Para el ivel de cofiaza del 95%, = 0,05, luego, P [ Z z 0,05 ] 0,05 z 0,05 1,96 Sabeos ue el itervalo es de la fora: or tato: [( - - z /. ˆ. ˆ ; ( - z /. ˆ. ˆ ] (0,490.(0,540 (0,165.(0,835 ( 0,490-0,165 1, haciedo las cuetas idicadas se obtiee el itervalo: [ 0,08; 0,443] b Coo el 0 está fuera del itervalo, esto os idica ue es bastate ás robable ue u eresario de la ciudad de Barceloa haya teido accioes de Telefóica ue uo de la ciudad de Madrid. Págia 9 de 9