FUNDAMENTOS DE CLASE

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1 FUNDAMENTOS DE CLASE b c r b c Rodrgo A. Ocoró

2 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI FACULTAD: INGENIERIAS PROGRAMA: INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS PRERREQUISITO: CALCULO PROFESOR: Rodrgo A. Ocoró E-ml : rocoro@usc.edu.co SEMESTRE: QUINTO OBJETIVO GENERAL: Al lzr el curso, el estudte tedrá ls cpcddes pr lzr, clculr y rgumetr coceptos mtemátcos que le permt:. Resolver problems mtemátcos que o tee solucó por métodos lítcos. Costrur u sstete mtemátco e u leguje de progrmcó que le permt relzr cálculos por métodos umércos. INTRODUCCION El álss umérco y sus métodos so u releó sobre los cursos trdcoles de cálculo, álgebr lel, ecucoes derecles, etc., desde el puto de vst umérco cocretdo e u sere de métodos o lgortmos co plccoes e deretes áres de l geerí y de ls cecs. Por lo tto, cosste e procedmetos que resuelve problems y relz cálculos purmete rtmétcos y que tee que ver co el dseño, desrrollo y evlucó de métodos como prte del procesmeto de ormcó dode los dtos costtuye ls etrds, los métodos o lgortmos los procedmetos y los resultdos ls slds. Ddo que cd lgortmo mplc umeross opercoes lógcs, rtmétcs y e lguos csos grccoes, el computdor es udmetl pr el estudo y uso de ellos uque el curso de métodos umércos o cluye detlles sobre progrmcó de computdores. Los lgortmos se preset e pseudocódgos pr que el estudte los progrme e el leguje que el cosdere propdo y presete los trbjos propuestos por el proesor. ESTRUCTURA TEMATICA El curso se desrrollrá e 6 seccoes de clses teorc-práctcs sí: Modulo : APROXIMACIONES Y ERRORES seccoes Objetvo: - Mejr tpos de errores y lgus orms de evtrlos. Cotedo detlldo:..troduccó

3 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró..Tpos de errores..forms de medr el error..crs sgctvs.5.regls de redodeo mul.6.números e l máqu.7.sere de Tylor.8.Actvdd: desrrollo de ejerccos propuestos y lecturs complemetrs. Modulo : SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES seccoes Objetvo: Presetr métodos lítcos pr solucó de ecucoes o leles Cotedo detlldo:..método de bseccó..método de regul ls..método de l secte..método de Newto Rphso.5.Método de puto jo.7.actvdd: desrrollo de lgortmos pr dversos métodos y el progrm de los msmos e el computdor plcádolos vros ejerccos. Modulo: ÁLGEBRA LINEAL NUMÉRICA seccoes Objetvo: Solucor sstems de ecucoes leles medte l utlzcó de deretes métodos. Cotedo detlldo:..fudmetos prelmres..solucó de sstems de ecucoes leles..elmcó Guss..Eecto de los errores de redodeo.5.método de Guss-Jord.6.Método de Jcob.7.Método de Guss-Sedel.5.Actvdd: Desrrollo de ejerccos propuestos y crecó de progrms pr l solucó de ejerccos. Modulo : AJUSTE DE CURVAS seccoes Objetvo: Apromr ucoes dspobles e orm dscret co ucoes lítcs seclls. Cotedo detlldo:..itroduccó..ajuste lel por mímos cudrdos..ajuste epoecl, potecl y logrítmco..ajuste lel múltple.5.apromcó poloml co mímos cudrdos.6. Polomos de Lgrge.7.Derecs dvdds

4 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.5.Actvdd: desrrollo de ejerccos propuestos y crecó de deretes lgortmos y sus respectvos progrms pr solucó de ejerccos. Modulo 5: INTEGRACION NUMERICA seccoes Objetvo: Aplcr lguos métodos tertvos pr el cálculo de tegrles. Cotedo detlldo: 5..Métodos de Newto-Cotes 5..Regl trpezodl smple 5..Regl trpezodl compuest 5..Regls de Smpso 5.5.Cudrtur de Guss 5..Actvdd: desrrollo de ejerccos propuestos. Trbjo complemetro. Modulo 6. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS seccoes Objetvo: Utlzr lguos métodos umércos e l solucó de ecucoes derecles ordrs. Cotedo detlldo: 6..Método de Euler 6..Aálss de error medte l sere de Tylor 6..Método de Euler modcdo 6..Métodos de Ruge-Kutt 6.5. Dseño y plccó de Sotwres de los métodos estuddos. METODOLOGIA Co el costte poyo y oretcó del proesor, el lumo se rá propdo del coocmeto ecesro pr cumplr co los propóstos. Cd seccó cotemplrá desrrollo teórco y prctc sobre ejerccos propuestos y verccó de sotwre e el computdor demás del trbjo etrclse que debe relzr cd estudte. E tl setdo, se relzrá ls sguetes ctvddes: Eposcó del proesor sobre el tem trtr Ejerccos de ejemplccó, motvcó, y poyo pr l oretcó del estudte. Tlleres de prctcs pr cotrolr el vce e el predzje de los tems. Desrrollo por prte de los estudtes de ls ctvddes propuests Crecó de lgortmos y desrrollo de estos e progrms pr el computdor. Sustetcó de los trbjos relzdos por los estudtes. Aálss, dscusó y evlucó de los trbjos relzdos. RECURSOS -Aul de clses -Módulos proporcodos por el docete -Bblogrí especcd -Computdor persol -Sls de cómputo de l Uversdd

5 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró -Pltorm vrtul Dokeos -Clculdor EVALUACION Prmer prcl: % Segudo prcl Evlucó escrt: 5% Tlleres y sotwre: 5% Evlucó l: Evlucó % Trbjo l % BIBLIOGRAFIA AKAI, Métodos Numércos plcdos l Igeerí. Ed. Lmus Wley CHAPRA S.C, CANALES R.P., Métodos umércos pr geeros Ed. Mc Grw Hll. CONTE S.D., Aálss umérco. Ed. Mc.Grw Hll. CURTIS F. G.,Aálss umérco. Ed. Alomeg. NIEVES A., DOMINGUEZ F., Métodos umércos plcdos geeros Ed. Cecs. RINCON L.A., Aálss Numérco. Uversdd Nl. Plmr. SCHEID F., Aálss umérco. Coleccó Shwm. SHOICHIRO N., Métodos umércos plcdos co Sotwre Ed. Pretce Hll. EN INTERNET:. METODOS NUMERICOS I Métodos Numércos I. Temro: INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO. Problems umércos y lgortmos. Fuetes de error. Errores bsolutos y reltvos... URL: Lbortoro de Métodos Numércos Lbortoro de Métodos Numércos. Progrms pr clculr: Ls ríces de ecucoes [ ] por el método de Newto-Rphso. L tegrl de u ucó. URL: g.m.utp.c.p/lbortoros/lbmetnum/

6 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5. METODOS NUMERICOS II Métodos Numércos II. Temro: OBSERVACIONES GENERALES. INTERGRACION DE E.D.O. POR EL PROCEDIMIENTO DE LAS SERIES DE POTENCIAS. METODOS DE EULER PARA LA... URL: lemo.cs.ull.es/docec/sgturs/.html 5. Métodos Numércos de Resolucó de E.D.P.- Igeerí Técc Iormátc URL: 6. Métodos Numércos y álgebr lel Porm de ls plccoes de los métodos umércos. Fudmetos de los métodos umércos. Secuecs y... URL: webd.cem.tesm.m/d/c/btres/cb85.html CRONOGRAMA DESARROLLO TEMATICO METODOS NUMERICOS INGENIERIA DE SISTEMAS 5º SEMESTRE TEMAS Modulo Módulo Prmer prc. Módulo Modulo Segudo prcl Módulo 5 Módulo 6 Eme Fl SEMANAS

7 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 6 MODULO. APROXIMACIONES Y ERRORES. INTRODUCCIÓN Ddo que l myorí de los métodos umércos utlz coceptos de promcó, podemos esperr que volucre errores; por ello es dspesble der spectos heretes los errores l relzr cálculos. E muchs ocsoes se preset vros lgortmos pr producr los resultdos requerdos y se ecest escoger etre ellos pr lo cul es ecesro teer e cuet l rpdez y l ecttud pero l obtecó de est últm evdec l presec de error debdo que ormlmete los dtos de etrd provee de medcoes que volucr lguos errores y e ellos puede terver promcoes. Al resolver u problem mtemátco por medo de u clculdor de bolsllo, estmos coscetes de que los úmeros decmles que clculmos quzás o se ectos. Estos úmeros cs sempre se redode cudo los regstrmos. Aú cudo los úmeros o se redodee de mer tecol, el úmero lmtdo de dígtos de l clculdor puede provocr errores de redodez u clculdor de bolsllo cetíc puede teer dígtos, metrs que u estádr puede teer 6. E u computdor electróc los errores de redodeo prece por ls msms rzoes y ect los resultdos de los cálculos; e lguos csos cus eectos muy seros hcedo que los resultdos de los cálculos crezc por completo de setdo. De llí l mportc de preder lguos spectos báscos de ls opercoes rtmétcs e ls computdors y compreder bjo qué crcustcs puede ocurrr severos errores de redodeo por cus de ls promcoes.. TIPOS DE ERROR Los errores umércos se geer co el uso de promcoes pr represetr ls opercoes y ctddes mtemátcs. De cuerdo co l orm e que se produce o geer los errores, teemos:.. Error de redodeo: Se debe que l computdor sólo puede represetr ctddes co u úmero lmtdo de dígtos, por lo tto los vlores verdderos o so epresdos ectmete y que prte de l rccó decml está redoded pues h sdo cortd después del dígto l... Error de trucmeto: Se debe ls promcoes utlzds e l órmul mtemátc del modelo. Los errores de trucmeto represet l derec etre u ormulcó mtemátc ect del problem y l promcó dd por u método umérco. Por ejemplo el resultdo ecto de u problem es y el método umérco rroj

8 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 7.. Error sgctvo: Ocurre cudo l ejecutr u opercó e u máqu clculdor, el úmero de crs válds es meor que lo esperdo. Por ejemplo l opercó , e u máqu que meje otcó de puto lotte pr 6 dígtos geer como resultdo. y los tres últmos dígtos o so sgctvos... Error propgdo: E el error que se obtee e l sld respuest geerd e los psos sucesvos debdo l ocurrec de u error teror.. FORMAS DE MEDIR EL ERROR.. Error bsoluto: Derec postv etre los vlores ecto y clculdo. E V e V c.. Error reltvo: Es l relcó rtmétc etre el error bsoluto y el vlor ecto. V e V E c R % V e * Se recomed usr el error reltvo. Ejercco. Supogmos que debemos evlur l velocdd co l cul se desplz u prtícul l cbo de t, sbedo que l ucó de velocdd está epresd como vtt t. S redodemos t Cuál es el error e t? b Cuál es el error e vt? Solucó: Error e t: V e, V c E,, seg. E R, %,977, %,5% b Error e vt V e V,,, 6,9 V c V 6 E 6,9 6,9 6,9 6 E R %,758 %,% 6,9

9 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 8 Observe que el error bsoluto que se propg pr Vt es 9 veces; el error cometdo pr t,9 9,. Not: Como e muchos csos o es posble teer el vlor ecto V e etoces e vez de estblecer el error reltvo E R podemos determr u error de promcó E X dedo sí: Vlor ctul - Vlor E X Vlor ctul prevo % Este es dspesble e los procesos terctvos e los que se dese teer u vlor promdo cudo el error se meor que u vlor prejdo ε. Etoces se procede hst que se cumpl E < ε.. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cudo se emple u úmero e u cálculo, debe hber segurdd que pued usrse co coz. El cocepto de crs o dígtos sgctvos se h desrrolldo pr desgr ormlmete l cobldd de u vlor umérco. El úmero de crs sgctvs es el úmero de dígtos, más u dígto estmdo que se pued usr co coz. Por ejemplo: Los úmeros: Tee crs sgctvs los ceros tes de l prmer cr o ul o se cosder crs sgctvs..5 tee 5 crs sgctvs..5 tee crs sgctvs. El úmero 5 puede teer tres cutro o cco crs sgctvs depededo de los ceros que se coozc co ecttud. L certdumbre se puede desechr usdo otcó cetíc..5 tee crs sgctvs.5 tee crs sgctvs.5 tee 5 crs sgctvs

10 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 9.5 REGLAS DE REDONDEO Ls sguetes regls d l put segur e el redodeo de úmeros cudo se relz cálculos mo: El últmo dígto que se coserv se umet e uo s el prmer dígto descrtr es myor de 5 de lo cotrro s es meor 5 se coserv gul. b S el prmer dígto descrtr es 5 o es 5 segudo de ceros, etoces el últmo dígto coservr se cremet e, sólo s es mpr. c E l sum y rest, el redodeo se llev cbo de orm tl que el últmo dígto retedo e l respuest correspod l últmo dígto más sgctvos de ls ctddes que está sumdo restdo u dígto e colum de cetésms es más sgctvo que uo e u colum de mlésms. Ejerccos: Redodee cd uo de los úmeros ls crs sgctvs dds: 5.67 crs sgctvs 5.67 crs sgctvs.6 crs sgctvs 7.5 crs sgctvs crs sgctvs 789 crs sgctvs. Eectúe Se debe epresr los úmeros co u msmo epoete: dígto más sgctvo es el de Eectúe Se just los epoetes pr poder eectur ls opercoes: Recortdo crs sgctvs:.9 E R % E R.9 % bredodedo crs sgctvs:. E R % E R. % Observe que el redodeo requere de u opercó etr, ñdedo co ello costo por ello es que l myorí de ls computdors recort truc e vez de redoder.

11 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.6 NÚMEROS EN LA COMPUTADORA Por rzoes práctcs sólo puede mejrse u ctdd t de bts pr cd úmero e u computdor y est ctdd o logtud vrí de u máqu otr. Por ejemplo cudo se relz cálculos de geerí y cecs es deseble u logtud grde pero pr procesmetos dmstrtvos es más ecoómc y útl pr los cálculos u logtud pequeñ. El sstem umérco que usmos cotdmete se llm sstem decml cuy bse es, pero ls computdors o us el sstem decml e los cálculos e l memor, so que us el bro bse. Este sstem es turl pr ls computdors y que su memor cosste e u eorme úmero de dspostvos de regstro mgétco y electróco, e los que cd elemeto solmete tee los estdos de eceddo y pgdo ó. S embrgo, e los legujes de máqu se us otros sstems umércos como el octl bse 8 y el hedecml bse 6 pues ls epresoes so más corts que e bro proporcodo u uso más ecete del espco e memor..6.. Números eteros: pr u computdor dd, el úmero de bts geerlmete se llm plbr y estos v desde 8 bts hst 6 bts. Pr cltr su mejo l plbr se dvde e prtes más corts deomds bytes; por ejemplo, u plbr de bts puede dvdrse e bytes 8 bts cd uo. Cd plbr, culquer se su logtud, lmce u úmero uque e certs crcustcs se us vrs pr coteer u úmero. Por ejemplo, cosderemos u plbr de 6 bts, el prmero represet el sgo del úmero u cero es sgo más y u uo es sgo meos; los 5 bts resttes puede usrse pr gurdr úmeros bros desde y. Al covertrlo e decml se obtee: Por tto cd plbr de 6 bts puede coteer u úmero etero e el tervlo S l plbr es de bts el prmer bt represet el sgo del úmero s es postvo y s es egtvo Por tto cd plbr de bts puede coteer u úmero e el tervlo L meor y l myor ctdd de u úmero que se puede represetr e u computdor vrí de cuerdo co el dseño tto del hrdwre como del sotwre lgus puede teer u rgo de.9-9 hst.7 8.

12 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró E geerl s es el úmero - - de - bts - de u plbr, etoces el rgo de úmeros eteros osc l etre Ejemplo: Represete el úmero 55 e u plbr de 6 bts Represet el sgo del úmero.6.. Números reles puto lotte: el ormto pr u úmero rel e u computdor dere segú el dseño de hrdwre y sotwre. Cudo se dese lmcer u úmero rel, se emple e su represetcó br, llmd de puto lotte, l otcó e precsó smple de bts: ±.bbbbbbbb.. bbbb z El úmero decml debe covertrse prmero l bro más cerco e el ormto ormlzdo. E l otcó teror, es sempre y cd b es u dígto bro ó y Z es u epoete que tmbé se epres e bro. Los bts se dstrbuye sí: El prmer bt: pr el sgo de l mts s es, s es egtvo. Los sguetes 7 bts: pr el epoete z bro * cluyedo el sgo del epoete s es, s es egtvo. Y los últmos bts: pr l mts o rccó. Bt pr El sgo 7 bts pr el epoete crcterístc bts pr l rccó mts S l plbr es de 6 bts se tee: prmer bt pr el sgo s es, s es egtvo, 7 bts pr el epoete bro y 8 bts pr l mts. Normlzr: cosste e justr el epoete de tl mer que el prmer dígto de l epresó br o se cero. * E lgus computdors el epoete se lmce e bse 8 octl, o e bse 6 hedecml e lugr de bse.

13 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Algus computdors como ls Mrme IBM us el ormto de puto lotte ormlzdo e hedecml que se epres como: X.bbbbb 6 k úmero e bse decml dígto hedecml derete de cero, cd b es u dígto hedecml y k es u epoete bro. L mts tee 6 dígtos hedecml. Ejemplo: Represetr el úmero decml -5. e plbr: de 6 bts b bts Prte eter: 5 Prte rccol:. se tom. se multplc por l bse Idcd ; se escoge el dígto que quede l zquerd del puto y l otr prte de l derech se multplc uevmete por l bse y sí sucesvmete. Etoces: Normlzmos el úmero bro: desplzmos el puto lotte 7 lugres hc l zquerd por qué? y lo epresmos co epoete bro 7 es > -. e plbr de 6 bts: los prmeros 8 cmpos so pr sgo del úmero, sgo del epoete, y el epoete 6 cmpos metrs que los otros 8 cmpos correspode l mts del úmero el cul es trucdo prtr del dígto 9. be plbr de bts: msm estructur del pero l mts puede lbergr hst dígtos. los 8 prmeros cmpos sgue l.6. Doble precsó: l doble precsó es u esuerzo pr umetr l ecttud de los cálculos dcodo más bts l mts. Esto se hce utlzdo dos plbrs: l prmer e l orm epuest terormete y los bts de l segud pr umetr mts de l prmer. Así, u plbr de 6 bts l us e doble precsó qued l mts de 8 6 bts, metrs que u de bts e doble precsó permte l mts 56 bts. L desvetj de l doble precsó es que se emple más plbrs co lo cul se cosume más memor pr u progrm..6. Error l lmcer u úmero e memor: como o es posble gurdr u úmero bro de logtud t o u úmero de más dígtos de los que posee l mts de l computdor que se está empledo, se lmce sólo u úmero to de estos dígtos y como cosecuec se comete utomátcmete u pequeño error coocdo como error de trucmeto, que l repetrse muchs veces puede llegr se cosderble. Ejercco. Qué úmero e bse decml represet los sguetes dígtos lmcedos e plbr de 6 bts?. se desormlz bserve que el epoete es egtvo b Se desormlz: observe que el epoete es postvo ,85

14 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.7. LA SERIE DE TAYLOR. Permte epresr ucoes e orm polómc y provee u ormulcó pr predecr el vlor de l ucó e u puto ee térmos del vlor de l ucó y de sus dervds e otro puto. Teorem de Tylor : S l ucó y sus prmers dervds so cotus e u tervlo que cotee y, etoces el vlor de l ucó de está dd por: R!...! '''! '' ' dode R es el resduo que se dee como! c R s evlumos l epresó e el puto sedo y hcemos h- se obtee l epresó de l sere de Tylor sí: R h h h h!...! '''! '' ' dode: es l dervd de orde y! h c R, c ε [, ] el pso cl o promcó de orde cero es: el prmer pso o promcó de orde es: h ' el segudo pso,promcó orde :! '' ' h h y sí sucesvmete hst el pso de promcó de orde : h h h h!...! '''! '' ' que podemos resumr sí: h! Ejemplo.Medte l sere de Tylor hst orde, ecuetre el vlor de e lrededor del puto ecestmos estmr tomdo como bse y por lo tto h - >h- El vlor ecto V e es: L sere de Tylor hst es:!! '''! '' ' R h h h h

15 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5 c 5 R h dode 5! clculemos los vlores de ls dervds e por lo tto R Vemos que sucede e cd pso de Tylor y hllemos el Error reltvo e c/u: Recuerde que el v e es. Orde de pro h! V c ve vc ER % v.. 5% % h h /! %./ h h /! h /!. 5%.-.5-./-.9/6 h h /! h /! h /!.-.5-./-.9/6./. % e Observe que e el pso se obtee. que correspode l vlor ecto. Ejemplo. Usdo l sere de Tylor co 5 psos, estme el vlor de cos e π π tomdo como bse π π π π π X 6º X 5º h X - X - Vemos: cos π.7768 debe utlzr Rdes RAD e l clculdor -se π π -cos

16 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5 π se.7768 π cos.7768 π 5 -se L sere de Tylor pr 5 psos de pro. es: 5 '' ''' ' h h h h h!!! 5! Etoces: π π π π π π π π '' ''' 5 π π π π '!!! 5! π Al reemplzr y clculr estos vlores se obtee que.5 ve vc ER %.5.5 %.6% v Y el error reltvo es: e.5 S se greg ms psos pues se obtee ms ecttud. 5 5

17 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 6 ACTIVIDADES Nº. Clcule el error bsoluto y reltvo cometdo e c/u de ls sguetes stucoes: El úmero.75 es redodedo.7 bse redodeπ. pr evlur π 6π 5π π cse tom. pr evlur l ucó - l ds e, cuál es el error reltvo e cd cso pr vlores de {.5; ; -; } l tomr el vlor de promdo dos decmles metrs el vlor ecto lo cosder co 5 decmles?.. Se tee pr medr l logtud de u puete y de u remche, obteédose e cd cso 9999 y 9 cm. S los vlores verdderos so y cm respectvmete, clcule el error bsoluto y reltvo e cd uo y eplque cómo cosder l estmcó de medcó hech pr cso.. Redodéese los sguetes úmeros tres crs sgctvs: 8755 b 5555 c.68 d5. e Ecuetre el error reltvo tto recortdo como redodedo tres dígtos sgctvos: b d e g Repse sus putes de semestres terores pr recordr ls coversoes de los sguetes sstems umércos: de bse decml br b de bse br decml c de bse decml octl d de bse octl decml ede bse hedecml decml de bse decml hedecml gde bse octl bro hde bse br octl 6. Covert c/u de los sguetes úmeros decmles bros, octl y hedecml: 56 b9 c-56 d5 e.8.97 g Covert los sguetes úmeros del sstem octl l bro: 777 b57 c5 d6. 8. Covert los sguetes úmeros ddos e bro l sstem decml: b c d- e.. g. h-. 9. Dseñe lgortmos pr covertr úmeros: del sstem decml bro y compruébelo plcádolo los ejerccos del puto 7. b del sstem bro decml y compruébelo plcádolo los ejerccos del puto 9. c del sstem decml octl y compruébelo plcádolo los ejerccos del puto 7. d del sstem octl decml

18 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 7 e del sstem decml hedecml del sstem hedecml decml. Cosdere u máqu co u plbr de 8 bts. Qué rgo de úmeros eteros puede coteer dch plbr?. Represete el úmero 6 e u plbr de 8 bts.. Qué decmles represet cd uo de los sguetes úmeros de máqu e u plbr de 6 bts? : b c Repuests:.99875; -6; 96. Normlce los sguetes úmeros y lmcee e memor co plbr de bts b-5. c.85 sugerec: Pse los úmeros bros y luego ormlícelos..elbore u progrm de modo que:. se sume veces b. se sume veces c. se sume veces Imprímse los vlores pr ls sums y compre sus resultdos co los vlores ectos. Esperb que e todos los csos der?. Qué puede lur pr o obteer el vlor de e todos los csos?.. Usdo l sere de Tylor, estme e el vlor dcdo y clcule el E R : hst el tercer orde pr co puto bse b l hst el pso pr lrededor de c Se hst el pso pr π co puto bse π d e - hst 5 pr - lrededor de 5. L orm poloml sere de Mclur pr e se epres sí:...!!! Demuestre que l epresó teror se obtee plcdo l sere de Tylor pr e sedo y h. 6. Obteg l orm poloml pr cos plque l sere de Tylor co y h. 7. Obteg l orm poloml pr Se

19 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 8 MÓDULO. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES. RAÍCES DE UNA ECUACIÓN b ± b c Desde hce ños se predó usr l órmul cudrátc pr resolver b c. A los vlores clculdos se les llm ríces de l ecucó y represet los vlores que hce l ecucó gul cero. Por lo tto se puede der l ríz de u ecucó l vlor τ de l ucó s y sólo sí τ. A ls ríces de u ecucó tmbé se les llm ceros de l ucó. Auque l órmul cudrátc es útl pr resolver ecucoes de º grdo hy muchs ucoes deretes que o se puede resolver de mer t ácl. E estos csos los métodos umércos que estudremos os proporco medos ecetes pr obteer respuest.. FUNDAMENTACIÓN PRELIMINAR Cudo se requere ecotrr ls ríces reles de u ucó lguos psos o cosdercoes prevs ls sturá detro de certos tervlos del eje rel; el objetvo será reducr cosderblemete el cho de cd tervlo. Teórcmete s estrechmos el tervlo hst reducrlo u puto, ese puto será u ríz de l ucó. E l práctc o será ecesro que cd ríz se determe de mer ect cmbo de eso se ceptrá pequeños tervlos que coteg u o más ríces. Como el tervlo o se reduce u puto, l ríz es obted co error de trucmeto, el cul puede ser dsmudo e l medd del umeto de ls tercoes. Pero l l, por el úmero de crs decmles que pued ocurrr, tedremos u error de redodeo. L eleccó de u método pr dsmur l logtud del tervlo, sólo depede de qué t pequeño deb ser éste. Teorem: s pr u ucó cotu e u tervlo cerrdo [, b] se cumple que b <, etoces este por lo meos u r ε [, b] tl que r r r r b Fgur No. Ríces de l ucó b

20 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 9 L gur preset u cso e dode b < co tres ríces sobre el tervlo [, b]. El teorem teror úcmete mest que este l meos u ríz, pero o dee cuáts hy dode está loclzds. Los métodos pr ecotrr ls ríces promds de u polomo se udmet grácmete e este teorem pr geerr u lgortmo de búsqued.. MÉTODO DE BISECCIÓN Tmbé se cooce e l ltertur sore el tem como método de reduccó de tervlos l mtd o Método Bolzo. Se udmet e el coocdo método de búsqued br utlzdo pr resolver muchos problems de l progrmcó. El lgortmo de búsqued cosste por lo tto de los sguetes psos: Pso : dr ; Loclzr u tervlo [, b] que cumpl b <. Logtud mám del tervlo de ceptcó de l ríz ε, por ejemplo ε.. Pso : I; Hcer X, b Pso : Clculr :X m ½ X X, evlúe X m Pso : S X m ε, tomr X m como u ríz promd de. Pso 5: II Pso 6: S. m <, etoces m, de lo cotrro hcer m, regresr l pso... Ejemplo: s buscmos u ríz pr l ecucó: e - y evlumos e lguos eteros ecotrmos que - y.7888 Como los polomos so ucoes cotus pr culquer rgo, podemos segurr que este l meos u ríz e lgú puto del tervlo [, ]. De coormdd co el lgortmo propuesto, l tbl No. muestr todos los cálculos tertvos relzdos pr ecotrr u ríz promd e este tervlo co ε <.5. Tbl No.. Método de Bseccó pr e - Itercó X X X m X m X Después de sete tercoes sbemos que hy u ríz etre.875 y y podemos ceptr como u ríz sucetemete promd. Auque éste método de bseccó es decudo pr clculdors cetícs, sempre será preerble el utlzr progrms de computdor pr l búsqued de ríces.

21 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró. MÉTODO DE REGULA FALSI Se udmet e los coceptos elemetles de terpolcó lel. Esto es, u vez se teg u tervlo [, b] pr el que b <, se supoe u segmeto de rect que ue los putos, y b,b. El cul cort el eje de ls bcss e el puto c. Este vlor se utlz e el lgortmo como u posble ríz. L gur No. muestr grácmete l ríz r y el vlor c prómo ést pr u ucó. Medte propeddes de trágulos semejtes podemos escrbr l sguete proporcó: b c c b, etoces : b b c b S, b > Y c b c b r X Fgur No. Gráco pr ecotrr u Ríz de l ucó El lgortmo pr este cso cosste por lo tto de los sguetes psos: Pso : Dr ; Loclzr u tervlo [, b] que cumpl b <. Logtud mám del tervlo de ceptcó de l ríz ε, por ejemplo ε.. Pso : I; Hcer, b Pso : Clculr c, evlúe c Pso : S c ε, tomr c como u ríz promd de. Pso 5: II Pso 6: S. c <, etoces c, de lo cotrro hcer c y regresr l pso... Ejemplo: supogmos que ecestábmos buscr u ríz pr l ecucó: e. Al evlur e lguos eteros ecotrmos que: -; podemos segurr que este l meos u ríz e lgú puto de tervlo [, ].

22 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró De coormdd co el lgortmo propuesto, l tbl No. muestr todos los cálculos tertvos relzdos pr ecotrr u ríz promd e este tervlo co ε <.. Tbl No.. Método de Regul Fls pr e Itercó X X X X C c Después de cutro tercoes vemos que hy u ríz etre y ; podemos ceptr como u ríz sucetemete promd..5 MÉTODO DE LA SECANTE Es u vrte del método Regulr Fls dode l covergec hc l ríz se hce buscdo u uevo vlor llmdo k prtr de los putos terores k y k. Trsormdo l epresó que clcul el puto c pr el método Regul Fls, obteemos; k k k k k k k S k, k, k > El lgortmo pr este método cosstrí e los sguetes psos: Pso : Dr ; Loclzr u tervlo [, b] que cumpl b <. Logtud mám del tervlo de ceptcó de l ríz ε, por ejemplo ε.. Pso : I; Hcer, b Pso : Clculr, evlúe Pso : S - ε, tomr como u ríz promd de. Term el proceso de covergec. De lo cotrro vy l pso sguete. Pso 5: II Pso 5: Hcer,, regresr l pso..5. Ejemplo: supogmos que ecestábmos buscr u ríz pr l ecucó: e. Tomdo como tervlo [, ] co ε <.. Iterc X X F F X F E E E-8.5 Después de 5 tercoes podemos ceptr como ríz promd.85659

23 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.7 MÉTODO DE NEWTON RAPSHON Uo de los métodos más mplmete utlzdos pr resolver ecucoes es el método de Newto. Comezdo prtr de u estmcó cl que o está lejos de l ríz, se etrpol lo lrgo de l tgete hst su terseccó co el eje y se tom es como l sguete promcó. Esto se cotú hst que los vlores sucesvos de esté sucetemete cercos o el vlor de l ucó se lo sucetemete prómo cero. El puto dode l tgete cruz l eje, represet u promcó de l ríz. k X k θ k L pedete de l rect será: tθ k k k k k k ' k k ' k k k k U de ls vets de este método cosste e l covergec rápd que se tee cudo se está prómo u ríz. El lgortmo de este método cosste e los sguetes psos: Pso : Dr ; Loclzr u tervlo [, b] que cumpl b <. Logtud mám del tervlo de ceptcó de l ríz ε, por ejemplo ε.. Pso : I; Icr co lgú vlor ke [, b], pr el cul k ; clcule. k Pso : Clculr k k ' k Pso : S k - k ε, tomr k como u ríz promd de. Term el proceso de covergec. De lo cotrro vy l pso sguete. Pso 5: II; Hcer k y regresr l pso..7. Ejemplo : Se propoe buscr u ríz pr l ecucó: e. Sedo e, o se puede cr l evlucó pr -, puesto que -. Evlumos e otros eteros: Podemos segurr que este l meos u ríz e lgú puto del tervlo [,]. De coormdd co el lgortmo propuesto, teemos l sguete tbl:

24 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Tbl No.. Método de Newto Rpsho pr e Itercó X k k k X k k k E l set tercó se obtee u ríz r ejemplo. Utlzdo el método de Newto-Rphso, hlle u ríz pr se e. NOTA: l utlzr ucoes trgoométrcs, el vlor de debe drse e rdes RAD e l clculdor y o DEG. Co [, ] y tomdo X k teemos: cos-e Tbl No. 5. Método de Newto Rpsho pr Xse e Itercó X k k k X k k k X.89 es u ríz promd pr Xse e.8 MÉTODO DE PUNTO FIJO Se comez co l ecucó geerl y se reorgz e u epresó equvlete de l orm g de mer que sedo g. Algortmo: se proporco g Pso : Dr vlor cl de, ε, úmero m de tercoes MAXI Pso : Hcer I Pso : Hg metrs I < MAXI relz los psos 7 Pso : Clcule g Pso 5: S g < ε etoces g es u ríz promd de y term; de lo cotrro cotú Pso 6: I I Pso 7: Se ctulz g Pso 8: Mesje de ll: El método o coverge u ríz.

25 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.8. Ejemplo: cosderemos Recomodmos sí: g determmos u tervlo pr tomr u vlor cl : [, ] Cosderemos ε. Se comez co y se evlú g Tbl No. 5. Método de puto jo pr, co g Itercó X GX gx X X.6 es u ríz promd de b Reordemos sí: g Tbl No. 6. Método de puto jo pr, co g tomo Itercó X gx gx X gx o coverge so que dverge por lo tto co g o es posble hllr u ríz promd pr. Not: g es covergete s g Comprobemos: Pr g q g g.5 < etoces coverge Pr g q g > por lo tto o coverge

26 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5 c Reordeemos g Compruebe s es covergete y estblezc ls tercoes pr hllr u ríz promd de. g > g.75 < Etoces s coverge pues g < Tbl No. 7. Método de puto jo pr, co g Itercó X gx gx X X es u ríz promd de Como puede observrse, co el msmo puto de co pero co g deretes, obtuvmos dos ríces pr ; y -

27 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 6 ACTIVIDADES Nº.L ecucó -, tee por ríces ± ±.. Utlce el método de Bseccó pr evlur l ríz postv comezdo co el tervlo [, ]..Co el método de bseccó, ecuetre u ríz promd pr ls sguetes ecucoes. E cd cso determe u tervlo decudo y luego clcule l ríz co u precsó del.5%.: - - be - -se c --5 d e - e - -7.Resuelv por el método de Newto Rphso: l - b-cos c -- d -e e -5 - t--.resuelv por el método de l secte: log- bse-csc c - de 5.Usdo el método de Regul-Fls determe ls rces de ls sgetes ecucoes co e.5%: - b -- c -e 6.Dseñe y desrrolle los respectvos sotwre pr c/u de los métodos. 7.Pr c/u de sguetes ecucoes, ecuetre tods ls rces por el método que usted cosdere. Sugerec: hlle l grác pr observr los putos de terseccó y resuelv utlzdo los progrms dseñdos pr computdor cosderdo e.%. e bt - c d e Utlce el método de puto jo pr hllr ríces de: 5 b c cos co cos - cos / d Pr 5, estblezc reordecoes y utlce e c/u e F --5, tee rces ubcds e los tervlos [-, -], [-,] y [,] Hállels. 9.Desrrolle u progrm pr correr el métdo de puto jo y compruébelo co los ejerccos del puto 8.

28 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 7 MODULO. ÁLGEBRA LINEAL NUMÉRICA. INTRODUCCIÓN L solucó de sstems de ecucoes es u tem clásco de ls mtemátcs y de gr utldd e dverss rms del coocmeto como l ecoomí, l bologí, ísc, geerís, etc. L resolucó de sstems de culquer úmero de ecucoes, 5,, 5, etc. es u reldd hoy e dí, grcs los computdores, lo cul proporco u trctvo especl ls téccs de solucó drect e terctvs tto e su progrmcó, cálculos ecesros, propgcó de errores, etc.. FUNDAMENTOS PRELIMINARES.. Notcó mtrcl: U mtrz es u rreglo rectgulr de úmeros e el cul o sólo es mportte el vlor del úmero so tmbé su poscó detro del rreglo. El tmño de u mtrz se dc por el úmero de ls y colums m: m. M m A m m [ ] j,,, j,,,m.. Sum de mtrces: Pr sumr dos mtrces, ésts debe ser del msmo tmño gul úmero de ls y colums sedo l mtrz resultte de gul tmño. A B [ j b j ] [c j ] Ejemplo : Ejemplo :

29 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 8.. Producto de mtrces por u esclr: S R, etoces: αa α M m α α M α α α α...α....α....α. m m m α [ ] [ α ] j j Ejemplo: Multplque por l mtrz A 5 > A Multplccó de mtrces: Dd ls mtrces A y B, se puede multplcr e ese orde s el úmero de colums de A es gul l úmero de ls de B. A m B mp C p Dode C j b j b j m b mj k b kj k,,.. j,,..p Ejemplo: S A - B - A B TAREA: Elbore u progrm pr sumr y multplcr mtrces.

30 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 9..5 Mtrces especles: Mtrz vector: Cudo u de ls dmesoes de l mtrz es. Ejemplo: A [ - 5] Vector l y z B Vector colum Mtrz cudrd: Cudo el úmero de ls es gul l úmero de colums y 5-7 D [α ] j Trgulr superor: Cudo todos los elemetos bjo l dgol prcpl so ulos A [ j ], j o >j... o... M M M o o... M... o... o Trgulr eror: Todos los elemetos por ecm de l dgol prcpl so ulos A [ j ], j o <j M o o...o o...o M m Mtrz dgol: Todos los elemetos por uer de l dgol so todos ulos. A [ j ] j o j

31 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró o M o o... o... M o Mtrz detdd: Es l mtrz dgol dode los elemetos de l dgol so. A [ j ] j s j j s j I... M... Mtrz trspuest: Es quell que result de tercmbr ls ls por ls colums de u mtrz dd. A [ j ] m A t [ j ] m A A t SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES U gr úmero de problems práctcos de geerí se reduce resolver u sstem de ecucoes. U sstem de m ecucoes leles co cógts, tee l orm:.. b.. b M m m. m b m Co otcó mtrcl se escrbe sí:

32 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró m m m m m b b b M M M A X B Dode A es l mtrz de coecetes del sstem X es el vector cógt B es el vector de térmos depedetes... Elmcó Guss: Es el método más utlzdo y cosste e l elmcó hc delte y l susttucó hc trás prtr de l mtrz de coecetes umetd co el vector de térmos depedetes. L elmcó hc delte cosste e obteer u mtrz trgulr superor. Ejemplo : Resolver por elmcó de Guss el sstem: L mtrz umetble será: L mtrz de coecetes l coverto e trgulr superor: Multplco por l ª l y se lo sumo l ª Elemeto Multplco por l ª l y se lo sumo l ª Elemeto El úmero de cógt debe ser gul l úmero de ecucoes El úmero de cógt debe ser gul l úmero de ecucoes 5 6 9

33 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró kj kj - k j Multplc l ª l por.5 y se l sumo l ª Hst quí el proceso de elmcó hc delte. Ahor vemos l susttucó hc trás: El teror sstem mtrcl se puede represetr sí: / - /.5 Ecucó :.5.5 Ecucó : susttuyo : Ecucó : se susttuye y : Solucó: [ ] NOTA: El determte de l mtrz lo podemos estblecer áclmete e l mtrz trgulr multplcdo los elemetos de l dgol. Det. A.5 S el det A o es posble estblecer l solucó úc.

34 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.. Eecto de ls crs de redodeo e l elmcó Guss: Resolver por Guss: Crs sgctvs úmero de crs prtr de l ª cr o ul Usdo 6 crs sgctvs: ª l * -. ª l ª l * -. ª l ª l *.7 ª l Evlumos e cd ecucó y clculmos el error reltvo: d E R 7.85.% d 9. E R % d 7. E R 7..%

35 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró b Usdo crs sgctvs: ª l * -. ª l ª l * -. ª l ª l *. ª l Evlumos e cd ecucó: d 7.8 E R 7.85.% d 9. E R 9..5% d 7.6 E R 7..% Luego el error de redodeo luye otormete e los resultdos les, pues u error e los prmeros psos tede propgrse.

36 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Es u vrcó de l elmcó Guss y cosste e covertr l mtrz de coecete e u mtrz detdd e vez de u mtrz trgulr por cosguete o es ecesro empler l susttucó hc trás pr obteer l solucó. Cd úmero de l dgol debe covertrse e y el resto de elemetos de l colum debe ser ceros C C C * * * C C C * C * C * C Ejemplo resolver por Guss-Jord: Se puede tercmbr ls de modo que l de mámo vlor bsoluto quede de ª quí o es ecesro se coverte l e y se hce opercó ls pr covertr y e. Luego e l l se coverte e.. hst obteer: TAREA: Cosultr cómo se estblece l vers de u mtrz

37 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 6.5 PROBLEMAS SIN SOLUCIÓN ÚNICA No sempre es posble resolver u cojuto de ecucoes leles e orm umérc: Por ejemplo: - y - y - So rects ts - El úmero de solucoes es to - Ls rects so lelmete depedetes - y - y So prlels No este solucó - y y - y No hy solucó úc pr ls ecucoes y esto es debdo que hy más ecucoes que cógts. Sólo se ecuetr l solucó e pres de ecucoes.

38 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 7.6. METODOS ITERATIVOS Al resolver u sstem de ecucoes leles por elmcó, l memor de mqu requerd es proporcor l cudrdo del det A, y el trbjo computcol es proporcol l cubo del orde de l mtrz coecete A. Debdo esto, l solucó de sstems leles grdes 5, se vuelve costoso y dícl e u computdor co los métodos de elmcó, y que se requere mplr memor; demás, como él umero de opercoes que debe ejecutr es muy grde, se puede producr errores de redodeo tmbé muy grdes. S embrgo, se h resuelto sstems de orde, y u myor, co los métodos que se estudr e est seccó. Estos sstems de u umero muy grde de ecucoes se preset e l solucó umérc de ecucoes derecles prcles, e l solucó de los modelos resulttes e l smulcó de colums de destlcó, etc. A vor de estos sstems, puede decrse que tee mtrces co pocos elemetos dsttos de cero y que ests posee certs propeddes smétrcs, bdeds, dgol domtes, etc., que permte grtzr el éto e l plccó de los métodos de est seccó..6.. METODOS DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL Los métodos tertvos más secllos y coocdos so u geercó del método de puto jo, estuddo e él modulo. Se puede plcr l msm técc de elborr métodos pr l solucó de A b, de l mer sguete. Se prte de AΧb pr obteer l ecucó A - b, Ecucó vectorl correspode. Se busc hor u mtrz B y u vector c, de mer que l ecucó vectorl B Χ c, se solo u rreglo de l ecucó ; es decr, de mer que l solucó de u se tmbé l solucó de l otr. L ecucó correspoderí g. A cotucó se propoe u vector cl como prmer promcó l vector solucó. Luego, se clcul co l ecucó l sucesó vectorl,,... de l sguete mer dode X B k c, k,,,... X k X k X k...x k T Pr que l sucesó X, X,..., X,..., coverj l vector solucó X es ecesro que evetulmete X m j, j los compoetes del vector X m, se prome tto J, j los compoetes correspodetes que tods ls derecs m j - j, j se meores que u vlor pequeño prevmete jdo, y que se coserve meores pr todos los vectores sguetes de l tercó; es decr, m Lm j j j m

39 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 8 L orm como se lleg l ecucó dee el lgortmo y su covergec. Ddo el sstem A b, l mer más secll es despejr de l prmer ecucó, de l segud, etc. Pr ello, es ecesro que todos los elemetos de l dgol prcpl de A, por rzoes obvs, se dsttos de cero. Pr ver esto e detlle cosdérese el sstem geerl de tres ecucoes turlmete puede etederse culquer umero de ecucoes. Se etoces, b b b co, y dsttos de cero. Se despej de l prmer ecucó, de l segud y de l tercer co lo que se obtee. b X - - b X - - b X - - que e otcó mtrcl qued b X - - X b X X b X - - X X BX C

40 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 9 b - - b B - - C b - - U vez que se tee l orm e otcó mtrcl, se propoe u vector cl que puede ser, o lgú otro que se promdo l vector solucó. Pr terr este dos vrtes Itercó de Jcob método de desplzmeto smultáeos X k S X k X k X k es el vector promcó l solucó después de k tercoes, etoces se tee pr l sguete promcó. X k b k X k X k X k b k X k X k b k X k O be, pr u sstem de ecucoes co cógts y usdo otcó más compct y de myor utldd e progrmcó, se tee X k - - b j j k j j pr

41 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró.6... Itercó de Guss-Sedel método de desplzmetos sucesvos E este método los vlores que se v clculdo e l k -ésm tercó se emple pr clculr los vlores lttes de es msm tercó; es decr, co k se clcul k de cuerdo co: k b X k k b k k k b k k O be, pr u sstem de ecucoes k b j j k j j k j j, pr Sugerec: pr los sguetes ejemplos, el empleo de u clculdor progrmble, teurí cosderblemete el trbjo de los cálculos Ejemplo : Resuelv el sguete sstem por los métodos de Jcob y Guss-Sedel. Co ε,5% Solucó: Despejdo de l prmer ecucó, de l segud, etc., se obtee: / ¼ / / ¼ / / ¼ / ¼

42 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Vector Icl: Cudo o se tee u promcó l vector solucó, se emple geerlmete como vector cl el vector cero, esto es X [ ] T Por Método de Jcob El cálculo de e el método de Jcob se obtee remplzdo e cd u de ls ecucoes despejdo terormete. / ¼ / / ¼ / / ¼ / ¼ y etoces ¼ ¼ ¼ ¼ T Pr clculr se susttuye e cd u de ls ecucoes despejds. Pr smplcr l otcó se h omtdo los superídces. /6 ¼.5 /6 /6 ¼.75 /6 /6 ¼.75 /6 ¼.5 A cotucó se preset los resultdos de subsecuetes tercoes, e orm tbulr. K k k Tbl.. Solucó del ejemplo por método de Jcob Solucó: X b Por Método de Guss-Sedel. Pr el cálculo del prmer elemeto del vector, se susttuye e l prmer ecucó despejd; pr smplcr l otcó se h omtdo los superídces. / ¼ ¼ k

43 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Pr el cálculo de de, se emple el vlor de y obtedo / y los vlores de, y de. Así: / ¼.5 Co los vlores de y y obtedos y co y de se evlú de X.5/ / ¼.8 Flmete, co los vlores de, y clculdos prevmete y co de, se obtee l últm compoete de.8/ ¼. Etoces [ ] T Pr l segud tercó cálculo de se procede de gul mer..5/ ¼.8.8/.8/ ¼.././ ¼.65.65/ ¼.59 T Co lo que [ ] E l tbl.. se preset los resultdos de ls tercoes subsecuetes. K k k Tbl.. Solucó del ejemplo por el método de Guss-Sedel. Solucó: X [ ] S se tomrá el crtero co ε y el método de Jcob, se stsce e l set tercó de l tbl..; e cmbo s ε, se ecest de tercoes. S se tom ε -, el método de Guss-Sedel, se requerrí sólo cco tercoes, metrs que co ε se requere 6 tercoes. k K

44 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Auque hy ejemplos e los que Jcob coverge y Guss-Sedel dverge y vcevers, e geerl puede esperrse covergec más rápd por Guss-Sedel, o u mestcó más rápd de dvergec. Esto se debe l hecho de r usdo los vlores más recetes de k que permtrá cercrse o lejrse más rápdmete de l solucó Reordecoes de Ecucoes. Pr motvr el rerreglo de ecucoes, se propoe resolver el sguete sstem co el método de Guss-Sedel y co ε.% plcdo k - k dode: k k k k < ε Al resolver pr de l prmer ecucó, pr de l segud, de l curt y de l tercer se obtee /9-8/9 - /9 5/ Co el vector cero como vector cl, se tee l sguete sucesó de vectores. Nótese que el proceso dverge. k k X k k K k k Pero s reordemos el sstem de ecucoes tl que se el myor vlor bsoluto e l l, etoces coverge. Pr ello, se tom l l que teg el pvote de myor vlor bsoluto co relcó los demás coecetes de l respectv l. DIAGONAL DOMINANTE: J El ejemplo teror el reorder ls ecucoes qued sí:

45 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró y l solucó se preset e el sguete esquem: k X K X K X K X K k k X k L solucó es X [ - ] E l plccó de ests dos vrtes so váld ls preguts sguetes:. L sucesó de vectores,,,..., coverge o se lej del vector solucó T [... ]?. Cuádo se detedrá el proceso tertvo? Ls respuests correspodetes, coocds como crtero de covergec, se d cotucó.. S l sucesó coverge, cbe esperr que los elemetos de k se vy cercdo los elemetos correspodetes de, es decr, k,, k, etc., o que se leje e cso cotrro.. Los vlores bsolutos k - k, k - k, etc., se todos meores de u úmero pequeño ε cuyo vlor será ddo por el progrmdor. b. S el úmero de tercoes h eceddo u mámo predetermdo MAXIT. S, por el cotrro, est sucesó de úmeros dverge, etoces puede pesrse que el proceso dverge. Co esto, u crtero más es cdeteer el proceso u vez que k k V k k < ε Al elborr u progrm de cómputo pr resolver sstems de ecucoes leles, geerlmete se utlz los crteros, b y c o l combcó de y b, o l b y c.

46 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró Problem de plccó: U grjero dese preprr u órmul lmetc pr egordr gdo. Dspoe de míz, desperdcos, psto y cebd; cd uo co certs uddes de gredetes utrtvos de cuerdo l sguete tbl: Uddes de gredetes utrtvos por Kg. de cd lmeto MAIZ DESPERDICI O lmeto Igr. utrtvo PASTO CEBADA Requermeto Droud / kg Crbohdrto s Proteís Vtms 8 Celulos COSTO $ Determe los Kg. ecesros de cd lmeto pr stscer el requermeto dro. bdeterme el costo de l mezcl.

47 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 6 ALGORITMO Multplccó de mtrces Pr multplcr ls mtrces A y B, proporcor : DATOS: Número de ls y colums de A y B; N, M, N, M, respectvmete y sus elemetos. RESULTADOS: L mtrz producto C de dmesoes N M o el mesje "LAS MATRICES A y B NO PUEDEN MULTIPLICARSE". PASO. S M N cotur, de otro modo IMPRIMIR "LAS MATRICES A y B NO SE PUEDEN MULTIPLICAR" y TERMINAR. PASO. Hcer I PASO. Metrs N, repetr los psos. PASO. Hcer J PASO 5. Metrs J M, repetr los psos 6. PASO 6. Hcer C I, J PASO 7. Hcer K PASO 8. Metrs K M, repetr los psos 9 y. PASO 9. Hcer C I, J C I, J AI, K * BK, J PASO. Hcer K K PASO. Hcer J J PASO. Hcer I I PASO. IMPRIMIR ls mtrces A, B y C y TERMINAR.

48 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 7 ALGORITMO Elmcó de Guss Pr obteer l solucó de u sstem de ecucoes leles A b y el determte de A, proporcor DATOS: N úmero de ecucoes, A mtrz coecete y b vector de térmos depedetes. RESULTADOS: El vector solucó y el determte de A o mesje de ll "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL". PASO. Hcer DET PASO. Hcer I PASO. Metrs I N -, repetr los psos. PASO. Hcer DET DET * A I,I PASO 5. S DET IMPRIMIR mesje "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL" y TERMINAR. De otro modo cotur. PASO 6. Hcer K I PASO 7. Metrs K N, repetr los psos 8. PASO 8. Hcer J I PASO 9. Metrs J N, repetr los psos y. PASO. Hcer AK, J A K, J -AK, I* A I, J/ I, I PASO. Hcer J J PASO. Hcer b K b K - AK, I * b I / A I, I PASO. Hcer K K PASO. Hcer I I PASO 5. Hcer DET DET * A N, N PASO 6. S DET IMPRIMIR mesje "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL" y TERMINAR. De otro modo cotur. PASO 7. Hcer N b N / A N, N PASO 8. Hcer I N - PASO 9. Metrs I, repetr los psos 6. PASO. Hcer I b I PASO. Hcer J I PASO 7. PASO. Metrs J N, repetr los psos y. PASO. Hcer X I I - A I, J * J PASO. Hcer J J PASO 5. Hcer I I / A I, I PASO 6. Hcer I I - IMPRIMIR y DET y TERMINAR.

49 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 8 ACTIVIDADES Nº..Elbore u progrm de computcó pr sumr y multplcr mtrces y plíquelo cosderdo ls sguetes mtrces: - -. A - B - C - - X Eectur: AC bc-a ca-c da.b eb.a A.C gb.x hc.x.clcule l vers de c/u de ls sguetes mtrces y utlzdo su progrm de multplcr mtrces, compruebe que el producto de l mtrz por su vers d como resultdo l mtrz detdd: A - - B C Resuelv por Elmcó Guss: - b b 6 d Muestre que el sguete sstem de ecucoes o tee solucó úc: Utlce el progrm que desrrolló pr el método de Elmcó Guss y resuelv: el ejercco d. bel ejercco c d

50 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 9 6. Utlce culquer de métodos tertvos Jcob o Guss-Sedel y co ε.5% resuelv: 5 9 b -8 c d Desrrolle el lgortmo y u progrm de computcó pr el método de Guss-Sedel y plíquelo pr resolver co ε.% los sguetes sstems: b b U geero dustrl supervs l produccó de cutro tpos de computdors. Se requere clses de recursos e l produccó hors/hombre, metles, plástcos y compoetes electrócos. E el cudro se resume ls ctddes ecesrs pr cd uo de estos recursos e l produccó de cd tpo de computdor. S se dspoe drmete de 5 hors/hombre, 97 kg. de metl, 97 kg de plástco y 6 compoetes electrócos, cuáts computdors de cd tpo se puede costruír por dí?. Cudro: Recursos ecesros pr producr cutro tpos de computdors Compudor hors/hombre metles plástcos compoetes kg/computd. kg/computd. kg/computd. kg/computd Respuest: [ 8 5] S ls gcs correspodetes cd tpo de computdor e dólres es:

51 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5 5, 7, 65 y respectvmete, Cuál serí l gc totl e est produccó?. 9. U geero supervs l produccó de tres tpos de utomóvles. Se requere tres clses de mterles pr l produccó: metl, plástco y cucho. L ctdd ecesr pr producr cd utomóvl es: Automóvl Metl Plástco Cucho Kg/uto Kg/uto Kg/uto S se dspoe drmete de u totl de 6 toelds de metl,.7 toelds de plástco y 8. toelds de cucho. Cuátos utomóvles se puede producr dro?.. U geero requere 8 m de re, 58 m de grv y 569 m de grv grues pr l costruccó de u proyecto. Este tres bcos de mterles dode se puede obteer estos mplemetos. L composcó de cd bco es: Bco re grv grv grues % % % Cuátos metros cúbcos se debe tomr de cd bco pr cumplr co ls ecesddes del geero?.

52 . AJUSTE DE CURVAS Apromcó poloml e terpolcó. INTRODUCCIÓN Los dtos que se obtee medte medcoes luctú, esto se debe errores letoros del sstem de medcó plcd l comportmeto del sstem e observcó. Culquer que se l rzó, es recuete que surj l ecesdd de justr u ucó los dtos de u medcó, por ejemplo, u ecoomst deserí justr u curv u tedec ecoómc pr poder predecr el uturo. L terpolcó es de gr mportc e el cmpo de l geerí y que l cosultr uetes de ormcó presetds e orm tbulr, es recuete o ecotrr el vlor buscdo como u puto e l tbl. U ucó de terpolcó es quell que ps trvés de putos ddos como dtos los cules se muestr comúmete por medo de u tbl de vlores o se tom drectmete de u ucó dd. L terpolcó de los dtos puede hcerse medte u polomo l cul cosste e justr u polomo los putos ddos.. REGRESIÓN LINEAL Cosste e justr u líe rect u cojuto de prejs de dtos observdos: X, Y, X, Y,, X, Y y pr ello utlzremos el método de mímos cudrdos. L epresó mtemátc de l ucó lel es g costtes determr. dode y so L desvcó de l rect co respecto cd dto se dee como: d y g y como g etoces d y dode,, sedo úmero de dtos El cudrdo totl de ls desvcoes pr obteer u bue juste está ddo por: D d y cudo este vlor es mímo. Pr determr los vlores de ls costtes y y hcer mímo D, se derv l ecucó teror co relcó cd uo de los coecetes dervdos prcles y se gul cero.

53 Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró 5 D Σy D Σ y y - - y - - dode Cosderdo que, etoces ls terores ecucoes se puede epresr como u cojuto de ecucoes leles co cógts: y y Ecucoes ormles l epresr ests ecucoes e orm mtrcl, teemos: y y Que se resuelve por los métodos coocdos elmcó guss o guss-sedel Ejemplo. Pr el sguete cojuto de dtos observdos, determe l líe de juste. X y Prejs,y Solucó: Orgcemos sí: y X y Resolvedo por elmcó Gus, Se tee: