Colegio Agustiniano Campestre Amor y Ciencia La mejor alternativa de Formación Integral GUIA DIDÁCTICA AGUSTINIANA

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1 Colegio Agustiniano Campestre Amor y Ciencia La mejor alternativa de Formación Integral GUIA DIDÁCTICA AGUSTINIANA PGA FR 08 Versión ÁREA Y/O ASIGNATURA: MATEMÁTICAS GRADO: SEXTO PERIODO: I EDUCADOR(A): JESÚS LEONARDO RODRÍGUEZ RAMÍREZ GUÍA CURRICULAR No:1 NOMBRE: SISTEMAS DE NUMERACIÓN INTRODUCCIÓN: Querido estudiante Bienvenido!, hoy comienzas una nueva etapa escolar que seguramente te encantará, pues se trata de acercarte cada día más a un aprendizaje autónomo de las matemáticas que te dará herramientas para solucionar situaciones reales donde se requieran de las operaciones con números naturales para su solución. LOGRO CONCEPTUAL: Reconoce y establece relación de orden en el conjunto de los números naturales, realizando operaciones básicas entre ellos y aplicándolas en la solución de problemas, CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN 1. CONCEPTUAL (Evaluación oral y escrita, exposiciones 30 %) 2. PROCEDIMENTAL (Talleres, tareas, guía, revisión de cuaderno, actividades en clase 30%) 3. ACTITUDINAL (Participación en clase, disposición en clase 20 %) 4. EVALUACIÓN FINAL 20% CRITERIOS ESPECIFICOS DE EVALUACIÓN DEL ÁREA Y/O ASIGNATURA Los miembros del Departamento de Matemáticas han acordado que para la obtención de la calificación en cada una de las sesiones de evaluación, el profesorado se valdrá de los siguientes instrumentos de evaluación 1. Observación individual directa en clase. Se valorará: - Asistencia a clase. - Nivel de conocimientos, cuando el alumnado sea preguntado en clase sobre los contenidos de la unidad. - Actitud positiva ante la asignatura, mostrando interés y voluntad de aprender. - Actitud de respeto, civismo y tolerancia hacia el profesorado y hacia sus compañeros. - Trabajo diario en el aula, participación y contribución al buen desarrollo de la clase. - Trabajo diario en casa, realizando los ejercicios y actividades propuestas. - Cada falta de asistencia debe ser justificada ante la coordinación académica. 1

2 2. Pruebas orales y escritas. - Se revisará la presentación de la prueba y/o trabajo teniendo en cuenta la ortografía. - Se informará al alumnado del valor que se da a cada pregunta, por escrito, del examen. - En los distintos exámenes que se hagan el profesor preguntará, sobre los contenidos dados anteriormente que se consideren importantes. - Se realizarán tres exámenes como mínimo en el período. Al final de cada periodo se entregará la nota final de periodo. - Se realizará una nivelación por periodo la cual será programada por la coordinación académica. TEMÁTICAS A DESARROLLAR: 1. PENSAMIENTO, SISTEMA NUMÉRICO, PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS 1.1 SISTEMAS Y TEORÍA DE LOS NÚMEROS NATURALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN: DECIMAL Y BINARIO NÚMEROS NATURALES Y SUS PROPIEDADES OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES TEORÍA DE LOS NÚMEROS MÚLTIPLOS Y PROPIEDADES 1.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PUNTO LÍNEA PLANO ÁNGULO SEMIRRECTA O RAYO SEGMENTO DE RECTA CONCEPTOS DE MATEMÁTICAS DESARROLLO ACTIVIDADES ACTIVIDAD DE SABERES PREVIOS Durante la clase el educador realizará las siguientes actividades: Lectura de la historia del origen de los números Explicación de símbolos y reglas del sistema de numeración romano Construcción de un sistema numérico identificando símbolos y reglas SISTEMA DECIMAL El sistema que utilizamos hoy en casi todo el mundo, es la numeración arábiga. En este sistema, todos los números se pueden expresar utilizando sólo diez símbolos que han ido variando con el paso de los años. Los diez símbolos para representar cualquier número se llaman dígitos En la escritura de los números, cada dígito tiene un valor relativo de acuerdo a la posición que ocupe, lo cual hace que este sistema de numeración sea posicional. Las unidades son: 2

3 Centenas de mil de millón CmM Decenas de mil de millón DmM Unidades de mil de millón umm 10 9 Millones Millares Unidades Centenas de millón cm 10 8 Decenas de millón dm 10 7 Unidades De millón um 10 6 Centenas de mil Cm 10 5 Decenas de mil dm 10 4 Unidades de mil Um 10 3 Centenas Decenas Unidades C 10 2 d 10 1 U 10 0 Además, cada diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad de orden inmediatamente superior. 10 unidades = 1 décima, 10 decenas = 1 centena, 10 centenas =1 unidad de mil Cada vez que un digito se desplaza un lugar hacia la izquierda aumenta diez veces su valor Ejemplo: realizar la descomposición decimal del número Solución: Dm um C D U = 2 dm + 7um + 4 c + 5 d + 1 u = = 2 x x x x ACTIVIDAD # 1 1. Para el número escribe que dígito está en posición de las: a. Decenas: b. Centenas de mil: c. Unidades de millón: d. Unidades de mil de millón: 2. Escribe para cada literal, dos números en donde el dígito 7 ocupe cada una de las siguientes posiciones: a. Decenas de mil: b. Unidades de millón: c. Centenas: 3. Escribe los siguientes numerales. a. Cincuenta y cuatro mil quinientos treinta y tres: b. Dos millones sesenta: c. Ocho mil quinientos dos millones: 3

4 d. Quinientos doce mil: e. Seiscientos cuarenta y tres mil uno: 4. Escribe la descomposición polinomial de los siguientes números. a : b.2449: c : d : 5. Lee y escribe en palabras los siguientes números: a. 3047: b : c : d : ACTIVIDAD # 2 1. Se tiene el número 83. Cuántas veces aumenta el valor representado por el 8 cuando entre los dos dígitos se escribe: a. un cero? b. dos ceros? c. cuatro ceros? 2. Dado el numeral 947 cuántas veces aumenta la cantidad representada por el 9 si se escribe un cero entre: a. 4 y 7? b. 9 y 4? c. Qué dígitos cambian su valor en los casos a y b? 3. Escribe tres numerales que cumplan las condiciones dadas. a. Los dígitos de las unidades y las centenas son iguales: b. La cifra de las decenas corresponde a la suma de los dígitos de las unidades y las centenas: 4

5 4. Cuál es el menor número que se puede formar con tres cifras distintas? 5. Cuál es el mayor número que se puede formar con cinco cifras distintas? 6. Dados los dígitos 7, 2, 8, 5 escribe con todos ellos el mayor número y el menor número posibles. 7. Escribe en cada caso, el valor en unidades del dígito resaltado con color rojo. a. 2845: b. 7618: c. 8437: d. 1384: e : f. 5208: g : h. 2706: 8. Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Explica tu respuesta y da al menos dos ejemplos que la ilustren. a. Para cualquier número de dos cifras distintas, al cambiar el orden de los dígitos, el número se hace diez veces más.( ) b. Sí el dígito de las centenas de un número es menor que el dígito de las unidades, y estos dígitos se intercambian, el número resultante es mayor que el original ( ) c. Con los dígitos 1 y 4 sólo se pueden formar cuatro números de cuatro cifras en los que cada uno de ellos tiene dos veces cada dígito ( ) d. Cuando un número está formado por seis dígitos, uno de ellos representa unidades de millón ( ) SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO ACTIVIDAD DE SABERES PREVIOS Durante la clase el educador realizará un taller en el cuaderno donde se evaluará la multiplicación y la división. SISTEMA BINARIO: En el desarrollo de los diferentes sistemas de numeración, el ser humano se encontró con la necesidad de representar cada número utilizando la menor cantidad de símbolos para diseñar máquinas que procesaron rápidamente los números y sus operaciones. Así surgió el sistema binario utilizando en los ordenadores y computadoras digitales cuyos circuitos electrónicos se asocian a la posición encendido que corresponde al 1, y apagado al 0. Este sistema es de valor posicional y solo utiliza los números 0 y 1. Su valor está determinado por la ubicación de cada dígito binario y el orden en que esté, así cada casilla, de derecha a izquierda, representa los números 1, 2, 4, 8, 16, 32,. Paso de la base 2 a la base 10 Para pasar un número de la base 2 a la base 10 es conveniente tener presente el valor de las unidades de los diversos órdenes, según el siguiente cuadro Ejemplo: Cuál es el número representado por (2)? 5

6 (16 x 1) + (8 x 0) + (4 x 0) + (2 x 1) + (1x1) = 19 Respuesta: (2) = 19 El número uno cero cero uno uno en binario representa al número diecinueve. Para pasar de la base 10 a la base 2. Para un número de base 10 a la base 2,se divide el número entre 2 y el cociente obtenido se divide nuevamente entre 2, y así sucesivamente hasta encontrar un cociente que valga 1. Por ejemplo para pasar 11 a base 2, dividimos sucesivamente entre 2 11/2 cociente 5 residuo 1 que será la unidad de primer orden (1 ). 5/2 cociente 2 residuo 1 que será la unidad de segundo orden (2 ). 2/2 cociente 1 residuo 0 que será la unidad de tercer orden (3 ) y Cociente 1 será la unidad de cuarto orden así: veamos la siguiente tabla que muestra las unidades de orden para Así 11 = 1011 (2) ACTIVIDAD # 3 1. Escribe los siguientes números en el sistema de base 2: a. 88 b.101 c d Escribe en el sistema los números: a (2) b c d NÚMEROS NATURALES ACTIVIDAD DE SABERES PREVIOS Durante la clase el educador realizará lectura sobre la aparición de los números como símbolo universal. 6

7 LOS NÚMEROS NATURALES (N): Es el conjunto de los números que se denotan con la letra N y sirven para contar y para decir cuántos elementos hay en un conjunto; en ocasiones no hay sino un elemento, y a veces no hay ninguno; por esta razón este conjunto es estudiado ampliamente en la aritmética. Y se representa en la semi recta en donde a cada número natural le asignamos un punto de esta. Características de los números naturales (N): el conjunto de los números naturales es infinito, cuando utilizamos los números naturales para contar o para hallar el número de elementos que tiene un conjunto obtenemos los números cardinales. Pero si utilizamos los números naturales para ordenar se transforman en ordinales. Números ordinales: 1º; primero, 2º; segundo, 3º; tercero,.. 16º decimosexto,.. La adición y sustracción en (N): son dos operaciones binarias entre los números naturales. La suma de dos o más números naturales es siempre otro número natural, La diferencia no siempre está en este conjunto. Esto solo ocurre cuando el minuendo es menor que el sustraendo. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN NÚMEROS NATURALES (N) Propiedades Definición Ejemplo Conmutativas El orden en que se tomen los números para = adicionarlos no altera el resultado Asociativa Cuando se tienen tres o más sumandos, se pueden asociar de diferentes maneras para adicionarlos y (8 + 2) + 5 = 8 + (2 + 5) siempre se obtendrá el mismo resultado Modulativa Existe un elemento entre el conjunto de los números naturales que al ser adicionado con cualquier otro número natural de cómo resultado el otro número natural. Es indispensable que la modulativa se cumpla a la derecha y a la izquierda = Las propiedades conmutativas, asociativa y modulativa se cumplen en la adición, pero no en la sustracción. La multiplicación y la división entre los (N): son otros ejemplos de operaciones binarias de los números naturales. Esto solo ocurre cuando el minuendo es menor que el sustraendo. 7

8 La multiplicación se puede interpretar como una suma de sumandos iguales. Al multiplicar dos números naturales siempre obtenemos otro número natural. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN NÚMEROS NATURALES (N) Propiedades Definición Ejemplo Conmutativas El orden en que se tomen los números para 5 x 91 = 91 x 5 adicionarlos no altera el resultado Asociativa Cuando se van a multiplicar tres factores, la operación se realiza primero entre dos de ellos y (3 x 8) x 2 = 3 x (8 x 2) luego entre este producto y el otro factor. La asociación puede hacerse de diferentes maneras y el producto no se altera. Modulativa Existe un elemento neutro o módulo para la multiplicación, este es el número 1. Como la operación es conmutativa el modulo puede estar a la 12 x 1 = 1 x 12 derecha o a la izquierda. Anulativa Existe el número cero de manera que al multiplicarlo por cualquier número natural se obtiene cero. Este número puede estar a la derecha o izquierda. 12 x 0 = 0 x 12 Las propiedades conmutativas, asociativa, modulativa y anulativa se cumplen en la multiplicación, pero no en la división. Es importante que el residuo o resto siempre sea menor que el divisor. ACTIVIDAD # 4 1. Usa las propiedades de la adición, para calcular la suma. a = b = c = 2. Escribe, en el espacio el número que hace verdadera cada igualdad. a = 43 b. 508= c = 215 d. 729 = e = 615 8

9 2. Encuentra el valor de la estrella en cada una de las siguientes igualdades. a. 34 = * + 16 b. * + 13 = 72 8 c * = 47 (16 7 ) d. (8 + * ) 3 = De acuerdo con la tabla responde las preguntas. Países Superficie en Km 2 España Alemania Noruega Suiza Cuántos kilómetros es mayor? a. España que Alemania? b. Noruega que Suiza? c. Alemania que Noruega? d. Cuál es la suma de las superficies? Miguel tiene 20 años, Carmenza y Andrés 22. Cuánto sumarán las edades de ellos dentro de 15 años? ACTIVIDAD # 5 1.para pintar un apartamento se necesitan 2 brochas, 4 galones de pintura de aceite, 3 galones de pintura de agua y un rodillo. Se desea pintar un conjunto de apartamentos que consta de 48 bloques, cada uno de 6 pisos y en cada piso hay 4 apartamentos. Cuál es la cantidad de materiales necesarios para pintar el conjunto. Brochas: Galones de pintura de aceite: Galones de pintura de agua: Rodillos: 2. Qué peso trasporta una tractomula que lleva 134 bultos de trigo de 62 kilos cada uno, 28 sacos de café de 50 kilos cada uno y 37 bultos de arroz de 75 kilos cada uno? 9

10 3. El pasillo de un edificio tiene 34 filas de baldosas y en cada fila hay 98 baldosas. Si una baldosa vale $3250, cuál es el costo de todas las baldosas del pasillo? 4. Dos automóviles salen de Bogotá a las 9 am, por la carretera central, hacia Bucaramanga. Uno va a 62km/h y el otro a 75 km/h. Qué distancia los separa a las 2 pm? MÚLTIPLOS Y DIVISORES MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL (N): El producto de dos o más números naturales es múltiplo de cada uno de ellos. Los factores de un número también son divisores de ese número. Si el cociente de dos números naturales, a : b, es exacto, diremos que a es múltiplo de b y que b es divisor de a. 56 : 7 = 8 56 es múltiplo de 7 y 7 es divisor de 56 La relación de divisibilidad también puede expresarse así: a es múltiplo de b si hay otro número que multiplicado por b da como resultado a. 56 es múltiplo de 7 porque hay otro número, el 8, tal que 7 x 8 = 56 Si multiplicamos a por cualquier número, obtenemos múltiplos de a: 8 x 1 = 8 8 x 2 = 16 8 x 3 = 24 8 x 11 = 88 8, 16, 24,, 88, son múltiplos de 8 y, a su vez, 8 es divisor de todos ellos. PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES Todo número natural es múltiplo de 1. Todo número natural es múltiplo y divisor de sí mismo. Los divisores de un número n forman parejas cuyo producto es n Por ejemplo: Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 1 x 12 = 1 2 x 6 = 12 3 x 4 = 12 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La potenciación en los números naturales (N): el proceso de repetir la multiplicación de un mismo número varias veces, se llama potenciación. El factor repetido se llama base. El número de veces que se repite el factor se indica por el exponente y el resultado es la potencia. 10

11 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES (N): Propiedades Definición Ejemplo Potencia de un producto La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada uno de los factores. (5 x 2) 2 = 5 2 x 2 2 Multiplicación El producto de potencias con igual base es una de potencias potencia que tiene la misma base de los factores y 2 3 x 2 4 = = 2 7 con igual base como exponente la suma de los exponentes de cada factor. Potencia de La potencia de una potencia tiene la misma base y una potencia como exponente el producto de los exponentes de los (3 2 ) 3 = 3 2 x 3 = 3 6 factores dados. Modulativa 1 como exponente es el módulo de la potenciación 3 1 = 3 La radicación y logaritmación de números naturales (N): Si se conoce la potencia y el exponente correspondiente se puede encontrar la base. El proceso para hallar la base se llama radicación. El símbolo que se usa es: se llama radical. Los números 2, 3, 4, son los índices del radical. El numero que se escribe bajo el radical se llama la cantidad sub radical Ejemplo: Log 3 81= 4, porque 3 4 = 81 Log = 3, porque 10 3 = 1000 Cuando se conoce la base y una potencia de ella, pero no el exponente correspondiente, para encontrarlo se usa el proceso llamado logaritmación. El resultado del proceso se llama logaritmo en la base dada de la potencia. ACTIVIDAD # 6 1. Encuentra cada potencia. a.6 3 = b. 4 4 = c. 3 5 = d. 8 3 = 2. Expresa los productos con una sola potencia. a. 2 3 x 2 5 = b. 5 5 x 5 5 = c. 3 2 x 3 3 x 3 = 11

12 CONCEPTOS DE GEOMETRÍA La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos algunos conceptos relacionados con la geometría. Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. algunas formas de representar un punto Línea: Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican básicamente en: recta, poligonal, curva. Tipos de línea Plano: Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz. Ángulo: Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Cuando dos rayos se interceptan en sus extremos. El punto de intersección se conoce con el nombre de vértice del ángulo. 12

13 Unidades de medición de los ángulos.- las unidades de uso común para medir los ángulos son el radián y el grado. La medida de un ángulo es la cantidad de unidades de medición que contiene. Clasificación de los Ángulos, según su Medida angular Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90 a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como: Ángulos Consecutivos: Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan: ángulos complementarios: si suman 90 0, ángulos suplementarios: si suman Ángulos consecutivos Recta: Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia. Partes de una Recta: Semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Partes de una recta 13

14 RECURSOS Para el desarrollo de las actividades planteadas en esta guía y alcanzar los logros propuestos es necesario contar con los siguientes recursos: Salón de clase Audiovisuales Zonas verdes Salón de danzas. BIBLIOGRAFÍA Y/O WEBGRAFÍA Grifos 6. Procesos Matemáticos. Libros y Libros Amigos de las matemáticas 6. Editorial Santillana Conexiones Matemáticas 6. Editorial Norma 14

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