FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 13. COMBINACIONES Y PROBABILIDAD

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 13. COMBINACIONES Y PROBABILIDAD Grado 11 Taller # 13 Nivel II RESEÑA HISTORICA El concepto de Probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. La probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se aprende la probabilidad. A los algebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los juegos de azar. Los fundamentos del cálculo de probabilidades surgen alrededor del año 1650, cuando sugerido por los juegos de dados, de cartas, del lanzamiento de una moneda, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar la partida. Fermat y Pascal, dieron en 1654 la primera definición de probabilidad. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equi-probabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre el número de casos favorables y el de casos posibles. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre, del teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austriaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales. MARCO TEORICO Probabilidad de eventos Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo. Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios: 1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos. 2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo.) 3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral: 1

2 En otras palabras se define como número de casos favorables sobre número de casos posibles. Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las siguientes propiedades: 1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero. 2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad. 3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuencias relativas de cada uno. COMBINACIONES Resuelva el numeral 1 y 2 teniendo en cuenta el De un grupo de 11 edecanes debe escogerse un comité de cuatro para que asistan a una exposición. Determine de cuantas maneras se puede hacer la selección si, además, existe el requisito de que: 1. Una de los 11 tiene que formar parte del comité. A) 720 B) 520 C) 200 D) Dos señoritas específicas no deben formar parte de comité. A) 3024 B) 220 C) 126 D) 346 Resuelva el numeral 3 y 4 teniendo en cuenta el En una urna hay 50 esferas, de las cuales ocho están marcadas con premios. Una persona extrae de la urna un puñado de cinco esferas. Determine de cuantas maneras se pueden sacar si: 3. Exactamente dos esferas están marcadas. A) B) C) D) Por lo menos dos esferas están marcadas. A) B) C) D) De un grupo de 13 ingenieros con doctorados se desea formar un comité de cinco para enviarlos a un congreso en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Determine de cuantas maneras es factible elegir el comité si se desea que este incluya a por lo menos tres de los siete mejores del grupo. A) 746 B) 756 C) 220 D) Se tienen tres monedas de 10 pesos, siete de 5 y dos de 20. De cuantas maneras se pueden distribuir entre 12 niños, para que cada pequeño reciba una moneda? A) 220 B) 792 C) 7920 D) De cuantas maneras se pueden distribuir 12 juguetes entre tres niños, de tal manera que cada pequeño reciba cuatro juguetes? A) 495 B) 1980 C) D) De cuantas maneras se pueden repartir las 28 fichas del dominó entre cuatro jugadores (Obviamente, se supone que cada jugador recibe siete fichas?. A) 3.6x10^10 B) 3.5x10^4 C) 2.3x10^11 D) 4.7x10^14 2

3 Resuelva el numeral 9 y 10 teniendo en cuenta el La mamá de Caperucita Roja, que tenía una gran canasta con 12 guayabas, ocho duraznos, seis manzanas y cinco peras, le encargó a su hija seleccionar cuatro guayabas, tres duraznos, dos manzanas y dos peras para llevárselas en una cesta a la abuela. 9. calcule el numero de formas como caperucita podría seleccionar frutas para la abuela, de acuerdo con las indicaciones de la mamá. A) B) C) D) Determine las selecciones posibles si la niña no hace caso a las indicaciones de la madre y simplemente elige 11 frutas al azar. En ambos casos, considere que las frutas del mismo tipo son distinguibles unas de otras. A) B) C) 3.4x10^15 D) De un inventario de 20 productos, un cliente selecciona cuatro. De cuantas formas los pudo escoger? A) 484 B) 4845 C) D) Cuantos helados diferentes de tres sabores se pueden hacer con 25 sabores? A) B) 1380 C) 2300 D) Para el 15 de septiembre se compraron 20 luces pirotécnicas de diferentes colores: 5 son verdes, 10 blancas, 3 rojas y 2 doradas. Si se desea lanzarlas, de cuantas maneras se podría ver los colores en el cielo? A) B) C) D) Para integrar un álbum fotográfico, hay cuatro fotografías, tres postales y dos mapas. De cuantas maneras se pueden intercambiar tales elementos para colocarlos en el álbum? A) B) C) 1260 D) De nueve comerciales de refrescos que elaboró Coca Cola este mes, se desea seleccionar únicamente tres para participar en el concurso de publicidad. De cuantas maneras se pueden seleccionar? A) 504 B) 84 C) 345 D) En un club de fútbol, que consta de 15 jugadores uno de ellos se ha lesionado; por esta razón, el entrenador debe volver a armar el primer equipo, que consta de 11 jugadores. Cuántas opciones tiene para ello? A) 364 B) 1.4x10^10 C) D) En un curso de admisión hay 10 alumnos. Cuántos equipos de seis alumnos se pueden formar? A) B) 210 C) D) El entrenador de la selección de fútbol que va a representar a Colombia en la copa América convocó a 27 jugadores. Si solo debe llevar 22, cuántos equipos puede formar (suponga que todos juegan en cualquier posición)? A) 702 B) C) D) De 30 camionetas tienes que escoger tres para transportar discos compactos. De cuantas formas lo puede hacer? A) B) C) D) Se emitieron 25 reportes regulatorios y se deben clasificar en cuatro grandes categorías. De cuántas maneras se puede clasificar? A) B) C) D) 4 Resuelva el numeral 21 y 22 teniendo en cuenta el 3

4 Las barajas o naipes ordinarios, constan de 52 cartas, divididas en cuatro palos de 13 cartas cada una. Los palos son: picas, diamantes, corazones y tréboles. Las cartas de cada palo tienen un número (de menor a mayor valor: 2, 3,...9, 10, J, Q, K y A). En el juego de poker participan cuatro jugadores, quienes por separado reciben una mano (conjunto) de cinco cartas al azar. En el juego de bridge, cada uno de los cuatro participantes recibe una mano de 13 cartas. 21. Cuántas manos de poker son posibles? A) 6.3x10^11 B) C) 3.9x10^21 D) Cuántas de bridge? A) 6.3x10^11 B) C) 3.9x10^21 D) 4.1x10^12 Resuelva los numerales 23 al 26 teniendo en cuenta el siguiente enunciado. Calcule de cuantas maneras se puede repartir a un jugador de bridge: 23. Un as. A) 2.7x10^11 B) 3.7x10^12 C) 6.9x10^10 D) 3.9x10^ Dos ases. A) 2.3x10^12 B) 2.3x10^12 C) 1.3x10^11 D) 2.6x10^6 25. Tres ases. A) B) C) 9.0x10^10 D) 6.7x10^ Los cuatro ases. A) 1.6x10^9 B) 1.6x10^6 C) 6.0x10^14 D) 6.0x10^ En un grupo de 23 alumnos hay 13 hombres y 10 mujeres. Se va a elegir un comité formado por dos mujeres y tres hombres. Cuántos comités se pueden formar? A) B) C) D) De cuántas maneras se logra dividir 12 personas en: Dos grupos de siete y cinco? A) 729 B) 6188 C) D) De cuántas maneras se logra dividir 12 personas en: Tres grupos de cinco, cuatro y tres? A) B) C) D) Encuentre el número de formas en que puede dividirse una baraja ordinaria de 52 naipes por la mitad, de manera tal que en cada una de las mitades queden dos ases. A) 1.9x10^14 B) 2.0x10^37 C) 1.2x10^38 D) 1.4x10^23 Resuelva los numerales 31 al 37 teniendo en cuenta el siguiente enunciado. En el concurso de lotería llamado Melate, el juego consiste en que se extraen al azar seis esferas (sin reposición) de un conjunto de 44 numeradas del 1 al 44. Posteriormente, se saca una séptima que contiene el número adicional. Un participante escoge seis números del 1 al 44 y gana el primer premio si sus números coinciden con los seis de las esferas ganadoras. Además, se otorgan otros premios: por ejemplo, el segundo lugar se lo reparten los concursantes que acierten cinco más el adicional. 31. Cuántas combinaciones diferentes de seis números ganadores puede haber? A) 5.0x10^9 B) C) 4.3x10^12 D) De cuántas maneras es posible adivinar cinco de los seis números ganadores más el adicional? A) 8 B) 10 C) 6 D) 4 4

5 33. De cuántas maneras se acertarían cinco de los seis números ganadores, sin el adicional? A) 322 B) 222 C) 453 D) De cuántas maneras se obtendrían cuatro de los seis ganadores, más el adicional? A) 555 B) 235 C) 345 D) De cuántas maneras se lograría cuatro de los seis ganadores, sin el adicional? A) B) 9990 C) 6450 D) De cuántas formas caerían tres de los seis números ganadores, más el adicional? A) 222 B) C) D) De cuántas maneras ocurriría que el concursante no acierte a ninguno de los seis números ganadores, ni tampoco el adicional? A) B) C) D) PROBALIDADES 1. En un frutero hay cinco guayabas, seis ciruelas, siete duraznos y ocho limones (en total, 26 frutas). Una niña toma 10 frutas al azar para llevárselas a su abuela. Determine la probabilidad de que la abuela reciba una guayaba, dos ciruelas, tres duraznos y cuatro limones. Suponemos que las frutas del mismo tipo son distinguibles entre sí. A) B) C) D) En un grupo de personas que se reúnen para conversar en ingles, hay cinco mujeres y tres hombres. Si se escoge por lista un comité de cuatro al azar, calcule la probabilidad de que sean consideradas por lo menos dos mujeres. A) B) C) D) Del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se escogen tres números sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que todos sean pares. A) B) C) D) Del conjunto {1, 2, 3,..,11} se saca un número. Cuál es la probabilidad de que sea impar o divisible entre tres? A) B) C) D) Resuelva el numeral 5 y 6 teniendo en cuenta el 5. De una baraja común se extrae una carta. Cuál es la probabilidad de obtener un as? A) B) C) D) cual la de obtener un corazón o un as? A) B) C) D) Resuelva el numeral 7 y 8 teniendo en cuenta el Si se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad que las caras que muestren: 7. Sumen seis? A) B) C) D) El valor absoluto de la diferencia sea uno? A) B) C) D) Resuelva el numeral 9 y 10 teniendo en cuenta el De una urna, con cinco bolas blancas y cuatro negras, se sacan cuatro sin reposición. Señale la probabilidad de obtener: 5

6 9. Dos bolas blancas A) B) C) D) Por lo menos una bola blanca A) B) C) D) Resuelva los numerales 11 al 13 teniendo en De urna, que contiene tres bolas blancas, dos negras y cuatro verdes se sacan tres sin reposición. Explique la probabilidad de obtener: 11. Bolas de tres colores A) B) C) D) Bolas de un color A) B) C) D) Dos bolas blancas A) B) C) D) Resuelva los numerales 14 y 15 teniendo en En una lotería hay 100 boletos, de ellos cinco tienen premio. Indique la probabilidad de que si compran cinco boletos: 14. Dos tengan premio A) B) C) D) Por lo menos uno tenga premio A) B) C) D) Resuelva los numerales 16 y 17 teniendo en De una urna, que contiene cinco bolas blancas y cinco negras, se sacan tres sin reposición. Cuál es la probabilidad de obtener: 16. Dos bolas blancas? A) B) C) D) Bolas de ambos colores? A) B) C) D) Resuelva los numerales 18 y 19 teniendo en En una lotería hay 10 boletos, entre los cuales tres están premiados. Si se compran tres boletas, calcule la probabilidad de que entre ellos se encuentre: 18. Exactamente un boleto ganador A) B) C) D) Por lo menos un boleto ganador A) B) C) D) Se seleccionarán de tres subgerencias a tres personas que serán comisionadas para asistir la próxima semana a un congreso en la ciudad de Nuevo León. Si hay ocho empleados en la subgerencia de mercadeo nacional, cuatro en la subgerencia de logística y cinco en la de desarrollo exterior, determine la probabilidad de que vaya una persona de cada subgerencia. A) B) C) D) Se planea jugar un torneo de dobles contra otro club. Las reglas mencionan que, en el enfrentamiento, la pareja que participará será escogida al azar. Si en mi club hay dos jugadores buenos y tres malos, cuál es la probabilidad que para el partido sean elegidos los dos buenos? A) 0.1 B) 0.2 C) 0.3 D) 0.4 6

7 22. En una pecera hay 12 peces, de los cuales 8 están enfermos. Si seleccionamos aleatoriamente tres, sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que los tres estén enfermos? A) B) C) D) El director de personal ha elegido ocho candidatos para cubrir cuatro puestos. De éstos, cinco son hombres y tres mujeres. Si, de hecho, cada candidato tiene las mismas probabilidades de ser elegido, cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? A) B) C) D) Una baraja ordinaria contiene 52 cartas (ò naipes) divididas en cuatro palos: tréboles (negros), picas (negras), diamantes (rojos) y corazones (rojos). Cada palo consta de 13 cartas, las cuales (de menor a mayor valor) son: 2, 3, 4,., 10, J, Q, K y A. Una J se conoce como jota o sota; Q es la reina y K el rey. Si de una baraja ordinaria se sacan dos cartas al azar, halle la probabilidad de que estas sean una reina y una sota. A) B) C) D) En una urna hay 20 bolas; doce son blancas y ocho negras. Se sacan, dos veces, dos bolas sin reemplazo. Cuántas probabilidades hay de que la segunda vez sean dos bolas del mismo color, si se sabe que en la primera ocasión salieron dos de colores diferentes? A) B) C) D)