Tema 2: Fracciones y proporciones

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1 Tema 2: Fracciones y proporciones Fracciones Números racionales Números decimales Razones y proporciones Porcentajes 1

2 2 Las fracciones: un objeto, varias interpretaciones (1) Parte de un todo (2) Un reparto (división) Queremos repartir 3 chocolatinas entre 5 niños. A cuánto toca cada uno? (3) Un punto de la recta numérica 3 4? 1/4 3/4 El denominador fija la unidad Hemos coloreado los 3/5 de El numerador, cuántas unidades tomo

3 Algunos ejemplos Qué fracción del área total está coloreada en cada una de las figuras? 3/4 2/5 (a) (b) 3 1/3 2/3 (c) (d) Juan leyó 2/5 de las páginas de un libro el lunes, el martes estaba ocupado y sólo pudo leer la tercera parte que el lunes, y el miércoles, que tenía más tiempo, acabo el libro leyendo 140 páginas. Cuántas páginas tenía el libro?

4 Definición de fracción. Opción 1 Una fracción es un cociente de dos números enteros, es decir, una expresión de la forma a/b, con b 0. Interpretaciones: partes de un todo. solución a un problema de reparto. Las fracciones 2/3, 4/6, 6/9,... representan la misma cantidad, es decir, son el mismo número racional. 4 Def: Diremos que un número es racional si se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, si se puede expresar en forma de fracción. El conjunto de números racionales se denota por Q.

5 5 Definición de fracción. Opción 2 Recurriendo a la recta numérica. Dados dos números enteros a y b (con b 0), la fracción a/b representa el siguiente punto de la recta: tomamos el segmento [0, 1] y lo dividimos en b partes iguales. contamos a partes de las obtenidas. La gran ventaja de esta opción es que deja claro, desde el primer momento, que las fracciones son una ampliación de los conjuntos de números ya conocidos. Haciendo ejercicios como Representa en la recta 6/7 y 13/5 se puede desarrollar más facilmente la intuición sobre las fracciones.

6 Definición de fracción. Opción 2 Si hemos presentado las fracciones de esta forma, podemos plantear directamente el problema: Cuánto es ? Para un niño que trabaja este problema sobre la recta numérica (y en papel cuadriculado, claro) es mucho más fácil entender la imposibilidad de sumar fracciones que tienen distinto denominador. 6

7 Fracciones equivalentes. Suma y resta El concepto de fracciones equivalentes es uno de los más importantes de este tema. Dada la fracción a/b, las que se obtienen multiplicando (o dividiendo) numerador y denominador por el mismo número entero (distinto de cero) se dice que son equivalentes a la fracción a/b. Es esencial que se entienda que las fracciones equivalentes representan la misma parte, o el mismo punto de la recta numérica. 3/

8 Fracciones equivalentes. Suma y resta Una vez entendidos los conceptos de fracción y fracción equivalente, la suma y resta deberían ser inmediatas. a) No se pueden sumar (ni restar) fracciones con distinto denominador. b) Lo que hay que hacer es buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Ejemplo: = =

9 Fracciones impropias, números mixtos, división entera. La fracción 17/12 (y, en general, las fracciones a/b donde a b) a veces se llaman fracciones impropias y se pueden representar como números mixtos: = En general, si a = q b + r, la fracción a/b se puede representar también como q r b. Es importante tener presente que, si se ha utilizado la opción 1, la idea de fracción impropia supone una generalización relevante desde el punto de vista conceptual: qué significa ocho séptimos de algo? 9

10 Multiplicación de fracciones Desde el punto de vista del algoritmo, multiplicar fracciones es más sencillo que sumarlas. Sin embargo, desde un punto de vista conceptual es mucho más complicado. Una buena posibilidad es generalizar desde los naturales, de la siguiente forma: 2 18 es el doble de es la tercera parte de 18, es decir, 18 3 Aparece aquí una relación fundamental entre las operaciones de multiplicar y dividir: 10 multiplicar por 1 n es lo mismo que dividir por n

11 Multiplicación de fracciones Una vez que sabemos multiplicar 1/n por un entero, y entendemos que estamos dividiendo por n, podemos multiplicar 1/n por otra fracción: a) = 3 b) = Ahora la multiplicación de fracciones ya tiene significado : = = =

12 Multiplicación de fracciones. Opción = /3 0 3/4 1 12

13 División de fracciones Primero, lo que creo que no es una buena alternativa. 13

14 División de fracciones Opción 1: Reducir a común denominador. Repartir cuartos entre cuartos ya es intuitivo. Se puede recurrir a la recta numérica: 8 3 : 3 4 cuántas veces cabe 3 4 en 8 3? = = : 3 4 = 32 9

15 División de fracciones Opción 2: la división y la multiplicación son operaciones inversas o, lo que es lo mismo, dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso. Ya nos hemos encontrado antes la idea: multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n. El inverso de un número racional a es un número b tal que a b = 1. Todo número racional distinto de cero tiene inverso. a) El inverso de un número natural n es 1/n. b) El inverso de un número racional p/q es q/p 15

16 División de fracciones Por tanto, 2 3 : 7 5 = = Por supuesto, una vez definida la operación, la forma de darle sentido es recurrir a problemas. Por ejemplo: 16 Tenemos un barril de 350 l. de agua, y con él rellenamos botellas de 3/8 de litro. Cuántas botellas llenamos? Una vez asimiladas las operaciones, se pueden abordar problemas como éste: Una persona deja en herencia 2/3 de su capital a su único hijo, le deja a un tío lejano 2/5 partes de lo que le ha dejado al hijo, debe pagar a hacienda por impuestos 1/20 de la herencia, y dona el resto, euros, a una obra de beneficencia. Cuál era su capital?

17 Orden en Q El orden en Q se define igual que en los enteros: dados dos números racionales a y b, se dice que a < b si b a > 0. Propiedades de monotonía: a) Si a < b entonces a + c < b + c (para cualquier número racional c). b) Si a < b y c > 0, entonces a c < b c. c) Si a < b, entonces a > b. Por tanto, si a < b y c < 0, entonces a c > b c Ejercicio: Encuentra los números racionales que verifican la 17 desigualdad 2 3 x < 7 5

18 Orden en Q Los racionales son densos : en Q se pierde el concepto de siguiente. Observación: entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Pero no llenan toda la recta: Teorema: 2 no es un número racional. Un último resultado: Se puede hacer una lista (infinita) que contenga todos los números racionales. 18

19 Problemas sobre números racionales La población urbana de cierta provincia es 5/8 del total, y la rural los 3/8 restantes. Se sabe que la cuarta parte de la urbana y la sexta parte de la rural son menores de edad. Qué proporción de la población es menor de edad? Solución aritmética (algebraica) Solución geométrica: 1/4 5/8 1/6 3/8 19 5/8 3/8

20 Problemas sobre números racionales El grifo del agua caliente tarda 1 hora en llenar mi bañera y el grifo del agua fría tarda 30 minutos. Si abro los dos grifos a la vez, y el caudal de cada grifo es el mismo que antes, cuánto tardará en llenarse la bañera? Un león se comería una oveja en 4 horas; un leopardo tardaría 5 horas y un oso 6 horas En cuánto tiempo se comerían una oveja entre los tres? Preparamos una sangría con 6 vasos de zumo, 4 vasos de vino (que tiene 1/8 de alcohol) y 1 vaso de ginebra (que tiene 2/5 de alcohol). Cuál será la proporción de alcohol en la sangría? 20

21 21 Los números decimales Números decimales con expresión finita: fracciones decimales. Una fracción decimal es una fracción que es equivalente a otra cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplo: 3/4 es una fracción decimal porque es equivalente a 75/100. Cómo es el denominador de una fracción decimal? En 1585 un matemático belga (Simón Stevin) propuso representar cantidades menores que la unidad dividiéndola en décimas, centésimas, milésimas,... Por ejemplo:

22 Números decimales La expresión decimal surge de generalizar a potencias negativas de 10 la expresión conocida en base 10. donde = = Repaso de la aritmética elemental con números decimales. El cálculo mental vuelve a ser aquí instructivo. Por ejemplo: a) 2 3 : 0 1 b) 4 : 0 2 c)

23 Los decimales en la recta numérica ? 7 93? ? ? 23

24 Números decimales. Fracciones decimales Para fracciones decimales (números decimales finitos) la conversión entre las expresiones como número racional y número decimal es inmediata. Ejemplos: a) 3 80 = b) = 24

25 Números racionales con expresión infinita Muchos números racionales no admiten una expresión como número decimal con un número finito de decimales. Ejemplo: 1/3, 2/7, 4/9,... A la expresión se le llama número decimal periódico, y se denota 0 3. En un número decimal con expresión periódica, toda la parte decimal puede ser periódica = decimal periódico puro o no = decimal periódico mixto 25

26 Expresión decimal de números racionales Teorema: La expresión decimal de cualquier número racional es, o bien finita, o bien periódica (pura o mixta). Ejemplos: 1 6 = = = Expresión de un decimal periódico en forma de fracción: fracción generatriz. Ejercicio: expresar en forma de fracción irreducible a) b)

27 Observaciones finales La expresión decimal de un número no es única. a) 0 23 = b) 1 = = 0 9 c) 0 23 = El conjunto de números decimales mayores que cero y menores que uno no se puede poner en una lista (infinita). 27

28 Ejercicio: expresión decimal en base 12 Ejercicio: encuentra la expresión decimal en base 12 de la fracción

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