MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS

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1 MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS Matemáticas 1

2 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ROQUE MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO CIENCIAS BÁSICAS ELABORARON: ERIKA RAMOS OJEDA RAQUEL ALDACO SEGOVIANO JORGE ANTONIO BONILLA LÓPEZ NABOR DURAN HERNÁNDEZ ALICIA FLORES LÓPEZ JOSE GABRIEL MENDOZA MANCILLA ROQUE, CELAYA, GTO. JULIO 01 Matemáticas

3 Contenido 1. LEYES DE LOS SIGNOS Introducción a los números Leyes de los signos Propiedades de los números reales Operaciones con números reales (con signos) OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES Notación Algebraica Signos de Operación Algebraica Coeficiente Nomenclatura algebraica Términos Semejantes Reducción de términos semejantes OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Fracciones y su escritura Tipos de fracciones Conversión de fracciones Suma y resta de fracciones Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos 18.6 Multiplicación y División de fracciones LEYES DE LOS EXPONENTES Leyes de los exponentes... Explicaciones de las leyes DIVISIÓN DE POLINOMIOS Resolución de división de polinomios: División sintética (Regla de Ruffini) PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio al cubo Binomio Conjugado Binomio con término común... Matemáticas

4 6.5 Binomios con términos semejantes Aplicación de productos notables... 7.FACTORIZACIÓN Factor Común Factorización por agrupación Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización por el cubo perfecto de un binomio Factorización por diferencia de cuadrados Trinomio de la forma x + bx + c Trinomio de la forma ax + bx + c Aplicación de la integral RADICALES Leyes y Propiedades de los Radicales SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES Simplificación de Radicales Adición y Sustracción de Radicales Multiplicación de Radicales División de Radicales RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones Método de sustitución Método de igualación... 5 Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación Método de reducción ECUACIONES CUADRÁTICAS Solución por factorización Solución mediante raíz cuadrada Solución completando el cuadrado Solución mediante la fórmula cuadrática (general) PROPIEDADES DE LOGARITMOS SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Matemáticas 4

5 16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Matemáticas 5

6 1. LEYES DE LOS SIGNOS 1.1 Introducción a los números Los números son símbolos creados para registrar montos o cantidades. Son un conjunto de símbolos estándar que representan cantidades,los conocidos de 0 a 9 -. Pero además de estos enteros, también hay fracciones y decimales. Un número positivo es un número que es mayor que cero, mientras que un número negativo es menor que cero. Un número positivo se muestra con una signo más ( + ), o sin ningún delante de él. Si el número es negativo, va precedido de un signo menos ( - ). 1. Leyes de los signos Para realizar multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar las leyes de los signos, las cuales establecen lo siguiente: La multiplicación de signos iguales de un producto positivo (+) (+) = + ( - ) ( - ) = + La multiplicación de signos distintos da un producto negativo (+) ( - ) = - ( - )( + ) = - La división de signos iguales da un cociente positivo (+) (+) = + ( - ) ( - ) = + La división de signos distintos da un cociente negativo (+) ( - ) = - ( - ) ( + ) = - Consideraremos al conjunto de número reales como el conjunto universal.los cuales se pueden representar a lo largo de una línea recta. 1. Propiedades de los números reales Supongamos que a, b y c expresan números reales Matemáticas 6

7 La adición y la multiplicación son conmutativas a + b = b + a a b = b a La adición y la multiplicación son asociativas ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a b ) c = a ( b c ) La identidad aditiva es 0 a + 0 = 0 + a = a La identidad multiplicativa es 1 a 1 = 1 a = a Cada elemento a tiene un inverso aditivo expresado por - a a + ( - a ) = - a + a = 0 Cada elemento diferente a cero a tiene un inverso multiplicativo, expresado por a -1 a a -1 = a -1 a = 1 Nótese que a -1 = 1/a. La multiplicación es distributiva con respecto a la adición a ( b + c ) = a b + a c 1.4 Operaciones con números reales (con signos) 1. Para sumar dos números reales con el mismo signo, sume sus valores y agregue su signo común. ( + 5 ) + ( +6 ) = +11 Matemáticas 7

8 ( ) + ( - 6 ) = - 6 = - 1. Para sumar dos números reales con signo diferente, encuentre la diferencia de sus valores y añada el signo del número con el mayor valor. ( - 4 ) + ( + ) = - 1 ( + 5 ) + ( - ) = + ( 11 7 ) + ( +1 ) = 4 7. Para sustraer un número real de otro, cambie el signo del número y añada el signo del número que se resta y siga con la adición. ( - 9 ) ( - 8 ) = ( - 9 ) + ( + 8 ) = ( 8 ) = 16 + ( - 8 ) = El producto de dos números reales con signos iguales es positivo ( - ) ( - 4 ) = 1 ( 4 ) ( 4 ) = 5. El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo (5 )( - ) = - 15 ( - ) ( 4 ) = El cociente de dos números reales con signos iguales es positivo ( - 14 ) ( - ) = = 9 7. El cociente de dos números reales con signos diferentes es negativo 8 4 = = -9 Matemáticas 8

9 Resuelva las siguientes operaciones: ( ) ( + 1). OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES.1 Notación Algebraica Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, se denominan también literales. Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.se denominan incógnitas. Variable es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar el valor. Constante es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo o establecido, es decir, no puede cambiar su valor.. Signos de Operación Algebraica Los signos de operación son los siguientes: Matemáticas 9

10 + (Suma o Adicción) ~ (Equivalente a) - (Resta o Sustracción) ~ (Aproximadamente igual a) x (Multiplicación o Producto) (Diferente de) (División o Cociente) > (Mayor que) > (Mayor que) < (Menor que) < (Menor que) (Raíz de) = (Igual a) % (Por ciento) Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angula o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.. Coeficiente Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así, en el producto a el factor es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea a = a + a + a. Estos son coeficientes numéricos. Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad..4 Nomenclatura algebraica Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Matemáticas 10

11 El coeficiente es generalmente el primero de los factores que conforman un término, el coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo: Coeficiente numérico. Es el factor numérico de un término. Ejemplo: El coeficiente numérico del término 5ax es 5 Coeficiente literal. Es el factor literal de un término. Ejemplo:El coeficiente literal del término mby es m Es importante señalar que el coeficiente siempre va a acompañado del signo del término. Ejemplo:El coeficiente numérico de -by es - Cuando un término no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su coeficiente es la unidad. Ejemplo: axy = 1 axy Parte literal. Son los factores literales que contiene el término. Ejemplo:En el término 5ax, la parte literal es ax.5 Términos Semejantes Términos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con la misma base y el mismo exponente. Términos semejantes 7x y 5x Términos No semejantes 7x y 5y Matemáticas 11

12 8a y a 8a y a 5rs y rs 5rs y r s Para asociar términos semejantes han de sumarse o restarse Procedimiento: 1.- Sumar o restar los coeficientes numéricos:.- Conservar el coeficiente literal común Grado de un término. El grado de un término puede ser de dos formas absoluto y relativo a una literal Grado absoluto. El grado absoluto de un término es el número que se obtiene al sumar los exponentes de la parte literal. Ejemplo: x es de primer grado 5ab es de segundo grado 8a x es de tercer grado x y es de cuarto grado m n x es de quinto grado x y z es de sexto grado Grado relativo. El grado de un término relativo a una literal es el mayor exponente que tenga la literal considerada. Ejemplo:xy = Primer grado con respecto a x y de segundo grado con respecto a y Clases de términos. Los términos se clasifican en enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, homogéneos y heterogéneos, los cuales se definen de la siguiente manera: Término entero: Es aquel que no tiene denominador literal. Ejemplo: a, x, y Matemáticas 1

13 Término fraccionario: Es aquel que contiene en el denominador una literal. Ejemplo: m.6 Reducción de términos semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes: a) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos: a + a = 5 a -5b 7b = -1b - a 9a = - 10 a Realiza los siguientes ejercicios: 1. 8a + 9a =. -b 5 b =. a x + a x + 8a x = 4. x x 1 x 6 5. x y 8x y 9x y 0x y = b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo Regla. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo de mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo: a a = -a Matemáticas 1

14 18x 11x = 7x -8ax + 1ax = 5ax 1 a a = 1 6 a Realiza los siguientes ejercicios: 1. 8a 6a =. 15ab 9ab =. -14xy + xy = 4. 1 a a = a b 5 1 a b = 6. 7x y 5x y = 7. 4a - 1 a = c) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos. Regla. Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior. Ejemplo: 5a 8a + a 6a + 1a = 1a 5 bx bx + 4 bx 4bx + bx = 49 0 bx Realiza los siguientes ejercicios: 1. 9a -a + 65a = Matemáticas 14

15 . 1mn mn + 5 mn =. 11ab 15ab + 6ab 4. y + 1 y y= 5. 8 a b a b a b = 6. 7ab + 1ab ab + 80ab = a 464a + 58a + 01a =. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.1. Fracciones y su escritura Una fracción representa una parte de un número entero. Las fracciones sirven para dividir un número en partes iguales. Una fracción con literales, por ejemplo: a b es una fracción algebraica, es decir, es el cociente de dos expresiones algebraicas. Los términos de una fracción algebraica, se denomina numerador al que ocupa la parte supeior y denominador al que ocupa la parte inferior. Al igual que las fracciones aritméticas, las algebraicas se fundamentan en principios como: Si una fracción algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad, la fracción no se altera. ( a b ) (x x ) = (ax bx ) Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una cantidad, la fracción queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha cantidad. Matemáticas 15

16 ( a b ) (x 1 ) = (ax b ) ( a b ) (x 1 ) = a x b 1 = a bx Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una cantidad, la fracción queda dividida y multiplicada respectivamente por dicha cantidad... Tipos de fracciones ( a b ) (1 x ) = ( a bx ) ( a b ) (1 x ) = a 1 b x = ax b a) Fracción propia. El número de partes examinadas se muestra en la parte superior y es menor que el entero b) Fracción impropia. El numerador más grande indica que las partes provienen de más de un entero c) Fracción mixta. Un entero combinado con una fracción propia Conversión de fracciones Conversión de fracciones impropias en mixtas Matemáticas 16

17 Para convertir una fracción impropia en fracción mixta, se divide el numerador por el denominador. Conversión de fracciones mixtas en impropias Una fracción mixta puede convertirse en fracción impropia multiplicando el número entero por el denominador y agregando el resultado al numerador..4. Suma y resta de fracciones a) Suma y Resta de fracciones con el mismo denominador Para sumar y restar fracciones que tienen el mismo denominador, sencillamente suma o resta sus numeradores para obtener el resultado. Los denominadores no cambian. d) Suma de fracciones con distinto denominador. Para sumar fracciones con distintos denominadores, debes cambiar una o ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. Para ello hay que hallar un común denominador. e) Resta de fracciones con diferentes denominadores Para restar fracciones con diferentes denominadores, debes hallar un denominador común. Nota: Para fracciones algebraicas con denominadores iguales, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Ejemplos Consideremos los siguientes casos x + 14x = 9 x Matemáticas 17

18 7a 4b x 17a + 19b x = 10a b x Realice los siguientes ejercicios: Ejercicios: 1. 9 x + 5 x 7 x = a 5 a 9 a = 6x x 4 x = 4m + 5m+6 7m+8 = m+5 m+5 m+5 x + 7x+8 = x+15 x+15 7 a a 4 + a 5 a a 4 =.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador). Ejemplo: x+4y + x y 15xy 10x y Calculando el mínimo común denominador 15xy = 5 x y 10x y = 5 x y Mínimo común denominador = 5 x y Como el denominador común es 0x y, las fracciones se deben igualar los denominadores: Matemáticas 18

19 x+4y + x y = x(x+4y) + (x y) = 6x +14xy 9y 15xy 10x y 0x y 0x y 0x y Ejemplo: a b b 6a a b 4a 4b Calculando el mínimo común denominador: a-b = (a-b) 4a 4b = 4(a-b) Mínimo común denominador = 4 (a-b) = 1 (a-b) a b b 6a 4(a b) (b 6a) 6a 7b = = a b 4a 4b 1(a b) 1(a b) 1 (a b) Resolver los siguientes ejercicios: x 5 x + x 6 x + 7 x 5 x. m 4. 7 a 5. m m 6. x+6 8x 5 m+1 + a m 1 5m x+5 1x.6 Multiplicación y División de fracciones Matemáticas 19

20 Las fracciones se pueden multiplicar por otras fracciones. Para multiplicar fracciones por fracciones mixtas o por números enteros, primero debes convertirlas a fracciones impropias. a) Multiplicación de dos fracciones propias Las fracciones propias se pueden multiplicar entre sí. b) Multiplicación de fracciones mixtas Para multiplicar una fracción propia por una mixta primero debes convertir la fracción mixta a fracción impropia. c) Multiplicación de fracciones algebraicas En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible. Ejemplo: x 7y z w = 6xz 7yw x + xy 15x 10y 9x 4y x Factorizando y simplificando Ejercicios x (x + y) (x + y)(x y) 5 (x y) x = 5/ Resolver el producto de las siguientes fracciones algebraicas 1. xy4 a b. (a b) x 5x y 7ab 4 17(a b) 19x. x x x 5 x 6 z w 4. x y 4 x 4 y 5 x 7 y 8 x 15 y Matemáticas 0

21 5. 1x y 1a+14b 15a+10b 0x 5y 6. x y 7x+7y x y x y 4x 4y x d) División de dos fracciones propias Las fracciones propias se pueden dividir por otras haciendo una operación inversa Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Ejemplo: x 5y 9x 0y = 4y x x 4y 5x + 15y x y 6x 1y 15x + 45y = 1 x + y = (x y) x y Resolver los siguientes ejercicios: 1. 5a 14ab 18b 9b. a 5 b 8 c 7 a6 b 8 c 9 a 4 b 6 c 10 a b c 5. 4ab x y 9y 54a bxy4 x 4. a bx ax ab y b y 5. 6x +9xy a 6. a +a a a a a a a+1 a 14x + 1x y Matemáticas 1

22 4. LEYES DE LOS EXPONENTES Los exponentes también se llaman potencias o índices El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.en este ejemplo: 8 = 8 8 = 64 En palabras: 8 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia " o simplemente "8 al cuadrado" Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas: El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima: x 1/n n = x 4.1 Leyes de los exponentes Ley Ejemplo x 1 = x 6 1 = 6 x 0 = = 1 x -1 = 1/x 4-1 = 1/4 x m x n = x m+n x x = x + = x 5 x m /x n = x m-n x 4 /x = x 4- = x (x m ) n = x mn (x ) = x = x 6 (xy) n = x n y n (xy) = x y (x/y) n = x n /y n (x/y) = x / y x -n = 1/x n x - = 1/x x 1/n n = x x / = x Matemáticas

23 Explicaciones de las leyes Las tres primeras leyes (x 1 = x, x 0 = 1 y x -1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: Potencias de , ,04 verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye). a) Principio de multiplicación x m x n = x m+n En x m x n, cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras"n" veces, en total "m+n" veces. Ejemplo: x x = (x x) * (x x x) = x x x x x = x 5 Así que x x = x (+) = x 5 b) Principio de división x m /x n = x m-n Como en el ejemplo anterior, cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x 4- = x 4 /x = (x x x x) / (x x) = x x = x Esta ley también te muestra por qué x 0 =1 x /x = x - = x 0 =1 Matemáticas

24 c) Principio de potencia (x m ) n = x mn Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m n veces. Ejemplo:(x ) 4 = (x x x) 4 = (x x x)(x x x)(x x x)(x x x) = xxxxxxxxxxxx = x 1 Así que (x ) 4 = x *4 = x 1 d) Principio de potencia (xy) n = x n y n Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como se muestra: Ejemplo: (xy) = (x y)(x y)(x y) = x y x y x y = = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x y ( x y ) = (x/y) (x/y) (x/y) = xxx yyy = x y e) Principio de raízx m/n n m = x Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m): Ejemplo:x m/n = x (m * n) 1 = (x m ) 1/n n = m x Qué pasa si x= 0? Exponente positivo (n>0) 0 n = 0 Exponente negativo (n<0) No definido! (Porque dividimos entre 0) Exponente = 0 El caso de 0 0 En el estudio del cálculo diferencial se considera como indeterminado el 0 0 Matemáticas 4

25 Ejercicios: Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos. 1. x 6 x x 4 y 7 1x 5 y -8. (6x 10 ) (x 4 ) 4. 4 * * x 5/ + x 1/ 5.DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. 5.1Resolución de división de polinomios: Si P(x) = x 5 + x x 8 y Q(x) = x x + 1 Para P(x) Q(x) a) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completo dejamoshuecos en los lugares que correspondan. x 5 + x x 8 x x +1 A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. b) Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 x x Matemáticas 5

26 c) Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: x 5 +x -x - 8 x x +1 -x 5 +x 4 x x x 4 x -x - 8 d) Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. x 4 x = x x 5 +x -x - 8 x x +1 -x 5 +x 4 x x + x x 4 x -x - 8 -x 4+ 4x x 5x x x - 8 Procedemos igual que antes. 5x x = 5 x x 5 +x -x - 8 x x +1 -x 5 +x 4 x x + x +5x x 4 x -x - 8 -x 4+ 4x x 5x x x 8-5x + 10x 5x 8x 6x 8 Matemáticas 6

27 Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x x = 8 x 5 +x -x - 8 x x + 1 -x 5 +x 4 x x + x +5x + 8 x 4 x -x - 8 -x 4+ 4x x 5x x x 8-5x + 10x 5x 8x 6x 8-8x + 16x 8 10x x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x + x + 5x + 8 es el cociente. 5. División sintética (Regla de Ruffini). Para explicar los pasos a aplicar en la división sintética vamos a tomar de ejemplo la división: (x 4 x + ) (x ) a) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. b) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. c) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independen diente del divisor. d) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. Matemáticas 7

28 e) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término f) Sumamos los dos coeficientes g) Repetimos el proceso anterior Volvemos a repetir el proceso Matemáticas 8

29 Volvemos a repetir h) El último número obtenido, 56, es el resto. i) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x + x + 6x +18 Ejemplo: (x 5 ) (x ) C(x) = x 4 + x + 4x + 8x + 16 R = 0 Ejercicios división de polinomios Dividir: 1. (x 4 x 11x + 0x 0) (x + x ). (x 6 + 5x 4 + x x) (x x + ). P(x) = x 5 + x x 8 Q(x) = x x (x + x + 70) (x + 4) 5. (x 5 ) (x ) 6. (x 4 x + ) (x ) Matemáticas 9

30 Indica cuáles de estas divisiones son exactas: 1. (x 5x 1) (x ). (x 6 1) (x + 1). (x 4 x + x + x 1) (x 1) 4. (x ) (x + ) 5. ( x 4 x + ) (x ) 6. PRODUCTOS NOTABLES Se conoce como producto notable a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. 6.1 Binomio al cuadrado El cuadrado del primero, mas-menos (±) el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a ± b) = a ± ab + b Ejemplo: Desarrollar: (4a b ) = (4a ) ()(4a )(b ) + (b ) = 16a 4 4a b + 9b 6 Ejercicios Resuelve los siguientes binomios al cuadrado. 1. (a ) 6. (x + y). (5 + x). (10x 9xy 5 ) 4. (a + 8b 4 ) 5. (x m y n ) 7. (x 5 ay ) 8. (a x + b x+1 ) 9. (x a+1 x a ) 10. (8x y + 9m ) Matemáticas 0

31 6. Binomio al cubo El cubo del primer término más-menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda, más- menos el cubo del segundo término (a ± b) = a ± a b + ab ± b Ejemplo:Desarrollar: (x y ) = (x ) + ()(x ) ( y) + ()(x )( y) +( y) = x 6 9x 4 y + 7x y 7y Ejercicios Resuelve los siguientes binomios al cubo. 1. (a + ) 6. (4x + 9y). (x 1). (7x xy ) 4. (8a 5 + 6cb ) 5. (x m y n ) 7. (1x 4 5ay 5 ) 8. (a x + b x+ ) 9. (x a+1 4x a ) 10. (x y + 10m 4 ) 6. Binomio Conjugado El producto de la suma de dos números (a + b) por diferencia (a b). El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término Ejemplo: (a + b)(a b) = (a a) + (a ( b)) + (a b) + (b ( b)) = a ab + ab b = a b Matemáticas 1

32 Ejercicios Resuelve los siguientes binomios conjugado 1. (x + y)(x y). (4a + 5b)(4a 5b) 7. ( m + 4n 5 ) (m 4n 5 ). (8mz + 6n 4 )(8mz 6n 4 ) 4. (x n+1 + 7y n )(x n+1 7y n ) 5. (1y + 10z )(1y 10z ) 6. (5y x + x y )(5y x x y ) 8. ( 4 5 a b) (4 5 a 5 9 b) 9. (9y + ) (9y ) 10. ( 7 8 xyn xn y) ( 7 8 xyn+ 4 7 xn y) 6.4 Binomio con término común El producto notable de dos binomios con un término común se caracteriza por tener un mismo término en ambos binomios. El cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. Ejemplo: (x + a)(x + b) = (x x) + (x b) + (a x) + (a b) = x + xb + ax + ab = x + x(b + a) + ab Ejercicios Resuelve los siguientes binomios con término común 1. (x + )(x + ) 7. ( a 4 b) (a 4 6b). (m 5)(m ). (8z + n 5 )(8z 6n 5 ) 4. (x n + 4)(x n 5) 5. (6x -y)(6x -7y) 6. (y x + 1)(y x 15) 8. ( 7 p + q) ( 7 p 4q) 9. ( 5y ) (5y ) 10. (5xy n + 6) (5xy n + ) Matemáticas

33 6.5 Binomios con términos semejantes El producto de términos semejantes más, el producto de los términos de los medios más, el producto de los extremos más, el producto de los términos no común. Ejemplo: Ejercicios (x + )(x + 4) = (x x) + (x 4) + ( x) + ( 4) = 6x + 1x + 4x + 8 = 6x + 16x + 8 Resuelve los siguientes binomios con término semejante 1. (5x + 4)(x ). (8x 5)(x ). (x y + 5z)(8x y 6w) 7. ( 1 8b) (1 4 b) 8. ( 5 7 k6 + m) ( 1 1 k6 6m) 4. (x n+5 + 9)(x n 4) 5. (x y)(6x 4 y) 9. (z s ) (6zs + ) 10. (15xy 4 + 1z)(9xy 4 + ) 6. (5y x+7 + 1)(y x+7 10) 6.6 Aplicación de productos notables Resuelve los siguientes problemas de productos notables. 1. Un fabricante de pelotas de plástico inflables, las construye de diferentes tamaños y con un espesor en su pared de mm. Si x es el radio inferior en la pelota, encuentra una expresión algebraica en términos de x que proporcione el volumen del plástico utilizado para construir cada pelota. Matemáticas

34 . Un depósito para agua de un inodoro tiene forma de un prisma rectangular y está construido con cerámica de 1 cm de espesor. Si las dimensiones exteriores son de x cm de ancho, su largo es el doble de su ancho y su altura es el triple de su ancho, encontrar una ecuación en términos de x que represente el volumen de cerámica utilizado en la construcción del depósito.. Un tubo de concreto para drenaje de m de largo tiene cm de espesor de pared. Si x es el radio exterior, encuentra una expresión algebraica en términos de x que proporcione el volumen de concreto utilizado para construir dicho tubo. 4. Un vaso cilíndrico de vidrio tiene 4mm de espesor, tanto en el fondo como en sus paredes. Si x representa su radio interior, y tiene 150 mm de profundidad(sin contar la base), encuentre una expresión algebraica en términos de x que represente el volumen de vidrio utilizando la construcción del vaso. 7. FACTORIZACIÓN La factorización es un proceso matemático que se realiza con el objetivo de modificar expresiones algebraicas convirtiéndolas en otras que sean equivalentes. Factorizar significa encontrar factores que puedan originar una cantidad. 7.1 Factor Común La trasformación de una suma algebraica en términos de factores aplicando la propiedad distributiva. Matemáticas 4

35 Se reconoce por que tiene una literal en común en ambos términos a) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. b) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. Ejemplo: ax + bx + cx = x(a + b + c) x(a + b) y(a + b) + z(a + b) = (a + b)(x y + z) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (15a bc 7. + [9x 18a (a b + 9a b c) 4c) 9x ( 5a + b 6c)]. ( 8m + 4m 9 16m 1 ). (4y 6y + 18y) 4. ( 8t 8 + 1t ) 8. (80m 6 n s 5 10m 7 n 4 s + 540m 5 n s 9 ) 9. [a (x y) b (x y) + c(x y)] 10. ( 1 a + 5 b) (4 5 x ) + ( 1 a + 5 b) ( 5 y) 5. ( 7 xz+ y xz+5 y 4 ) 6. [(5x + 4y)(a b) ( 4x + 6y)(a b) (x y)(a b)] 7. Factorización por agrupación Cuando se tienen polinomios cuyos términos no contienen el mismo factor común pero algunas literales se repiten en el. Matemáticas 5

36 Ejemplo: x 4xy + 4x 8y agrupando (x 4xy) + (4x 8y) x(x y) + 4(x y) = (x y)(x + 4) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. ( 5a + ax 10a + 6x). (8ax 10x + 1ay 15y). (1ax 6a + 0bx 10b) 4. (ax + ay bx + cy) 5. (1ab + 4a b + 1). ( + ) 7. ( am + 6bn 9cn + 5dm n) 8. (ax + by cx + dx ey) 9. (m b + m b m) 10. (x xy 4x + 6y) 6. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Identificación de un trinomio cuadrado perfecto a) El primer término y el tercero deben tener raíces cuadradas exactas. b) El segundo término debe ser el doble del producto de la raíz cuadrada del primer y tercer término. La factorización del trinomio cuadrado perfecto una vez identificado consiste en los siguientes pasos: Matemáticas 6

37 a) Se extrae la raíz cuadrada del primer término del trinomio y la del tercero. b) Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo término del trinomio. c) Este binomio será la raíz cuadrada del trinomio, por lo que deberá expresarse multiplicando por si mismo o elevado al cuadrado para que sea igual al trinomio cuadrado perfecto dado. Ejemplo: 4x 1x y + 9y 4x 4 =x 9y = y comprobando (x )(y) = 1x y = (x y) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (16m 6 4m y + 9y 4 ). (50ax 0axy + ay ). ( 4 5 a a b b ) 4. (16a x 6ab b4 x) 5. (4a 4 b 6 + 1a b x y + 9x 6 y ) 6. ( 9 5 y6 8 5 y ) 7. (x x y y4 ) 8. (50x x + 18) 9. (a 4 + 4a b + 4b ) 10. (a 6 b 4 c + 1a b cx y + 1x 4 y ) Matemáticas 7

38 7.4 Factorización por el cubo perfecto de un binomio Se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son positivos y con ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo. Ejemplo: 7a 54a b + 6ab 8b 7a = a 8b = b comprobando (a) ( b) = 54a b (a)( b) = 6ab (a b) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (x + x + x + 1). (8 1x + 6x x ). (a 6 9a 4 + 7a + 7) 4. (8a 1a b + 6ab b ) 5. (64x 6 y 96x 4 y z + 48x yz 8z ) 7. (64x x x 7 15 ) 8. ( 1 8 a + 1 a + 8 a + 7 ) 9. ( 15 8 a6 5a 4 b + 40 a b b9 ) 10. (xy 15 xy 10 z 6 + xy 5 z 1 xz 18 ) 6. (7a 6 b 9 + 7a 4 b 6 + 9a b + 1) Matemáticas 8

39 6.4 Factorización por diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados, es decir, es el resultado de multiplicar un la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos. Ejemplo: 16m 5n 16m = 4m 5n = 5n = (4m + 5n)(4m 5n) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (49x 8 81y 6 ). (8m n ). ( 1 4 ax ay ) 4. (6a 4 b 6 64) 5. (18m 50n ) 6. (64x 8 y 4 1)7. ( 1 4 a4 4 5 b6 ) 8. ( 4 49 x6 1 9 y4 ) 9. (5m 6 (x y) 6n 4 (x y)) 10. (9a 4am 10 ) 6.5 Trinomio de la forma x + bx + c a) El primer término de ambos factores es la raíz cuadrada del primer término del trinomio dado. Matemáticas 9

40 b) Los dos términos que faltan, uno en cada binomio, deben cumplir las condiciones siguientes: a. El producto de ambos debe ser igual al tercer término del trinomio dado, c, y la suma algebraica de ambos debe ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio, b. Ejemplo: x + 5x + 6 x = x (x )(x ) ( )( ) = 6, ( ) + ( ) = 5 Dos números cuyo producto sea +6 y su suma +5 = (x + )(x + ) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (a + 9a + 0). (y y 15). (m 8m + 15) 4. (b + b 0) 5. (n 14n + 45) 6. (y y 4) 7. (x 4 + 7x + 1) 8. (y 11y + 4) 9. (a + 4a 45) 10. (a 14a + 45) Matemáticas 40

41 6.6 Trinomio de la forma ax + bx + c Son productos de un par de binomios con terminos semejantes, es decir que tiene la misma lateral, pero su coeficiente puede ser diferente. Ejemplo: 5x 8x + ( )( 5 ) = 15, ( ) + ( 5 ) = 8 5x + ( 5)x + se efectua el producto 5x x 5x + se asocian términos con coeficientes multiplos de un mismo número (5x 5x) + ( x + ) por factor común 5x(x 1) + ( x + 1) 5x(x 1) (x 1) por factor común = (5x )(x 1) Ejercicios Factoriza las siguientes funciones 1. (4y + 16y + 7). (6x x + ). (x + x 15) 4. (6x + 14x + 4) 5. (x 16x + 16) 6. (y y 6) 7. (6x 8x 10) 8. (x + 6x 4) 9. (y + 11y + 14) 10. (7x + 19x + 10) Matemáticas 41

42 7.8 Aplicación de la integral 1. Las expresiones x + x + yx + 6x + 9 representan el area de un rectangulo. a) Tiene la misma forma?, b) Qué dimensiones tiene cada uno de los cuadrilateros?, c) Cuál seria el área de cada uno de ellos si en ambos casos x= metros?. Presentar la expresión 4x y el área de un rombo o un romboide? 8. RADICALES n Un radical es una expresión de la forma a que representa la raíz enésima de a llamada radicando o subradical, n es el índice del radical y no suele escribirse en caso de ser y el símbolo es el signo radical. n Definición de a. Sean n un entero positivo mayor de 1 y a un número real. n (1) Si a = 0, entonces a n () Si a > 0, entonces a = 0. n () (a) Si a < 0 y n es impar, entonces a b tal que b n = a. es el número positivo b tal que b n = a. es el número real negativo (b) Si a < 0 y n es par, entonces no es un número real. Ejemplos: 1) 9 =, porque = 9 5 ) 1 ) 7 4) 9 = 1, porque (1 )5 = 1 =, porque ( ) = 7 no es un numero real Matemáticas 4

43 8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales LEY EJEMPLO (1) a m n n = a m n () a n n = ( a) m 5 1 = 5 n = ( a) n = a 7 = ( 5) ; x = x = ( 7) = 7 = ( x) n () ab n n = a b ()(16) = 16 = (4) = 4 n (4) a b n = a n b 7 = = 7 m n (5) a mn = a 64 6 = 64 6 = 6 = PRECAUCION Si a 0 y b 0 Ejemplo (1) a + b a + b + 4 = 5 = 5 ( + 4 = 7) () a + b a + b = 1 ( =5) 9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES 9.1 Simplificación de Radicales El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales, como son:simplificación del radicando, Introducir un factor al radical, Racionalización del denominador o numerador, Expresar un radical como otro de orden (índice) menor. Simplificación del radical Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se escriben fuera del radical y los factores sobrantes forman el nuevo radicando. Ejemplos. Simplificación del radical (a) 0 (b) 16 x y z (c) a b 6a b Matemáticas 4

44 Solución (a) = 4 5 = (b) 16 x y z ( x y z )( y z) ( xy z) ( y z) ( xy z) y z xy z y z (c) 6 ()() 5 5 a b a b a b a b 6 4 ( a b )( a) ( a b ) ( a) ( a b ) a a b a Ejemplo. Simplificación de potencias racionales x x (a) 7 4 (b) rs (c) 1 1 y y Solución: 9 (a) (b) r s r s r s 5 (c) x x 4x x 4 x 1x 1x y y y y y y y Ejemplo. Combinación de radicales n m Cambia una expresión que contenga un radical de la forma a : (a) a a (b) 4 a a Solución ( ) ( ) (a) a a a a a a a Matemáticas 44

45 (b) a a ( 1 5 4) ( ) 1 a a a a a a Simplifica los siguientes radicales: (800)(70) Reduce el orden de los siguientes radicales y simplifícalos: x y x y x y x y 9. Adición y Sustracción de Radicales Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente. Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos. En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante: Matemáticas 45

46 a) + 5 = 8 b) = c) = 5 d) 50x 5 + x x = 5x x + 8x x = 1x x Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados: x y y y y x xy x x 9. Multiplicación de Radicales Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales: n n n a b = ab Cuando se tienen radicales de distinto índice: En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito anteriormente. La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común; Matemáticas 46

47 posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del subradical. Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios. Ejemplo: a) 6 = (6) = b) ( x 6 = x c) ( 6 + ) ( 6 ) = 6 = Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados: División de Radicales Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales. Cuando se tienen radicales de diferente índice: Se expresan los radicales en forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los exponentes. Y se lleva a cabo la racionalización. Matemáticas 47

48 Ejemplo: (a) 4 a a Solución: (a) a a ( 1 5 4) ( ) 1 a a a a a a Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados: ab 5 75ab 6. 7ab ab ay 9 4ay RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador. Casos: Caso 1. Cuando es una fracción cuyo denominador es un radical monomio En este caso, se multiplica el numerador y el denominador por el radical que se encuentra en el denominador (y que de una raíz exacta) y se simplifica la expresión que resulta. Ejemplo. Matemáticas 48

49 1 1 (a) (b) (c) (d) 5 x 5 x y Solución (a) (b) 1 1 x x x x x x x x (c) 6 (d) 5 x x x y xy xy y y y y y y Caso. Cuando la fracción tiene como denominador un binomio que contiene radicales de índice.en este caso, para racionalizarlo se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión de dicho denominador. Ejemplo: a) 1 = ( ) (5 ) = = Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados: Matemáticas 49

50 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. a1x + b1y= c1 ax + by= c La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. x 4y = -6 x + 4y =16 * 4* = = -6-6 = - 6 * + 4 * = = = Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma ose les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. Matemáticas 50

51 x 4y = -6 x 4y + = x + 4y =16 x + 4y 5y = 16-5y x =, y =. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. x 4y = -6 *(x + 4y) = 16 * x + 4y =16 (x + 4y) =16 x =, y =. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. x 4y = -6 x 4y = -6 x + 4y =16 x + 4y + x 4y = x =, y = 4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. Matemáticas 51

52 x 4y = -6 x 4y = -6 x 4y = -6 x + 4y =16 x 4y = 16 x + y = 8 x 4y + x + y = x y = x + y = 8 x + y = 8 x=, y =. 5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente. x 4y = -6 x + 4y =16 x + 4y =16 x 4y = -6 x 4y = -6-4y + y = -6 x + 4y =16 4y + x = Método de sustitución Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Matemáticas 5

53 x 4y = -6 x + 4y =16 6. Despejamosuna de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. x + 4y =16 x= 8 y 7. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: (8 y) 4y = Resolvemos la ecuación obtenida: 4-6y 4y = -6-10y= 0 y= 9..Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. x= 8 * = 8 6 x= 10. Solución x= y= 11. Método de igualación Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. Matemáticas 5

54 . Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. x 4y = -6 x + 4y =16 6. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: x = y x = 16-4y x = 6+4y x= 16 4y 7. Igualamos ambas expresiones: 6+4y = 6+4y 8. Resolvemosla ecuación: (-6 + 4y) = (16-4y) y= 48 1y 8y + 1y = y=60 y= 9. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresionesen las que tenemos despejada la x: x= 6+4 = 6+1 = Matemáticas 54

55 10. Solución:x= y= 11.4 Método de reducción Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. x 4y = -6 x + 4y =16 Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso. x 4y = -6 (x 4y = -6) 6x 8y = -1 x + 4y =16 - (x + 4y =16) -6x 1y = Sumamos y resolvemos la ecuación: 6x 8y = -1-6x 1y = -48-0y = - 60 y= 7. Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Matemáticas 55

56 x + 4() =16 x + 1 = 16 x = 4 x= 8. Solución: x =, y = Ejercicios de sistemas de ecuaciones Resolver por cualquier método los siguientes sistemas: 1. 5x + y = 1 x y = 15. x y = 8 x + y =6. X + y = 9 x y = 0 4. x+ y = 7 x+y=11 5. x 4y = -6 x + 4y =16.- Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. Cuántos cerdos y pavos hay? 4.- Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". Cuánto dinero tenía cada uno? Matemáticas 56

57 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática de una variable es cualquier expresión que pueda ser escrita en la siguiente forma: ax + bx + c = 0 a 0 siendo x una variable y a, b, y c son constantes. Esta forma se conoce como forma general de la ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática siempre debe ordenarse en forma descendente (de mayor a menor exponente) con respecto a la incógnita. 1.1 Solución por factorización Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales que ax + bx + c se puede escribir como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros. El método de solución por factorización se basa en la propiedad del cero entre los números reales. Se obtienen factores lineales que se igualan a cero para obtener así los dos valores de la incógnita. Propiedad del cero Si m y n son números reales, entonces mn = 0 si y sólo si m = 0 ó n = 0 (o ambos). Ejemplo: Encuentre las raíces resolviendo por factorización la siguiente expresión: a) x + 7x + 1 = 0 (x + )(x + 4) = 0 (x + ) = 0 (x + 4) = 0 x 1 = x = 4 Para comprobar se sustituyen los valores de la variable en la ecuación inicial: x + 7x + 1 = 0 Matemáticas 57

58 Sustituyendo el valor de las raíces: ( ) + 7( ) + 1 = 0( 4) + 7( 4) + 1 = = = = = 0 0 = 0 0 = 0 b) x + 7x 0 = 0 x + 1x 5x 0 = 0 x (x + 4) 5(x + 4) = 0 (x + 4)(x 5) = 0 (x + 4) = 0 (x 5) = 0 x 1 = 4 x = 5 Ejercicios Resolver los siguientes ejercicios por factorización: 6. x x 1 = x + 5x 4 = 0 7. x 8x + 15 = 0 7. x + 15x = 8 8. x + 1x + 5 = x 19x 7 = 0 9. x + 15x + 56 = 0 9. x 11x + 1 = x + 9x + 0 = x = 47x Solución mediante raíz cuadrada Es para ecuaciones cuadráticas a las que les falta el término de primer grado, es decir de la forma: ax + c = 0 donde a 0. El método de solución hace uso directo de la definición de raíz cuadrada de un número. Matemáticas 58

59 Ejemplo: Resolver por el método de la raíz cuadrada: x 7 = 0 x = 7 x = ± 9 x 1 = x = Ejercicios Resuelve las siguientes expresiones usando el método de la raíz cuadrada: 1. x + 8 = 0. 6 x = 0. 4x + 5 = 0 4. (x ) = 5 5. (x + 1 ) = 9 1. Solución completando el cuadrado Se basa en el proceso de transformar la ecuación general ax + bx + c = 0 en la forma (x + A) = B donde a y b son constantes. El procedimiento para completar el cuadrado en la forma cuadrática x + bx consiste en sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se suma (b/). Entonces: x + bx + ( b ) = (x + b ) Ejemplo: Completar el cuadrado y encontrar la solución de las siguientes expresiones: a) x + 6x = 0 x + 6x = x + 6x + 9 = + 9 Matemáticas 59

60 (x + ) = 11 x + = ± 11 x = ± 11 x 1 = + 11 x 1 = 11 b) x 4x + 1 = 0 se divide entre, para que el coeficiente de x sea 1 x x + 1 = 0 x x = 1 Se completa el cuadrado x x + 1 = (x 1) = 1 x = 1 ± 1 x 1 = x = 1 1 Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios completando el cuadrado. 1. x + 8x = 0. x 10x = 0. x 1x + 1 = 0 4. x + 1 = 4x 5. 7x + 6x + 4 = 0 Matemáticas 60

61 1.4 Solución mediante la fórmula cuadrática (general) Si no es posible buscar la solución con los otros métodos, se utiliza la ecuación que se llama fórmula cuadrática. Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales que ax + bx + c = 0 y a 0, entonces: x = b± b 4ac a a 0 Al término b 4ac de la ecuación se le llama discriminante y da información útil sobre las raíces obtenidas: Discriminante Raíces de ax + bx + c = 0 Positivo Cero Negativo Dos raíces reales distintas Una raíz real Dos raíces complejas no reales, conjugadas entre sí Ejemplo: Encontrar la solución de la siguiente ecuación: 1x + 7x 10 = 0 Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general tenemos: a = 1, b = 7 y c = - 10 x = 7 ± (7) 4(1)( 10) (1) x = 7 ± (1) x = x 1 = 7+ 4 x = ± 4 = 16 4 = 0 4 = = 5 4 Matemáticas 61

62 Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios mediante la fórmula cuadrática: 1. x 10x = 0 6. x = 8x 15. x 4x + 8 = x + 4x 0 = 0. x + x 1 = 0 8. x + x 4 = x = 4x 9. x = 8x (x ) = x 4 9x = 0 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas: 1. La suma de dos números es y su producto es 1. Encontrar los dos números. [Sugerencia: si un número es x, el otro es x].. En la parte central de un terreno rectangular de 8 metros de ancho y 16 metros de largo, se construirá una alberca que cubrirá un área de 48 metros cuadrados de modo que alrededor de ésta haya una banqueta de ancho constante. cuánto medirá el ancho de la banqueta?. Encontrar dos enteros positivos consecutivos tales que su producto sea Se puede llenar un tanque en 4 horas, si se usan dos tuberías. Cuántas horas necesita cada tubo para llenar el tanque si el tubo menor necesita horas más que el mayor? Calcular las respuestas con una exactitud de dos cifras decimales. 5. Si la base y la altura de un rectángulo que mide 4 x pulgadas aumentan la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo será el doble del antiguo. Cuáles son las dimensiones, con dos cifras decimales, del nuevo rectángulo? Matemáticas 6

63 1. PROPIEDADES DE LOGARITMOS Los logaritmos comunes (también llamados de Briggs) son los de base 10. Los logaritmos naturales (llamados también neperianos) son los de base e. Se denotan de la siguiente manera: log x = log10x y ln x = logex. Las propiedades de los logaritmos permiten convertir problemas de multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones. Además permiten resolver ecuaciones exponenciales. Si b, M y N son números reales positivos, b ±1 y p es un número real, entonces: 1.- logbb u = u.- logb MN = logbm + logbn.- logb = M N = logbm - logbn 4.- logbm p = p logb M 5.- logb 1 = 0 Todas estas propiedades aplican de la misma manera al logaritmo natural. Ejemplos: Aplicar las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones: 1. log x = log + log x. log x 7 = 7 log x 4. log mn pq 5. log (mn). log x = log x log 5 5 = log mn log pq = log m + log n (log p log q) = log m + log n log p log q = log mn = (log m + log n) Matemáticas 6

64 6. log x 8 = log y 1 x8 log y 1 5 = 8log x log y Ejercicios : Aplica las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones. 1. log 7x 5. ln ( x 1 ) y. log x y 6. log (x y)1 5. ln wxy 7. ln ( x y z 4 ) 4. log u 8. log ( N q r ) 14. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son las ecuaciones en las que intervienen funciones logarítmicas, tales como log (x + ) + log x = 1. Las propiedades de los logaritmos tienen un papel muy importante en la solución. Ejemplo: Resuelva: a) (ln x) = ln x (ln x) = ln x (ln x) ln x = 0 Factorizando: (ln x)(ln x ) = 0 Igualando a cero los factores: ln x = 0 y (ln x) = 0 Matemáticas 64