Taller de Matemáticas I

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1 Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México

2 Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4. Conversiones entre distints representciones.. Jerrquizción de operciones numérics.. Plntemiento de un expresión lgeric... Procedimiento pr el plntemiento de un ecución. Uso de los números reles y ls vriles lgerics.. El conjunto de los números reles y sus suconjuntos.. Números simétricos, vlor soluto y relciones de orden... Simétrico de un número rel... Vlor soluto de un número rel... Relciones de orden.. Comprción y relción entre números reles... Rzones... Tss... Proporciones..4. Vriciones. Sucesiones y sums numérics. Sucesiones.. Sucesiones y series ritmétics... Sucesiones ritmétics... Series ritmétics... Representción gráfic de un sucesión ritmétic.. Sucesiones y series geométrics... Sucesiones geométrics... Series geométrics... Representción gráfic de un sucesión geométric 4. Conceptos lgericos importntes 4.. Términos semejntes 4.. Potencis 4.. Leyes de los exponentes. Operciones con monomios y polinomios.. Sum de polinomios.. Rest de polinomios.. Multiplicción de polinomios Universidd CNCI de México

3 ... Monomio por monomio... Monomio por polinomio... Polinomio por polinomio 6. Productos Notles 6.. Binomios conjugdos 6.. Binomios con un término común 6.. Binomios l cudrdo 7. Fctorizción 7.. Fctorizción por fctor común 7... Un monomio como fctor común 7... Un polinomio como fctor común 7... Fctor común por grupción 7.. Fctorizción de un diferenci de cudrdos 7.. Fctorizción de un trinomio cudrdo perfecto Tller de Mtemátics I Semn y 8. Fctorizción de trinomios de segundo grdo 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x +x+c 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x +x+c con 0, 9. Fctorizción comind 0. Simplificción de expresiones lgerics rcionles. División de polinomios Universidd CNCI de México

4 Tller de Mtemátics I Semn y. L iguldd mtemátic.. Identiddes y ecuciones.. Propieddes de l iguldd.. Propieddes de los números reles. Ecución de primer grdo con un incógnit.. Solución de un ecución linel medinte el método forml.. Solución de un ecución linel medinte el método de trnsposición de términos... Solución de un ecución linel medinte el método gráfico... Ecución de primer grdo con dos incógnits... Introducción ls funciones... Plno crtesino..4. L función linel y su relción con l ecución linel... Grficción medinte tulción..6. Grficción prtir de l pendiente y l ordend l origen..7. Grficción por medio de ls intersecciones con los ejes. Sistem de ecuciones lineles con dos incógnits.. Clsificción de los sistems de ecuciones.. Métodos de solución de sistems... Método de sum y rest... Método de sustitución... Método de igulción..4. Método gráfico.. Método por determinntes 4. Sistem de ecuciones lineles con tres incógnits 4.. Métodos de solución de sistems 4... Método gráfico 4... Método por determinntes 4... Método de sustitución. Ecuciones cudrátics.. Métodos de solución de ecuciones cudrátics... Método de solución por despeje de ecuciones cudrátics purs... Método de solución por fctorizción de ecuciones cudrátics mixts... Método de solución completndo el trinomio cudrdo perfecto..4. Método de solución por fórmul generl 6. Funciones cudrátics 4 Universidd CNCI de México

5 6.. Crcterístics de un ecución cudrátic 6... Elementos de l práol 6... Sentido de l práol 6... Tipos de soluciones prtir de sus coeficientes 6.. Gráfic de un ecución cudrátic 7. Form estándr de un función cudrátic 7.. Desplzmiento verticl 7.. Desplzmiento horizontl Tller de Mtemátics I Semn y Universidd CNCI de México

6 Tller de Mtemátics I I Semn y Semn Sesión Los tems revisr el dí de hoy son:. Los números positivos.. Representción de números positivos.... Frcciones.... Decimles.... Porcentjes...4. Conversiones entree distints representciones.. Jerrquizción de operciones numérics.. Plntemiento de un expresión lgeric... Procedimiento pr el plntemiento de un ecución. Los números positivos.. Representción de números positivos Los números surgieron de l necesidd de representr cntiddes, es decir, relcionr un símolo con un mgnitud. Los primeros números credos tenínn l intención de contr, estleciendo un orden pr indicr cuál er myor y cuál menor. El es el menor de todos, el es el que le sigue, etc., pero tmién el 4 es myor que el, el myor que el y sí sucesivmente. Así fue comoo surgió l rect numéric y precieron operciones como l sum y multiplicción, con l restricción de que el resultdo de ells dee ser un número de este mismo conjunto. Por ejemplo: Cómo representrís l usenci de cntidd? L respuest es nexr el número cero y colocrlo en l rect como el primer número o el menor de todos: A prtir de ese momento se puede contr desdee el cero hst donde se desee, no hy límite; es decir, el conjuntoo de números es infinito y se denominn números positivos. A su vez el conjunto de los números positivos se puede clsificr como se muestr en l siguiente imgen: 6 Universidd CNCI de México

7 Tller de Mtemátics I Semn y Los números positivos pueden representrse de tres mners: 0 7 Como frcciones, por ejemplo:,, 8 6 Como decimles, por ejemplo: 9.8, 6., Como porcentjes, por ejemplo: %, 46.8%, 77%... Frcciones Ls frcciones constn de dos números: el superior llmdo numerdor y el inferior llmdo denomindor. numerdor, con 0 denomindor Un frcción descrie un prte de un todo. Por ejemplo, si un pstel se divide en doce prtes igules y ocho de ls rends se reprten entre los sistentes de un fiest, l frcción que represent lo nterior es: Número de rends reprtids entre los sistentes Número totl de rends del pstel 8 un prte un todo Al cociente o división de dos números enteros se le llm número rcionl o frccionrio y ese conjunto de números se represent por Q. Se dee tener cuiddo de que el denomindor no se cero. 6 7 Algunos ejemplos son: Se oserv que ls primers dos frcciones en relidd son dos números enteros divididos entre l unidd; sí, un número nturl es l mismo tiempo entero y por tnto, rcionl.... Decimles Los números positivos pueden tener un representción deciml de tres tipos: Deciml excto: l prte deciml tiene un número finito de cifrs. Por ejemplo: 0. 4 Deciml periódico puro: l prte deciml complet se repite indefinidmente, l cul puede ser representd con un líne encim de los dígitos que representn l periodo. Ejemplo: Deciml periódico mixto: l principio de l prte deciml hy un prte que no se repite y otr que sí se repite. Por ejemplo:... Porcentjes Es un mner de expresr un número positivo como un prte de 00 y se represent por el símolo %. Se puede pensr como el numerdor de un frcción que tiene un denomindor de 00: numerdor 6 6% L..L. 7 Universidd CNCI de México

8 Tller de Mtemátics I Semn y..4. Conversiones entre distints representciones Conversión de frcción : ) Deciml. Se divide el numerdor entre el denomindor. Por ejemplo: ) Porcentje. Se convierte deciml y se multiplic por 00%. Por ejemplo: Conversión de deciml : ) Frcción % % 4 Conversión de porcentje : ) Frcción. Se quit el símolo de porcentje y se coloc l cntidd en el numerdor. Siempre se utiliz como denomindor el número 00. Se dee simplificr l frcción en cso de ser posile: % 00 0 ) Deciml. Se quit el símolo de porcentje y se recorre el punto deciml dos cifrs hci l izquierd. Se greg el cero como prte enter. L rzón por l cul se recorre el punto dos cifrs l izquierd es porque est operción es equivlente dividir el número entre 00, y ests dos cifrs representn los dos ceros que contiene el número 00. Por ejemplo:. 6 % 0 6 Cso Descripción Ejemplo Número con prte enter igul cero y prte deciml periódic pur Número con prte enter distint cero y prte deciml periódic pur Número con prte enter distinto de cero y prte deciml periódic mixt El numerdor será igul l prte periódic y el denomindor será igul tntos nueves como dígitos conteng el periodo Será igul l prte enter más un rcionl que tendrá como numerdor l prte periódic y como denomindor tntos nueves como dígitos conteng el periodo Será igul l prte enter más un rcionl que tendrá como numerdor l prte no periódic seguid de l prte periódic menos l prte no periódic, y como denomindor tntos nueves como dígitos conteng el periodo y tntos ceros como dígitos conteng l prte no periódic Universidd CNCI de México

9 Tller de Mtemátics I Semn y ) Porcentje. Multiplicr por 00% o recorrer el punto deciml de l cntidd dos lugres hci l derech y gregr el símolo %. Por ejemplo: % 6.4% % Un resumen de ls distints representciones de los números positivos descritos en los cutro ejemplos nteriores se muestr en l tl siguiente: Nturl (N) Deciml Deciml Periódico Frcción Porcentje % No es nturl %. 99 No es nturl % No es nturl 0.9 No plic.% Práctic de ejercicios Práctic Complement el siguiente cudro con ls diferentes mners de representción de los números positivos: Nturl Deciml Deciml Periódico. Frcción Porcentje % Universidd CNCI de México

10 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic Relcion ls columns que continución se muestrn, de mner que coloques l letr del inciso en el préntesis que indic el número equivlente. Práctic Resuelve el siguiente prolem y contest lo que se te pide. Un ncino millonrio dejó un herenci pr reprtir entre su único hijo y el silo donde psó sus últimos dís. L reprtición fue l siguiente: /4 pr su hijo y el resto pr el silo.. Si el hijo reciió 6 millones. Cuánto dinero reciió el silo?. Represent l cntidd nterior como: ) porcentje. ) frcción.. Cuánto dinero dejó de herenci el ncino?.. Jerrquizción de operciones numérics En mtemátics como cienci forml, existe un jerrquí u orden en ls operciones pr proceder resolverls, sí como tmién existen leyes que rigen el despeje de ls expresiones, y los elementos de un conjunto deen escriirse en un form específic pr tener sentido mtemático. En ls operciones numérics se sigue un orden cundo en un expresión precen vrios operdores: º Se deen efectur quells que indiquen potencición, es decir, n potencis ( x, x, x ) y ríces ( 9,, 44). 0 Universidd CNCI de México

11 Tller de Mtemátics I I Semn y ( ) º Se relizn ls multiplicciones ( 8, 9, 7* ) y ls divisiones ( 4, 60 / 0, ). º Por último se relizn ls diciones o sums ( + 8, + 9 ) y ls sustrcciones o rests ( 4, 9 ). En ocsiones se deen expresr operciones en l que el orden que se h estlecido se rompe; por ejemplo, se dese relizr primero un dición pr después multiplicr su resultdo por un número. Pr expresr este tipo de operciones se utilizn los símolos de grupción: préntesis ( ), corchetes [ ] y llves { }. Ejemplo: 4 + [ 8 { ( 0 )] + +} Utilizndo l clculdor se puede llegr l solución de l expresión del ejemplo nterior. Antes que nd dees fmilirizrte con tu clculdor. Identific ls tecls que representn los préntesis, sí como ls tecls pr ls operciones ásics como sum, rest, multiplicción y división, incluyendo l ríz y l potenci. Si utilizs un clculdor científic Csio, puedes escriir l ecución de l siguiente mner: El resultdo en el disply o pntll de l clculdor dee ser 46. Universidd CNCI de México

12 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 4 Jvier reconoce que su slud está en peligro deido que tiene sorepeso de 0 Kg con respecto l recomendción de su médico, por lo que h decidido utilizr su cmindor que registr los kilómetros que ejercit. El lunes recorre Km; mrtes y miércoles Km; el jueves 4 Km, 4 viernes y sádo Km y el domingo de Km. Determin l cntidd de kilómetros que recorrió Jvier en l semn... Plntemiento de un expresión lgeric Pr resolver prolems o modelr situciones por medio del lenguje del álger, lo primero que dees hcer es trducir del lenguje nturl l lenguje lgerico. Ls operciones ásics en mtemátics se crcterizn por símolos como +,,, L siguiente tl muestr lguns operciones expresds en lenguje común y su representción en lenguje lgerico. En l tl nterior se utilizron ls letrs minúsculs pr representr dos números culesquier. Ess letrs, sí como culquier otr letr minúscul que se utilice pr representr lgún número, se conocen como literles y en mtemátics se utilizn comúnmente pr expresr vriles, ls cules dependiendo de l situción que se dese modelr, pueden representr: Universidd CNCI de México " "y " "

13 Tller de Mtemátics I Semn y ) un vlor específico (cundo se utilizn en ecuciones) y se les denominn incógnits. ) un rngo específico de vlores delimitdo por un condición (cundo se uicn en un relción funcionl o función) y se les denominn vriles. c) culquier vlor y se les denominn números generles. Práctic : Trduce el siguiente enuncido l lenguje lgerico. Encuentr un número que sumdo 0 es. Plnte l expresión lgeric del siguiente enuncido: 0 menos el dole del número es tres veces el dole del número menos. Represent los siguientes enuncidos en lenguje lgerico. Universidd CNCI de México

14 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión Los tems revisr el dí de hoy son:. Uso de los números reles y ls vriles lgerics.. El conjunto de los números reles y sus suconjuntos.. Números simétricos, vlor soluto y relciones de orden... Simétrico de un número rel... Vlor soluto de un número rel... Relciones de orden.. Comprción y relción entre números reles... Rzones... Tss... Proporciones..4. Vriciones. Uso de los números reles y ls vriles lgerics.. El conjunto de los números reles y sus suconjuntos En l sesión nterior conociste los números positivos, entre ellos los enteros, los nturles y los rcionles. Un representción que se tiene cerc de esos números es l rect numéric teniendo como referenci l cero u origen. El cero represent l usenci totl de cntidd. Los enteros positivos (Z + ) se uicn l derech del cero y representn cntiddes complets, es decir, cntiddes que son enters que se utilizn pr contr. Los enteros negtivos (Z ) se uicn l izquierd del cero y con signo negtivo. El conjunto de los números reles está formdo por vrios suconjuntos:. Los números nturles: N{,,, 4,, 6, 7, 8, 9,, }. Los números enteros positivos: Z + {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9,, }. Los números enteros negtivos: Z {,, 9, 8, 7, 6,, 4,,, } 4. El conjunto que contiene l cero: {0} Algunos símolos importntes pr utilizr conjuntos son:. El símolo que signific unión de conjuntos. Se deen tomr en cuent todos los elementos de los conjuntos unir.. El símolo indic que un conjunto es un suconjunto de un conjunto myor. Su contrprte es el símolo indic que no es suconjunto de otro. 4 Universidd CNCI de México

15 Tller de Mtemátics I Semn y. El de pertenenci que indic si un elemento está dentro de un conjunto. El que nieg que un elemento pertenezc un conjunto es. De cuerdo lo nterior, los números enteros se formn de los números enteros negtivos y positivos y se representn por Z: Z + { N { 0 } } Z Z Z + Otro conjunto que pertenece los reles son los números rcionles, que son los que se pueden otener prtir de un frcción y se representn por l letr Q. Así, en notción de conjuntos se tiene que: Z Q Existen más números que no se representn como nturles, enteros o rcionles, ejemplos son el número (pi), o, y. A ests cntiddes se les denomin números irrcionles y se represent por Ι prte deciml de un número rcionl crece de un periodo repetitivo. En notción de conjuntos se tiene que: R Ι Q. L Ejemplo: identific qué conjunto pertenecen los siguientes números. ) El es un número: entero negtivo y rel. ) El es un número: rcionl y por lo tnto rel. 4 π c) El es un número: irrcionl y rel. d) El 90 es un número: nturl y por lo tnto rel... Números simétricos, vlor soluto y relciones de orden Existen lguns relciones entre los números reles que son importntes: el simétrico de un rel, el vlor soluto y ls relciones de orden.... Simétrico de un número rel A los reles negtivos que están l mism distnci del cero que los positivos, se les llmn números simétricos o números opuestos. Ejemplo: El es el simétrico de : Universidd CNCI de México

16 ... Vlor soluto de un número rel Tller de Mtemátics I Semn y El vlor soluto de un número represent l distnci de éste l origen. El símolo que lo represent son dos rrs verticles entre ls cules se encierr el número. Por ejemplo: Se lee el vlor soluto de es igul. En generl, se puede decir que el vlor soluto de un número es el vlor numérico sin tener en cuent si el signo es positivo o negtivo. En un rect numéric es l distnci entre el número y el cero.... Relciones de orden Antecesor y Sucesor de un número entero El conjunto de los números enteros tiene un crcterístic especil: cd uno de sus elementos tiene ntecesor y sucesor. El ntecesor de un número es el que se uic inmeditmente l izquierd de él; el sucesor es el que está inmeditmente su derech. Por ejemplo: Relciones Myor que y Menor que Los números reles son un conjunto ordendo, es decir, hy números reles myores o menores que otros. Un número rel es menor que otro (<), si está colocdo l izquierd de él en l rect numéric; y es myor (>), cundo está su derech. Ejemplo. Oserv l siguiente rect numéric: En este cso, el número 7 es el menor de todos porque está más l izquierd, mientrs que el 6 es el myor de todos porque es el que está más l derech. Así pues: 7 < < < 6 6 Universidd CNCI de México

17 Práctic 6 Tller de Mtemátics I Semn y Reliz lo que se te pide.. Identific qué conjunto pertenecen los siguientes números colocndo l letr que le correspond (N: nturles, Z + : enteros positivos, Z : enteros negtivos, Q : rcionles, I: irrcionles, R: reles). Si un número pertenece más de un conjunto, indíclos. ) El es ) El es. Indic el vlor soluto de ls siguientes cntiddes: ) 8 ). Encuentr el opuesto o simétrico, el ntecesor y el sucesor de los siguientes números: ) 6 ) 8 4. Estlece l relción correct entre los siguientes pres de números utilizndo los símolos > y <. ) 8 4 ) Utiliz los símolos y pr indicr lo que se pide. ) 6 Z + ).4 Q Práctic 7. Orden de menor myor los siguientes números: ), 8,, 8, 4, 8,, 8 ) { } { 8,,, 0, 0,,, }. Escrie el opuesto, el vlor soluto, el ntecesor y el sucesor de cd uno de los siguientes números: ) 4 ) 8 c) 0 d) 7 Universidd CNCI de México

18 Tller de Mtemátics I Semn y.. Comprción y relción entre números reles... Rzones Es el cociente de dos números o dos cntiddes que tienen ls misms uniddes. Con ells se pueden comprr cntiddes numérics. Existen tres forms de escriir un rzón: ) Como frcción, donde el numerdor se llm ntecedente y el denomindor consecuente. ) Como dos números seprdos por l letr. ) Como dos números seprdos por dos puntos. Ejemplo: represent ls cntiddes de ls tres forms que existen pr escriir un frcción.... Tss Es un cociente de dos cntiddes con distints uniddes. Se escrie como frcción. Ejemplo: en l etiquet de un lt de pintur se lee Coertur: Un curto cure 00 pies cudrdos. Escrie lo nterior como un ts. curto 00 pies cudrdos Cundo escris un ts siempre incluye ls uniddes de ls mediciones.... Proporciones Es un firmción de l iguldd de dos rzones o tss y se expres mtemáticmente como: donde y d deen ser distintos de cero. A los términos y d se les llm extremos y los términos y c se les nomr medios. Ejemplo: un sstre compró metros de tel y pgó por ell $. Si necesit 8 metros de l mism tel, cuánto deerá pgr? Aplicndo el concepto de proporciones: m 8 m $ x A est expresión generlmente se le llm regl de tres simple y pr resolverl se emple un procedimiento sencillo, y que se multiplicn los dtos que se conocen como medios y se divide entre el dto extremo que se conoce: 8 x 40 8 Universidd CNCI de México

19 Tller de Mtemátics I Semn y Relizndo ls operciones, el sstre deerá pgr $40 por los 8 metros de tel que le fltn. Propiedd fundmentl de ls proporciones. En culquier proporción el producto de los extremos es igul l producto de los medios. Con est propiedd se puede compror si dos rzones dds son un proporción o no. A esto se le llm productos cruzdos: Vrición direct. Cundo dos vriles x, y están relcionds de tl mner que l y rzón no cmi; es decir, es igul un constnte, entonces se dice que y vrí x directmente con x. Lo nterior se expres mtemáticmente como: y y vrí directmente con x, signific que constnte k x donde k se llm constnte de proporcionlidd y dee ser diferente de cero. Dicho lo nterior, si despejs y, entonces y kx tmién represent un vrición direct. En un vrición direct si un de ls mgnitudes ument, l otr tmién. Ejemplo: José quiere reprtir de form directmente proporcionl l edd de sus hijos, l cntidd de $,000. Sus hijos Crlos, Jun y Mrio tienen, y 0 ños respectivmente. Primero, dees expresr ls vriciones en form de proporción: x y z ; x + y + z, Utilizndo un regl de tres: x + y + z cntidd edd x + y + z x A Mrio le corresponde: 7 0 A Jun le toc: x + y + z y 7 x + y + z z A Crlos le corresponde: 7 000(0) x () y () z Universidd CNCI de México

20 Tller de Mtemátics I I Semn y Vrición invers. Tiene como crcterístic principl que si un de ls mgnitudes relcionds ument, l otr disminuye; y si disminuye, l otr ument. Mtemáticmente se dice que ls dos cntiddes son inversmente proporcionles o tienen un vrición invers si: donde k xy. Si un mgnitud vrí invers y proporcion lmente con otr, entonces l primer es igul l producto de un constnte por el recíproco de l segund. Vrición compuest. Un prolem es de proporcionliddd compuest si intervienen tres o más mgnitudes. Al intervenir más de dos mgnitudes ls relciones proporcionles dos dos de ls mgnitudes pueden ser distints, es decir, si tenemos ls mgnitudes A, B, y C, l relción proporcionl entre A y B puede ser direct o invers y entre B y C puede ocurrir lo mismo, dicho de otr mner, se present un cominción de proporciones directs e inverss. Cominción de dos proporciones directs Ejemplo: cutro costurerss producen en 0 dís 0 vestidos. Cuántos vestidos serán producidos por 0 costurers en 6 dís? Colocndo los dtos en un tl: Representdo lo nterior como proporción: Despejndo x de ls mgnitudes A y B: 0(0) x 4 x 800 L producción de 0 costurers en 0 dís es de 800 vestidos. Sustituyendo x 800 en ls mgnitudes B y C: x 6 800( 6) x Despejndo nuevmente x: x 80 0 L producción es de,80 piezs en 6 dís por 0 costurers. 0 Universidd CNCI de México

21 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 8: Resuelve mtemáticmente y contest lo que se te pide. ) Un vehículo recorre 0 kilómetros con 0 litros de gsolin. Cuántos kilómetros recorre con un litro de gsolin? ) Si en l construcción de un clle se empleron 0 oreros y se terminó en 0 dís, en cuántos dís huiern relizdo 40 oreros l mism construcción? ) Por un videojuego, un cómic y un heldo, Andrés h pgdo 0 pesos. El videojuego es cinco veces más cro que el cómic, y éste cuest el dole que el heldo. Cuál es el precio de cd rtículo? Resuelve el siguiente prolem lgerico. 4) L sum de ls eddes de cutro miemros de un fmili es 46 ños. El pdre es 4 ños myor que l mdre, que tuvo los dos hijos gemelos los ños. Cuál es l edd de cd uno? Universidd CNCI de México

22 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión Los tems revisr el dí de hoy son:. Sucesiones y sums numérics. Sucesiones.. Sucesiones y series ritmétics... Sucesiones ritmétics... Series ritmétics. Sums y sucesiones numérics.. Sucesiones Un sucesión es un conjunto de números reles escritos en un orden específico, de tl mner que se clro ser cuál es el primer término, el segundo y todos los términos sucesivos medinte un fórmul que permite otener culquier de ellos. { } L notción de un sucesión es,,, L, n,l donde el suíndice indic el lugr del término de l sucesión: n es el primer término es el segundo término es el tercer término es el n ésimo término. El vlor de n dee ser un número nturl, es decir:,,, 4, etc. El término n ésimo o término generl de un sucesión, es el término que ocup el lugr n y generlmente se expres medinte un fórmul. Ls sucesiones se clsificn de l siguiente mner: Sucesiones convergentes: son ls que tienen límite porque son finits o contles.,,, { }, L n Sucesiones divergentes: son ls que no tienen límite finito, es decir, no se se donde terminn.,, L,,L { }, n Ejemplo: clsific ls siguientes sucesiones como convergentes o divergentes. ) Los números pres. Sucesión divergente ) Los ños en los que se hn jugdo los mundiles de fútol hst hoy. Sucesión convergente Universidd CNCI de México

23 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 9 Complet ls siguientes sucesiones:, 6, 9,,,,, 4,, 0,,,, 7, 9,,,, 7,,,,, 7,,,,, 7, 9, Anliz ls siguientes sucesiones Ejemplo: otén l fórmul pr clculr el n ésimo término de ls siguientes sucesiones y utilízl pr clculr el término 0 y 00. ) ) c),,,,l, 4, 9,6,L 4,,,, L 4, 7 9 Pr encontrr l fórmul de cd sucesión primero es necesrio ser que se está representndo: ) Los números en los denomindores representn l conjunto de los números nturles. ) Cd número es el cudrdo del conjunto de los números nturles. c) Los numerdores representn el conjunto de los números nturles, los denomindores representn los números impres inicindo en. De cuerdo lo nterior, trt de otener l fórmul (recuerd que los vlores que puede tomr n son los números nturles, es decir, n,,, 4, ) n ) n ) c) n n n n n + Universidd CNCI de México

24 Tller de Mtemátics I Semn y Los términos 0 y 00 pr cd sucesión son: ) ) c) , (0) 00 (00) Práctic 0 Otén l fórmul pr clculr el n ésimo término de ls siguientes sucesiones y utilízl pr clculr el término y 68. ) ),,,,L 4,,,,, L Sucesiones y series ritmétics... Sucesiones ritmétics Un sucesión ritmétic es un sucesión de números en l cul l diferenci entre dos términos sucesivos, excepción del primero, es constnte y se le nomr diferenci común (que puede ser positiv o negtiv). A un sucesión ritmétic tmién se le conoce como progresión ritmétic. Cundo se dese encontrr el vlor de un término culquier n de un sucesión ritmétic, es necesrio sumr (o restr) el vlor constnte. L fórmul del término generl está dd por: + d( n ) donde: n término n ésimo de l sucesión primer término de l sucesión d diferenci común entre término y término n número de términos que se pide encontrr n A prtir de l fórmul nterior se pueden encontrr los vlores de, d y n. Pr encontrr el primer término: d( n ) Pr encontrr l diferenci común: n n d n Pr encontrr el número de términos que tiene l sucesión: n n + d 4 Universidd CNCI de México

25 Tller de Mtemátics I I Semn y Ejemplo: encuentr el vlor del término 0 de l siguiente sucesión: Los dtos jo son un sucesión ritmétic, y pr encontrr el siguiente término sólo ses que: 4, 6, 8,0,,,L n 0 4 pero no tienes el vlor de d. Pr ello, necesits otener l diferenci entre cd uno de los términos (o lgo más simple: l segundo término réstle el primero) entonces, d. Ahor sí, sustituye en l fórmul los dtos: El número que se encuentr en el término 0 de l sucesión es 6. n d( n ) (0 ) 6.. Series ritmétics Mtemáticmente hlndo, un serie es l sum de los términos de un sucesión. Si nos referimos un serie ritmétic, es l sum de todos los términos pertenecientes un progresión ritmétic. L sum de los términos de un serie ritmétic finit, es igul l semisum de los extremos por el número de términos; es decir: n( + Sn n ) donde: S n sum de los términos de un sucesión ritmétic n número de términos de l sucesión primer término de l sucesión n n ésimo término de l sucesión Ejemplo: encuentr l seriee de l siguiente sucesión ritmétic., 7 9,,, Lo primero que dees hcer es identificr los tres vlores que necesits sustituir en l fórmul: n n n ( Sustituyendo en l fórmul: S n + n ) S 0 S + 0 L serie de los términos de est progresión ritmétic es 9/. S 9 Universidd CNCI de México

26 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic En ls siguientes progresiones o sucesiones ritmétics encuentr lo que se te pide. ) El 8º término de: 9 8,,,L 49 ) L cntidd de términos de l sucesión si se se que:, n, d c) L diferenci común si 0, 7, n 80 n d) El primer término si d 7, 7, n n e) Cuánts cmpnds d dirimente un reloj que suen tnts veces como cd hor que mrc? Práctic Contest lo que se te pide. El último grderío de un gimnsio tiene cpcidd pr,000 ficiondos; el penúltimo, pr 90; el ntepenúltimo pr 860, y sí sucesivmente. Si el estdio tiene grderíos, cuál es su cpcidd totl? 6 Universidd CNCI de México

27 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 4 Los tems revisr el dí de hoy son:... Representción gráfic de un sucesión ritmétic.. Sucesiones y series geométrics... Sucesiones geométrics... Series geométrics... Representción gráfic de un sucesión geométric 4. Conceptos lgericos importntes 4.. Términos semejntes 4.. Potencis 4.. Leyes de los exponentes. Operciones con monomios y polinomios.. Sum de polinomios.. Rest de polinomios.. Multiplicción de polinomios... Monomio por monomio... Monomio por polinomio... Polinomio por polinomio... Representción gráfic de un sucesión ritmétic L crcterístic principl de un progresión ritmétic es que el vlor de n depende directmente del que pued tener l diferenci común d. Gráficmente, represent un rect cuy inclinción está en función del vlor de d. L siguiente tl muestr los primeros siete términos de tres progresiones ritmétics otenids prtir de tres vlores diferentes de d, l diferenci común entre dos términos. 7 Universidd CNCI de México

28 Tller de Mtemátics I I Semn y Grfic ls tres series en un plno crtesino, tomndo en cuent que los pres ordendos serán (n,d), es decir, en el eje x v el número de términos de l sucesión (n), y en el eje y los términos de l sucesión ( n ), pr los diferentes vlores de d. Oserv qué sucede con l inclinciónn de ls rects pr los diferentes vlores de d. Cundo l diferenci común d es positiv, l progresión ritmétic es creciente (como en estee ejemplo), mientrs que si d es negtiv, l progresión será decreciente... Sucesioness y series geométrics... Sucesiones geométrics Un sucesión geométric es un sucesión de números donde el cociente entree dos términos sucesivos es constnte y se le nomr rzón común. A un sucesión geométric tmién se le conoce como progresión geométric. Cundo se dese encontrr el vlor de un término culquier n de un sucesión geométric, es necesrio dividir (o multiplicr) el vlor constnte. L fórmul del término generl está dd por: n r donde: n término n ésimo de l sucesión. primer término de l sucesión. r rzón común entre término y término. n número de términos que se pide encontrr. 8 Universidd CNCI de México n

29 Tller de Mtemátics I Semn y Ejemplo. Indic por qué l siguiente sucesión es un progresión geométric. Oserv que todos los términos (excepto el primero), se otiene prtir del número 4; si divides el segundo término entre 4, otienes el primer término; si divides el tercer término entre l mism rzón, otienes el segundo término, y sí sucesivmente. Entonces, l sucesión es un progresión geométric deido que sus elementos se otienen medinte un rzón común que es r 4. En generl, pr determinr l rzón común de un sucesión geométric, se divide un término entre el término ntecedente. Lo nterior se represent lgericmente como: n r Práctic n,, 48,9,L Reliz lo que se te pide. L tl siguiente muestr el registro de un corredor que se prepr pr un competenci. Complétl y trz su gráfic, consider que los dtos tienen un comportmiento ritmético. Dí Lunes Mrtes Miércoles Jueves Viernes Sádo Domingo Kilómetros 7. 0 recorridos Consider los números y 0. Encuentr dos medios geométricos. Importnte: dos medios geométricos tienen como crcterístic que se encuentrn precismente ciert distnci, l cul es determind por l multiplicción de un constnte por los elementos ntecedentes y sirve pr encontrr los consecuentes, de mner que se tiene un progresión en l que se conocen el primero y el curto de los elementos.,?,?, 0 Práctic 4 Resuelve lo que se te pide.. Grfic los primeros 0 términos de l siguiente sucesión, 7,,7,,L Si el décimo término de un progresión geométric es 8,098 y l rzón común es, cuál es el primer término de l progresión? 9 Universidd CNCI de México

30 Tller de Mtemátics I Semn y... Series geométrics Un serie geométric, es l sum de todos los términos pertenecientes un progresión geométric. L sum de los términos de un serie geométric finit se otiene por: n r Sn ( ) r donde: S n sum de los términos de un sucesión ritmétic. n número de términos de l sucesión. primer término de l sucesión. r rzón común entre término y término. Ejemplo. Si los términos de un progresión son, 8, 08, 648, 888,, y el vlor de l rzón común es r 6, l serie geométric hst el curto elemento es: ( r S r 4 4 ) ( 6 ) ( 96) ( 9) Práctic L señor Luis pidió un presupuesto pr reprr ocho joys. El encrgdo de l joyerí le dice que le corrá $6 por l primer joy, y por cd piez sucesiv lo triple de l nterior. Cuánto tendrá que pgr l señor Luis l joyero? Al deducir l informción pr verigur lo que le corrán l señor Luis, sólo ses que: 6 (lo que cor por reprr l primer piez) n 8 (número de piezs que se vn reprr) r (l rzón común que corrá por cd piez susiguiente) 8? (lo que costrá reprr l últim piez)... Representción gráfic de un sucesión geométric L crcterístic principl de un progresión geométric es que el vlor de n depende directmente del vlor que pued tener l rzón común r. Gráficmente, esto se represent medinte un curv exponencil cuyo crecimiento está en función del vlor de r. Ejemplo. L siguiente tl muestr los primeros cinco términos de tres progresiones geométrics otenids prtir de tres vlores diferentes de r, l rzón común entre dos términos. 0 Universidd CNCI de México

31 Tller de Mtemátics I Semn y Sucesiones Geométrics con diferentes tmños de r r r r Oserv que sucede con l curvtur de ls sucesiones pr los diferentes vlores de r. Cundo l rzón común r es positiv, l progresión geométric es creciente (como en este ejemplo), mientrs que si r es negtiv, l progresión será decreciente. Práctic 6 Reliz lo que se te pide. Un empres tiene un crecimiento geométrico rzón del triple por ño. Si inició con un cpitl de 00 millones de pesos, cuánto hrá crecido y cuál será su cpitl totl en diez ños? Universidd CNCI de México

32 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 7 Plnte y resuelve l ecución del siguiente enuncido. Antonio tiene 7 ños, su hermno Roerto 4 y su pdre 40. Cuántos ños hn de trnscurrir pr que entre los dos hijos igulen l edd del pdre? 4. Conceptos lgericos importntes,,, 0,L Coeficiente. Es culquier cntidd numéric: 8 Literl. Es culquier letr minúscul que represente un cntidd desconocid:,, x, y, z,l Exponente. Es l potenci l que se elev el término. Término. Es l expresión lgeric que present cutro elementos: signo, coeficiente, literl y exponente. Un ejemplo de un término es: donde el signo sólo puede ser positivo (+) o negtivo ( ). Cundo no prece el signo en un término lgerico, utomáticmente se consider de signo positivo. Si no se especific el coeficiente o el exponente de un término, se le sign el vlor de. Un monomio es un sólo término y en él no precen ni l dición ni l sustrcción. Un inomio es un expresión lgeric compuest de dos términos, un trinomio se compone de tres términos, y un polinomio es formdo por dos o más términos. En resumen, un polinomio recie su nomre prtir del número de términos que tiene: Universidd CNCI de México

33 Tller de Mtemátics I Semn y 4.. Términos semejntes Dos o más términos son semejntes cundo tienen ls misms literles, elevds los mismos exponentes. Aquí, los signos y los coeficientes pueden ser diferentes. Ejemplo. Indic si los términos son semejntes: y 4 y 6 x y y y x y x y 9x y Términos semejntes porque l literl y el exponente son igules. No son términos semejntes porque unque ls literles son igules, ésts NO tienen el mismo exponente. No son términos semejntes porque unque ls literles son igules, ésts NO tienen el mismo exponente. Términos semejntes porque ls literles y los exponentes son igules. x k y 7k x Términos semejntes porque l literl y el exponente son igules. 4cz y 4cs No son términos semejntes porque unque los exponentes son igules, ls literles no son ls misms. 4.. Potencis Universidd CNCI de México

34 Tller de Mtemátics I I Semn y A l expresión n se le conoce como potenci de un número o expresión exponencil, en donde es l se y n es el exponente. L potenci de un número es igul l producto de l se multiplicd por sí mism n cntidd de veces. Mtemáticmente: Ejemplo: Resuelve ls siguientes expresiones: ) Al resultdo de un multiplicción se le llm producto, y ls cntiddes que multiplics se les llm fctores. Práctic 8 ) Reliz ls siguientes potencis: ) ( 4) ) Leyes de los exponentes er. Ley. L multiplicción de dos cntiddes de l mism se, es mism se y sumr los exponentes: m n m n + igul tomr l d. se Ley. L división de dos cntiddes de l mism se, es igul tomr l mism y restr los exponentes: m er. Ley. Si l multiplicción de dos o más cntiddes culesquier está elevd un potenci, todos los fctores tomn el mismo exponente: 4t. Ley. Si l división de dos cntiddes culesquier está elevd un potenci, tnto el numerdor como el denomindor tomn el mismo exponente: 4 Universidd CNCI de México n m n m ) m m ( m m m

35 Tller de Mtemátics I Semn y t. Ley. Si un potenci se elev otr potenci, se tom l mism se y se multiplicn los exponentes: m n m n ( ) 6t. Ley. Tod expresión con exponente negtivo, es igul su recíproco: 7m. Ley. Tod cntidd elevd l potenci cero, es igul : 8v. Ley. Un número elevdo un potenci frccionri es igul l ríz de ese número: n m m n Ejemplo. Aplic ls leyes de los exponentes los siguientes ejercicios: m ) Ley : ) Ley : c) Ley : d) Ley 4: e)ley : f) Ley 6: m ( 6) ( ) g) Ley 7: h) Ley 8: Práctic 9 Simplific ls siguientes expresiones utilizndo ls regls de los exponentes: x x 4 g f g + f ) ) + c c Universidd CNCI de México

36 Tller de Mtemátics I I Semn y. Operciones con monomios y polinomios.. Sum de polinomios Pr relizr operciones entre polinomios es necesrio que los términos sen semejntes. Si deses relizr un dición de polinomios, dees sumr los coeficientes, mientrs que ls literles se mntienen con sus exponentes. Ejemplo. Sum los polinomios 6x 9x + x 0 y 8x 7x + x Lo primero que dees hcer es identificr los términos semejntes en cd polinomio y comodrlos de tl mner que se puedn sumr: Lo primero que dees hcer es identificr los términos semejntes en cd polinomio y comodrlos de tl mner que se puedn sumr: Se sumn los coeficientes de cuerdo con el signo que tiene cd término. Práctic 0 Sum los polinomios 7 y y 9 y 9 0 Recuerd que pr sumr o restrr frcciones con diferente denomindor dees otener un común denomindor y después trtr de simplificr: c d ± c ± d d.. Rest de polinomios Pr resolver un rest entre dos o más polinomios es necesrio multiplicr el signo negtivo ( ) por l totliddd de términos que se vyn restr. Ejemplo. Rest z + 6 z de 8 + 6z + 4z Al número que le vs restr se llm minuendo, mientrs que el número que se v restr es el sustrendo, de mner que l rest se expres de l siguiente form: Al número que le vs restr se llm minuendo, mientrs que el número que se v restr es el sustrendo, de mner que l rest se expres de l siguiente form: 6 Universidd CNCI de México

37 Tller de Mtemátics I I Semn y Oserv cómo el sustrendo se coloc entre préntesis pr indicr l rest; este signo se multiplic por cd uno de los términos pr efectur l rest: Práctic A 6 x 9 restr 4 x + 6 Reliz ls siguientes operciones ásics. ) ) ) ( (88 + ( 4 0 ) ) ) ( ) +.. Multiplicción de polinomios En l multiplicción de expresiones lgerics puedes oservr tres csos:. Monomio por monomio. Monomio por polinomio. Polinomio por polinomio... Monomio por monomio Pr multiplicr dos monomios es necesrio que utilices ls leyes de los exponentes prticulrmente l er. Ley: m n m +n Ejemplo. Resuelve los siguientes productos. ) ( 8x y 6xy 8 )( 6 ) En este cso los coeficientes se multiplicn y se sumn los exponentes de ls literles que son igules: ( 8x y 8 )( xy ) 48x + 6 y 48x y 7 Universidd CNCI de México

38 Tller de Mtemátics I... Monomio por polinomio En el producto de un monomio por un polinomio se multiplic el monomio por todos los términos del polinomio y se plicn ls leyes de los exponentes en ls literles. Ejemplo. Reliz l siguiente multiplicción: (x y 6 x y x y 6 )( 4 I Semn y Multiplic el monomio por cd uno de los términos del polinomio. Es necesrio que respetes ls leyes de los exponentes en ls sumss de ls literles igules. + y 4 6x 8 4 xy y ) El resultdo del producto del monomio por el polinomio es: 6x 9 8 4x y +x 0 6 y 6xx y 9 xx y Práctic Reliz l siguiente multiplicción: ) ( 8 c)( 4 ) ) Multiplic m 6 por 4 m 4.. Polinomio por polinomio Pr multiplicr un polinomio por otroo polinomioo es necesrio que cd uno de los términos del primer polinomio se multiplique por los términos del otro. Si existen términos semejntes, hrá que reducirlos. Ejemplo. Multiplicr 6x por x Aquí es necesrio que relices tres psos pr otener el producto; primero se requiere que multipliques 6x por cd uno de los términos del segundo polinomio; continución hrás lo mismo con, y por último reducirás los términos semejntes. 8 Universidd CNCI de México 7 x + 8

39 Tller de Mtemátics I I Semn y Otr form de resolver l operción nterior es utilizndo un rreglo como el siguiente, de form que comodes los productos otenidos con sus términos semejntes pr poder relizr ls sums o rests lgerics más fácilmente: Práctic Multiplic x 4x + x + 4 por x + 6x 9 Multiplic x + x 4 x 4x + 4 por x x + Desrroll y simplific los siguientes productos. ) 8 ( 6x y z 6 )( x z) ) c) ( c 4 ( z 4 + z ) 7 9)( c 4 c ( z 4 z 4 7) Universidd CNCI de México

40 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión Semn Los tems revisr el dí de hoy son: 6. Productos Notles 6. Productos Notles 6.. Binomios conjugdos 6.. Binomios con un término común 6.. Binomios l cudrdo 7. Fctorizción 7.. Fctorizción por fctor común 7... Un monomio como fctor común 7... Un polinomio como fctor común 7... Fctor común por grupción 7.. Fctorizción de un diferenci de cudrdos 7.. Fctorizción de un trinomio cudrdo perfecto Los productos notles son productos especiles cuyos resultdos se otienen sin llevr co l multiplicción como lo viste nteriormente, sino que es posile otener los resultdos medinte el uso de lguns regls simples. Estos productos se encuentrn clsificdos según su form en: Binomios conjugdos Binomios con un término común Binomios l cudrdo 6.. Binomios conjugdos Es el producto de dos inomios cuyo primer término es idéntico l segundo, sólo que uno es positivo y el otro negtivo; es decir, son dos inomios igules con signos diferentes, los cules tienen l form lgeric siguiente: El primer término de culquier préntesis elevdo l cudrdo, menos el segundo término de culquier préntesis elevdo l cudrdo. Ejemplo. Desrroll el inomio ( 6 + )( 6 ) 6 6 ( + )( ) ( 6 + )( 6 ) 40 Universidd CNCI de México

41 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 4 ) Desrroll el inomio ( 7m 4n )( 7m + 4n ) ) Resuelve el producto x y + x y 6.. Binomios con un término común El producto de inomios que contienen un término común tiene l siguiente form lgeric: ( x + )( x + ) x + ( + ) x + El cudrdo del término común, más l sum lgeric de los términos no comunes por el término común, más el producto lgerico de los términos no comunes. Ejemplo: desrroll el inomio ( m + 9)( m ) ( m + 9)( m ) m + (9 ) m + (9)( ) m + 7m 8 Práctic ) Resuelve el producto 8 8 ( w 7)( w ) ) Desrroll el inomio Universidd CNCI de México

42 Tller de Mtemátics I Semn y 6.. Binomios l cudrdo Es un expresión lgeric que incluye un pr de términos diferentes que están elevdos l cudrdo. L fórmul que sirve pr desrrollr este tipo de producto notle es: ( + ) + + El cudrdo del primer término, más el dole del producto del primer término por el segundo término, más el cudrdo del segundo término. Ejemplo: desrroll el inomio l cudrdo ( y + 4) ( y + 4) ( y) + ( y)( 4) + ( 4 ) 9y + 4y + 6 Práctic 6 ) Desrroll el inomio ( m n p q ) ) Resuelve el inomio l cudrdo Fctorizción Fctorizr es el proceso inverso de multiplicr. Fctorizr un expresión signific escriir un expresión equivlente expresd como l multiplicción de dos o más expresiones. Ejemplo. El procedimiento de fctorizr se puede ilustrr medinte l siguiente tl comprtiv: 4 Universidd CNCI de México

43 Tller de Mtemátics I Semn y Existen muchs mners de fctorizr, cd un de ells se llm fctorizción de. Los procedimientos principles de fctorizción son : Fctor común Diferenci de cudrdos Trinomio cudrdo perfecto 7.. Fctorizción por fctor común Te cuerds cómo se multiplic un monomio por un polinomio? El monomio multiplic todos los términos del polinomio y se plicn ls leyes de los exponentes en ls literles, por ejemplo: Fctorizr es plicr el producto inverso y se dice que estás scndo fctor común. Su nomre lo dice, es el fctor que está en todos los términos (en este cso el m ): Los polinomios que tienen fctor común pueden tener lgun de ls siguientes crcterístics, o ms: sus términos son divisiles en un número común y/o cuentn con un letr presente en cd uno de los términos del polinomio. Existen tres csos de fctorizción por fctor común:. Un monomio como fctor común.. Un polinomio como fctor común.. Fctor común por grupción Un monomio como fctor común ( n m n + 4) 0m n m n 0 m + m 0m n m n + 0m m ( n m n + 4) Un fctor común de este tipo es un monomio que está presente en cd término del polinomio que se v fctorizr. Ejemplo: fctoriz el polinomio 8x 4x + 7 Los coeficientes de este polinomio son 8, 4 y 7. Busc el número más grnde que divid los tres, en este cso el nueve, por lo que el primer pso pr fctorizr es poner el nueve l izquierd de un préntesis: 8x 4x + 7 9( ) 4 Universidd CNCI de México

44 Tller de Mtemátics I Semn y A continución, dentro del préntesis coloc números y literles que, l ser multiplicdos por el fctor común 9, den por resultdo el polinomio que deses fctorizr: 8x 4x x x + ( ) Ejemplo: encuentr el fctor común del polinomio 6x y 9xy + xy Los coeficientes del polinomio son 6, 9 y, y su fctor común es ; es decir, es l cntidd más grnde que puede dividir exctmente los tres. En ls literles, el fctor común es x y deido que son ls letrs que se repiten en cd término y que l vez tienen el menor exponente. Por lo tnto: Práctic 7 ) Fctoriz 6x x y x y + 8x y y 9xy + xy xy ( x y + ) ) Fctoriz el polinomio c + c 0 + c 7... Un polinomio como fctor común Un fctor común de este tipo es un polinomio que prece en cd término de l expresión que se v fctorizr. Ejemplo: fctoriz El fctor común en los dos términos de est expresión lgeric es (+): Ejemplo: fctoriz El fctor común es (m n): ( + ) + ym ( + ) ( + )( xn ym ) xn + ( + ) + ym( ) xn + ( m n) ( m n) ( m n ) ( m n ) ( m n )( ) 7... Fctor común por grupción En este tipo de fctorizción se intent extrer un dole fctor común. Ejemplo: fctoriz x + y + x + y En este polinomio, es fctor común de los dos primeros términos, y es fctor común de los últimos dos términos, por lo que puedes escriir: ( x + y) + ( x y) x + y + x + y + 44 Universidd CNCI de México

45 Tller de Mtemátics I Semn y En est últim expresión mtemátic (x+y) es fctor común de y por lo que l fctorizción finl es: 7.. Fctorizción de un diferenci de cudrdos Recuerd que l multiplicr dos inomios conjugdos otienes un diferenci de cudrdos: Pero hor conoces l diferenci de cudrdos y deses fctorizr, es decir, quieres otener los inomios conjugdos. Pr que un inomio se l diferenci de cudrdos, se deen cumplir tres condiciones:. Dee tener dos términos.. Dee her un signo negtivo entre los dos términos.. Que se pued otener l ríz cudrd exct de mos términos. Los psos que dees relizr pr fctorizr un diferenci de cudrdos son:. Escrie dos préntesis: ( )( ).. En el centro de uno de los préntesis pon el signo positivo, y en el centro del otro, pon el signo negtivo, de mner que sepren los dos términos de cd inomio conjugdo: ( + )( ).. Otén l ríz cudrd del primer término y nótlo dentro de los préntesis: ( + )( ). 4. Otén l ríz cudrd del segundo término y nótlo dentro de los préntesis: ( + )( ). Ejemplo: fctoriz l siguiente diferenci de cudrdos ( x + y)( ) x + y + x + y + ( + )( ) 9 ( )( ) 9 4 x ( + )( ) ( x + )( ) x x x ( x + )( x ) 4 Práctic 8 ) Fctoriz l diferenci de cudrdos 8 0 8m 64n ) Fctoriz 4 6 p p 4 Universidd CNCI de México

46 7.. Fctorizción de un trinomio cudrdo perfecto Tller de Mtemátics I Semn y Recuerd que un inomio l cudrdo te d el siguiente trinomio: Pero hor conoces el trinomio y deses fctorizrlo; es decir, otener un inomio l cudrdo. Pr que un trinomio se cudrdo perfecto, se deen cumplir tres condiciones:. Dee tener tres términos.. El primer término y el tercero deen tener ríz cudrd exct.. L dole multiplicción de l ríz del primer término por l ríz del tercer término, es el segundo término del trinomio originl. Los psos que dees relizr pr fctorizr un trinomio cudrdo perfecto son:. Escrie un préntesis: ( ).. El signo que tendrá el inomio será el signo del segundo término del trinomio: ( ± ).. Otén l ríz cudrd del primer término y nótlo dentro de los préntesis: ( ± ). 4. Otén l ríz cudrd del tercer término y nótlo dentro de los préntesis: ( ± ).. Elev l cudrdo el inomio resultnte: ( ± ). Ejemplo : Fctoriz el siguiente polinomio: p Práctic 9 ( + ) + + p ( + ) p p Fctoriz ls siguientes expresiones lgerics. + 6 p + 9 ( ) 9 p + ( p + ) ( + ) ) ) c) 6c 4d 9c + 6d + c 0cd ( + )( ) + ( )( + ) 6 x + 64 ( ) 46 Universidd CNCI de México

47 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 6 Los tems revisr el dí de hoy son: 8. Fctorizción de trinomios de segundo grdo 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x +x+c 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x +x+c con 0, 9. Fctorizción comind 8. Fctorizción de trinomios de segundo grdo 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x + x + c Un trinomio de segundo grdo es el resultdo de multiplicr dos inomios con un término común. Hy que resltr que este trinomio no es cudrdo perfecto, deido que no cumple con l segund condición (tener ríz cudrd exct el primer y el tercer término). Consider el producto de los siguientes inomios: ( x + m)( x + n) x + ( m + n) x + mn Si se definen y c como: Sustituyendo lo nterior en (): m + n c mn x + m x + n x + x + ( )( ) c A prtir de esto, y de mner invers, se puede decir que es posile fctorizr un trinomio de l form x + x + c, de l siguiente mner: ( x + m)( x n) x + x + c + Los psos que dees relizr en est fctorizción son:. Busc dos fctores que multiplicdos den como resultdo el primer término.. Busc dos fctores que multiplicdos den como resultdo el tercer término.. Multiplic cruzdo los fctores de los psos nteriores y súmlos lgericmente pr que den como resultdo el segundo término. 4. Anot dentro de dos préntesis los inomios resultntes. ( ) 47 Universidd CNCI de México

48 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 0 ) Fctoriz y y 4 ) Fctoriz n n 0 48 Universidd CNCI de México

49 Tller de Mtemátics I I Semn y 8.. Fctorizción de un trinomio de l form x + x + c con 0, Un trinomio de l form x +x+c, tiene como crcterístic que el coeficiente de x es diferente de cero y de uno, por lo tnto, su fctorizción es un poco más complej que l nterior, unque se resuelve de l mism mner que el trinomio nterior. Los psos que dees relizr en est fctorizción son trinomio de segundo grdo de l form x + x + c: los mismos que pr un. Busc dos fctores que multiplicdos den como resultdo el primer término.. Busc dos fctores que multiplicdos den como resultdo el tercer término.. Multiplic cruzdo los fctores de los psos nteriores y súmlos lgericmente pr que den como resultdo el segundo término. Anot dentro de dos préntesis los inomios resultntes. 9. Fctorizción comind Alguns expresiones lgerics que son fctorizles tienen, l mismo tiempo, dos o más forms de fctorizción involucrds. El procedimiento generl pr relizrr un fctorizción comind es:. Siempre empiez uscndo fctor común.. Luego exmin el número de términos:. Dos términos: chec si es un diferenci de cudrdos. 4. Tres términos: chec si es un trinomio cudrdo perfecto, sino prue con otro tipo de trinomios. Siempre fctoriz ls veces que se necesrio hst que y no se posile fctorizr más. 49 Universidd CNCI de México

50 6x 4 Tller de Mtemátics I Semn y Ejemplo. Fctoriz Inicilmente l expresión lgeric tiene l form de un diferenci de cudrdos, pero es ovio que ninguno de los dos términos tiene ríz exct. El inomio tiene como fctor común l número 6, por lo que: 4 6 ( x 4) En l expresión resultnte es posile fctorizr utilizndo diferencis de cudrdos: 6x ( x + )( x ) 6x 4 6 Práctic ) Fctoriz x 4 8x + 6 ) Fctoriz 8m n 0m n 0 Universidd CNCI de México

51 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 7 Los tems revisr el dí de hoy son: 0. Simplificción de expresiones lgerics rcionles. División de polinomios 0. Simplificción de expresiones lgerics rcionles Ls expresiones lgerics rcionles están formds por polinomios indicdos como un división. Algunos ejemplos son: x x, 6x + 8 4x, + 6x x 4x + 8x x x 6 + 9x Un expresión rcionl se denot con l expresión P( x), Q(x) 0 Q( x) donde P(x) es el polinomio que está en el numerdor y Q(x) es el polinomio que está en el denomindor de l frcción. Pr simplificr expresiones lgerics rcionles es necesrio que utilices el principio fundmentl de ls frcciones que enunci lo siguiente: Si cd miemro de un frcción se multiplic o se divide por un mism cntidd diferente de cero, el vlor de l frcción no se lter. El principio te permite eliminr los fctores comunes en el numerdor y el denomindor de un frcción dd:, siempre y cundo, k 0 k k Un frcción está totlmente simplificd cundo el numerdor y el denomindor no tienen fctores comunes diferentes de y. Al mismo tiempo, el principio te permite encontrr frcciones equivlentes multiplicndo el mismo número l numerdor y l denomindor de un frcción; este proceso se le conoce como elevr un frcción, es decir: k En el cso de que en un frcción el numerdor y el denomindor tengn lgún fctor común, puedes hcer uso de los diversos procedimientos pr encontrr sus fctores y simplificrl. k Universidd CNCI de México

52 Tller de Mtemátics I I Semn y Ejemplo. Simplific l frcción x 6x + x x x Pr simplificr l frcción, es posile fctorizr el numerdor y el denomindor de mner que comprtn un fctor común: x 6 x + x x x x + x x + x x x( x ) x En l frcción resultnte, el numerdor es un trinomio cudrdo perfecto, por lo que puedes fctorizrlo comoo l diferenci de dos términos l cudrdo y utilizr nuevmente el principio fundmentl de ls frcciones: x x + x de mner que l simplificción es: ( ( ) ( x x x x x x 6x + x x x x ) )( ) ( ) x Práctic ) Simplific l frcción 0x 6x 9x x + ) Simplific l frcción c) Simplific División de polinomios L simplificción de frcciones no siempre puede relizrse por medio de l fctorizción vist nteriormente, en lguns ocsiones es reducción tendrá que llevrse co por medio de l división direct de polinomios. Un división independientemente si es de cntiddes numérics o de polinomios, const de un divisor (el que divide), dividendo (lo que se v dividir), cociente (resultdo de l división) y residuo (es l prte que sor si l división no es enter). L división de polinomios respet l siguiente serie de psos: Universidd CNCI de México

53 Tller de Mtemátics I. Orden los términos de mos polinomios según ls potencis (de myor menor o vicevers) de lgun de ls literles comunes los dos polinomios.. Divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto otendrás el primerr término del cociente.. Multiplic el término del cociente del pso nterior por el divisor y se rest del dividendo, oteniéndose un nuevo dividendo. 4. Con lo otenido en el pso nterior se repiten ls operciones de los psos y hst que otengs un residuo igul cero o un expresión lgeric de grdo menor que el del dividendo. dividendo residuo El resultdo se expres de l siguientee mner: cocientee + divisor divisor + x I Semn y Ejemplo. Divide 7 x + 6 x 9entre Primero orden los términos de mos polinomios según ls potencis de myor menor: Primero orden los términos de mos polinomios según ls potencis de myor menor: Ahor sí, divide: Universidd CNCI de México

54 Tller de Mtemátics I I Semn y x + 4 El cociente de l división es ; l división no es exct, deido que se tiene un residuo en l operción. L form como dees expresr lo nterior es: dividendo residuo cociente + divisor divisor 6x 7x 9 x x x Práctic ) Determin el cociente y el residuo de l división mm 8m m + 8 ) Divide y + y 4 y + y entre + y y 4 Universidd CNCI de México

55 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 8 Los tems revisr el dí de hoy son:. L iguldd mtemátic.. Identiddes y ecuciones.. Propieddes de l iguldd.. Propieddes de los números reles. Ecución de primer grdo con un incógnit.. Solución de un ecución linel medinte el método forml.. Solución de un ecución linel medinte el método de trnsposición de términos... Solución de un ecución linel medinte el método gráfico... Ecución de primer grdo con dos incógnits. L iguldd mtemátic Un iguldd mtemátic se compone de dos expresiones unids por el signo igul. Mtemáticmente hlndo, dos expresiones lgerics serán igules si tienen precismente el mismo vlor: expresión expresión Ejemplo. Clsific ls siguientes expresiones lgerics de cuerdo sus componentes Como solo tienen números, se denominn igulddes numérics, ( x + y ) x + xy + y 0 mientrs que ests dos se les conoce como igulddes lgerics deido que contienen números y literles. Ahor ien, puedes visulizr un iguldd como un lnz en equilirio, donde el equilirio no se dee perder nunc; es decir, si de un ldo de ést hy determind cntidd y se coloc o quit un prte, l mism prte deerá ser retird o ñdid del otro ldo. Añdiendo un cntidd x mos ldos de l lnz Universidd CNCI de México

56 Tller de Mtemátics I Semn y Mtemáticmente puedesdecirque:, y prece stnte lógico, no? Siguiendo con l lnz, supón que le sums (ñdes) un cntidd culquier, en este cso representd porun vso de gu,entonces: Oservque no es tn difícil mntenerellnce en un iguldd mtemátic. Ahor,l pregunt es, será equivlente l siguiente expresión? kg 0. kg + 0. kg Anliz: es igul, por lo tnto, puedes decir que l expresión nterior sí es equivlente y que porlo tnto, es iguldd puede sertrtd como culquierotr. Otr form de presentrte un iguldd esl siguiente: 0. + En est expresión tienes un prte desconocid, l x, pero rápidmente ses que el vlor de x dee ser0. pr que el equilirio de l iguldd se conserve. x Ejemplo: Dos vendedores de gu fresc, Crlos y Cludi, tienen tres jrrs con gu de fruts cd uno. Crlos h colocdo en l primer jrr medio litro de gu de jmic, en l segund tiene un tercio de litro de gu de horcht y en l tercer jrr tiene un litro de gu de limón. Cludi h colocdo tres curtos de litro de gu de nrnj en l primer jrr, un curto de litro de gu de melón en l segund, y cinco sextos de litro de gu de mngo en l tercer jrr. Qué hrís pr ser cuál de los dos vendedores tiene más gu? Crlos que colocó en tres jrrs medio litro de gu de jmic, un tercio de litro de gu de horcht y un litro de gu de limón respectivmente; o Cludi que colocó en tres jrrs tres curtos de litro de gu de nrnj, un curto de litro de gu de melón y cinco sextos de litro de gu de mngo? Lo primero que dees hcer es plnter un iguldd pr cd uno de los vendedores: Cntidd de gu de Crlos Cntidd de gu de Cludi + + Cntidd de gu en l jrr Cntidd de gu en l jrr Cntidd de gu en l jrr + + Cntidd de gu en l jrr Cntidd de gu en l jrr Cntidd de gu en l jrr 6 Universidd CNCI de México

57 Tller de Mtemátics I Semn y Después estlece un incógnit pr cd uno (x pr Crlos, y pr Cludi), y resuélvels: x x 6 x 6 y y y y Comprndo resultdos, los dos vendedores tienen l mism cntidd de gu en sus jrrs.. Identiddes y ecuciones Como ses, un iguldd lgeric se compone de números y literles. En l siguiente figur puedes ver su clsificción, tomndo en cuent si l iguldd se verific pr todos o solo lgunos números reles. Se hlrá de un identidd cundo l iguldd se cumpl pr culquier vlor que se le dé sus literles. Tendrás un ecución cundo l iguldd se cumpl solo pr lgunos vlores que se le den sus literles o incógnits. ( ) Ejemplo. Verific por qué l expresión m n m n es un identidd. Pr que un expresión lgeric se un identidd, es necesrio que l iguldd se mnteng, ún cundo sus literles tomen culquier vlor. Si ritrrimente le ds los siguientes vlores ls literles:, m entonces, y n, Pr que un expresión lgeric se un identidd, es necesrio que l iguldd se mnteng, ún cundo sus literles tomen culquier vlor. 7 Universidd CNCI de México

58 Tller de Mtemátics I I Semn y Si ritrrimente le ds entonces, los siguientes vlores ls literles:, m y n, Si oservs, pr culquier vlor ddo ls literles, l iguldd siempre se cumplirá, por lo tnto, l expresión identidd. si es un Los vlores que ecución. hcen ciert l iguldd recien el nomre de soluciones o ríces de l Práctic 4 Verific por qué l expresión y x + es un ecución...propieddes de l iguldd Ls igulddes tienen y cumplen con un serie de propieddes que se pueden deducir de form inmedit, ls cules se mencionn continución n. Sen,, y c números reles, entonces: Propiedd Representción lgeric Significdo en lengujee coloquil Ejemplo Reflexiv Todo número es igul sí mismo. Si + +x, entonces: + +x +x Simétric Si, entonces Es posile intercmir los miemros de un igulddd sin que ést se ltere. Si +, entonces + Trnsitiv Si y c, entonces c Si dos expresiones son igules un tercer, entonces ésts son igules entre sí. Si +4 y 4, entonces: + Principio de sustitución Si, entonces ms pueden ser utilizds en culquier proposición sin que el vlor de verdd de ést cmie. Si dos expresiones son igules, ésts pueden ser sustituidsen culquier proposición sin que el vlor de verdd cmie. Si +4, entonces, es lo mismo escriirr 4+ que ++ 8 Universidd CNCI de México

59 Tller de Mtemátics I Semn y Existe otro grupo de propieddes que te permiten resolver igulddes, ls cules se mencionn continución. Sen, y c números reles, entonces: Propiedd Representción lgeric Significdo en lenguje coloquil Ejemplo Propiedd de l sum Si, entonces +c+c Puedes sumr el mismo número los dos miemros de un iguldd y ést no se lter. Si +4+, entonces: Propiedd de l rest Si, entonces -c-c Puedes restr el mismo número los dos miemros de un iguldd y ést no se lter. Si +4+, entonces: Propiedd de l multiplicción Si, entonces cc Puedes multiplicr el mismo número los dos miemros de un iguldd y ést no se lter. Si +4+, entonces: (+) (4+) (6)(6) 88 Propiedd de l división Si, entonces Puedes dividir los miemros de un iguldd entre el mismo número y ést no se lter. Si +4+, entonces:.. Propieddes de los números reles Por último, lguns propieddes de los números reles que necesits conocer pr hcer más fácil el trjo de resolver ecuciones se descrien continución. Propiedd conmuttiv L plr conmuttiv viene del vero conmutr que signific cmir, en este cso, se refiere cmir de lugr. L propiedd conmuttiv dice que puedes cmir el orden de los números en un sum o multiplicción y pesr de esto otener el mismo resultdo. Por ejemplo: + + x + x x x + x x Ams operciones dn como resultdo o x, no import cuál término escries primero o cuál colocs después. Tú puedes conmutr (cmir) el orden de culquier sum o multiplicción sin lterr el resultdo, pero OJO!!! Jmás uses est propiedd con rests o divisiones porque no siempre otendrás el mismo resultdo. Por ejemplo, no es lo mismo que, ni x x equivle x x. Por otro ldo, 0 entre no es igul entre 0, o 0x entre x no equivle x entre 0x. Pr comprorlo efectú ls operciones y verás que el resultdo es distinto. 9 Universidd CNCI de México

60 Tller de Mtemátics I Semn y Propiedd socitiv L plr socitiv viene del vero socir que signific juntr o grupr, por eso tmién l llmn l propiedd de grupmiento. Est propiedd dice que si estás sumndo tres o más números o multiplicndo tres o más números, puedes grupr o juntr los números en diferentes forms y pesr de ello otener el mismo resultdo. Por ejemplo: ( 4 + ) ( + ) ( 4 m + m) + m m 4m + ( m + m) m Si te fijs ien verás que no import de qué mner se socien los términos, el resultdo siempre será el mismo. Lo mismo ps con l multiplicción: ( 4 ) 60 4 ( ) 60 ( 4m m) m 60m 4m ( m m) 60m Oserv que el resultdo siempre es el mismo, no import como grupes los términos. Tú puedes socir (grupr) en culquier form l sum o multiplicción sin lterr el resultdo, pero OJO!!! Jmás uses est propiedd con rests o divisiones porque no siempre otendrás el mismo resultdo. Oserv que ( ) 6 no es lo mismo que ( 6); o ien, ( ) 6 no es lo mismo que ( 6). Propiedd distriutiv L plr distriutiv viene del vero distriuir que signific reprtir. Est propiedd dice que si estás multiplicndo un término por l sum de dos o más términos, puedes multiplicr el primer término por cd uno de los otros y luego sumr pr otener el resultdo; es decir, distriuyes el producto en l sum. Por ejemplo: ( + 4 ) ( ) + ( 4 ) ( m + 4m ) m ( m ) m ( m ) m + 4 Propieddes de los neutros Existen dos números especiles entre los números reles: el cero y el uno. Por qué son especiles? Pues porque son completmente neutrles o neutros nte lguns operciones; es decir, no pueden hcer nd con ells, no cmin el resultdo. El cero es neutrl frente l sum y l rest, y el uno es neutrl nte l multiplicción y l división. Al número 0 se le conoce como neutro ditivo y l número como neutro multiplictivo. Por ejemplo: ; 8 0 8; m + 0 m 6 6; 8 8; m m 60 Universidd CNCI de México

61 Tller de Mtemátics I Semn y Propieddes de los inversos Si recuerds, pr todo número rel positivo, existe del otro ldo de l rect numéric, l mism distnci del cero, un número de l mism mgnitud pero de signo contrrio. Dicho número es su simétrico. Dichos números tienen l crcterístic de que si se sumn siempre dn como resultdo CERO. Deido ello, estos números se les denomin inversos ditivos. Por ejemplo: Se dice que el inverso ditivo de 0 es 0 y vicevers. Otro número importnte es quel que multiplicndo por otro nos d como resultdo l número. Este número especil se conoce como inverso multiplictivo o recíproco. Por ejemplo: Como ves, el inverso multiplictivo (o recíproco) de un número entero se represent medinte l unidd sore el número en cuestión, y el inverso multiplictivo de un frcción, es tmién un frcción con ls prtes invertids; es decir, el numerdor de un, es el denomindor de otr y vicevers, sin importr si es negtivo o positivo. Práctic Indic que propiedd de los números reles se está utilizndo en cd un de ls siguientes expresiones lgerics.. ( 74 m + n) ( 74m + n) ( ) + 8 ( 6 + ) ( 6 + ) 0 ( m n) p m( n p) x y 4 ( ) z x y + x 4 z 6 Universidd CNCI de México

62 Tller de Mtemátics I Semn y. Ecución de primer grdo con un incógnit A prtir de ést sesión, en cd uno de los tems que verás utilizrás los conceptos prendidos en ls sesione nteriores. Tnto el lenguje lgerico, como ls propieddes de l iguldd, ls operciones con números reles, los productos notles, entre otros, te servirán de se pr logrr los próximos prendizjes. Ecuciones Lineles Ls ecuciones con un vrile o un incógnit son quells en ls que prece solo un literl o letr (normlmente l x); y se dice que son de primer grdo cundo dich literl está elevd l potenci. Por ello, ls ecuciones se pueden clsificr de cuerdo su grdo como: Ecución linel o de primer grdo. Ejemplo: x 4 8 Ecución cudrátic o de segundo grdo. Ejemplo: x x + 0 Ecución cúic o de tercer grdo. Ejemplo: x x + 6x + 0 y sí sucesivmente. Un ecución linel o ecución de primer grdo con un incógnit es un expresión de l form x + 0 con 0 Algunos ejemplos son: 8 x + 0 0, x 7, x + Culquier otr ecución en l que se den relizr operciones, pero que dopten es form serán llmds ecuciones lineles de primer grdo con un incógnit, como por ejemplo: 7x + 8 x 7, +, Ls tres ecuciones nteriores unque no tienen l form x+, son ecuciones de primer grdo con un incógnit, pues solo tienen un vrile y está elevd l potenci. Solo se tienen que simplificr pr llegr l form desed... Solución de un ecución linel medinte el método forml Existen prolems cotidinos que se resuelven por medio de ecuciones lineles, como l distnci que recorre un ojeto con un movimiento uniforme, los costos de producción, el interés simple o ls mezcls en generl. No puedes conceir un ecución sin que esté relciond con l resolución de un prolem, y se en l sustitución de dtos o en el despeje de lgun incógnit. Puedes resolver un ecución de primer grdo de tres forms; por el método forml que ocup ls propieddes de l iguldd, por el método de trnsposición o de despejes, y por el método gráfico. En ocsiones te conviene más utilizr un técnic por ls crcterístics de l ecución, el prolem que deses resolver o ls intenciones que uscs. 6 Universidd CNCI de México y ( ) + ( + ) 7

63 Tller de Mtemátics I Semn y Método forml Pr resolver ecuciones lineles medinte el método forml deerás indicr ls propieddes de l iguldd y de los números reles que utilices. Ejemplo: prolem de cntidd y vlor. Jun tiene pesos y dese reprtirlos entre sus dos sorinos. A Pepe le d pesos, cuánto le toc Jvier? Plnte l ecución y resuélvel mtemáticmente. Solución L ecución de primer grdo con un incógnit por resolver es. Tu trjo consiste en verigur cuánto vle x; mentlmente y lo ses, pero lo dees demostrr mtemáticmente. Pr islr o verigur el vlor de x dees quitr el número ; es decir, dees hcerlo cero, y eso lo logrs sumándolo con su inverso ditivo que es. Recuerd que tmién dees restrlo l pr no lterr l iguldd. Generlmente en este pso, se te decí el ps restndo del otro ldo, pero hor y ses por qué. Entonces: Después de efectur l operción +0, hs otenido el cero, entonces te ss en los hechos que viste pr el neutro ditivo, con lo que 0+xx, y del otro ldo : Conclusión A Jvier le corresponden pesos. De hor en delnte cundo resuelvs culquier tipo de ecución, siempre deerá ser comprod pr verificr que l solución es correct. Comproción Pr compror que un vlor es solución de un ecución, lo colocs en el lugr de l incógnit y relizs ls operciones pr verificr que l iguldd se cumple. Pr el ejemplo: Por lo tnto, l ecución se resolvió correctmente, Jvier reciirá pesos y Pepe solmente $. Práctic 6 + x + + x 0 + x x + x + En un pnderí se hizo un pedido de 0 dons de chocolte. El pndero puso dons en un plto y ls restntes ls depositó en nueve cnstits dornds. Cuánts dons hy por cnstit, si hy l mism cntidd en tods? 6 Universidd CNCI de México

64 Tller de Mtemátics I Semn y. Solución de un ecución linel medinte el método de trnsposición de términos. L trnsposición de términos es un método que te permite resolver ecuciones de primer grdo de mner sencill y horrndo un cntidd significtiv de psos. Tmién llmdo solución por despejes. En est técnic dees grupr en un miemro todos los términos con l incógnit (por ejemplo x), y en otro, los términos independientes. El método de trnsposición o de despejes revi el método forml y que puedes hcer que un término que prece en un miemro, prezc de form invers en el otro, sin necesidd de indicr l o ls propieddes utilizds; es decir, relizr despejes: Si un término está sumndo en un miemro, prece restndo en el otro, y si está restndo, prece sumndo. Si un término está multiplicndo en un miemro, prece dividiendo en el otro, y si está dividiendo, prece multiplicndo Ejemplo. Oserv l trnsposición de l ecución : Solución: Y no es necesrio indicr cd propiedd que pliques pr despejr l incógnit. Con l yud de este método solo tienes que hcer los siguientes psos: El número 8 que se est restndo del ldo izquierdo, ps l ldo derecho sumndo. El x que se est sumndo del ldo derecho, se ps del ldo izquierdo restndo. Por último, el que multiplic l incógnit, ps del ldo derecho dividiendo l 4, y sí, el vlor de x es 7. Comproción: Sustituye el vlor de x en l ecución originl: 4 x x 4 x x ( 7) 8 6 ( 7) Práctic 7 En un tiend de rop pr dm, un empled coloc el precio de $900 un conjunto de dos piezs, con l leyend de que y tiene incluido un descuento del % sore el precio de vent. Cuál er el precio del conjunto ntes del descuento? 64 Universidd CNCI de México

65 Tller de Mtemátics I Semn y Se mezcl x cntidd de cfé cuyo precio es de $69.60 por kilogrmo, con 80 kilogrmos de otro cfé cuyo precio es de $00.80 el kilogrmo, pr otener un mezcl que puede venderse $88.80 el kilogrmo. Cuántos kilogrmos de $69.60 deen emplerse en l mezcl?.. Solución de un ecución linel medinte el método gráfico Si recuerds, un ecución linel o ecución de primer grdo con un incógnit es un ecución de l form: x + 0 con 0 donde x es l incógnit y el coeficiente puede ser un cntidd numéric diferente de cero. Un ecución de primer grdo o ecución linel tiene ls misms crcterístics que culquier otr ecución: ) Tod ecución tiene dos miemros seprdos por el signo igul. El de l izquierd se llm primer miemro y el de l derech se llm segundo miemro de l ecución. ) Se les llm términos de l ecución cd un de ls expresiones literles o numérics seprds por los signos de sum o rest (+ o ), y tmién puede her ecuciones con un solo término. c) Resolver un ecución es hllr un número que l sustituirlo en l iguldd l hg verdder, este número se denomin solución o ríz de l ecución. d) El grdo de l ecución está indicdo por el myor exponente de l vrile, que en este cso, siempre será. Pr introducirnos de lleno l método gráfico, que es l tercer técnic de solución de un ecución linel, primero necesits conocer lgunos conceptos mtemáticos... Ecución de primer grdo con dos incógnits Un ecución de primer grdo o ecución linel con dos incógnits se expres como: Ax + By + C 0 donde A, B y C R A 0, y B 0 Si recuerds, en sesiones nteriores viste que el conjunto de los números reles se represent por l letr R (Figur 6), y que el símolo signific pertenenci. Esto quiere decir que los coeficientes A, B y C pertenecen l conjunto de los reles, lo cul indic que pueden tomr culquier vlor: positivo, negtivo, frccionrio, entero, rcionl o irrcionl, pero A y B deen ser diferentes de cero. L ecución nterior involucr dos vriles o incógnits, representds por x y y, por lo que es evidente que l solución de ést ecución es un prej de vlores que stisfcen l iguldd. 6 Universidd CNCI de México

66 Tller de Mtemátics I Semn y Ejemplo: determin los vlore de x y y que stisfcen l siguiente ecución linel con dos incógnits x + y. L solución más ovi es: x y y, y que + Sin emrgo, x. y y0. tmién es un solución. Pero, tmién es un solución x0. y y.. Procediendo de est mner puedes determinr un número infinito de soluciones. El procedimiento pr encontrr tods ls prejs de vlores de x y y que constituyen el conjunto solución de un ecución linel con dos incógnits consiste en:. Despej culquier de ls dos vriles (comúnmente, se costumr despejr l incógnit y pr que quede en función de x).. Asígnle vlores l otr vrile.. Determin el vlor que le corresponde l vrile que despejste. Práctic 8 ) Dd l ecución x + y 0, encuentr l menos tres soluciones. ) En el prque de tu coloni se estleció un cnch de tenis pero sin tomr en cuent ls medids reglmentris. Lo único que ses es que su perímetro es de 0 metros. Cómo puedes ser cuánto miden sus ldos? Hst lo que hs visto hor, y entendiste l diferenci entre un ecución de primer grdo con un incógnit y otr con dos incógnits?, no? Anliz los siguientes ejemplos: Ecución con un incógnit Si se tiene l ecución 9 x + 0 despejndol incógnit se otiene: 9 x + 0 9x 0 8 x 9 x Ecución con dos incógnits Si se tiene l ecución 4 x + y 7 0 Lo primero que dee hcerse es expresrl como función, despejndo y: 4 x + y y x + Dndo diferentes vlores x se otendrán diferentes vlores pr y. Algunos de ellos puedenser: x y Si oservs, en l ecución linel con un incógnit se otiene un solo vlor quehceválidl iguldd, mientrs que en l ecución linel con dos incógnits, un de ells se convierte en l vrile dependiente (y), y tom infinitos vlores dependiendo de los vlores que se le signen l vrile independiente (x). 66 Universidd CNCI de México

67 Tller de Mtemátics I Semn y Práctic 9 Instrucciones: plnte l ecución linel del prolem y resuélvel medinte el método de despejes. Prolem de mezcls. Cuántos kilogrmos de dulce, cuyo precio es de $000 cd uno, deen mezclrse con 6 kilogrmos de otro dulce que vle $70 el kilogrmo, pr vender l mezcl l precio de $900 por kilogrmo? Prolem de mezcls. Un florist vende un rreglo con dos docens de flores en $70. El rmo está formdo por ross cuyo precio es de $00 l docen, y de clveles $00 l docen. Cuánts flores de cd especie dee poner pr formr el rmo? Sugerenci: llm x l número de ross, y 4 x l número de clveles. 67 Universidd CNCI de México

68 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 9 Los tems revisr el dí de hoy son: Semn... Introducción ls funciones... Plno crtesino..4. L función linel y su relción con l ecución linel... Grficción medinte tulción..6. Grficción prtir de l pendiente y l ordend l origen..7. Grficción por medio de ls intersecciones con los ejes. Sistem de ecuciones lineles con dos incógnits.. Clsificción de los sistems de ecuciones.. Métodos de solución de sistems... Método de sum y rest... Método de sustitución... Método de igulción..4. Método gráfico.. Introducción ls funciones El concepto de función implic l socición entre los elementos de dos conjuntos, que por lo generl son números, y cuy correspondenci se estlece medinte un regl de socición. Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones: Cundo vijs en utoús o utomóvil, en un tiempo determindo recorres distncis que dependen de l velocidd con que se desplz el vehículo. L distnci recorrid está en función de l velocidd, y como ses, l regl de socición es: distncivelocidd por tiempo. L tempertur o el grdo de humedd miente lo lrgo de un dí depende de l hor; es decir, con cd hor está socid un determind tempertur o cierto grdo de humedd, de mner que l tempertur o humedd están en función de l hor del dí. Al depositr dinero en un nco ciert ts de interés, otienes un gnnci. Dich gnnci está en función de l ts de interés. Un relción estlece l correspondenci o socición entre los elementos de dos conjuntos de ojetos. Ejemplo A cd person se le soci: un edd, un esttur, un peso, etc. 68 Universidd CNCI de México

69 Tller de Mtemátics I A cd utomóvil se le soci: un modelo, un número de motor, un número de plcs, etc. En un lmcén cd rtículo se le soci: un precio, un número de inventrio, un volumen, etc. A cd pís se le soci: un régimen socioeconómico, un nomre, un superficie, un ltur sore el nivel del mr, un clim, etc. Este tipo de relciones tmién se estlecen entre ls vriles que intervienen en el estudio de un determindo fenómeno de l nturlez, socil, etc., y se pr clculr un vlor preciso, o ien, pr hcer un estimulción de los vlores entre los cules se esper un resultdo. Un relción es un regl de correspondenci que se estlece entre los elementos de un primer conjunto que se llm dominio con los elementos de un segundo conjunto que se llm contrdominio, rngo o recorrido, de tl mner que cd elemento del dominio le correspondee uno o más elementos en el rngo. Un función es un relción en l que cd elemento del dominioo le corresponde uno y sólo un elemento del rngo. En consecuenci, tod función es un relción,, pero lguns relciones no son funciones. Pr distinguir entre uns y otrs revis los siguientes ejemplos: Ejemplo: I Semn y En est relción l regl de correspondenci se estlece entre cd pís y su respectiv cpitl. Como cd elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del rngo entonces l relción es un función. Ejemplo : Dominio Mrc de Automóvil Fit Renult Citröen Toyot Contrdominio Pís Itli Frnci Jpón En est relción l regl de correspondenci se estlece entre un mrc de utomóvil y el pís l cul pertenece. Oserv que dos elementos del dominio están relciondos con un mismo elemento del contrdominio; sin emrgo, cd 69 Universidd CNCI de México

70 Tller de Mtemátics I Semn y elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contrdominio, por lo tnto, est relción es un función. Definición de función Si cd elemento de un conjunto X se soci con exctmente un elemento del conjunto Y trvés de un regl de socición o correspondenci, esto define un función f de X en Y. Conjunto X x x x M x n Dominio f(x) f(x ) f(x ) f(x ) M f(x n ) Rngo Conjunto Y De l definición nterior conviene destcr lo siguiente: Al conjunto X se le conoce como el dominio de l función f. Al elemento y que corresponde determindo elemento x del dominio se le conoce como imgen de x jo f y se denot como f(x). El conjunto de imágenes f(x) constituyen el conjunto Y, l que se le conoce como rngo, contrdominio o recorrido de l función f. Cd elemento del dominio se soci con exctmente un elemento del rngo, en otrs plrs, un elemento del dominio se soci con uno y solo un elemento del rngo. Ls imágenes y o f(x), que corresponden los elementos x del dominio, se determinn medinte l regl de socición o correspondenci. En un función, dos o más elementos del dominio pueden socirse con el mismo elemento del rngo, cumpliéndose lo menciondo en l definición cerc de que un elemento del dominio sólo lo corresponde un único elemento del rngo. Sin emrgo, el mismo elemento del dominio no puede socirse con dos elementos diferentes del rngo. Los siguientes csos ejemplificn funciones: 70 Universidd CNCI de México

71 Tller de Mtemátics I Semn y X Y A B W Z CASO Dos elementos del dominiosesocinconel mismo del rngo. Oserv quelelementodex le corresponde un único elemento de Y, el.aún cundo l elemento de Y, se cumple con l definición de función. CASO En tres ocsiones, prejs de elementos del conjunto A se socin con el mismo elemento delconjunto B. Aúnsí,secumpleconl definición de función. CASO Todos los elementos del conjunto W se socin con el mismo elemento del rngo; ún sí, se cumple que cd elemento del dominiosesociconun solo elemento del rngo, porlo tnto es un función. Notción de funciones Los símolos más usdos pr denotr funciones son: que se leen: f : X Y f : x f ( x) f : x y l función f de X en Y f plic x en l otención de f(x) f plic x en l otención de y (est notción es l que más usrás en este curso) Pr denotr los elementos del dominio de un función se puede usr culquier letr del lfeto (excepto y pr evitr confusiones): x, s, t, u, v, w, l, y pr denotr el rngo se usn los símolos: ( x), f ( s), f ( t), f ( u), f ( v), f ( w) f ( l) f, Ejemplo: Uso de l simologí pr identificr el dominio, rngo y l expresión de l función. Dominio Rngo Expresión x t u f(x) f(t) f(u) f : x f ( x ) f : t f ( t ) f : u f ( u ).. Plno crtesino L definición de función implic, como y se explicó, l socición entre los elementos de dos conjuntos ddos, formándose prejs de elementos que pueden representrse 7 Universidd CNCI de México

72 Tller de Mtemátics I Semn y como pres ordendos de vlores, donde el primer elemento del pr pertenece l dominio y el segundo l rngo. Pres ordendos de vlores Al socir los elementos de los dos conjuntos se determinn pres ordendos de vlores; se dice que son ordendos porque el primer elemento siempre proviene del primer conjunto y el segundo elemento del segundo conjunto. Un pr ordendo de vlores se represent colocndo los elementos que lo constituyen dentro de un préntesis seprndo los elementos con un com. Por lo generl, se identific l pr medinte un letr myúscul, como se ilustr continución. A (, ) B(,) C(, 8) D( 0, 6) Práctic 40 Represent en el plno crtesino los siguientes pres ordendos: A, B C D ( ) ( 6, ) ( 4.,.) ( 0, 0) De cuerdo l definición de función puedes identificr cuándo un conjunto de pres ordendos es un función o no. Recuerd: Un función f de X en Y, es un conjunto de pres ordendos de vlores (x, y) tl que pr cd x del dominio le corresponde un únic y del rngo. Si en ninguno de los pres ordendos del conjunto un mismo elemento del dominio se encuentr socido con dos elementos diferentes del rngo, este conjunto represent un función. Si no se d lo nterior, concluimos que no se trt de un función. Práctic 4 Verific si los siguientes pres ordendos representn un función. (,) (4,) (,0) y (7,) (4, ) (,7) ( 8, ) (0,) (,) (7,4) y (,6)..4 L función linel y su relción con l ecución linel Cundo l socición entre los elementos de dos conjuntos de números reles se estlece medinte un ecución de primer grdo o ecución linel con dos incógnits, que viene ser l regl de socición o correspondenci, se define un función linel. 7 Universidd CNCI de México

73 Tller de Mtemátics I Semn y L función f definid por l ecución de primer grdo o linel con dos incógnits recie el nomre de función linel, donde m y son constntes. y mx + L ecución nterior se interpret como l socición entre los elementos de dos conjuntos de números reles, donde f plic x en l otención de y. L mner más usul de expresr l ecución es: f ( x) y mx + LLLL () Anteriormente y viste que l ecución de primer grdo o ecución linel con dos incógnits se expres de l siguiente form: Ax + By + C 0 l cul puede trnsformrse en l ecución ymx+, de l siguiente mner: By Ax C y y Ax C B A B x C B m A B m represent l pendiente de l rect, es decir, l inclinción que l rect form con el eje x. En este cso es el coeficiente de x. C B es l ordend l origen, es decir, es el vlor donde l rect cort, cruz o intersect l ordend o eje y, demás es el vlor independiente de l ecución (no se multiplic por lgun incógnit). y mx + LLLL ( ).. Grficción medinte tulción Y que hiciste un repso de cómo grficr, demás de que conociste un poco de funciones y de ecuciones lineles, hor sí, vyámonos de lleno con l tercer y últim técnic de solución de ecuciones de primer grdo: el método gráfico. Dd un ecución que define un función linel, puedes determinr infinitos pres ordendos de vlores que pertenezcn ell; grficdos éstos en un plno crtesino y unidos los puntos susecuentes medinte un líne continu, otienes l gráfic de l función. Ejemplo. Represent l gráfic de l función linel definid por l ecución: Solución Recuerd que ests determinndo l socición entre los elementos de dos conjuntos medinte un regl de correspondenci definid por l ecución dd. 7 Universidd CNCI de México

74 Tller de Mtemátics I Semn y Del conjunto X, llmdo dominio de l función, elige ritrrimente culquier elemento, por eso se le conoce como vrile independiente; por ejemplo, elegido x, vemos con cuál elemento del conjunto Y se soci. Cómo pudiste ver en l figur, el elemento con el que se soci del conjunto Y es 7, segurndo que con ningún otro; estos elementos se les conoce como vrile dependiente porque su vlor depende del signdo x. Pr trzr l gráfic de l ecución linel necesits relizr un tulción; es decir, dees signr vlores l incógnit x pr clculr el vlor de y correspondiente cd uno de ellos y formr los pres ordendos que se loclizrán en el plno crtesino. Tulción de los pres ordendos x f(x) Pres ordendos - -7 A(-, -7) 0 B(0, ) C(, ) 7 D(, 7) L gráfic se otiene uniendo los puntos A, B, C, D medinte un líne continu, como lo puedes oservr en l figur. Práctic 4 Está próximo tu cumpleños y hrás un fiest mexicn con 0 deliciosos pltillos pr un tquiz. Si el kilo de tortills cuest pesos, complet l siguiente tl colocndo el precio pgr por x kilos de tortills. Si llens l tl y grfics su contenido, qué form tendrá l gráfic? Kilos de tortills Precio pgr 74 Universidd CNCI de México

75 Tller de Mtemátics I Semn y Grficción prtir de l pendiente y l ordend l origen En un función linel hy dos vlores que tienen much importnci, el primero es, l ordend l origen, que es el número en el que l función intersect l eje de ls ordends o eje y. Por ejemplo, ls funciones f ( x ) x, g ( x ) x, h( x ) x + son funciones lineles, y que tienen l form: f ( x ) mx + y sus ordends l origen son los números -, - y. Al oservrsus gráfics es posile verque intersectn l eje de ls ordends en esos números precismente, por eso el nomre de ordend lorigen. El punto de intersección es (0,-) L ordend l origen es - 7 Universidd CNCI de México

76 Tller de Mtemátics I I Semn y El otro vlor importnte en un función linel es m, l pendiente, l cul se define comoo el incremento en y, que se represent por Δy (se lee: delt y), entre el incremento en x, representdo por Δx (delt x). Est relción determin el número de uniddes que cmi y por cd unidd de cmio en x: El signo de l pendiente influye directmente en l inclinción de l rect: Si m > 0, es decir, si es positiv: L rect está inclind hci l derech Si m < 0, es decir, si es negtiv: L rect está inclind hci l izquierd Pendiente positiv m Pendiente negtiv m Gráfic de l función h(x) x+ Gráfic de l función g(x) -x- Práctic 4 76 Universidd CNCI de México

77 Tller de Mtemátics I Semn y Ejemplo. Trz l gráfic de un función linel que ps por el pr ordendo (,) y que tiene pendiente...7 Gráfic por medio de ls intersecciones con los ejes Existen ciertos pres ordendos crcterísticos que fcilitn l construcción de l gráfic de un función linel L función linel representd gráficmente es un líne rect, y por lo mismo, es posile trzrl conociendo solo dos puntos de l mism, lo que signific que pr construir es gráfic dees conocer dos pres ordendos de vlores únicmente. Los pres ordendos más sencillos de determinr son quéllos donde l gráfic de l función intersect o cruz los ejes coordendos. EnlFigur4serepresentnls gráfics de dos funciones lineles identificds por()y (). L intersección de () con el eje x se identific con A, l crcterístic de este punto es que su ordend y o f(x) es igul cero. L intersección de () con el eje y se identific con B, l crcterístic de este punto es que l scis x es igul cero. Práctic 44 Gráfic de dos funciones lineles intersectndo los ejes y x + 6 Construye l gráfic de l función linel definid por l ecución determinndo únicmente sus intersecciones con los ejes coordendos.. Sistems de ecuciones lineles con dos incógnits Un sistem de ecuciones es un conjunto de ecuciones pr ls cules se usc un solución común. Un solución común de un sistem de dos ecuciones con dos vriles es un pr ordendo de vlores que hce que ms ecuciones sen verdders. A un sistem de ecuciones tmién se le conoce con el nomre de ecuciones simultánes deido que l solución de un sistem stisfce tods ls ecuciones l mismo tiempo, es decir, simultánemente. Definición Un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits o sistem de ecuciones o sistem de ecuciones simultánes, suele representrse emplendo l letr con los correspondientes suíndices pr los coeficientes; l x, con sus suíndices pr ls incógnits y l pr los términos independientes, por lo que su representción es: 77 Universidd CNCI de México

78 Tller de Mtemátics I Semn y,, x x + + donde, Coeficientede l ecución y de l vrile x., Coeficientede l ecución y de l vrile x., Coeficientede l ecución y de l vrile x., Coeficientede l ecución y de l vrile x.,, x x x Incógnit o literl. x Incógnit. Término independiente. Término independiente. Intersección de dos plnos Por sencillez y por costumre, l incógnit se le suele llmr x, ylincógnitselellmy. Además, se procur evitr el empleo de suíndices deido que pueden resultr confusos, por lo que, un sistem de ecuciones se suele representr por: x dx + y + ey c f Si recuerds, un ecución linel con dos incógnits represent un rect, de modo que un sistem de dos ecuciones permite un representción gráfic como dos rects en el plno crtesino, siendo l solución del sistem el punto de intersección de ests dos rects. Por ejemplo, ls rects que gener el sistem de ecuciones lineles : x + y x + y 4 se cortn o intersectn en el punto: es decir, l solución del sistem de ecuciones es x y y. Figur. Gráfic de un sistem de ecuciones. Su solución es x y y. OservlsoluciónenlFigur. Pero, cómo se otuvo l solución? Más delnte verás forms de resolver un sistem de ecuciones, pero primero conoce l form como se clsificn... Clsificción de los sistems de ecuciones Al momento de resolver un sistem de ecuciones se pueden presentr los siguientes csos: 78 Universidd CNCI de México

79 Tller de Mtemátics I I Semn y Sistem comptile. Este tipo de sistem de ecuciones si tiene soluciones. Sistem comptile determindo. un solución. Tiene solo L representción gráfic son dos rects que se cortn en un punto; los vlores de x y y de ese punto son l solución l sistem. Por ejemplo, lúnic solución del sistem de ecuciones: x 4y 6 x + 4y 6 se muestr en l Figur. Figur. Gráfic de un sistem de ecuciones. Su solución es x y y. Sistem comptile indetermindo. Tiene un número infinito de soluciones. Este tipo de sistem dmite un número infinito de soluciones; su representción gráfic son dos rects coincidentes. Ls dos ecuciones son equivlentes y un de ells se puede considerr comoo redundnte, deido que culquier punto de l rect es solución del sistem. Por ejemplo, el número infinito de soluciones del sistem de ecuciones: x + y xx + y Gráficmente se otienenn dos rects coincidentes, es decir, un rect encim de otr. Porlotnto, todos los puntos que se loclicen en es rect, son solución del sistem. Figur. Gráfic de un sistem de ecuciones. Ls soluciones son todos los puntos de l rect. Sistem incomptile. Este tipo de sistem no tiene solución. En este cso, su representción gráfic son dos rects prlels, es decir, no tienen ningún punto en común porque no se cruzn o cortn. El cumplimiento de un de ls ecuciones signific el incumplimiento de l otr y por lo tnto no tienen ningun solución en común. x + y Por ejemplo, ls dos rects prlels del sistem de ecuciones: x + y 79 Universidd CNCI de México

80 Tller de Mtemátics I Semn y Gráficmente se otienen dos rects prlels que nunc se cruzrán. Por lo tnto, este sistem de ecuciones no tiene solución. Figur4. Gráfic de un sistem de ecuciones. No tiene solución, ls rects prlels no se cruzn. L siguiente tl muestr ls 4 crcterístics que descrien cd tipo de sistems de ecuciones SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO COMPATIBLE INDETERMINADO INCOMPATIBLE L solución es únic. Anlíticmente se otiene un vlor pr x y un vlor pr y. Gráficmente ls rects se intersectnen un punto. Ls rects tienen distint pendiente. Tiene infinits soluciones. Anlíticmente se lleg l expresión: 0x0 o ien 0y0. Gráficmente ls rects son coincidentes. Ls rects tienen igul pendiente e igul ordend l origen. No tiene solución. Anlíticmente se lleg l expresión: 0x o ien 0y, siendo 0. Gráficmente ls rects son prlels. Ls rects tienen igul pendiente y distint ordend l origen... Métodos de solución de sistems de ecuciones Y ses lo que son los sistems de ecuciones lineles y como se clsificn de cuerdo l cntidd de soluciones que tiene. Ahor, prtiendo de que tendrás un sistem comptile determindo de dos ecuciones con dos incógnits como el siguiente: x + y c dx + ey f entonces, resolver el sistem consistirá en encontrr los vlores de x y de y que stisfgn ls dos ecuciones simultánemente. Los métodos de resolución de sistems de ecuciones que puedes utilizr son: 80 Universidd CNCI de México

81 Tller de Mtemátics I Semn y. Sum y rest.. Sustitución.. Igulción. 4. Método gráfico.. Determinntes... Método de sum y rest Tmién recie el nomre de método de reducción o método de eliminción y es el más fácil de plicr. Consiste en eliminr un vrile sumndo ls ecuciones originles o sus equivlentes; pr ello es necesrio que l mism vrile teng en ms ecuciones coeficientes inversos. Ejemplo. L competenci cnin de gility consiste en que el perro, dirigido por su guí, supere un circuito de ostáculos en el menor tiempo posile. El guí no puede tocr su perro ni los ostáculos y el perro compite sin collr ni corre. Sin emrgo, ls señles verles y visules son permitids. Cd flt l superr un ostáculo se penliz quitándole puntos l equipo humno perro. Asimismo, existe un tiempo estándr pr cd circuito y se penliz l equipo que trde más que ese tiempo. Supón que en un competenci de gility entre los perros y sus guís sumn 8 cezs y extremiddes inferiores (pies y pts). Podrís indicr cuntos perros y cuntos guís hy en l competenci? Solución Pr resolver culquier prolem de este tipo, tienes que formr el sistem de ecuciones, es decir, dees determinr dos coss:. Cuáles son ls incógnits y. Qué relción hy entre ells.. En este cso l propi pregunt dice cuáles son ls incógnits: el número de perros y el número de guís. 4. Entonces, definmos:. x Número de perros 6. y Número de guís Ses que cd perro y cd guí tienen un sol cez, por lo tnto, el número de perros por un cez, más el número de guís por un cez tmién, tienen que sumr 8: x + y 8 Por otro ldo, los perros tienen cutro pts y los guís pies, por lo tnto, el número de perros por 4 pts cd uno, más el número de guís por dos pies cd uno, tienen que sumr : 4 x + y Ls dos ecuciones nteriores formn un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits o tmién llmdo sistem de ecuciones simultánes : L cuestión es encontrr los vlores de x y y que cumpln ls dos ecuciones l mismo tiempo. x + y 8 4x + y 8 Universidd CNCI de México

82 Si l primer ecución l numermos como ( ) y l segund ecución como (), entonces: x + y 8 LLLL ( ) 4x + y LLLL ( ) Ahor sí, resolvmos el sistem de ecuciones por el métodoo de reducción. Psos pr resolver un sistem de ecuciones medinte el método de sum y rest L prte importnte de este métodoo es que usques en el sistem de ecuciones coeficientes simétricos en l mism literl, por ejemplo, si se tiene el término 9x en un ecución, se esper que se oteng de lgun mner 9x en l otr ecución. En cso de que l ecución teng todos los coeficientes distintos, es necesrio que multipliques los miemros de un de ls ecuciones, de mner que se generen los números simétricos. Si el sistem y cumple con l condición menciond, entonces reliz los siguientes psos:. Sum los miemros de ls dos ecuciones, de mner que elimines un de ls incógnits y se forme un nuev ecución.. Despej l nuev ecución que tienes de mner que otengs el vlor de un de ls literles.. Sustituye el vlor de l incógnit del pso nterior en culquier de ls ecuciones originles y despej l literl que hce flt encontrr. El sistem que trts de resolver no present números simétricos en ls literles: x + y 8 LLLL ( ) 4x + y LLLL ( ) Lo que dees hcer es multiplicr lgun de ells por un número, de mner que cumpl con dich condición. Es importnte que usques números que resulte sencillo multiplicr y que proveches ls crcterístics del sistem. ( x + y 8 4x + y Tller de Mtemátics I )( ) x y 6 4x + y Multiplic l ecución ( ) por pr eliminr l vrile y (podrís multiplicr por 4 pr eliminr l vrile x, tu decide cul de l dos vriles deses eliminr). Pso. Sum ls dos ecuciones pr formr un nuev ecución: I Semn y 8 Universidd CNCI de México

83 Tller de Mtemátics I Semn y Por lo tnto, l nuev ecución es: x 6 Pso. Despejr l incógnit de l nuev ecución y otener el primer vlor del pr ordendo: 6 x 6 x x 8 Pso. Sustituye el vlor nterior en culquier de ls ecuciones originles y despej l incógnit que flt. En nuestro cso, sustitúyelo en l ecución ( ): 8 + y 8 y 8 8 y 0 con lo que y tenemos l solución del prolem: En l competenci hy 8 perros y 0 guís. Comproción Puedes compror estos resultdos sustituyéndolos en el sistem de ecuciones: x + y 8 4 x + y ( 8) + ( 0) En resumen, prtir de un prolem en form de texto, hs identificdo ls incógnits y hs estlecido ls relciones que hy entre ells, dndo lugr un sistem que tiene tnts ecuciones independientes como incógnits. Resuelto el sistem, tienes l solución, que puedes compror que es correct en el texto originl. Práctic 4 Un señor tiene illetes de $00 y de 00 pesos en su crter. Si en totl tiene 0 illetes, y el totl de dinero en su crter es de $700, cuántos illetes tiene de cd denominción?.. Método de sustitución Como su nomre lo indic, en este método se despej un vrile de un de ls dos ecuciones y se sustituye en l otr pr que sólo quede un vrile. Tiene un plicción fundmentl en físic y químic cundo es necesrio resolver lgún prolem en el que se desconocen dos o más cntiddes. Psos pr resolver un sistem de ecuciones medinte el método de sustitución. Tom un de ls ecuciones del sistem y despej un de ls literles, de preferenci l que se más fácil de despejr. 8 Universidd CNCI de México

84 Tller de Mtemátics I Semn y. Sustituye en l otr ecución el vlor de l literl despejd en el pso nterior, pr sí otener un nuev ecución con un incógnit.. Despej l incógnit de l nuev ecución. 4. Sustituye el vlor de l incógnit despejd en l expresión que otuviste en el primer pso pr determinr el vlor de l otr vrile. Ejemplo. Un hotel de estrells tiene hitciones doles ( cms), y hitciones sencills ( cm). En totl el hotel tiene 0 hitciones y 87 cms. Cuánts hitciones tiene de cd tipo? Lo primero que dees hcer es plnter el sistem de ecuciones : Si x Número de hitciones sencills y Número de hitciones doles entonces el sistem de ecuciones es: x + y 0 x + y 87 Pso. Despej un de ls literles o vriles de culquier de ls dos ecuciones. Como puede ser culquier de ls dos ecuciones y culquier de ls dos vriles, entonces, se despejrá x de l primer ecución: x + y 0 x 0 y Pso. Sustituye lo nterior en l otr ecución del sistem y otén un nuev ecución con un incógnit. x + y 87 ( 0 y) + y 87 0 y + y y 87 Pso. Despej l incógnit de l nuev ecución. 0 + y 87 y 87 0 y 7 Pso 4. Sustituye el resultdo nterior en l ecución del pso. x 0 y x 0 7 x Por lo tnto, el hotel de estrells tiene hitciones sencills y 7 hitciones doles. Comproción Puedes compror los resultdos sustituyéndolos en el sistem de ecuciones: x + y 0 x + y ( ) + ( 7) Práctic Universidd CNCI de México

85 Tller de Mtemátics I Semn y Un fnático de ls series televisivs compró DVD s de l serie Smllville y 4 DVD s de l serie Lost en 90 pesos. Posteriormente, volvió comprr 4 DVD s de Smllville y DVD s de Lost en $40. Cuál es el precio de los DVD s de cd serie?..4 Método de igulción Este método es un poco más lrgo y que se s, como su nomre lo mencion, en l igulción de ls dos ecuciones poyándose en que ms tienen el mismo vlor en el punto de intersección. Psos pr resolver un sistem de ecuciones medinte el método de sustitución. Tom un de ls ecuciones y despej un de ls incógnits de l ecución.. Despej l mism literl en l otr ecución del sistem.. Por l propiedd trnsitiv de l iguldd, puedes igulr ls dos literles despejds en cd ecución pr otener un nuev ecución. 4. L ecución que otuviste en el pso nterior es de primer grdo con un vrile, despej l incógnit que tiene.. Sustituye el vlor de l literl que otuviste en lgun de ls ecuciones despejds del pso o del pso. Recuerd que L propiedd trnsitiv de l iguldd indic que si y c, entonces c, es decir, si dos expresiones son igules un tercer, entonces ésts son igules entre sí. Por ejemplo: Si +4 y 4, entonces: + Ejemplo. Un pizzerí vende dos tipos de pizzs tmño individul: mexicn 40 pesos y hwin 60 pesos. Un noche vendieron 74 pizzs y se recudron 660 pesos. Cuánts pizzs se vendieron de cd tipo? Solución Lo primero que dees hcer es plnter el sistem de ecuciones : Si defines x Cntidd de pizzs mexicns vendids. y Cntidd de pizzs hwins vendids. entonces el sistem de ecuciones es: x + y 74 40x + 60y 660 Ahor sí, resuelve por el método de igulción. Pso. Tom un de ls ecuciones y despej un de ls incógnits Como puedes seleccionr culquier ecución, se recomiend que se l más fácil de despejr incógnits. En este cso, seleccion l ecución y despej culquier vrile, digmos, l x: x + y 74 x 74 y Pso. Despej l mism literl en l otr ecución del sistem. 40 x + 60y x y y x 8 Universidd CNCI de México 40

86 Tller de Mtemátics I Semn y Pso. Por l propiedd trnsitiv de l iguldd, puedes igulr ls dos incógnits despejds en cd ecución pr otener un nuev ecución. x x y 74 y 40 Pso 4. L ecución que otuviste en el pso nterior es de primer grdo con un vrile. Despej l incógnit que tiene y 74 y 40 40( 74 y) y y y y + 40y y 700 y 0 y Pso. Sustituye el vlor de l incógnit que otuviste en lgun de ls ecuciones despejds del pso o del pso. En este cso, en l más sencill de ls dos, en el despeje de l ecución : x 74 y x 74 x 9 Por lo tnto, es noche se vendieron 9 pizzs mexicns y hwins. Práctic 47 Un cuerd de 0 metros se tiene que cortr en dos prtes, de tl mner que un prte se metros myor que l otr, Cuál es l medid de cd prte?... Método gráfico En este método se trzn dos rects en el mismo plno crtesino pr determinr l intersección (punto donde se cruzn) y entonces definir ese punto como l solución del sistem. Psos pr resolver un sistem de ecuciones medinte el método gráfico. Represent cd un de ls ecuciones que componen el sistem como un pr de funciones, es decir, despej l incógnit y de cd ecución.. Trz l gráfic de cd función utilizndo lguno de los métodos vistos l semn psd (por tulción, conocidos l pendiente y ordend, y por intersección con los ejes).. Loclizr donde ls rects que determinn ls funciones lineles se cortn. 4. Asoci los vlores de x y y de l coordend l solución que stisfce. 86 Universidd CNCI de México

87 Tller de Mtemátics I I Semn y Ejemplo. Crmen gst pesos en l compr de 7 gomits y chicles. Ls gomits le costron $.60 y los chicles $.0 cd uno. Cuántos dulces de cd tipo compró? Solución Si x Cntidd de gomits comprds. y Cntidd de chicles comprdos. entonces, el sistem de ecuciones que represent l prolem es: x + y 7.60x +.0 y Pso.Despejrdecdecuciónlincógnit y yrepreséntlscomofunciones: x + y 7.60 x +.0 y y 7 x.60 x.0 y f ( x ) x x y.0.60 x f ( x ).0 Pso. Trzr l gráfic de cd función medinte decidió utilizr l tulción: el método selecciondo. En este cso se Tl de l función f(x)-x+7 x f(x) Punto de intersección Tl de l función f(x).60x- -.0 x f(x) Pso. Identific el punto donde ls rects se cortn. Oserv que existe un punto en el cul ls rects se cortn. Este punto en común puede interpretrse comoo l solución del sistem. Es decir, que prtir de quí es 87 Universidd CNCI de México

88 Tller de Mtemátics I Semn y posile que determines los vlores de ls incógnits que stisfcen el sistem de ecuciones. El punto de intersección se encuentr en (,). Pso 4. Relcion ls coordends del punto con ls incógnits del sistem de ecuciones. Recuerd que se llmn pres ordendos porque siempre estrá primero el vlor de x y después el de y: x (,) ( x, f ( x) ) ( x, y) y Por lo tnto, Crmen pgó $ en l compr de gomits y chicles. Práctic 48 Dos hermnos, Jun y Pedro, se ponen de cuerdo pr ir de cmpmento. Slen del uto l mismo tiempo y cminn descriiendo como tryectoris ls siguientes ecuciones: Tryectori de Jun: x + y 8 0 Tryectori de Pedro: x + y 8 0 De cuerdo lo nterior, en qué punto se encontrrán los dos hermnos? 88 Universidd CNCI de México

89 Tller de Mtemátics I Semn y Sesión 0 Los tems revisr el dí de hoy son:.. Método por determinntes 4 Sistem de ecuciones lineles con tres incógnits 4. Métodos de solución de sistems 4.. Método gráfico 4.. Método por determinntes 4.. Método de sustitución... Método por determinntes El método de solución de un sistem de ecuciones lineles medinte determinntes se llm Regl de Crmer en honor de Griel Crmer que fue quien escriió l regl. Un determinnte es un rreglo mtemático que const de cierto número de renglones y de columns. Pr resolver un determinnte se dee relizr un rest de multiplicciones, es decir, es un operción que d como resultdo un número rel. Existen diferentes órdenes de determinntes, por ejemplo, de segundo orden: - 4 Columns Renglones Ls línes, representn un determinnte. Es de segundo orden porque tiene renglones y columns. Todos los determinntes deen ser cudrdos, es decir, deen tener el mismo número de renglones y de columns:,, 4 4, El determinnte - 4 está formdo por cutro números que son sus elementos:,,, 4. Si los comods en un orden especil:, y, 4 son renglones o si, y, 4 son columns. Si dees resolver un determinnte de l form: c d entonces, su resultdo se otiene por: 89 Universidd CNCI de México

90 Tller de Mtemátics I I Semn y Digonl secundri Multiplic por c c Pr utilizr determinntes en l solución de sistems de ecuciones lineles, es necesrio que pongs tención los coeficientes del sistem. Si recuerds un sistem de ecuciones lineles se represent por: x + y c dx + ey f d ()(d) - ()(c) Multiplic por d Digonl principl Los coeficientes (,, d y e), y los términos independientes (c y f), son importntes deido que se utilizn pr clculr tres determinntes que te yudrán clculr los vlores de ls incógnits x y y. Esos determinntes se descrien continución: Δ d e ( )( e) ( )( d ) Delt. Letr myúscul grieg que represent l letr ltin D. Es el determinnte generl, no tiene suíndice y utiliz los 4 coeficientes del sistem de ecuciones. Psos pr resolver un sistem de ecuciones medinte el método gráfico. Estlece los coeficientes en los tres determinntes resolver. Pr cd uno de los tres determinntes:. Coloc un flech que pse por l digonl principl y multiplic ls cntiddes.. Coloc un flech que pse por l digonl secundri y multiplic ls cntiddes. 4. Rest l resultdo de l digonl principl, el resultdo de l digonl secundri. Ejemplo. Resuelve el siguiente prolem utilizndo determinntes. 90 Universidd CNCI de México

91 Tller de Mtemátics I Semn y Los oletos pr un excursión son de dos precios: $0 pr los niños y $00 pr los dultos. Si se pgron $70 en totl y sistieron 90 persons, cuántos niños y cuántos dultos fueron l excursión? Solución Lo primero que dees hcer es estlecer el sistem de ecuciones. Si x Cntidd de niños en l excursión. y Cntidd de dultos en l excursión. entonces,elsistem es: x + y 90 0 x + 00 y 70 Representndolo nteriorsin ls literles: d e c f Coeficientes Términos independientes Pso.Estlece los determinntes resolver: Δ d e 0 00 Δ x c f e Δ y d c f Pr cd uno de los tres determinntes: Pso.Coloc un flech que pse porl digonlprinciply multiplic ls cntiddes. Δ 0 00 ()(00)00 Δ x (90)(00)9000 Δ y ()(70)70 Pso.Coloc un flech que pse porl digonlsecundriy multiplic ls cntiddes. Δ 0 00 ()(0)0 9 Universidd CNCI de México

92 Tller de Mtemátics I Semn y Δ x Δ y ()(70)70 (90)(0)400 Pso 4.Rest l resultdo de l digonlprincipl, elresultdo de l digonlsecundri. Δ Δ x Δ y L solución delsistem de ecuciones se otiene con: Δ 70 Δ x y 70 x y Δ 0 Δ 0 Porlo tnto,en l excursión se encuentrn niños y dultos. Práctic 49 Susn le dice Krin: tu peso y el dole del mío sumn 0 Kg. Krin le dice Susn: tu peso y el dole del mío sumn 40 Kg. Cuánto pes cd un de ls chics? 4. Sistem de ecuciones lineles con tres incógnits Recuerd que un sistem de ecuciones lineles es un conjunto de ecuciones cuys vriles deen stisfcer ls condiciones plnteds simultánemente. Un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits siempre se puede escriir de l form:, x +, x +, x,x +, x +, x,x +, x +, x donde,, Coeficientes de ls incógnits. x x Incógnits del sistem. Términos independientes. O como comúnmente se representnpor: x + y + cz d x + y + cz d x + y + cz d 9 Universidd CNCI de México

93 4.. Métodos de solución de sistems Tller de Mtemátics I Semn y Pr resolver sistems de ecuciones puedes utilizr los métodos que usste pr resolver sistems como el de sum y rest, el de igulción, el de sustitución o los determinntes. En est ocsión, solo estudirás los siguientes métodos:. Método por determinntes.. Método por sustitución. Si recuerds, los sistems de ecuciones lineles x se expresn gráficmente como rects que pueden estr en tres csos: con solución, sin solución y con múltiples soluciones. De igul mner ls ecuciones lineles de tres incógnits se expresn en un sistem tridimensionl como un plno infinito. Por supuesto que no podemos diujr un plno infinito, por lo que sólo se diuj un prte de los plnos. Un ecución linel de tres incógnits represent un plno que puede ser uicdo en un sistem de tres dimensiones con ejes que están mutumente 90º: 9 Universidd CNCI de México

94 94 Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y