10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Transcripción

1 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente, t, en el punto A 5 y = 6 A B r t a) b) /3 Aplica la teoría. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() = 3 en [, ] b) f() = 4 en [, 3] c) f() = en [, 4] + c) d) f() = + en [, ] a) 3 b) 5 c) /5 d) /3. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f() = 5 en = b) f() = en = 5 c) f() = 3 + en = 4 d) f() = en = a) 0 b) c) 3 d) 4 3. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f() = 4 en = b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = a) b) y + 3 = ( ) y = 4. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f() = en = 4 b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 4 Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = 4 a) /4 b) y = ( 4) y = c) 5. La recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto A(, ) pasa por el punto B(6, ). Calcula el valor de f() y f'() f() = f'() = = = SOLUCIONARIO

2 . Continuidad y derivabilidad Piensa y calcula a) Observando la función del margen, f() = /, calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s b) Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f() en =? f() = s r a) La pendiente de r es La pendiente de s es b) No, hay dos. Aplica la teoría 6. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = 7 b) f() = c) f() = d) f() = a) f'() = 0 b) f'() = c) f'() = d) f'() = 7. Dada la gráfica de la función f() =, analiza si la función es derivable en = 8. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, analiza si dichas funciones son derivables en los puntos que se indican: a) f() = + en = b) g() = en = f() = + g() = a) La función f() no es derivable en =, ya que tiene un pico en ese valor. Las derivadas laterales son distintas. f'( ) = y f'( + ) = Por lo tanto, no es derivable. La función solo admitiría derivada por la derecha, puesto que la función no está definida para <. La derivada por la derecha no eiste porque, como se ve gráficamente, la tangente sería una recta vertical de ecuación =. La pendiente de la recta sería +@. Luego no eiste la derivada en = b) La función g() no es derivable en =, ya que es discontinua en ese valor. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

3 3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de : 8. y = sen 3 8. y = 8 sen 5 9. y = cos 3 9. y = cos 5 9. y = cos 0. y = ( ) 5 0( ) 4. y = cotg 3 3 cosec 3. y = y = arc sen y = e e 5. y = tg tg + sec 6. y = L ( + ) y = cos L y = cos L ( cos sen L + ) cos ) L 3 0. y = arc tg + 4. y = (5) 3. y = tg ( + ) sec ( + ) 3. y = 4 (3 ) 5 4. y = sec 5 5 sec 5 tg 5 5. y = L y = L ( + L ) 6. y = arc cos y = L 4 5 (3 ) sen 30. y = L ( 4) y = log (5 + ) 5 log e y = cosec cosec cotg 33. y = 5 5 ( + ) sen 34. y = cos sen y = + y 0 y 36. y + y = 4 y y' + y 0 y y 5 + y = 4 9 yy' + = y 9 SOLUCIONARIO

4 4. Problemas de derivadas Piensa y calcula Escribe la función valor absoluto f() = como una función definida a trozos y represéntala. si < 0 f() = si Ó 0 Aplica la teoría 38. Halla la función derivada de la función siguiente: 3 si Ì f() = L si > si < f'() = si > 4 si 3 Ì Ì Dada la función f() = 7 si 3 < < 7 justifica si f() es derivable en = 3. Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido? f(3) = 4 lím f() = lím f() = lím f() = f(3) = La función es continua en = 3 0 si 3 < < 3 f'() = si 3 < < 7 f'(3 ) = lím 0 = 0 si 3 < < f'(3 + ) = lím ( ) = si 3 < < f'(3 )? f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 La función es continua y no es derivable en = 3; la función tiene en el punto de abscisa = 3 un pico, y en ese punto se pueden dibujar dos tangentes. + 5 si Ì 40. Dada la función f() = + k si > determina el valor de k para que la función sea derivable en = lím f() = lím ( + 5) = k = 7 lím f() = lím ( + k) = + k k = 6 si < f'() = si > lím f'() = lím = 8 8 lím f'() = lím = Para k = 6, la función es continua y las derivadas laterales son iguales; luego la función es derivable en = 4. Estudia la derivabilidad de la función f() = en = + si Ì f() = si > si < f'() = si > lím f'() = lím ( ) = 8 8 lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) f() no es derivable en = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 93

5 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 3 Calcula la tasa de variación media de la función: f() = sen () en el intervalo [0, π/] π/ /π 0 Halla la recta tangente a la función: f() = en el punto = / y = y = 4 4 y = 4 4 y = Halla la derivada de la función: y = e cos sen e cos cos e cos sen e sen sen e cos 7 8 Dadas las funciones: f() = 3, g() = sen calcula la derivada de (f g)() (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 sen cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos sen Dada la función: 0 si Ì f() = + si > Es f() continua en =? Es f() derivable en =? es continua y no derivable. es continua y derivable. no es continua ni derivable. no es continua y sí es derivable Halla la derivada de la función: y = ( + L ) ( L ) ( + L ) ( L ) Halla los puntos de la curva de ecuación: y = 3 + donde la recta tangente es paralela a la recta: y + = 0 A(, 0), B(/3, /7) A(, 0), B(3, ) A(0, ), B(, 3) A(, 0), B( /3, 5) Dada la función: f() = halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f() tiene pendiente A(, 4), B(, 6) A(, 4), B(, 6) A(, 4),B(,6) A(, 4), B(, 6) 9 Encuentra el valor de k para el cual la función: 6, < f() = + k, Ó es continua. Estudia si su derivada es una función continua. k = / y la derivada es continua. k = y la derivada es continua. k = y la derivada es continua. k = / y la derivada no es continua. 0 La función dada por: (a f() = + b + g)e + si > sen ( ) si Ì Encuentra los valores a, b y g que hacen que f() sea continua y admita primera y segunda derivada en el punto = a =, b =, g = 0 a =, b =, g = a = 0, b =, g = a =, b = 0, g = 94 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas. La derivada 4. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() = 3 en [, ] b) f() = 3 en [, 3] c) f() = 3 + en [0, ] d) f() = en [, 5] a) b) c) d) /3 43. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f() = 3 + en = b) f() = en = c) f() = + en = 3 d) f() = 3 + en = a) 3 b) 6 c) /4 d) 3. Continuidad y derivabilidad 46. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = + b) f() = + c) f() = 3 d) f() = + a) f'() = b) f'() = + c) f'() = 3 d) f'() = ( + ) 47. Dada la gráfica de la función f() = + 3, analiza si la función es derivable en = Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de f() = 3/ en = b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = a) 3 b) y 3 = 3( ) y = c) No es derivable en = 3.Tiene una recta tangente vertical de ecuación = Dada la gráfica de la función f() = 45. La recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto A(, 5) pasa por el punto B(, 3). Calcula el valor de f( ) y f'( ) f( ) = 5 f'( ) = 4 analiza si dicha función es derivable en el punto = La función tiene un pico en =. No es derivable. Sus derivadas laterales son f'( ) = y f'( + ) = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 95

7 Ejercicios y problemas 49. Dada la gráfica de la función f() = + analiza si dicha función es derivable en = 0 analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función es discontinua en ese valor. 50. Dada la gráfica de la función f() = 3 ( ) No es derivable porque es discontinua en = 0 3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas Halla la derivada de la función: 53. y = ( 3)e ( + 3)e 54. y = sen sen cos analiza si dicha función es derivable en = La función tiene un pico en =. No es derivable.tiene una tangente vertical de ecuación = 5. Dada la gráfica de la función f() = y = 7 tg 3 sec y = ( + 3) 4( + 3) 57. y = sen cos sen analiza si dicha función es derivable en = 0 Sí es derivable en = 0. La tangente es la recta y = Dada la gráfica de la función f() = si Ì 0 4 si > y = e + 3 e y = 3 + sec 3 + sec tg 96 SOLUCIONARIO

8 60. y = y = 5 arc sen y = L (3 ) y = 3 L y = 3 L 3 3 (L + ) 64. y = tg ( 3 + ) 3 sec ( 3 + ) 65. y = L 66. y = arc tg y = ( ) 70. y = (sen ) L y = L sen (sen ) (L sen + cotg ) 7. y = arc cos 4 7. y = ( ) 73. y = L y = L sen cotg y = cosec (5 + ) 5 cosec (5 + ) cotg (5 + ) 67. y = ( + ) 68. y = cos 5 0 sen y = log 77. y = tg sec tg TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 97

9 Ejercicios y problemas 78. y = sen + cos cos sen 79. Halla la derivada de la función implícita y = 4 y + 0 y 80. Halla la derivada de la función implícita y 3 = 0 3y 0 3y 8. Halla la derivada de la función implícita y = 6 y 0 y Se observa que las tangentes por la izquierda y por la derecha tienen la misma pendiente, pero la función no es derivable. 83. Halla el valor de a y b para que la función a f() = + 3 si Ì b 4 si > sea derivable en = lím f() = lím (a + 3) = 4a lím f() = lím ( b 4) = b a + 6 = b a + b = 3 a + 3 si < f'() = b si > lím f'() = lím (a + 3) = 4a lím f'() = lím ( b) = 4 b a + 3 = 4 b 4a + b = 4. Problemas de derivadas 8. Estudia la derivabilidad de la función f() = + si Ì 4 5 si > en el punto = La continuidad de la función f() = 5 lím f() = lím ( + ) = lím f() = lím (4 5) = La función no es es continua en = La función no es derivable en = lím 8 f() f() Se resuelve el sistema: a + b = 3 4a + b = a =, b = Estudia la derivabilidad de la función f() = f() = si < 0 si Ó 0 La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. El único punto que hay que estudiar es el correspondiente al valor de la abscisa = 0 si < 0 f'() = si > 0 lím f'() = lím ( ) = lím f'() = lím = f'(0 ) = f'(0 + ) La función es derivable en = 0 98 SOLUCIONARIO

10 Para ampliar 85. Asocia cada gráfica de la función f() con su función derivada f'() 3 4 f() f() f() f() a b c d f'() f'() f'() f'() f() 3 4 f'() b c d a 86. Dada la gráfica de la función f() = 5 analiza si dicha función es derivable en = 0 No es derivable en = 0 porque tiene una tangente vertical de ecuación = 0 analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función no es continua en ese valor. 88. Dada la gráfica de la función si Ì f() = 4 si > 87. Dada la gráfica de la función f() = si > si Ì analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función tiene un pico. La gráfica en ese valor tiene dos tangentes distintas. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 99

11 Ejercicios y problemas Halla las derivadas de las funciones siguientes: 89. y = ( +) + ( + ) L 90. y = sen sen + cos 9. y = 9. y = 4 ( ) sen sen cos sen 98. y = (sen ) cos L y = cos L sen (sen ) cos ( sen L sen + cos cotg ) 99. y = 5 ( ) 00. y = arc cos 4 0. y = + 3 sec sec tg sec 93. y = cos cos sen 94. y = ( + )e ( + 3) e 95. y = 96. y = tg sec 97. y = + sen sen cos ( sen ) 0. y = + sen + cos + sen 03. y = 8 ( 3) 04. y = sen tg cos tg + tg sec = tg (cos + sec ) 05. y = L L y = L L L y = (L ) L 9 3 L 06. y = L (cos ) tg 300 SOLUCIONARIO

12 07. y = arc sen y = cotg (π + ) 4π cotg (π + ) cosec (π + ) 6. y = L (L ) y = 3 6 ( 3) 3 3 = ( 3) y = ( + ) ( 3 + sec 0. y = 5 5 tg (sec 5 sec 3 ). y = arc tg 4 +. y = sen cos (cos sen ) = cos 4 3. y = sen cos sen L + 4. y = L y = [L( + ) L( )] ) ( sec 3 3 ) L 7. y = e 5 5e 5 8. y = sec 4 sec tg 9. y = sec 4 sec tg 0. y = log + y = log( + ) log e ( + ) e. y = + e e e. y = L e y = 3. y = log y = log log ( ) log e ( ) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 30

13 Ejercicios y problemas 4. y = e + e ( + ) + 5. y = (arc sen ) L y = L arc sen (arc sen ) L arc sen y = 5 cos ( 3 6. y = (cos sen ) 8. y = ( + ) tg tg + ( + ) sec arc sen ) 33. y = (cos sen ) 34. y = arc sen + arc cos (arc sen ) 35. y = arc cos e sen + cos cos sen arc cos arc sen e e 36. y = cotg cosec cotg 37. y = L (sen ) 9. y = L L L y = sen y = cos ( tg cos cos + sen cos 3 3. y = L ( L ) L 3. y = arc sen arc sen + ) L(sen ) cotg 38. y = arc tg L ( + L ) 39. y = arc tg L y = arc tg (L L ) = arc tg ( L ) ( + L ) 40. y = e sec e sec sec tg 30 SOLUCIONARIO

14 4. y = L cos sen = tg cos 4. Halla la derivada de la siguiente función implícita: 3 y = 4 3 y 0 3 y 43. Halla la derivada de la siguiente función implícita: ( ) + (y ) = ( ) + (y ) 0 ( ) (y ) 44. Halla la derivada de la siguiente función implícita: y + y = y + y' + y + y 0 ( + y) y y 45. Halla la recta tangente a la curva + y 4y = en el punto A(, 4) + yy' 4y yy' y 0 (y ) y y y 7 Para el punto (, 4) 7 y 4 = ( ) 7 y + = Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y''' = 6 y + y + y y'' = Dada la función y = 3 3 a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. a) 3 6 y'' = 6 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0, = Si = 0 y = 0 O(0, 0) Si = y = 4 A(, 4) 48. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. a) y'' = 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = 3 Si = y = 4 A(, 4) Si = 3 y = 0 B(3, 0) 49. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = y'' = y''' = Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y'' = 6 + y''' = 6 5. Dada la función y = + a) halla las tres primeras derivadas de la función. b) halla los puntos en los que la recta tangente es horizontal. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 303

15 Ejercicios y problemas a) y'' = 3 y''' = 6 4 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = Si = y = A(, ) Si = y = B(, ) 5. Halla las tres primeras derivadas de la función: 4 y = y'' = ( + ) 4 y''' = ( + ) Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si puede haber algún punto de la gráfica que tenga tangente horizontal. a) ( ) y'' = ( ) 3 6 y''' = ( ) 4 b) Si la recta tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' 0 para todo valor de No hay ningún punto de la gráfica que tenga recta tangente horizontal. 54. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = + 4 y'' = ( ) 48 y''' = 3 48 ( ) ( + ) ( ) Halla las tres primeras derivadas de la función: 5 y = + 0 ( + ) 30 y'' = 0 ( + ) 3 y''' = ( + ) Dada la función y = e a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente es horizontal. a) ( + )e y'' = ( + )e y''' = ( + 3)e b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = Si =, y = /e A(, /e) 57. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = e ( + )e y'' = ( )e y''' = ( )e 58. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = L + L y'' = y''' = 59. Dada la función y = L a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. a) y'' = y''' = 4 3 b) No hay ningún punto con tangente horizontal porque y'? 0 para todo valor de 304 SOLUCIONARIO

16 60. Dada la función y = L ( + ) a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. a) y'' = + y''' = 4( 3) ( + ) 3 ( ) ( + ) b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0 Si = 0, y = 0 O(0, 0) L 6. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. L a) y'' = y''' = 6 L 4 L 3 3 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = e Si = e, y = /e A(e, /e) Problemas 6. Halla las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función y = = 3, = 3 Si = 3, y = 54 A( 3, 54) Si = 3, y = 54 A(3, 54) Recta tangente en A: y = 54 Recta tangente en B: y = Determina los puntos donde la gráfica de la función f() = + sen tiene una tangente horizontal en el intervalo [0, π] + cos 0 = π Si = π,y = πa(π, π) 64. Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4 9 sea tangente a la gráfica de la función f() = k 65. Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì ( ) si > en el punto = Se estudia el punto = f() = 0 lím f() = lím ( ) 3 = lím f() = lím ( ) = lím f() = f() La función es continua en = 3( ) f'() = si < ( ) si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím ( ) = f'( ) = f'( + ) La función es derivable en = 8 Sea el punto A(, y) el punto de tangencia. Se tiene: 4 f'() = k k = 4 () El punto A es común a la tangente y a la curva: 4 9 = k () Resolviendo el sistema de () y (): = 3, k = = 3, k = Determina los valores de a y b para que la función a + b si Ì f() = si > sea continua y derivable en = f() = a + b lím f() = lím (a + b) = a + b 8 8 lím f() = lím = a + b = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 305

17 Ejercicios y problemas a si < f'() = si > lím f'() = lím a = a 8 8 lím f'() = lím = Resolviendo el sistema: a =, b = a = 67. Determina el valor de a para que la función f() = si Ó 3 + a si < 3 sea derivable en = 3 lím f() = lím ( + a) = 6 + a lím f() = lím ( ) = a = 3 a = 3 si > 3 f'() = si < 3 lím f'() = lím = lím f'() = lím ( ) = f'(3 ) f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 para ningún valor de a 68. Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì si > en el punto = Se estudia el punto = f() = lím f() = lím ( ) 3 = 8 8 lím f() = lím = La función es continua en = lím f() = f() 8 3( ) f'() = si < si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) La función no es derivable en = 69. Halla los valores de a y b para que la función a + 5 si Ì f() = b a + si > sea derivable en = f() = a + 5 lím f() = lím (a + 5) = a b lím f() = lím ( a + ) = a + b a + 5 = a + b b = 5 a si < f'() = a b si > lím f'() = lím a = a 8 8 a b a lím f'() = lím ( ) = b a a = b a = b Resolviendo el sistema: a = 0, b = Dada la función si Ì f() = si < Ì 4 si > halla los puntos en los que f() es derivable. si < 0 f() = si 0 Ì Ì si < Ì 4 si > La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. Los valores que hay que estudiar son = 0, =, = En una función con tantos trozos la mejor estrategia es hacer la representación gráfica: 306 SOLUCIONARIO

18 Se estudian los puntos de enlace La función es continua en todos los puntos de enlace. f'(0 ) = 0 = f'(0 + ) La función es derivable en = 0 f'( ) =? f'( + ) = La función no es derivable en = f'( ) =? f'( + ) = La función no es derivable en = 7. Halla el valor de a para que la función f() = + a + a si Ì L ( ) si > sea continua y estudia si para dicho valor es derivable. La función está definida por dos funciones que son continuas y derivables en sus dominios. Se tiene que estudiar el valor = f() = 3a + 3 3a + 3 = 0 a = Para a =, la función es continua en = + a si < f'() = si > lím f() = lím ( + a + a ) = 3a lím f() = lím L( ) = lím f'() = lím ( + a) = 4 + a 8 8 lím f'() = lím = Para a = se tiene f'( ) = 3 f'( + ) = La función no es derivable en = 7. Determina el valor de a y b para que la función f() = 3 si < a + b si Ó sea derivable en = f() = a + b lím f() = lím ( 3 ) = lím f() = lím (a + b) = a + b a + b = 0 3 f'() = si < a si > lím f'() = lím 3 = lím f'() = lím a = a Resolviendo el sistema: a = 3, b = 3 a = Determina el valor de a y b para que la función a + b si < 0 f() = a cos + b sen si Ó 0 sea derivable en = 0 f(0) = a lím f() = lím (a + b) = b lím f() = lím (a cos + b sen ) = a a = b a si < 0 f'() = a sen + b cos si > 0 lím f'() = lím a = a lím f'() = lím ( a sen + b cos ) = b a = b Resolviendo el sistema: La función es continua y derivable siempre que a = b 74. Determina el valor de a y b para que la función ( + a)e f() = b si < 0 a + b + si Ó 0 sea derivable en = 0 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 307

19 Ejercicios y problemas f(0) = a = e f'() = f() = b b( + a)e b si < 0 a + b si > 0 ab = b Resolviendo el sistema: a =, b = / 75. Estudia la derivabilidad de f() = 3 ( ) Se escribe la función a trozos: f() = 4 3 si [, +@) si 0 < < La función queda definida por dos polinomios que son continuos y derivables. Los valores que hay que estudiar son = 0 y = En = 0 lím ( 4 3 ) = lím ( ) = 0 = f(0) 8 0 f() es continua en = 0 f'() = si (, +@) si 0 < < f'(0 ) = f'(0 + ) = 0 f() derivable en = 0 En = lím ( ) = lím ( 4 3 ) = 0 = f() 8 lím f() = lím ( + a)e b = a lím f() = lím (a + b + ) = lím f'() = lím e b b( + a)e b = ab lím f'() = lím (a + b) = b f() es continua en = f'( ) =? f'( + ) = f() no es derivable en = 76. Estudia la derivabilidad de f() = f() = + si < si Ó La función queda definida por dos polinomios que son continuos y derivables. El valor que hay que estudiar es = f() = 0 lím f() = lím ( + ) = lím f() = lím ( ) = lím f() = f() f() es continua en = + si < f'() = si > lím f'() = lím ( + ) = 8 8 lím f'() = lím ( ) = f'( ) =? f'( + ) = f() no es derivable en = 77. Estudia la derivabilidad de f() = si < 0 f() = si 0 + La función está definida por dos funciones racionales que son continuas y derivables en su dominio. El valor que hay que estudiar es = 0 f(0) = 0 lím f() = lím = lím f() = lím = lím f() = f(0) La función es continua en = 0 si < 0 ( ) f'() = si > 0 ( + ) lím f'() = lím = ( ) lím f'() = lím = ( + ) f'(0 ) = f'(0 + ) = f() es derivable en = 78. Se sabe que una población de 400 bacterias de un cultivo varía según la función f() = SOLUCIONARIO

20 donde se mide en minutos. Qué velocidad de crecimiento instantáneo tendrá la población en t = 3 minutos? El crecimiento instantáneo es la derivada de la función f'() = 400 ( + ) f'(3) = 3 El signo menos indica que están disminuyendo las bacterias. Para profundizar 79. Halla la ecuación de la parábola y = a + b + c, que pasa por el punto A(0, ) y es tangente a la recta y = en el punto B(, 0) a) Si pasa por A(0, ) c = b) Si es tangente a la recta y = en B(, 0), la derivada de la parábola en = es la pendiente de la recta tangente. a + b = c) Como pasa por B(, 0) a + b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones: a =, b = 3, c = 80. Sea una función f() = g(), donde g() es una función continua en = 0 pero no derivable. Cuánto vale f'(0)? Para calcular f'(0) hay que demostrar que f() es derivable en = 0 y hallar su valor. f(0 + h) f(0) h g(h) 0 f'(0) = lím = lím = 8 0 h 8 0 h = lím g(h) = g(0) 8 0 Luego f'(0) = g(0) En = 0 [f(g(0))]' = cos 0 = g(f()) = sen f() + cos f() [g(f())]' = g'(f()) f'() = = f'() cos f() f'() sen f() = = cos( + π) sen ( + π) = = ( cos + sen ) [g(f(0))]' = 0 8. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() f'() a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Puede ser la derivada de una función polinómica? De qué grado? a) En = la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es cero. La tangente es horizontal. b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la función es un polinomio de segundo grado. 83. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() f'() 8. Dadas f() = + π y g() = sen + cos, calcula la derivada en = 0 de f(g()) y g(f()) f(g()) = g() + π [f(g())]' = f'(g()) g'() = g() g'() = = (sen + cos ) ( cos sen ) = cos a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Escribe la ecuación de la gráfica de f'() c) Da una función cuya derivada sea la de la gráfica. a) No, porque f'() no corta al eje b) f'() = / c) f() = L TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 309

21 Ejercicios y problemas 84. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y encuentra la epresión de la derivada enésima. a) y = e b) y = a) e y'' = 4e y''' = 8e y n = n e b) y'' = 3 y''' = 6 4 y n = ( ) n n! n + 30 SOLUCIONARIO

22 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 85. Halla la derivada de la función: 3 f() = L + 4 Resuelto en el libro del alumnado. 86. Halla la recta tangente a la curva: f() = en = 3 Representa la función y la recta tangente. Resuelto en el libro del alumnado. 87. Estudia la derivabilidad de la función para = : f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Resuelto en el libro del alumnado. 88. Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función a f() = + b si Ì b si > sea derivable en =. Representa la función y la recta tangente para = Resuelto en el libro del alumnado. 89. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Halla las derivadas de las siguientes funciones: 90. f() = e cos 9. f() = sen 9. f() = L 93. f() = L ( 4) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 3

23 Linu/Windows 94. f() = 5 + Representa la función y la recta o rectas tangentes para = 95. Halla la recta tangente a la curva: f() = 5 en = Representa la función y la recta tangente. 97. Estudia la derivabilidad de la función para = 0 3 f() = Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Estudia la derivabilidad de la función en = f() = 3 si Ì si > 3 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive 98. Estudia la derivabilidad de la función para = 3 f() = + 4 si Ì 3 4 si > 3 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Estudia la derivabilidad de la función para = f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 33

25 Linu/Windows 00. Estudia la derivabilidad de la función para = f() = 4 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Halla las tres primeras derivadas de las siguientes funciones: 0. f() = f() = + 34 SOLUCIONARIO

26 Windows Derive 03. f() = e 06. Estudia la derivabilidad de la función para = 0 f() = Representa la función y la recta o rectas tangentes para = f() = L 05. Dada la función: (a f() = + b + g )e + si > sen ( ) si Ì encuentra los valores a, b y g que hacen que f() sea continua, y que admita primera y segunda derivada en el punto =. Representa la función obtenida. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 35