UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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1 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE LÍMITES INDETERMINACIONES 6 5- ASÍNTOTAS 9 6- CONTINUIDAD DISCONTINUIDADES 7- ACTIVIDADES 5 8- SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES - INTRODUCCIÓN La unidad que vamos a comenzar, junto con la de Derivadas e Integrales, forman el núcleo temático de Anális matemático, una amplia y compleja rama de la Matemática moderna que ocupó gran parte del trabajo de científicos desde el glo XVII, tan ilustres como Wallis, Barrow, Newton o Leibnitz A estos dos últimos se les condera los padres del Anális moderno y se deben muchos de los avances futuros que se dieron Esta rama de la matemática fue ya iniciada en tus estudios en º de Bachillerato, por lo que debes repasar los guientes contenidos previos: Concepto de función Operaciones con funciones, compoción y función inversa Características de las funciones: Dominio, recorrido, cortes con los ejes, asíntotas, metrías, monotonía, etremos, curvatura, puntos de infleión y periodicidad Funciones elementales Características gráficas de las mismas Para ello, se proponen las actividades de la a la 8 - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES A lo largo del bloque de Anális del curso pasado, se vio la idea intuitiva de límite de una función en un punto Veamos un ejemplo que ilustre la tuación: Ejemplo : Conderemos la función f ( ) y veamos qué ocurre con las imágenes de valores del dominio cercanos, por ejemplo, al valor La guiente gráfica corresponde a los valores en los que hemos evaluado la función: Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

2 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD 0,8 0,9 0,99,,,0 f(),64,8,90,44,,00 Como podemos observar en la gráfica, es evidente que a medida que nos acercamos al valor de la abscisa, sus correspondientes imágenes, se van aproimando cada vez más a la ordenada y Además, es interesante observar también que esto ocurre tanto por valores menores (por la derech como por valores mayores (por la izquierd de la abscisa De esta idea de acercamiento a un valor de la ordenada (y) a medida que nos aproimamos a una abscisa () concreta por la izquierda o derecha, se deriva la definición científica de límite que, a continuación formalizaremos f una función definida en un entorno reducido de a Se dice que el límite de f cuando tiende hacia a es l, o que converge Definición : Sea ( ) ( ) a l, : ε > 0 δ > 0 / a < δ f ( ) l < ε, es decir, podemos hacer que f ( ) se aproime a l tanto como queramos n más que tomar valores de suficientemente próimos al valor a Lo escribiremos f ( ) l a Nota : Hemos de tener en cuenta que la definición de límite no depende del valor de la función en a, es decir, no tiene porqué cumplirse que f ( ) l, de hecho, ni quiera tiene que estar definida la función en a La idea de límite analiza lo que ocurre con las imágenes cuando nos acercamos, n llegar a alcanzar (en principio) el valor a En determinadas funciones, como por ejemplo las definidas a trozos, los valores que toma alrededor de un punto, dependen nos acercamos por la izquierda o por la derecha y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones Por ello, además de las definiciones de límite, conviene llevar a cabo definiciones que tengan en cuenta dicha circunstancia Nos referimos a las definiciones de límites laterales que vamos ver a continuación Definición : Sea f ( ) una función definida en un entorno reducido a la izquierda de a Se dice que el límite de f ( ) cuando tiende hacia a por la izquierda, : ε > 0 δ > 0 / a δ < < a f ( ) l < ε,es decir, podemos hacer que f ( ) se aproime a l tanto como queramos n más que tomar valores de suficientemente próimos al valor a, a través de valores menores que a Lo escribiremos f ( ) l a Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

3 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición : Sea f ( ) una función definida en un entorno reducido a la izquierda de a Se dice que el límite de f ( ) cuando tiende hacia a por la derecha es l : ε > 0 δ > 0 / a < < a δ f ( ) l < ε,es decir, podemos hacer que f ( ) se aproime a l tanto como queramos n más que tomar valores de suficientemente próimos al valor a, a través de valores mayores que a Lo escribiremos f ( ) l Ejemplo : Sea ( ) < 0 f 0 a Es fácil ver que f 0 f 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Nota : Una de las nociones fundamentales en esta unidad y que ya estudiamos durante el curso pasado es la de continuidad Intuitivamente, se puede decir que una función es continua en un punto a su gráfica se puede trazar alrededor de dicho valor n levantar el lápiz del papel, es decir, de un solo trazo Como ya veremos más adelante, esto se traduce en que f ( ) f ( a a ) Ahora bien, la inmensa mayoría de las funciones elementales que ya conocemos son continuas en la mayoría de los puntos de su dominio, así pues, es evidente que un buen método para comenzar a calcular límites sencillos es empezar sustituyendo por f a será el valor del límite a en la epreón de la función ya que, cuando eista ( ) Ejemplo : Sea f ( ) f ( ) 0 b) f ( ) c) f ( ) 0 Propoción : Sea ( ) Veamos algunos de sus límites puntuales: f una función definida en un entorno de a f tiene límite l cuando tiende hacia a, y solo sí, eisten los dos límites laterales y ambos f l f l f valen l Abreviadamente: ( ) ( ) ( ) a a a Entonces, ( ) Propoción : (unicidad del límite) El límite de una función en un punto, en caso de eistir, es único Proponemos las actividades de la 9 a la Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

4 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición 4: Sea f ( ) una función definida en un entorno reducido de a Se dice que el límite de f ( ) cuando tiende hacia a es más infinito, o que diverge a más M > 0 δ > 0 / a < δ f >, es infinito, : ( ) M decir, podemos hacer que ( ) f tome valores potivos tan grandes como queramos n más que tomar valores de suficientemente próimos al valor a Lo escribiremos f ( ) a Definición 5: Sea f ( ) una función definida en un entorno reducido de a Se dice que el límite de f ( ) cuando tiende hacia a es menos infinito, o que diverge a menos N < 0 δ > 0 / a < δ f <, es infinito, : ( ) N decir, podemos hacer que ( ) f tome valores negativos tan pequeños como queramos n más que tomar valores de suficientemente próimos al valor a Lo escribiremos f ( ) a Nota : De la misma forma que en el límite puntual, el comportamiento del límite depende de lo que ocurra alrededor del punto y no del valor en el propio punto También, de la misma forma que en el caso de límites finitos, se pueden definir los límites laterales y se obtienen resultados análogos a las propociones y Ejemplo 4: Sin más que ir dando valores en la calculadora, podemos observar que: ( ) b) c) ; Es interesante que observes que, a diferencia de los dos primeros apartados, en los que sí eiste el límite, el tercer apartado carece de límite ya que no coinciden los límites laterales Este hecho está bastante relacionado con que el denominador no se encuentra elevado a eponente par, cosa que sí ocurre en los dos primeros casos Recuerda que mientras que una potencia de eponente par resulta empre un número potivo, las de eponente impar resultan potivas o negativas en función de la base Es este el hecho que provoca la diferencia entre estos apartados y que es de vital importancia recordar para un futuro Proponemos la actividad Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

5 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD - LÍMITES EN EL INFINITO En este punto del tema vamos a definir los conceptos de límites en el infinito Conviene tener en cuenta, antes de empezar, que ya no son límites puntuales como en el apartado anterior y, por tanto, no tiene sentido hablar de límites laterales f cuando tiende a más infinito es l, o que converge a l, : ε > 0 M > 0 / > M f l <, es decir, Definición 6: Se dice que el límite de ( ) podemos hacer que ( ) ( ) ε f se aproime a l tanto como queramos n más que tomar valores de suficientemente f grandes Lo escribiremos ( ) l f cuando tiende a menos infinito es l, o que converge a l, : ε > 0 N < 0 / < N f l <, es decir, Definición 7: Se dice que el límite de ( ) podemos hacer que ( ) ( ) ε f se aproime a l tanto como queramos n más que tomar valores de suficientemente f pequeños Lo escribiremos ( ) l f cuando tiende a más infinito es más infinito, o que diverge a más infinito, : M > 0 N > 0 / > N f ( ) > M, es decir, podemos hacer que f ( ) sea tan grande como queramos n más que tomar valores de suficientemente f Definición 8: Se dice que el límite de ( ) grandes Lo escribiremos ( ) f cuando tiende a más infinito es menos infinito, o que diverge a menos infinito, : M > 0 N < 0 / > M f ( ) < N, es decir, podemos hacer que f ( ) sea tan pequeño como queramos n más que tomar valores de f Definición 9: Se dice que el límite de ( ) suficientemente grandes Lo escribiremos ( ) Definición 0: Se dice que el límite de ( ) f cuando tiende a menos infinito es más infinito, o que diverge a más infinito, : M > 0 N < 0 / < N f ( ) > M, es decir, podemos hacer que f ( ) sea tan grande como queramos n más que tomar valores de suficientemente f pequeños Lo escribiremos ( ) Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 5

6 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD f cuando tiende a menos infinito es menos infinito, o que diverge a menos infinito, : M < 0 N < 0 / < M f ( ) < N, es decir, podemos hacer que f ( ) sea tan pequeño como queramos n más que tomar valores de suficientemente pequeños Lo f Definición : Se dice que el límite de ( ) escribiremos ( ) 4- ÁLGEBRA DE LÍMITES INDETERMINACIONES En este epígrafe de la unidad vamos a analizar las operaciones elementales con límites, es decir, haremos una descripción de los resultados de sumas, restas, productos, diviones y potencias (de base potiv de funciones de los que se pueden calcular conocidos los resultados de los factores con los que operamos La descripción matemática y las demostraciones de estos resultados, aunque sencillas, son etensas en su escritura, por lo que nos limitaremos a ofrecer los resultados de forma abreviada para su mejor amilación Propoción : (Sum a b a b b) a ± ± c) d) e) ±? ( IND) Propoción 4: (Producto) b) a ( ± ) ± ( regla de gnos) con a 0 a b a b c) 0 ( ± )? ( IND) d) ± ( ± ) ± ( regla de gnos) Propoción 5: (Cociente) a a con b 0 b b a 0 b) ± ( regla de gnos / laterales ) con a 0 0 a d) 0 0 ± c)? ( IND) 0 e) 0 ± ± a f) ( regla de gnos ) ± 0 ± ± g) ( regla de gnos / laterales ) h)? ( IND) Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 6

7 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Propoción 6: (Potencia de base potiv 0 b b b a a con a 0 b) 0? ( IND) b > 0 b < 0 b 0 c) a > a 0 0 < a < d)? ( IND) a a 0? ( IND) a > 0 < a < a e) b 0? ( IND) b > 0 b < 0 b 0 f) g) 0 Según acabamos de ver, eisten en total 7 indeterminaciones que son: 0 0 0, 0,,, 0, y, de las que, entre el curso pasado y este, 0 abordaremos los métodos de resolución de las 4 primeras No obstante, veamos antes algunas actividades de repaso de los casos no indeterminados Proponemos la actividad Nota 4: El límite en el infinito de un polinomio coincide con el límite en el infinito de su n n n monomio líder, es decir, ( an an a a0 ) an ± Durante las guientes notas repasaremos los métodos de resolución de las 0 indeterminaciones, y El otro caso que abordaremos: 0 se resuelve 0 transformándolo en un cociente Por mplificar la escritura, en el cálculo de límites se suele permitir la escritura de epreones que no eisten en el campo numérico, como por ejemplo ó Estas 0 7 epreones las escribiremos entre corchetes entendiendo que se trata de una aproimación en el límite y no de una operación en la que no tienen cabida ± Nota 5: (Resolución de la indeterminación 0 0 ) Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en epreones del tipo: f epreones polinómicas o, eventualmente, epreones con radicales, una de ellas o ambas En el caso de las polinómicas, basta mplificar los factores del tipo a mediante factorización Si hay radicales, hay que transformarlos en epreones n radicales antes de llevar a cabo lo anterior Esto se congue multiplicando numerador y denominador por la epreón conjugada conveniente endo ( ) y g( ) a f g ( ) ( ) Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 7

8 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Ejemplo 5: Veamos un ejemplo de cada tipo: IND ( )( ) ( )( ) IND 0 ( ) ( 4 ) b) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 8 ( ) 4 0 Nota 6: (Resolución de la indeterminación ) ( ) 4 4 ( 4 ) 4 Para resolver este tipo de indeterminaciones, utilizaremos que el límite de un polinomio en el infinito coincide con el de su monomio líder (Nota 4) En el caso concreto de los polinomios el resultado es: ± n > m n n an an a a0 an n m m m ± bm bm b b0 bm 0 n < m Ejemplo 6: Veamos un ejemplo de cada tipo: b) Nota 7: (Resolución de la indeterminación ) Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en epreones del tipo: f g endo alguna de las dos funciones epreones radicales Para ± ( ( ) ( )) resolverlas, se transforma en una indeterminación multiplicando y dividiendo por la epreón conjugada ( ( ) g( ) ) Ejemplo 7: ( 5 ( ) ) [ ] f y procediendo como en la nota 6 ( 5 ( ) ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Proponemos la actividad 4 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 8

9 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Aunque forma parte de la unidad guiente, un eficaz y muy utilizado resultado en el cálculo de límites es la llamada Regla de L Hôpital o Reglas de L Hôpital (porque son varias) Como ya se vio en el curso pasado el cálculo de derivadas, podemos utilizar dicha regla en lo que gue Veamos su enunciado Propoción 7: (Regla de L Hôpital): Sean ( ) y g( ) f ( ) entorno reducido de a tales que a g( ) f '( ) f ( ) Si eiste, entonces también eiste a g' ( ) a g( ) resultado también es válido para límites en el infinito f funciones derivables en un 0 presenta la indeterminación o bien 0 y coincide con el anterior El En la práctica, esto supone que en la mayoría de las tuaciones en las que se nos presenten indeterminaciones de tipo cociente, podemos derivar numerador y denominador y ver el límite resultante eiste, ya que, en tal caso, coincidirá con el anterior Ejemplo 8: Veamos como ejemplo la resolución de los límites ya hechos anteriormente en la unidad: 8 0 L ' H L b) ' H 4 L ' H 6 4 L ' H Proponemos como actividad la resolución de los límites de la actividad 4 utilizando la Regla de L Hôpital 5- ASÍNTOTAS El estudio de las asíntotas de una función, que abordaremos a continuación, está íntimamente relacionado tanto con el concepto de límite como con la representación gráfica de funciones que trataremos en unidades futuras Se trata de un aspecto fundamental a la hora de representar funciones y analizar su comportamiento por lo que habrá que prestarle especial atención Veamos su definición y cálculo Definición : Llamamos asíntota de una función a toda recta vertical, horizontal u oblicua a la que se acerca indefinidamente la gráfica de la función para puntos indefinidamente alejados del origen de coordenadas Propoción 8: (Determinación de asíntotas) Verticales: f ( ) tiene una asíntota vertical en a a es infinito, es decir, cuando f ( ) ± laterales en ± a b) Horizontales: ( ) en el infinito es finito, es decir, cuando f ( ) b cuando alguno de sus límites f tiene una asíntota horizontal en y b cuando alguno de sus límites ± Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 9

10 c) Oblicuas: ( ) f tiene una asíntota oblicua en y m n cuando: ( ) f m es finito y no nulo ± n ( f ( ) m) ± es finito UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Ejemplo 9: Sin más que observar su gráfica, podemos ver que la ª función de la actividad 6 tiene una asíntota horizontal en y 0 mientras que la ª función de dicha actividad tiene dos asíntotas verticales en y en y una oblicua en y Nota 8: Antes de continuar hagamos algunas aclaraciones sobre el número de asíntotas que puede tener una función: Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y el acercamiento a ellas puede ser por la izquierda, por la derecha o por ambas direcciones Además, los puntos en los que se encuentran las asíntotas suelen ser valores en los que no está definida la función Una función puede tener, como máimo dos asíntotas entre horizontales y oblicuas No puede haber multáneamente asíntotas horizontales y oblicuas en ni en Lo que sí puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro En resumen, sí puede haber multáneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado Ejemplo 0: Vamos a determinar las asíntotas de las guientes función f ( ) Verticales: Sin más que mirar el denominador, observamos que la función no está definida para ni para Son pues, estos puntos, los candidatos a presentar asíntotas verticales Veamos, en efecto, la tienen: Lí m mientras que Lí m, así pues, tiene una AV en 0 0 Lí m mientras que Lí m, así pues, tiene una AV en 0 0 Horizontales: Veamos los límites en el infinito: 0 Lí m 0, así pues, tiene una AH en y 0 en y en - ± ± 0 Oblicuas: No puede tener ya que tiene horizontales en ambos lados Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 0

11 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Ejemplo : Vamos a determinar las asíntotas de las guientes función f ( ) Verticales: Sin más que mirar el denominador, observamos que la función no está definida para Es pues, este punto, el candidato a presentar asíntota vertical Veamos, en efecto, la tiene: 4 4 Lí m mientras que Lí m, así pues, tiene una AV en 0 0 Horizontales: Veamos los límites en el infinito: Lí m ±, así pues, no tiene AH ± ± ± 0 Oblicuas: Veamos los límites correspondientes a las oblicuas: f ( ) m ± ± ± ± 0 n ( f ( ) m) ± ± ± ± ± 0 Así pues, presenta una AO en y Nota : A la vista de los ejemplos anteriores conviene tener en cuenta las guientes observaciones sobre las asíntotas en el caso de funciones racionales: Presentan asíntotas verticales en las raíces del denominador (salvo cuando dicha raíz lo es también del numerador) Presentan asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador Presentan asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad más que el del denominador Proponemos la actividad 5 6- CONTINUIDAD DISCONTINUIDADES En el curso pasado vimos una definición gráfica intuitiva del concepto de continuidad que decía, como ya vimos en la nota, algo así que una función era continua en un punto se podía trazar alrededor del punto n levantar el lápiz del papel Esto, desde el punto de vista matemático se formaliza con la guiente definición Definición : Sea f ( ) una función definida en un entorno de a Se dice que f ( ) es continua en a f ( ) f ( En caso de que no sea continua, diremos que es a discontinua o que presenta una discontinuidad en a Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

12 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Nota 9: La definición anterior lleva implícita algunas condiciones derivadas de la eistencia del límite puntual Para que la función sea continua han de cumplirse: Que f ( Que f ( ) y f ( ), que ambos sean finitos y que coincidan a a Finalmente que dicho valor común coincida con ( ) f a Definición 4: Sea f ( ) una función definida en un entorno de a Se dice que f ( ) es continua por la izquierda en a f ( ) f ( a Definición 5: Sea f ( ) una función definida en un entorno de a Se dice que f ( ) es continua por la derecha en a f ( ) f ( a Nota 0: En vista de lo anterior, es evidente que una función es continua en un punto y solo lo es por la izquierda y por la derecha Definición 6: Una función se dice que es continua en un intervalo lo es en cada uno de los puntos del intervalo, conderando continuidad lateral en los etremos incluidos en el mismo Nota : Las funciones elementales: polinómicas, valor absoluto, racionales, raíces, eponenciales, logarítmica, trigonométricas y las inversas de las trigonométricas son continuas en sus respectivos dominios Propoción 9: La compoción de funciones continuas es continua en su dominio correspondiente Nota : Como consecuencia de la propoción 9 tenemos, por ejemplo, los guientes resultados: El valor absoluto de una función continua es continua en su dominio correspondiente b) La raíz de una función continua es continua en su dominio correspondiente Como es evidente, no todas las funciones son continuas en todos sus puntos y no empre por el mismo motivo Clafiquemos las discontinuidades Definición 7: Sea f ( ) una función discontinua en discontinuidad: a Diremos que es una Evitable f ( a ) o bien f ( f ( ) a Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

13 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD b) De ª especie con salto finito los dos límites laterales eisten y son finitos pero no coinciden Al valor absoluto de la diferencia de dichos límites lo llamaremos salto y c) De ª especie con salto infinito los dos límites laterales eisten pero, al menos uno de ellos es infinito 4 4 d) De ª especie cuando no eiste alguno de los límites laterales Ejemplo : Conderemos la función ( ) función es continua de partida en {, 0} estos dos puntos: f ( ) ( ) ( ) < f 5 < 0 Es evidente que la 0 R por ser polinomios Veamos qué ocurre en Así pues, es continua en 5 0 f ( 0) ( ) 5 5 Así pues, no es continua en 0 (salto finito 8) 0 0 Resumiendo: f es continua en R - 0 presentando en 0 una discontinuidad de salto finito { } Ejemplo : Conderemos la función ( ) g < < > Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

14 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Es evidente que la función es continua de partida en R {, } por ser funciones elementales continuas en el dominio en el que están definidas Veamos qué ocurre en estos dos puntos: f ( ) ( ) Así pues, no es continua en (salto infinito) 0 f ( ) no eiste Así pues, no es continua en (evitable) R -,, presentando una discontinuidad de salto infinito Resumiendo: f es continua en { } en y una evitable en Ejemplo 4: Determina el valor de a para que sea continua: f ( ) a a > Para que sea continua, debe serlo en, luego han de coincidir los guientes límites: ( ) a a ( a ) a a a a Proponemos las actividades 6 y 7 7- ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividad : Siendo ( ) ( ) f 5, g a, calcula el valor de a para que la compoción de ambas funciones sea conmutativa, es decir, que Actividad : Halla las funciones inversas de las guientes: f ( ) b) g ( ) 5 4 f g g f Actividad : El radio de un círculo mide 0 cm Epresa el área del rectángulo inscrito en el mismo en función de la medida, de la base Cuál es el dominio de la función obtenida? Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

15 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad 4: Dadas las funciones: ( f g)( ) y g Dadas las funciones: ( ) ( ) f b) f ( ), obtén: c) g g ( ) Actividad 5: Determina el dominio de las guientes funciones: f ( ) b) g ( ) 6 c) h 5 6 d) j ( ) 4 e) k( ) ln( ) 4 ( ) Actividad 6: Analiza todas las características que conozcas de las funciones cuyas gráficas se adjuntan: b Actividad 7: Representa gráficamente las funciones: f ( ) < 0 0 < 4 4 b) g( ) < < Actividad 8: Representa gráficamente las funciones: f ( ) 5 Actividad 9: Determina los límites guientes de la función representada a continuación: f ( 4 ) b) f ( 0 ) d) f ( ) c) e) f ( ) b) ( ) 6 c) f ( ) f) f ( ) g c) h ( ) 4 g) f ( ) h) f ( ) i) f ( ) Actividad 0: Calcula: 5 b) ( ) c) d) e / Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 5

16 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad : Calcula los límites laterales de las funciones en los puntos indicados: < f ( ) en b) ( ) g < en Actividad : Determina los límites guientes de la función representada a continuación: y 9 f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) Actividad : Determina razonadamente el valor de los límites guientes: ( ) b) ( ) c) ( ) d) 0 4 e) 5 ( ) f) 7 g) ( ) 5 h) 0, 5 i) log j) ( 4 ) k) l) m) e n) e ñ) e Actividad 4: Determina razonadamente el valor de los límites guientes: b) e) ( ) f) c) 6 4 g) 4 5 ( ) ( ) d) h) 4 0 Actividad 5: Calcula los guientes límites: 4 b) ( log) c) d) 6 Actividad 6: Calcula f ( ) f 5 ( ) en los guientes casos: b) f ( ) e e f c) ( ) Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 6

17 Actividad 7: Determina el valor de a para el cual: ( ) a UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD 4 ACTIVIDADES DE DESARROLLO Actividad 8: Calcula el valor de k, de modo que sean ciertas las guientes igualdades: k b) k k 4 Actividad 9: Determina razonadamente las asíntotas de las guientes funciones: f ( ) 4 4 b) g ( ) Actividad 0: Calcula las asíntotas de las guientes funciones: f ( ) 5 4 b) g ( ) Actividad : Estudia las asíntotas verticales de las guientes funciones: f ( ) Ln( 4) b) ( ) g e Actividad : Obtén las asíntotas de la función y Actividad : Calcula a y b para que la función: f ( ) y y a b tenga como asíntotas: Actividad 4: (S) Estudia la continuidad de las guientes funciones: f ( ) e < ln b) g ( ) / < Actividad 5: Calcula el valor de a y b para que la guiente función sea continua: a f ( ) b < < 4 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 7

18 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad 6: Estudia la continuidad de las guientes funciones: f ( ) < / ( ) < b) g ( ) Actividad 7: Estudia la continuidad y halla los límites en el infinito de la función: < f ( ) > 4 Representa, después, la función y f ( ) Actividad 8: Estudia la continuidad de las guientes funciones en los puntos que se indican: 0 f ( ) en 0 b) f ( ) en 0 Actividad 9: Estudia la continuidad de cada una de las guientes funciones para los distintos valores del parámetro a f ( ) a a > b) a e 0 f ( ) a > 0 Actividad 0: Halla los valores de a y b para que sea continua: < 0 f ( ) a b 0 < Actividad : Halla los valores de los parámetros para que las guientes funciones sean continuas: ( ) ( ) a f b) g ( ) a b < ó > 5 Actividad : El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la 5 t función: P( t), donde t se mide en años transcurridos desde t 0 Calcula: t ( ) La población inicial b) El tamaño de la población a largo plazo Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 8

19 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad : Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (, en días), obteniéndose que: T( ) 5 > 0 ( 5)( 5) Justifica que la función T es continua en todo su dominio b) Por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de minuto? Y en menos de? ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Actividad 4: (00) Calcula logaritmo neperiano de ( ) Ln sen 0 sen, endo Ln ( ) la función Actividad 5: (00) Condera la función definida para por f ( ) Halla las asíntotas de la gráfica de f b) Estudia la poción relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas Actividad 6: (004) Se sabe que calcula el límite 0 e a es finito Determina el valor de a y αsen Actividad 7: (005) Se sabe que 0 calcula el límite es finito Determina el valor de α y Actividad 8: (005) Condera las tres funciones cuyas epreones respectivas vienen dadas, para 0, por ( ), f g ( ) e y h( ) Ln Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h b) Identifica, entre las que guen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 9

20 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad 9: (006) Calcula neperiano, endo Ln la función logaritmo Ln Actividad 40: (006) Sea f : (, ) R la función definida por: f ( ) ( ln ) ( ), endo ln la función logaritmo neperiano Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función En caso de que eista, hállala Actividad 4: (008) Sea f la función definida para 0 asíntotas de la gráfica de f Actividad 4: (008) Dada la función definida para 0 asíntotas de su gráfica por ( ) por f ( ) f e Determina las e e, determina las Actividad 4: (009) Calcula Ln, endo Ln la función logaritmo neperiano Actividad 44: (009) Se condera la función f : [, ) R definida por f ( ) Determina la asíntota de la gráfica de f Actividad 45: (009) Sea f : ( 0, ) R definida por f ( ) ( ln ) ( ) a Sabiendo que f es continua, calcula a (ln denota logaritmo neperiano) b) Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función En caso de que eista, determina su ecuación e e Actividad 46: (00) Calcula 0 8- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE LA UNIDAD sen Actividad : a 5 Actividad : f ( ) b) g ( ) 4 5 Actividad : A ( ) 400, endo Dom( A) [ 0,0 ] Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 0

21 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad 4: ( f g )( ) b) f ( ) c) g ( ) Actividad 5: Dom ( f ) R {, } b) Dom ( g) (, 4] [ 4, ) c) Dom ( h), d) Dom ( j ),4 ( 4, ) e) Dom ( k) (, ) (, ) Actividad 6: ) Dominio y recorrido: Dom ( i ) R e Im( i ) [, ] ) Puntos de corte con los ejes y gno: El único punto de corte con los ejes es (,0) i( ) > 0 ( 0, ) i( ) < 0 (,0 ) ) Continuidad: i es continua en todo R 4) Asíntotas: i tiene una asíntota horizontal en y 0 5) Simetrías: i es impar 6) Periodicidad: i no es periódica 7) Monotonía: i es estrictamente creciente en : (, ) i es estrictamente decreciente en :(, ) (, ) 8) Etremos relativos: i presenta un máimo relativo en (,) (, ) 0 y un mínimo relativo en 9) Acotación y etremos absolutos: i está acotada, presentando un máimo absoluto en (,) y un mínimo absoluto en (, ) 0) Curvatura: i es convea en :,0, ( ) ( ) (, ) ( 0, ) i es cóncava en : ) Puntos de infleión: i tiene tres puntos de infleión en ( ),, 0,0 y, b) ) Dominio y recorrido: Dom( p) R {, } e Im( p) R ) Puntos de corte con los ejes y gno: El único punto de corte con los ejes es (,0) p( ) > 0 (,0 ) (, ) p( ) < 0 (, ) ( 0, ) ) Continuidad: p es continua en R {, } 0, presentando discontinuidades de salto infinito para y 4) Asíntotas: p tiene dos asíntotas verticales en y, y una oblicua en y 5) Simetrías: p es impar Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

22 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD 6) Periodicidad: p no es periódica 7) Monotonía: p es estrictamente creciente en : p es estrictamente decreciente en : 8) Etremos relativos: p presenta un mínimo relativo en, y un máimo relativo en, 9) Acotación y etremos absolutos: p no está acotada inferior ni superiormente 0) Curvatura: p es convea en :,0, p es cóncava en : ( ) ( ) (, ) ( 0, ) tiene un punto de infleión en (,0) ) Puntos de infleión: p tiene un punto de infleión en Actividad 7: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 0 b) Actividad 8: b) c) Actividad 9: - b) / c) 0 d) 0 e) f) g) h) i) Actividad 0: -4/ b) -9 c) - d) Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

23 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad : f ( ) 4 ; f ( ) 6 b) f ( ) ; f ( ) Actividad : b) c) d) e) f) Actividad : b) c) d) e) f) g) h) i) j) 0 k) 0 l) k) 0 l) m) Actividad 4: 4 b) c) 0 d) e) 0 f) g) h) 0 Actividad 5: b) 0 c) 0 d) / Actividad 6: 0 b) c) 0 Actividad 7: a 4 Actividad 8: k 7 b) k Actividad 9:,, y b), y 6 Actividad 0: ; y b) Actividad : y 8 ; b) 0 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

24 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad :,, y Actividad : a y b Actividad 4: f { } b) f { } es continua en R, presentando en un salto s finito es continua en R 0, presentando en 0 un salto s infinito Actividad 5: Debe ser a 9 y b 0 Actividad 6: f es continua en { } R, presentando una discontinuidad de salto finito en b) g es continua en R {,}, presentando una discontinuidad de salto infinito en y una evitable en Actividad 7: La función es continua en presentando una discontinuidad de salto finito para f ( ) f ( ) 0 Actividad 8: R, La función es continua en { } Salto finito en 0 b) Salto finito en Actividad 9: Caso: a 8, es continua en R Caso : a 8, es continua en R, presentando en una discontinuidad de salto finito b) Caso : a /, es continua en R Caso : a /, es continua en R 0, presentando en 0 una discontinuidad de salto finito Actividad 0: a y b Actividad :, es continua en { }, es continua en { } a b) a 8, b Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

25 UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD Actividad : 5 millones de individuos b) millón de individuos Actividad : Basta hacer los límites b) No Tampoco Actividad 4: -/ Actividad 5: ; y 4 b) En la asíntota vertical: la gráfica tiende a por la izquierda y a por la derecha En la asíntota oblicua la gráfica está por encima de la asíntota en y por debajo en Actividad 6: a y el límite es -/ Actividad 7: α y el límite es 0 Actividad 8: La gráfica de f tiene asíntotas 0 e y y se corresponde con la gráfica 4 La gráfica de g tiene 0 e y y se corresponde con la gráfica La gráfica de h tiene 0 y se corresponde con la gráfica Actividad 9: / Actividad 40: y 0 Actividad 4: 0 e y Actividad 4: 0 ; y e y Actividad 4: Actividad 44: Actividad 45: a b) y 0 y Actividad 46: 0 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 5