Software Interactiu de Simulació de Camps Elèctrics Generats per Càrregues Puntuals

Transcripción

1 Software Interactiu de Simulació de Camps Elèctrics Generats per Càrregues Puntuals TITULACIÓ: Enginyeria Tècnica Industrial en Electrònica Industrial AUTOR: Juan Ramón Rodríguez Sánchez. DIRECTOR: Roger Cabré Rodon. DATA: Setembre del 2008.

2 1.Índex 1 Índex 1 Índex Memòria Descriptiva Objecte del Projecte Titular Destinataris Antecedents Programació Orientada a Objectes Classes a OOP Les Propietats a les Classes Mètodes a les Classes Objectes a OOP Estats a Objectes Missatges a Objectes Herència Polimorfisme Resum Descripció General Procés de Realització del Programa Introducció Requeriments Diagrama de Flux Descripció Funcional del Programa Memòria de Càlcul Dibuixar Vector d Intensitat de Camp Elèctric Dibuixar Vector d Intensitat de Camp Elèctric Discret Dibuixar Línia de Força Individual Dibuixar Línies de Força Inicials Dibuixar Línia Equipotencial Individual Dibuixar Línies Equipotencial Inicials Representació 3D Comprovació Teorema de Gauss Pressupost Preus Unitaris Descomposició de Partides Amidaments Aplicació de Preus - Pressupost Resum del Pressupost Plec de Condicions Condicions Generals Condicions Econòmiques

3 Títol del Projecte 1.Índex 5.3 Condicions Tècniques Condicions Facultatives Annexos Bibliografia Teoria de física (Camps Elèctrics, Teorema de Gauss, etc...) Visual Basic.net Altres Codi Codi Pantalla Principal ( Campelec ) Codi Pantalla Comprovació Teorema de Gauss ( Gauss ) Codi Pantalla Representació Potencial en 3D ( Gràfica ) Manual d Introducció a Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition

4 2.Memòria Descriptiva 2 Memòria Descriptiva 2.1 Objecte del Projecte El projecte consisteix en un programa informàtic de suport docent, el qual, mitjançant diferents presentacions gràfiques interactives, intenta fer més comprensible, per a l estudiant, la teoria de camps elèctrics generats per càrregues puntuals. El camp elèctric és en realitat tridimensional, però és obvi que una representació mitjanament clara sobre la pantalla d un ordinador només es pot fer en dues dimensions. Per tant, per a poder representar-lo en dues dimensions, hem de fer una sèrie de consideracions i rectificacions al càlcul, tal i com veurem més endavant. Pricipalment, tenim: - Una pantalla principal, amb una graella on col locarem càrregues que generen un camp elèctric. Les càrregues les introduirem de nou, o podem obrir un arxiu d extensió txt, prèviament creat, on s emmagatzemen els valors de les càrregues i llurs posicions. Aquestes càrregues podrem desplaçar-les, esborrar-les i afegir-ne d altres. A la graella hi podem representar els vectors d intensitat de camp elèctric, les línies de força i les línies equipotencials. Si volem, podrem imprimir la graella amb el que hi hagi representat. També podem guardar el valor de les càrregues i les posicions en un arxiu d extensió.txt, per a poder recuperar-ho posteriorment, si ens interessa. - En una altra pantalla, podrem comprovar el teorema de Gauss per a una superfície de 2D. Com és conegut, el teorema de Gauss diu que la integral de flux del camp a través d'una superfície tancada al voltant d'algunes de les càrregues, és proporcional amb un factor 4π k e (k e la constant elèctrica de la llei de Coulomb k e 9x10 9 N m 2 /C 2 ) a la suma de les càrregues tancades dins la superfície.com que ara treballarem en un espai de dues dimensions, no té sentit parlar de superficies tancades sinó de línies tancades dins el pla de treball, que envolten algunes de les càrregues i llavors el concepte de flux s'ha de redefinir per a línies, és el que en direm flux-2d. Igualment l eqüació del Teorema de Gauss mateix s'haurà d'adaptar en el sentit que ja direm més endevant. Aquí tindrem la graella amb les càrregues introduïdes, clicarem una sèrie de punts que formaran una àrea a la graella, i hi calcularem el flux- 2D resultant en aquesta àrea degut al camp elèctric existent. Aplicarem el teorema de Gauss (adaptat a 2D), i calcularem el flux teòric per l àrea definida abans. Compararem tots dos resultats per a comprovar que hem realitzat bé els càlcul. Les dades d aquests càlculs s emmagatzemen en una taula que, si volem, podem passar i guardar en un arxiu Excel. - En una tercera pantalla hi podem veure una representació en perspectiva 3D del potencial elèctric del camp existent. Aquesta representació s aconsegueix considerant que les coordenades X i Y són les dels punts de la graella, i la coordenada Z el potencial del camp elèctric en aquests punts. Per a aconseguir la impressió de tridimensionalitat, s han passat les coordenades cartesianes a coordenades esfèriques, i mitjançant la variació del angles de posició, podrem veure la representació del potencial des de diferents punts de vista. 4

5 2.Memòria Descriptiva És un software interactiu perquè ens permet introduir les càrregues que volguem, moure-les, afegir-ne, treure n, etc Titular El titular del projecte és el DEEEA (Departament d Enginyeria Electrònica, Elèctrica i Automàtica). Amb adreça: Escola Tècnica Superior d Enginyeria Avda. Països Catalans, 26 (Campus Sescelades) Tarragona 2.3 Destinataris Els destinataris seran principalment estudiants de primer curs de l assignatura Fonaments Físics de l Enginyeria que es cursa als ensenyaments de: Enginyeria Tècnica en Telecomunicacions especialitat en Telemàtica, Enginyeria Tècnica Industrial especialitat en Electricitat i Enginyeria Tècnica Industrial especialitat en Electrònica Industrial. Així mateix, podrà anar dirigit als estudiants dels nous graus d Electrònica, Electricitat, Informàtica, Telecomunicacions i Química que segurament cursaran una assignatura comú de Física. També es pot considerar destinatari qualsevol persona de l ETSE o aliena que estigui interessada en complementar la teoria dels camps elèctrics generats per càrregues puntuals amb exemples gràfics. Les persones de fora de l ETSE podran accedir a l aplicació respectant les condicions que imposi el DEEEA Antecedents Durant l estudi de la teoria de camps elèctrics, quan intentem fer-nos una imatge mental que ens ajudi a entendre-ho millor, hem de fer un esforç per a poder visualitzar conceptes que de vegades, malgrat ser prou clars, al mateix temps tenen un grau d abstracció que ens dificulta plasmar-los en imatge. En un tema bastant bàsic, com en el cas que ens pertoca del camp elèctric creat per partícules puntuals, la teoria és bastant clara, però imaginar-se, per exemple, que en un punt les línees de força i les equipotencials són perpendiculars, és molt més fàcil si podem veure-ho representat en una gràfica. És aquest el motiu pel que s ha fet aquesta aplicació, ajudar als alumnes a entendre més clarament la teoria de camps elèctrics creats per càrregues puntuals, mitjançant representacions gràfiques dels conceptes que s hi veuen involucrats. L aplicació a desenvolupar és essencialment un software interactiu que representarà línies en una graella. Així que, la funcionalitat que bàsicament haurà d implementar és: - Capacitat per a tractar events de teclat i ratolí. - Capacitat gràfica per a representar línies. - Càrrega de fitxers d imatge. - Lectura / escriptura de fitxers de text. - Escriptura de fitxers Excel per emmagatzemar taules de dades (no era imprescindible). 5

6 2.Memòria Descriptiva És obvi que, es disposa de diverses eines comercials de programació que satisfan les necessitats requerides per a implementar l aplicació del projecte. Entre aquestes eines, podríem posar com exemple el Visual C, el Java o el Visual Basic (que és per la que finalment s ha optat). Donat que l aplicació no conté cap element clarament diferenciador a favor de cap de les eines abans esmentades, la que finalment s ha triat per a la realització del projecte és el Visual Basic.Net (VB.Net). Les raons per haver escollit aquest llenguatge i no un altre són diverses, a continuació enumeraré alguna d elles: - El VB.Net té un entorn de treball bastant amigable (al contrari de per exemple el Visual C++, malgrat que aquest compta amb llibreries gràfiques). - El VB.Net pertany a la plataforma de Microsoft, la qual cosa assegurava la seva compatibilitat amb una sèrie de programes molt utilitzats (per exemple, a l aplicació, es guarda un document en format Excel). - L ús del VB.Net està molt estès, i es pot trobar una gran quantitat d informació a Internet, tant de manuals com de solucions als possibles problemes o dubtes que poguessin sorgir durant l elaboració del programa. - El VB es tractar d un llenguatge derivat del Basic, la qual cosa fa que resulti familiar al programador, tot i que la filosofia de l un i l altre és totalment diferent. - Una altra raó de pes, és que Microsoft proporciona a la seva pàgina Web, de manera gratuïta, una versió del programa anomenada Visual Basic 2005 Express Edition, que potser no té totes les prestacions de la versió Professional, però que permet desenvolupar programes sense cap tipus de problema (l enllaç on es pot trobar aquest programa és el següent: Ara ja han llençat la versió 2008, la qual accepta qualsevol programa escrit en la versió 2005). 6

7 2.Memòria Descriptiva 2.5 Programació Orientada a Objectes El VB.Net és un llenguatge dels anomenats de Programació Orientada a Objectes (OOP de les sigles en anglès Object Oriented Programming)., i com que aquest és un tret diferenciador important entre uns llenguatges i altres, és adient fer una petita explicació de què es tracta. La programació OOP és una evolució de la programació procedural basada en funcions, que permeten agrupar elements de codi (rutines i dades) amb funcionalitats similars, sota un sistema unificat de manipulació i accés a aquests elements. La motivació del sorgiment de la OOP va ser que durant anys, els programadors es van dedicar a construir aplicacions molt semblants que resolien un els mateixos problemes. Per aconseguir que els esforços dels programadors poguessin ser utilitzats per altres persones es va crear la OOP. O sigui, que consisteix en una sèrie de normes de realitzar el codi, de manera que aquest es pugui reutilitzar. Pensar en termes d objecte és molt semblant a com ho faríem a la vida real. Per exemple, pensarem en un vehicle i tractarem de fer un model en un esquema de OOP. Diríem que el Vehicle és l element principal que té una sèrie de característiques, com podrien ser el color, el model o la marca. A més té una sèrie de funcionalitats associades, como poden ser engegar, parar o aparcar. En un esquema OOP el Vehicle seria l objecte, les propietats serien les característiques com el color o el model i els mètodes serien les funcionalitats associades como engegar o parar. Un altre exemple, modelitzarem en un esquema OOP una fracció (3/2, 1/5, etc...). La Fracció serà l objecte i tindrà dues propietats, el numerador i el denominador. Podrà tenir diversos mètodes com simplificar-se, sumar-se amb una altra fracció o número, restar-se, etc... Aquest dos objectes anteriors es podrien utilitzar a un programa de matemàtiques i a un programa que gestioni un taller de vehicles respectivament, per exemple. Al mateix temps, el taller de vehicles podria ser també un objecte que fa servir altres objectes (vehicles, eines, mecànics, etc...) Classes a OOP Les classes són declaracions d objectes, també es podrien definir como abstraccions d objectes. Això vol dir que la definició d un objecte és la classe. Quan es programa un objecte i es defineixen les seves característiques i funcionalitats, el que realment s està fent és programar una classe. Als exemples anteriors, estaríem parlant de la classe Vehicle i de la classe Fracció Les Propietats a les Classes Les propietats o atributs són les característiques dels objectes. Quan es defineix una propietat, normalment, s especifiquen el seu nom i el seu tipus. Podríem pensar que les propietats són com variables a on s emmagatzemen dades relacionades amb els objectes. 7

8 2.Memòria Descriptiva Mètodes a les Classes Són les funcionalitats associades als objectes. Els mètodes són com funcions que estan associades a un objecte Objectes a OOP Els objectes són exemplars d una classe qualsevol. Quan es crea un exemplar, s ha d especificar la classe a partir de la qual es crearà. Aquesta acció de crear un objecte a partir d una classe s anomena instanciar (que ve d una traducció mal feta de la paraula instace que en anglès significa exemplar). Per exemple, 3/5 és un objecte de la classe fracció. El concepte o definició de fracció seria la classe, però quan parlem d una fracció en concret (1/3, 2/5, etc...) l anomenem objecte. Per a crear un objecte s ha d escriure una instrucció especial que pot ser diferent depenent del llenguatge de programació, però serà quelcom semblant a: meuvehicle = new Vehicle() Amb la paraula new especifiquem que s ha de crear una instància de la classe que la segueix. Al parèntesi hi podríem posar, per exemple, paràmetres d inicialització de l objecte Estats a Objectes Quan tenim un objecte, les seves propietats prenen valors. Per exemple, quan tenim un objecte Vehicle, la propietat color prendrà un valor en concret (vermell, gris, etc...). Del valor concret d una propietat d un objecte se n diu estat. Per accedir a un estat d un objecte, per veure el seu valor o canviar-lo, s utilitza l operador punt (.). meuvehicle.color = Vermell L objecte és meuvehicle, seguidament posem l operador punt i per últim el nom de la propietat a la que volem accedir. En aquest exemple estem canviant el valor de l estat de la propietat de l objecte a vermell, amb una simple assignació Missatges a Objectes Un missatge a un objecte és l acció d efectuar una crida a un mètode. Per exemple, quan li diem a un objecte Vehicle que s engegui, estem passant-li el missatge engega t. Per enviar un missatge als objectes, utilitzarem l operador punt (.) seguit del mètode que vulguem cridar (invocar). meuvehicle.engegar() En aquest exemple, passem el missatge Engegar(). S ha de posar parèntesi, i a l igual que qualsevol crida a una funció, dins aniran els paràmetres que passem. 8

9 2.Memòria Descriptiva Herència A la OOP existeix la possibilitat de extendre el comportament d una classe, afegint atributs i mètodes. El mecanisme utilitzat per a fer això s anomena herència. Continuant amb l exemple de la classe Vehicle, podríem voler definir una classe Camió. Bàsicament un Camió té totes les característiques d un Vehicle (marca, model, color, etc...), però a més tindrà altres atributs (com per exemple, la càrrega que pot transportar, si el remolc és articulat, etc...) i altres mètodes (carregar, descarregar, etc...). És per això que podrem definir la classe Camió heretant de la classe Vehicle (en OOP s utilitza l expressió un Camió és un Vehicle ), i afegint el nou comportament (mètodes i atributs) En resum, l herència serveix per a crear objectes que incorporen propietats i mètodes d altres objectes. Així podem construir uns objectes a partir d altres sense haver de reescriure-ho tot novament Polimorfisme El polimorfisme determina que el mateix nom de mètode, realitzarà diferents accions segons sigui l objecte sobre el que s aplica. Per exemple, si tenim dos objectes Pilota i GotdeVidre, i executem sobre ambdós el mètode Llençar, el resultat en cada cas serà molt diferent (la Pilota rebotarà i el GotdeVidre es trencarà). El programador que faci ús de l objecte, no necessita conèixer els detalls de la implementació dels mètodes, tan sols es limita a utilitzar-los i a obtenir-ne els resultats Resum La programació orientada a objectes expressa un programa com un conjunt d aquest objectes, que col laboren entre ells per a realitzar tasques. Això permet fer els programes i mòduls més fàcils d escriure, mantenir i reutilitzar. Els mètodes (comportament) i atributs (estat) estan estretament relacionats per la propietat de conjunt. Aquesta propietat destaca que una classe necessita de mètodes per a poder tractar els atributs que té. Això difereix de la programació estructurada tradicional on les dades i els procediments estan separats i sense cap relació, ja que l única cosa que es busca és el processament d unes dades d entrada per a obtenir unes altres de sortida. A la programació estructurada només s escriuen funcions que processen dades. A la OOP primer es defineixen objectes per a després enviar-los missatges sol licitant que realitzin els seus mètodes per sí mateixos. A lo que abans en dèiem tipus, referint-nos a estructures de dades, ara en diem classe, entenent como a tal no només les estructures, sinó també el comportament associat (les acciones i funcions associades directament amb l estructura de dades) A lo que abans en dèiem variable ara en diem objecte. Així com les variables són de determinat tipus, els objectes són de determinada classe. Els procediments i funcions definits dins d una classe es diuen mètodes, en tant que els camps es denominen atributs. 9

10 2.Memòria Descriptiva 2.6 Descripció General Procés de Realització del Programa Activitats a considerar per la creació del projecte: Nº Activitat Designació de l activitat Duració (dies) Plantejament d objectius i decisió del llenguatge 2 1 a utilitzar 2 Investigació i estudis previs de la teoria 2 Estudi del llenguatge emprat per escriure el 30 3 programa 4 Realització del programa 60 5 Disseny i realització de la memòria i el manual d usuari 15 Duració total d activitats El diagrama de Gantt de la Figura 1 mostra la distribució de les tasques en què es va dividir en un principi el projecte i sobre les quals es va realitzar una planificació temporal per a dur-les a terme. S hi poden veure la planificació inicial i el desenvolupament real de les tasques realitzades. Òbviament, com tota planificació, aquesta a patit canvis i modificacions al llarg del desenvolupament del projecte. Observant la Figura 1, es pot apreciar que existeixen diferències substancials entre la planificació prevista i la final. Això és degut a varies causes: - A una planificació excessivament optimista pel que fa a la distribució de les tasques durant el projecte. - A la inversió de més temps del desitjat en algunes tasques degut a la compaginació d activitats laborals. - A què algunes tasques han tingut uns requeriments de temps superiors als previstos, ja sigui causat per la metodologia o per la insuficient inversió d hores de treball durant el temps assignat a elles. - A què hi ha tasques que sorgeixen a mida que s avança en el projecte, a l igual que d altres que es suprimeixen o canvien 1 Es considera com activitat diària l execució de 8 hores de treball efectives 10

11 2.Memòria Descriptiva Figura 1. Diagrama de Gantt. Planificació de Tasques 11

12 2.Memòria Descriptiva Introducció Aquesta aplicació consta d una pàgina principal amb una graella on es podran col locar càrregues per a veure la representació del camp elèctric, línies equipotencials, etc... i de dues pàgines secundàries, una on es podrà veure una representació tridimensional del potencial elèctric i una altra on es podrà comprovar el teorema de Gauss per a una superfície de 2D. La present memòria s acompanya d un CD que conté l arxiu d instal lació del programa Requeriments Els requeriments mínims per a executar l aplicació són els següents: - Sistema Operatiu Windows 2000 o superior. - Lector de CD ROM, Port USB o algun tipus de comunicació amb altres ordinadors, per a poder copiar els arxius necessaris a la unitat C: de l ordinador on es vol treballar. - Tenir instal lat el.net Framework 2.0 de Microsoft. El programa d instal lació o porta incorporat, sense necessitat de connectar-se a Internet - Tenir instal lat el programa Microsoft Office Excel 2003 o superior (si no és així, el programa funciona igualment, però l opció de guardar les dades en Excel no funcionarà, i aquesta tasca s haurà de fer a mà, seleccionant, copiant i després pegant. La resolució de pantalla recomanada per veure tots els recursos que ofereix el programa de forma idònia és de 1280x800 píxels, ja que és la resolució del monitor on s ha desenvolupat el programa, però no és problema tenir una altra configuració, sempre i quan la resolució de les Y sigui més gran de 600 píxels (720, 768,.etc..). 12

13 2.Memòria Descriptiva Diagrama de Flux A continuació es presenta el diagrama de flux del programa, per a mostrar, d una manera senzilla, quin és el seu funcionament bàsic. Figura 2. Diagrama de Flux. Pantalla Principal 13

14 2.Memòria Descriptiva Figura 3. Diagrama de Flux. Pantalles: Gràfica 3D i Comprovació Teorema de Gauss 14

15 2.Memòria Descriptiva Descripció Funcional del Programa A continuació es descriurà quin és el funcionament del programa. Per a què sigui més comprensible, es farà amb un parell d exemples. Per tant aquest apartat podríem entendre l també com una mena de manual d usuari. Un cop iniciem el programa amb l arxiu executable, se ns mostrarà la pantalla principal que veiem a la Figura 3. Figura 3. Pantalla Principal Les diferents parts que clarament podem distingir són: - La Graella. Situada al centre de la imatge, és on col locarem les càrregues i on es representaran les diferents gràfiques. - La Barra d Eines. Situada dalt de tot a l esquerra. Conté quatre botons. A continuació s explicarà per a què serveix cadascun. - La Llegenda. Situada a la part esquerra de la pantalla. Hi veiem el codi de colors, etc... - Etiquetes. Situades a la part esquerra de la pantalla, sota la llegenda. - Els Botons. Situats a sobre de la graella. 15

16 2.Memòria Descriptiva A continuació s explicarà què és cada element d aquesta pàgina principal, i més endavant, amb un exemple, anirem veient per a què serveixen: Nova Presentació. Serveix per iniciar una nova presentació. Obrir Arxiu. Serveix per recuperar una presentació guardada amb anterioritat. S obre un Guardar Arxiu. Serveix per guardar la presentació en curs. Guarda el valor de les càrregues i la posició de cadascuna d elles, ho fa en format.txt. Imprimir. Serveix per imprimir la graella de la presentació actual amb lo que hi hagi dibuixat dins. Abans d imprimir, s obre una previsualització Iniciar. Serveix per iniciar una nova presentació. Sortir. Serveix per sortir del programa. Reiniciar Serveix per iniciar una nova presentació, descartant l actual. Afegir Càrrega. Serveix per afegir una càrrega a la presentació en curs. Esborrar Càrrega. Serveix per esborrar una càrrega a la presentació en curs. Moure Càrrega. Serveix per moure les càrregues de la presentació en curs Netejar. Serveix per a esborrar totes les línies que hi hagi a la graella. 16

17 2.Memòria Descriptiva Dibuixar Vectors d Intensitat de Camp Elèctric. Serveix per dibuixar els vectors d intensitat de camp elèctric creat per les càrregues de la presentació. Es representa a mòdul constant, per a què es distingeixi bé. Al clicar aquí apareix dues barres lliscants (trackbars) amb la que es poden variar el mòdul dels vectors i la distància entre vectors dibuixats. Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Dibuixar Vector d Intensitat de Camp Elèctric Discret. Serveix per mostrar el vector d intensitat de camp elèctric al punt de la graella per on passa el cursor, també mostra una etiqueta amb les coordenades del punt per on passa i el valor del mòdul en aquest punt. Si fem click a la graella, tant l etiqueta com el vector es quedaran dibuixats a la graella. Dibuixar Línies de Força. Serveix per dibuixar una sèrie de línies de força creades per les càrregues de la presentació. Les línies de força tenen una sèrie de propietats definitòries: 1. Les línies de força són trajectòries que en cada punt per on passen són tangents al vector d'intensitat de camp en aquell punt. 2. Les línies de força tenen sempre un sentit tal que surten de les càrregues positives o de l'infinit i van a para a les càrregues negatives o a l'infinit. 3. Igualment és cert que, si dibuixéssim un número de línies de força sortints de cada càrrega positiva o entrants a cada càrrega negativa, directament proporcional al valor d'aquesta càrrega, i distribuides angularment de forma homogènia al voltant d'ella; llavors en cada punt la densitat de línies de força seria proporcional al valor del camp. El software automàticament ja realitza la distribució de la propietat 3. Crea automàticament un número de línies de força entrants i sortints, proporcionals al valor de la càrrega i a més les distribueix homogèniament al seu voltant. Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Dibuixar Línia de Força Individual. Serveix per dibuixar el la línia de força que passa pel punt de la graella on es faci click amb el ratolí. Serveix per si l'usuari vol afegir línies que passin per llocs on l'algorisme automàtic del botó anterior no ha creat. Dibuixar Línies Equipotencials. És evident, que a causa de la reducció de la dimensionalitat, ara no parlarem de superfícies equipotencials tal i com es fa de 17

18 2.Memòria Descriptiva forma usual en teoria del camp elèctric 3D, sinó que ho reduirem a línies equipotencials. El botó serveix per dibuixar una sèrie de línies equipotencials creades per les càrregues de la presentació de forma automàtica. Les línies que automàticament es dibuixen corresponen a valors del potencial homogèniament distribuït entre dos valors extrems de màxim i de mínim, dels qual ja parlarem. Per això: la quantitat de línies que observem més a prop de cada càrrega creix a mesura que creix el valor de la càrrega en comparació a les altres. Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Dibuixar Línia Equipotencial Individual. Serveix per dibuixar la línia equipotencial que passa pel punt de la graella on es faci click amb el ratolí. Igualment que abans, serveix per si l'usuari vol afegir línies que passin per llocs on l'algorisme automàtic del botó anterior no ha creat. Representació 3D. Al clicar el botó, s obre una altra pantalla on hi veurem una representació en perspectiva tridimensional del potencial elèctric a la graella, creat per les càrregues de la presentació en curs. Comprovació T. Gauss. Al clicar el botó, s obre una altra pantalla on hi podrem comprovar el Teorema de Gauss per a una línia tancada en 2D. 18

19 2.Memòria Descriptiva Per a entendre millor el funcionament del programa, anem a desenvolupar un exemple, seguint una sèrie de passos: 1. Hem de col locar càrregues a la graella. Això ho podem fer de dues maneres: - Obrint un arxiu prèviament guardat, amb el botó Obrir Arxiu ( ), que conté la informació dels valors de les càrregues amb llurs posicions. Al clicar aquest botó s obrirà un quadre de diàleg on es pot escollir l arxiu a obrir que ha de tenir extensió.txt (Figura 4). Figura 4. Valor de les Càrregues En aquest cas, les càrregues ja estan introduïdes, doncs anteriorment hem guardat aquesta disposició. - Clicant a la Graella, al botó Nova Presentació ( ) o al botó Iniciar ( ). S obrirà una finestra emergent que ens preguntarà quantes càrregues volem introduir (amb un màxim de 10, ja que pel tamany de la graella i pel que necessitem és un número més que suficient), i posteriorment haurem d introduir el valor de cada una (Figura 5 i Figura 6). Anem amb compte ja que les unitats per defecte són Coulombs (C) i els valors usuals de les càrregues haurien de ser fraccions molt petites del coulomb (μc, mc). Figura 5. Nº de Càrregues 19

20 2.Memòria Descriptiva Figura 6. Valor de les Càrregues Un cop haguem introduït el valor de les càrregues, les veurem aparèixer a la graella, i les podrem moure a on vulguem arrossegant-les amb el ratolí. A la part dreta de la pantalla es faran visibles unes etiquetes amb el valor i la posició de cada una d elles (Figura 7). A la posició on situem una Càrrega Negativa veurem el símbol, i a on situem una Càrrega Positiva veurem aquest altre. Figura 7. Etiquetes Valor i Posició de les Càrregues 2. Un cop introduïdes les càrregues, si cliquem novament els botons Nova Presentació o Iniciar, tornarà a demanar-nos que introduïm les càrregues. I si cliquem al botó Reiniciar ( ), tornarem a la pantalla inicial. 3. Si en qualsevol moment cliquem el botó Sortir ( ), es tancarà l aplicació. 4. Si en qualsevol moment cliquem el botó Guardar Arxiu ( ), s obrirà un quadre de diàleg que ens preguntarà on i amb quin nom volem guardar l arxiu (que tindrà extensió txt). Aquest arxiu emmagatzemarà els valors de les càrregues i llurs posicions (Figura 8). Figura 8. Guardar Arxiu 20

21 2.Memòria Descriptiva 5. Si en qualsevol moment volem imprimir el contingut de la graella, hem de clicar el botó Imprimir ( ), primer s obrirà una previsualització (Figura 9) i posteriorment un quadre de diàleg on hem d escollir la impressora per on volem treure la impressió (Figura 10). Figura 9. Imprimir. Vista Preliminar Figura 10. Imprimir. Elecció d Impressora 6. Al desplaçar el cursor sobre la graella, podem veure com les etiquetes Posició Cursor, ens indiquen a cada moment sobre quin punt de la graella ens trobem i el valor del potencial elèctric i el mòdul del vector intensitat de camp en aquest punt (Figura 11). 21

22 2.Memòria Descriptiva Figura 11. Etiquetes Posició Cursor 7. Al clicar amb el ratolí sobre la graella, veurem com les etiquetes Click al Panel ens mostren el valor de la X, de la Y del punt clicat, el potencial elèctric, i les components X,Y i el mòdul, del vector intensitat de camp elèctric en aquest punt (Figura 12). Figura 12. Etiquetes Click al Panel 8. Si en qualsevol moment, volem moure les càrregues del lloc on es troben, hem d activar el botó Moure Càrrega ( ), i arrossegar-les allà on vulguem. En quan cliquem qualsevol altre botó, aquest es desactivarà. 9. Si en qualsevol moment volem afegir una càrrega, hem de clicar al botó Afegir Càrrega ( ). S obrirà una finestra com la de la Figura 6 que ens demanarà que introduïm el valor de la càrrega. Un cop fet, apareixerà la càrrega, així com les etiquetes corresponents de valor i posició. 10. Si en qualsevol moment volem esborrar una de les càrregues que tenim a la graella, només hem de clicar el botó Esborrar Càrrega ( ). S obrirà una finestra que ens demanarà quina és la càrrega que volem esborrar (Figura 13). Figura 13. Esborrar Càrrega 22

23 2.Memòria Descriptiva 11. Si en qualsevol moment cliquem el botó Netejar ( ), s esborraran totes les línies de la graella, quedant tan sols les càrregues situades al mateix lloc on estaven. 12. Si activem el botó Dibuixar Vectors d Intensitat de Camp Elèctric ( ), veurem que com es representen a la graella els Vectors d Intensitat de Camp Elèctric a mòdul constant (Figura 14). Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Recordem que La Intensitat de Camp Elèctric (E) en un punt, es defineix com la força exercida per un camp elèctric sobre la unitat de càrrega positiva situada en aquest punt. Si el camp elèctric estigués creat per n càrregues, la fórmula per a calcular el vector d intensitat de camp en un punt r, seria, segons la Llei de Coulomb: E = n i= 1 k qi ( r ri ) 3 r r i On k 9 x 10 9 Nm 2 /C 2 és la constant elèctrica, r i és la posició de la càrrega q i, r la del punt on volem calcular el camp. Com podem veure, cada càrrega introdueix una contribució al camp que va en la direcció radial del vector r-r i que uneix la càrrega amb el punt r; és proporcional a la càrrega q i i inversament proporcional al quadrat de la distància radial r-r i entre la càrrega i el punt. La raó de dibuixar-los a mòdul constant, és per poder apreciar amb claredat quina direcció i sentit prenen aquests vectors a cada punt, ja que si els dibuixéssim amb el valor del seu mòdul real, simplement podríem veure un garbuix de línies que es creuen i que es tapen les unes a les altres. Això és així perquè quan ens apropem a les càrregues, els vectors d intensitat de camp creixen molt pronunciadament, inversament al quadrat de la distància exponencialment. Això vol dir que quan més a prop d una càrrega està el punt (o sigui, la unitat de càrrega positiva), amb més força o intensitat és atreta (o repel lida, segons sigui la càrrega positiva o negativa). Figura 14. Dibuixar Vectors d Intensitat de Camp Elèctric 23

24 2.Memòria Descriptiva També per a poder apreciar bé aquests vectors, no hem dibuixat un per a cada punt (o píxel), la distància que s ha agafat inicialment entre punt i punt és de 25 píxels. De qualsevol manera, s han afegit dues trackbar, que només apareixen quan s activa aquest botó, amb les que podem augmentar i disminuir tant el mòdul dels vectors d intensitat de camp, com la distància entre els punts per als que els dibuixem(figura 15). Figura 15. TrackBars per a Distància i Mòdul de Vectors Si augmentem el mòdul dels vectors veurem quelcom semblant a la Figura 16, i si augmentem la distància entre els punts pels que hem dibuixat els vectors, quelcom semblant a la Figura 17. Figura 16. Augmentem el Mòdul dels Vectors 24

25 2.Memòria Descriptiva Figura 17. Augmentem la Distància entre Vectors Dibuixats Podem apreciar clarament la direcció i sentit dels vectors, i els vectors dibuixats deixen entreveure com seran les línies de força, o línies de camp que veurem més endavant. Això no és estrany, ja que hem de recordar que el vector d intensitat de camp en un punt, i la línia de força en aquest punt, són tangents (Figura 18). Figura 18. Com els Vectors d Intensitat de Camp deixen entreveure la trajectòria de les Línies de Força 13. Si cliquem a Dibuixar Vector d Intensitat de Camp Elèctric Discret ( ), se ns mostrarà el vector d intensitat de camp elèctric al punt de la graella per on passa el cursor. Si fem click amb el ratolí, tant el vector com també una etiqueta amb les 25

26 2.Memòria Descriptiva coordenades del punt i el valor del mòdul en aquest punt, es quedaran dibuixats a la graella (Figura 20). Al fer click en aquest botó, no s esborraran les línies anteriorment dibuixades a la graella, la qual cosa és molt útil. Al representar aquests vectors, veurem clar perquè amb l altre botó els dibuixem a mòdul constant. Aquí no veurem els vectors a mòdul constant, però tampoc els representarem amb la seva magnitud real. Això és així perquè, quan les càrregues són molt grans, els vectors surten dels límits del dibuix i quan són molt petites, molts vectors són tan petits que ni es veuen. Per aquesta raó, escalarem el mòdul dels vectors, de manera que encara que no siguin el valors reals, sí que es mantindran les relacions de mòduls d uns vectors respecte als altres. Amb la finalitat de que sigui més clar, els vectors de mòdul inferior a un cert valor ordre, s han dibuixat amb aquest valor mínim. Malgrat tenir els mòduls escalats, si ens interessa, tenim el valor real de les components Ex i Ey i del mòdul al punt clicat a les etiquetes de Click al Panel., tal i com hem vist anteriorment. Figura 20. Dibuixar Vector d Intensitat de Camp Discret 14. Si activem el botó Dibuixar Línies de Força ( ),veurem que com es representen a la graella els una sèrie de línies de força o línies de camp (Figura 21 i Figura 22). Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Recordem que les Línies de Força o Línies de Camp són la trajectòria que seguiria la unitat elèctrica positiva abandonada a l acció del camp elèctric, i sense acceleració i que a cada punt de l espai, les línies de força són tangents als vectors d intensitat de camp elèctric. És a dir, les línies de força indiquen a cada punt la direcció que té el camp elèctric. Aquestes línies mai es creuen entre elles, i quants més properes estiguin entre elles, significa que tan més intens és el camp elèctric. 26

27 2.Memòria Descriptiva Figura 21. Dibuixar Línies de Força (3 Càrregues) Figura 22. Dibuixar Línies de Força (2 Càrregues) Al activar aquest botó, el que es pretén és dibuixar una sèrie de línies de força que donin una idea de com és el camp elèctric creat per les càrregues que hem introduït. I per representar-les hem de tenir en compte que: - Les línies de força han de partir de càrregues positives i acabar en càrregues negatives, i en absència d unes o altres han de partir o acabar a l infinit (Figura 23). - En una representació normalitzada, el número de línies de força que surten d una càrrega positiva o arriben a una càrrega negativa hauria de ser proporcional a la quantitat de càrrega respectiva. - La intensitat del camp elèctric es visualitza mitjançant l apropament entre les línies de força, a major densitat de línies, major intensitat de camp elèctric - Les línies de força mai es poden creuar. Si es creuessin en un punt, significaria que en aquest punt el camp elèctric tindria dues direccions 27

28 2.Memòria Descriptiva diferents, és a dir, que tindria més d un valor d intensitat de camp. Això no és possible doncs la teoria ens diu que per definició a cada punt li correspon un únic valor d intensitat de camp. Figura 23. Dibuixar Línies de Força (1 Càrrega) Per a aconseguir això, l algorisme de representació s ha resolt de la següent forma: - Les línies dibuixades surten (o arriben) de les càrregues de signe predominant, és a dir, de les positives si el valor de la suma de les càrregues positives és major que el valor de la suma de les càrregues negatives, o a l inrevés. - Les línies estan repartides entre les càrregues, proporcionalment al seu valor, per exemple si d una càrrega de 1 μc surten N línies, d una altra de 2 μc sortiran 2N línies, ja que, com ja sabem, quant més gran sigui la càrrega, major és la intensitat de camp, i per representar això es dibuixen més línies de força per unitat de superfície. - Depenent del número de càrregues, es dibuixen més o menys línies de força. Realment hi ha infinites línies de força, però lògicament no es dibuixen totes per claredat. - Un cop determinades el número de línies que surten o entren a la càrrega, aquestes es reparteixen de forma homogènia en totes direccions al voltant d'elles. No es tracta de fer una representació exacta, si no de donar una idea aproximada que ajudi a entendre el concepte Si el camp elèctric està compensat, en teoria, cada línia de camp que surt d una càrrega positiva ha d arribar a una càrrega negativa. Com que la graella és com una finestra finita i petita des de la que observem el camp elèctric generat per les càrregues, és possible que, a la nostra representació, no totes les línies que surten de les càrregues positives vagin a parar a les negatives. Això és així perquè les línies que surten dels límits de la nostra finestra, i teòricament donen el tomb i retornen 28

29 2.Memòria Descriptiva per anar a parar a una càrrega negativa, des de el nostre finit punt de vista, marxen massa lluny. En aquests casos ens és impossible representar-les sortint d una càrrega positiva i arribant a una negativa, solsament veurem com la línia surt d una càrrega positiva i se n va fora dels límits de la graella, o com la línia arriba a una càrrega negativa sorgint dels límits de la graella (Figura 24) Si el camp elèctric no està compensat (ja sigui perquè només hi ha càrregues del mateix signe o el valor de les d un signe és molt més gran que el valor de les de signe oposat), no totes les línies de força que surten d una càrrega positiva acaben a una de negativa. En aquest cas, la falta de compensació la veurem reflexada en línies de força que realment van o venen de l'infinit (Figura 25). Figura 24. Línies que des de el nostre punt de vista van a parar a l infinit. Figura 25. Línies que realment van a parar a l infinit. 29

30 2.Memòria Descriptiva Si es volgués veure com és la línia de força que passa per un punt en concret, o per a completar el dibuix inicial que es dóna, s ha d activar el botó Dibuixar Línia de Força Individual ( ) i clicar a la graella el punt escollit. 15. Si activem el botó de Dibuixar Línia de Força Individual ( ), es dibuixarà al punt de la graella on es faci click la línia de força que passa per aquest punt. Al fer click en aquest botó, no s esborraran les línies anteriorment dibuixades a la graella. A la Figura 26, podem observar la Figura 24 completada amb línies de força individuals, clicant en punts de la graella de la regió que havia quedat més buida. Es pot apreciar que el color de les línies és més fort que a les pintades inicialment. Figura 26. Dibuixar Línia de Força Individual 16. Si activem el botó Dibuixar Línies Equipotencials ( ), veurem que com es representen a la graella una sèrie de línies equipotencials (Figura 27 i Figura 28). Les línies equipotencials amb valor positiu es pintaran de color blau, i les negatives de color vermell. Al fer click en aquest botó, s esborraran totes les línies anteriorment dibuixades. Per a representar-les hem de tenir en compte que: - Recordem que el potencial elèctric sobre en un punt r, creat per una càrrega q 1 a l'orígen de coordenades, és el treball W que ha de realitzar una força k q 1 q 2 r elèctrica (llei de Coulomb: F = ) per a moure una càrrega unitària 2 r r positiva (q 2 =1 C) des de l infinit (on el potencial és zero) fins aquest punt r W ( V = ). q 1 30

31 2.Memòria Descriptiva - Fent el càlcul pertinent d'aquest treball surt l' energia potencial electrostàtica k q 2 q1 mútua que és: U = ; i per unitat de càrrega elèctrica q 0 = 1 C, surt el r U k q1 potencial elèctric que és V = => V = q 0 r Com és obvi, el potencial elèctric és un escalar. - Les línies equipotencials uneixen punts amb el mateix potencial elèctric. - Si dibuixem línies equipotencials separades per un increment igual de potencial, observarem que quant més a prop de les càrregues, les línies equipotencials estaran més juntes (mirant la fórmula veiem que el potencial és inversament proporcional a la distància de separació a la càrrega). La representació s ha resolt dibuixant 20 línies equipotencials entre la càrrega de valor més gran i la de valor més petit. Aquestes 20 línies corresponen a increments constants de potencial. Es podrien haver dibuixat més línies, però amb aquestes ja tenim una idea de com serà la distribució de línies equipotencials. Es pot observar que quan més gran és la càrrega, les línies estan més juntes al apropar-nos a ella (a les figues 27 i 28, fixeu-vos també en el valor de les càrregues representades per apreciar millor això). Si volguéssim veure com es la línia equipotencial que passa per un punt en concret, s ha d activar el botó Dibuixar Línia Equipotencial Individual ( ) i clicar a la graella el punt escollit. Figura 27. Dibuixar Línies Equipotencials (3 Càrregues) 31

32 2.Memòria Descriptiva Figura 28. Dibuixar Línies Equipotencials (2 Càrregues) 17. Si activem el botó Dibuixar Línia Equipotencial Individual ( ), tal i com hem dit abans, es representarà la línia equipotencial que passa pel punt de la graella on cliquem amb el ratolí. Si la línia equipotencial té valor positiu es pintarà de color blau, i si és de valor negatiu de color vermell. Al fer click en aquest botó, no s esborraran les línies anteriorment dibuixades a la graella. A la Figura 29 podem veure la representació de la Figura 27 completada amb línies equipotencials dibuixades a la zona de la graella que havia. quedat més buida. Es pot apreciar que el color de les línies és més fort que a les pintades inicialment. Figura 29. Dibuixar Línia Equipotencial Individual 32

33 2.Memòria Descriptiva 18. Si activem el botó Representació 3D ( ), s obrirà una altra pantalla on hi veurem una representació en perspectiva 3D del potencial elèctric creat per les càrregues de la presentació en curs. La posició dels punts de la graella seran les components X i Y de la perspectiva, i el potencial d aquests punts en serà la component Z. Serà quelcom semblant a la Figura 30. Figura 30. Pantalla Perspectiva 3D Hi trobem els següents elements: - Sortir. Serveix per tancar la pantalla. - Reiniciar. Serveix per tornar a mostrar aquesta pantalla inicial en qualsevol moment - La Gràfica. Situada al centre de la pantalla. Ens mostra la distribució del potencial elèctric a la graella. Veiem de color vermell els punts amb potencial negatiu, i en color blau els de potencial positiu. 33

34 2.Memòria Descriptiva - Desplaçar Origen. Desplacen la gràfica horitzontalment i verticalment. Per si en algun moment la gràfica surt dels límits de la pantalla, o queda tapada per algun control. - Modificar Punt de Vista de la Gràfica. Mitjançant els botons de les fletxes, es poden variar l orientació dels eixos de coordenades i dels angles de posició dels punts, per tal d obtenir una perspectiva diferent de la gràfica. Actuant sobre aquestes fletxes podrem veure quelcom semblant a la Figura 31. Figura 31. Perspectiva del Potencial S ha limitat el valor màxim del potencial, ja que a mida que ens apropem a les k q1 càrregues, aquest creix fins a l infinit ( V = ). Observant, també veurem que les r càrregues quan més grans siguin, més ampla serà la base, ja que extendran la seva influència més lluny. 34

35 2.Memòria Descriptiva 19. Si activem el botó Comprovació Teorema de Gauss ( ), s obrirà una altra pantalla on hi podrem comprovar el Teorema de Gauss per a una superfície de 2D. Serà quelcom semblant a la Figura 32. En el cas típic de camps en distribució 3D podríem dir que el Flux del Camp Elèctric és proporcional al número de línies de força que travessen un element d àrea perpendicular al camp elèctric. O sigui, si considerem una determinada superfície S perpendicular al camp elèctric E definim el Flux de Camp Elèctric com el producte del mòdul del camp per l àrea de la superfície perpendicular al camp: φ = E S E Com que el camp és proporcional al número de línies de força per unitat d àrea, el flux és proporcional al número de línies de força que travessen la superfície. Si la superfície no fos perpendicular en tots els punts al camp, el flux seria definit pel producte escalar: φ = E S n = E d s E S cosα E = On n és un vector unitari perpendicular a la superfície a cada punt, i α l angle entre E i n. Si ens interessa conèixer el flux del camp elèctric a través d una superfície tancada, i només es considera a cada punt de la superfície la component del camp elèctric que li és perpendicular.: φ E n S = E d s E 35 = S S D aquesta manera podem trobar la quantitat de línies de força que surten de la superfície tancada menys la quantitat de línies de força que hi entren. Llavors, recordem que el Teorema de Gauss diu que: el flux de camp elèctric que travessa una superfície tancada és: φ = 4 π k n i= 1 Això és per una superfície en 3D, però com que estem treballant en 2D, el Teorema de Gauss queda així: φ = 2 π k n i= 1 On qi són les càrregues internes a la superfície i k és la constant elèctrica. A més s'ha de canviar la superfície tancada S per una línia tancada C, i els elements de flux s'han de calcular no amb superfícies sinó amb línies: E dl enlloc de E ds E = c E dl La comprovació del Teorema de Gauss anirà de la següent manera: φ - Activarem el botó Marcar Punts ( ), i llavors anirem clicant una sèrie de punts a la graella que conformaran una superfície tancada. - Un cop marcats els punts que volguem, cliquem el botó Calcular ( ) qi qi

36 2.Memòria Descriptiva - El programa calcula el flux, generat per les càrregues de la graella, que travessa cada segment que uneix els punts que hem introduït. - Es calcula el sumatori dels fluxos anteriors, i amb això tindrem el flux entrant/sortint a l àrea tancada que hem creat amb els punts. - Es troben les càrregues interiors a l àrea. - Es calcula el flux teòric, segons el Teorema de Gauss. - A més el programa crea entre els punts clicats bastants punts intermedis i repeteix els passos anteriors per atots aquest nous punts, trobant un altre flux calculat. - Ara podrem comparar, per comprovar si es compleix el Teorema de Gauss: o El flux entrant/sortint a l àrea definida, calculat amb els punts clicats.(a) o El flux entrant/sortint a l àrea definida, calculat amb els punts clicats completats pels punts generats automàticament pel programa.(b) o El flux teòric, calculat amb la fórmula del Teorema de Gauss.(c) - El programa també ens mostra l error comès al calcular el flux, de les dues maneres exposades, respecte al flux teòric. Aquí podrem observar que la diferència entre (a) i (c) és bastant gran, mentres que entre (b) i (c) és ínfima. - Si volem podem guardar aquestes dades, es presenten en dues taules (la de Punts Clicats (Figura 33) i la de Punts Calculats Automàticament) (Figura 34)en documents Excel, clicant als botons Guardar Taula i Guardar Taula (Punts Calculats Automàticament) ( ) Alhora de procedir hem de tenir en comptea una sèrie de consideracions: - Si introduïm els punts en sentit horari o anti-horari, el flux calculat tindrà signe positiu o negatiu, ja que al ser resultat d un producte escalar, l ordre en què introduïm els punts compta. - Quant més punts cliquem, i més a prop estiguin entre ells, més s assemblarà el valor del flux calculat amb els punts clicats, al valor del flux teòric. Això és degut a què quant més punts formin la superfície i emprem per calcular el flux, més ens acostarem a la realitat, ja que els segments que formen la superfície estan més a prop de ser diferencials. 36

37 2.Memòria Descriptiva Figura 32. Pantalla Comprovació T. Gauss En aquesta pantalla hi trobem els següents elements: - La Graella. És la mateixa graella que trobem a la pàgina principal, hi estaran dibuixades les càrregues i lo que hi hagués quan s ha clicat el botó que ens ha portat a aquesta pantalla. - Marcar Punts. Serveix per a definir una àrea a la graella. Després d activar aquest botó, hem d anar marcant a la graella, fent click amb el ratolí, una sèrie de punts. Aquets punts són els que conformaran l àrea que utilitzarem per a comprovar el teorema de Gauss. Quan creguem que ja hem introduït prou punts, hem d activar el botó Calcular. - Calcular. Serveix per, un cop definida l àrea, calcular les càrregues que s hi troben a l interior i el flux sortint/entrant a la superfície, provocat per aquestes càrregues. - Etiqueta Sumatori de Flux. Mostra el flux entrant/sortint, a la superfície definida, degut a les càrregues internes. Apareix després d activar el botó Calcular. Realment aquest valor és el calculat amb tots els punts introduïts automàticament - Etiqueta Càrregues Interiors. Ens mostra les càrregues que han quedat dins de l àrea que s ha definit. Apareixen després d activar el botó Calcular. 37