DIRECCIÓN DE OPERACIONES Y TOMA DE DECISIONES INGENIERÍA INDUSTRIAL CICLO DE PROFESIONALIZACIÓN

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1 TEORIA DE COLAS: Líneas de Espera Claro Ana Milena, Cardona Luz Dary, Ruiz Lina María, Gómez Juan Fernando, Estudiantes Ingeniería Industrial Universidad Católica de Oriente. Mayo 21 de Resumen: La teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros. La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones. En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías, las situaciones de espera dentro de una red son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc. Otros campos de utilización son la logística de los procesos industriales de producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas informáticos, y elaboración de proyectos sustentables. Palabras Claves: Teoría de Colas, Investigación de Operaciones, Optimización, Estructura, Modelos Matemáticos. I. INTRODUCCIÓN Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas de "colas" se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos. II. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Definición de conceptos generales del fenómeno de espera. CONCEPTOS GENERALES 1.1. DISTRIBUCION DE LLEGADA Los arribos pueden ser descritos como una distribución determinística o probabilística. La distribución para el tráfico promedio la describe usualmente la distribución de Poisson y esta es generalmente usada en teoría de colas relacionada al flujo de vehículos MÉTODO DE SERVICIO Las colas también pueden clasificarse por el método que usan para servir los arribos o elementos que llegan. Esto incluye la

2 conocida y generalizada ley de servicio: el primero en llegar, es el primero en recibir el servicio, donde se sirve a las unidades en el orden en que éstas arriban, o la ley de servicio último en llegar es el primero en ser servido, que es en reversa al orden de llegada. El método de servicio, también puede basarse en prioridades, donde las llegadas son direccionadas a colas específicas con apropiadas prioridades de diferente nivel de servicio. Las colas son servidas en este caso en diferentes órdenes de niveles de prioridad CARACTERÍSTICAS DE LA LONGITUD DE LA COLA La longitud máxima de la cola, esto es el máximo número de unidades en la cola, se especifica en cada caso si la cola es finita o trunca o si no hay restricción en la longitud de la cola. Las colas finitas son algunas veces necesarias cuando el área de espera es limitada DISTRIBUCIÓN DEL SERVICIO Esta distribución es también considerada usualmente como aleatoria, y las distribuciones de Poisson y Exponencial Negativa son las más representativas y usuales para describir el comportamiento del servicio NÚMERO DE CANALES El número de carriles usualmente corresponde al número de líneas de espera, lo que es utilizado también para clasificar las colas. Así por ejemplo tenemos las colas de un canal único y las colas de canales múltiples COLAS SOBRESATURADAS Y NO SATURADAS Las colas sobresaturadas son aquellas en las cuales la tasa de arribo es mayor que la tasa de servicio y las colas no saturadas son aquellas en las cuales la tasa de arribo es menor que la tasa de servicio. La longitud de la cola no saturada podría variar pero alcanzará un estado estable con el arribo de unidades. La longitud de una cola sobresaturada, sin embargo nunca alcanzará un estado estable, y continuará creciendo con el arribo de las unidades. 2. Descripción acerca de la técnica utilizada para el análisis de sistemas con características de colas o línea de espera. Un sistema de colas viene dado por varias características: Modelo de llegada de clientes El índice de llegadas será el número medio de llegadas por unidad de tiempo. Alternativamente podemos usar el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadas sucesivas. Disciplina de la cola Establece el orden en que se va atendiendo a los clientes: Por orden de llegada (FIFO) Por orden inverso al de llegada (LIFO) Selección aleatoria (RANDOM) Según prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos: Con interrupción, Si llega un cliente de más prioridad, el trabajo que se estaba sirviendo se interrumpe para atenderlo. Sin interrupción, No se pueden interrumpir los trabajos Dentro de cada clase de prioridad se podrán aplicar disciplinas LIFO, FIFO RANDOM, Capacidad del sistema: Es el número máximo de clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Si llega un cliente y el sistema está lleno, se marcha, Número de canales de servicio Es el número de dependientes, Puede haber una cola para cada dependiente o bien una sola cola global Número de estados de servicio Puede haber varias partes en las que se subdivide el trabajo (estados), cada una con su cola y su dependiente, que deben ser 3. Objetivos de la Teoría de Colas o Línea de espera. Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado ( óptimo ) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera. Estructura básica de una Cola o Línea de espera. Modelo Básico Modelo de servicio Puede venir dado por el tiempo deservicio o por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo. Tendremos una variable aleatoria o bien un servicio determinista. Aquí supondremos que el modelo deservicio es independiente del de llegada

3 Una Línea, Un Servidor El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable. El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (λ) El tiempo esperado entre llegadas es1/λ. Por ejemplo, si la tasa media de llegada es λ = 20 clientes por hora, entonces el tiempo de esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas ó 3 minutos Una Línea, Múltiples Servidores Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas. Generalmente se supone una distribución exponencial. Esto depende del comportamiento de las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas Distribución exponencial La forma algebraica de la distribuciónexponencial es: Varias Líneas, Múltiples Servidores Donde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc.) La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños. En general, se considera que las llegadas son aleatorias a la última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas. Una Línea, Servidores Secuenciales Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hacemás simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas Su forma algebraica es: Dónde: P (k): probabilidad de k llegada por unidad de tiempo λ = tasa media de llegadas e = 2, Sistemas de colas: La cola 4. Clasificación de los sistemas de colas o línea de espera. Sistemas de colas: Las llegadas El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas. El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio. El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio.

4 La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola. Generalmente se supone que la cola es infinita, aunque también la cola puede ser finita. La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio. La más común es PEPS: primero en llegar, primero en servicio. Puede darse: selección aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras. Sistemas de colas: El servicio El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples. El tiempo de servicio varía de cliente a cliente. El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (µ). M: distribución exponencial D: distribución degenerada EK: distribución Erlang C: Número de servidores En principio el sistema está en un estado inicial. Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación) Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.) Lo que interesa es el estado estable. Formulación de Modelos para el análisis de la eficiencia del sistema: 5. Modelos de una cola M / M /1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales Fórmulas El tiempo esperado de servicio equivale a 1/µ. Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora. Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/µ = 1/25 = 0.04 horas, ó 2.4 minutos. Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio. Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos: La distribución exponencial (σ = media) Tiempos de servicio constantes (σ =0) Una distribución intermedia es la distribución Erlang. Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar: Si k=1, entonces la distribución. Erlang es igual a la exponencial Si k=α entonces la distribución. Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k Sistemas de colas: Etiquetas para distintos modelos Notación de Kendall: A/ B/ c A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos de servicio Ejemplo: Un lava-carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegada es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas

5 de desempeño de acuerdo con el modelo M/ M/ 1. Además la probabilidad de tener 0clientes en el sistema, la probabilidad detener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min., en la cola y en el sistema λ = 9; µ = 12; ρ = 9/12 = 0.75 Ejemplo: Un lava-carro puede atender un auto cada 5 min y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1. Además la probabilidad de tener 0clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. Ejemplo: Un lava-carro puede atender un auto cada 5 min y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1. Además la probabilidad de tener 0clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. M / G /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio Modelos de servidores M / M /s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales

6 recursos, capacidad de producción, productividad y niveles de inventario. A través del Modelamiento de los elementos importantes de un sistema de producción tales como utilización de recursos, capacidad del sistema y programas de producción, se puede experimentar con diferentes estrategias de operacionales y diseños para asegurar los mejores resultados WIN QSB 6. Aplicativos (software) disponible para la solución de modelos de Teoría de Colas 6.1 AQUAS Es una aplicación realizada en MATLAB que permite: Reducir el tiempo de resolución y eliminar la posibilidad de cometer un error en la resolución de un problema de colas. Resolver modelos de colas tanto de forma analítica (para aquellos modelos en los que tanto la distribución del tiempo de llegadas como la del tiempo de servicio sean de carácter exponencial) como por simulación (la distribución del tiempo de llegadas o de servicio puede ser de uno de los siguientes tipos: exponencial, uniforme, determinista, gamma, beta, normal, lognormal o de Weibull). Hallar las características del modelo de colas (probabilidad de que haya un determinado número de clientes, número medio de clientes, tiempo medio de espera de un cliente en la cola, intensidad de tráfico del modelo... ). Poder analizar la influencia de la variación de algunos parámetros de entrada del modelo en los parámetros de salida y ayudar a la toma de decisiones (en caso de que se trate de un modelo real) Proporcionar una respuesta mediante simulación a aquellos modelos que no tienen una solución analítica. Fomentar la enseñanza y el aprendizaje de la teoría de colas en un ámbito docente PROMODEL Es una poderosa herramienta de simulación que trabaja bajo ambiente Windows, para simular y analizar sistemas de todo tipo y de diferentes complejidades y tamaños. ProModel provee la perfecta combinación entre facilidad de uso y completa flexibilidad para modelar cualquier situación. Las capacidades de animación de ProModel permiten que la simulación cobre vida. ProModel provee a los Ingenieros y Gerentes la oportunidad de probar nuevas ideas para el mejoramiento o diseño de nuevos sistemas, antes de invertir tiempo y recursos necesarios para construir o alterar el sistema actual. ProModel se enfoca en objetivos tales como utilización de Es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema EXEL Teoría de Colas (Excel interactivo) Hay muchas situaciones de la vida diaria en las que hemos de esperar haciendo cola. Las colas se producen en entornos tanto industriales como de servicios, a veces de forma encubierta: coches que esperan en semáforos, pensionistas que hacen cola en la ventanilla de una caja de ahorros, máquinas estropeadas que esperan su turno para ser reparadas, etc. Este Excel explora situaciones en las que a pesar de que existe suficiente capacidad para cubrir las demandas del proceso, se producen colas debido a variaciones en el ritmo de llegada o en los horarios de atención al cliente. Introduce algunas medidas de eficacia en un sistema de colas: medidas "duras" u objetivas (como el tiempo de espera del cliente) y "blandas" o subjetivas (como la percepción que tienen los clientes de ser bien atendidos). También presenta las distintas opciones de que disponen los administradores para mejorar el rendimiento de sus sistemas de colas, o al menos para mejorar la percepción que de ellos tienen sus usuarios más importantes. El Excel concluye con unas reflexiones sobre la "psicología de las colas". Modelos que resuelve AQUAS: Analíticamente M/M/1 M/M/s M/M/1/K M/M/s/K M/M/1/ /H M/M/s/ /H M/M/s/ /H con Y repuestos Por Simulación G/G/1 G/G/s G/G/1/K G/G/s/K G/G/1/ /H G/G/s/ /H G/G/s/ /H con Y repuestos Para poder trabajar con AQUAS es necesario tener una versión de MATLAB posterior a la 5.0 y disponer además de la librería estadística (statisticstoolbox). Para descargar la versión de AQUAS para Windows Para descargar la versión de AQUAS para Linux

7 Para ejecutar AQUAS hay que seguir los siguientes pasos: 1- Descargar el archivo aquas.zip 2- Descomprimir dicho archivo en una carpeta 3- Ejecutar MATLAB 4- Añadir la carpeta al path de MATLAB mediante la opción"set Path" 5- Teclear >>aquas en la línea de comandos de MATLAB la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de S y de r. Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = , la probabilidad de que el sistema este ocupado será P (sistema ocupado) = , utilizando este valor obtenemos que: 6.5. Modelos de servidores M / M /s: s servidores con llegadas depoisson y tiempos de servicio exponenciales Unidades L = = unidades Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma: Ejemplo: Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada de l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5. Datos m = 6 l = 24 S = 5 Entonces tenemos que III. CONCLUSIÓN La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio. Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva. Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema,

8 RECONOCIMIENTOS A LA PROFESORA INGENIERA. DORA ALICIA ECHEVERRI MORALES, LA CUAL ES GESTORA DE CONOCIMIENTO EN ESTE CURSO BIBLIOGRAFÍA [1] [2] [3]