TEXTO DE PROBLEMAS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 UNIVERIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERECTORADO DE INVETIGACIÓN FACULTAD DE CIENCIA ECONÓMICA TETO DE PROBLEMA DE INFERENCIA ETADÍTICA AUTOR: JUAN FRANCICO BAZÁN BACA (Resolucó Rectoral R del -9-) al CALLAO PERÚ 03

2 ÍNDICE Pág. INDICE INTRODUCCIÓN 5 Capítulo. LA DITRIBUCIÓN NORMAL Y EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 6. Dstrbucó ormal 6. Dstrbucó ormal estádar 7.3 Propedad reproductva de la dstrbucó ormal 9.4 Teorema del límte cetral 0.5 Ejerccos resueltos 3.6 Ejerccos propuestos 9 Capítulo. DITRIBUCIONE MUETRALE 33. Dstrbucó muestral de la meda 37. Dstrbucó muestral del total (coocda la meda) 39.3 Dstrbucó de la dfereca de medas muestrales 40.4 Dstrbucó muestral de la proporcó 43.5 Dstrbucó muestral del total (coocda la proporcó) 47.6 Dstrbucó muestral de la dfereca de proporcoes 48.7 Ejerccos resueltos 5.8 Ejerccos propuestos 73 Capítulo 3. DITRIBUCIONE EPECIALE Dstrbucó Ch-cuadrado Dstrbucó t de studet Dstrbucó muestral de la meda ( < 30) Dstrbucó de la dfereca de medas muestrales co varazas descoocdas pero guales Dstrbucó F de edecor Dstrbucó de la razó de dos varazas muestrales Ejerccos resueltos 00

3 3.8 Ejerccos propuestos 9 Capítulo 4. ETIMACIÓN PUNTUAL 4. Estmadores. Propedades 3 4. Métodos de Estmacó Putual Método de Máxma Verosmltud Método de los Mometos Método de los mímos cuadrados Ejerccos resueltos Ejerccos propuestos 5 Capítulo 5. ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Itervalo de cofaza para la meda y tamaño de muestra Itervalo de cofaza para el total (coocda la meda) Itervalo de cofaza para la proporcó y tamaño de muestra Itervalo de cofaza para el total (coocda la proporcó) Itervalo de cofaza para la dfereca de medas Itervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes Itervalo de cofaza para la meda ( < 30) Itervalo de cofaza para la varaza Itervalo de cofaza para la razó de varazas Itervalo de cofaza para la dfereca de medas ( y m <30) Ejerccos resueltos Ejerccos propuestos 35 Capítulo 6. CONTRATE DE HIPÓTEI ETADÍTICA PARAMÉTRICA Prueba de hpótess para la meda (co varaza coocda) 5 6. Prueba de hpótess para la meda (co varaza descoocda) Prueba de hpótess acerca de ua varaza Prueba de hpótess para la razó de varazas Prueba de hpótess acerca de dos medas (varazas coocdas) Prueba de hpótess acerca de dos medas (varazas descoocdas) Prueba de hpótess para la proporcó 90 3

4 6.8 Prueba de hpótess para la dfereca de proporcoes Ejerccos resueltos Ejerccos propuestos 348 Capítulo 7. PRUEBA DE HIPÓTEI NO PARAMÉTRICA Uso de la dstrbucó Ch-cuadrado. Test de depedeca Test de bodad de ajuste Test de Wlcoxo Test de sgos Test de la medaa Ejerccos resueltos Ejerccos propuestos 395 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 398 Apédce 400 Tabla. Dstrbcó acumulatva ormal estádar 40 Tabla. Dstrbucó acumulatva ch-cuadrado 403 Tabla 3. Dstrbucó acumulatva T de studet 407 Tabla 4. Dstrbucó acumulatva F 408 Tabla 5. De Wlcoxo para 40 y = 0.05 o Tabla 6. Valores crítcos para la prueba del sgo 409 4

5 INTRODUCCIÓN La ceca ecoómca para poder realzar las medcoes ecoómcas recurre permaetemete a la fereca estadístca, ya que las deduccoes y cojeturas ecoómcas acerca de los parámetros está basadas e muestras aleatoras tratadas por esta dscpla. Co el propósto de poder cotrbur al proceso de eseñaza apredzaje de la estadístca para ecoomstas e la Uversdad Nacoal del Callao (UNAC), hemos creído coveete elaborar u Texto de problemas de fereca estadístca que de maera seclla ayude a estudates de la especaldad a desarrollar competecas coceptuales y procedmetales, medate la asmlacó de la termología propa de la estadístca, así como las correspodetes aplcacoes a la ecoomía. El texto costa de sete capítulos. E el prmero, se desarrolla la dstrbucó ormal y el teorema del límte cetral; el capítulo dos, preseta las dstrbucoes muestrales para muestras grades ( 30) y e el capítulo tres, se desarrolla las dstrbucoes muestrales especales lgadas a muestras pequeñas ( < 30) como la ch-cuadrado, t de studet y F. E los capítulos cuatro y cco se desarrolla los temas relacoados a la estmacó putual y la estmacó por tervalos de cofaza respectvamete. E el capítulo ses, se desarrolla los cotrastes de hpótess estadístcas paramétrcas, poedo especal éfass e la determacó del valor-p (probabldad míma para rechazar la hpótess ula) usado e los cálculos computacoales moderos. Falmete, e el capítulo sete se preseta las pruebas de hpótess o paramétrcas. Grattud etera a uestra querda UNAC, por el cotuo apoyo ofrecdo para alcazar estos logros que permte sstematzar coocmetos e corporar temas para la dscusó e clases. El recoocmeto especal a los estudates de ecoomía de la FCE-UNAC, ya que gracas a su esfuerzo y compresó e los últmos años se ha puesto e práctca los resultados de este modesto trabajo. 5

6 Capítulo. LA DITRIBUCIÓN NORMAL Y EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE ólo cabe progresar cuado se pesa e grade, sólo es posble avazar cuado se mra lejos. José Ortega y Gasset CONTENIDO. Dstrbucó ormal.. Dstrbucó ormal estádar..3 Propedad reproductva de la dstrbucó ormal..4 Teorema del límte cetral..5 Ejerccos resueltos..6 Ejerccos propuestos.. DITRIBUCIÓN NORMAL La teoría de probabldades os ofrece la dstrbucó ormal como ua de las dstrbucoes más mportates, juto al teorema cetral del límte, co múltples aplcacoes para la fereca estadístca, sobre todo e lo cocerete a las dstrbucoes muestrales. Por ello a cotuacó hacemos u breve repaso de la dstrbucó ormal y la presetacó del teorema cetral del límte. Defcó.- ua varable aleatora cotua tee dstrbucó ormal co meda μ y varaza σ, s su fucó de desdad de probabldad esta dada por: ( ) f ( x) e - < x < dode: π = y e = (la base de los logartmos eperaos). Notacó.- ua otacó muy comú para la dstrbucó ormal es: ~ N(μ, σ ) Que se lee la varable aleatora se dstrbuye ormalmete co meda μ y varaza σ. Característcas geométrcas.- La gráfca tee forma acampaada, co cetro e μ. 6

7 Es ua fucó crecete e el tervalo (-, μ). Es ua fucó decrecete e el tervalo (μ, ). Tee sus putos de flexó e μ σ y μ + σ. Característcas estadístcas.- Meda: E () = μ Varaza: V () = σ ~ N(μ, σ ). Etoces, la varable aleatora Y = a + b també se dstrbuye ormalmete co meda: E(Y) = a + bμ y varaza: V(Y) = b σ. Es decr: Y ~ N(a + bμ, b σ ) ~ N(μ, σ ) el cálculo de probabldades se efectúa realzado el proceso de estadarzacó sguete: Z = ( - μ ) / σ ~ N(0, ) y decmos que la v.a. Z tee dstrbucó ormal estádar. DITRIBUCIÓN NORMAL μ - 3σ μ - σ μ - σ μ μ + σ μ + σ μ + 3σ. DITRIBUCIÓN NORMAL ETÁNDAR Defcó.- e dce que ua varable aleatora Z, es ua varable aleatora ormal estádar, s tee dstrbucó ormal co meda cero (μ = 0) y varaza uo (σ = ) y su fucó de desdad de probabldades es: f ( z) e z / - < z < La fucó de dstrbucó acumulatva de Z se deota por Φ (z) o F(z) y se calcula así: 7

8 Φ (z) = F(z) = P [Z z] = z e Esta probabldad os da el área bajo la curva ormal desde - hasta el valor z. Etoces, coocdos los valores de la meda μ y la varaza σ de ua varable aleatora ~ N(μ, σ ) utlzado el proceso de estadarzacó Z = ( - μ ) / σ, se puede efectuar el cálculo de probabldades tales como: P[a b] = P[ (a - μ ) / σ ( - μ ) / σ (b - μ ) / σ ] t / dt = P[ (a - μ ) / σ Z (b - μ ) / σ ] = Φ [(b - μ ) / σ ] - Φ [(a - μ ) / σ ] P[ a] = P[( - μ ) / σ (a - μ ) / σ ] = P[Z (a - μ ) / σ ] = Φ [(a - μ ) / σ ] P[ > a] = P[ a] = - Φ [(a - μ ) / σ ] Los valores de la fucó de dstrbucó acumulatva ormal estádar, Φ (z) o F(z), ha sdo reproducdos e la Tabla del Aexo utlzado la hoja de cálculo Excel. Uso de la Tabla de la dstrbucó ormal estádar a) Para calcular probabldades.- e la tabla, coocdo el valor de z, hallar Φ (z) = F(z) = P [Z z]. Por ejemplo, para z =.96, teemos que: Φ (.96) = F (.96) = P [Z.96] = b) Para hallar valores de z.- es u proceso verso al ateror, ya que coocda la probabldad Φ (z) = F (z) = P [Z z] = α, e la tabla, se debe hallar el valor de z que acumule e probabldad α y que deotaremos como z = Z α. Para el msmo ejemplo, sí Φ (z) = F (z) = P [Z z] = , esto mplca que, e la tabla, a la probabldad , le correspode z = Z Ua característca mportate de la dstrbucó ormal es que: Etre μ σ y μ + σ se ecuetra el 68.7% de las observacoes. Es decr que : P(μ σ μ + σ) = P P Z = Φ () - Φ (-) = =

9 Etre μ σ y μ + σ se ecuetra el 95.45% de las observacoes, puesto que: P(μ σ μ + σ) = P Z P Z = Φ () - Φ (-) = = Etre μ 3σ y μ + 3σ se ecuetra el 99.73% de las observacoes. Es decr que: 3 3 P(μ 3σ μ + 3σ) = P Z P 3 Z 3 = Φ (3) - Φ (-3) = = Etre μ 4σ y μ + 4σ se ecuetra el % de las observacoes. Es decr que: 4 4 P(μ 4σ μ + 4σ) = P Z P 4 Z 4 = Φ (4) - Φ (-4) = = Etre μ 5σ y μ + 5σ se ecuetra el % de las observacoes. Es decr que: 5 5 P(μ 5σ μ + 5σ) = P Z P 5 Z 5 = Φ (5) - Φ (-5) = = Etre μ 6σ y μ + 6σ se ecuetra el % de las observacoes. Es decr que: 6 6 P(μ 6σ μ + 6σ) = P Z P 6 Z 6 = Φ (6) - Φ (-6) = = PROPIEDAD REPRODUCTIVA DE LA DITRIBUCIÓN NORMAL ea,,...,, varables aleatoras depedetes dstrbudas ormalmete co meda μ y varaza σ. Es decr: ~ N(μ, σ ) =,, 3,...,. Y es ua combacó leal de las v.a. : Y = a 0 + a + a a. Etoces, la varable aleatora Y ~ N [a 0 + a, a ] 9

10 Puesto que: μ Y = E(Y) = E (a 0 + a + a a ) = = E(a 0 ) + E (a ) + E (a ) E (a ) = = a 0 + a E( ) + a E( ) a E( ) = a = a 0 + a μ + a μ a μ = a 0 + Y = V(Y) = V (a 0 + a + a a ) = = V(a 0 ) + V(a ) + V(a ) V(a ) = = 0 + a V( ) + a V( ) a V( ) = = a σ + a σ a σ = a.4 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL ea,,...,, varables aleatoras depedetes co meda y varaza ftas dadas por: E( ) = μ y V( ) = σ. : Y = = la varable aleatora Z defda por:, etoces bajo certas codcoes geerales, Z Y E( Y ) V ( Y ) tee aproxmadamete ua dstrbucó ormal estádar N(0, ). Nota.- E(Y ) = E ( ) = E ( ) + E ( ) E ( ) = 0

11 = μ + μ μ =. V(Y ) = V ( ) = V( ) + V( ) V( ) = = σ + σ σ =. Observacoes.-. La varable aleatora Y = (suma de v.a. depedetes) puede ser aproxmada por ua v.a. dstrbuda ormalmete, cualquera que sea la dstrbucó de las.. Las codcoes geerales dcadas e el teorema está referdas a que los térmos tomados dvdualmete, cotrbuye co ua catdad desprecable a la varacó de la suma, y o es probable que u smple térmo tega ua gra cotrbucó a la suma. Ua aplcacó mportate de estas codcoes geerales del teorema cetral del límte, se da e los modelos de regresó: Y = β 0 + β + β β k k + e Dode la varable explcada o depedete Y es fucó de u cojuto de varables explcatvas o depedetes (,,..., k ) más u error e. La aplcacó del teorema cetral del límte se da cuado se asume que los errores e se dstrbuye ormalmete, debdo a que estos errores recoge la suma de las cotrbucoes desprecables de todas las varables dejadas de cosderar e el modelo. Por ejemplo, e los modelos de demada Q = a b P + e, se asume que las catdades demadadas (Q) de u be o servco depede fudametalmete del preco (P) del be. Efectvamete, pero exste otras varables depedetes (gastos de publcdad, preco del be susttuto, gustos y preferecas, etc.) que també podría explcar dcha demada, s embargo, sus cotrbucoes a explcar la demada so desprecables, por lo que la suma de sus cotrbucoes, reflejadas e los errores e se aproxma a la dstrbucó ormal.

12 3. Ua stuacó especal del teorema cetral del límte se preseta cuado cada tee la msma dstrbucó (que es el caso de la defcó de muestra aleatora, como veremos más adelate) y que permta ecotrar la dstrbucó de ua meda muestral. La propuesta es la sguete: ea,,...,, varables aleatoras depedetes, détcamete dstrbudas co meda y varaza comú y ftas dadas por: E( ) = μ y V( ) = σ. : Y = =, etoces la varable aleatora Z dada por : Z Y E Y ) V ( Y ) ( / tee aproxmadamete dstrbucó ormal estádar N(0, ). Dode es la meda muestral de las. Nota.- E(Y ) = E ( ) = E ( ) + E ( ) E ( ) = = μ + μ μ = μ. V(Y ) = V ( ) = V( ) + V( ) V( ) = = σ + σ σ = σ

13 Desdad Desdad.5 EJERCICIO REUELTO. ea Z ua varable aleatora co dstrbucó ormal estádar [Z ~ N(0, )]. Hallar las probabldades sguetes: a) P(Z >.3) ; b) P(.00 < Z <.4) c) P(-.5 < Z < 0.50) ; d) P(-.65 < Z < -.00) ; e) P(Z < -.5) ; f) P(0 < Z <.5) y g) P(-.63 < Z < 0). olucó.-usado la tabla del aexo se tee: a) P(Z >.3) = - P(Z.3) = Φ(.3) = = 0.9 b) P(.00 < Z <.4) = Φ(.4) - Φ(.00) = = Para obteer los gráfcos e Mtab ver Bazá, Jua (00) Z Z 0.5 E Mtab: P(.00 < Z <.4) P(-.5 Z < 0.5) c) P(-.5 Z < 0.5) = Φ(0.50) - Φ(-.5) = = d) P(-.65 Z -.00) = Φ(-.00) - Φ(-.65) = = 0.09 e) P(Z < -.5) = Φ(-.5) = - Φ(.5) = = f) P(0 Z.5) = Φ(.5) - Φ(0) = = g) P(-.63 < Z 0) = Φ(0) - Φ(-.63) = = ea Z ua varable aleatora ormal estádar [Z ~ N(0, )]. Hallar el valor de z para los casos sguetes: a) Φ(z) = ; b) Φ(z) = 0.977; c) Φ(z) = ; d) el área etre z y z es 0.95; e) el área a la zquerda de z es 0.0; y f) el área a la derecha de z es

14 olucó a) í Φ (z) = F (z) = P [Z z] = , esto mplca que, e la tabla, a la probabldad , le correspode z = Z =.645 aproxmadamete. b) í Φ (z) = F (z) = P [Z z] = 0.977, esto mplca que, e la tabla, a la probabldad 0.977, le correspode z = Z =.00 aproxmadamete. c) í Φ (z) = F (z) = P [Z z] = , esto mplca que, e la tabla, a la probabldad , le correspode z = Z = 3.00aproxmadamete. d) 0.95 = P [-z Z z] = Φ (z) - Φ (-z) = Φ (z) [ - Φ (z)] = Φ (z). Etoces, Φ (z) = y e la tabla le correspode a z = Z =.96. e) 0.0 = Φ (z) = P [Z z], esto mplca que, e la tabla, a la probabldad 0.0, le correspode z = Z 0.0 = -.33 aproxmadamete. f) 0.05 = P [Z z] = - Φ (z), etoces Φ (z) = y de acuerdo a lo vsto e la parte a) de este problema le correspode a z = Z = El moto de las solctudes de préstamo de los comercates que recbe u Baco, está dstrbudo aproxmadamete e forma ormal co μ = /. 0,000 y σ = /.,000. Calcule e terprete la probabldad de que el moto del préstamo solctado: a) Esté etre /. 8,500 y,000; b) ea meor que /. 8,000; c) Mayores de que catdad será el 0 % de los préstamos? olucó ea = moto de las solctudes de préstamo. e sabe que ~ N(0000, 000 ), etoces Z = ( 0000)/ 000 ~ N(0, ). Luego, las probabldades solctadas so: a) P( ) = P = = P(-.5 Z.0) = Φ(.00) - Φ(-.50) = = Rpta. Iterpretacó: el 9.04% de los motos de préstamo solctados por los comercates fluctúa etre /. 8,500 y,000. 4

15 Desdad b) P( 8000) = P = = P(Z -.0) = Φ(-.00) = Rpta. Iterpretacó: el.8% (ó e 8 de cada 0000 solctudes) de los motos de préstamo solctados por los comercates es meor a /. 8, Dstrbucó del moto de préstamo Normal, Meda=0000, Desv.Est.= = moto del préstamo Resultado gráfco e Mtab c) ea C la catdad de préstamo buscada, etoces: C = P( > C) = - PZ = Rpta. C C C = / Z0.80 Iterpretacó: el 0% de los motos de préstamo solctados por los comercates es mayor a /. 0,840. 5

16 Desdad Dstrbucó del moto de préstamo Normal, Meda=0000, Desv.Est.= = moto del préstamo 4. Para certo exame la calfcacó vgesmal tee dstrbucó ormal co meda y desvacó estádar. e desea desaprobar al 40% de los examados. Cuál debe ser la calfcacó máxma desaprobatora? Iterprete el resultado. olucó ea = calfcacó vgesmal de los examados. e sabe que ~ N(, ), etoces Z = ( )/ ~ N(0, ). ea M la máxma ota desaprobatora buscada, etoces: 0.40 = P( < M) = M PZ = M M 0.5 M = 0.5 Rpta. Z0.40 Iterpretacó: el 40% de los examados desaprobados tee ota meor a Los gresos de los trabajadores tee dstrbucó ormal co meda µ= /. 000 y desvacó estádar σ = /. 00. se seleccoa a 000 de estos trabajadores, calcule e terprete: a) Cuátos trabajadores tee greso meor a /. 600? b) Cuátos trabajadores tee greso etre /. 850 y 300? olucó 6

17 Desdad = greso de los trabajadores ~ N(000, 00 ), Z = ( 000)/ 00 ~ N(0, ). Para determar cuátos de los = 000 trabajadores tee gresos e los tervalos dados, prmero se determa la probabldad P y después multplca por. e pde: a) P = P( < 600) = P = P(Z < -.0) = Φ(-.0) = Luego P = x 000 = 45.5 trabajadores Rpta. Iterpretacó: 46 trabajadores (.8%) tee greso meor a / b) P = P( ) = P = = P(-0.75 Z.5) = Φ(.5) - Φ(-0.75) = = Dstrbucó del greso Normal, Meda=000, Desv.Est.= = greso 300 Luego P = x 000 = 43. trabajadores Rpta. Iterpretacó: alrededor de 43 trabajadores (70.66%) tee greso etre /. 850 y El volume de egocacoes daras (e mlloes de uevos soles) para las accoes comercalzadas e la bolsa de Lma tee dstrbucó ormal co meda µ= 800 y desvacó estádar σ = 00. E u período de 60 días, calcule e terprete: a) E cuátos días el volume de egocacoes es de 600 o meos mlloes? b) E cuátos días el volume de egocacoes es mayor de 900 mlloes? 7

18 olucó = volume daro de egocacoes e mlloes de /. ~ N(800, 00 ) Z = ( 800)/ 00 ~ N(0, ). Para determar e cuátos de los = 60 días el volume de las egocacoes está e los tervalos dados, prmero se determa la probabldad P y después multplca por. e pde: a) P = P( 600) = P = P(Z < -.0) = Φ(-.0) = Luego P = x 60 =.4 días Rpta. Iterpretacó: e alrededor de.4 días (.8%) el volume de egocacoes es de 600 o meos mlloes de uevos soles b) P = P( > 900) = P = P(Z >.0) = - Φ(.0) = = = Luego P = x 60 = 9.5días Rpta. Iterpretacó: e alrededor de 9.5 días (5.87%) el volume de egocacoes es mayor de 900 mlloes de uevos soles. 7. El peso de los peros fabrcados se dstrbuye ormalmete co meda µ= 80 gr. y desvacó estádar σ = 5 gr. se almacea 000 peros, calcule e terprete qué catdad de peros pesa: a) meos de 70 gramos? y b) etre 75 y 90 gramos? olucó = peso de los peros ~ N(80, 5 ) Z = ( 80)/ 5 ~ N(0, ). Para determar cuátos de los = 000 peros tee u peso e los tervalos dados, prmero se determa la probabldad P y después multplca por. e pde: a) P = P( < 70) = P = P(Z < -.0) = Φ(-.0) = Luego P = x 000 = 46 peros Rpta. Iterpretacó: alrededor de 46 peros (.8%) pesa meos de 70 gramos b) P = P(75 90) = P = P(- Z ) = 8

19 Desdad = Φ(.0) - Φ(-.0) = = Dstrbucó del peso de los peros Normal, Meda=80, Desv.Est.= = peso 90 Resultado gráfco e Mtab Luego P = x 000 = 637 peros Rpta. Iterpretacó: alrededor de 637 peros (8.86%) pesa etre 75 y 90 gramos. 8. El tempo ecesaro para termar u exame se dstrbuye ormalmete co meda µ= 80 mutos y desvacó estádar σ = 0 mutos. E u curso de 60 alumos, calcule e terprete cuátos alumos terma el exame: a) e ua hora o meos? b) e más de 60 mutos, pero e meos de 75 mutos? c) Cuátos alumos o terma el exame, s éste dura 90 mutos? olucó = tempo para termar u exame ~ N(80, 0 ) Z = ( 80)/ 0 ~ N(0, ). Para determar cuátos de los = 60 alumos terma el exame e los tervalos dados, prmero se determa la probabldad P y después multplca por. e pde: a) P = P( 60) = P = P(Z -.0) = Φ(-.0) = Luego P = x 60 =.4 alumos Rpta. 9

20 Desdad Iterpretacó: alrededor de.4 alumos (.8%) terma el exame e ua hora o meos b) P = P(60 75) = P = P(- Z -0.5) = = Φ(-0.50) - Φ(-.0) = = Resultado gráfco e Mtab 0.04 Dstrbucó tempo duracó exame Normal, Meda=80, Desv.Est.= = tempo duracó exame Luego P = x 60 = 7 alumos Rpta. Iterpretacó: alrededor de 7 alumos (8.6%) terma el exame e más de 60 mutos, pero e meos de 75 mutos c) P = P( > 90) = P = P(Z >.0) = - Φ(.0) = 0 0 = = Luego P = x 60 = 9.5 alumos Rpta. Iterpretacó: alrededor de 0 alumos (5.87%) o terma el exame, s éste dura 90 mutos. 9. upoga que el greso famlar mesual () e ua comudad tee dstrbucó ormal co meda $400 y desvacó estádar $50. los gastos de cosumo famlar (C) está dados por la relacó C = , calcule e terprete la probabldad de que los gastos de cosumo famlar sea ferores a $30? olucó 0

21 = greso famlar mesual ~ N(400, 50 ), Z = ( 400)/ 50 ~ N(0, ). e pde: P(C < 30) = P( < 30) = P( < 337.5) = = P = P(Z < -.5) = Φ(-.5) = Rpta. Otra forma de resolver es usado la propedad reproductva de la dstrbucó ormal. í C = , etoces la meda y la varaza de C so: C E( C) 0.8 E( ) (400) C Var(0.8 50) 0.8 Var( ) 0.64(500) Luego C ~ N(370, 40 ), Z = (C 370)/ 40 ~ N(0, ). Etoces: P(C < 30) = Rpta. C P = P(Z < -.5) = Φ(-.5) = Iterpretacó: el 0.6% de (ó e 057 de cada 0000 famlas) los gastos de cosumo famlar e la comudad so meores a / ea l, y 3 varables aeatoras depedetes tales que: ~ N (0, 3 ) ; ~ N (, 4 ) y 3 ~ N (4, 6). Y = e pde: a) Hallar la meda y la varaza de Y ; b) Cacule e terprete P8 Y 0 olucó ~ N (0, 3 ) 0 ; 3 ~ N (, 4 ) ; 4 3 ~ N (4, 6 ) 3 4 ; a) Cálculo de la meda y la varaza de Y 3 6 Y E Y E 3 E( ) E( ) E( 3) = 0 () 4 0 Rpta. Y 3 Y V Y V 3 V V V 3 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 3 4(4) 6 5 Rpta. Y 3

22 b) Cálculo de la P8 Y 0 abemos que Y 0 y Y 5 Y 5. Además Y ~ N [0, 5] Z = (Y 0)/ 5 ~ N(0, ). Luego: 8 0 Y P8 Y 0 P P.6 Z = Φ(.0) - Φ(-.60) = = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 9.5% de los valores observados de Y se ecuetra etre -8 y 0.. ea,, 3 y 4 varables aleatoras ormales depedetes co μ 30; μ = 5 ; μ 3 = ; μ 4 = 8 ; = 8 ; = 6 ; 3 = 6 ; 4 =. í: Y = 4 Calcule e terprete: a) P8 Y 4 olucó: Y = y b) P Y = μ Y = E(Y) = E E E E 3 4 = (30) (5) () (8) 0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Y = V (y) = V V V 3 V 4 = (8) (6) (6) () edo Y ua combacó leal de las varables depedetes cada ua co dstrbucó ormal, etoces por la propedad reproductva de la dstrbucó ormal se cumple que Y ~ N [0, 4] Z = (Y 0)/ ~ N(0, ). Luego: 8 0 Y = P = P (-.0 Z.0) = a) P8 Y 4 = Φ(.0) - Φ(-.0) = = Rpta.

23 Iterpretacó: el 8.86% de los valores de Y se ecuetra etre 8 y 4. = P Y b) P Y = 0 Y 0 0 P = = P (-.0 Z.0) = Φ(.0) - Φ(-.0) = = = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 97.73% de los valores absolutos de Y so meores o guales a.. E el proceso de fabrcacó de codesadores, varas pruebas ha demostrado que la temperatura más alta (e C) que puede soportar es N(5, 9). E los sstemas e que se utlza, la temperatura máxma (e C) a que se sujeta u codesador dvdual es N(6, 6). Qué proporcó de codesadores fallará por sobre caletameto? Iterprete el resultado. olucó ea: F = temperatura más alta de fabrcacó ~ N(5, 9) y U = temperatura máxma de uso ~ N(6, 6) Habrá falla por sobrecaletameto () cuado = F < U = F U < 0. Para hallar la proporcó solctada medate P() = P(F < U) = P(F U < 0) determamos la dstrbucó de F U usado la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, así: F U ~ N(9, 5) Z = ( F U 9)/ 5 ~ N(0, ). Etoces: FU P() = P(F < U) = P(F U < 0) = P 5 5 = = P(Z -.8) = Φ(-.8) = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 3.59% de los (ó 359 de cada 0000) codesadores fabrcados falla por sobrecaletameto e los sstemas e que se utlza. 3. E ua de las etapas de u proceso de esamble u tapó clídrco tee que ajustarse a ua abertura crcular seleccoado cada elemeto al azar e u sumstro cotuo. Los dámetros del tapó y de los casqullos e mm, so N(4.9, 0.03 ) y N(5, 0.04 ) respectvamete. para que el ajuste sea 3

24 satsfactoro se requere u claro de dámetro de cuado meos 0.0 mm, e qué proporcó de los casos el ajuste o será satsfactoro? Iterprete el resultado. (claro del dámetro = dámetro del casqullo dámetro del tapó) olucó ea: T = dámetro del tapó ~ N(4.9, 0.03 ) y C = dámetro del casqullo ~ N(5, 0.04 ) = claro del dámetro = C T, usado la propedad reproductva de la dstrbucó ormal se tee que: µ = E() = E(C T) = E(C) E(T) = = 0.0 σ = V() = V(C T) = V(C) + V(T) = = = Luego: = claro del dámetro = C T ~ N(0.0, 0.05 ) Z = ( 0.0)/ 0.05 ~ N(0, ). Que el ajuste o sea satsfactoro mplca que < 0.0. Etoces: P( < 0.0) = P = P(Z -.8) = Φ(-.6) = Rpta. Iterpretacó: e alrededor del 5.48% de los (ó e 548 de cada 0000) esambles el tapó o se ajusta al casqullo. 4. Las pastllas metálcas clídrcas que se utlza e u reactor se fabrca e sere y puede supoerse que sus logtudes sgue ua dstrbucó ormal co meda 0.90 cm. y desvacó estádar 0.06cm. Nueve de estas pastllas debe ajustarse, extremo co extremo, e u recpete que ocupa ua logtud o mayor de.670 cm. las ueve pastllas se esambla al azar, qué proporcó de estos o se ajustará e el espaco requerdo? Iterprete el resultado. olucó ea: = dámetro de las pastllas ~ N(0.9, 0.06 ) y L = logtud del recpete co 9 pastllas = 9. Por la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, se tee que: E(L) = E( 9 ) = 9 E ( ) = 0.9 = 9 x 0.9 =.6 cm. 9 4

25 V(L) = V( 9 ) = Luego: 9 V( ) = = 9 x 0.06 = cm. L = logtud del recpete co 9 pastllas = Z = (L.6)/ ~ N(0, ). 9 ~ N(.6, ) Las 9 pastllas o se ajusta al espaco requerdo s L >.67. Por lo tato: L P(L >.67) = P(L.67) = - P = = - P(Z.5) = - Φ(.5) = = Rpta. Iterpretacó: e alrededor del 0.56% de los (ó e 056 de cada 0000) recpetes co 9 pastllas, éstas o se ajusta e el espaco requerdo. 5. upoga que las varables aleatoras,,..., 50 represeta la vda útl de 50 tubos electrócos; los msmos que se usa de la sguete maera: ta proto como falla el prmer tubo, empeza a fucoar el segudo y cuado falla el segudo empeza a fucoar el tercero, etc. upoga que los, =,,., 50 tee dstrbucó expoecal co parámetro λ = /500. Cuál es la probabldad que el tempo de fucoameto de los 50 tubos esté compreddo etre y horas? Iterprete el resultado. olucó ea = tempo de fucoameto del tubo ~ Expoecal (λ = /500) Etoces µ = E() = / λ = 500, σ = / λ = 500 ] =,,., 50. ea Y 50 = tempo de fucoameto de los 50 tubos = = Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: P(0 000 Y ) = x x x500 = P 500x 50) 500x 50) 500x 50).4) = P(-.4 Z 5

26 = Φ(.4) - Φ(-.4) = = Rpta. Iterpretacó: e alrededor del 84.5% de los (ó e 845 de cada 0000) tempos de fucoameto de 50 tubos estará compreddo etre y horas. 6. Las botellas de acete vegetal Prmor tee u cotedo medo de ltro y ua desvacó estádar de Para la dstrbucó se acomoda e cajas de 36 botellas, Calcule e terprete la probabldad que ua caja cotega más de 36.6 ltros. olucó ea = cotedo de las botellas de acete ~ [µ =, σ = 0.04 lts.] ea Y 36 = cotedo por caja de las 36 botellas = = Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: 36 P(Y 36 > 36.6) = - P(Y ) = - P 36x x = = P(Z.5) = - Φ(.5) = = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 0.6% de las (ó e 6 de cada 0000) cajas co 36 botellas de acete el cotedo es de más de 36.6 ltros. 7. E ua cudad grade el 0% de los hogares o tee desagüe. se elge 00 hogares al azar, calcule e terprete la probabldad de que más de 30 hogares o tega desagüe. olucó ea =, s el hogar o tee desagüe ~ Beroull [p = 0.0] ea Y 00 = el total de hogares s desagüe, etre los 00 elegdos = = ~ B[ = 00, p = 0.0] ó N[p = 0, pq = 6] Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: 36 6

27 P(Y 00 > 30) = - P(Y 00 30) = - P 00x x0.0 = 0.0x x = P(Z.5) = - Φ(.5) = = Rpta. Iterpretacó: e alrededor del 0.6% de los (ó e 6 de cada 0000) grupos de 00 hogares escogdos, más de 30 hogares o tee desagüe. 8. U lote de pavos tee u peso medo de 7 Kg. y ua desvacó estádar de 0.5 Kg. Este lote debe ser etregado a los vededores morstas a razó de 00 cada uo. Cuál es la probabldad de que u vededor cualquera de estos tomados al azar, recba u peso total de meos de 697 klos? Iterprete su resultado. olucó ea = peso de los pavos ~ [µ = 7, σ = 0.5 Kg.] ea Y 00 = peso total de los 00 pavos = Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: P(Y 00 < 697) = P 00x x7 = = P(Z < -.0) = Φ(-.0) = Rpta. Iterpretacó: alrededor del.8% de los (ó 8 de cada 0000) vededores morstas recbe u peso total meor a 697 Kg. 9. La Costructora Techto estma que el peso promedo de las persoas que vvrá e u edfco de apartametos es de 68 Kg., co ua desvacó estádar de 5 Kg. De acuerdo co la estmacó, stala e el edfco u ascesor para 36 persoas co capacdad máxma de 700 Kg. la estmacó es correcta, calcule e terprete la probabldad de que u cupo completo exceda la capacdad del ascesor. olucó 7

28 ea = peso de las persoas ~ [µ = 68, σ = 5 Kg.] ea Y 36 = peso total de las 36 persoas = Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: P(Y 36 > 700) = - P(Y ) = - P x x68 = = P(Z.8) = - Φ(.8) = = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 0.6% de los (ó e 56 de cada 0000) cupos completos del ascesor co 36 persoas excede su capacdad máxma de 700 Kg. 0. Las botellas de ro Pepto tee u cotedo medo de ltros y ua desvacó estádar de Para la dstrbucó se acomoda e cajas de 36 botellas, Calcule e terprete la probabldad que ua caja cotega más de 7.36 ltros. olucó ea = cotedo de las botellas de ro ~ [µ =, σ = 0.08 lts.] ea Y 36 = cotedo por caja de las 36 botellas = Etoces, por el teorema del límte cetral la probabldad solctada es: P(Y 36 > 7.36) = - P(Y ) = - P 36x x = = P(Z 3.33) = - Φ(3.33) = = Rpta. Iterpretacó: alrededor del 0.04% de las (ó e 4 de cada 0000) cajas co 36 botellas de ro cotee más de 7.36 ltros. 36 8

29 EJERCICIO PROPUETO. ea Z ua varable aleatora co dstrbucó ormal estádar [Z ~ N(0, )]. Hallar las probabldades sguetes: a) P(Z.5) b) P(0.80 < Z <.96) c) P(-.45 < Z.65) d) P(-.75 Z -0.65) e) P(Z -.38) f) P(-.57 Z < 0) g) P(0 Z <.33).. ea Z ua varable aleatora ormal estádar [Z ~ N(0, )]. Hallar el valor de z para los casos sguetes: a) Φ(z) = b) Φ(z) = 0.9 c) Φ(z) = d) el área etre z y z es 0.99 e) el área a la zquerda de z es 0.05 f) el área a la derecha de z es El cotedo e las botellas de certa gaseosa tee dstrbucó ormal co meda µ= 000 ml. y desvacó estádar σ = 5 ml. Calcule e terprete la probabldad de que ua botella de gaseosa tega: a) Etre 990 y 005 ml. b) Meos de 985 ml. 4. El preco que paga los hogares por el klo de pescado e ua gra cudad tee dstrbucó ormal co meda µ= /. y desvacó estádar σ = / Calcule e terprete la probabldad de que el preco pagado por el klo de pescado: a) ea meor de /. 0. b) e ecuetre etre / y c) Por arrba de que preco paga el 0% superor de los cosumdores. 9

30 5. El tempo que dura la atecó a los cletes de u egoco se dstrbuye ormalmete co meda µ= 30 mutos y desvacó estádar σ = 4 mutos. Calcule e terprete la probabldad de que el tempo de atecó a los cletes: a) dure etre 5 y 40 mutos. b) Etre que límtes smétrcos alrededor de µ dura el 95% de las atecoes. 6. El peso de las cajas de mago se dstrbuye ormalmete co meda µ= 0 Kg. y desvacó estádar σ = 0.5 Kg. se almacea 000 cajas, calcule e terprete qué catdad de cajas pesa: a) meos de 9 klos? b) etre 9.5 y klos? 7. El peso de los huevos de galla producdos por ua avícola se dstrbuye ormalmete co meda µ= 65 gr. y desvacó estádar σ = 5 gr. se almacea 000 huevos, calcule e terprete qué catdad de huevos pesa: a) Meos de 70 gramos? b) Etre 55 y 60 gramos? 8. La duracó de certos focos eléctrcos tee dstrbucó ormal co meda µ= 000 horas y desvacó estádar σ = 00 horas. compra 000 de estos focos, calcule e terprete: a) Cuátos focos durará meos de 600 horas? b) Cuátos focos durará etre 850 y 300 horas? 9. El volume de vetas daras de bolsas de azúcar de la comercalzadora Yapatera tee dstrbucó ormal co meda µ= 800 bolsas y desvacó estádar σ = 00. E u período de 60 días, calcule e terprete: a) E cuátos días el volume de vetas es de 600 o meos bolsas de azúcar? b) E cuátos días el volume de vetas es mayor de 900 bolsas de azúcar? 0. ea y varables aleatoras depedetes dstrbudas ormalmete co μ 50; μ = 35; = 0; = 6. : Y = -. Calcule e terprete: a) La meda y la varaza de Y b) P0 Y 5 30

31 . ea, y 3 varables aleatoras depedetes dstrbudas ormalmete co μ 0; μ = 5; μ 3 = ; = 3; = 4; 3 = 6. í: Y = Calcule e terprete: a) P0 Y 40 b) PY 8. Los teléfoos celulares A y B tee ua duracó (e días) que so N(90, 00 ) y N(878, 50 ) respectvamete. se prueba la vda de cada uo de los teléfoos correspodetes a cada ua de las marcas, cuál es la probabldad que los A dure u año o más que los B? Iterprete su resultado. 3. E ua cudad grade el 0% de hogares o tee agua. se escoge 00 hogares, calcule e terprete la probabldad que más de 30 o tega agua. 4. Al lazar ua moeda 00 veces, calcule e terprete la probabldad de obteer etre 40 y 60 caras. 5. Las cajas co lmó tee u peso medo de 0 Kg. y ua desvacó estádar de 750 gr. Calcule e terprete la probabldad de que el peso de 40 cajas recbdas al azar y cargadas e u camó, supere su capacdad máxma que es de 8,50 kg. 6. Los pesos de los sacos de algodó Pma cosechados tee ua meda de 50 klos y ua desvacó estádar de.4 klos. Calcule e terprete la probabldad de que el peso de 00 paquetes seleccoados al azar sea meor de 4975 klos. 7. Las cajas co araja tee u peso medo de 5 Kg. y ua desvacó estádar de 0.5 klos. Calcule e terprete la probabldad de que el peso de 400 cajas tomadas al azar sea meor de 5,980 kg. 8. U lote de pollos para parrlla tee u peso medo de Kg. y ua desvacó estádar de 0.05 Kg. Este lote debe ser etregado a las pollerías a razó de 00 cada ua. Cuál es la probabldad de que ua pollería, cualquera 3

32 de estas tomada al azar, recba u peso total de meos de 98.5 klos? Iterprete su resultado. 9. Los pesos de los paquetes recbdos e las tedas Rpley tee ua meda de 580 lbras y ua desvacó estádar de 80 lbras. Calcule e terprete la probabldad de que el peso de 49 paquetes recbdos al azar y cargados e u motacargas, supere su capacdad de lbras. 0. U lote muy grade de cajas co palta tee u peso medo μ = 0 Kg. y ua desvacó estádar σ = 0.5 Kg. Este lote debe ser etregado a los supermercados a razó de 00 cajas cada uo. Calcule e terprete la probabldad de que u supermercado cualquera, recba u peso total de meos de 990. Kg.? 3

33 Capítulo. DITRIBUCIONE MUETRALE Hace falta remarcar que u país que o cooce su demografía, tampoco cooce su ecoomía? No se puede saber lo que u país produce y ahorra s se gora esta cosa fudametal: la poblacó.... E u país dode o se puede cotar a los hombres, meos aú se puede cotar la produccó. e descooce el prmero de sus factores: el factor humao, el factor trabajo.. José Carlos Marátegu CONTENIDO. Dstrbucoes muestral de la meda.. Dstrbucó muestral del total (coocda la meda).3 Dstrbucó de la dfereca de medas muestrales..4 Dstrbucó muestral de la proporcó..5 Dstrbucó muestral del total (coocda la proporcó).6 Dstrbucó muestral de la dfereca de proporcoes..7 Ejerccos resueltos..8 Ejerccos propuestos. La estadístca es ua ceca mportate porque permte el coocmeto de la poblacó basádose e muestras aleatoras represetatvas. El prcpal problema de la estadístca es estudar ua poblacó co fucó de cuatía o fucó de desdad, f(x, θ) coocda o supuestamete coocda, co parámetro θ descoocdo. se cooce θ, la dstrbucó de probabldad queda determada. Para ello, se toma ua muestra aleatora de tamaño (,,..., ) de ua poblacó de tamaño N y se busca algua fucó de esta muestra que estme el parámetro descoocdo θ, problema que será abordado co mayor detalle e el capítulo de estmacó. E este capítulo se desarrolla las dstrbucoes muestrales para muestras grades ( 30 ) referdas a la meda, a la dfereca de medas, a la proporcó, a la dfereca de proporcoes y a los totales (coocda la dstrbucó de la meda y la proporcó). Cabe resaltar que el coocmeto de estas dstrbucoes muestrales es el soporte fudametal para poder compreder el desarrollo de la estmacó por tervalos y la docmasa de hpótess a tratar capítulos más adelate. A cotuacó se desarrolla cada uo de los coceptos mportates de las dstrbucoes muestrales. 33

34 Poblacó.- es el cojuto de todas las udades de aálss (dvduos u objetos) a ser observadas y que posee ua característca comú. Es decr, es el cojuto de todas las observacoes posbles que puede tomar ua varable aleatora. Por ejemplo, e todas las empresas podemos estudar: el úmero de trabajadores, las vetas, etc.; e todos los hogares podemos estudar: los gresos, los gastos, etc. Muestra.- es ua parte represetatva de la poblacó. La represetatvdad mplca adecuado: método de muestreo, tamaño de muestra, seleccó de la muestra y propuesta de estmadores (fórmulas). Relacoado al ejemplo ateror, la muestra vedría dada por ua parte represetatva de empresas u hogares. Muestra Aleatora.- ea ua varable aleatora co dstrbucó de probabldad f(x) (fucó de cuatía o fucó de desdad) co meda μ y varaza σ. Ua muestra aleatora (m.a.) de tamaño de, es u cojuto de varables aleatoras (,,..., ) que cumple:. Cada ( =,,..., ) tee la msma dstrbucó que. Es decr, tee la msma dstrbucó de probabldades f ( x) f ( x), la msma fucó de dstrbucó acumulatva F ( x) F ( x), la msma meda = E( ) = E() N = μ co y la msma varaza N I = V( ) = V() = N ( ) N.. Las varables aleatoras ( =,,..., ) so depedetes. Por lo tato la fucó de probabldad cojuta de la muestra aleatora,,..., está dada por: f,,..., ( f f f f,,..., ) ( ) ( )... ( ) ( ). Esta probabldad de ocurreca de la muestra observada, es mportate e estmacó putual, ya que allí represeta la fucó de verosmltud a maxmzar. Nota: 34

35 La defcó de m.a. se cumple cuado la muestra provee de ua poblacó fta (dscreta o cotua) y cuado la muestra se extrae co reemplazo de ua poblacó fta. La defcó de m.a. o se cumple cuado el muestreo es s reemplazo de ua poblacó fta, ya que las v.a.,,..., o so depedetes. embargo, s el tamaño de la muestra es muy pequeño e comparacó co el tamaño N de la poblacó ( < 5% N ) se cumple aproxmadamete la defcó. Ejemplo.- se toma ua m.a. de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó de Posso, co parámetro λ, hallar la fucó de probabldad cojuta (fucó de verosmltud) para dcha muestra. olucó: Como la v.a. ~ Posso (λ), etoces ~ Posso (λ) y su fucó de probabldad es: f e ( ),,,..., ; = 0,,, 3,...! Luego la fucó de probabldad cojuta (fucó de verosmltud) será: e f, (,,..., ) ( ) ( )... ( ),..., f f f =! e e =!! e...! = = Rpta. Ejemplo.- e!, = 0,,, 3,... ; =,,...,. se toma ua m.a. de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó N(μ, σ ), hallar la fucó de probabldad cojuta (fucó de verosmltud) para dcha muestra. olucó: 35

36 Como la v.a. ~ N(μ, σ ), etoces ~ N(μ, σ ) y su fucó de probabldad está dada por: ( ) / f ( ) e ; Luego la fucó de desdad cojuta (fucó de verosmltud) será: f,,..., ) f ( ) f ( )... f ( ) = (,,...,, =,, 3,...,. = ( ) / = e ( ) / e ( ) /... e ( ) / = e ; x, =,, 3,...,. Rpta. Estadístco.- es ua varable aleatora que depede sólo de la muestra observada. Así, s,,..., es ua m.a. de ua poblacó, etoces la meda muestral ( ) y la varaza muestral (s ) so estadístcos. Dode: y s ( ) Dstrbucó muestral.- es la dstrbucó de probabldad de u estadístco. Error estádar de u estadístco.- es la desvacó estádar de la dstrbucó muestral de u estadístco. Error relatvo de u estadístco.- es el coefcete de varacó de la dstrbucó muestral de u estadístco. Teorema.- ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó, co meda E() = μ y varaza Var () = σ. ea la meda muestral, etoces: E ( ) y Var( ). Teorema.- ea,,..., ua muestra aleatora s reemplazo de tamaño de ua poblacó de tamaño N, co meda E() = E( ) = μ y varaza Var () = Var ( ) = σ. N N Etoces: E ( ) y Var( ). N N 36

37 Dode: N ( ) N, represeta la cuasvaraza poblacoal y el factor N se llama factor de correccó para poblacoes ftas (f.c.p.f.) el msmo que N es descartado cuado la fraccó de muestreo (f ) N f N N A cotuacó presetamos las dstrbucoes muestrales de la meda, del total (coocda la meda), de la dfereca de medas muestrales, de la proporcó, del total (coocda la proporcó) y de la dfereca de proporcoes. Todas ellas de suma mportaca e el daro quehacer de muchos campos de la vestgacó cetífca, ya que como estudaremos más adelate, va a permtr la determacó de tervalos de cofaza y la verfcacó de hpótess para los parámetros poblacoales.. DITRIBUCIÓN MUETRAL DE LA MEDIA Teorema 3.-,,..., es ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó, co meda E() = μ teorema cetral del límte, la meda muestral y varaza Var () = σ. Etoces, por el tee aproxmadamete dstrbucó ormal co meda μ y varaza σ /. N(, / ). Y la varable aleatora ( ) Z tee aproxmadamete dstrbucó N(0, ). / Este teorema es váldo para cualquer poblacó fta o fta, dscreta o cotua, cuado el tamaño de la muestra 30. la poblacó es ormal, se cumple cualquera sea el tamaño de la muestra. Cuado la poblacó es fta de N elemetos y el muestreo es s reemplazo, la varables aleatoras o so depedetes, etoces la dstrbucó de es hpergeométrca, co: N E ( ) y Var( ). Luego: N 37

38 Teorema 4.-,,..., es ua muestra aleatora de tamaño extrada s reemplazo de ua poblacó fta de tamaño N, co meda E() = μ y varaza Var () = σ. Etoces, la meda muestral dstrbucó ormal co meda μ y varaza varable aleatora Ejemplo 3.- Z ( ) N N 38 tee aproxmadamete Var( ) N. Y la N tee aproxmadamete dstrbucó N(0, ). E Lma Metropoltaa la botella de acete prmor de u ltro tee u preco promedo de / y ua desvacó estádar de / se toma muestras aleatoras de 50 precos, se pde calcular e terpretar: a) la probabldad que el preco promedo muestral se ecuetre etre / y 5.0; b) la probabldad que el preco medo muestral sea feror a /. 4.80; y c) detro de que límtes smétrcos alrededor del preco promedo verdadero se ecotrará el 95 % de los precos promedos muestrales. olucó.- Como datos del problema se tee que: μ = /. 5.00, σ = / y = 50. Var( ) = (0.40) / 50 = /. ( 5.00) Luego: N(5.00;0.003 ) y Z N(0, ) Nos pde: a) P( ) = P = = P(-.63 Z.75) = (.75) - (-.63) = = = Rpta. Iterpretacó.- el % de los precos promedos muestrales de las botellas de acete prmor de u ltro, se ecuetra etre / y 5.0, para muestras de 50 precos b) P( < 4.80) = P ( ) P( Z 3.5)

39 Iterpretacó.- el 0.0% de los precos promedos muestrales de las botellas de acete prmor de u ltro, será feror a /. 4.80, para muestras de 50 precos. c) ea 5.00 E y E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ = /. 5.00, detro de los cuales estará el 95 % de las. Etoces: E E 0.95 = P(5.00 E E) = P ( Z ) E E E E = E Z E.96(0.057) 0.. Luego los límtes será: E= = / y = /. 5.. Es decr: 0.95 = P( ) Iterpretacó.- el 95 % de los precos promedos muestrales de las botellas de acete prmor de u ltro, se ecuetra etre / y 5. alrededor de μ = /. 5.00, para muestras de 50 precos.. DITRIBUCIÓN MUETRAL DEL TOTAL (coocda la meda) E muchas stuacoes vamos a estar teresados e efectuar estmacoes de u total poblacoal, coocda la meda muestral, para lo cual se tee que teer presete lo sguete: í el promedo poblacoal es: N N El total de la poblacó se defe como: el cual es estmado por: ˆ Nˆ N N Utlzado la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, el teorema cetral del límte y los operadores esperaza y varaza para el estmador de total, llegamos al resultado sguete: ˆ N ˆ N N N, N y N N Z ~ N(0, ) N Dode la varaza del estmador del total está dada por: 39

40 Var ˆ ( ) Var( N ˆ) Var( N ) N Var( ) N N, s la fraccó de muestreo f = / N 0.05, o ˆ N Var( ) Var( N ˆ) Var( N ) N Var( ) N N, s N la fraccó de muestreo f = / N > DITRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIA MUETRALE Esta dstrbucó va a surgr cuado estemos teresados e efectuar la comparacó de las medas de dos poblacoes. Por ejemplo: comparar el preco promedo poblacoal de u be o servco e la cudad (μ ) y el preco promedo poblacoal del msmo be o servco e la cudad Y (μ Y ). O comparar los gresos promedos, vetas promedos, los redmetos promedos, etc. o sólo etre cudades, so també etre grupos. Esta comparacó se formula así: erá guales los precos promedos de u be o servco e las cudades e Y (o e las cudades y )? Que es détco a platearse μ = μ Y o μ μ Y = 0? o també μ = μ o μ μ = 0? Es decr, que esta comparacó se reduce a coocer la dfereca de medas poblacoales, la msma que va a requerr tomar muestras aleatoras de ambas poblacoes y estudar el comportameto de la meda muestral e cada ua de ellas, de la sguete maera: ea,,..., es ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó de tamaño N, co meda E() = μ y varaza Var () = meda muestral. abemos que la tee aproxmadamete dstrbucó ormal: N N(, ). Dode: o Var( )... () N ea Y, Y,..., Y m ua muestra aleatora de tamaño m, de ua poblacó Y de tamaño M, co meda E(Y) = μ Y y varaza Var (Y) = Y. abemos que la m Y meda muestral Y tee aproxmadamete dstrbucó ormal: m 40

41 Y Y N( Y, Y ) Y. Dode: m o Y M m Y Var( Y ) m M De () y () teemos que - Y es ua varable aleatora co meda: Y E y varaza: Y Var Y E EY Y Y Var VarY Y Y... () Y = + Y m o N N + Y M m m M... (3) Además, por la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, de () y () se tee que: - Y ~ N(, Y Y ) y dode Y se obtee a partr de (3). Z Y ) ( Y ) Y ~ N(0, ) tetzamos lo expuesto hasta aquí e el teorema 5. Teorema 5.- y Y so las medas de dos muestras aleatoras (de tamaños y m) de dos poblacoes e Y, co medas μ y μ Y, y varazas Var () = y Var (Y) =, respectvamete, etoces la dstrbucó muestral de la dfereca de Y medas es aproxmadamete ormal N( Y, Y ) y la varable aleatora Y ( Y Z )) o Y m Z 4 aproxmadamete dstrbucó ormal estádar N(0, ). Y ( ) N Y N m Y ) M M m tee y m so mayores o guales que 30, la aproxmacó a la ormal para la dfereca de medas muestrales es óptma. las poblacoes e Y so ormales, el teorema se cumple para cualesquer tamaño de muestra. Ejemplo 4.- Certas bolsas de café tee u peso medo de 500 gr. y ua desvacó estádar de 0 gr. Certo día de produccó se toma depedetemete dos muestras al azar s reposcó, co = 500 y m = 800. Cuál es la probabldad que los pesos medos

42 de las dos muestras dfera a) e más de gr.? y los resultados. olucó.- b) e meos de gr.? Iterpretar ea la muestra de tamaño = 500 bolsas de café, co μ = 500 gr. y ea Y la muestra de tamaño m = 800 bolsas de café, co μ Y = 500 gr. y Luego: = Y = = 0, Y.3 y Y Además, =.4 gr. - Y ~ N(0,.3) y Y = + Y m = = 0 gr. Y = 0 gr. 0 0 = Y 0 Z ~ N(0, ). Nos pde:.4 a) P ( - Y > ) = - P ( - Y ) = - P(- - Y ) =.75) = 0 Y 0 0 = - P = - P(-.75 Z = [ (.75) - (-.75)] = - [ (.75) + (.75)] = = (.75) = ( ) = Rpta. Iterpretacó.- e el 8.0% de las comparacoes, para muestras de 500 y 800 bolsas de café respectvamete, las dferecas de pesos medos será mayores a gramos. b) P ( - Y < ) = P( - < - Y < ) = 0 Y 0 0 = P = P(-0.88 Z 0.88) = = (0.88) - (-0.88) = = 0.64 Rpta. Iterpretacó.- e el 6.% de las comparacoes, para muestras de 500 y 800 bolsas de café respectvamete, las dferecas de pesos medos será meores de gramo. 4

43 .4 DITRIBUCIÓN MUETRAL DE LA PROPORCIÓN E muchos estudos vamos a estar teresados e clasfcar los datos cualtatvos o cuattatvos de la poblacó e dos clases dsttas (poblacó dcotómca o bomal) tales como: éxtos y fracasos; hombres y mujeres; a favor y e cotra; aprueba y desaprueba; jóvees (meores de x años) y adultos (de x años y más); caras y sellos; empleados y desempleados; etc. E este caso, se desea estmar la proporcó de udades (P) o el úmero total de udades (A) e la poblacó que posee ua certa característca o atrbuto que cae detro de ua clase defda. Por ejemplo, se desea estmar: - El porcetaje (o úmero) de persoas que cosume u certo producto. - El porcetaje (o úmero) de cletes que compra más de dólares mesuales. - El porcetaje (o úmero) de cudadaos que está a favor de u persoaje. Notacó: Además de la otacó usada aterormete, s se defe la v.a. Beroull: =, s la udad estadístca observada posee la característca de terés (éxto). = 0, s la udad estadístca o posee la característca de terés (fracaso). Etoces: N A y P N N represeta el úmero total de udades (A) y la proporcó (P) de udades e la poblacó que posee ua certa característca. upoga que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó bomal, etoces la proporcó muestral p defda como: p, estma a P. 43

44 44 = = úmero de éxtos e la muestra es ua v.a. Bomal (, P). La proporcó muestral p, es ua meda muestral de v.a. Beroull co E( ) = P y V( ) = P Q; represeta la proporcó de éxtos e la muestra y estma a la proporcó de éxtos e la poblacó P. Es decr, que p tee el msmo comportameto de ua meda muestral. Por lo tato: P P P E E p E ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Var Var p Var (propedad de la varaza) ) ( p PQ PQ PQ Var Luego: PQ P N p, y PQ P p Z ~ N(0, ) el muestreo se efectúa s reemplazo de ua poblacó bomal fta, la dstrbucó muestral de p sgue la dstrbucó hpergeométrca y su varaza requere el factor de correccó para poblacoes ftas (salvo que la fraccó de muestreo f = /N sea meor del 5%, dode o se utlza). Etoces:, N N PQ P N p

45 y p P Z ~ N(0, ) PQ N N Ejemplo 5.- egú el Ceso Nacoal de Talla e Escolares de 999 la desutrcó cróca e el Perú era del 7.9%. se toma ua muestra al azar s reposcó, de = 500 ños y ñas. Calcule e terprete la probabldad que: a) la desutrcó cróca muestral se ecuetre etre 6 y 30%? y b) detro de que límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera de desutrdos crócos se ecotrará el 95% de las proporcoes muestrales. olucó.- El mecoado Ceso tee los sguetes datos: N = ños y ñas cesados como casos váldos = tamaño de la poblacó. = N = ños y ñas desutrdos crócos. P N N N desutrcó cróca. 574,34 '059,46 = 0.79 = proporcó cesal de ños y ñas co Q = 0.7 = proporcó cesal de ños y ñas s desutrcó cróca. = 500 ños y ñas = tamaño de la muestra. Como la fraccó de muestreo /N es meor de 0.05, etoces, la proporcó muestral: Mstero de Educacó. Nutrcó y Retardo e el Crecmeto. Resultados del II Ceso Nacoal de Talla e Escolares 999. Lma, Perú, Novembre de

46 p PQ NP, N 0.79; y p P p 0.79 p 0.79 Z ~ N(0, ) PQ e pde calcular: p a) P ( 0.6 p 0.30 ) = P = P( -.64 Z.8 ) = (.8) - (-.64) = = = Rpta. Iterpretacó.- e el 9.44 % de las muestras de 500 ños y ñas a vel acoal, el porcetaje de desutrdos crócos, se ecuetra etre el 6 y 30 %. b) ea 0.79 E y E los límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera P = 0.79, detro de los cuales estará el 95 % de las p. Etoces: E E 0.95 = P(0.79 E p E) = P ( Z ) E E E E = E 0.06 Z E.96(0.06) Luego los límtes será: 0.79 E = = 0.56 y = Es decr: 0.95 = P(0.56 p 0.30 ) Rpta. Iterpretacó.- e el 95 % de las muestras de 500 ños y ñas a vel acoal, la proporcó de desutrdos crócos se ecotrará etre 0.56 y 0.30 alrededor de la proporcó verdadera P =

47 .5 DITRIBUCIÓN MUETRAL DEL TOTAL (coocda la proporcó) E muchas stuacoes vamos a estar teresados e efectuar estmacoes de u total poblacoal, coocda la proporcó muestral, para lo cual se tee que teer presete lo sguete: í N P represeta la proporcó (P) de udades e la poblacó que N posee ua certa característca y A posee dcha característca. Etoces: N el úmero total (A) de udades que El total de la poblacó se defe como: el cual es estmado por: N A Aˆ NPˆ Np NP Utlzado la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, el teorema cetral del límte y los operadores esperaza y varaza para el estmador de total, llegamos al resultado sguete: Aˆ ˆ NP Np N NP, N p y Z Np NP ~ N(0, ) N p Dode la varaza del estmador del total está dada por: PQ Var( Aˆ) Var( NPˆ) Var( Np) N Var( p) N p N, s la fraccó de muestreo f = / N 0.05, o Var( Aˆ) Var( NPˆ) Var( Np) N Var( p) N la fraccó de muestreo f = / N > p N PQ N, s N 47

48 .6 DITRIBUCIÓN MUETRAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE Esta dstrbucó surge cuado estemos teresados e efectuar la comparacó de las proporcoes de dos poblacoes. Por ejemplo: comparar la proporcó poblacoal de dvduos que prefere u be o servco e la cudad (P ) y la proporcó poblacoal de dvduos que prefere el msmo be o servco e la cudad (P ). Comparar las proporcoes de aceptacó o sólo etre cudades, so també etre grupos. Esta comparacó se formula así: erá guales las proporcoes poblacoales de dvduos que prefere u be o servco e las cudades y? Que es détco a platearse P = P o P P = 0? Es decr, que esta comparacó se reduce a coocer la dfereca de proporcoes poblacoales, la msma que va a requerr tomar muestras aleatoras de ambas poblacoes y estudar el comportameto de la proporcó muestral e cada ua de ellas y de la dfereca p p de la sguete maera: upoga que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó bomal, de tamaño N co ua proporcó de éxtos gual a P. ea el úmero de éxtos e la muestra de tamaño, etoces la proporcó muestral de éxtos p, defda como grade tee aproxmadamete dstrbucó ormal: p estma a P y para sufcetemete p N( P, p ). Dode: PQ p o PQ N p... () N upoga que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó bomal, de tamaño N co ua proporcó de éxtos gual a P. ea el úmero de éxtos e la muestra de tamaño, etoces la proporcó muestral de éxtos p, defda como grade tee aproxmadamete dstrbucó ormal: p estma a P y para sufcetemete 48

49 49 ), ( p P N p. Dode: P Q p o N N PQ p... () edo p y p varables aleatoras depedetes, cuyas dstrbucoes está dadas e () y () teemos que p p es ua varable aleatora co meda: P P p E p E p p E p p p p y varaza: p p p p p Var p Var p p Var p p = PQ + P Q o N N PQ + N N P Q... (3) Además, por la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, de () y () se tee que: p p ~ N(P P, p p ) y ( ) p p P P p p Z ~ N(0, ) dode p p se obtee a partr de (3). tetzamos lo expuesto hasta aquí e el teorema 6. Teorema 6.- p y p so las proporcoes de dos muestras aleatoras (de tamaños y ) de las poblacoes bomales y, respectvamete, etoces la dstrbucó muestral de la dfereca de proporcoes p - p ~ N(P P, p p ) y la varable aleatora ) ( PQ PQ P P p p Z o ) ( N N P Q N N PQ P P p p Z tee aproxmadamete dstrbucó ormal estádar N(0, ).

50 y so mayores o guales que 30, la aproxmacó a la ormal para la dfereca de proporcoes muestrales es óptma. Ejemplo 6.- Ua empresa que trabaja e cudades grades, cosdera que el vel de aceptacó de su producto e los hogares de la cudad es de u 35% y e la cudad de u 30%. se toma ua muestra aleatora de 400 hogares de cada cudad. Cuál es la probabldad que la dfereca de proporcoes muestrales de hogares que prefere el producto e ambas cudades sea meor al 8%? Iterpretar el resultado. olucó.- P = 0.35 = proporcó de hogares que prefere el producto e la cudad. Q = P = 0.65 = proporcó de hogares que o prefere el producto e la cudad. P = 0.30 = proporcó de hogares que prefere el producto e la cudad. Q = P = 0.70 = proporcó de hogares que o prefere el producto e la cudad. = = 400 hogares (tamaño de la muestra e ambas cudades) Cosderado que ambas cudades so grades y que las correspodetes fraccoes de muestreo so meores al 5% (f = / N < 0.05) se tee que: p p ~ N(P P, ) p p Co meda: p p P = = 0.05 P Y varaza: = p p PQ + P Q (0.35)(0.65) (0.35)(0.65) = = Luego: p p ~ N(0.05 ; 0.00) y Z p p ( P P ) p p p p ~ N(0, ) 50

51 e pde calcular: P (p p 0.08 ) = P(-0.08 p p 0.08) = p = p P = = P(-3.93 Z 0.9) = (0.9) - (-3.93) = = = Rpta. Iterpretacó.- e el 8.86% de las comparacoes, para muestras de 400 hogares de cada cudad, las dferecas de proporcoes muestrales de hogares que prefere el producto e ambas cudades será meor al 8%. 5

52 .7 EJERCICIO REUELTO. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó Beroull, co parámetro p, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. olucó la varable aleatora. ~ Beroull (p), etoces cada ~ Beroull (p) y su fucó de probabldad es: f x p q ; x = 0 y. x x ( ),,,..., Luego la fucó de probabldad cojuta o de verosmltud será: f ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x)... f ( x) x x p q p x q x... x x p q x x = p q, x = 0 y ; =,,...,. Rpta.. se toma ua muestra aleatora de tamaño m, de ua poblacó co dstrbucó bomal, co parámetros y p, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. olucó Como la varable aleatora ~ B(, p), etoces cada ~ B(, p) y su fucó de probabldad es: f ( x ) C p q,,,..., m ; x = 0,,, 3,..., x x x Luego la fucó de probabldad cojuta o de verosmltud será: f ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) C p q x x = x x x C p q x... xm xm Cx p q m Rpta. m m m x m x = Cx p q, x = 0,,,...,; =,,..., m. 3. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó de Pareto, co parámetro B, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. 5

53 olucó la varable aleatora. ~ Pareto (B), etoces cada ~ Pareto (B) y su fucó de probabldad es: B f x B ( 0 ), B 0,,,...,. Dode: B = Coefcete de Pareto > 0. o = Igreso mímo. Luego la fucó de probabldad cojuta o de verosmltud será: B f ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x)... f ( x) B B B 0 B B 0 B B... B B 0 B 0 ; 0,,,..., B, Rpta. 4. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó log-ormal, co parámetros μ y σ, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. olucó Como la varable aleatora ~ LN (μ, σ ), etoces cada ~ LN (μ, σ ) y su fucó de probabldad esta dada por:,,...,. f ( x ) e ; x 0, = (l x ) / x Luego la fucó de desdad cojuta o de verosmltud será: f ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) = x e (l x ) / x e (l x ) /... x e (l x ) / = = x e (l x ) / ; x 0, 53 =,, 3,...,. Rpta.

54 Desdad 5. Las botellas de acete para motor de carros tee u cotedo medo de.0 ltros y ua desvacó estádar de 0. ltros. se toma ua muestra aleatora de 36 botellas, Calcule e terprete la probabldad que: a) Las botellas tega ua meda de lleado etre.96 y.03 ltros. b) Detro de qué límtes smétrcos caerá el 95 % de las medas muestrales alrededor de la meda poblacoal? olucó Los datos del problema so: μ =.0 lts., σ = 0. lts. y = 36 botellas. Var( ) = (0.) / 36 = lts. Luego: N (, ) a) P(.96.03) =.5) = N(.00, ) y (.00) Z N(0,). Nos pde: P = P(-.0 Z = (.5) - (-.0) = = = Rpta. 0 Dstrbucó cotedo medo de acete Normal, Meda=, Desv.Est.=0.0 lts = meda muestral Resultado gráfco e Mtab 54

55 Iterpretacó.- e el 9.04% de las (ó e 904 de cada 0000) muestras de 36 botellas de acete para motor de carro de dos ltros, el cotedo medo está etre.96 y.03 ltros. b) ea.00 E y.00 + E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ =.0 lts., detro de los cuales estará el 95 % de las. Etoces: E E 0.95 = P(.00 E.00 + E) = P( Z ) E E E E = E 0.0 Z =.96 E =.96 x 0.0 = lts. Luego los límtes será:.00 E = =.96 lts. y =.039 lts. Es decr: 0.95 = P( ) Rpta. Iterpretacó.- e el 95% de las (ó e 9500 de cada 0000) muestras de 36 botellas de acete para motor de carro de dos ltros, el cotedo medo está etre.96 y.039 lts. alrededor de μ =.0 lts. 6. Ua estacó de servco de ua cudad grade ha ecotrado que sus vetas semaales de petróleo tee u promedo de 5 galoes por clete co ua desvacó estádar de.8. Para ua muestra aleatora de 49 cletes, calcule e terprete: a) La probabldad de que la compra promedo semaal de petróleo sea meor de 4 galoes; b) Detro de qué límtes smétrcos caerá el 99% de las medas muestrales alrededor de la meda poblacoal? olucó Los datos del problema so: μ = 5 gls., σ =.8 gls. y = 49 cletes. Var( ) = (.8) / 49 = gls. 55

56 Desdad Etoces: N (, ) = N(5, 0.6) y ( 5) Z N(0, ). Nos pde: a) P( < 4) = P = P(Z < -.5) = (-.5) = Rpta. Iterpretacó.- e el 0.6% de las (ó e 6 de cada 0000) muestras de 49 cletes de petróleo, la compra meda es meor a 4 galoes. b) ea 5 E y 5 + E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ = 5 gls., detro de los cuales caerá el 99 % de las. Etoces: E E 0.99 = P(5 E 5 + E) = P( Z ) E E E E = E 0.4 Z =.575 E =.575 x 0.4 =.03 gls. Luego los límtes será: 5 E = 5.03 = 3.97 gls. y = 6.03 gls. Es decr: 0.99 = P( ) Rpta..0 Dstrbucó compra meda de petróleo Normal, Meda=5, Desv.Est.= = meda muestral 6.03 Resultado gráfco e Mtab 56

57 Iterpretacó.- e el 99% de las (ó e 9900 de cada 0000) muestras de 49 cletes de petróleo, la veta meda se ecuetra etre 3.97 y 6.03 gls. alrededor de μ = 5 gls. 7. La compañía Yapatera vede bolsas de azúcar co u cotedo medo de 5 klos y ua desvacó estádar de 0. klos. se toma muestras al azar de 36 bolsas. Calcule e terprete: a) La probabldad de que el peso medo de la muestra supere los 5. klos. b) Detro de que límtes smétrcos alrededor de la meda poblacoal caerá el 90% de los pesos medos muestrales? olucó Los datos del problema so: μ = 5 Kg., σ = 0. Kg. y = 36 bolsas. Var( ) = (0.) / 36 = Kg. Etoces: N (, ) = N(5, 0.00) y ( 5) Z N(0, ). e pde: a) P( > 5.) = P = P(Z > 3.03) = - (3.03) = = = 0.00 Rpta. Iterpretacó.- e el 0.% de las (ó e de cada 0000) muestras de 36 bolsas de azúcar, el peso medo supera los 5. klos. b) ea 5 E y 5 + E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ = 5 Kg., detro de los cuales caerá el 90 % de las. Etoces: E E 0.90 = P(5 E 5 + E) = P( Z ) E E E E = E Z 0.95 =.645 E =.645 x = Kg. Luego los límtes será: 57

58 5 E = = Kg. y = Kg. Es decr: 0.90 = P( ) Rpta. Iterpretacó.- e el 90% de las (ó e 9000 de cada 0000) muestras de 36 bolsas de azúcar, el cotedo medo se ecuetra etre y Kg. alrededor de μ = 5 Kg. 8. E Lma el preco promedo al cosumdor del klo de arroz es μ = /. 3.0 co ua desvacó estádar σ = / se seleccoa ua muestra aleatora de 00 cosumdores de arroz, calcule e terprete: a) La probabldad que el preco medo muestral del arroz sea mayor a /. 3.5 el klo. b) Detro de que límtes smétrcos caerá el 95% de los precos medos muestrales alrededor de la meda poblacoal? olucó Los datos del problema so: μ = /. 3.0, σ = / y = 00 cosumdores. Var( ) = (0.5) / 00 = / Etoces: N pde: (, ) = N(3.0, ) y ( 3.0) Z N(0, ). e a) P( > 3.5) = P = P(Z >.0) = - (.00) = = = Rpta. Iterpretacó.- e el.8% de las (ó e 8 de cada 0000) muestras de 00 cosumdores de arroz, el preco medo del klo es mayor a / b) ea 3.0 E y E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ = /. 3.0, detro de los cuales caerá el 95 % de las. Etoces: E E 0.95 = P(3.0 E E) = P( Z )

59 E E E E = E 0.05 Z =.96 E =.96 x 0.05 = / Luego los límtes será: 3.0 E = = /. 3.5 y = / Es decr: 0.95 = P( ) Rpta. Iterpretacó.- e el 95% de las (ó e 9500 de cada 0000) muestras de 00 cosumdores de arroz, el preco medo del klo se ecuetra etre 3.5 y 3.5 uevos soles alrededor de μ = / La compañía La egrta vede latas de café co u cotedo medo de 95 gramos y ua desvacó estádar de 6 gramos. se toma muestras al azar de 5 latas. Calcule e terprete: a) La probabldad de que el peso medo de la muestra sea meor de 9 gramos. b) Detro de que límtes smétrcos alrededor de la meda poblacoal caerá el 99.73% de los pesos medos muestrales? olucó Los datos del problema so: μ = 95 gr., σ = 6 gr. y = 5 latas. Var( ) = (6) / 5 =.44. gr. Etoces: N (, ) = N(95,.44) y ( 95) Z N(0, ). e pde: a) P( < 9) = P.. = P(Z < -.5) = (-.50) = Iterpretacó.- e el 0.6% de las (ó e 6 de cada 0000) muestras de 5 latas de café, el peso medo es meor 9 gr. b) ea 95 E y 95 + E los límtes smétrcos alrededor de la meda μ = 95 gr, detro de los cuales caerá el % de las. Etoces: 59

60 E E = P(95 E 95 + E) = P( Z ).. E E E E = E. Z = 3.0 E = 3 x. = 3.6 gr. Luego los límtes será: 95 E = = 9.4 gr. y = 98.6 gr. Es decr: = P( ) Rpta. Iterpretacó.- e el 99.73% de las (ó e 9973 de cada 0000) muestras de 5 latas de café, el peso medo se ecuetra etre 9.4 y 98.6 gr. alrededor de μ = 95 gr. 0. e sabe que e la cudad A el gasto medo mesual e arbtros es de /. 50, co ua desvacó típca de /. 60; metras que e la cudad B dcho gasto medo mesual es de /. 35, co ua desvacó típca de /. 50. E ua audtoría para determar el gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 300 hogares de cada cudad. Calcule e terprete la probabldad de que: a) El gasto medo mesual e arbtros e la cudad B sea mayor que e la cudad A. b) El gasto medo mesual e arbtros e la cudad A sea al meos /. 5 más que el gasto medo mesual e arbtros e la cudad B. olucó Los datos del problema so: μ A = /. 50, σ A = /. 35 y A = 300 hogares. μ B = /. 35, σ A = /. 0 y B = 300 hogares. Luego: A (60) B (50) Var( ) A A =.00 y Var( ) B B = A B 60

61 = = 5, A B A B = = 0.33 y A B xa xb = 4.5. Luego: A B N = N(5, 0.33) y (, ) A B A B A B ( AB 5) Z N(0, ). 4.5 e pde: a) P( B > A ) = P( A < B ) = P( A - B < 0) = ( A B 5) 0 5 P = = P(Z < -3.33) = (-3.33) = Rpta. Iterpretacó.- e el 0.04% de las (ó e 4 de cada 0000) muestras de 300 hogares de cada cudad, el gasto medo mesual e arbtros e la cudad B será mayor que e la cudad A. b) P A B 5 = - P A B 5 = = - P A B = P(Z <.) = - (.) = = = 0.03 Rpta. Iterpretacó.- e el.3% de las (ó e 3 de cada 0000) muestras de 300 hogares de cada cudad, el gasto medo mesual e arbtros e la cudad A será al meos /. 5 más que el gasto medo mesual e arbtros e la cudad B.. Dos fábrcas A y B productoras de bombllas afrma que el promedo de duracó de ellas es de 980 y 950 horas, respectvamete, co desvacoes típcas de 90 y 00 horas. se seleccoa 00 bombllas al azar de cada fábrca, calcule e terprete la probabldad de que: a) Las bombllas B tega ua duracó meda meor de 930 horas. b) Las bombllas B tega ua duracó meda mayor que la duracó meda de las bombllas A. 6

62 olucó Los datos del problema so: μ A = 980 horas, σ A = 90 horas y A = 00 bombllas. μ B = 950 horas, σ B = 00 horas y B = 00 bombllas. Luego: A Var( ) A A = (90) / 00 = 8 y 00 a) b) A B Var( ) B B = (00) / 00 = ( 950) B N( B, ) B = N(950, 8) y B Z N(0, ). e pde: 9 P( B < 930) = P B = P(Z < -.) = 9 9 = (-.) = 0.03 Rpta. Iterpretacó.- e el.3% de las (ó e 3 de cada 0000) muestras de 00 bombllas B, la duracó meda meor de 930 horas. = = 30, A B A B = Luego: A B (, ) A B A B A B = = 8 y A B xa xb N = N(30, 8) y ). e pde: P( B > A ) = P( A < B ) = P( A - = B < 0) = = P(Z < -.3) = (-.3) = Rpta. B ( AB 30) Z N(0, 3.45 ( A B 30) 0 30 P Iterpretacó.- e el.9% de las (ó e 9 de cada 0000) muestras de 00 bombllas A y 00 bombllas B, la duracó meda de las bombllas B es mayor que la duracó meda de las bombllas A.. U proceso automátco es realzado por dos máquas que empaqueta u producto e bolsas de 500 gramos. La máqua llea co ua desvacó estádar de 5 gramos y la máqua de 0 gramos. se seleccoa muestras de 00 bolsas de cada máqua, calcule e terprete la probabldad de que: a) El lleado medo de la máqua sea meor que el lleado medo de la máq.. 6

63 b) Las medas muestrales dfera e meos de gramos. olucó Los datos del problema so: μ = 500 gr., σ = 5 gr. y = 00 bolsas. μ = 500 gr., σ = 0 gr. y = 00 bolsas. Luego: = (5) / 00 =.5 y Var( ) = (0) / 00 = 4. Var( ) = = 0, x x = = 6.5 y =.5. Luego: A B ( 0) (, ) = N(0, 6.5) y Z N(0, ). e pde:.5 N ( 0) 0 0 a) P( < ) = P( - < 0) = P.5.5 = = P(Z < 0) = (0) = Rpta. Iterpretacó.- e el 50% de las (ó e 5000 de cada 0000) muestras de 00 bolsas de la máqua y 00 bolsas de la máqua, el lleado medo de la máqua es meor que el lleado medo de la máqua. b) P = P = = P = P(-0.80 < Z < 0.80) = (0.80) - = = (0.7884) = Rpta. Iterpretacó.- e el 57.63% de las (ó e 5763 de cada 0000) muestras de 00 bolsas de cada máqua, las medas muestrales dfere e gramos. 3. egú u estudo del Mstero de alud, e el Perú los varoes de 9 años de edad tee u peso promedo de 6.8 Kg. y ua desvacó estádar de.5 Kg., metras que las mujeres tee u peso promedo de 6.7 Kg. y ua desvacó estádar de 3.8 Kg. se toma depedetemete dos muestras al azar s reposcó, de = 300 ños y m = 300 ñas. Calcule e terprete la probabldad de que: Mstero de alud. Iforme del estado utrcoal e el Perú. Compoete utrcoal ENAHO-CENAN Julo 009 Juo 00, CENAN INEI,.. Lma, Perú, 0. 63

64 a) El peso promedo de los ños sea meor que el peso promedo de las ñas. b) El peso promedo de los ños sea al meos 0.6 kg. más que el peso promedo de las ñas. olucó Los datos del problema so: μ v = 6.8 Kg., σ v =.5 Kg. y v = 300 ños. μ m = 6.7 Kg., σ m = 3.8 Kg. y m = 300 ñas. Luego: v Var( ) v v = (.5) / 300 = y v m Var( ) m m = (3.8) / 300 = m = = 0., v m v m = y v m xv xm = Luego: v m N = N(0., 0.66) y (, ) v m v m v m ). e pde: a) P( v < m ) = P( v - m < 0) = ( v m 0.) Z N(0, 0.66 ( v m 0.) 0 0. P = = P(Z < -0.38) = (-0.38) = Rpta. Iterpretacó.- e el 35.% de las (ó e 350 de cada 0000) muestras de 300 ños y 300 ñas peruaos de 9 años de edad, el peso promedo de los ños es meor que el peso promedo de las ñas. b) P v m 0.6 = - P v m 0.6 v m P = = P(Z <.90) = - (.90) = = = Rpta. = - Iterpretacó.- e el.87% de las (ó e 87 de cada 0000) muestras de 300 ños y 300 ñas peruaos de 9 años de edad, el peso promedo de los ños será al meos 0.6 kg. más que el peso promedo de las ñas. 4. Ua empresa azucarera embolsa azúcar co u cotedo medo de 50 kg. y desvacó estádar de 0.5 kg. Para el cotrol de caldad se toma muestras 64

65 aleatoras de 5 bolsas de la produccó dura y 50 de la produccó octura. Calcule e terprete la probabldad de que la produccó meda de las bolsas de ambos turos dfera e meos de 0. kg. olucó Los datos del problema so: μ = 50 Kg., σ = 0.5 Kg. y = 5 bolsas. μ = 50 Kg., σ = 0.5 Kg. y = 50 bolsas. Luego: = (0.5) / 5 = 0.0 y Var( ) = (0.5) / 50 = Var( ) = = 0, x x = = 0.05 y = 0.5. Luego: A B ( 0) N(, ) = N(0, 0.05) y Z N(0, ). e 0.5 pde: P 0. = P = = P = = P(-.63 < Z <.63) = (.63) - = = ( ) = Rpta. Iterpretacó.- e el 89.69% de las (ó e 8969 de cada 0000) muestras de 5 bolsas de la produccó dura y 50 de la produccó octura, la produccó meda de las bolsas de ambos turos dfere e meos de 0. kg. 5. E las tedas Metro el 70 % de las compras es e almetos y bebdas. se seleccoa muestras aleatoras de 00 compras. Calcule e terprete: a) La probabldad de que el porcetaje de compras e almetos y bebdas sea mayor al 80%. b) etre que límtes smétrcos alrededor del verdadero porcetaje de compras e almetos y bebdas caerá el 99% de los porcetajes muestrales? olucó Los datos del problema so: P = 0.70 = proporcó de las compras e almetos y bebdas e las tedas Metro, Q = 0.30, = 00 compras = tamaño de la muestra. 65

66 Asumedo u úmero muy grade de compradores, etoces, la proporcó muestral: PQ p N P, = N(0.70; ) y p P p 0.70 p 0.70 Z ~ N(0, ). e pde calcular: PQ a) P (p > 0.80 ) = - P (p 0.80 ) = - p P = - P(Z 3.09) = - (3.09) = = Rpta. Iterpretacó.- e el 0.0 % de las (ó e 0 de cada 0000) muestras de 00 compras e las tedas Metro, el porcetaje de compras e almetos y bebdas es mayor al 80%. b) ea 0.70 E y E los límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera P = 0.70, detro de los cuales estará el 99 % de las p (proporcoes muestrales). Etoces: E E 0.99 = P(0.70 E p E) = P( Z ) = E E E E E = Z E.575(0.034) Luego los límtes será: 0.70 E = = 0.67 y = Es decr: 0.99 = P(0.67 p 0.783) Rpta. Iterpretacó.- e el 99% de las (ó e 9900 de cada 0000) muestras de 00 compras e las tedas Metro, el porcetaje de compras e almetos y bebdas se ecuetra etre 6.7% y 78.3% alrededor de la proporcó verdadera P = El 40% de los cletes de las tedas aga so varoes. se toma ua muestra aleatora de 00 cletes. Calcule e terprete: a) La probabldad que el porcetaje de cletes varoes esté etre 36% y 45%. 66

67 b) detro de que límtes smétrcos del porcetaje de mujeres e la poblacó olucó caerá el 95% de los porcetajes de la muestra? Los datos del problema so: P = 0.40 = proporcó de cletes varoes e las tedas aga, Q = 0.60 y = 500 cletes. Asumedo u úmero muy grade de cletes e las tedas aga, la dstrbucó de la proporcó muestral de hombres p es: PQ p N P, = N(0.40; 0.00) y p P p 0.40 p 0.40 Z ~ N(0, ). e pde calcular: PQ p a) P ( 0.36 p 0.45 ) = P = = P(-.6 Z.45) = (.45) - (-.6) = = = Rpta. Iterpretacó.- e el % de las (ó e 8035 de cada 0000) muestras de 00 cletes de las tedas aga, el porcetaje de cletes varoes está etre 36% y 45%. b) La dstrbucó de la proporcó muestral de mujeres q es: PQ q N Q, = N(0.60; 0.00) y q 0.60 Z ~ N(0, ). e pde calcular límtes smétrcos ea 0.60 E y E los límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera Q = 0.60, detro de los cuales estará el 95 % de las proporcoes muestrales de mujeres q. Etoces: E E 0.95 = P(0.60 E q E) = P( Z ) = E E E E =

68 E Z E.96(0.0346) Luego los límtes será: 0.60 E = = 0.53 y = Es decr: 0.95 = P(0.53 q 0.668) Rpta. Iterpretacó.- e el 95% de las (ó e 9500 de cada 0000) muestras de 00 cletes de las tedas aga, el porcetaje de cletes mujeres está etre 53.% y 66.8% alrededor de la proporcó verdadera Q = E Lma el 60% de los hogares cosume matequlla. se toma ua muestra aleatora de 000 hogares. Calcule e terprete: a) La probabldad que meos del 57% de los hogares cosuma matequlla. b) Detro de que límtes smétrcos, alrededor de la verdadera proporcó de olucó hogares que cosume matequlla, estará el 99% de las proporcoes muestrales. Los datos del problema so: P = 0.60 = proporcó de hogares que cosume matequlla, Q = 0.40 y = 000 hogares. Asumedo u úmero muy grade de hogares e Lma, la dstrbucó de la proporcó muestral de hogares que cosume matequlla p es: PQ p N P, = N(0.60; ) y p P p 0.60 p 0.60 Z ~ N(0, ). e pde calcular: PQ a) P (p < 0.57 ) = p P = = P(Z < -.94) = (-.94) = Rpta. Iterpretacó.- e el.6 % de las (ó e 6 de cada 0000) muestras de 000 hogares, meos del 57% de los hogares cosume matequlla. b) ea 0.60 E y E los límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera P = 0.60, detro de los cuales cae el 99 % de las proporcoes muestrales de hogares que cosume matequlla p. Etoces: 68

69 E E 0.99 = P(0.60 E p E) = P( Z ) = E E E E = E Z E.575(0.055) Luego los límtes será: 0.60 E = = 0.56 y = Es decr: 0.99 = P(0.56 p 0.64) Rpta. Iterpretacó.- e el 99% de las (ó e 9900 de cada 0000) muestras de 000 hogares de Lma, el porcetaje de hogares que cosume matequlla está etre 56% y 4% alrededor de la proporcó verdadera P = Dos empresas produce certo artículo, la empresa A produce por térmo medo 0% de defectuosos, metras que la empresa B produce u 30% de defectuosos. se extrae ua muestra aleatora de 300 y 50 artículos respectvamete, calcule e terprete la probabldad de que el porcetaje de artículos defectuosos producdos por la empresa B dfere de los defectuosos producdos por la empresa A e % o meos. olucó Los datos del problema so: P A = 0.0 = proporcó de artículos defectuosos producdos por la empresa A. Q A = 0.80 = proporcó de artículos bueos producdos por la empresa A. P B = 0.30 = proporcó de artículos defectuosos producdos por la empresa B. Q B = 0.70 = proporcó de artículos bueos producdos por la empresa B. A = 300 y B = 50 artículos. Cosderado que ambas empresas produce gra úmero de artículos y que las correspodetes fraccoes de muestreo so meores al 5% (f = / N < 0.05) se tee que: p B - p A ~ N(P B P A ; ) Co meda: pa p = P B B P A = = 0.0 pb pa Y varaza: PQ A A pb p = A A PQ + B B B = (0.)(0.8) (0.3)(0.7) = Luego:

70 p B p A ~ N(0.0 ; 0.009) y pb pa ( PB PA ) pb pa 0.0 Z ~ N(0, pb pa ) e pde calcular: P (p B p A 0.0) = pb pa P = = PZ -.8) = (-.8) = Rpta. Iterpretacó.- e el 3.44% de las (ó e 344 de cada 0000) comparacoes, para muestras de 300 artículos de la empresa A y 50 de la empresa B, el porcetaje de artículos defectuosos producdos por la empresa B dfere de los defectuosos producdos por la empresa A e % o meos. 9. E ua cudad se sabe que la prefereca de las mujeres por u daro es del 0% y para los hombres de u 5%. se toma ua muestra aleatora de 00 mujeres y 00 hombres, calcule e terprete la probabldad de que el porcetaje de mujeres que prefere el daro dfera del porcetaje de hombres que lo prefere e 8% o más. olucó Los datos del problema so: P M = 0.0 = proporcó de mujeres que prefere el daro. Q M = 0.80 = proporcó de mujeres que o prefere el daro. P H = 0.5 = proporcó de hombres que prefere el daro. Q H = 0.75 = proporcó de hombres que prefere el daro. M = 00 mujeres y H = 00 hombres. Cosderado que el úmero de mujeres y hombres e la cudad es grade y que las correspodetes fraccoes de muestreo so meores al 5% (f = / N < 0.05) se tee que: P M p H ~ N(P M P H ; ) Co meda: pa p = P B M P H = = pm ph Y varaza: PQ M M pm p = H M PQ + H H H = (0.)(0.8) (0.5)(0.75) = Luego:

71 p M p H ~ N(-0.05 ; 0.007) y pm ph ( PM PH ) pm ph 0.05 Z ~ N(0, 0.05 pm ph ) e pde calcular: P (p M p H 0.08) = pm ph P = P(Z.50) = = - (.50) = = Rpta. Iterpretacó.- e el 0.6% de las (ó e 6 de cada 0000) muestras de 00 mujeres y 00 hombres, el porcetaje de mujeres que prefere el daro dfere del porcetaje de hombres que lo prefere e 8% o más. 0. Cosdere que los veles de prefereca de u determado artículo e la cudad A es de u 30% de hogares y e la cudad B de u 35%; s se seleccoa muestras aleatoras de 50 hogares de la cudad A y 50 hogares de la B, calcule e terprete la probabldad de que el % de hogares que prefere el artículo e la cudad A dfere de los que lo prefere e la cudad B e 7% o más. olucó Los datos del problema so: P A = 0.30 = proporcó de hogares que prefere el artículo e la cudad A. Q A = 0.70 = proporcó de hogares que o prefere el artículo e la cudad A. P B = 0.35 = proporcó de hogares que prefere el artículo e la cudad B. Q B = 0.65 = proporcó de hogares que o prefere el artículo e la cudad B. A = 50 y B = 50 hogares. Cosderado que e ambas cudades hay u gra úmero de hogares y que las correspodetes fraccoes de muestreo so meores al 5% (f = / N < 0.05) se tee que: p A p B ~ N(P A P B ; ) Co meda: pa p = P B A P B = = pa pb Y varaza: PQ A A pa p = B A PQ + B B B = (0.3)(0.7) (0.35)(0.65) = Luego:

72 p A p B ~ N(-0.05 ; 0.004) y pa pb ( PA PB ) pa pb 0.05 Z ~ N(0, pa pb ) e pde calcular: P (p A p B 0.07) = pa pb P = P(Z.45) = = - (.45) = = Rpta. Iterpretacó.- e el 0.7% de las (ó e 7 de cada 0000) muestras de 50 hogares de la cudad A y 50 hogares de la cudad B, el % de hogares que prefere el artículo e la cudad A dfere de los que lo prefere e la cudad B e 7% o más. 7

73 .8 EJERCICIO PRPUETO. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó geométrca, co parámetro p, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra.. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó bomal egatva, co parámetros r y p, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. 3. se toma ua muestra aleatora de tamaño, de ua poblacó co dstrbucó expoecal, co parámetro λ, hallar la fucó de probabldad cojuta (o de verosmltud) para dcha muestra. 4. Las botellas de la bebda Rca Kola famlar tee u cotedo medo de.5 ltros y ua desvacó estádar de 0. ltros. se toma ua muestra aleatora de 36 botellas, Calcule e terprete la probabldad que: a) Las botellas tega ua meda de lleado etre.46 y.53 ltros. b) detro de qué límtes smétrcos caerá el 99 % de las medas muestrales alrededor de la meda poblacoal? 5. E Lma el preco promedo al cosumdor del klo de mago es μ = /..0 co ua desvacó estádar σ = / se seleccoa ua muestra aleatora de 00 cosumdores de mago, calcule e terprete la probabldad: a) que el preco medo muestral sea mayor a /..5 el klo. b) Detro de que límtes smétrcos caerá el 95% de las medas muestrales alrededor de la meda poblacoal? 6. Las cajas co mago tee u peso medo de 0 Kg. y ua desvacó estádar de 0.75 Kg. se carga 400 cajas al azar e u camó, calcule e terprete la probabldad de que: a) El peso total de las cajas supere la capacdad máxma del camó que es de 8,040 Kg. b) El peso medo de las cajas sea meor a 9.9 Kg. c) Detro de que límtes smétrcos alrededor de la meda poblacoal caerá el 95% de las medas muestrales? 73

74 7. E ua gra cudad el promedo de empleados para establecmetos pequeños es de 0 y la desvacó estádar de 5 empleados. Para ua muestra aleatora de 36 establecmetos pequeños extraídos s reemplazo, calcule e terprete: a) La probabldad que el promedo muestral de empleados sea meor que 8. b) Detro de que límtes smétrcos del promedo poblacoal caerá el 95% de las medas muestrales de empleados por establecmetos pequeños? 8. Ua empresa eléctrca fabrca focos cuya duracó tee dstrbucó ormal co meda de 500 horas y desvacó estádar de 50 horas. E ua muestra aleatora de 6 focos, calcule e terprete la probabldad que: a) La duracó promedo de los focos meor de 475 horas. b) Detro de que límtes smétrcos de la duracó meda poblacoal caerá el 95% de las duracoes medas muestrales? 9. Dos fábrcas A y B que embolsa café, afrma que el promedo e las bolsas es de 495 y 490 gramos, respectvamete, co desvacoes típcas de 5 y 6 gramos. se seleccoa 36 bolsas al azar de cada fábrca, calcule e terprete la probabldad de que: a) El cotedo medo de las bolsas A sea mayor de 497 gramos. b) El cotedo medo de las bolsas A sea meor que el cotedo medo de las bolsas B. 0. Uo de los prcpales fabrcates de tv compra cables a dos compañías. Los cables de la compañía A tee ua vda meda de 7. años co ua desvacó estádar de 0.8 años, metras que los de la B tee ua vda meda de 6.7 años co ua desvacó estádar de 0.7 años. se toma m.a. de 34 cabless de A y 40 de B, calcule e terprete la probabldad de que la vda meda de los cables A sea de al meos u año más que la vda meda de los B.. E ua empresa de gaseosas la produccó meda de los varoes es de 5 lts. Co ua desvacó estádar de 7 lts. y la produccó meda de las mujeres es de 48 lts. co ua desvacó estádar de 5 lts. se toma ua muestra aleatora de 40 trabajadores hombres y 40 mujeres. Calcule e terprete la probabldad que la produccó meda de los varoes resulte meor que la produccó meda de las mujeres. 74

75 . E ua uversdad la edad promedo de los alumos del turo de la mañaa es de años co ua desvacó estádar de 3 años, metras que los del turo de la oche tee ua edad meda de 8 años co ua desvacó estádar de 5 años. se toma ua muestra aleatora de 50 alumos de cada turo, calcule e terprete la probabldad de que la edad promedo de los alumos de la mañaa es superor a la edad meda de los de la oche. 3. El 60% de los cudadaos esta de acuerdo co la gestó presdecal. se toma ua muestra aleatora de 500 cudadaos, calcule e terprete: a) La probabldad de que más del 65% esté de acuerdo co la gestó presdecal. b) Detro de que límtes smétrcos, alrededor de la verdadera proporcó de cudadaos esta de acuerdo co la gestó presdecal, esta el 95% de las proporcoes muestrales. 4. E Lma el 60% de los hogares usa gas como combustble para cocar. se toma ua muestra aleatora de 000 hogares. Calcule e terprete: a) La probabldad que más del 65% de los hogares use gas. b) Detro de que límtes smétrcos, alrededor de la verdadera proporcó de hogares que usa gas, estará el 99% de las proporcoes muestrales. 5. E Lma el 30% de los hogares compra peródcos y/o revstas. se toma ua muestra aleatora de 000 hogares. Calcule e terprete: a) La probabldad de que más del 34% de hogares compre peródcos y/o revstas. b) Detro de que límtes smétrcos alrededor de la proporcó verdadera caerá el 99.73% de las proporcoes muestrales de hogares que compra peródcos y/o revstas? 6. El 70% de empleados públcos es casado. se toma ua muestra aleatora de 64 empleados, calcule e terprete: a) La probabldad de que más del 85% esté casado. b) Detro de que límtes smétrcos, alrededor de la verdadera proporcó de empleados públcos casados, estará el 95% de las proporcoes muestrales. 75

76 7. El 70 % de las compras co tarjeta de crédto e tedas Rpley so superores a $00. se seleccoa muestras aleatoras de 00 compras; Calcule e terprete: a) La probabldad que las muestras tega etre 65% y 80 % de compras mayores que $00? b) Etre que límtes smétrcos del porcetaje de compras mayores de $00 e la poblacó caerá el 99% de los porcetajes muestrales? 8. Dos empresas produce equpos de sodo, la empresa A produce por térmo medo 0% de defectuosos, metras que la empresa B produce u 0%. se extrae ua muestra aleatora de 400 y 00 udades respectvamete, calcule e terprete la probabldad de que el porcetaje de equpos defectuosos producdos por la empresa A dfere de los defectuosos producdos por la empresa B e 7% o meos. 9. E u estudo pasado se determó que el porcetaje de hombres que está de desacuerdo co la costruccó de u gmaso era del %, metras que el porcetaje de mujeres e desacuerdo era del 0%. se toma ua muestra aleatora de 00 hombres y 00 mujeres, calcule e terprete la probabldad de que el porcetaje de hombres e desacuerdo sea al meos 3% mayor que el de las mujeres. 0. E certa cudad se sabe que el 5% de los hombres y el 30% de las mujeres está famlarzados co u producto. se toma ua muestra aleatora de 00 hombres y 00 mujeres, calcule e terprete la probabldad de que el porcetaje de hombres famlarzados co el producto sea mayor que el de mujeres. 76

77 Capítulo 3. DITRIBUCIONE EPECIALE El formar mal, utlzado materal estadístco, podría llamarse mapulacó estadístca, y resumédolo e ua sola palabra (auque o sea muy buea), estadstculacó Darrell Huff CONTENIDO 3. Dstrbucó Ch-cuadrado. 3. Dstrbucó t de studet. 3.3 Dstrbucó muestral de la meda ( < 30). 3.4 Dstrbucó de la dfereca de medas muestrales co varazas descoocdas pero guales. 3.5 Dstrbucó F de edecor 3.6 Dstrbucó de la razó de dos varazas muestrales. 3.7 Ejerccos resueltos. 3.8 Ejerccos propuestos. E este capítulo, se preseta las dstrbucoes muestrales especales, las msmas que ha sdo desarrolladas fudametalmete para muestras pequeñas (meores de 30 observacoes). Etre las prcpales dstrbucoes teemos: la dstrbucó ch cuadrado de Pearso, la dstrbucó t studet de Gosset y la dstrbucó F de edecor. A cotuacó veremos sus prcpales característcas y propedades de cada ua de ellas. 3. DITRIBUCIÓN CHI-CUADRADO Esta dstrbucó fue descuberta por Helmert el año 875 y redescuberta por Karl Pearso el año 900. Defcó.- ea Z, Z,..., Z r, varables aleatoras depedetes, cada ua co dstrbucó ormal estádar, Z ~ N(0, ). Etoces, la varable aleatora x ² Z Z... Zr 77

78 tee ua dstrbucó ch-cuadrado (o J-cuadrado) co r grados de lbertad, s su fucó de desdad de probabldades está dada por: Dode: f ( x) = r x / x r r e, 0 < x < = 0, e otros casos Γ represeta el gamma de u úmero, x ( ) e dx 0, > 0. es etero postvo () = ( )!. Además, r = grados de lbertad (g.l.) represeta el úmero de v.a. depedetes que se suma o el úmero de varables que puede varar lbremete. E regresó y ecoometría es el rago de ua matrz (máxmo úmero de columas lealmete depedetes) asocado a formas cuadrátcas delas sumas de cuadrados. Observacó: la dstrbucó ch cuadrado es u caso partcular de la dstrbucó de probabldades Gamma co = r / y λ = /. ~ Gamma co parámetros > 0 y λ > 0, etoces su fucó de desdad de probabldades está dada por:. x f ( x) x e, x > 0 ( ) = 0, e otros casos. La esperaza y la varaza de la dstrbucó gamma so: E() = / λ y Var () = / λ Notacó: decr que la varable aleatora tee dstrbucó ch-cuadrado co r grados de lbertad, la deotaremos como ~ Meda y Varaza: 78 r. La meda y la varaza de la v. a. ch-cuadrado co r grados de lbertad so:

79 = E(x²) = r y ² = Var(x²) = r Es decr, la meda es gual a los grados de lbertad y la varaza es gual a dos veces los grados de lbertad. La fg. muestra la forma de la fucó de desdad de la varable aleatora ch-cuadrado, para dsttos grados de lbertad. Fucó de Dstrbucó Acumulatva de Probabldades.- Las probabldades para v.a. ch-cuadrado, se calcula utlzado los valores de la fucó de dstrbucó acumulatva meor o gual que, los que ha sdo reproducdos e la Tabla del Aexo, utlzado la hoja de cálculo Excel. Así teemos que, la probabldad que la varable aleatora co dstrbucó x r r 30 sea meor o gual a u valor costate P, 0 < <, está dada por: r x x x x f xdx x e dx r P 0 y represetada e la fgura. 0 r x, represetada por: 79

80 Note que P x x Puesto que exste ua dstrbucó ch-cuadrado dferete para cada valor de r, resulta mpráctco proporcoar tablas de áreas completas. E lugar de esto, la tabla de la dstrbucó acumulatva ch-cuadrado, preseta u resume de la formacó más esecal acerca de la dstrbucó. E el ecabezado de la columa de la zquerda, dce grados de lbertad (G.L.) y cada fla de esta tabla correspode a ua dstrbucó ch-cuadrado partcular, co sus probabldades (p) e la parte superor de esta tabla. E la hoja de cálculo Excel se determa las probabldades y los valores de ch-cuadrado así: a) DITR.CHI: devuelve la probabldad de ua varable aleatora cotua sguedo ua dstrbucó ch cuadrado de ua sola cola. La dstrbucó ch cuadrado está asocada co la prueba ch cuadrado. taxs: DITR.CHI(x;grados_de_lbertad) es el valor al que desea evaluar la dstrbucó. Grados_de_lbertad es el úmero de grados de lbertad = r. Observacoes : uo de los argumetos o es umérco, DITR.CHI devuelve el valor de error # VALOR!. el argumeto x es egatvo, DITR.CHI devuelve el valor de error # NUM!. el argumeto grados_de_lbertad o es u etero, se truca. el argumeto grados_de_lbertad < o grados_de_lbertad 0^0, DITR.CHI devuelve el valor de error # NUM! DITR.CHI se calcula como DITR.CHI = P(>x), dode es ua varable aleatora ch cuadrado. El cálculo es el complemeto de la mayoría de tablas. Ejemplo: DITR.CHI(8,307;0) es gual a 0,

81 b) PRUEBA.CHI.INV: devuelve para ua probabldad dada, de ua sola cola, el valor x de la varable aleatora sguedo ua dstrbucó ch cuadrado. el argumeto probabldad = p = DITR.CHI(x;...), etoces PRUEBA.CHI.INV(probabldad,...) = x. taxs: PRUEBA.CHI.INV(probabldad;grados_de_lbertad) Probabldad cuadrado. es ua probabldad asocada co la dstrbucó ch Grados_de_lbertad es el úmero de grados de lbertad. Observacoes uo de los argumetos o es umérco, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # VALOR!. el argumeto probabldad < 0 o probabldad >, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # NUM!. el argumeto grados_de_lbertad o es u etero, se truca. el argumeto grados_de_lbertad < o grados_de_lbertad 0^0, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # NUM!. PRUEBA.CHI.INV usa ua técca teratva para calcular la fucó. Dado u valor de probabldad, PRUEBA.CHI.INV retera hasta que el resultado tega ua exacttud de ± 3x0^-7. PRUEBA.CHI.INV o coverge después de 00 teracoes, la fucó devuelve el valor de error #N/A. Ejemplo: PRUEBA.CHI.INV(0,05;0) es gual a 8, Ejemplo.- ~ para: r. Usado la tabla, de J-cuadrado, hallar el x correspodete 8

82 a) P( < x ) = 0.05, s r = 5 g.l. e busca e la tabla, 5 g.l. e el marge zquerdo y se tercepta co la probabldad 0.05 de las columas y se obtee b) P( < x ) = 0.99, s r = g.l. Procededo como e a) se obtee etoces Ejemplo.- es ua varable aleatora x 0. Calcular: x = x = x = 7.6 Rpta. 0.05, 5 x = 38.9 Rpta. 0.99, a) P[ < 0.9]; b) P[ > 3.4 ]; c) P[ 0.9 < 3.4 ] olucó Para obteer las probabldades solctadas, e la fla de 0 g.l de la tabla se busca los valores dados para y se lee las probabldades (acumuladas meores que) correspodetes e el ecabezameto de las columas así: a) P[ < 0.9] = P = 0.05 Rpta. x 0.05 b) P[ > 3.4 ] = P 3.4 P x Rpta. = 0.95 = c) P[ 0.9 < 3.4 ] = P[ 3.4 ] - P[ 0.9 ] = Ejemplo 3.- es olucó 3. Hallar P( 0). P( 0) = P( < 0) = p 0.95 = P x P 0.95 x0.0 = = 0.94 Rpta. Como e la tabla, de ch cuadrado, para 3 grados de lbertad, o se ecuetra el valor 0, pero éste se ecuetra etre los valores 9.8 (co probabldad 0.90) y.4 (co probabldad 0.95) para hallar p terpolamos de la sguete maera: 8

83 x P p p p p 0.90 p P( 0) = = Rpta. Ejemplo 4.- es ua varable aleatora co dstrbucó x P[a b] = 0.95 y P[ a ] = 0.05 olucó 5. Hallar a y b tal que: Para r = 5 g.l., a = x = 3. Rpta. 0.05, = P[a b] = P[ b] P[ a] = P[ b] Luego: P[ b] = b = x = 40.6 Rpta , 5 Veamos a cotuacó alguos teoremas mportates relacoados co la dstrbucó ch-cuadrado y de mucha mportaca para la costruccó de tervalos de cofaza y pruebas de hpótess. Teorema.- la varable aleatora ~ N(, ²), etoces la varable aleatora, abemos que N(0,) etoces, Ejemplo 5.- I ~ N (, Z Y = Z² = ( - )²/² es ua ² ~ ² ² x. ) y por lo tato x. Z es ~ N(, 5). Calcule e terprete P[3.55 ( )² < 9.0 ] 83

84 olucó Como ~ N (, 5) etoces la varable aleatora Luego: P[3.55 ( )² < 9.0 ] = ² Y ~ ² 9.0 P = x. Iterpretacó: el = P[.7 observados de ~ N (, 5) compreddos etre 3.55 y 9.0. x < 3.84 ] = P[ x 3.84 ] - P[ x.7 ] = = = 0.04 Rpta. 4% de las desvacoes al cuadrado, de los valores co respecto a su meda, estará Teorema.- (Propedad Reproductva de la Ch-Cuadrado) ea varables aleatora ch-cuadrados depedetes co,,..., p grados de lbertad r, r,..., r p respectvamete, etoces la varable aleatora: ²... p gue ua dstrbucó ch-cuadrado co grado de lbertad gual a r p r Teorema 3.- ea,,...,, ua muestra aleatora de ua varable aleatora ~ N (, ²). Etoces, la varable aleatora: Y x / ² ~ x Dstrbucó de la Varaza Muestral Teorema 4.- ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó ormal co meda y varaza ². ea y ² la meda muestral y varaza muestral respectvamete, etoces: a) Las varables aleatoras y ² so depedetes. b) La fucó de la varaza muestral 84 x ² ² x ~ ² ² x.

85 Demostracó.- Demostraremos sólo la parte b) abemos que la varable aleatora x ² ² tee ua dstrbucó x, puesto que cada térmo (x - )/ so varables aleatoras ormales estádar e depedetes (teorema 3). Cosderemos: ² ² ² ² = ² Dvdedo etre ² y ordeado teemos: ² ² ² ² ² ² ² / = ² ² Dado que ( - )²/(²/) tee ua dstrbucó so depedetes, y ² ² /. Además, como y ² ² / ² tee ua dstrbucó x, por la propedad adtva de la ch-cuadrado, coclumos que la dstrbucó de ² ² es Ejemplo 6.- x. upoga que,,..., 0 es ua muestra aleatora de ua varable aleatora ormal estádar. Calcule e terprete: 0 a) P y b) P( <.88) 0 olucó a) Como las v.a ~ N(0, ), etoces ~ 0 ~ 0 y por lo tato 85

86 0 P = P = 0 = P( 0 8.3) P( 0.56) = = = 0.94 Rpta. Iterpretacó: E el 94% de las muestras de 0 observacoes de la dstrbucó ormal estádar, la estará etre.56 y 8.3. b) P( 9 9x.88 <.88) = P( ) 0 = P ( 9 6.9) = 0.95 Rpta. Iterpretacó: E el 95% de las muestras de 0 observacoes de la dstrbucó ormal estádar, la varaza muestral es meor que DITRIBUCIÓN T DE TUDENT Esta dstrbucó fue descrta e 908 por el estadístco glés Wllam. Gosset, que, al estar prohbdo de publcar artículos cetífcos por la empresa cervecera Guess dode laboraba e Dubl, tuvo que presetarla co el pseudómo de tudet y es comúmete coocda como la dstrbucó t. Es Roald A. Fsher que apreca la mportaca de los trabajos de Gosset sobre muestras pequeñas, tras recbr correspodeca de Gosset e la que le decía le evío ua copa de las Tablas de tudet, ya que es la úca persoa que probablemete las use jamás. 3 Defcó.- ea Z ua varable aleatora ormal estádar N(0, ). ea ~ ua varable aleatora que tee ua dstrbucó ch-cuadrado co r grados de lbertad, y s Z y so depedetes, etoces la varable aleatora T Z r Z r Y ~ t r tee ua dstrbucó t, co r grados de lbertad, y su fucó de desdad de probabldades está dada por: r 3 revsado e agosto de 0. 86

87 f t r t² r r r r, - < t < Notacó: decr que la varable aleatora T, tee dstrbucó t co r grados de lbertad, se deota como T ~ t r. Meda y Varaza: La meda y la varaza de la v. a. T co r grados de lbertad so: E(T) = T = 0, r > r Var(T) = T, r > r Observe que la dstrbucó de la varable aleatora T, queda completamete determada sólo por el parámetro r. Por lo tato, hay ua dstrbucó t correspodete a cada grado de lbertad. E la fgura 3 se preseta la fucó de desdad de la varable aleatora T, para dferetes grados de lbertad. E la msma fgura se da, la gráfca de la ormal estádar. La dstrbucó t es smétrca alrededor de la meda T = 0 y varía de meos fto a más fto. Es muy smlar a la dstrbucó ormal estádar, ya que ambas varía de - a, so smétrcas y cetradas alrededor de = 0, es decr su meda es cero, pero la dstrbucó t tee mayor dspersó que la 87

88 r dstrbucó ormal estádar, esto se observa de la varaza T, que r se aproxma a cuado el grado de lbertad r es grade (r ). Por lo tato, la dstrbucó t, se aproxma a la dstrbucó ormal estádar cuado el grado de lbertad r es sufcetemete grade. E la práctca se trata a la dstrbucó t, como N(0,) cuado r > 30. Fucó de Dstrbucó Acumulatva de Probabldades.- El cálculo de probabldades para la v.a. t, se efectúa utlzado los valores de la fucó de dstrbucó acumulatva meor o gual que, los que ha sdo reproducdos e la Tabla 3 del Aexo, utlzado la hoja de cálculo Excel. Así teemos que, la probabldad que la varable aleatora T co dstrbucó t r (co r < 30) sea meor o gual a u valor costate t, represetada por: Está dada por: P T t, 0 < < r t² r r r t t f t dt dt P T cuya represetacó gráfca la podemos ver e la fg. 4. t r Estas probabldades está determadas e la Tabla 3, de la dstrbucó acumulatva t de studet. E el ecabezado de la columa de la zquerda, dce grados de lbertad (G.L.) y cada fla de esta tabla correspode a ua dstrbucó t partcular, co sus probabldades (p) e la parte superor de esta tabla. E la hoja de cálculo Excel, las probabldades y los valores de T se determa así: 88

89 a) DITR.T: devuelve la probabldad (los putos porcetuales) de la dstrbucó t de tudet, dode u valor umérco (x) es u valor calculado de t para el que debe calcularse los putos porcetuales. La dstrbucó t de tudet se utlza para la comprobacó de pruebas de hpótess cuado el tamaño de la muestra es pequeño ( < 30). e puede utlzar esta fucó e lugar de ua tabla de valores crítcos para la dstrbucó t. taxs: DITR.T(x; grados_de_lbertad; colas) es el valor umérco al que se ha de evaluar la dstrbucó. Grados_de_lbertad es u etero que dca el úmero de grados de lbertad. Colas especfca el úmero de colas de la dstrbucó que se ha de devolver. colas =, DITR.T devuelve la dstrbucó de ua cola. colas =, DITR.T devuelve la dstrbucó de dos colas. Observacoes: uo de los argumetos o es umérco, DITR.T devuelve el valor de error # VALOR! grados_de_lbertad <, DITR.T devuelve el valor de error # NUM! Los argumetos grados_de_lbertad y colas se truca a eteros. el argumeto colas es u úmero dstto de ó, DITR.T devuelve el valor de error # NUM! DITR.T se calcula como DITR.T = P( x < ), dode es ua varable aleatora que sgue la dstrbucó t. Ejemplo: DITR.T(,96;60;) es gual a 0, ó 5,46% b) DIT.T.INV : Devuelve el valor t de la dstrbucó t de tudet como fucó de la probabldad y los grados de lbertad. taxs: DITR.T.INV(probabldad;grados_de_lbertad) Probabldad: es la probabldad asocada co la dstrbucó t de tudet dos colas. 89

90 Grados_de_lbertad: es el úmero de grados de lbertad para dferecar la dstrbucó. Observacoes: uo de los argumetos o es umérco, DITR.T.INV devuelve el valor de error # VALOR! el argumeto probabldad < 0 o s probabldad >, DITR.T.INV devuelve el valor de error # NUM! el argumeto grados_de_lbertad o es u etero, se truca. DITR.T.INV se calcula como DITR.T.INV = P ( > t ), dode es ua varable aleatora que sgue la dstrbucó t. Puede devolverse u valor t de ua cola reemplazado probabldad por *probabldad. Para ua probabldad de 0,05 y grados de lbertad de 0, el valor de dos colas se calcula co DITR.T.INV(0,05;0), que devuelve,839. El valor de ua cola para la msma probabldad y los msmos grados de lbertad puede calcularse co DITR.T.INV(*0,05;0), que devuelve,846. Nota.- E alguas tablas, la probabldad se descrbe como (-p). DITR.T.INV se calcula utlzado ua técca teratva. Dado u valor del argumeto probabldad, DITR.T.INV retera hasta obteer u resultado co ua exacttud de ± 3x0-7. DITR.T.INV o coverge después de 00 teracoes, la fucó devuelve el valor de error #N/A. Ejemplo: DITR.T.INV(0,054645;60) es gual a,96 Ejemplo7.- la varable aleatora T ~ t 0 (r = 0). Usado la tabla 3, de T de studet, hallar: P[T.75 ] olucó Para obteer las probabldad solctada, buscar e la tabla 3 el valor T =.75 e la fla de 0 g.l y su probabldad correspodete se lee e la parte superor de esa columa, cuyo valor es Es decr: 90

91 P[T.75 ] = P[T t 0.95 ] = 0.95 Rpta. Nota.- Por la smetría de la dstrbucó t, se tee que: Para < 0.5, los valores t so: t = - t -,. (ver fg. 5). Fg. 5 Obtecó de valores Tα para α < 0.05 α α 0 Tα = - T( - α) 0 T( - α) P[ T -a ] = - P[ T a ] Ejemplo ea T ua varable aleatora que tee ua dstrbucó t co varaza ² =. 3 Calcular: P[-.05 T.57] olucó Como r 5 T, etoces r = 5 y T ~ t 5. Luego: r 3 P [-.05 T.57] = P[T. 57] P[T ] = = P[T. 57] [ P[T. 05 ] = Buscado las probabldades e la tabla 3 y reemplazado se tee: = P [T t ] { - P[T t 0.95 ]} = = [ ] = = = 0.95 Rpta. Ejemplo 9.- ea T ua varable aleatora que tee ua dstrbucó t co 3 grados de lbertad. Hallar el valor de a tal que: P[T a ] =

92 olucó 0.95 = P [T a ] = P[-a T a ] = = P[T a] P[T - a] = P[ T a ] [ P[T a ] = P [ T a ] P[ T a ] = E la tabla 3, a = t 0.975, 3 =.069 Rpta. 3.3 DITRIBUCIÓN MUETRAL DE LA MEDIA ( < 30) E el acápte. vmos la dstrbucó muestral para la meda, co muestras grades ( 30), la msma que se aproxmaba a la dstrbucó ormal. embargo, cuado las muestra so pequeñas ( < 30) la aproxmacó es haca la dstrbucó t de studet, tal como veremos a cotuacó. ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño, de ua varable aleatora co dstrbucó N(, ²), e acáptes aterores hemos vsto que:. La varable aleatora Z ~ N(0,). / ( ). La varable aleatora x ~ x (teorema 4). 3. y ² so varables aleatoras depedetes (teorema 4). Usado la defcó de la varable aleatora T, teemos que: T Z x g. l. ² / ² ~ t - tee dstrbucó t co grados de lbertad y se usa para estmar cuado o se cooce la desvacó estádar. Ejemplo 9.- y so la meda y la varaza de ua muestra aleatora de tamaño 7 de ua dstrbucó N(, o ). Hallar la costate C tal que: 9

93 olucó 4 P C C 0.95 ( ) ( ) 7 E el problema propuesto, T ~ t 6. Etoces: 0.95 = 4 P C C = C 7 7 C 7 P 4 4 C 7 C 7 C 7 C 7 = P t6 = P t6 - P t6 = C 7 = t6 4 C 7 4 P - P t 6 C 7 C = P t6 - P t6 = = C 7 t 6, C = Rpta. 3.4 DITRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIA MUETRALE, CON VARIANZA DECONOCIDA PERO IGUALE se toma dos muestras aleatoras depedetes de dos poblacoes ormales e Y, co varazas descoocdas pero guales ² = ² Y = ², así: ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño, de ua varable aleatora co dstrbucó N(, ²). ea també Y, Y,..., Y m ua muestra aleatora de tamaño m de ua varable aleatora Y, co dstrbucó N( Y, ²). De acuerdo a lo estudado e acáptes aterores se tee que:. La dstrbucó de la varable aleatora Z Y Y ² ² m. La varable aleatora: Y 93 m ² U ~ ² ² Y ~ N (0, ) x

94 U es depedete de e Y. 3. La varable aleatora: V es depedete de, Y y Y Y ² m Y V ~ ² ². x m 4. Por la propedad reproductva de la dstrbucó ch-cuadrado, la v.a. : U + V = ² m + Y ² ~ x m Co los resultados ecotrados e () y (4); sedo las varables Z ormal estádar y U + V ch-cuadrado e depedetes; usado la defcó de la varable aleatora T se obtee la dstrbucó de la dfereca de medas muestrales - Y sguete: T Z U V m Y m ( ) ( m ) m Y Y / mplfcado: T Y Y m m Y m ~ t + m - tee dstrbucó t co + m grados de lbertad. Observe que esta varable aleatora depede de las medas y las varazas muestrales. 3.5 DITRIBUCIÓN F DE NEDECOR Esta dstrbucó fue descuberta por Fsher, de allí la deomacó F y redescuberta por edecor. Es muy utlzada para comparar las varazas de dos varables aleatoras depedetes dstrbudas ormalmete. 94

95 Defcó.- ea U y V dos varables aleatoras depedetes que tee dstrbucoes ch-cuadrado, co r y r grados de lbertad, respectvamete. U / r Etoces, la varable aleatora: F V / r tee ua dstrbucó F co r y r grados de lbertad y su fucó de desdad de probabldades está dada por: f F (x) = r r r r r r r r. xr r x r r r, 0 < x < = 0, e otros casos La dstrbucó F depede de los parámetros r y r e ese orde. r = grados de lbertad e el umerador, y r = grados de lbertad e el deomador. E la fgura 6 se muestra la fucó de desdad de probabldades de la varable aleatora F para tres pares dferetes de grados de lbertad. Fg. 6 Las dstrbucoes F so ua famla de dstrbucoes asmétrcas haca la derecha. Exste ua dstrbucó F separada para cada par de valores de sus parámetros r y r. 95

96 96 Notacó: decr que la varable aleatora F tee dstrbucó F co r y r grados de lbertad, se deota como F ~ r, r F. Meda y Varaza.- La meda y la varaza de la v. a. F co r y r grados de lbertad so: r r F E F, r > 4 ² r r r r r r F Var F, r > 4 Fucó de Dstrbucó Acumulatva de Probabldades El cálculo de probabldades para v.a. F, se efectúa utlzado la Tabla 4 de dstrbucó acumulatva F, las msmas que ha sdo elaboradas utlzado la fucó de dstrbucó acumulatva de probabldades que e la mayoría de los casos so del tpo de acumulacó meor o gual que. La probabldad que la varable aleatora F ~ r, r F sea meor o gual que ua costate f está dada por: f F dx x f f P F 0 dx r xr x r r r r r r f F P r r r r r f 0.

97 97 Estas probabldades se preseta e tablas de F. Como la dstrbucó depede de los dos parámetros r, y r, se ecesta ua tabla co tres etradas para tabular el valor de F que correspode a dferetes probabldades y valores de r y r. Para valores de < 0.50, se obtee usado la sguete gualdad,,,, / / / / r r r r f r U r V P F r V r U P =,, / / r r f r U r V P / /,, r r f r U r V P... () Pero, / / r U r V F ~ r, r F tee dstrbucó F co r y r g.l. / /,, r r f r U r V P... () Igualado () y (), se tee que:,,,, r r r r f f,,,, r r r r f f, para < 0.50 Ejemplo 0.- ea F ua varable aleatora que tee ua dstrbucó F co r y r grados de lbertad. Hallar : a) 5.0 F P, co r = 7, r = 4 b) 3.69 F P, co r = 5, r = 8 c) P[F ], co r = 3, r = 6 d) Hallar los valores a y b tales que:

98 P[ F b ] = y P[a F b] = Co r = 7, r = 5 olucó Usado la tabla F: a) P[F 5.0 ] = P[F 5.0 ] = P[F f 0.99, 7, 4 ] = 0.99 = 0.0 Rpta. b) P[F 3.69 ] = P[F f 0.95, 5, 8 ] = 0.95 Rpta. c) P[F ] = P P 7. 9 F F = P f0.99, 6, 3 = 0.99 = 0.0 Rpta. F d) P[F b] = b = f 0.975, 7, 5 = 6.85 Rpta = P[a F b] = P[F b] - P[F a] = P[F a] P[F a] = 0.05 P[F a] = P P F a F a P , /F ~ F 5, 7 F a Luego: f. 0975, 5, , de dode a = 0.89 Rpta. a 3.6 DITRIBUCIÓN DE LA RAZÓN DE DO VARIANZA MUETRALE se toma dos muestras aleatoras depedete de las poblacoes ormales e Y, ecotraremos la dstrbucó de probabldades para la razó de varazas muestrales de la sguete maera. ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de ua varable aleatora ~ N(, ). ea Y, Y,..., Y m ua muestra aleatora de tamaño m de ua varable aleatora Y co dstrbucó N. Etoces, la varable aleatora, Y, Y 98

99 99 ² U ~ x De modo smlar, la varable aleatora, ² Y m Y Y Y Y m V ~ m x Además, las dos varables aleatoras ch-cuadrado U y V so depedetes por que e Y so depedetes. Etoces, usado la defcó de la varable aleatora F, teemos que la varable aleatora: / / / / ) /( ) /( Y Y Y Y Y Y m m m V U F ~ F, m -

100 3.7 EJERCICIO REUELTO. ~ co 5 grados de lbertad, hallar: a) P( > 7.5). b) P( ). c) P( 3.5). d) Hallar a y b tal que P( a) = 0.05 y P(a b) = olucó Para obteer las probabldades solctadas, e la fla de 5 g.l de la tabla se busca los valores dados para y se lee las probabldades (acumuladas meores que) correspodetes e el ecabezameto de las columas así: a) P[ > 7.5] = - P( 7.5) = - P x b) P[ ] = P[ 5.0 ] - P[ 7.6] = = P x P x = = = 0.90 Rpta. = = 0.05 Rpta. Dstrbucó ch-cuadrado co 5 g.l Resultado gráfco e Mtab c) P( 3.5) = p Como e la tabla, de ch cuadrado, para 5 grados de lbertad, o se ecuetra el valor 3.5, pero éste se ecuetra etre los valores.3 (co probabldad 0.90) y 5.0 (co probabldad 0.95) para hallar p terpolamos de la sguete maera: 00

101 x P p p p p 0.90 Luego: P( 3.5) = 0.9 Rpta. d) P( a) = 0.05 p = 0.9 Para r = 5 g.l., a = x 0.05, 5 = 6.6 Rpta = P[a b] = P[ b] P[ a] = P[ b] Luego: P[ b] = b = Dstrbucó ch-cuadrado co 5 g.l. x 0.975, 5 = 7.5 Rpta a = 6.6 b = 7.5. De ua poblacó : N(u, 8 ), se extrae ua muestra aleatora de tamaño =. Calcule e terprete: a) P [ 3.9 < ( x - µ ) < ] b) Etre que valores se ecotrará el 90 % cetral de las varazas muestrales? olucó 0

102 a) e sabe que N(0,) etoces, I ~ N (, ) y por lo tato ² ² ² x Z ~ ² 8. Z es Para obteer la probabldad solctada se multplca detro de la desgualdad por /8 y se costruye ua así: P [3.9 < ( x - µ ) < 5.683] = P 3.9x ( x ) x x = = P [3.84 < < 6.63] = P[ 6.63] - P[ 3.84] = = Iterpretacó.- e el 4% de las muestras de tamaño, de ua poblacó N(u, 8 ), las desvacoes al cuadrado, de las medas muestrales x co respecto a la meda poblacoal µ, se ecuetra etre 3.9 y b) ea a y b los valores cetrales detro de los cuales se ecuetra el 90% de las varazas muestrales ( ), co el 5% hasta a y 95% hasta b, es decr: 0.90 = P (a b), co P ( a) = 0.05 y P ( b) = 0.95 e sabe que: ( ) () 0 etoces, 8 8 Multplcado e la probabldad ateror por 0/8 se tee ua 0 así: = a a P P Luego: a = 9.8. Además: 0a 0, = b b 0b P P0 0, Luego: b = 8.6. Etoces: 0.90 = P ( ) Rpta. Iterpretacó.- e las muestras de tamaño, de ua poblacó N(u, 8 ), el 90% cetral de las varazas muestrales ( ) se ecuetra etre 9.8 y De ua poblacó : N(u, 8), se extrae ua muestra aleatora de tamaño =. Calcule e terprete: a) P [08.7 < ( - µ) < 638.7] 0

103 b) P (9.77 < < 30.78) olucó a) e sabe que para muestras de ua poblacó ormal se cumple que: ( ) ( ) 8 Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad por 8 y se costruye ua así:. P [08.7 < ( - µ) < 638.7] = ( ) P = = P [.6 < < 35.5] = P[ 35.5] - P[.6] = = Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de tamaño, de ua poblacó N(u, 8 ), las sumas de desvacoes al cuadrado, de los valores observados co respecto a la meda poblacoal µ, se ecuetra etre 08.7 y b) e sabe que: ( ) () 0 etoces, 8 8 Multplcado e la probabldad solctada por 0/8 se tee ua 0 así: 0 P (9.77 < < 30.78) = P 0 x x = = P[0.9 < < 34.] = P[ 34.] - P[ 0.9] = = Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de tamaño, de ua poblacó N(u, 8 ), las varazas muestrales ( ) se ecuetra etre 9.77 y upoga que el úmero de horas semaales que las amas de casa ve TV tee dstrbucó ormal co ua varaza de 3. Al escoger ua muestra de 7 amas de casa y regstrar el úmero de horas a la semaa que ve TV, calcule e 03

104 terprete la probabldad de que la varaza muestral de los tempos obtedos sea mayor que 5.4 (horas). olucó ea = úmero de horas semaales que las amas de casa ve TV, = 7 y σ = 3. e sabe que: ( ) (7 ) 6 etoces, 3 3 Multplcado e la probabldad solctada por 6/3 se tee ua 6 así: 6 P ( > 5.4) = - P ( 5.4) = - 6 6x5.4 P 3 3 = = - P[ < 8.8] = = 0.05 Rpta. 6 Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de 7 amas de casa, las varazas muestrales ( ) del úmero de horas semaales que ve TV es mayor que 5.4 (horas). 5. La duracó de los trasstores fabrcados por ua compañía tee ua meda de 000 horas y ua desvacó típca de 60 horas. e seleccoa 0 trasstores al azar, calcule e terprete la probabldad que la desvacó típca muestral se ecuetre etre 50 y 70 horas. olucó ea = duracó de los trasstores, µ = 000, σ = (60) = 3600 y = 0. e sabe que: ( ) (0 ) etoces, Dvdedo e la probabldad solctada etre 400 se tee ua 9 así: P(50 70) = P ( ) = P = = P[6.5.5] = P[.5] P[ 6.5] = p Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 9 grados de lbertad, o está el valor 6.5, pero éste se ecuetra etre los valores 5.38 (co probabldad 0.0) y 6.39 (co probabldad 0.30) para hallar p terpolamos así: 04

105 x P p p p p 0.0 Reemplazado p = 0.86 e la últma expresó se tee que: P(50 70) = = Rpta. p = 0.86 Iterpretacó.- e el 5.4% de las muestras de 0 trasstores, la desvacó estádar muestral de la duracó de dchos trasstores se ecuetra etre 50 y 70 horas. 6. De ua poblacó : N(0, ) se extrae ua muestra aleatora de tamaño = 5. Calcule e terprete: a) P b) P( < ² <.864) olucó a) e sabe que las observacoes muestrales tee la msma dstrbucó que la poblacó, luego ~ N(0, ), etoces La probabldad solctada es: P ~ 5 = P = y por tato = P[ 7.5] P[ 7.6] = = 0.95 Rpta ~ 5. Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de 5 observacoes de la dstrbucó ormal estádar, la suma de los valores observados al cuadrado se ecuetra etre 7.6 y 7.5. b) Dado que: ( ) (5 ) etoces, 4 4 Para obteer la probabldad solctada se multplca detro de la desgualdad por 4 y se costruye ua 4 así:

106 P( < ² <.864) = P4 x x.864 = = P[ ] = P[ 6.] P[ 6.57] = = Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de 5 observacoes de la dstrbucó ormal estádar, la varaza muestral se ecuetra etre y De ua poblacó : N(μ, 0) se extrae ua muestra aleatora. de tamaño = 9 y de ua poblacó Y: N(μ, ) se extrae ua muestra aleatora de tamaño m = 4. Calcule e terprete: a) 9 P.8 ( ) 75 y b) P Y ( ) 33. olucó a) ² x ² ² ² etoces 9 x 0 ². 8 Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad etre 0 y se costruye ua 8 así: 9 P.8 ( ) 75= 9 ( ).8 75 P = = P(.8 7.5) = P[ 7.5] P[.8] = = = Rpta. Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de 9 observacoes de la poblacó : N(μ, 0), la suma de de las desvacoes al cuadrado de los valores observados respecto a la meda muestral, se ecuetra etre.8 y

107 b) Para ua muestra de ua poblacó ormal, se sabe que: m Y ² ² m etoces 4 Y ² 4. Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad por y se costruye ua 4 así: 4 P5.8 ( Y ) 33. = 4 ( ) 5.8 Y 33. P = = P[0.484.] = P[.] P[ 0.484] = 4 = = Rpta. 4 Iterpretacó.- e el 9.5% de las muestras de 4 observacoes de la dstrbucó ormal Y: N(μ, ), la suma de de las desvacoes al cuadrado de los valores observados respecto a la meda poblacoal μ, se ecuetra etre 5.8 y T ~ t co 8 grados de lbertad (T 8 ), hallar: a) P(T >.0) b) P(-.734 T.55) c) P(T.53) d) Hallar t 0 tal que P(-t 0 T t 0 ) = olucó Para obteer las probabldades solctadas, e la fla de 8 g.l de la tabla 3 se busca los valores dados para T y se lee las probabldades (acumuladas meores que) correspodetes e el ecabezameto de las columas así: a) P(T >.0) = - P(T.0) = - P(T T 8, ) = = 0.05 Rpta. b) P(-.734 T.55) = P(T.55) P(T -.734) = = P(T T 8, 0.99 ) [ - P(T.734)] = 4 = 0.99 [ 0.95] = = 0.94 Rpta. 07

108 Gráfca de dstrbucó T co 8 G.L T.55 c) P(T.53) = p Resultado gráfco e Mtab olucó Como e la tabla 3, T de studet, para 8 grados de lbertad, o se ecuetra el valor.53, pero éste se ecuetra etre los valores.33 (co probabldad 0.90) y.734 (co probabldad 0.95) para hallar p terpolamos de la sguete maera: T α P p p p p 0.90 p = Luego: P(T.53) = Rpta. d) 0.95 = P(-t 0 T t 0 ) = P(T 8 t 0 ) P(T 8 -t 0 ) = = P(T 8 t 0 ) [ - P(T 8 t 0 )] = P(T 8 t 0 ) P(T 8 t 0 ) = t o = T 8, =.0 Rpta. Resultado gráfco e Mtab 08

109 Gráfca de dstrbucó T co 8 G.L T U spector vestga las acusacoes cotra la fábrca de ro Pepto porque o llea be sus evases. Ua muestra de 5 botellas de ro dca ua desvacó típca = 0.8 ltros. Calcule e terprete la probabldad de que el promedo muestral dfera de su meda poblacoal µ e meos de ltros. olucó Datos: = 5, = 0.8 lts. e pde hallar P e sabe que: T t, etoces: T t4 / 0.8/ Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad por y se costruye ua T 4 así: P = P P( T4.36) = = P(-.3 T 4.3) = P(T 4.3) P(T 4 -.3) = = P(T 4.3) [ - P(T 4.3)] = = P(T 4.3) = p. () Como e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o está el valor.3, pero éste se ecuetra etre los valores.064 (co probabldad 0.975) y.49 (co probabldad 0.99) para hallar p terpolamos de la sguete maera: 09

110 T α P p p = p p = p = Reemplazado p = e () se tee que: P = (0.9774) = Rpta. Iterpretacó.- e el 95.48% de las muestras de 5 botellas de ro Pepto, el promedo muestral dfere de su meda poblacoal µ e meos de ltros. 0. De ua poblacó ~ N(0, 00) se extrae ua muestra aleatora de tamaño 0 y de ua poblacó Y ~ N(0, 40) se extrae ua m.a. de tamaño 0. Determe el valor de la costate a tal que: P (a Y < - 0) = Dode es la meda muestral de las y Y es la desvacó estádar muestral de las Y. olucó Para resolver el problema es ecesaro costrur ua dstrbucó T de studet. Co la muestra de tamaño 0 de la poblacó, se tee que: N(0, 0). Etoces: 0 Z N(0, ). 0 (0 ) Co la muestra de la poblacó Y se tee que: Y 9 40 Co los resultados aterores costrumos ua varable T así: T Z se dstrbuye como ua T co los grados de lbertad de la ch- GL. cuadrado. Reemplazado Z y la 9 e la expresó ateror se obtee: 0 0 ( 0) T t 9 Y / 40 9 Y 9 0

111 Para hallar el valor de la costate a solctada, la probabldad dada se adecúa a la dstrbucó t de studet ates costruda, así: 0.95 = P(a Y < - 0) = P ( - 0 a Y ) = - P ( - 0 a Y ) 0.05 = P ( - 0 a Y ) = ( 0) P a Y = P(T 9 a) Luego: a = T 9, 0.05 = - T 9, 0.95 = a = Rpta.. Para aalzar el tempo de atecó por cleta e las tedas de pataloes Rcas y apretadtas, se tomó ua muestra aleatora s reemplazo de 5 atecoes co lo cual se obtee =.5 mutos. Calcule e terprete la probabldad de que el tempo promedo muestral de atecó a las cletas dfera de su meda poblacoal µ e meos de 0.57 mutos. olucó Datos: = 5, =.5 mutos. e pde hallar P 0.57 e sabe que: T t, etoces: T t4 /.5/ Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad por 0.3 y se costruye ua T 4 así: 0.57 P 0.57 = P P( T4.9) = = P(-.9 T 4.9) = P(T 4.9) P(T 4 -.9) = = P(T 4.9) [ - P(T 4.9)] = P(T 4.9) = p. () Como e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o tee el valor.9, pero éste se ecuetra etre los valores.7 (co probabldad 0.95) y.064 (co probabldad 0.975) para hallar p terpolamos así: T α P p p = 0.89 p p = 0.89 p =

112 Reemplazado p = e () se tee que: P 0.57 = (0.9634) = Rpta. Iterpretacó.- e el 9.68% de las muestras de 5 atecoes e las tedas de pataloes Rcas y apretadtas, el tempo promedo muestral de atecó a las cletas dfere de su meda poblacoal µ e meos de 0.57 mutos.. De ua poblacó : N(0, ¼) se extrae ua m.a. de tamaño 7 y de ua poblacó Y: N(0, /3) se extrae ua m.a. de tamaño 9. Determe el valor de la costate a tal que: P (a x > Y ) = 0.0. Dode x es la meda muestral de las y Y es la desvacó estádar de las Y. olucó Para resolver el problema es ecesaro costrur ua dstrbucó T de studet. Co la muestra de tamaño 7 de la poblacó, se tee que: N(0, /8). Etoces: 0 Z 7 N(0, ). / 8 (9 ) Y Co la muestra de la poblacó Y se tee que: 4Y 8 /3 Co los resultados aterores costrumos ua varable T así: T Z se dstrbuye como ua T co los grados de lbertad de la ch- GL. cuadrado. Reemplazado Z y la 8 e la expresó ateror se obtee: T t 4 Y Y 8 8 Para hallar el valor de la costate a solctada, la probabldad dada se adecúa a la recete dstrbucó t de studet costruda, así: 0.0 = P (a x > Y ) = - P ( / Y /a) 0.99 = P ( / Y /a) = P Y a = P(T /a) Luego: 3.055/a = T 8, 0.99 =.896 a =.055 Rpta.

113 3. Para aalzar el Nº de lbros ecuaderados daramete por ua máqua automátca, se seleccoó ua muestra aleatora de 5 días co lo cual se obtee = 8 lbros. Calcule e terprete la probabldad de que el úmero medo muestral de lbros ecuaderados dfera de su meda poblacoal µ e a lo más 4 lbros. olucó Datos: = 5 días, = 8 lbros. e pde hallar P 4 e sabe que: T t, etoces: T t4 / 8/ 5.6 Para obteer la probabldad solctada se dvde detro de la desgualdad etre.6 y se costruye ua T 4 así: 4 P 4 = P P( T4.5) =.6.6 = P(-.5 T 4.5) = P(T 4.5) P(T 4 -.5) = = P(T 4.5) [ - P(T 4.5)] = P(T 4.5) = (0.99) = 0.98 Rpta. Iterpretacó.- e el 98% de las muestras de 5 días de ecuaderacó cada ua, el úmero medo muestral de lbros ecuaderados dfere de su meda poblacoal µ e a lo más 4 lbros. 4. De ua poblacó : N(μ, σ²), se extrae ua m.a. de + observacoes. Ecotrar c tal que el estadístco c( + )/ tega dstrbucó t. Dode y es la meda y la desvacó estádar muestral obtedas co las + observacoes. olucó Para hallar la costate c es ecesaro costrur ua dstrbucó T de studet. Co la muestra dada se tee que: N(μ, ) y + N(μ, σ²). Por la propedad reproductva de la dstrbucó ormal, se tee que: - + N[0, σ²( +)/( + )]. Puesto que las correspodetes medas se resta y las varazas se suma. 3

114 0 Etoces: Z N(0, ). ( ) /( ) Como la desvacó estádar muestral obtedas co las + observacoes, etoces la ch-cuadrado es: Co los resultados aterores costrumos ua varable T así: T Z se dstrbuye como ua T co los grados de lbertad de la ch- GL. cuadrado. Reemplazado Z y la e la expresó ateror se obtee: T t ( ) Comparado el resultado ateror co la expresó dada, se tee que: c = ( ) Rpta. 5. F ~ f co 7 y 8 grados de lbertad, hallar: a) P(F 7,8 > 3.50) b) P(F 7,8 0.68) c) P(0.46 F 7,8 4.53) d) Hallar c y d tal que P(F 7,8 c) = 0.05 y P(c F 7,8 d) = 0.95 olucó Para obteer las probabldades solctadas e la tabla 4, ubcarse e la gra caslla formada por la tercepcó de la columa 7 (G.L. umerador) y la fla 8 (G.L. deomador) se busca el valor dado de F y se lee las probabldades acumuladas meores que correspodetes, e la tercepcó de la líea del valor dado de F (e la fla 8) co la columa P así: a) P(F 7,8 > 3.50) = - P(F 7,8 3.50) = 0.95 Rpta. b) P(F 7,8 0.68) = P P(F 8,7 > 3.73) = - P(F 8,7 3.73) = F 7, = 0.95 = 0.05 Rpta. 4

115 Para valores de 0 < F < les correspode probabldades P = < 0.50 y se usa la relacó: f, r, r f, r, r Como el valor de F 7,8 = 0.68 o se ecuetra e la tercepcó de la columa 7 y la fla 8 de la Tabla 4, se toma el verso de F 7,8 que es otra dstrbucó F 8,7 (co los grados de lbertad permutados). E la tercepcó de la columa 8 y la fla 7 de la Tabla 4 se busca el valor 3.73 y le correspode la probabldad c) P(0.46 F 7,8 4.53) = P(F 7,8 4.53) - P(F 7,8 0.46) = P(F 7,8 4.53) - P F 7, = P(F 7,8 4.53) - P(F 8,7 > 3.73) = P(F 7,8 4.53) - [ - P(F 8,7 3.73)] = [ 0.95] = 0.95 Rpta. d) Hallar c y d tal que P(F 7,8 c) = 0.05 y P(c F 7,8 d) = 0.95 P(F 7,8 c) = 0.05 etoces c = Rpta. f 7,8,0.05 = 0.04 f ,7, = P(c F 7,8 d) = P(F 7,8 d) - P(F 7,8 c) = P(F 7,8 d) 0.05 Luego: P(F 7,8 d) = etoces d = F 7,8,0.975 = 4.53 Rpta. 6. muestras aleatoras depedetes de tamaño = = 8 provee de poblacoes ormales co la msma varaza. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la prmera muestra sea al meos 4 veces más grade que la otra. olucó Dado que las varazas so guales, para obteer la probabldad solctada se emplea la dstrbucó sguete: F f, = F 7,7 5 P 5 P = P(F 7,7 > 5) = - P(F 7,7 5) = = = 0.05 Rpta. 5

116 Iterpretacó.- e el.5% de las (ó e 5 de cada 000) muestras de tamaño 8 de cada poblacó, la varaza de la prmera muestra es al meos 4 veces más grade que la seguda. 7. muestras aleatoras depedetes de tamaño = 6 y = 8 provee de poblacoes ormales co la msma varaza. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la prmera muestra sea meor que ses veces la seguda. olucó Para hallar la probabldad solctada se emplea la propuesta del problema 6. 6 P 6 P = P(F 5,7 < 6) = p = Rpta. Como e la tabla 4 de la dstrbucó F, para 5 y 7 grados de lbertad, o se tee el valor 6, pero éste se ecuetra etre los valores 5.9 (co probabldad 0.975) y 7.46 (co probabldad 0.99) para hallar p terpolamos de la sguete maera: F α P p p =.9 p p 4.05 =.9 p = Iterpretacó.- e el 98.4% de las (ó e 984 de cada 000) muestras de tamaño 6 de la poblacó y 8 de la poblacó, la varaza de la prmera muestra es meor que ses veces la seguda. 8. De ua poblacó : N(0, ¼) se extrae ua muestra aleatora de tamaño 7 y de ua poblacó Y: N(0, /3) se extrae ua muestra aleatora de tamaño 9 Calcule 7 9 e terprete: P 4 9Y j. j olucó Para hallar la probabldad solctada se costruye ua F como el cocete de dos ch-cuadrados etre sus respectvos grados de lbertad. 6

117 7 : N(0, ¼) etoces cada : N(0, ¼) ) (0, / 0 N Z. Luego: 4 Z y Z. Y: N(0, /3) etoces cada Y j : N(0, /3) ) (0, 3 3 / 0 N Y Y Z j j j. Luego: 3 j j Y Z y j j j j Y Z. Co las dos ch-cuadrado aterores se costruye la dstrbucó F sguete: 7, / / 4 9 / / 4 F Y x x Y F j j j j Acodcoado la probabldad solctada a la dstrbucó ateror se tee: x Y x x P Y P Y P j j j j j j = = P(F 7,9 > 3.86) = - P(F 7,9 3.86) = p = 0.99 = Rpta. Como e la tabla 4 de la dstrbucó F, para 7 y 9 grados de lbertad, o está el valor 3.86, pero éste se ecuetra etre los valores 5.6 (co probabldad 0.99) y 6.88 (co probabldad 0.995) para hallar p terpolamos así: F α P p p 54 = 0.5 p p 5.46 = 0.5 p = 0.99 Iterpretacó.- e el 0.9% de las (ó e 9 de cada 000) muestras de tamaño 7 de la poblacó y 9 de la poblacó Y, j Y j. 9. Dos compañías A y B fabrca trasstores. La duracó para los fabrcados por A tee ua desvacó estádar de 40 horas, e tato que los B tee ua desvacó estádar de 50 horas. e toma ua muestra de 8 trasstores de A y

118 6 de B. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la prmera muestra sea mayor 4.3 veces que la seguda. olucó Datos: σ A = 40 horas, σ B = 50, A = 8 trasstores y B = 6. Para obteer la probabldad solctada se emplea la dstrbucó F sguete: F A B B A A B A B f A, B = F 7,5 Adecuado la probabldad solctada al resultado ateror se obtee: 4 A A B P P x0. 64 B B P A = P(F 7,5 >.7) = = - P(F 7,5.7) = 0.95 = 0.05 Rpta. Iterpretacó.- e el 5% de las (ó e 50 de cada 000) muestras de tamaño 8 de la poblacó A y 6 de la poblacó B, la varaza de la duracó de los trasstores de la prmera muestra es mayor 4.3 veces que la varaza muestral de la seguda. 0. De ua poblacó ~ N(μ, 00) se extrae ua muestra aleatora de tamaño y de ua poblacó Y ~ N(μ, 5) se extrae ua muestra aleatora de tamaño 8. Calcule e terprete: olucó P (.6 Y). Datos: σ = 00 horas, σ Y = 5, = trasstores y Y = 8. Para obteer la probabldad solctada se emplea la dstrbucó F sguete: F Y Y Y Y f, Y = F,7 Adecuado la probabldad solctada al resultado ateror se obtee:.6.6 Y P P.5.5x. 6 Y Y P = = P(F,7 3.6) = 0.95 Rpta. Iterpretacó.- e el 95% de las (ó e 950 de cada 000) muestras de tamaño de la poblacó y 8 de la poblacó Y, la varaza muestral de las es meor o gual que.6 veces que la varaza muestral de las Y. 8

119 3.7 EJERCICIO PROPUETO. ~ co 5 grados de lbertad, hallar: a) P( 46.9). b) P( ). c) P( > 37.7). d) Hallar a y b tal que P( a) = 0.05 y P(a b) = De ua poblacó N(u, 8 ), se extrae ua muestra aleatora de tamaño = 5. Calcule e terprete: a) P [ 0.0 < ( x - µ ) < 3.64 ] b) Etre que valores se ecotrará el 95 % cetral de las varazas muestrales? 3. De ua poblacó N(µ, 0 ), se extrae ua muestra aleatora de tamaño = 30. Calcule e terprete: 30 a) P [354 ( ) 876 ] b) P ( ) 4. e sabe que los pesos de certas latas de atú se dstrbuye ormalmete co ua desvacó estádar de gramos. se toma ua muestra de latas, calcule e terprete la probabldad de que la varaza de la muestra sea meor que 8.5 (gr.). 5. La duracó de los focos producdos por ua compañía tee ua meda de 500 horas y ua desvacó típca de 80 horas. e seleccoa 3 focos al azar, calcule e terprete la probabldad de que la desvacó estádar muestral se ecuetre etre 60 y 00 horas. 6. La duracó de trasstores fabrcados por ua compañía tee dstrbucó ormal co ua meda de 000 horas y ua desvacó típca de 60 horas. e seleccoa 0 trasstores al azar, calcule e terprete la probabldad que la varaza muestral se ecuetre etre 500 y 4900 (horas). 7. De ua poblacó : N(u, 8), se extrae ua muestra aleatora de tamaño = 5. Calcule e terprete: 5 a) P [37.5 < ( - µ) < ] 9

120 b) P (8.8 < < 3.5). 8. De ua poblacó N(μ, 0) se extrae ua m.a. de tamaño = 0 y de ua poblacó Y N(μ, 5) se extrae ua m.a. de tamaño m = 8. Calcule e terprete: 0 a) P30. ( ) b) P3.7 ( Y ) T ~ t co 3 grados de lbertad, hallar: a) P(T -.74) b) P(-.39 T.5) c) P(T >.39) d) Hallar a y b tal que P(T -t 0 ) = 0.05 y P(-t 0 T t 0 ) = U spector vestga las acusacoes cotra ua fábrca de gaseosas porque o llea be sus evases. Ua muestra de 6 botellas de gaseosa dca ua desvacó típca = 0.8 ltros. Calcule e terprete la probabldad de que el promedo muestral dfera de su meda poblacoal µ e meos de ltros.. De ua poblacó : N(0, ¼) se extrae ua muestra aleatora de tamaño 0. Determe el valor de la costate k tal que: P (k x > ) = Dode x es la meda muestral de las y es la desvacó estádar muestral de las.. Para aalzar el tempo de atecó por clete e u establecmeto grade, se tomó ua muestra aleatora s reemplazo de 5 atecoes co lo cual se obtee u tempo promedo de 7.5 mutos y ua varaza =.5 mutos. Calcule e terprete la probabldad de que el promedo muestral dfera de su meda poblacoal e meos de 0.53 mutos. 3. De ua poblacó : N(μ, σ²), se extrae ua muestra aleatora de + observacoes. Ecotrar c tal que el estadístco c( x + )/ tega dstrbucó t. Dode x y es la meda y la desvacó estádar muestral obtedas co las prmeras observacoes. 4. Ua spectora de caldad vestga las acusacoes cotra ua fábrca de cerveza porque o llea be sus evases. Ua muestra de 5 latas de cerveza dca u cotedo medo x = 33. ozas y =.5 ozas. Calcule e terprete la probabldad de que el promedo muestral dfera de su meda poblacoal e meos de 0.99 ozas. 0

121 5. F ~ f co 0 y grados de lbertad, hallar: a) P(F 0.) b) P(0.76 F 4.30) c) P(F > 3.37) d) Hallar c y d tal que P(F c) = 0.05 y P(c T d) = muestras aleatoras depedetes de tamaños = = 8 provee de poblacoes ormales co la msma varaza. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la prmera muestra sea mayor que 5 veces la seguda. 7. muestras aleatoras depedetes de tamaño = 6 y = 8 provee de poblacoes ormales co la msma varaza. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la prmera muestra sea 5 veces más grade que la seguda 8. ea,,., 7 e Y, Y,., Y 9 muestras aleatoras depedetes de dstrbucoes ormales, ambas co meda cero y varaza uo. Calcule e terprete: P 7 9 7Y j j 9. Dos compañías A y B fabrca trasstores. La duracó para los fabrcados por A tee ua desvacó estádar de 40 horas, e tato que los B tee ua desvacó estádar de 50 horas. e toma ua muestra de 0 trasstores de A y 0 de B. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la muestra A sea al meos dos veces más grade que la B. 0. Dos compañías A y B fabrca focos. La duracó de los fabrcados por A tee ua desvacó típca de 40 horas, e tato que los B tee ua desvacó estádar de 50 horas. e toma ua muestra aleatora de 0 focos de A y 0 de B. Calcule e terprete la probabldad que la varaza de la muestra A sea mayor que tres veces la varaza de la muestra B.

122 Capítulo 4. ETIMACIÓN PUNTUAL Lo que escucho lo olvdo, lo que veo lo recuerdo, pero lo que hago lo etedo Cofuco CONTENIDO 4. Estmadores. Propedades. 4. Métodos de estmacó putual. 4.3 Método de máxma verosmltud. 4.4 Método de los mometos. 4.5 Método de los mímos cuadrados. 4.6 Ejerccos resueltos. 4.7 Ejerccos propuestos. E este capítulo, se preseta los aspectos fudametales de la estmacó putual, es decr la aproxmacó al valor del parámetro a través de u solo valor, buscado de observar las propedades que debe reur los estmadores de los parámetros, así como el uso de los métodos de estmacó putual. La estadístca provee téccas que permte obteer coclusoes geerales a partr de ua muestra (u cojuto lmtado, pero represetatvo de datos). Cuado fermos o teemos garatía de que la coclusó que obteemos sea exactamete correcta. embargo, la estadístca permte cuatfcar el error asocado a la estmacó. La mayoría de las dstrbucoes de probabldad depede de certo úmero de parámetros. Por ejemplo: P(λ), N(µ, σ ), B(, p), etc. alvo que estos parámetros se coozca, debe estmarse a partr de los datos muestrales. El objetvo de la estmacó putual es usar ua muestra para obteer úmeros que, e algú setdo, sea los que mejor represeta a los verdaderos valores de los parámetros de terés. upogamos que se seleccoa ua muestra de tamaño de ua poblacó. Ates de obteer la muestra o sabemos cuál será el valor de cada observacó. Así, la prmera observacó puede ser cosderada ua varable aleatora, la seguda ua v.a., etc. Por lo tato, ates de obteer la muestra deotaremos,,..., a las observacoes y, ua vez obteda la muestra los valores observados los deotaremos x, x,..., x.

123 4. ETIMADORE. PROPIEDADE Estmador y estmacó Defcó: U estmador putual ˆ del parámetro θ es u estadístco, ua fórmula, obtedo como ua fucó de la muestra, es decr ˆ = F(,,..., ). Defcó: Ua estmacó putual de u parámetro θ es u valor que puede ser cosderado represetatvo de θ y se dcará ˆ. e obtee ua vez determada la muestra de valores observados x, x,..., x, es decr ˆ = F(x, x,..., x ). Ejemplo.- Co el f de estudar s u dado es o o equlbrado, se arroja el dado 00 veces e forma depedete, obteédose ases. Qué valor podría utlzarse, e base a esa formacó, como estmacó de la probabldad de as? Parece razoable utlzar la frecueca relatva de ases. E este caso, s llamamos p a la probabldad que queremos estmar, p = / 00 = 0.. Propedades de los estmadores Observemos que dada ua m.a.,,..., u estmador putual del parámetro θ obtedo e base a ella, es ua v.a. ˆ. La dfereca ˆ - θ es el error de estmacó y ua estmacó será más precsa cuato meor sea este error. Este error es també ua v.a. dado que depede de la muestra obteda. Para alguas muestras será postvo, para otras egatvo. Ua propedad deseable es que la esperaza del error sea 0, es decr que e promedo el error obtedo al estmar a partr de dferetes muestras sea cero. a) Isesgameto.- u estmador putual ˆ del parámetro θ es sesgado s: E(ˆ ) = θ. ˆ o es sesgado, a la dfereca E(ˆ ) θ = b (ˆ ) se le deoma sesgo de ˆ. 3

124 4 Por lo tato, se dce que u estmador es sesgado s su dstrbucó tee como valor esperado al parámetro que se desea estmar. Ejemplo.- sea,,..., ua m.a. de ua poblacó co meda μ y varaza σ. Hemos vsto e las dstrbucoes muestrales que u estmador de la meda poblacoal μ es la meda muestral, es decr que ˆ, y hemos probado que: ) ( ) ( ) ( E E E Es decr que la meda muestral es u estmador sesgado de la meda poblacoal μ. Ejemplo 3.-,,..., ua m.a. de ua poblacó ~ N(μ, σ ). Veremos más adelate, e estmacó máxmo verosíml, que u estmador de la varaza poblacoal σ es ) ( ˆ, cuya esperaza está dada por: ) ( ) ˆ ( E E E E E I I = ) ( ) ( ) ( ) ( E V E V E E = Es decr que: ) ˆ ( E Luego ) ( ˆ o es estmador sesgado de la varaza poblacoal σ. b) Isesgameto astótco.- U estmador putual ˆ del parámetro θ, basado e ua muestra aleatora,,...,, es sesgado astótcamete s:

125 lím E ( ˆ) ( ) E el ejemplo 3, s be ˆ o es u estmador sesgado, pero es astótcamete sesgado ya que su esperaza tede a σ cuado el tamaño de la muestra tede a fto. Ejercco.- verfcar que la varaza muestral estmador sesgado de la varaza poblacoal σ dstrbucó. s ( ) es u cualquera sea la c) Cossteca.- ea,,..., ua m.a. de ua dstrbucó que depede de u parámetro θ, y sea ˆ u estmador putual de θ basado e esa muestra. Dremos que ˆ es u estmador cosstete de θ, s 0, lím P ˆ Ejemplo 4.- Demuestre que la meda muestral cosstete de la meda poblacoal μ. ˆ es u estmador olucó.- Como la meda muestral N(, / ). Y la varable aleatora ( ) Z tee aproxmadamete dstrbucó N(0, ) ; teemos que: / P P P Z Luego: lím lím P = = () = 5

126 Por lo tato, la meda muestral es u estmador cosstete de la meda poblacoal μ, cualquera que sea el tpo de dstrbucó de la poblacó, sempre que tega meda y varaza. d) Error Cuadrátco Medo (ECM) de u Estmador.- ea ˆ u estmador putual del parámetro θ, su error cuadrátco medo es: ˆ ECM ( ˆ) E ECM( ˆ) E ˆ ˆ) ˆ Var( b( ) Proposcó.- edo b (ˆ ) = E(ˆ ) θ el sesgo del estmador ˆ. Demostracó.- ˆ E( ˆ) E( ˆ) ] ˆ ECM ( ˆ) E[( ) ] E[ = ˆ ˆ ˆ) = E [ E( E( E( E ( ] = E[ ˆ E( ˆ ] E[ E( ˆ) ] E ˆ E( ˆ E ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ) Utlzado las propedades del operador esperaza, se tee que: ECM( ˆ) E[ V( ˆ) ˆ E( ˆ ] [ E( ˆ) ] E ˆ E( ˆ E ( ˆ) [ b( ˆ)] 0 y, por lo tato, ECM (ˆ ) = Var (ˆ ) + [ b(ˆ ) ], como queríamos probar. Nota.- el estmador ˆ es sesgado, el error cuadrátco medo es gual a la varaza del estmador. Es decr, ECM (ˆ ) = Var (ˆ ). e) Efceca Relatva (Prcpo de estmacó de meor error cuadrátco medo).- Dados dos o más estmadores del parámetro θ, se debe elegr al que tee meor ECM. E el caso de que los estmadores sea sesgados, se escoge al que tega meor varaza. Etre u estmador sesgado y otro que o lo es, s el 6

127 estmador sesgado tee ua varaza mucho meor que el sesgado, podría ser preferble su uso. Ejemplo 5.- upoga que ˆ y ˆ so dos estmadores de co E ( ˆ ) =, E( ˆ ) = /3, Var ( ˆ ) = 6, Var ( ˆ ) =. Cuál es mejor estmador de? por qué? olucó.- El estmador ˆ es sesgado, por lo tato: ECM ( ˆ ) = Var ( ˆ ) = 6... () El estmador ˆ es sesgado, por lo tato: ECM ( ˆ ) = Var( ˆ ) + [ E ( ˆ ) - ] = + [/3 - ] = (8 + 4 ) / 9... () ˆ s: ˆ será mejor estmador que ECM ( ) < ECM ( ˆ ) Reemplazado () y (): 6 < (8 + 4 ) / 9 Cuya solucó es: > 3. Es decr que ˆ será mejor estmador que ˆ s > 3, porque tee meor ECM; e caso cotraro, s < 3, ˆ será mejor estmador que ˆ. Rpta. Ejemplo 6.- ea,,..., ua m.a. de ua poblacó ~ N(μ, σ ). e puede verfcar medatamete que los sguetes estmadores, so estmadores sesgados de μ. ˆ, ˆ y ˆ 3 Metras que, la varaza de estos estmadores es: 7

128 V( ˆ), V ( ˆ ) y V ( ˆ3) Por lo tato, el mejor estmador de μ será ˆ por teer meor varaza. f) Efceca.- e dce que u estmador putual ˆ es u estmador efcete del parámetro θ s es sesgado y de varaza míma. Para todos los estmadores sesgados de θ, Cramer y Rao establecero ua cota feror de las varazas, de la sguete maera: La cota feror de Cramer Rao [ B(θ) ] ea ˆ u estmador sesgado del parámetro θ, basado e ua m.a. de observacoes y sea f(x; θ) la dstrbucó de probabldades de la v.a. Etoces, la cota feror de la varaza de ˆ es: Var ( ˆ) B( ) d E l f ( x; d la varaza de u estmador sesgado ˆ satsface la desgualdad de Cramer y Rao como ua gualdad, este es u estmador sesgado de varaza míma o efcete. Ejemplo 7.- Demostrar que la proporcó muestral p es u estmador sesgado de varaza míma de la proporcó poblacoal P, de ua varable aleatora co dstrbucó de Beroull. olucó.- upoga que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó co dstrbucó de Beroull., etoces: p, estma a P. La proporcó muestral p, es ua meda muestral de v.a. Beroull co E( ) = P y V( ) = PQ; represeta la proporcó de éxtos e la muestra y estma a la proporcó de éxtos e la poblacó P. Luego: 8

129 9 P P P E E p E ) ( ) ( ) ( Es decr que la proporcó muestral p es u estmador sesgado de la proporcó poblacoal P. Veamos s es de varaza míma. ) ( ) ( Var Var p Var (propedad de la varaza) PQ PQ PQ Var ) ( Hallemos la cota feror de Cramer Rao, B(P): ) f(x; P) = P x ( P) - x, x = 0, ) l f(x; P) = x l P + ( x) l ( P) ) ) ( ) ; ( l P P P x P x P x P x f dp d v) PQ Q P PQ Q P Var P P P x E P x f dp d E ) ( ) ( ) ( ) ; ( l v) PQ PQ P x f dp d E P B ) ; ( l ) ( = Var (p) Dado que la Var (p) es gual a la cota feror de Cramer-Rao B(P), p es u estmador de varaza míma para P. Como la proporcó muestral p es u estmador sesgado y de varaza míma para P, es u estmador efcete.

130 4. MÉTODO DE ETIMACIÓN PUNTUAL Etre los prcpales métodos de estmacó putual se tee: El método de máxma verosmltud (que busca maxmzar la probabldad de que ocurra la muestra observada) El método de los mometos (e el que se guala los correspodetes mometos poblacoales y muestrales). El método de los mímos cuadrados ordaros (que busca mmzar la varaza de los errores e el modelo de regresó leal). A cotuacó presetamos cada uo de estos métodos de estmacó. 4.3 MÉTODO DE MÁIMA VEROIMILITUD El método cosste e seleccoar como Estmador Máxmo Verosíml 4 (EMV) putual del parámetro θ, al estmador ˆ que maxmza la probabldad de obteer la muestra realmete observada. Dcha probabldad está represetada por la fucó de probabldad cojuta de la muestra y recbe la deomacó de fucó de verosmltud. Procedmeto.- ea,,..., ua m. a. de, ua varable aleatora co fucó de probabldad f(x; θ) que depede del parámetro θ, y sea x, x,..., x, los valores observados. Para hallar el EMV del parámetro descoocdo θ se procede de la sguete maera: ) Hallar la fucó de verosmltud, que represeta la probabldad de obteer la muestra observada, y se defe así: V(θ) = f (x, x,..., x ; θ) = f (x ; θ) f (x ; θ)... f (x ; θ) = f ( x ; ) ) El método de máxma verosmltud cosste e tomar como estmacó el valor ˆ que hace máxma la fucó de verosmltud V(θ). abemos que s 4 Real Academa Española Todos los derechos reservados. Vgésma seguda edcó (00). Verosíml:. Adj. Que tee apareca de verdadero.. Adj. Creíble por o ofrecer carácter alguo de falsedad. 30

131 ˆ hace máxma a V(θ), també hace máxma a su logartmo l V(θ). Para covertr el producto e suma, se toma la fucó: L = l V(θ) = l f ( 3) e toma dervadas parcales de L co respecto a θ, se guala a cero y se obtee ˆ. Es decr: L l f ( x ; ) 0 x ; ) ˆ = F (x, x,..., x ) la dstrbucó tee r parámetros descoocdos θ, θ,..., θ r ; se toma dervadas parcales co respecto a cada parámetro y e lugar de ua ecuacó tedremos las r ecuacoes: L 0 L, 0 L,..., 0 a partr de las cuales se obtee los estmadores ˆ, ˆ,..., ˆ r. Ejemplo 8.- Hallar el estmador de máxma verosmltud para el parámetro P (proporcó o probabldad de éxto) de la dstrbucó de Beroull. olucó.- ) La fucó de probabldad de la v.a. Beroull es: f (x; P) = P x ( P) - x, x = 0, ; 0 < P < ) ea,,..., ua m. a. de, cuyos valores observados so x, x,..., x. Etoces: f x x ( x ; P) P ( P), x = 0, ; =,,., ) La fucó de verosmltud V(P) está dada por: V(P) = f (x, x,..., x ; P) = f (x ; P) f (x ; P)... f (x ; P) = r = f ( x ; P) = P x x ( P) = P ( P) v) L = l V(P) = x l P x l( P) 3

132 x x x L P v) 0 P P P P x Luego: x Pˆ p Rpta. Estmador muestral que sabemos es u estmador efcete de la proporcó poblacoal P. 4.4 MÉTODO DE LO MOMENTO La dea básca de este método cosste e gualar los mometos muestrales co los correspodetes mometos poblacoales. Recordemos la sguete defcó. Defcó.- ea ua v.a. co fucó de probabldad putual p(x) e el caso dscreto o fucó de desdad f(x) e el caso cotuo. e deoma mometo de orde k (k N) o mometo poblacoal de orde k a E( k ), es decr: k k E ( ) x p( x) e el caso dscreto, y x k k E( ) x f ( x) dx e el caso cotuo. s esas esperazas exste. Dada ua muestra aleatora,,...,, el mometo muestral de orde k alrededor del orge deotado por M k, es: Defcó.- M ' k ea,,...,, ua m.a. de ua dstrbucó co fucó de probabldad o fucó de desdad que depede de m parámetros Ө, Ө,..., Ө m. Los estmadores de mometos de Ө, Ө,..., Ө m so los valores ˆ, ˆ,..., ˆ m que se obtee gualado m mometos poblacoales co los correspodetes mometos muestrales. E geeral, se obtee resolvedo el sguete sstema de ecuacoes: k 3

133 k k E( ) M ' k, k =,,..., m Ejemplo 9.- ea,,...,, ua m.a. de ua dstrbucó expoecal de parámetro λ. Como hay u solo parámetro a estmar, basta platear ua ecuacó basada e el prmer mometo. Es decr, M = E (). abemos que para la dstrbucó expoecal ' M E( ) ˆ E ( ) Etoces: 4.5 MÉTODO DE LO MÍNIMO CUADRADO Coocdo també como el método de los mímos cuadrados ordaros, es utlzado para estmar los parámetros del modelo de regresó leal smple y múltple. e parte del hecho de que o todos los putos cae sobre la recta postulada, a la cual se le agrega la varable aleatora error y lo que se busca es mmzar la varaza de los errores represetada por e. Y = a + b + e etoces e = Y - a - b y por tato se busca mmzar: e ( Y a b ) e toma dervadas parcales co respecto a a y co respecto a b, se guala a cero así: d da e ( Y a b )( ) 0 33

134 34 b a Y e db d 0 ) )( ( Luego de gualarlas a cero se obtee las deomadas ecuacoes ormales: Y b a.. () Y b a.. () Cuya solucó proporcoa los sguetes estmadores: de b y a: Y Y b ˆ y b Y a ˆ ˆ Cuado se reemplaza los resultados muestrales se obtee: b a Y ˆ ˆ ˆ

135 PROBLEMA REUELTO. Demostrar que la varaza muestral ) ( ˆ s es u estmador sesgado de la varaza poblacoal σ. olucó abemos que: ) ( Hallado la esperaza de la varaza muestral se tee: ) ( ) ( ) ˆ ( E E E E s E E I = ) ( ) ( ) ( ) ( E V E V E E = Es decr que: ) ( ) ( ) ˆ ( s E E Luego ) ( ˆ s es estmador sesgado de la varaza poblacoal σ.. La prmera observacó de ua muestra aleatora de tamaño, podría utlzarse como u estmador de la meda poblacoal. Es éste u estmador: a) sesgado? y b) efcete? olucó Por defcó de muestra aleatora se sabe que:,,., so varables aleatoras depedetes co: E( ) = µ, V( ) = σ. ˆ, etoces: a) ˆ ( ) ( ) E E = µ, luego ˆ es u estmador segado de µ.

136 b) Como es u estmador sesgado, etoces ECM ( ) = V( ) = σ. Pero, ECM ( ) V( ). també es u estmador sesgado de µ, co Comparado los errores cuadrátcos medos de ambos estmadores, se tee que: ECM ( ) > ECM ( ) luego o es u estmador efcete de µ, ya que es u estmador más efcete. 3. Las cajas de u cereal producdo por ua fábrca debe teer u cotedo de 6 ozas (ua lbra). U spector toma ua muestra aleatora smple que arroja los sguetes pesos e ozas: 5.7, 5.7, 6.3, 5.8, 6., 5.9, 6., 5.9, 5.8, 5.6. a) Cuál es la estmacó putual del peso medo poblacoal de las cajas de cereal? b) Cuál es la estmacó putual de la varaza poblacoal del peso de las cajas? olucó a) El estmador putual de la meda poblacoal es la meda muestral y su estmacó es la sguete: = 5.9 ozas b) El estmador putual de la varaza poblacoal es la varaza muestral y su estmacó es: ˆ 0 ( ) = Reemplazado e la expreso de la varaza muestral se obtee: 36

137 x(5.9) ˆ = (ozas) E ua ecuesta de opó a 000 adultos para coocer su opó acerca de la ecoomía. Las respuestas fuero las sguetes: OPINIÓN: ADULTO La ecoomía se está cotrayedo 300 La ecoomía permaece gual 400 La ecoomía está crecedo 00 No sabe/no opa 00 Determe la estmacó putual de los sguetes parámetros de la poblacó: a) La proporcó de adultos que opa que la ecoomía se está cotrayedo. b) La proporcó de adultos que opa que la ecoomía permaece gual. c) La proporcó de adultos que opa que la ecoomía está crecedo. d) La proporcó de adultos que No sabe/no opa. olucó El estmador putual de la proporcó poblacoal es la proporcó muestral sguete: p p 37 Nde éxtos a) La estmacó de la proporcó de adultos que opa que la ecoomía se está cotrayedo es: adultos que opa que la ecoomía seestá cotrayedo 300 p = b) La estmacó de la proporcó de adultos que opa que la ecoomía permaece gual es: adultos que opa que la ecoomía sge gual 400 p = c) La estmacó de la proporcó de adultos que opa que la ecoomía está crecedo es:

138 adultos que opa que la ecoomía está crecedo 00 p = d) La estmacó de la proporcó de adultos que No sabe/no opa es: adultos que No sabe/no opa 00 p = Estmacoes que cas sempre so presetadas como porcetajes de la sguete maera: NÚMERO Y PORCENTAJE DE ADULTO, EGÚN U OPINIÓN OBRE LA ITUACIÓN DE LA ECONOMÍA OPINIÓN: ADULTO % La ecoomía se está cotrayedo La ecoomía permaece gual La ecoomía está crecedo 00 0 No sabe/no opa 00 0 Total Asumedo que y so varables aleatoras depedetes co: E( ) = 3, V( ) = 4, E( ) = 4, V( ) = 8. ˆ = 3 y ˆ = 3 so dos estmadores de ϴ, Cuál de los estmadores es más efcete? olucó Para determar cuál de los estmadores es más efcete hay que hallar sus errores cuadrátcos medos y compararlos. ECM ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ V E ) E( ˆ ) = E[3 ] = 3 E( ) - E( ) = 3(3) 4 = 5 V( ˆ ) = V[3 ] = 3 V( ) + V( ) = 9(4) + 8 = 44. Luego: ECM ( ˆ ˆ ˆ ) V( ) E( ) = = 44 + [ϴ - 5] = 44 + [ϴ 0 ϴ + 5] = ϴ 0 ϴ + 69 E( ˆ ) = E[3 ] = 3 E( ) E( ) = 3(4) 3 = 9 V( ˆ ) = V[3 ] = 3 V( ) + V( ) = 9(8) + 4 = 76. Luego: 38

139 ECM ( ˆ ˆ ˆ ) V( ) E( ) = = 76 + [ϴ - 9] = 68 + [ϴ - 8ϴ + 8] = ϴ - 8ϴ + 57 El estmador ˆ es u estmador más efcete para ϴ que ˆ s se cumple que: ECM ( ˆ ) ECM ( ˆ ) ϴ 0 ϴ + 69 < ϴ - 8ϴ ϴ < 88 ϴ <. ϴ >, el estmador ˆ es u estmador más efcete para ϴ que ˆ Rpta. 6. upoga que tee ua muestra de tamaño de ua poblacó co E() = µ y Var() = σ. ea es el mejor estmador de µ? olucó y dos estmadores de µ, cuál Ambos estmadores de µ propuestos, y, so estmadores sesgados, ya que so medas muestrales co y observacoes muestrales respectvamete. Luego, será mejor estmador el que tega meor varaza. Teedo e cueta que E( ) = µ y Var( ) = σ, por defcó de muestra aleatora, hay que hallar sus varazas y compararlas. V ( ) V V ( ) V V ( ) () () () V ( ) e observa que V( ) V( ). Por lo tato, es el mejor estmador de µ. Rpta. 39

140 40 7. ea,,..,, ua muestra aleatora de ua varable aleatora co dstrbucó uforme e el tervalo [α, α + ]. a) Demuestre que la meda muestral x = ˆ es u estmador sesgado de α. b) Calcule el error cuadrátco medo del estmador ˆ x. olucó a) Como la varable aleatora tee dstrbucó uforme e el tervalo [α, α + ], etoces ) ( x f, α α +. Así msmo, ) ( E E y ) ( ) ( V V ˆ x, etoces: ) ( ) ( ˆ) ( E E x E E Luego: ˆ = x es u estmador sesgado de α. Rpta. b) El error cuadrátco medo del estmador ˆ x esta dado por: ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ECM V E.. (b) V V V V ) ( ) ( ˆ) ( Reemplazado la varaza de ˆ y la esperaza de ˆ e (b) se tee: ECM 3 4 ˆ) ( Rpta. 8. ea,,., 7 ua muestra aleatora de ua poblacó co meda µ y varaza. Cosdere los sguetes estmadores de µ: ˆ = ( ) / 7 ; ˆ = ( ) / a) o estmadores sesgados? y b) Cuál es mejor estmador de µ? olucó a) Por defcó de muestra aleatora E( ) = µ y Var( ) = σ. Luego:

141 E E E( ) E( )... E( ) E( ) E( 6 ). E( ) como ˆ so estmadores sesgados de µ. Rpta. ˆ ˆ 4 Por lo tato ˆ b) Por ser sesgados, es mejor estmador de µ el que tee meor varaza. Luego: ( ) ( )... ( )... 7 ˆ V V V 7 V = 0.4 σ ( ) ( ). ( ) 4 6 ˆ V V 6 V 4 V =.5 σ. 4 4 Por lo tato ˆ es mejor estmador de µ que ˆ. Rpta. 9. upoga que ˆ y ˆ so estmadores de co E(ˆ ) =, E(ˆ ) =, Var (ˆ ) = 6, Var (ˆ ) =. Cuál es mejor estmador de? por qué? olucó De los dos estmadores, es mejor el que tee meor error cuadrátco medo. abemos que: ECM ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ V E ). Como ˆ es estmador sesgado de, etoces: ECM ( ˆ ˆ ) V( ) 6 ˆ ˆ ˆ 8 ECM ( ) V( ) E( ) 4 El estmador ˆ es mejor estmador de ϴ que ˆ s se cumple que: ECM ( ˆ ) ECM ( ˆ ) < 8 + > , el estmador ˆ es mejor estmador de ϴ que ˆ. Rpta. 0. upoga que ˆ y ˆ so estmadores de β co: E ( ˆ ) = β /, E ( ˆ ) = β /3, Var ( ˆ ) = 7 y Var ( ˆ ) = 6. Cuál es mejor estmador de β? Por qué? olucó 4

142 De los dos estmadores, es mejor el que tee meor error cuadrátco medo. ˆ ˆ ˆ 8 ECM ( ) V( ) E( ) 7 4 ˆ ˆ ˆ 54 4 ECM ( ) V( ) E( ) El estmador ˆ es mejor estmador de β que ˆ s se cumple que: ECM ( ˆ ) ECM ( ˆ ) 36 < 7 β 7 β > β < β 6 7 7, el estmador ˆ es mejor estmador de β que ˆ. Rpta.. ˆ y ˆ so estmadores depedetes sesgados de u parámetro descoocdo, co varazas coocdas y respectvamete: a) Demostrar que ˆ = a ˆ + ( a) ˆ també es u estmador sesgado de, para cualquer valor de a. b) Ecotrar el valor de a que mmza la varaza de ˆ. olucó a) ˆ y ˆ so estmadores depedetes sesgados del parámetro descoocdo, etoces: E( ˆ ) = y E( ˆ ) =. Luego: E(ˆ ) = E[a ˆ + ( a ) ˆ ] = a E( ˆ ) + ( a) E( ˆ ) = = a + ( a ) =. Por lo tato ˆ es u estmador sesgado de, para cualquer valor de a. b) e tee como datos: V( ˆ ) = estmador es: y V( 4 ˆ ) = V(ˆ ) = V[a ˆ + ( a ) ˆ ] = a V( ˆ ) + ( a) V( ˆ ) Reemplazado la varaza de los estmadores se obtee: V(ˆ ) = a + ( a) = f(a). Luego, la varaza del

143 Para hallar el valor de a que mmza la varaza del estmador ˆ, se toma la dervada parcal de V(ˆ ) co respecto a a y se guala a cero. Así: f (a) = dv ( ˆ) = a + ( a) (-) = 0 da Para resolver la ecuacó ateror se dvde etre e ambos membros y se tee: - ( a ) = 0 a + a = a =, puto a crítco. d V( ˆ) f (a) = = +. da Reemplazado el puto crítco ecotrado e f (a) se tee que: f (a) = + > 0 a es u mímo para la V(ˆ ). Por lo tato el valor a = mmza la varaza de ˆ. Rpta.. ea ua varable aleatora co meda y varaza σ. Dadas dos muestras aleatoras de tamaños y co medas muestrales y respectvamete. a) Demostrar que: a ( a), 0 a, es u estmador sesgado de. b) Asumedo que y so depedetes, hallar el valor de a que mmza la varaza de. olucó e sabe que la meda muestral es u estmador sesgado de la meda poblacoal. Etoces: E( ) = y E( ) =. Además, la varaza de la meda muestral es gual a la varaza poblacoal etre el tamaño de la muestra. Luego: V ( ) y V ( ). a) E( ) = E[ a( a) ] = a E( ) + ( a) E( ) = = a + ( a) =. Etoces, es u estmador sesgado de. L.Q.Q.D. 43

144 b) V( ) = V[ a( a) ] = a V( ) + ( a) V( ) = Reemplazado la varaza de las medas muestrales se obtee: V( ) = a + ( a) = f(a) Para hallar el valor de a que mmza la varaza del estmador, se toma la dervada parcal de V( ) co respecto a a y se guala a cero. Así: dv ( ) f (a) = = a + ( a) (-) = 0 da Para resolver la ecuacó ateror se dvde etre σ e ambos membros y se tee: a a - = 0 a + a = a =, puto crítco. d V( ) f (a) = = +. da Reemplazado el puto crítco ecotrado e f (a) se tee que: f (a) = + > 0 a es u mímo para la V( ). Por lo tato el valor a = mmza la varaza de. Rpta. 3. E base a ua muestra aleatora de tamaño de ua dstrbucó Posso co parámetro, se pde: a) Determar el estmador máxmo verosíml del parámetro. b) Es efcete el estmador obtedo para el parámetro? olucó ea,,...,, ua m.a. de ua dstrbucó ~ Posso( ). Etoces: f (, ) = e! La fucó de verosmltud es: V() = f(,, 3,, ) =, = 0,,, Además: E( ) = = Var ( ). e! e! 44

145 45 L = L V() = L! e L =! l e L L = L! l a) Determacó del estmador de : 0 L = x Rpta. b) Es efcete el estmador de? erá efcete s es sesgado y de varaza míma. E E ) ( ) ( Por lo tato = x es u estmador sesgado para. Es de varaza míma s: V( ) = B() V λ λ) (, ), ( l ) ( x f E B f(, ) =! e l f(, ) = l - l e l! = l - - l! ) ( ), ( l f ² )² ( ), ( l f ) ( ² )² ( ² ), ( l V E f E Luego: V B ( ). ) (. Por lo tato = x es u estmador de varaza míma.

146 Como = x es u estmador sesgado y de varaza míma, es u estmador efcete para. 4. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó geométrca determe el estmador máxmo verosíml del parámetro p. olucó ea,,...,, ua m.a. de ua varable ~ Geométrca (p). Etoces: f p p ( ) ( ) ;,,3,...,,3,..., Luego la fucó de verosmltud será: V( p) f (,,..., ) p( p) p ( p) L = L V(p) = L ( p) = L p L( p) p L p p p 0 pˆ Rpta. 5. E base a ua muestra aleatora de tamaño de ua dstrbucó ormal N(µ, σ ) se pde: a) Determar el estmador máxmo verosíml de µ y σ. b) Es efcete el estmador del parámetro µ? olucó ea,,...,, ua m.a. de ua dstrbucó ~ N(μ, σ ). Etoces: f ( ) e ( ) La fucó de verosmltud es: ; ;,,..., V(,²) = f(,, 3,, ) = ( ) e = ( ) e L = L V(,²) = L ( ) e 46

147 47 = e L L L )² ( ² ) ² ( L = L L )² ( ² ² a) Determacó del estmador de μ 0 ) ( ) ()( ² L Luego: 0 ) ( ó 0 Por lo tato: μ = Rpta. Determacó del estmador de σ L )² ( ²)² ( ² = 0 ² )² ( ²)² ( ² ²)² ( )² ( ) ( ² Rpta. b) Es efcete el estmador de μ? erá efcete s es sesgado y de varaza míma. E E E ) ( ) ( Por lo tato μ = es u estmador sesgado para μ. Es de varaza míma s: V x f E B ) ( ), ( l ) ( f(, ) = e L f(,) = L-L e L

148 = - L l f (, ) ()( )( ) = ² ( ) ( ) E ² B V ( ) = ( ) ² ² ( )² E ( ²) ( ²)² ( ²)² = Por lo tato μ = es u estmador de varaza míma. Como μ = es u estmador sesgado y de varaza míma, es u estmador efcete para μ. Rpta. 6. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó de Pareto determe el estmador máxmo verosíml del parámetro B. olucó ea,,...,, ua m.a. de ua varable ~ Pareto (B). Etoces: B f B ( 0 ), B 0,,,...,. Dode: B = Coefcete de Pareto > 0 y o = Igreso mímo. La fucó de verosmltud es: B B 0 0 B B V(B) = f(,,..., ) = B B B L LB B L B L B 0 L = L V(B) = 0 ( ) B L B B L 0 L 0 L L B 0 B L L 0 L( / 0 ) 48

149 ˆ B Rpta. L( / ) 7. E base a ua muestra aleatora de tamaño de ua dstrbucó Logormal co parámetros (µ, σ ). e pde: a) Determar el estmador máxmo verosíml de los parámetros µ y σ. b) e sabe que el greso famlar aual (e mles de soles) tee aproxmadamete dstrbucó Logormal. Determe ua estmacó de µ co los gresos de 0 famlas escogdas al azar sguetes: olucó ea,,...,, ua m.a. de ua varable ~ Logormal (µ, σ ). Etoces: f ( ) e ; 0, =,,...,. ( L ) / Luego la fucó de verosmltud será: V(µ, σ ) = f (,,..., ) ( L ) / e = 0 = e ( L ) / ; 0, =,, 3,...,. L = L V(,²) = L e ( L ) / ( L )² ² = L L L L ( ² ) L e L = L L ² L ² ( L )² a) Determacó del estmador de μ L ² ()( ) ( L ) 0 49

150 Luego: ( L ) 0 ó L 0 Por lo tato: μ = Determacó del estmador de σ L L ( L )² = 0 ² ( ²)² Rpta. ( ²)² ( L )² ² ( L )² ( ²)² ² Por lo tato: ( L ) ² Rpta. b) Estmacó de µ co los gresos de las 0 famlas: L L0 L50 L40... L5 L30 μ = =.9538 Rpta Basados e ua muestra aleatora de tamaño, hallar el estmador de mometos para el parámetro, de la dstrbucó de Posso. olucó ea,,...,, ua muestra aleatora de ua varable ~ Possó () Como hay u solo parámetro a estmar, basta platear ua ecuacó basada e el prmer mometo. Es decr, M = E (). abemos que para la dstrbucó Posso E() =. Etoces: M E( ) Rpta. ' ˆ 9. ea ua varable aleatora co dstrbucó uforme e el tervalo [-a, 3a]. Hallar el estmador de a por el método de los mometos, basado e ua muestra aleatora de tamaño de. olucó 50

151 5 ea,,...,, ua muestra aleatora de ua varable ~ uforme e el tervalo [ -a, 3a ]. Como el úco parámetro es a, basta platear ua ecuacó basada e el prmer mometo. Es decr, M = E (). abemos que para la dstrbucó uforme e el tervalo [a, b], E() = (a + b)/. Luego: e el tervalo [ -a, 3a ], E() = a. Por lo tato: a a E M ' ˆ ) ( Rpta. 0. Basados e ua muestra aleatora de tamaño, hallar el estmador de mometos para los parámetros y σ de la dstrbucó de ormal. olucó ea,,...,, ua muestra aleatora de ua varable ~ N(, σ ). Como la dstrbucó tee dos parámetros, es ecesaro gualar los dos mometos muestrales y poblacoales correspodetes. Es decr: M = E ().. () M = E ( ). () E la dstrbucó ormal E () = y E ( ) = σ +. Reemplazado e las ecuacoes aterores se tee: E (): E M ' ˆ ) ( Rpta. E (): ' ) ( E M Como la meda muestral es u estmador de la meda poblacoal, la reemplazamos e la expresó ateror para hallar el estmador de σ. ) ( ˆ Rpta.

152 4.7 PROBLEMA PROPUETO., y so varables aleatoras depedetes co: E( ) = 4, E( ) =, V( ) = 8 y V( ) = 4. edo ˆ = 3 y ˆ = 3 - dos estmadores de ϴ, cuál de los estmadores es más efcete?. upoga que tee ua muestra de tamaño de ua poblacó co E() = µ y Var() = σ. ea el mejor estmador de µ? y dos estmadores de µ, cuál es 3. Los pesos etos (grs.) e ua muestra aleatora smple de dez latas de coserva fuero los sguetes: 59, 6, 59, 58, 56,57, 57, 63, 58, 6 a) Cuál es la estmacó putual del peso eto medo poblacoal de las latas de coserva? b) Cuál es la estmacó putual de la desvacó estádar poblacoal del peso eto de las latas de coserva? 4. Realzada ua ecuesta de opó, a ua muestra aleatora smple de 800 cudadaos, e la preguta, Está usted de acuerdo co la gestó del Alcalde de la cudad? 60 respode que í, 440 que No y el resto No sabe/no opa. a) Cuál es la estmacó putual de la proporcó de la poblacó que está de acuerdo co la gestó del Alcalde de la cudad? b) Cuál es la estmacó putual de la proporcó de la poblacó que No está de acuerdo co la gestó del Alcalde de la cudad? 5. ea,,., 0 ua muestra aleatora de ua poblacó co meda µ y varaza. Cosdere los sguetes estmadores de µ: ˆ = ( ) / 0 ; ˆ = ( ) / 3 a) o estmadores sesgados? y b) Cuál es mejor estmador de µ? 6. ea ˆ y ˆ dos estmadores de co E (ˆ ) =, E (ˆ ) = /3, Var (ˆ ) = 8, Var (ˆ ) =. Cuál es mejor estmador de? por qué? 5

153 7. upoga que ˆ y ˆ so estmadores de β co: E ( ˆ ) = β /, E ( ˆ ) = β /3, Var ( ˆ ) = 4 y Var ( ˆ ) = 3. Cuál es mejor estmador de β? Por qué? 8. ˆ y ˆ so estmadores depedetes sesgados de u parámetro descoocdo β, co varazas coocdas y respectvamete: a) Demostrar que ˆ = k ˆ + ( k ) ˆ també es u estmador sesgado de β, para cualquer valor de k; b) Ecotrar el valor de k que mmza la varaza de ˆ. 9. ea Y ua varable aleatora co meda y varaza σ. Dadas dos muestras aleatoras de tamaños y co medas muestrales y y y respectvamete. a) Demostrar que: Y b y ( b) y, 0 b, es estmador sesgado de. b) Asumedo que y y y so depedetes, hallar el valor de b que mmza la varaza de Y. 0. E base a ua muestra aleatora de tamaño m de la dstrbucó bomal co parámetros y p, determe el estmador máxmo verosíml de dchos parámetros.. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó de Pascal o bomal egatva, determe el estmador máxmo verosíml del parámetro p.. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó gamma co parámetros α = y β, determe el estmador máxmo verosíml del parámetro β. 3. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó expoecal co parámetro λ, se pde: a) Determar el estmador máxmo verosíml del parámetro λ. b) Es efcete el estmador obtedo para el parámetro? 4. Basados e ua muestra aleatora de tamaño, hallar el estmador de mometos para el parámetro p, de la dstrbucó Beroull. 5. Basados e ua muestra aleatora de tamaño, hallar el estmador de mometos para el parámetro p, de la dstrbucó Geométrca. 6. Basados e ua muestra aleaatora de tamaño m, hallar el estmador de mometos para el parámetro p, de la dstrbucó bomal. 53

154 7. Basados e ua muestra aleatora de tamaño, hallar el estmador de mometos para el parámetro p, de la dstrbucó Pascal o bomal egatva. 8. ea ua varable aleatora co dstrbucó uforme e el tervalo [-, a]. Basado e ua muestra aleatora de tamaño, halle el estmador de a por el método de los mometos. 9. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó gamma co parámetros α = y β, determe el estmador de mometos del parámetro β. 0. E base a ua muestra aleatora de tamaño de la dstrbucó de Pareto determe el estmador de mometos del parámetro B. 54

155 Capítulo 5. ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Que hace que las cosas dfícles parezca fácles, es el educador Emerso CONTENIDO 5. Itervalo de cofaza para la meda y tamaño de muestra. 5. Itervalo de cofaza para el total (coocda la meda). 5.3 Itervalo de cofaza para la proporcó y tamaño de muestra. 5.4 Itervalo de cofaza para el total (coocda la proporcó). 5.5 Itervalo de cofaza para la dfereca de medas. 5.6 Itervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes. 5.7 Itervalo de cofaza para la meda ( < 30). 5.8 Itervalo de cofaza para la varaza. 5.9 Itervalo de cofaza para la razó de varazas. 5.0 Itervalo de cofaza para la dfereca de medas ( y m <30). 5. Ejerccos resueltos. 5. Ejerccos propuestos. E el capítulo ateror se establecero ua sere de procedmetos para determar estmadores y estmacoes de los parámetros a través de u solo valor, buscado també alguas bodades para dchos estmadores. E este capítulo, se preseta los aspectos fudametales de la estmacó por tervalos de cofaza, es decr la aproxmacó al valor del parámetro a través de u rago de valores, como u complemeto de la estmacó putual. Cuado fermos usado muestras, o teemos garatía de que la coclusó obteda sea exactamete correcta. embargo, la estadístca permte cuatfcar el grado de cofabldad y el error asocado a la estmacó (la precsó de la estmacó). El objetvo de la estmacó por tervalos de cofaza es usar ua muestra para obteer u rago de posbles valores para el parámetro y sea los que mejor lo represeta. 55

156 Defcó.- El procedmeto de determar u tervalo [a, b] que compreda u parámetro poblacoal θ co certa probabldad - α, se llama estmacó por tervalos. E geeral, para cualquer parámetro θ y su estmador ˆ, el tervalo de cofaza será: ˆ ˆ ˆ ˆ P( a b) P( k ˆ k ˆ) P k k Dode: a = Límte feror del tervalo de cofaza. b = Límte superor del tervalo de cofaza. k = ua costate postva que correspode al valor de la dstrbucó del estmador para ua probabldad α. - α = Nvel de cofaza (probabldad de que el parámetro poblacoal este compreddo e el tervalo) cuyo valor se toma de 0.90, 0.95 o Ejemplo.- í α = 0.95 se dce que se tee u tervalo de cofaza del 95% y que la probabldad de que el tervalo cotega el verdadero valor del parámetro es del 95%. Es decr, que s para muestras dsttas y bajo el msmo procedmeto se costruye el tervalo repetdamete, 95 de cada 00 de estos tervalos, cotedrá el parámetro y 5 de ellos o. e puede pesar que sgfca certeza, segurdad y α sgfca resgo. La segurdad meos el resgo, es decr - α da, por lo tato, el coefcete de cofaza de uestras afrmacoes. E el caso ateror, se tee ua cofaza de que 95 de cada 00 tervalos que se extraga como muestra, cotedrá el verdadero valor del parámetro. Pero ua vez determado el tervalo, es decr, ua vez calculados umércamete los extremos, ya o debe hablarse e térmos de cofabldad e térmos probablístcos, pues la stuacó pasa a ser completamete determístca. De tal maera, asocado a u tervalo de cofaza ya calculado, se tee ua probabldad 0 ó de que cotega al parámetro a estmar y o hay otra opcó, ya que lo cotee o o lo cotee. 56

157 Resumedo, los extremos del tervalo so varables aleatoras, metras que el parámetro a determar es costate. Los pasos a segur para costrur tervalos de cofaza para u parámetro, so:. Fjar el vel de cofaza α que se desea e la estmacó.. Extraer la muestra y calcular el o los estadístcos ecesaros. 3. Determar la dstrbucó muestral (ormal estádar Z, t, ch cuadrado, F, etc.) que tee el estadístco empleado, el msmo que debe ser ua fucó del estmador y del parámetro, es decr f (ˆ, θ). 4. Coocda la dstrbucó del estadístco y el vel de cofaza, se establece la relacó: α = P[ d f (ˆ, θ) d ]. Dode d y d so valores obtedos de acuerdo a la dstrbucó muestral. 5. Detro de la probabldad se trabaja las desgualdades de modo tal que al cetro quede el parámetro θ y e los extremos los límtes feror y superor de cofaza buscados, depededo del estmador y de los valores d y d. e verá los casos paramétrcos, es decr aquellos e los que se tee coocmeto del tpo de dstrbucó de la poblacó o del estmador (Beroull, Bomal, Posso, Normal, t, ch-cuadrado, F, etc.) los msmos que estudamos e los capítulos y 3. Trabajaremos prmero u Caso Geeral co muestras grades ( 30) los tervalos de cofaza para la meda, la proporcó P, la dfereca de medas - Y, la dfereca de proporcoes P P, los totales coocda la meda y la proporcó, ya que sus estmadores tee dstrbucó ormal y la determacó de los tervalos de cofaza para cada uo de ellos es smlar. Es decr, que sí ˆ ~ N[θ, ˆ ] etoces: ˆ Z ~ N ( 0, ). Así teemos: ˆ Meda: N(, / ) y ). Z ( ) ~ N(0, / Total: ˆ N ˆ N NN, N y 57 N N Z ~ N(0, ) N

158 Df. Medas: - Y ~ N( Y, Y ) y Z Y ) ( Y ) Y ~ N(0, ) Proporcó: p PQ N P, y p P Z ~ N(0, ) PQ Total: Aˆ NPˆ Np NNP, N y p Z Np NP ~ N(0, ) N p Df. Proporc.: p p ~ N(P P, p p ) y Z p p ( P P) p p ~ N(0, ) Para todos ellos, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ - Z 0 Z Z 0 ]... () Dode los valores Z 0 so smétrcos, de modo tal que cetralza la probabldad - α y se determa como Z 0 = Z, cuyos valores so ubcados e la tabla de la dstrbucó ormal estádar. Así teemos: - α α/ Z 0 = Z Z 0 = Z 0.95 = Z 0 = Z = Z 0 = Z =.575 Reemplazado la v.a. ˆ Z e () y trabajado co la desgualdad buscado ˆ dejar al cetro el parámetro θ, la probabldad queda como: α = P [ - Z 0 Z Z 0 ] = P [ - ˆ Z ˆ Z ] Multplcado por el error estádar del estmador ˆ e la desgualdad: 58

159 α = P [ - Z ˆ ˆ - θ Z ˆ ] Restado el estmador ˆ e la desgualdad α = P [-ˆ - Z ˆ - θ -ˆ + ˆ ] Z Multplcado por (-) y mateedo el setdo de la desgualdad, se tee: α = P [ˆ - Z ˆ θ ˆ + ˆ ] Z A partr del cual se obtee el tervalo de cofaza para el parámetro θ, cuyo estmador ˆ ~ N[θ, ˆ ], sguete: El parámetro θ [ˆ - Z 0 ˆ, ˆ + Z 0 ˆ ] co el 00 ( α) % de cofaza. Dode el error de estmacó es E = ± Z 0 ˆ. Resummos el Caso Geeral, señalado que para obteer tervalos del 00 ( - α)% de cofaza para parámetros θ, cuyo estmador sgue dstrbucó ormal ˆ ~ N[θ, ˆ ], al valor del estmador ˆ se le debe restar o sumar el error de estmacó E = ± Z 0 ˆ. Utlzado este resultado veamos rápdamete la determacó de tervalos de cofaza para los parámetros poblacoales: la meda, la dfereca de medas, la proporcó, la dfereca de proporcoes y los totales. Meda : Z, Z Total : N N N Z, N N Z Proporcó : P p Z p, p Z p Total : N P N p N Z p, N p N Z p 59

160 60 Df. Medas : Y Y Y Z Y Z Y ) (, ) ( Df. Proporc. : ) (, ) ( p p p p Z p p Z p p P P 5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y TAMAÑO DE MUETRA ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó dstrbuda co meda descoocda y varaza coocda. abemos que el estmador de la meda poblacoal, es la meda muestral, y que para sufcetemete grade ( 30) por el teorema cetral del límte: ) /, ( N y Z / ) ( ~ N(0, ). Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: α = P [ - z 0 Z z 0 ] = / Z Z P Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad el parámetro poblacoal, se obtee: α = Z Z P A partr del cual se deduce el tervalo de cofaza para la meda poblacoal sguete: Z Z, co el 00 ( α ) % de cofaza. las muestras se toma s reposcó de ua poblacó fta de tamaño N, debe emplearse el factor de correccó por ftud y el tervalo será:, N N Z N N Z al 00( α ) % de cofaza.

161 Dode el error de estmacó E para la meda es: E Z ó E Z 6 N N La logtud del tervalo de cofaza para la meda es E. Ejemplo e hace u estudo de mercado, para determar la veta promedo de ua ueva marca de gaseosas, durate u mes e ua cadea de tedas. Los resultados para ua muestra de 36 tedas dcaro vetas promedo de /000 co ua desvacó estádar de /0. Calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95% para la verdadera veta promedo e la cadea de tedas. olucó = 000, = 0, = 36. E la tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z 0 = Z =.96 Etoces: Є [ ± Z 0 / ] = [000 ±.96x 0/6] = [000 ± 39.0] Luego: Є [960.80, 039.0] /. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la verdadera veta meda mesual de gaseosas, e la cadea de tedas, se ecuetra etre / y / co el 95% de cofaza. TAMAÑO DE MUETRA PARA ETIMAR LA MEDIA µ e sabe que: N(, / ) ( ) E Z / / Elevado al cuadrado y despejado se obtee el tamaño cal de muestra sguete: Dode: 0 Z E Z = valor de la abscsa de la dstrbucó ormal estádar para u vel de cofaza ( α) dado. σ = varaza de la varable e estudo. se descooce se estma co ua muestra pasada o recete ( ).

162 E = - µ = error máxmo permsble. la fraccó cal de muestreo f = 0 / N 0.05 ó N = 0. f = 0 / N > 0.05 es ecesaro el factor de correccó para poblacoes ftas y se ajusta el tamaño de muestra así: 0 0 N Ejemplo 3 E el estudo de mercado del ejemplo, para estmar la veta promedo mesual de ua ueva marca de gaseosas, Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que dfera de µ e meos de /. 30, co el 95 % de cofaza? olucó Datos: = 0, E = - µ = /. 30 y segú la tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z = Z =.96 Etoces: 0 Z.96 x0 E 30 6 tedas. Rpta. 5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL TOTAL (coocda la meda) ea,,..., ua muestra aleatora de tamañazo de ua poblacó de tamaño N, dstrbuda co meda descoocda y varaza coocda. abemos que el estmador del total poblacoal = N, es N sufcetemete grade ( 30) por el teorema cetral del límte:, y que para ˆ N ˆ N N N, N y Z N N ~ N(0, ) N Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: 6

163 α = P [ - z 0 Z z 0 ] = P Z N N Z N / Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad el total poblacoal N, se obtee: α = P N NZ N N NZ A partr del cual se deduce el tervalo de cofaza para el total poblacoal N sguete: N N cofaza. NZ, N NZ co el 00 ( α ) % de las muestras se toma s reposcó de ua poblacó fta de tamaño N, debe emplearse el factor de correccó por ftud y el tervalo será: N N NZ N, N NZ N N N al 00( α ) % de cofaza. Observe que s se quere costrur tervalos de cofaza para el total poblacoal, basta co multplcar por N los límtes ecotrados para la meda poblacoal; y vceversa, s se cooce el tervalo de cofaza para el total poblacoal, etoces dvdrlo etre N para determar los tervalos para la meda poblacoal. Ejemplo 4 E el ejemplo, s el úmero de tedas de la cadea es 000, calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95% para determar el moto total mesual de las vetas de la ueva marca de gaseosas e la cadea de tedas. olucó 63

164 E el ejemplo, se ha determado que la verdadera veta meda mesual de gaseosas e la cadea de tedas es: Є [960.80, 039.0] /. co el 95% de cofaza. Etoces, para hallar los límtes de cofaza para la real veta total mesual de gaseosas, se multplca a los límtes aterores por 000. Es decr, T = N Є [( 000x 960.8), ( 000x039.)] T = N Є [ , ] /. co el 95% de cofaza. Iterpretacó: el moto total mesual por la veta de gaseosas se ecuetra etre / y co el 95% de cofaza. 5.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Y TAMAÑO DE MUETRA ea,,..., ua muestra aleatora de tamañazo de ua poblacó bomal co parámetro P. abemos que el estmador de la proporcó poblacoal P, es la proporcó muestral p, y que para sufcetemete grade ( 30) por el teorema cetral del límte: p PQ N P, y p P Z PQ ~ N(0, ) Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: α = P [ - Z 0 Z Z 0 ] = P Z p P Z PQ Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad la proporcó poblacoal P, se obtee: α = P p Z PQ P p Z PQ Luego el tervalo de cofaza para la proporcó poblacoal P es: 64

165 P p Z PQ PQ, p Z co el 00 ( α ) % de cofaza. Como los valores poblacoales P y Q = - P se descooce, se estma medate p y q = - p, resulta etoces el tervalo de cofaza para la proporcó poblacoal P sguete: P p Z pq pq, p Z co el 00 ( α ) % de cofaza. las muestras se toma s reposcó de ua poblacó fta de tamaño N, debe emplearse el factor de correccó por ftud y el tervalo será: P p Z pq N pq N, p Z al 00 ( α ) % de cof. N N TAMAÑO DE MUETRA PARA ETIMAR LA PROPORCIÓN P e sabe que: p PQ N P, Z p P PQ E PQ Elevado al cuadrado y despejado se obtee el tamaño cal de muestra sguete: Dode: Z PQ 0 E Z = valor de la abscsa de la dstrbucó ormal estádar para u vel de cofaza ( α) dado. P = proporcó de éxtos para la varable e estudo. se descooce se estma co ua muestra pasada o recete (p). Q = P. E = p - P = error máxmo permsble. la fraccó cal de muestreo f = 0 / N 0.05 ó N = 0. f = 0 / N > 0.05 es ecesaro el factor de correccó para poblacoes ftas y se ajusta el tamaño de muestra así: 0 0 N 65

166 Ejemplo 5 El audtor de ua depedeca guberametal de proteccó del cosumdor, quere determar la proporcó de reclamos sobre pólzas de efermedades que paga el seguro, e u plazo de dos meses de haber recbdo el reclamo. e seleccoa ua muestra aleatora de 00 reclamos y se determa que 80 fuero pagados e u plazo de meses después de recbdos. a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la proporcó real de reclamos pagados detro de ese plazo de dos meses; y b) Co u 95% de cofaza, qué tamaño de muestra (reclamos) será ecesaro s desea cometer u error máxmo del 5%? olucó a) = 00, = 80, α = 0.99, Z 0 = Z =.575 p = proporcó muestral de reclamos pagados e el plazo de dos meses. 80 p 0.4, q = p = El tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de reclamos pagados e plazo de dos meses, es: P p Z pq, p Z Reemplazado valores se tee: pq 0.40x x0.60 P ϵ [ ; ] P ϵ [ ; ] Por lo tato: P ϵ [ 0.3 ; ] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- la verdadera proporcó (porcetaje) de reclamos, sobre pólzas pagadas detro del plazo de dos meses de haber recbdo el reclamo, se ecuetra etre 0.3 y (3.% y 48.9%) co el 99% de cofaza. b) Datos: p = 0.40, q = 0.60, E = p - P = 0.05 y segú la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z = Z =.96 Etoces: Z pq.96 x0.40x reclamos. Rpta. E (0.05) 66

167 5.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL TOTAL (coocda la proporcó) ea,,..., ua muestra aleatora de tamañazo de ua poblacó bomal co parámetro P. abemos que el estmador del total poblacoal A = NP, es Np, y que para sufcetemete grade ( 30) por el teorema cetral del límte: Aˆ ˆ NP Np N NP, N p y Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: α = P [ - Z 0 Z Z 0 ] = 67 P Z Np NP Z ~ N(0, ) N Np NP Z PQ N Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad el total poblacoal NP, se obtee: α = P N p N Z PQ N P N p N Z p PQ A partr del cual se deduce el tervalo de cofaza para el total poblacoal NP sguete: NP N p N Z PQ PQ, N p N Z co el 00 ( α ) % de cofaza. Como los valores poblacoales P y Q se descooce, se estma por p y q, resulta etoces el tervalo de cofaza para el total poblacoal NP sguete: NP N p N Z pq pq, N p N Z co el 00 ( α ) % de cofaza. las muestras se toma s reposcó de ua poblacó fta de tamaño N, debe emplearse el factor de correccó por ftud y el tervalo será: NP Np NZ pq N pq N, Np NZ al 00 ( α ) % de N N cofaza.

168 Observe que s se quere costrur tervalos de cofaza para el total poblacoal, basta co multplcar por N los límtes ecotrados para la proporcó poblacoal; y vceversa, s se cooce el tervalo de cofaza para el total poblacoal, etoces dvdrlo etre N para determar los tervalos para la proporcó poblacoal. Ejemplo 6 E el problema 6, s e la depedeca guberametal de proteccó del cosumdor hay reclamos sobre pólzas de efermedades que paga el seguro, e u plazo de dos meses de haber recbdo el reclamo. Calcule e terprete u tervalo del 99% de cofaza para el total verdadero de reclamos pagados detro de ese plazo de dos meses. olucó E el ejemplo 6, se ha determado que la verdadera proporcó de reclamos, sobre pólzas pagadas detro del plazo de dos meses de haber recbdo el reclamo, se ecuetra etre 0.3 y co el 99% de cofaza. Etoces, para hallar los límtes de cofaza para el total de reclamos pagados detro del plazo de dos meses, se multplca a los límtes aterores por Es decr, A = N P Є [(5 000 x 0.3), (5 000 x 0.489)] A = N P Є [ 555, 445 ] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: el verdadero total de reclamos, sobre pólzas pagadas detro del plazo de dos meses de haber recbdo el reclamo, se ecuetra etre 555 y 445 reclamos co el 99% de cofaza. 5.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA ea,,..., ua muestra aleatora de tamañazo de ua poblacó de tamaño N, dstrbuda co meda descoocda y varaza coocda. ea també Y, Y,...,Y m ua muestra aleatora de tamañazo m de ua poblacó de tamaño M, dstrbuda co meda Y descoocda y varaza Y coocda. abemos que el estmador de la dfereca de medas poblacoales - Y es la dfereca de medas muestrales - Y, y que para y m sufcetemete grades ( y m 30) por el teorema cetral del límte: 68

169 69 - Y ~ N( Y, Y ) y Y Y Y Z ) ( ) ~ N(0, ) Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: α = P [- Z 0 Z Z 0 ] = ) ( Z Y Z P Y Y Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad el parámetro poblacoal - Y, se obtee: α = Y Y Y Z Y Z Y P ) ( ) ( A partr del cual se deduce el tervalo de cofaza para la dfereca de medas poblacoales - Y sguete: µ - µ Y Y Y Z Y Z Y ) (, ) ( al 00 (- α)% de cof. Dode, el error estádar de la dfereca de medas muestrales Y = Y es: m Y Y o M m M m N N Y Y se descooce las varazas poblacoales, se estma co las varazas muestrales y el error estádar de la dfereca de medas muestrales Y es: m Y Y o M m M m N N Y Y Ejemplo 7 Muestras del pago por hora a los choferes de camoes, e las cudades e Y, proporcoa los sguetes datos: = $ 5.40, = 30, = $ 0.6 y Y = $ 5.30, m = 30, Y = $ 0.5. a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre los pagos medos por hora a los choferes de camoes de las dos cudades. b) o guales los pagos medos por hora e ambas cudades? olucó

170 a) U tervalo de cofaza para la dfereca de pagos medos por hora a los choferes de ambas cudades vee dado por: Y ( Y ) Z Y, ( Y ) Z Y... () α = 0.95, etoces: Z 0 = Z =.96 Y (0.6) (0.5) Y = $ 0.04 m Reemplazado valores e (): - Y Є [( ).96 (0.04), ( ) +.96 (0.04)] Luego: - Y Є [0.0, 0.8] $ co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca etre los pagos medos por hora a los choferes de camoes de las dos cudades se ecuetra etre $ 0.0 y 0.8 co el 95% de cofaza. b) Respoder a la preguta o guales los pagos medos por hora e ambas cudades? mplca respoder s = Y? o també - Y = 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) - Y o puede ser cero, es decr - Y 0 o Y. Por lo tato, los pagos medos por hora e ambas cudades so dferetes. Rpta. 5.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE upoga que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó bomal, de tamaño N co ua proporcó de éxtos gual a P. ea el úmero de éxtos e la muestra de tamaño, etoces la proporcó muestral de éxtos p, defda como p estma a P. upoga també que se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó bomal, de tamaño N co ua proporcó de éxtos gual a P. ea el úmero de éxtos e la muestra de tamaño, etoces la proporcó muestral de éxtos p, defda como p estma a P. 70

171 7 Para y sufcetemete grade ( y 30) por el teorema cetral del límte: p p ~ N(P P, p p ) y ( ) p p P P p p Z ~ N(0, ) Etoces, para u vel de cofaza α, se tee que: α = P [ - z 0 Z z 0 ] = ) ( Z P P p p Z P p p Trabajado como e el caso geeral y dejado al cetro de la desgualdad la proporcó poblacoal P - P se obtee: α = ) ( ) ( p p p p Z p p P P Z p p P A partr del cual se deduce el tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes poblacoales P - P sguete: P P ) (, ) ( p p p p Z p p Z p p al 00 ( α ) % de cof. Dode p p = p p se obtee a partr de: p p = P Q Q P ó p p = N N P Q N N PQ Como los proporcoes poblacoales P, Q, P y Q se descooce, se estma co las proporcoes muestrales p, q = p, p y q = p, resultado etoces: p p = q p p q o p p = N N q p N N p q

172 Ejemplo 8 Ua empresa de estudos de mercado quere estmar las proporcoes de hombres y mujeres que cooce u producto promocoado a escala acoal. e ua muestra aleatora de 00 hombres y 00 mujeres se determa que 0 hombres y 60 mujeres está famlarzados co el artículo dcado. a) Calcular el tervalo de cofaza de 95 % para la dfereca de proporcoes de hombres y mujeres que cooce el producto. b) o guales las proporcoes de hombres y mujeres que cooce el producto? olucó ea el grupo, el referdo a los hombres y el grupo, a las mujeres. a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que cooce el producto, P - P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.95, etoces Z 0 =.96 Como: = 00, = 0, = 00 y = 60 Etoces: 0 p = 0.0 y p = p p = p q (0.0)( p q (0.30)(0.70) 00 = =.96 (0.055) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) ; ( ) ] = [0.0 ± 0.009] P - P [ ; ] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que cooce el producto, está etre y co el 95% de cofaza. b) La preguta o guales las proporcoes de hombres y mujeres que cooce el producto? mplca pregutar P = P? o també P - P = 0? 7

173 La dfereca P - P = 0 está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), puede ser cero, es decr P - P = 0 o P = P. Por lo tato, las proporcoes de hombres y mujeres que cooce el producto so guales. Rpta. Veamos a cotuacó la costruccó de tervalos de cofaza para la meda poblacoal y la dfereca de medas poblacoales, cuado se trabaja co muestras pequeñas ( < 30), dode es ecesaro utlzar la dstrbucó t de studet. El proceso de costruccó es détco a los determados aterormete. 5.7 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA ( < 30) ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño, de ua varable aleatora co dstrbucó N(, ²), co varaza descoocda, al estudar la dstrbucó t de studet vmos que para muestras pequeñas, < 30, la varable aleatora: T ~ t - / Esta varable aleatora depede de valores coocdos co la formacó muestral, etoces, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ - t 0 T t 0 ]... () Dode los valores t 0 so smétrcos, de modo que cetralza la probabldad - α y se determa como t 0 = de la dstrbucó t de studet. t, Reemplazado la varable aleatora, cuyos valores so ubcados e la tabla T e () y trabajado co la / desgualdad buscado dejar al cetro el parámetro, la probabldad queda como: α = P [- t 0 T t 0 ] = P [ - t 0 / t 0 ] Multplcado por el error estádar del estmador / e la desgualdad: 73

174 α = P [- t 0 / t 0 / ] Restado el estmador e la desgualdad α = P [- - t 0 / t 0 / ] Multplcado por (-) y mateedo el setdo de la desgualdad, se tee: α = P [ - t 0 / + t 0 / ] A partr del cual se obtee el tervalo de cofaza para el parámetro, [ - t 0 /, + t 0 / ] co el 00 ( - α )% de cofaza. El tervalo de cofaza para el total N se determa multplcado el tervalo de cofaza para la meda por el tamaño de la poblacó N, obteédose: N [N - Nt 0 / ; N + Nt 0 / ] co el 00 ( - α )% de Ejemplo 9 cofaza. Ua Uversdad grade ( 000 alumos) quere estmar el úmero promedo de días de efermedad de los estudates durate u año académco; ua muestra de 5 estudates dca que x = 5. días y = 3. días. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% Para: a) el verdadero úmero medo de días de efermedad de los estudates, y b) el verdadero úmero total de días que los estudates se eferma e u año. olucó N = 000 alumos, = 5, x = 5. días y Para α = 0.95, t 0 = t 4, =.064 = 3. días a) El tervalo de cofaza para la meda está dado por: [ - t 0 /, + t 0 / ] Reemplazado valores teemos: [ x 3. 5, x 3. 5 ] = [5. ±.8] Por lo tato: [3.9 ; 6.48] días co el 95% de cofaza. Rpta. 74

175 Iterpretacó: e la Uversdad el verdadero úmero medo de días de efermedad de los estudates e el año, se ecuetra etre 3.9 y 6.48 días co el 95% de cofaza. b) Para hallar el tervalo de cofaza para el total se multplca por N = 000 el tervalo de cofaza para la meda ecotrado e a) y se obtee: Total = N [ 000 (3.9), 000 (6.48) ] Por lo tato: Total = N [47,040 ; 77,760 ] días co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: el verdadero úmero total de días que los estudates se eferma e u año, se ecuetra etre 47,040 y 77,760 días co el 95% de cofaza. 5.8 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Al estudar la dstrbucó ch-cuadrado determamos que s,,..., es ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó ormal co meda y varaza ², etoces: La fucó de la varaza muestral x ² ~ ² x. Esta varable aleatora depede de valores coocdos co la formacó muestral, etoces, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ a x b ]... () Los valores a y b so valores ch-cuadrados, obtedos e la tabla, co grados de lbertad, cetralzado la probabldad - α y se determa como: a = x y b =, x,, los msmos que so ubcados e la tabla, de la dstrbucó ch cuadrado. Reemplazado la v.a. x ² e () y trabajado co la desgualdad ² buscado dejar al cetro el parámetro ², la probabldad queda como: α = P [ a x b ] = P [ a 75 ² ² b ]

176 Dvdedo etre ( ) teemos: a b α = P ( ) ( ) Tomado el verso detro de la probabldad y buscado mateer el setdo de la desgualdad, se tee que: ( ) ( ) α = P b a Luego se tee que el tervalo de cofaza para la varaza ², está dado por: ( ) ( ) ², b a = ( ) x, / ( ), x, / al 00 ( α)% de cofaza. U tervalo de cofaza para la desvacó estádar se obtee sacado raíz cuadrada a cada uo de los límtes del tervalo ateror, etoces: ( ) b, ( ) a = ( ) x, /, ( ) x, / al 00( α)% de cofaza Ejemplo 0 Para el ejemplo 9, e la Uversdad grade se estuda el úmero de días que los estudates se eferma durate el año académco, ua muestra de 5 estudates dca que x = 5. días y = 3. días. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para la varaza y la desvacó estádar del úmero de días que los estudates se eferma. olucó El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 5 y α = 0.95, etoces: a = x =.4 y b = 4, 0.05 x = , e tee además la desvacó estádar muestral = 3. 76

177 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: (5 )(3.) (5 )(3.) ², ² [5.85, 8.60 ] (días)² co el 95% de cofaza. Rpta. [.4, 4.3 ] (días) co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la varaza del úmero de días que los estudates eferma e la Uversdad durate el año académco, se ecuetra etre 5.85 y 8.60 (días)² co el 95% de cofaza. Metras que la desvacó estádar esta etre.4, 4.3 (días) co el 95% de cofaza. 5.9 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZÓN DE VARIANZA Cuado estudamos la dstrbucó F, ecotramos que s se toma dos muestras aleatoras depedetes de tamaños y m, de las poblacoes ~ N (, ) e Y ~ N Y, Y varazas muestrales estaba dada por:, la dstrbucó de probabldades para la razó de F ~ F, m - Y Y Esta varable aleatora depede de valores coocdos co la formacó muestral, etoces, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ c F d ]... (3) Los valores c y d so valores de la varable aleatora F, de modo tal que cetralza la probabldad - α y se determa como: c = F y d =, m, F,, m, los msmos que so ubcados e la tabla 4 de la dstrbucó F. Y Reemplazado la varable aleatora F e (3) y trabajado co la desgualdad buscado dejar al cetro el parámetro razó de varazas Y poblacoales / Y, la probabldad queda como: Y α = P [ c F d ] = P [ c 77 Y d ]

178 Y Multplcado e la desgualdad por se tee que: Y α = P [ c Y Y d Tomado el verso detro de la probabldad y buscado mateer el setdo de la desgualdad, obteemos: α = P [ d Y Y c Y ] ] α = P [ F Y Y, m, F Y, m, ] Etoces, el tervalo de cofaza para la razó de varazas / Y, está dado por: Y / d Y ; / c Y = F / Y, m, ; F / Y, m, al 00 ( α)% de cof. Ejemplo e hace 6 esayos para cada uo de los tratametos e Y, co las sguetes varazas maestrales = 35 y Y = 0. a) Calcule e terprete u tervalo del 95% de cofaza para / Y b) o guales las varazas poblacoales de e Y? olucó a) El tervalo de cofaza solctado es: Y / d Y ; / c Y Datos: = m = 6, = 0, Y = 35. Como α = 0.95, etoces d = F 5, 5, =.86 y c = F 5, 5, 0.05 = / F 5, 5, = /.86 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 78

179 Y 35 /0.86 ; 35 / = [.; 0.03] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la razó de varazas de las poblacoes e Y se ecuetra etre. y 0.03 co el 95% de cofaza. b) Pregutar s o guales las varazas poblacoales de e Y? es smlar a pregutar s = Y? o també s Y =? Para respoder a esto últmo, basta co observar s el valor se ecuetra e el tervalo costrudo. Como el valor o perteece al tervalo de cofaza, etoces: Y Y. Por lo tato, las varazas poblacoales de e Y o so guales. Rpta. e el tervalo de cofaza para la razó de varazas so guales (homogéeas) caso cotraro, so dferetes (heterogéeas) Y =, las varazas 5.0 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA ( y m <30) Cuado se quere determar tervalos de cofaza para la dfereca de medas co muestras aleatoras depedetes pequeñas ( y m < 30) se tee que tomar e cueta s las varazas de las poblacoes ormales de dode se extrae so homogéeas o heterogéeas, usado el tervalo de cofaza para la razó de varazas propuesto e el acápte ateror. A) Caso de varazas homogéeas ( = Y = ²) ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño, de ua varable aleatora co dstrbucó N(, ²). ea també Y, Y,..., Y m ua muestra aleatora de tamaño m de ua varable aleatora Y, co dstrbucó N( Y, ²). De acuerdo a lo estudado e la dstrbucó t de studet vmos que para muestras pequeñas, < 30 y m < 30, la varable aleatora: 79

180 T Y Y m m Y m ~ t + m - El estmador de la varaza comú ² es: c p ( ) ( ) represeta la varaza combada (o poderada) de las varazas muestrales. Esta varable aleatora depede de valores coocdos co la formacó muestral, etoces, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ - t 0 T t 0 ]... (4) Los valores t 0 so smétrcos, de modo tal que cetralza la probabldad - α y se determa como t 0 = t, cuyos valores so ubcados e la, m tabla de la dstrbucó t de studet. Reemplazado la varable aleatora T teemos: Y c m Y Y α = P [- t 0 T t 0 ] = P [- t 0 c m Y t 0 ] Y e (4) Trabajado co la desgualdad buscado dejar al cetro el parámetro - Y, de maera smlar a los tervalos aterores, la probabldad queda como: α = P [ ( - Y ) - t 0 c - Y ( - Y ) + t 0 m ] c m A partr del cual se tee que el tervalo de cofaza para la dfereca de medas poblacoales - Y está dado por: - Y [( - Y ) t 0 ] al 00(- α )% de cofaza. c m Ejemplo e compararo dos marcas de cgarrllos, e Y, respecto a su cotedo medo de cota e mlgramos; dos muestras aleatoras de cgarrllos de cada marca, dero estos resultados: = 4.3, =, =.9 y Y = 5.7, m =, Y =

181 a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre los cotedos medos de cota para las dos marcas de cgarrllos. b) o guales los cotedos medos de cota? olucó a) Prmero determamos s las varazas so guales co el tervalo de cofaza para la razó de varazas: Y / d Y ; / c Y Datos: = m =, =.9 = 8.4, 8 Y = 3.8 = Como α = 0.95, etoces d = F 0, 0, =.46 y c = F 0, 0, 0.05 = / F 0, 0, = /.46 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: Y 8.4/ ; 8.4/ Dado que el tervalo toma el valor, es decr = [0.4;.43] co el 95% de cofaza. Y =, etoces = Y. Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas del cotedo de cota so guales, el tervalo de cofaza para la dfereca etre los cotedos medos de cota para las dos marcas de cgarrllos está dado por: - Y [ ( - Y ) t 0 Datos del problema: ( ) ( m ) m m Y = 4.3, =, =.9 y Y = 5.7, m =, Y = 3.8. Como = m =, los grados de lbertad de la t so + m = + = 40 α = 0.95, t 0 = t 40, =.0. Reemplazado valores e la fórmula para el tervalo de cofaza, teemos que: - Y [( ).0 ( )(.9) ( )(3.8) - Y [ ( ).0(.043) ] - Y [ ] Por lo tato: - Y [-3.5, 0.7] mg. de cota co el 95% de cofaza. ] Rpta. ]

182 Iterpretacó: la dfereca etre los cotedos medos de cota para las marcas de cgarrllos e Y se ecuetra compredda etre -3.5, 0.7 mg. co el 95% de cofaza. b) Respoder a la preguta o guales los cotedos medos de cota e los cgarrllos e Y? mplca pregutar = Y? o també - Y = 0? La dfereca - Y = 0 está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), es decr - Y = 0 o = Y. Por lo tato, los cotedos medos de cota e los cgarrllos e Y so guales. 8 Rpta. B) Caso de varazas heterogéeas ( Y ) ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño, de ua varable aleatora co dstrbucó N(, ). ea també Y, Y,..., Y m ua muestra aleatora de tamaño m de ua varable aleatora Y, co dstrbucó N( Y, Y ). las varazas so dferetes, se cumple que: Dode: T Y Y m Y ~ t H H (valor etero) represeta los grados de lbertad. Esta varable aleatora depede de valores coocdos co la formacó muestral, etoces, dado u vel de cofaza α es posble hallar: α = P [ - t 0 T t 0 ]... (5) Los valores t 0 so smétrcos, de modo tal que cetralza la probabldad - α y se determa como t 0 = de la dstrbucó t de studet. t, H Reemplazado la varable aleatora teemos:, cuyos valores so ubcados e la tabla 3 T Y Y m Y e (5)

183 Y Y α = P [- t 0 T t 0 ] = P [- t 0 Y m t 0 ] Trabajado co la desgualdad buscado dejar al cetro el parámetro - Y, de maera smlar a los tervalos aterores, la probabldad queda como: α = P [ ( - Y ) - t 0 Y Y - Y ( - Y ) + t 0 ] m m A partr del cual se tee que el tervalo de cofaza para la dfereca de medas poblacoales - Y está dado por: - Y [( - Y ) t 0 Y m ] al 00(- α )% de cofaza. Ejemplo E u estudo para determar s hay dfereca e el salaro semaal de los hombres y las mujeres de ua gra empresa, se toma ua muestra de 8 hombres ecotrádose u promedo de /. 40 y ua desvacó estádar de /. 50, metras que e ua muestra de 5 mujeres se ecotró u promedo de /. 360 y ua desvacó estádar de /. 90. e pde: a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre los salaros medos semaales de hombres y mujeres. b) o guales los salaros medos semaales de hombres y mujeres? olucó a) Prmero determamos s las varazas de los salaros so guales co el H tervalo de cofaza para las varazas: M H / d M ; H / c M Datos: H = 8, M = /. 360, H = /. 40, H = 50 = 500, M = 5, M = 90 = 800. Como α = 0.95, etoces d = F 7, 4, =.90 y c = F 7, 4, 0.05 = / F 4, 7, = /.75 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 83

184 500 / /800 ; H M cofaza. H Dado que el tervalo o toma el valor, es decr M. 84 = [0.; 0.85] co el 95% de M, etoces H Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de los salaros semaales de hombres y mujeres so dferetes, el tervalo de cofaza del 95% para la dfereca de los salaros medos de hombres y mujeres está dado por: H - M [( H - M ) t 0 H Dode t 0 = t H, = t 0, =.086. Dode: H = H H H H H M M M M M H M ] M = = Reemplazado valores e el tervalo de cofaza propuesto, se tee: H - M [(40-360).086 x ] = [ ] 8 5 Por lo tato: H - M [5.65 ; 4.35] /. co el 95 % de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca etre los salaros medos semaales de hombres y mujeres se ecuetra compreddo etre / y / co el 95% de cofaza. b) Respoder a la preguta o guales los salaros medos semaales de hombres y mujeres? mplca respoder s H = M? o també H - M = 0? La dfereca H - M = 0 o está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), es decr H - M 0 o H M. Por lo tato, los salaros medos semaales de hombres y mujeres so dferetes. Rpta.

185 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UN OLO PARÁMETRO I.C. PARA LA MEDIA POBLACIONAL: μ Caso. Cuado la muestra es aleatora de ~ N (μ, σ ) co σ coocda o 30. Itervalo Z ( ). Cuado la muestra es aleatora de ~ N (μ, σ ) co σ descoocda, < 30. t ( (, ) ) I.C. PARA EL TOTAL POBLACIONAL: Nμ A los I.C. para la meda μ multplcarlos por el tamaño de la poblacó N. I.C. PARA LA VARIANZA POBLACIONAL: σ Caso La muestra es aleatora de ua poblacó ormal. σ ϵ Itervalo ( ) (, ) ( ), (, ) I.C. PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL: p Caso Itervalo La muestra es aleatora y su tamaño es grade ( 30) pˆ Z pq ˆ ˆ I.C. PARA EL TOTAL POBLACIONAL: Np Al I.C. para la proporcó p multplcarlo por el tamaño de la poblacó N. Tamaño de muestra para µ Z0 0 0 E 0 N Tamaño de muestra para p Z0 pq ˆˆ 0 0 E N 0 85

186 86 INTERVALO DE CONFIANZA PARA DO PARÁMETRO I.C. PARA LA RAZÓN DE VARIANCIA: / Caso Itervalo Dos muestras aleatoras depedetes de poblacoes ormales. ϵ,,,, /, / m m F F I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA POBLACIONALE: μ μ Caso Itervalo. Dos muestras aleatoras depedetes, de poblacoes ormales co σ y σ coocdas y y 30. Z. Dos muestras aleatoras depedetes de poblacoes ormales co σ y σ descoocdas pero guales (varazas homogéeas) y y < 30., t c Co ) ( ) ( c 3. Dos muestras aleatoras depedetes de poblacoes ormales co σ y σ descoocdas pero dferetes (varazas heterogéeas) y y < 30,, t H Co: H, valor etero. I.C. PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE POBLACIONALE: p p Caso Itervalo Dos muestras aleatoras depedetes co y 30 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q p q p Z p p

187 87 5. PROBLEMA REUELTO. Demostrar que: a) Las desgualdades µ - E x µ + E, so equvaletes a x - µ E b) ) ( / / Z Z Z P y Z / etoces: Z Z P olucó a) E la desgualdad: µ - E x µ + E se resta µ e cada membro y se obtee: - E x - µ E x - µ E b) E la expresó ) ( / / Z Z Z P se reemplaza Z por: Z / y se obtee: α = ) / ( / / Z Z P Multplcado e la desgualdad ateror por / queda: α = Z Z P Restado e la desgualdad: α = Z Z P Multplcado por - y mateedo el setdo de la desgualdad se tee: α = Z Z P. e desea estmar el peso total de ua partda de 0,000 arajas. Para ello se seleccoa ua muestra aleatora de 4 arajas, la cual da ua meda de 00 gramos y ua desvacó estádar de 5 gramos. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para:

188 a) El verdadero peso promedo (μ), el peso total (Nμ) y la varaza verdadera (σ ) de los pesos de las arajas. b) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de 3 gr. co el 99 % de cofaza? olucó Datos: N = 0000 arajas, = 4, = 00 gr. = 5 gr. α = 0.95 a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda y el total, s α = 0.95 e la Tabla, Zo = Z =.96. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: Z N N, Z. () N N Dode el error de estmacó para la meda es: E = Z N = 7.64 gr. N Reemplazado e () se tee: µ ϵ [ ; ] = [9.36 ; 07.64] gr. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero peso medo de las arajas se ecuetra etre 9.36 y gr. Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (Nμ) se multplca los límtes de la meda por N = 0000, así: Total = Nµ ϵ 0000 [9.36 ; 07.64] = [ ; ] gr. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero peso total de las arajas se ecuetra etre y gr. El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 4 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 40, 0.05 = 4.4 y b = x 40, = 59.3 e tee además la desvacó estádar muestral = 5 88

189 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: (4)(5) (4)(5) ², Por lo tato: ² [4.59 ; ] (gr.)² co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la varaza del peso de las arajas se ecuetra etre 4.59 y (gr.)² co el 95% de cofaza. Z b) El tamaño de muestra está dado por: 0 E Dode: x - µ = E = 3, α = 0.99 e la Tabla, Z = Z =.575 y = 5. Reemplazado e la fórmula para se tee: = arajas. Rpta. 3 Iterpretacó.- para estmar el peso medo de las arajas co el 99% de cofaza y u error máxmo de 3 gramos se requere de 5 arajas. 3. U proceso está programado para embotellar la catdad meda de 750 mlltros de gaseosa. e toma ua muestra aleatora de 4 botellas, resultado ua meda de 745 ml. y ua desvacó típca de ml. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % para: a) El verdadero cotedo promedo (μ) de gaseosa e las botellas. b) La varaza verdadera (σ ) del cotedo de gaseosa e las botellas. olucó Datos: = 4 botellas, = 745 ml. = ml. α = 0.99 a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda, s α = 0.99 E la Tabla, Zo = Z =.575. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: Z, Z. () Dode el error de estmacó para la meda es: 89

190 E = Z.575 = 4.83 ml. 4 Reemplazado e () se tee: µ ϵ [ ; ] = [740.7 ; ] ml. co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, el verdadero cotedo medo de las botellas de gaseosa se ecuetra etre y ml. b) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 4 y α = 0.99, etoces e la Tabla : a = x 40, = 0.7 y b = x 40, = 66.8 e tee además la desvacó estádar muestral = Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: (4)() (4)() ², ² [86.3 ; 78.6] (ml.)² co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la varaza del cotedo de las botellas de gaseosa se ecuetra etre 4.59 y (ml.)². 4. Ua muestra de 75 cletes de certa gasolera dca que el úmero medo de galoes comprados es de = 4.3 y la desvacó estádar de =.7 galoes. a) Ecuetre E tal que tegamos u 95 % de cofaza de que el error de estmacó es meor que E al usar para estmar μ. b) Costruya u tervalo de cofaza del 95 % para el úmero medo de galoes de gasola comprados. c) Costruya u tervalo de cofaza del 95 % para σ. d) Ecuetre el tamaño de muestra ecesaro para lograr u 95 % de cofaza de que el error máxmo de estmacó sea meor que 0.5 galoes. olucó 90

191 Datos: = 75 cletes, = 4.3 galoes, =.7 galoes, α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. a) El error de estmacó para la meda E es: E = Z.7.96 = 0.6 galoes. 75 b) El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: Z Reemplazado e () se tee:, Z. () µ ϵ [ ; ] = [3.69 ; 4.9] galoes co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- e la gasolera, el verdadero cosumo medo de gasola se ecuetra etre 3.69 y 4.9 galoes co el 95% de cofaza. c) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 75 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 74, 0.05 = 5. y b = x 74, = 99.7 e tee además la desvacó estádar muestral =.7 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: (75 )(.7) (75 )(.7) ², ² [5.4 ; 0.35] (galoes)² co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la varaza de la gasola comprada se ecuetra etre 5.4 y 0.35 (galoes)². Z d) El tamaño de muestra está dado por: 0 E Dode: x - µ = E = 0.5 galoes, α = 0.95 e la Tabla, Z = Z =.96 y =.7. Reemplazado e la fórmula para se tee: 9

192 = cletes. Rpta. 0.5 Iterpretacó.- para estmar el cosumo medo de gasola co el 95% de cofaza y u error máxmo de 0.5 galoes se requere ua muestra de cletes. 5. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 50 gramos de café. e toma ua muestra aleatora de 36 bolsas, resultado ua meda de 46.5 gramos y ua desvacó típca de gramos. a) Costruya u tervalo de cofaza del 95% para el verdadero peso medo de las bolsas co café. b) e puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas? c) Costruya u tervalo de cofaza del 95% para la verdadera varaza de los pesos de las bolsas co café. aceptaría usted que σ = 50 gr por bolsa? olucó Datos: µ = 50 gr., = 36 bolsas, = 46.5 gr., = gr., α = 0.95 a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: Z, Z. () Dode el error de estmacó para la meda es: E = Z.96 = 3.9 gr. 36 Reemplazado e () se tee: µ ϵ [ ; ] = [4.58 ; 50.4] gr. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero cotedo medo de las bolsas co café se ecuetra etre 4.58 y 50.4 gr. b) No se puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de café, puesto que µ = 50 gr., está e el tervalo de cofaza obtedo e a). 9

193 c) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 36 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 35, 0.05 = 0.6 y b = x 35, = 53. e tee además la desvacó estádar muestral =. Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: (36 )() (36 )() ², ² [94.74 ; 44.66] (gr.)² co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la varaza de los pesos de las bolsas co café se ecuetra etre y (gr.)². Nota: No aceptaría que σ = 50 gr por bolsa, ya que el resultado ateror dca que es meor de 50 gr. 6. Para estmar la catdad total de depóstos a la vsta e dólares, u baco comercal seleccoa ua muestra aleatora de 36 cuetas. La muestra da ua meda de $ 5,000 y ua desvacó estádar de $,000. upoedo que el baco tee,000 cuetas a la vsta. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para: a) El verdadero depósto promedo e las cuetas a la vsta. b) La catdad total e depóstos. c) La desvacó estádar verdadera de los depóstos e las cuetas a la vsta. d) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de $ 50 co el 95 % de cofaza? olucó Datos: N =,000 cuetas, = 36, = $ 5,000, = $,000, α = 0.95 a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: 93

194 Z, Z. () Dode el error de estmacó para la meda es: E = Z = $ Reemplazado e () se tee: 36 µ ϵ [5, ; 5, ] = [4, ; 5,36.67] $ co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero depósto medo a la vsta e las cuetas se ecuetra etre 4, y 5,36.67 dólares. b) Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (Nμ) se multplca los límtes de la meda por N =,000, así: Total = Nµ ϵ,000 [4, ; 5,36.67] = [56 079,960 ; 63 90,040] $ co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero total de depóstos a la vsta e las cuetas e dólares se ecuetra etre $ ,960 y 63 90,040. c) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 36 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 35, 0.05 = 0.6 y b = x 35, = 53. e tee además la desvacó estádar muestral =,000. Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: (36 )(000) (36 )(000) ², ² [657, ; 699,09.3] ($)² co el 95% de cofaza. Etoces: [8. ;,303.47] $ co el 95% de cofaza. Rpta. 94

195 Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la desvacó estádar de los depóstos a la vsta e las cuetas se ecuetra etre 8. y, dólares. Z d) El tamaño de muestra está dado por: 0 E Dode: x - µ = E = $ 50, α = 0.95 e la Tabla, Z = Z =.96 y =,000. Reemplazado e la fórmula para se tee: (.96) (,000) 0 = 7 cuetas. Rpta. (50) Iterpretacó.- para estmar el depósto medo a la vsta, co el 95% de cofaza y u error máxmo de $ 50 se requere ua muestra de 7 cuetas. 7. De u área de la cudad e la que habta 500 famlas se extrae ua muestra aleatora de 50 famlas, obteédose los sguetes datos sobre el úmero de hjos por famla: Hjos por famla ( ) Famlas ( ) Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para estmar: a) El úmero medo de hjos por famla e la cudad. b) El úmero total de hjos por famla e el área de la cudad. c) La proporcó de famlas co meos de hjos e el área. d) El total de famlas co meos de hjos e el área. olucó Co la formacó e la tabla se determa el promedo y la varaza muestral de los hjos por famla así: 6 0x0 x0 x7 3x6 4x4 5x =.46 hjos. 95

196 ( ) 3 50 (.46) 50 =.54 hjos y = 6 0 x0 x0 x7 3 x6 4 Otros datos: N = 500, = 50, α = x4 5 x3 = 3 a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda y el total, s α = 0.95 e la Tabla, Zo = Z =.96. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: Z N N, Z. () N N Dode el error de estmacó para la meda es: E = Z N = 0.4 hjos. N Reemplazado e () se tee: µ ϵ [ ; ] = [.04 ;.88] hjos / famla co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, el verdadero úmero medo de hjos por famla se ecuetra etre.04 y.88 hjos. b) Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (Nμ) de hjos se multplca los límtes de la meda por N = 500 famlas, así: Total = Nµ ϵ 500 [.04 ;.88] = [50 ; 940] hjos al 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- el verdadero total de hjos e el área de la cudad, se ecuetra etre 50 y 940 hjos, co el 95% de cofaza. c) Para determar el tervalo de cofaza para la proporcó de famlas co meos de hjos e el área, del eucado y la tabla tomemos los datos: N = 500, = 50, = 30 famlas co meos de hjos, α = 0.95 e la Tabla, Z 0 = Z =.96. p = proporcó muestral de famlas co meos de hjos, etoces: 96

197 30 p = 0.6, q = p = 0.4. El tervalo de cofaza para la 50 verdadera proporcó poblacoal P de famlas co meos de hjos, es: P p Z pq N, N p Z pq N N Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x ; x ] P ϵ [ ; ] Por lo tato: P ϵ [ 0.47 ; 0.79 ] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- la verdadera proporcó de famlas co meos de hjos e el área de la cudad, se ecuetra etre 0.3 y co el 95% de cofaza. d) Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (NP) de famlas co meos de hjos, se multplca los límtes de la proporcó por N = 500 famlas, así: Tot. = NP ϵ 500 [0.47; 0.79] = [36; 365] famlas al 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- el total de famlas co meos de hjos e el área de la cudad, se ecuetra etre 36 y 365 famlas, co el 95% de cofaza. 8. E ua muestra aleatora de 000 hogares de Lma Metropoltaa (co 800 ml cosumdores de gas doméstco) se ecotró que 650 está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco. a) Calcule e terprete u tervalo del 90% de cofaza para la proporcó y otro para el total verdadero de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco. b) Co u 95% de cofaza, qué tamaño de muestra será ecesaro s desea cometer u error máxmo del 5%? olucó 97

198 Datos: N = 800,000 cosumdores de gas, =,000, = 650 a favor de la reduccó del preco del gas, α = a) Para determar el tervalo de cofaza para la proporcó de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, s α = 0.90 E la Tabla, Zo = Z 0.95 =.645. p = proporcó muestral de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, etoces: 650 p = 0.65, q = p = El tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, es: P p Z pq, p Z pq e desecha el factor de correccó para poblacoes ftas porque la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] Por lo tato: ; x0.35 ] 000 P ϵ [0.65 ; 0.675] co el 90% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- la verdadera proporcó (porcetaje) de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, se ecuetra etre 0.65 y (6.5% y 67.5%) co el 90% de cofaza. Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (NP) de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, se multplca los límtes de la proporcó por N = 800,000 hogares, así: Total = NP ϵ 800,000 [0.575 ; 90% de cofaza. Rpta. 0.65] = [460,000 ; 500,000] hogares co el Iterpretacó.- el total de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco e Lma Metropoltaa, se ecuetra etre 460,000 y 500,000 hogares, co el 90% de cofaza. b) Datos: p = 0.65, q = 0.35, E = p - P = 0.05 y segú la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z = Z =.96.

199 Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee: Z pq.96 x0.65x hogares. Rpta. E (0.05) Iterpretacó.- para estmar la proporcó de hogares que está a favor de la reduccó del preco del gas doméstco, co el 95% de cofaza y u error máxmo del 5% se requere ua muestra de 350 hogares cosumdores de gas. 9. Ua Ecuesta de Opó realzada e 000 hogares de Lma Metropoltaa (co hogares) dca que el 30.5 % de los hogares compra peródcos y revstas. a) Determe u tervalo de cofaza del 95 % para la proporcó y otro para el total de hogares lmeños que compra peródcos y revstas. b) Aceptaría Ud. que meos del 5 % de hogares lmeños compra peródcos y revstas? c) Co u error del.5 % y ua cofaza del 95 %. Qué tamaño de muestra es ecesaro para estmar la proporcó de hogares que compra peródcos y revstas? olucó Datos: N = 400,000 hogares, =,000, p = 0.305, q = p = a) Para determar el tervalo de cofaza para la proporcó de hogares que compra peródcos y revstas, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. p = es la proporcó muestral de hogares que compra peródcos y revstas, etoces el tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de hogares que compra peródcos y revstas, es: P p Z pq, p Z pq e desecha el factor de correccó para poblacoes ftas porque la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] ; x0.695 ] 000 Por lo tato: P ϵ [0.76 ; 0.334] co el 95% de cofaza. Rpta.

200 Iterpretacó.- la verdadera proporcó (porcetaje) de hogares que compra peródcos y revstas e Lma Metropoltaa, se ecuetra etre 0.76 y (7.6% y 33.4%) co el 95% de cofaza. Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (NP) de hogares que compra peródcos y revstas, se multplca los límtes de la proporcó por N = 400,000 hogares, así: Total = NP ϵ 400,000 [0.76 ; 0.334] = [386,400 ; 467,600] hogares co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- el total de hogares que compra peródcos y revstas e Lma Metropoltaa, se ecuetra etre 386,400 y 467,600 hogares, co el 95% de cofaza. b) No aceptaría que meos del 5 % de hogares lmeños compra peródcos y revstas, puesto que se ecuetra etre 7.6% y 33.4% (ver la parte a). c) Datos: p = 0.305, q = 0.695, E = p - P = 0.05 y segú la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z = Z =.96. Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee: Z pq.96 x0.305 x ,303 hogares. Rpta. E (0.05) Iterpretacó.- para estmar la proporcó de hogares que compra peródcos y revstas, co el 95% de cofaza y u error máxmo del.5% se requere ua muestra de,303 hogares. 0. Ua muestra aleatora de 500 compradores de u cetro comercal se ecotró que 300 compra almetos y bebdas. a) Calcule e terprete u tervalo del 99% de cofaza para la proporcó verdadera de compradores que adquere almetos y bebdas. b) Co u 99% de cofaza, qué tamaño de muestra será ecesaro s desea cometer u error máxmo del 4%? olucó Datos: = 500 compradores, = 300 compra almetos y bebdas. 00

201 a) Para hallar los límtes de cofaza para la proporcó de compradores que adquere almetos y bebdas, s α = 0.99 E la Tabla, Zo = Z =.575. p = proporcó muestral de compradores que adquere almetos y bebdas, etoces: 300 p = 0.60, q = p = El tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de compradores que adquere almetos y bebdas, es: P p Z pq, p Z pq e desecha el factor de correccó para poblacoes ftas, asumedo u úmero grade de compradores, tal que la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] ; x0.35 ] 000 Por lo tato: P ϵ [0.544 ; 0.656] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, la verdadera proporcó (porcetaje) de compradores que adquere almetos y bebdas e el cetro comercal, se ecuetra etre y (54.4% y 65.6%). b) Datos: p = 0.60, q = 0.40, E = p - P = 0.04 y segú la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 99% de cofaza: Z = Z =.575. Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee: Z pq.575 x0.60x compradores. Rpta. E (0.04) Iterpretacó.- para estmar la proporcó de compradores que adquere almetos y bebdas e el cetro comercal, co el 99% de cofaza y u error máxmo del 4% se requere ua muestra de 995 compradores.. e tomó ua muestra aleatora de 800 mujeres casadas e Lma y se ecotró que 560 está a favor del uso de la píldora del día sguete. 0

202 a) Calcule e terprete u tervalo del 95% de cofaza para la verdadera proporcó de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete. b) Co el 95 % de cofaza, Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea u error máxmo del 3%? olucó Datos: = 800 mujeres casadas, = 560 a favor del uso de la píldora del día sguete. a) Para hallar los límtes de cofaza para la proporcó de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. p = proporcó muestral de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete, etoces: 560 p = 0.70, q = p = El tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete, es: P p Z pq, p Z pq e desecha el factor de correccó para poblacoes ftas, asumedo u úmero grade de mujeres casadas e Lma, tal que la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] ; x0.30 ] 800 Por lo tato: P ϵ [0.668 ; 0.73] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- la verdadera proporcó (porcetaje) de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete e Lma, se ecuetra etre y 0.73 (66.8% y 73.%) co el 95% de cofaza. b) Datos: p = 0.70, q = 0.30, E = p - P = 0.03 y segú la Tabla al 95% de cofaza: Z = Z =.96. Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee:

203 Z pq.96 x0.70x mujeres casadas. Rpta. E (0.03) Iterpretacó.- co el 95% de cofaza y u error máxmo del 3% para estmar la proporcó de mujeres casadas que está a favor del uso de la píldora del día sguete, se requere ua muestra de 896 mujeres casadas.. Ua Ecuesta de Opó realzada a 000 cudadaos de Lma Metropoltaa (co 5.5 mlloes de cudadaos) dca que el 9.5 % de los cudadaos juega la tka. a) Determe u tervalo de cofaza del 95 % para la proporcó y otro para el total de cudadaos lmeños que juega la tka. b) Co u error del 3.5 % y ua cofaza del 95 %. Cuál sería el tamaño de muestra ecesaro para estmar la proporcó de cudadaos que juega la tka? olucó Datos: N = 5 500,000 cudadaos, =,000, p = 0.95, q = p = a) Para determar el tervalo de cofaza para la proporcó de cudadaos lmeños que juega la tka, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. p = 0.95 es la proporcó muestral de cudadaos lmeños que juega la tka, etoces el tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de cudadaos lmeños que juega la tka, es: P p Z pq, p Z pq e desecha el factor de correccó para poblacoes ftas porque la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] ; x0.695 ] 000 Por lo tato: P ϵ [0.7 ; 0.] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza la verdadera proporcó (porcetaje) de cudadaos lmeños que juega la tka, se ecuetra etre 0.7 y 0. (7% y %).

204 Para hallar el tervalo de cofaza para el Total (NP) de cudadaos lmeños que juega la tka, se multplca los límtes de la proporcó por N = 5 500,000 cudadaos, así: Total = NP ϵ 5 500,000 [0.7 ; 0.] = [935,000 ; 0,000] cudadaos co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- el total de cudadaos lmeños que juega la tka, se ecuetra etre 935,000 y 0,000 cudadaos, co el 95% de cofaza. b) Datos: p = 0.95, q = 0.805, E = p - P = y segú la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, al 95% de cofaza: Z = Z =.96. Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee: Z pq.96 x0.95 x cudadaos. Rpta. E (0.035) Iterpretacó.- para estmar la proporcó de cudadaos lmeños que juega la tka, co el 95% de cofaza y u error máxmo del 3.5% se requere ua muestra de 49 cudadaos. 3. E ua muestra aleatora de 600 compradores de u cetro comercal se ecotró que 360 está a favor de u horaro más amplo para las compras. a) Calcule e terprete u tervalo del 95% de cofaza para la proporcó verdadera de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras. b) Esta evdeca es sufcete para coclur que meos de /3 de los compradores está a favor de u horaro más exteso? Explque. c) Co u 95% de cofaza, qué tamaño de muestra será ecesaro s desea cometer u error máxmo del 4.5%? olucó Datos: = 600 compradores, = 360 está a favor de u horaro más amplo para las compras. a) Para hallar los límtes de cofaza para la proporcó de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras, s α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =

205 p = proporcó muestral de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras, etoces: 360 p = 0.60, q = p = El tervalo de cofaza para la verdadera proporcó poblacoal P de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras, es: P p Z pq, p Z pq No se cosdera el factor de correccó para poblacoes ftas, asumedo u úmero grade de compradores e el cetro comercal, tal que la fraccó de muestreo /N < Reemplazado valores se tee: P ϵ [ x P ϵ [ ; ] ; x0.40 ] 600 Por lo tato: P ϵ [0.56 ; 0.639] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- la verdadera proporcó (porcetaje) de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras e el cetro comercal, se ecuetra etre 0.56 y (56.% y 63.9%) co el 95% de cofaza. b) e puede coclur que meos de /3 de los compradores está a favor de u horaro más exteso, puesto que P se ecuetra etre 0.56 y (ver parte a). c) Datos: p = 0.60, q = 0.40, E = p - P = y segú la Tabla al 95% de cofaza: Z = Z =.96. Reemplazado e la fórmula para el tamaño de muestra se tee: Z pq.96 x0.60x compradores. Rpta. E (0.045) Iterpretacó.- co el 95% de cofaza y u error máxmo del 4.5% para estmar la proporcó de compradores que está a favor de u horaro más amplo para las compras e el cetro comercal, se requere ua muestra de 455 compradores. 05

206 4. E u estudo para determar el gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 00 hogares de A arrojado u gasto medo de /. 50 y ua desvacó estádar de 5. Ua muestra al azar de 80 hogares de la cudad B da ua gasto medo de 35 y ua desvacó estádar de 0. a) Determe u tervalo de cofaza del 99 % para la dfereca del gasto medo e las cudades A y B. b) Es dferete el gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B? olucó Datos: A = 00, A = 50, A = 5, B = 80, B = 35, B = 0. a) U tervalo de cofaza para la dfereca del gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B vee dado por: A B ( A B ) Z A, ( B A B ) Z A B... () α = 0.99, etoces: Z 0 = Z =.575 A B (5) (0) = /..30 A B B A A B Reemplazado valores e (): A - B ϵ [(50 35).575 (.30) ; (50 35) (.30)] = [5 ± 3.34] Luego: A - B ϵ [.66; 8.34] /. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la dfereca del gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B se ecuetra etre /..66 y b) Respoder a la preguta Es dferete el gasto medo mesual e arbtros e las cudades A y B? mplca respoder s A B? o també A - B 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) A - B o puede ser cero, es decr A - B 0 o A B. Por lo tato, el gasto medo mesual e arbtros e ambas cudades es dferete. Rpta. 5. U departameto de produccó desea determar s hay dfereca e el redmeto etre el turo duro (A) y el octuro (B). Ua muestra aleatora de 80 obreros del turo duro alcaza ua produccó meda de 94.3 partes por 06

207 hora, co ua desvacó estádar de 4 partes por hora, metras que otra muestra de 60 obreros de la oche alcaza u promedo de 89.7 partes por hora, co ua desvacó estádar de 7. e pde: a) Calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95% para la verdadera dfereca de redmetos medos de ambos turos. b) o dferetes los redmetos medos de ambos turos? µ A µ B? Explque olucó Datos: A = 80, A = 94.3 partes por hora, A = 4, B = 60, B = 89.7, B = 7. a) U tervalo de cofaza para la dfereca de redmetos medos vee dado por: A B ( A B ) Z A, ( B A B ) Z A B... () α = 0.95, etoces: Z 0 = Z =.96 A B A A B B (4) 80 (7) 60 =.7 partes por hora. Reemplazado valores e (): A - B ϵ [( ).96 (.7) ; ( ) +.96 (.7)] = [4.6 ± 5.3] Luego: A - B ϵ [-0.7; 9.9] partes por hora co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la dfereca de redmetos medos del turo duro y octuro se ecuetra etre -0.7 y 9.9 partes por hora. b) Respoder a la preguta o dferetes los redmetos medos de ambos turos? Es respoder s A B? o també A - B 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) A - B toma el valor cero, es decr A - B = 0 o A = B. Por lo tato, los redmetos medos de ambos turos o so dferetes. Rpta. 6. El departameto de marketg desea determar s hay dfereca etre las vetas mesuales realzadas por hombres y mujeres. Ua muestra aleatora de 60 hombres alcaza u promedo de 78 artefactos mesuales, co ua desvacó 07

208 estádar de 5; metras que otra muestra de 50 mujeres arroja ua veta meda de 85 artefactos mesuales, co ua desvacó estádar de 0 artefactos. e pde: a) Costruya u tervalo del 95% de cofaza para la verdadera dfereca de las vetas medas realzadas por hombres y mujeres. b) o dferetes las vetas medas realzadas por hombres y mujeres? µ h µ m? olucó Datos: h = 60, h = 78 artefactos, h = 5, m = 50, m = 85, m = 0. a) U tervalo de cofaza para la dfereca de las vetas medas realzadas por hombres y mujeres vee dado por: h m ( h m ) Z h, ( m h m ) Z h m... () α = 0.95, etoces: Z 0 = Z =.96 h m h h m m (5) 60 (0) 50 =.4 partes por hora. Reemplazado valores e (): h - m ϵ [(78 85).96 (.4) ; (78 85) +.96 (.4)] = [-7 ± 4.7] Luego: h - m ϵ [-.7; -.3] artefactos co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la dfereca de las vetas medas mesuales de hombres y mujeres se ecuetra etre -.7 y -.3 artefactos. b) Respoder a la preguta o dferetes las vetas medas realzadas por hombres y mujeres? mplca respoder s h m? o també h - m 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) h - m o puede ser cero, es decr h - m 0 o h m. Por lo tato, s es dferete la veta medas mesual de artefactos etre hombres y mujeres. Rpta. 7. Para determar el preco medo del klo de pollo e las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 0 hogares de A arrojado u preco medo de / y ua desvacó estádar de / Ua muestra al azar de 00 hogares de la cudad B da ua preco medo de / y ua desvacó estádar de /

209 a) Calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95 % para la dfereca del preco medo del pollo e las cudades A y B. b) Es dferete el preco medo del pollo e las cudades A y B? olucó Datos: A = 0 hog., A = /. 6.50, A = 0.70, B = 00, B = 6.75, B = a) U tervalo de cofaza para la dfereca de redmetos medos vee dado por: A B ( A B ) Z A, ( B A B ) Z A B... () α = 0.95, etoces: Z 0 = Z =.96 A B (0.7) (0.9) A B 0 00 = /. 0. A Reemplazado valores e (): B A - B ϵ [( ).96 (0.) ; ( ).96 (0.)] = [-0.5 ± 0.] Luego: A - B ϵ [-0.47; -0.03] /. co el 95% de cofaza. 09 Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la dfereca del preco medo del pollo e las cudades A y B se ecuetra etre / y b) Respoder a la preguta Es dferete el preco medo del pollo e las cudades A y B? es respoder s A B? o també A - B 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) A - B o toma el valor cero, es decr A - B 0 o ambas cudades es dferete. A B. Por lo tato, el preco medo del pollo e Rpta. 8. Muestras del pago mesual a los obreros e las cudades y proporcoa los sguetes datos: = 35, = $ 540, = $ 5, y = 35, = $ 530, = $ 0. a) Costruya u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre los pagos medos a los obreros de las dos cudades.

210 b) Dfere los pagos medos a los obreros e las dos cudades? Explque. olucó Datos: = 35, = $ 540, = $ 5, y = 35, = $ 530, = $ 0. a) U tervalo de cofaza para la dfereca de pagos medos vee dado por: ( ) Z, ( ) Z... () α = 0.95, etoces: Z 0 = Z =.96 (5) (0) = $ Reemplazado valores e (): - ϵ [( ).96 (5.4) ; ( ).96 (5.4)] = [0 ± 0.60] Luego: - ϵ [-0.60; 0.60] $ co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca etre los pagos medos a los obreros de las dos cudades se ecuetra etre $ y 0.60 co el 95% de cofaza. b) Respoder a la preguta Dfere los pagos medos a los obreros e las dos cudades? mplca respoder s? o també - 0? aprecamos el tervalo de cofaza costrudo e a) - toma el valor cero, es decr - = 0 o =. Por lo tato, los pagos medos a los obreros e las dos cudades o dfere. Rpta. 9. e compararo dos marcas de cgarrllos, y, respecto a su cotedo de cota e mlgramos; dos muestras aleatoras de 40 cgarrllos de la marca y 50 de la marca, dero estos resultados: = 40 cgarros, = 4.3 mg., =.9 y = 50, = 5.7, = 3.8. a) Costruya u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las medas del cotedo de cota para las dos marcas de cgarrllos. b) Dfere las dos marcas e su cotedo medo de cota? Explque. olucó Datos: = 40, = 4.3 mg., =.9 y = 50, = 5.7, =

211 a) U tervalo de cofaza para la dfereca de cotedo medo vee dado por: ( ) Z, ( ) Z... () α = 0.99, etoces: Z 0 = Z =.575 (.9) 40 (3.8) 50 = 0.7mg. Reemplazado valores e (): - ϵ [( ).575 (0.7) ; ( ) (0.7)] = [-.4 ±.83] Luego: - ϵ [-3.3; 0.43] mg. co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la dfereca etre las medas del cotedo de cota para las dos marcas de cgarrllos se ecuetra etre -3.3 y 0.43 mg. b) Respoder a la preguta Dfere las dos marcas e su cotedo medo de cota? es respoder s? o també - 0? El tervalo de cofaza costrudo e a) - toma el valor cero, es decr - = 0 o =. Por lo tato, el cotedo medo de cota para las dos marcas o dfere. Rpta. 0. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por la compra de botas de cuero. De ua muestra de 300 mujeres meores de 40 años, sólo 60 estuvero teresadas, metras que de 00 mujeres 40 años a más, 54 mostraro terés. a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de botas de cuero. b) Es dferete la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de botas de cuero? Explque. olucó ea: grupo = mujeres meores de 40 años y grupo = mujeres de 40 años a más. Datos: = 300, = 60, = 00 y = 54

212 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de mujeres meores de 40 años (P ) y las de 40 años a más (P ) que mostraro terés por la compra de botas de cuero, P - P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.99, etoces Z 0 = Z =.575. Además: 60 p = 0.0 q = 0.80 y p = 0.7 q = 00 p p = p q (0.0)(0.80) 300 p q (0.7)(0.73) 00 = =.575 (0.039) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) ; ( ) ] = [-0.07 ± 0.004] P - P [ ; ] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de mujeres meores de 40 años (P ) y las de 40 años a más (P ) que mostraro terés por la compra de botas de cuero, está etre y co el 99% de cofaza. b) La preguta Es dferete la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de botas de cuero? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), puede ser cero, es decr P - P = 0 o P = P. Por lo tato, o es dferete la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de botas de cuero. Rpta.. A f de determar el vel de aceptacó de la gestó presdecal (), se etrevstaro dos grupos de cudadaos: de Lma Metropoltaa () y del Resto del País (), se obtuvero los sguetes resultados: Lma M. (): = 800, = 80; Resto del País (): = 00, = 300

213 a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal. b) o dferetes las verdaderas proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal? olucó Datos: Lma M. (): = 800, = 80; Resto del País (): = 00, = 300. a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de lmeños (P ) y o lmeños (P ) que está de acuerdo co la gestó presdecal es: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.95, etoces Z 0 = Z =.96. Además: 80 p = 0.35 q = 0.65 y p = 0.5 q = 00 p p = p q (0.35)(0.65) 800 p q (0.5)(0.75) 00 = 0.0 =.96 (0.039) = 0.04 Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) 0.04 ; ( ) ] = [0.0 ± 0.04] P - P [0.059; 0.4] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la dfereca de proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal, está etre y 0.4. b) La preguta o dferetes las verdaderas proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 o está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), es dferete de cero, es decr P - P 0 o P P. Por lo tato, s so dferetes las verdaderas proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal. Rpta. 3

214 . E ua muestra aleatora de 400 hombres y 600 mujeres que ve certo programa de TV, 0 hombres y 300 mujeres djero que les gustaba. a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el programa. b) e puede afrmar que so dferetes las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el programa? olucó ea: grupo = hombres y grupo = mujeres. Datos: = 400, = 0, = 600 y = 300 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que les gusta el programa de TV, P - P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.99, etoces Z 0 = Z =.575. Además: 0 p = 0.55 q = 0.45 y p = 0.50 q = 600 p p = p q (0.55)(0.45) 400 p q (0.50)(0.50) 600 = 0.03 =.575 (0.03) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) ; ( ) ] = [0.05 ± 0.083] P - P [-0.033; 0.33] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que les gusta el programa de TV, está etre y 0.33 co el 99% de cofaza. b) La preguta e puede afrmar que so dferetes las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el programa? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), puede ser cero, es decr P - P = 0 o P = P. Por lo tato, o so 4

215 dferetes las proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el programa. Rpta. 3. De los alum@s de la UNAC se toma ua muestra aleatora de 600 mujeres, 300 de las cuales está a favor de la ttulacó co tess. E ua muestra de 400 hombres, 40 dca que está a favor de lo msmo. a) Halle u tervalo de cofaza del 95% para la verdadera dfereca de proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess. b) e puede afrmar que so dferetes las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess? olucó ea: grupo = alumos (hombres) y grupo = alumas (mujeres). Datos: = 400, = 40, = 600 y = 300 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de alumos (P ) y de alumas (P ) que está a favor de la ttulacó co tess, P - P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.95, etoces Z 0 = Z =.96. Además: 40 p = 0.60 q = 0.40 y p = 0.50 q = 600 p p = p q (0.60)(0.40) 400 p q (0.50)(0.50) 600 = 0.03 =.96 (0.03) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) ; ( ) ] = [0.0 ± 0.063] P - P [0.037; 0.63] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de alumos (P ) y de alumas (P ) que está a favor de la ttulacó co tess e la UNAC, está etre y 0.63 co el 95% de cofaza. 5

216 b) La preguta e puede afrmar que so dferetes las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 o está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), o puede ser cero, es decr P - P 0 o P P. Por lo tato, so dferetes las proporcoes de alumos y alumas de la UNAC que está a favor de la ttulacó co tess. Rpta. 4. e etrevstaro a hombres y mujeres respecto a su terés por ua ueva marca de perfume. E ua muestra aleatora de 500 hombres y 500 mujeres, 00 hombres y 60 mujeres djero que les gustaba el uevo perfume. a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el uevo perfume. b) o dferetes las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que djero que les gustaba el uevo perfume? Explque. olucó ea: grupo = hombres y grupo = mujeres. Datos: = 500, = 00, = 500 y = 60 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que les gusta el el uevo perfume, P - P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.95, etoces Z 0 = Z =.96. Además: 00 p = 0.40 q = 0.60 y p = 0.3 q = 500 p p = p q (0.40)(0.60) 500 p q (0.3)(0.68) 500 = =.96 (0.030) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) ; ( ) ] = [0.08 ± 0.059] P - P [0.0; 0.39] co el 95% de cofaza. Rpta. 6

217 Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de hombres (P ) y de mujeres (P ) que les gusta el uevo perfume, está etre 0.0 y 0.39 co el 95% de cofaza. b) La preguta o dferetes las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que djero que les gustaba el uevo perfume? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 o está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), o puede ser cero, es decr P - P 0 o P P. Por lo tato, s so dferetes las proporcoes de hombres y mujeres que les gusta el uevo perfume. Rpta. 5. Es amplamete coocdo que o cualquera coopera respodedo a cuestoaros de los etrevstadores puerta por puerta. E u expermeto para determar s las mujeres so más cooperadoras que los hombres, se obtuvero los sguetes resultados: Hombres: = 75, = 85; Mujeres: = 50, = 50. a) Determe u tervalo de cofaza del 99 % para la dfereca de mujeres y hombres cooperadores. b) Es dferete la proporcó de mujeres y hombres cooperadores? olucó ea: grupo = hombres y grupo = mujeres. Datos: = 75, = 84, = 50 y = 50 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de mujeres (P ) y de hombres (P ) que coopera respodedo a cuestoaros de los etrevstadores puerta por puerta, P P está dado por: P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.99, etoces Z 0 = Z =.575. Además: 84 p = 0.48 q = 0.5 y p = 0.60 q = 50 7

218 = = p p p p p q (0.48)(0.5) 75 p q (0.60)(0.40) 50 = =.575 (0.049) = 0.6 Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) 0.6; ( ) + 0.6] = [0. ± 0.6] P - P [-0.006; 0.46] co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la dfereca de proporcoes de mujeres (P ) y de hombres (P ) que coopera respodedo a cuestoaros de los etrevstadores puerta por puerta, está etre y b) La preguta Es dferete la proporcó de mujeres y hombres cooperadores? mplca pregutar s P P? o també P P 0? La dfereca P P = 0 está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), puede ser cero, es decr P P = 0 o P = P. Por lo tato, o es dferete la proporcó de mujeres y hombres que coopera respodedo a cuestoaros de los etrevstadores puerta por puerta. Rpta. 6. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por los polos de verao Burberry. De ua muestra de 50 mujeres meores de 40 años, 50 estuvero teresados, metras que de 50 mujeres de 40 años a más, sólo 0 mostraro terés. a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao Burberry. b) Exste dfereca etre la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao Burberry? Explque. olucó ea: grupo = mujeres meores de 40 años y grupo = mujeres de 40 años a más. Datos: = 50, = 50, = 50 y = 0 a) El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes de mujeres meores de 40 años (P ) y las de 40 años a más (P ) que mostraro terés por los polos de verao Burberry, P - P está dado por: 8

219 P P ( p p) Z p p, ( p p) Z p p... () α = 0.95, etoces Z 0 = Z =.96. Además: 50 p = 0.60 q = 0.40 y p = 0.48 q = 50 p p = p q (0.60)(0.40) 50 p q (0.48)(0.5) 50 = =.96 (0.0443) = Z 0 p p Reemplazado valores e () se tee que: P - P [( ) 0.087; ( ) ] = [0. ± 0.087] P - P [0.033; 0.07] co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de proporcoes de mujeres meores de 40 años (P ) y las de 40 años a más (P ) que mostraro terés por los polos de verao Burberry, está etre y 0.07 co el 99% de cofaza. b) La preguta Es dferete la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao Burberry? mplca pregutar s P P? o també P - P 0? La dfereca P - P = 0 o está cluda e el tervalo de cofaza costrudo e a), o puede ser cero, es decr P - P 0 o P P. Por lo tato, o es dferete la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao Burberry. Rpta. 7. De los 000 establecmetos pequeños de ua cudad se extrae ua muestra aleatora de 5 establecmetos y se recolecta formacó sobre el úmero de persoas empleadas () por establecmeto, obteédose la sguete 5 formacó: 38 y Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para: a) El úmero medo de empleados por establecmeto e la cudad. b) La varaza del úmero de empleados por establecmeto. 9

220 c) Para estmar e el futuro el úmero medo de empleados por establecmeto, co u marge de error máxmo de 0.9 empleados y ua cofaza del 95 % qué tamaño mímo de muestra será ecesaro? olucó Co la formacó dada se determa el promedo y la varaza muestral de los empleados por establecmeto así: = 5.5 empleados por establecmeto. 5 5 ( ) (5.5) = 6 (empleados) 5 = 4 empleados. Otros datos: N = 000 establecmetos, = 5, α = a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda se usa la dstrbucó T - de studet ( < 30), s α = 0.95 e la Tabla 3, t 0 = t 4, =.064. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: [ - t 0 /, + t 0 / ] Reemplazado valores teemos: [ x 4 5, x 4 ] = [5.5 ±.65] 5 Por lo tato: [3.87 ; 7.7] empleados co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: e la cudad el verdadero úmero medo de empleados por establecmeto pequeño, se ecuetra etre 3.87 y 7.7 co el 95% de cofaza. b) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 5, = 4 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 4, 0.05 =.4 y b = x 4, = 39.4 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: 0

221 (5 )(4) (5 )(4) ², Por lo tato: ² [9.75 ; ] (emp.)² co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la varaza del úmero de empleados por establecmeto pequeño 9.75 y (empleados)² co el 95% de cofaza. Z c) El tamaño de muestra está dado por: 0 E Dode: x - µ = E = 0.9, α = 0.95 e la Tabla, Z = Z =.96 y = 4. Reemplazado e la fórmula para se tee: = 76 establecmetos. Rpta. 0.9 Iterpretacó.- para estmar el úmero medo de empleados por establecmeto, co el 95% de cofaza y u error máxmo de 0.9 empleados, se requere de 76 establecmetos. 8. Las cajas de u cereal producdo por ua fábrca debe teer u cotedo de 6 ozas. U spector tomó ua muestra que arrojó los sguetes pesos e ozas: 5.7, 5.7, 6.3, 5.8, 6., 5.9, 6., 5.9, 5.8, 5.6 Calcule e terprete tervalos de cofaza del 90 % para la meda poblacoal y la varaza poblacoal de los pesos de las cajas de cereal. olucó Co la formacó dada se determa el promedo y la varaza muestral de los empleados por establecmeto así: = 5.9 ozas por caja. 0 0 ( ) (5.9) 0 = 0.3 ozas. Otros datos: = 0 cajas, α = = (ozas) a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda se usa la dstrbucó T - de studet ( < 30), s α = 0.90 e la Tabla 3, t 0 = t 9, 0.95 =.833.

222 El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: [ - t 0 /, + t 0 / ] Reemplazado valores teemos: [ x 0.3 0, x 0.3 ] = [5.9 ± 0.34] 0 Por lo tato: [5.766 ; 6.034] ozas co el 90% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: el verdadero peso medo de las cajas de cereal, se ecuetra etre y ozas, co el 95% de cofaza. b) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 0, = 0.3 y α = 0.90, etoces e la Tabla : a = x 9,0.05 = 3.33 y b = x = 6.9 9, 0.95 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: ² [0.084; Rpta. (0 )(0.3) (0 )(0.3) ², ] (ozas)² co el 90% de cofaza. Iterpretacó: co el 90% de cofaza, la varaza del peso de las cajas de cereal se ecuetra etre y 0.44 (ozas)². 9. Los pesos etos (grs.) de ua muestra aleatora de 0 latas de leche fuero los sguetes: 59, 6, 59, 58, 56, 57, 57, 63, 58, 6 Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para la meda poblacoal y la varaza poblacoal de los pesos etos. olucó El promedo y la varaza muestral de los empleados por establecmeto es:

223 = 59 gr. por lata. 0 0 ( ) (59) 0 =.3 gr. Otros datos: = 0 cajas, α = = (gr.) a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda se usa la dstrbucó T - de studet ( < 30), s α = 0.95 e la Tabla 3, t 0 = t 9, =.6. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: [ - t 0 /, + t 0 / ] Reemplazado valores teemos: [59.6 x.3 0, x.3 ] = [59 ±.65] 0 Por lo tato: [57.35; 60.65] gr. co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: el verdadero peso medo de las de leche, se ecuetra etre y gramos, co el 95% de cofaza. b) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 0, =.3 y α = 0.95, etoces e la Tabla : a = x 9,0.05 =.70 y b = x = 9.0 9, Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: Por lo tato: ² [.53; Rpta. (0 )(.3) (0 )(.3) ², ] (gramos)² co el 95% de cofaza. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la varaza del peso de las latas de leche se ecuetra etre.53 y 7.79] (gramos)². 3

224 30. De u área de la cudad e la que habta 000 famlas se extrae ua muestra aleatora de 0 famlas y se recolecta formacó sobre el úmero de persoas () por famla, obteédose la sguete formacó: Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % para el(la) verdadero(a): a) Número medo de persoas por famla. Aceptaría usted que el tamaño medo de las famlas es de 6 persoas? b) Número total de persoas e el área. c) La varaza del úmero de persoas por famla e el área. d) Para estmar e el futuro el úmero medo de persoas por famla, co u marge de error máxmo de 0.6 persoas y ua cofaza del 99 % qué tamaño mímo de muestra será ecesaro? olucó Co la formacó dada se determa el promedo y la varaza muestral de los empleados por establecmeto así: = 5.5 persoa por famla. 0 0 ( ) (5.5) =.45 (persoas) 0 = 3.34 persoas. Otros datos: N = 000 famlas, = 0, α = a) Para hallar el tervalo de cofaza para la meda se usa la dstrbucó T - de studet ( < 30), s α = 0.95 e la Tabla 3, t 0 = t 9, =.86. El tervalo de cofaza para la meda se obtee co la expresó: [ - t 0 /, + t 0 / ] Reemplazado valores teemos: [ x , x 3.34 ] = [5.5 ±.4] 0 Por lo tato: [3. ; 7.39] persoas co el 99% de cofaza. Rpta. 4

225 Iterpretacó: e el área de la cudad el verdadero úmero medo de persoas por famla, se ecuetra etre 3. y 7.39 co el 99% de cofaza. b) Para hallar el tervalo de cofaza para el total (Nμ) se multplca los límtes de la meda por N = 000, así: Total = Nµ ϵ 000 [3. ; 7.39] = [30 ; 7390] persoas co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, el verdadero total de persoas e el área de la cudad se ecuetra etre 30 y 7390 persoas. c) El tervalo de cofaza para la varaza está dado por: ( ) ( ) ², b a Como = 0, = 3.34 y α = 0.99, etoces e la Tabla : a = x 9, = 6.84 y b = x 9, = 38.6 Reemplazado valores e el tervalo de cofaza para la varaza, se tee que: (0 )(3.34) (0 )(3.34) ², Luego: ² [5.49 ; ] (persoas)² co el 99% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la varaza del úmero de persoas por famla se ecuetra etre 5.49 y (persoas)² co el 99% de cofaza. Z d) El tamaño de muestra está dado por: 0 E Dode: E = x - µ = 0.6, α = 0.99 e la Tabla, Z = Z =.575 y = Reemplazado e la fórmula para se tee: (.575) (3.34) 0 = 05. (0.6) Como f = 0 / N = 05 / 000 = 0.05 > 0.05 es ecesaro ajustar el tamaño de muestra así: 5

226 0 05 = 70 famlas Rpta N 000 Iterpretacó.- para estmar el úmero medo de persoas por famla, co el 99% de cofaza y u error máxmo de 0.6 persoas, se requere de 70 famlas. 3. Muestras del pago semaal a los obreros () y obreras () proporcoa los sguetes datos: = 5, x = $ 35, = $ 5 y = 5, x = $ 5, = $ 5. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) La razó de varazas de los pagos semaales a obreros y obreras. o guales las varazas de los pagos semaales a obreros y obreras? b) La dfereca etre los pagos medos semaales a obreros y obreras. o dferetes los pagos medos semaales a obreros y obreras? Explque. olucó a) Itervalo de cofaza para la razó de varazas: ϵ / / ; d c Datos: = = 5, = 5 = 65, = 5 = 5. Como α = 0.95, etoces e la tabla 4: d = F 4, 4, =.98 y c = F 4, 4, 0.05 = / F 4, 4, = /.98 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 65 / 5 65 / 5 ϵ ; = [0.93; 8.7] co el 95% de cofaza. Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, la razó de varazas de los pagos semaales a obreros y obreras, se ecuetra etre 0.93 y 8.7. Pregutar sí: o guales las varazas de los pagos semaales a obreros y obreras? Es smlar a pregutar sí: = o =? La respuesta es sí, ya que el tervalo para la razó de varazas toma el valor, es decr =, etoces = (las varazas de los pagos semaales a obreros y obreras so guales) 6

227 b) Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de los pagos semaales a obreros y obreras so guales, el tervalo de cofaza para la dfereca etre los de los pagos semaales a obreros y obreras está dado por: - ϵ [( x - x ) t 0 Datos del problema: ( ) ( ) ] = 5, x = $ 35, = $ 5 y = 5, x = $ 5, = $ 5. Los grados de lbertad de la t so + = = 8. α = 0.95, E la tabla 3, t 0 = t 8, =.048. Reemplazado valores e la fórmula para el tervalo de cofaza, teemos que: - ϵ [(35 5).048 (5 )(5) (5 )(5) ] - ϵ [0.048(7.53) ] - ϵ [0 5.4 ] Por lo tato: - ϵ [-5.4 ; 5.4] $ co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca etre los pagos semaales a obreros y obreras, se ecuetra compredda etre $ -5.4 y 5.4 co el 95% de cofaza. Pregutar sí, o dferetes los pagos medos semaales a obreros y obreras? Es smlar a pregutar sí: o - 0? La respuesta es o, ya que el tervalo para su dfereca de medas toma el valor cero, es decr, - = 0 o =. Etoces, los pagos medos semaales a obreros y obreras so guales. 3. Dos grupos (de 6 alumas cada uo) escogdos al azar de ua escuela para secretaras, aprede taqugrafía por dos métodos dferetes y luego se les somete a pruebas de dctado. e ecuetra que el grupo obtee e promedo 3 palabras por muto co ua desvacó estádar de 5 palabras, metras que el grupo promeda 0 palabras por muto co ua desvacó estádar de 0 palabras. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % para: a) La verdadera razó de varazas de los grupos. o heterogéeas las varazas de ambos grupos? b) La dfereca de medas de palabras por muto de ambos métodos. Es dferete el promedo de palabras por muto para los dos métodos? 7

228 olucó Datos: = 6, x = 3, = 5 y = 6, x = 0, = 0. a) Itervalo de cofaza para la razó de varazas: ϵ / / ; d c : = = 6, = 5 = 5, = 0 = 00. Como α = 0.99, etoces e la tabla 4: d = F 5, 5, = 4.07 y c = F 5, 5, = / F 5, 5, = / 4.07 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 5 /00 5 /00 ϵ ; = [0.55; 9.5] co el 99% de cofaza. Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, la razó de varazas de las palabras por muto de ambos grupos, se ecuetra etre 0.55 y 9.5. Pregutar sí: o heterogéeas las varazas de ambos grupos? Es smlar a pregutar sí: o? La respuesta es o, ya que el tervalo para la razó de varazas toma el valor, es decr =, etoces = (las varazas so homogéeas o guales) b) Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de las palabras por muto de ambos grupos so guales, el tervalo de cofaza para la dfereca de medas de palabras por muto de los dos métodos está dado por: - ϵ [( x - x ) t 0 Datos del problema: ( ) ( ) ] = 6, x = 3, = 5 y = 6, x = 0, = 0. Los grados de lbertad de la t so + = = 30. α = 0.99, E la tabla 3, t 0 = t 30, =.75. Reemplazado valores e la fórmula para el tervalo de cofaza, teemos que: - ϵ [(3 0).75 (6 )(5) (6 )(0) ] - ϵ [3.75(4.5) ] - ϵ [3.4] 8

229 Por lo tato: - ϵ [0.6 ; 5.4] palabras por muto co el 95% de cofaza. Rpta. Iterpretacó: la dfereca de medas de los dos métodos, se ecuetra compredda etre 0.6 y 5.4 palabras por muto co el 95% de cofaza. Pregutar sí, Es dferete el promedo de palabras por muto para los métodos? Es smlar a pregutar sí: o - 0? La respuesta es sí, ya que el tervalo para su dfereca de medas o toma el valor cero, es decr, - 0 o. Etoces, el promedo de palabras por muto para ambos métodos sí es dferete. 33. Para determar el costo medo de la eseñaza e las uversdades y, se toma ua muestra al azar de alumos de la uversdad arrojado u costo medo de /. 675 y ua desvacó estádar de / 90. Ua muestra al azar de alumos de la uversdad da ua costo medo de /. 650 y ua desvacó estádar de /. 50. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) La razó de varazas de los costos de eseñaza e las uversdades y. o dferetes las varazas de los costos de eseñaza e las uversdades? b) La dfereca del costo medo de la eseñaza e las uversdades. o dferetes los costos medos de la eseñaza e las uversdades y? olucó Datos: =, x = /. 675, = 90 y =, x = 650, = 50. a) Itervalo de cofaza para la razó de varazas: ϵ / / ; d c : = =, = 90 = 800, = 50 = 500. Como α = 0.95, etoces e la tabla 4: d = F 0, 0, =.46 y c = F 0, 0, 0.05 = / F 0, 0, = /.46 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 800 / / 500 ϵ ; = [.3; 7.96] co el 95% de cofaza. 9

230 Iterpretacó.- co el 95% de cofaza, la razó de varazas de los costos de eseñaza e las uversdades y, se ecuetra etre.3 y Pregutar sí: o dferetes las varazas de los costos de eseñaza e las uversdades? Es smlar a pregutar sí: o? La respuesta es sí, ya que el tervalo para la razó de varazas o toma el valor, es decr, etoces (las varazas de los costos de eseñaza e las uversdades so dferetes o heterogéeas) b) Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de los costos de eseñaza e las uversdades so dferetes, el tervalo de cofaza para la dfereca de medas de los costos de eseñaza e las uversdades está dado por: - ϵ [( x - x ) t 0 ] Datos del problema: =, x = /. 675, = 800 y =, x = 650, α = 0.95, e la tabla 3: t 0 = t H, = t 3, =.04. Dode: H = = = 500. = Reemplazado valores e el tervalo de cofaza propuesto, se tee: - ϵ [( ).04 x ] = [ ] Por lo tato: - ϵ [-0.83 ; 70.83] /. co el 95 % de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 95% de cofaza, la dfereca de los costos medos de eseñaza e las uversdades y se ecuetra compreddo etre / y / Pregutar sí: o dferetes los costos medos de la eseñaza e las uversdades y? Es smlar a pregutar sí: o - 0? La

231 respuesta es o, ya que el tervalo para su dfereca de medas toma el valor cero, es decr, - = 0 o =. Etoces, los costos medos de la eseñaza e las uversdades y o so dferetes, so guales. 34. Dos máquas embolsa daramete detergete de maera depedete. Medate muestras aleatoras s reemplazo de bolsas de cada máqua se ha obtedo los sguetes resultados sobre el peso de las bolsas (e gramos): =, x = 505, = 0 y =, x = 495, = 4. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99% para: a) La razó de varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas. o dferetes las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas? b) La dfereca de los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas. o dferetes los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas? olucó Datos: =, x = 505, = 0 y =, x = 495, = 4. a) Itervalo de cofaza para la razó de varazas: ϵ / / ; d c : = =, = 0 = 00, = 4 = 6. Como α = 0.99, etoces e la tabla 4: d = F,, = 5.3 y c = F,, = / F,, = / 5.3 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: 00 /6 00 /6 ϵ ; = [.7; 33.4] co el 99% de cofaza. Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, la razó de varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas, se ecuetra etre.7 y Pregutar sí: o dferetes las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas? Es smlar a pregutar sí:? o 3

232 La respuesta es sí, ya que el tervalo para la razó de varazas o toma el valor, es decr, etoces (las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes o heterogéeas) b) Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes, el tervalo de cofaza para la dfereca de medas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas está dado por: - ϵ [( x - x ) t 0 ] Datos del problema: =, x = 505, = 00 y =, x = 495, = 6. α = 0.99, e la tabla 3: t 0 = t H, = t 4, =.977. Dode: H = = = Reemplazado valores e el tervalo de cofaza propuesto, se tee: - ϵ [( ).977 x 00 6 ] = [0 9.6] Por lo tato: - ϵ [0.74 ; 9.6] gr. co el 99 % de cofaza. Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la dfereca de los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas se ecuetra compreddo etre 0.74 y 9.6 gramos. Pregutar sí: o dferetes los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas? Es smlar a pregutar sí: o - 0? La respuesta es sí, ya que el tervalo para su dfereca de medas o toma el valor cero, es decr, - 0 o. Etoces, los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas sí so dferetes. 3

233 35. e compararo dos marcas de llatas de automóvl, y, respecto a su duracó e Km; dos muestras aleatoras de 6 llatas de cada marca, dero estos resultados: = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, =,875. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99% para: a) La razó de varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas. o dferetes las varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas? b) La dfereca de las duracoes medas de las llatas de ambas marcas. o dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas? olucó Datos: = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, = 875. a) Itervalo de cofaza para la razó de varazas: ϵ / / ; d c : = = 6, = 4 6,500, 33 = 3 55,65. Como α = 0.99, etoces e la tabla 4: d = F 5, 5, = 4.07 y c = F 5, 5, = / F 5, 5, = / 4.07 = Reemplazado valores e el tervalo se tee que: ϵ / % de cofaza. ; / = [0.3; 5.34] co el Iterpretacó.- co el 99% de cofaza, la razó de varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas, se ecuetra etre 0.3 y Pregutar sí: o dferetes las varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas? Es smlar a pregutar sí: o? La respuesta es o, ya que el tervalo para la razó de varazas toma el valor, es decr =, etoces = (las varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas so homogéeas o guales).

234 b) Cosderado que las muestras so pequeñas y que las varazas de la duracó de las llatas de ambas marcas so guales, el tervalo de cofaza para la dfereca de medas de la duracó de las llatas de ambas marcas está dado por: - ϵ [( x - x ) t 0 Datos del problema: ( ) ( ) ] = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, =,875. Los grados de lbertad de la t so + = = 30. α = 0.99, E la tabla 3, t 0 = t 30, =.75. Reemplazado valores e la fórmula para el tervalo de cofaza, teemos que: - ϵ [(49,658 48,5).75 (6 )(50) (6 )(875) ϵ [533.75(73.8) ] - ϵ [ ] Por lo tato: - ϵ [-48.5 ; ] Km. co el 99% de cofaza. 6 6 ] Rpta. Iterpretacó: co el 99% de cofaza, la dfereca de duracoes medas de las llatas de las marcas y, se ecuetra compredda etre ; Km. Pregutar sí, o dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas? Es smlar a pregutar sí: o - 0? La respuesta es o, ya que el tervalo para su dfereca de medas toma el valor cero, es decr, - = 0 o =. Etoces, las duracoes medas de las llatas de ambas marcas o so dferetes, so guales. 34

235 5. PROBLEMA PROPUETO. Demuestre que: a) Las desgualdades µ - E < x < µ + E, so equvaletes a x - µ < E b) P ( t / T t / ) y T ( x ) / s etoces: s s P( x t / x t / ). e desea estmar el peso total de ua partda de 0,000 mazaas. Para ello se seleccoa ua muestra aleatora de 50 mazaas, la cual da ua meda de 300 gramos y ua desvacó estádar de 5 gramos. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para: a) El verdadero peso medo de las mazaas y el peso total (Nμ). b) La verdadera varaza (σ ) de los pesos de las mazaas. c) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de 8 gramos co el 95 % 3. e toma ua muestra al azar de 45 alumos, s reposcó de ua clase de estadístca de alumos que da ua calfcacó fal meda de 70 putos y ua desvacó típca de 9 putos. Determe el tervalo de cofaza del 95 % para la meda y la varaza de las calfcacoes. 4. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 500 gramos de frejol. e toma ua muestra aleatora de 36 bolsas, resultado ua meda de gramos y ua desvacó típca de gramos. a) Costruya u tervalo de cofaza del 95% para el verdadero peso medo de las bolsas de frejol. e puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de frejol? b) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que dfera de µ e meos de 3 gramos co el 95 % de cofaza? c) Costruya u tervalo de cofaza del 95% para la verdadera varaza de los pesos de las bolsas co frejol. 5. Ua uversdad grade quere estmar el úmero medo de días de efermedad de los estudates durate u año; ua muestra de 50 estudates dca que 35

236 x = 3. días y = 5. días. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) La meda μ y la varaza σ. b) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de 0 gr. co el 95 % de cofaza? 6. Ua muestra de 50 amales expermetales recbe ua certa clase de racó por u período de semaas. us aumetos de pesos arroja los valores x = 480 gr. y = 30 gr. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99% para: a) La meda μ y la varaza σ. b) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de 3 gr. co el 99 % de cofaza? 7. e acaba de lazar al mercado ua ueva marca de cgarrllos; u estudo e 35 cgarros, para determar su cotedo medo de cota do x = 5.4 mg. y =.9 mg. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) El verdadero cotedo medo μ de cota y la verdadera varaza (σ ) del cotedo de cota. b) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de 3 mg. co el 95 % de cofaza? 8. De los 500 establecmetos pequeños de ua cudad, se ha tomado ua muestra aleatora de 50, obteédose los sguetes datos sobre el úmero de empleados por establecmeto: Empleados por establecmeto ( ) Establecmetos ( ) Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % para: a) El úmero medo de empleados por establecmeto e la cudad. b) El total de empleados e los establecmetos pequeños de la cudad. c) La proporcó de establecmetos pequeños co ó más empleados. d) El total de establecmetos pequeños que emplea a ó más persoas. 36

237 9. Ua Ecuesta de Opó realzada e 000 hogares de Lma Metropoltaa (co.4 mlloes de hogares) dca que el 35 % de los hogares tee acceso a teret. Calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95 % para: a) La proporcó de hogares lmeños que tee acceso a teret; b) El total de hogares lmeños que tee acceso a teret; c) Co u error del.5 % y ua cofaza del 95 %. Cuál sería el tamaño de muestra ecesaro para estmar la proporcó de hogares que tee acceso a teret? 0. E ua muestra aleatora de 400 hchas del fútbol peruao (de u total de 5 mlloes) se ecotró que 40 opa que Perú clasfca al mudal de fútbol. a) Calcule e terprete u tervalo del 99% de cofaza para la proporcó verdadera y el total de hchas que opa que Perú clasfca al mudal de fútbol. b) Co u 99% de cofaza y u error máxmo del 3%, qué tamaño de muestra será ecesaro para estmar la proporcó de hchas que opa que Perú clasfca al mudal de fútbol?. De ua poblacó de 4.5 mlloes de cudadaos, se seleccoa ua muestra aleatora de,000 y se halla que 50 está de acuerdo co la gestó del actual presdete. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para: a) La fraccó de la poblacó de cudadaos que está de acuerdo co la gestó del actual presdete. b) El total de votates que está de acuerdo co la gestó del presdete. c) Co u 95% de cofaza y u error máxmo del 4%, qué tamaño de muestra será ecesaro para estmar la proporcó de cudadaos que está de acuerdo co la gestó del actual presdete?. De ua poblacó de 00,000 fumadores, se seleccoa ua muestra aleatora de,000 fumadores y se ecuetra que 350 tee prefereca por la marca A. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 90 % para: a) La proporcó de la poblacó de fumadores que prefere la marca A. b) El total de fumadores que prefere la marca A. 37

238 c) Co el 95 % de cofaza, Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea u error máxmo del 5%? 3. Ua Ecuesta de Opó realzada e 000 hogares de Lma Metropoltaa (co.4 mlloes de hogares) dca que el 6.3 % de los hogares usa tele cable. a) Determe u tervalo de cofaza del 95 % para la proporcó y otro para el total de hogares lmeños que usa tele cable. b) Co u error del.5 % y ua cofaza del 95 %. Cuál sería el tamaño de muestra ecesaro para estmar la proporcó de hogares que usa tele cable? 4. De ua poblacó de cudadaos de ua regó, se seleccoa ua muestra aleatora de,000 cudadaos y se halla que,40 está cotetos co el actual presdete regoal. a) Calcule e terprete tervalos de cofaza del 90 % para la fraccó de la poblacó de cudadaos y otro para el total que está a favor del actual presdete regoal. b) Co u 95% de cofaza, qué tamaño de muestra será ecesaro s desea cometer u error máxmo del 5%? 5. E u estudo para determar el gasto medo mesual e luz e las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 50 hogares de A arrojado u gasto medo de /. 0 y ua desvacó estádar de 5. Ua muestra al azar de 00 hogares de la cudad B da ua gasto medo de 05 y ua desvacó estádar de 0. a) Determe u tervalo de cofaza del 99 % para la dfereca del gasto medo mesual e luz e las cudades A y B. b) erá dferete el gasto medo mesual e luz e las cudades A y B? 6. Para determar el costo medo de la eseñaza e las uversdades A y B, se toma ua muestra al azar de alumos de la uversdad A arrojado u costo medo de /. 650 y ua desvacó estádar de / 70. Ua muestra al azar de alumos de la uversdad B da ua costo medo de /. 675 y ua desvacó estádar de /. 90. a) Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para la dfereca del costo medo de la eseñaza e las uversdades A y B. b) erá dferete el costo medo de la eseñaza e las uversdades A y B? 38

239 7. Ua muestra al azar de 00 plas para calculadoras de la marca A muestra ua vda meda de 40 horas y ua desvacó estádar de 0 horas. Ua muestra al azar de 0 plas de la marca B da ua vda meda de 5 horas y ua desvacó estádar de 9 horas. a) Determe u tervalo de cofaza del 99 % para la dfereca de la vda meda de las plas A y B. b) erá dferete la duracó meda de las plas A y B? Explque. 8. Dos grupos escogdos al azar, cada uo de 40 alumas, de ua escuela para secretaras, aprede taqugrafía por dos sstemas dferetes y luego se les somete a pruebas de dctado. e ecuetra que el prmer grupo obtee e promedo 0 palabras por muto co ua desvacó estádar de palabras, metras que el segudo grupo promeda 5 palabras por muto co ua desvacó estádar de 0 palabras. a) Determe u tervalo de cofaza del 95 % para la dfereca de medas de palabras por muto co los dos métodos. b) erá dferetes las medas de palabras por muto co los métodos? Explque. 9. E u estudo para determar el gasto medo semaal e almetos e las cudades y, se toma ua muestra al azar de 00 hogares de la cudad arrojado u gasto medo de /. 50 y ua desvacó estádar de 5. Ua muestra al azar de 80 hogares de la cudad da ua gasto medo de 35 y ua desvacó estádar de 0. a) Calcule e terprete u tervalo de cofaza del 95 % para la dfereca del gasto medo e las cudades y. b) erá gual el gasto medo semaal e almetos e las cudades y? 0. e compararo los gastos mesuales (/.) e educacó e las cudades y ; muestras aleatoras de 00 famlas de la cudad y 50 de la cudad, dero estos resultados: = 60, = 00, = 60 y = 50, = 50, =

240 a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la verdadera dfereca etre los gastos medos mesuales e educacó de las famlas de las dos cudades; b) Dfere los gastos medos e educacó de ambas cudades? Explque. E ua muestra aleatora de 400 adultos, 0 está de acuerdo co la gestó presdecal. Metras que e ua muestra de 600 jóvees, 300 está de acuerdo co la gestó presdecal. a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de adultos y jóvees que está de acuerdo co la gestó presdecal. b) e puede afrmar que hay ua dfereca etre las verdaderas proporcoes de adultos y jóvees que está de acuerdo co la gestó presdecal?. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por la compra de casacas de cuero. De ua muestra de 300 mujeres de 40 años a más, 75 estuvero teresadas, metras que de 00 mujeres meores 40 años, 80 mostraro terés. a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de casacas de cuero. b) Exste dfereca etre la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por la compra de casacas de cuero. Explque. 3. De los alum@s de la UNAC se toma ua muestra aleatora de 600 hombres, 300 de las cuales está a favor del cambo currcular. E ua muestra de 400 mujeres, 40 dca que está a favor de lo msmo. a) Determe u tervalo de cofaza del 99 % para la proporcó de alumas que está a favor del cambo currcular. b) e puede afrmar que hay dfereca etre las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor del cambo currcular? 4. e etrevstaro dos grupos de hombres respecto a su terés e ua ueva rasuradora eléctrca que tee cuatro avajas. De ua muestra de 60 hombres 40

241 meores de 40 años, sólo estuvero teresados, metras que de 40 hombres mayores 40 años, sólo 5 mostraro terés. a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de hombres meores de 40 años y mayores de 40 años que mostraro terés. b) Exste dfereca etre las verdaderas proporcoes de hombres meores de 40 años y mayores de 40 años que mostraro terés? Explque. 5. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por la trasmsó de ecuetros de volebol por TV. De ua muestra de 0 mujeres de 40 años a más, sólo 30 estuvero teresadas, metras que de 00 mujeres meores 40 años, sólo 40 mostraro terés. a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés. b) Exste dfereca etre la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés. Explque. 6. Es amplamete coocdo que o cualquera coopera respodedo a los cuestoaros de los etrevstadores puerta por puerta. E u expermeto para determar s las persoas mayores () so más cooperadoras que los jóvees (), se obtuvero los sguetes resultados: Mayores (): = 50, = 50; Jóvees (): = 00, = 0 a) Calcule e terprete u tervalo del 95 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de persoas mayores y de jóvees que cooperaro co los etrevstadores. b) Exste dfereca etre las proporcoes de mayores y de jóvees que coopera? Explque. 7. e etrevstaro a u grupo de hombres e las cudades de Cusco y Puo respecto a su terés por la compra de abrgos de laa. De ua muestra de 400 cusqueños, sólo 60 estuvero teresados, metras que de 300 pueños, sólo 90 mostraro terés. 4

242 a) Calcule e terprete u tervalo del 99 % de cofaza para la dfereca etre las verdaderas proporcoes de cusqueños y pueños que mostraro terés por la compra de abrgos de laa. b) Exste dfereca etre la proporcó de cusqueños y pueños que mostraro terés por la compra de abrgos de laa? Explque. 8. Las cajas de u cereal producdo por ua fábrca debe teer u cotedo de 60 gramos. U spector tomó ua muestra que arrojó los sguetes pesos e gramos: 57, 57, 63, 58, 6, 59, 6, 59, 58, 56 Calcule e terprete tervalos de cofaza del 90 % para la meda poblacoal y la varaza poblacoal de los pesos. 9. Los pesos etos (grs.) de dez latas de coserva fuero los sguetes: 59, 6, 59, 58, 56,57, 57, 63, 58, 6 Calcule e terprete tervalos de cofaza del 90 % para la meda poblacoal y la varaza poblacoal de los pesos etos. 30. De las 500 mcro empresas de ua cudad se extrae ua muestra aleatora de 0 y se recolecta formacó sobre el úmero de persoas empleadas () por empresa, obteédose la sguete formacó: Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95 % para el(la) verdadero(a): a) Número medo de empleados por mcro empresa e la cudad. Aceptaría usted que el tamaño medo de las mcroempresas es de 7 empleados? b) Número total de empleados e las mcro empresas. c) La varaza del úmero de empleados por mcro empresa. d) Para estmar e el futuro el úmero medo de empleados por establecmeto, co u marge de error máxmo de 0.8 empleados y ua cofaza del 95 % qué tamaño mímo de muestra será ecesaro? 3. Los cotedos etos (ml.) de ua muestra aleatora de 0 frascos de yogurt fuero los sguetes: 48, 54, 49, 5, 50, 53, 50, 49, 47, 48 Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % 4

243 a) Para la meda poblacoal de los cotedos etos e los frascos. b) La varaza poblacoal de los cotedos etos e los frascos. c) Qué tamaño de muestra debe tomarse, s se desea que x dfera de µ e meos de.5 ml. co el 99 % de cofaza? 3. La produccó de 3 obreros de la jorada dura, do u promedo de 8 pezas co ua desvacó estádar de 0, metras que para obreros de la jorada octura, do u promedo de 74 co ua desvacó estádar de 7. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) La razó de varazas de la produccó de ambas joradas. erá heterogéeas las varazas de ambos grupos? b) La dfereca de la produccó meda de ambos grupos. o dferetes las produccoes medas de ambas joradas? 33. E u colego de secudara, el cocete de telgeca de 5 alumos del turo duro, do u promedo de co ua desvacó estádar de 6; metras que para 5 estudates del turo octuro, do u promedo de 05 co ua desvacó estádar de 5. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99 % para: a) La verdadera razó de varazas de los cocetes de telgeca de los alumos de ambos turos. o heterogéeas las varazas de los turos? b) La verdadera dfereca de las medas de los cocetes de telgeca de los alumos de ambos turos. o dferetes los cocetes medos de telgeca de los grupos? 34. Dos máquas produce daramete ml latas de coservas cada ua depedetemete. Medate muestra aleatora s reemplazo de 6 latas tomadas de cada máqua se ha obtedo los sguetes resultados sobre el peso de las latas (e gramos): = 6, x = 495, = 5 y = 6, x = 505, = 7. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 99% para: a) La razó de varazas de los pesos de las latas de coservas de ambas máquas. o dferetes las varazas de los pesos de las latas de coservas de ambas máquas? 43

244 b) La dfereca de los pesos medos de las latas de coservas de ambas máquas. o dferetes los pesos medos de las latas de coservas de ambas máquas? 35. e ha llevado a cabo u estudo para aalzar los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas de dos cudades. Medate muestras aleatoras de 0 empresas tomadas e cada cudad se ha obtedo los sguetes resultados: = 0, x = 458, = 5 y = 0, x = 385, = 5. Calcule e terprete tervalos de cofaza del 95% para: a) La razó de varazas de los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas de ambas cudades. o dferetes las varazas de los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas de ambas cudades? b) La dfereca de los gastos medos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas de ambas cudades. o dferetes los gastos medos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas de ambas cudades? 44

245 Capítulo 6. CONTRATE DE HIPÓTEI ETADÍTICA PARAMÉTRICA El pesameto estadístco será u día ta ecesaro para el cudadao efcete como la capacdad de leer y escrbr. H.G. Wells CONTENIDO 6. Prueba de hpótess para la meda (co varaza coocda). 6. Prueba de hpótess para la meda (co varaza descoocda). 6.3 Prueba de hpótess acerca de ua varaza. 6.4 Prueba de hpótess para la razó de varazas. 6.5 Prueba de hpótess acerca de dos medas (varazas coocdas). 6.6 Prueba de hpótess acerca de dos medas (varazas descoocdas). 6.7 Prueba de hpótess para la proporcó. 6.8 Prueba de hpótess para la dfereca de proporcoes. 6.9 Ejerccos resueltos. 6.0 Ejerccos propuestos. E el capítulo ateror se ha desarrollado los dferetes aspectos relacoados co la estmacó, que ha permtdo establecer las bases para de ua maera seclla hacer el cotraste, prueba o docmasa de hpótess. Prueba que es fudametal e la vestgacó cetífca cuado se usa el modelo hpotétco-deductvo, ya que frete a u problema de la realdad tee que formularse ua hpótess, cuyo cotraste pasa muchas veces por el uso de la estadístca. E este capítulo, se preseta los aspectos fudametales de las pruebas de hpótess, así como la propuesta de cotrastes de hpótess estadístcas referdas a parámetros como: la meda, la varaza, la razó de varazas, la dfereca de medas, la proporcó y la dfereca de proporcoes. Hpótess Estadístca Es ua aseveracó que se hace acerca del valor del parámetro o los valores de los parámetros de ua poblacó. Ejemplo.- El cotedo medo de las bolsas de arroz es de = 000 gr., la tasa de desempleo es del % (P = 0.), las otas tee dstrbucó ormal co = y =. etc. 45

246 Plateameto del Problema Cotrastar ua hpótess estadístca es juzgar s certa propedad supuesta para ua poblacó es compatble co lo observado e ua muestra de ella. Es decr que: La prueba estadístca de ua hpótess es ua regla que cuado los valores muestrales so observados os coduce a aceptar o rechazar la hpótess bajo cosderacó. Ejemplo.- La Compañía Agrícola Yapatera.A. embolsa arroz co u cotedo medo de 000 gr. El proceso de lleado tee dstrbucó N ( = 000 gr., = 3 gr.). Por razoes mprevsbles el proceso de lleado se desajusta a veces producedo u aumeto o dsmucó del lleado medo s varar la desvacó estádar. Para cotrastar s e certo mometo el proceso se ha desajustado, se toma ua muestra al azar de = 5 bolsas co arroz. e pesa las bolsas obteedo los sguetes datos: 005, 006, 004, 005 y 006 gr. Podemos decr que el proceso de lleado se ha desajustado? el proceso o se ha desajustado al ser ~ N ( 000, 9) ~ N ( 000, 9 / 5) = N ( 000,.8 ). Calculado = ( ) / 5 = 005. gr. El valor = 005. gr. está muy alejado del valor cetral = 000 gr. Para verlo formalmete, estadarcemos la varable Z.34 = Es decr, se aleja más de 3.8 veces la desvacó estádar de la meda. Por todo ello debemos pesar que el proceso se ha desajustado ya que de ser correcto, la probabldad de que ua muestra de tamaño 5 tome como meda 005. gr. es muy pequeña. Esta probabldad es: P( 005.) = P(Z 3.87) = P(Z 3.87) = = umamete meor al 0.005%. Estos so los elemetos fudametales a teer e cueta para el cotraste de hpótess, así como su relacó co los tervalos de cofaza. Para el ejemplo ateror [ 00.5, 008.9] gr. co el 95% de cofaza. 46

247 Como = 000 o perteece al tervalo de cofaza, etoces os lleva a cofrmar la hpótess de que es dferete de 000 gr. y que se ha producdo u desajuste e el proceso de lleado de las bolsas co arroz. Tpos de Hpótess Para efectuar el cotraste de hpótess se formula dos tpos de hpótess: la ula y la alteratva. Hpótess Nula.- se deota por H 0 y es la hpótess que se cotrasta. Geeralmete se establece e forma exacta. Es la hpótess que matedremos hasta que los datos demuestre su falsedad. Ejemplo: H 0 : θ = θ 0. La hpótess ula refleja el valor que ha tedo el parámetro e u mometo determado, pero pueda que haya cambado dado lugar a la hpótess alteratva. Hpótess Alteratva.- se deota por H o H a y geeralmete es especfcada co meos precsó. Es la suposcó cotrara a la que se quere cotrastar, que se acepta e caso la hpótess ula se rechace. Ejemplo: H : θ < θ 0, θ > θ 0 o θ θ 0. Al efectuar el cotraste, hablamos de probar la hpótess ula cotra la hpótess alteratva, bajo el supuesto tetatvo que la hpótess ula es certa. Ello porque la hpótess ula refleja el comportameto que ha tedo (tee o segurá teedo) el parámetro, hasta que los datos demuestre su falsedad. Tpos de Pruebas Hay dos tpos prcpales de pruebas: las pruebas ulaterales y la prueba blateral. Cada ua se detfca por la forma e que se formula H.. Pruebas Ulaterales o de ua Cola Prueba de la cola feror o prueba del lado zquerdo (cola zquerda) Ho : θ = θ 0 H : θ < θ 0 e emplea cuado se tee algua evdeca de que el valor del parámetro ha dsmudo. 47

248 Prueba de la cola superor o prueba del lado derecho (cola derecha) Ho : θ = θ 0 H : θ > θ 0 e emplea cuado se tee algua evdeca de que el valor del parámetro ha aumetado.. Prueba Blateral o de dos Colas Ho : θ = θ 0 H : θ θ 0 Este tpo de prueba se emplea, e caso de que el valor que se prueba o sea verdadero, etoces, todos los demás valores so posbles. Tpo de Errores Error tpo I: se comete al rechazar la hpótess ula H o cuado ésta es verdadera. = Nvel de sgfcacó = P (Error Tpo I) = P [Rechazar H o / H o es verdadera Los valores más comues de so 0.05 y 0.0; porque el error debe ser bajo. tuvéramos u vel de cofaza del 95% etoces, el vel de sgfcacó sería del 5%. gfcaría que e 5 de cada 00 pruebas os estaríamos equvocado al rechazar H o cuado esta es certa. Error de tpo II: se comete cuado se acepta ua hpótess Ho sedo esta falsa. La probabldad de cometer este error la deotamos co la letra β. β = P [Aceptar H o / H o es falsa ] 48

249 Decsó (muestral) H o es verdadera H o es falsa Aceptar H o No hay error Error tpo II Rechazar H o Error tpo I No hay error Los errores tpo I y tpo II se relacoa. Ua dsmucó e la probabldad de uo, por lo geeral tee como resultado u aumeto e la probabldad del otro. La decsó de aceptar o rechazar la hpótess bajo cosderacó H 0 se hace basádose e pruebas de muestras, por ello escogemos ua fucó ˆ de las observacoes, ˆ = G(,,., ) como estadístca de prueba, cuya dstrbucó por muestreo sea coocda e el supuesto (tetatvo) que la hpótess ula H 0 : = 0 es certa. Las reglas de decsó sobre la aceptacó o rechazo de H 0, se hace respecto al rago de ˆ y u resultado partcular ˆ de la muestra. Esto se hace hallado u valor ˆ C llamado valor crítco de la estadístca de prueba (a veces hay más de u valor crítco) la cual dvde al rago de ˆ e dos regoes: la regó crítca o de rechazo (R,C) y la regó de aceptacó (R.A). ˆ R.C. rechazamos H 0. ˆ R.A. aceptamos H 0. Regó Crítca o de Rechazo Es la regó que cotee lo valores para los cuales se rechaza la hpótess H 0 bajo cosderacó. Es la regó del rago de ˆ que de acuerdo co ua prueba prescrta, coduce al rechazo de la hpótess bajo cosderacó. 49

250 Regó de Aceptacó Es la regó que cotee lo valores para los cuales se acepta la hpótess H 0 bajo cosderacó. Pasos para el Cotraste de Hpótess. Formular las hpótess de acuerdo al problema. H 0 : θ = θ 0 H : θ θ 0 o θ < θ 0 o θ > θ 0. Escoger el vel de sgfcacó. 3. Escoger la prueba estadístca apropada (Z, t, ch-cuadrado, F, etc.) cuya dstrbucó por muestreo sea coocda e el supuesto tetatvo de que H 0 es certa. Esta prueba estadístca, debe ser fucó del estmador y del parámetro, al gual que e la costruccó de tervalos de cofaza. 4. Establecer la regó crítca. Para ello tomar e cueta la dstrbucó de la prueba estadístca escogda. 5. Calcular el valor de la prueba estadístca, co la formacó de ua muestra aleatora de tamaño y bajo el supuesto que H 0 es certa. 6. Coclusó: el valor calculado de la prueba estadístca perteece a la regó crítca, etoces rechazamos H 0 y aceptamos H. E caso cotraro, s el valor calculado de la prueba estadístca perteece a la regó de aceptacó, etoces aceptamos H 0 y rechazamos H. A cotuacó, utlzado los resultados de las dstrbucoes muestrales y de los tervalos de cofaza, veremos la aplcacó de las pruebas de hpótess para los parámetros poblacoales como la meda, dfereca de medas, la varaza, la gualdad de varazas, la proporcó y la dfereca de proporcoes. Cuyas estadístcas de prueba va a estar referdas a dstrbucoes como la ormal estádar, t de studet, ch cuadrado y F respectvamete. Veamos cada ua de ellas. 50

251 6. PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LA MEDIA (co varaza coocda) ea la meda de ua muestra aleatora de tamaño seleccoada de ua poblacó co meda y co varaza supuestamete coocda. la poblacó es ormal N(, ), etoces, la dstrbucó de la estadístca es exactamete ormal N(, /). la poblacó o es ormal, para cualquer valor de 30, la dstrbucó de es aproxmadamete ormal N(, /). se ecesta el factor de correccó para poblacoes ftas se usa (N ) / (-) Etoces, la estadístca para la prueba acerca de co varaza coocda es: Z, cuya dstrbucó es exacta o aproxmadamete ormal estádar / N(0,), segú sea la poblacó ormal o o. se supoe verdadera la hpótess ula: H o : = o, la estadístca especfcada por esta hpótess es etoces: A. Prueba blateral o de dos colas Z 0 /. Hpótess: H o : = o, H : 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: Z, cuya dstrbucó es ormal N(0,). / 4. Regó crítca: determar el valor Z -/ tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: P Z Z o PZ Z / / / / E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de Z es: R. C. Z Z / o Z Z / Por otro lado, la probabldad de aceptar H 0 cuado se supoe verdadera es: P Z Z / Z / Resultado la regó de aceptacó: R A. Z Z Z. / / 5

252 5. Hallar certa. Z x 0 calc / co la formacó muestral y supoedo que Ho es 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s Z calc R.C.(o s Z calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Nota (Regó crítca e ) es estmador de, se cumple H : 0 cuado < a o R. C a o b > b se susttuye Z ( 0) /( / ) e RC resulta la regó crítca e el rago de varacó co: a 0 Z / ( / ), y b 0 Z / ( / ) La regó de aceptacó es el tervalo e : R. A. [ a b] La regla de decsó es: x es el valor de obtedo a partr de ua muestra aleatora, se rechazará H 0 co u resgo, s xr. C.( o s xr. A.) No se rechazará H 0 e caso cotraro. B. Prueba ulateral de la cola derecha. Hpótess: H o : = o, H : > 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: Z, cuya dstrbucó es ormal N(0,). / 4. Regó crítca: determar el valor Z tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: Z Z H verdadera P 0 : 0 E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de Z es: R. C. { Z Z } 5

253 La regó de aceptacó es: R A. { Z Z }. 5. Hallar certa. Z x 0 calc /. co la formacó muestral y supoedo que Ho es 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s Z calc R.C.(o s Z calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota: (Regó Crítca e ) es estmador de, se cumple H : > 0 cuado > b R C. { b } dode: b z ( / ). 0. La regó de aceptacó es el tervalo: R A. { b } La regla de decsó es: edo x el valor de obtedo a partr de ua muestra aleatora de tamaño, se rechazará H 0 co u resgo, s xr.c. (o s xr.a.). No se rechazará H 0 e caso cotraro. C. Prueba ulateral de la cola zquerda. Hpótess: H o : = o, H : < 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: Z, cuya dstrbucó es ormal N(0,). / 4. Regó crítca: determar el valor Z tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: Z Z / Ho verdadera P : 0 E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de Z es: R. C. Z Z La regó de aceptacó es: R. A. Z Z 5. Hallar Z x 0 calc / 53 co la muestra y bajo el supuesto que Ho es certa. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s Z calc R.C.(o s Z calc R.A. ).

254 No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota: (Regó crítca e ) es estmador de, se cumple H : < 0 cuado < a RC { a} dode: a = Z ( / ) { Regó de aceptacó: RA a } 0 Regla de decsó es: es u valor de obtedo a partr de ua muestra aleatora de tamaño, rechazará H 0 co u resgo s xr.c.. (o s xr.a.). No se rechazará H 0 e caso cotraro. Nota: Regla de decsó co el Itervalo de Cofaza La prueba de la hpótess ula H o : = 0 cotra H : 0 a u vel de sgfcacó dado, equvale al calcular el tervalo de cofaza (I.C.) del 00( - )% para el parámetro y luego rechazar la hpótess ula H o : = 0 s es que 0 I.C. E efecto, s x es u valor de, o se rechaza H o : = 0 s el valor Z calc ϵ R.A. = [-Z -α/, Z -α/ ] dode ( x 0) /( / ) Z calc x 0 o, s Z / Z / Esto es, o se rechaza H o : = 0 s x R. A. z 0 /, 0 z / o equvaletemete s 0 se ecuetra e el tervalo de cofaza (I.C.) del 00( - ) % para : 0 I. C. x Z /, x Z / Por tato, se rechaza H 0 co resgo, s x R. A. o s 0 I. C. Nota: Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Z calc, de maera que: 54

255 Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] + P[Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. Ejemplo 3.- U proceso de empaquetar u producto está cotrolado, s el peso medo del producto empaquetado es 400 gr. e ua muestra aleatora de 00 paquetes del producto se ha ecotrado que el peso medo es de 395 gramos. upoga que el peso de los productos empaquetados se dstrbuye ormalmete co desvacó estádar de 0 gramos. a) e podría coclur que el proceso está fuera de cotrol al 5% de sgfcacó? Halle P-valor. b) Costruya u tervalo de cofaza del 95% para el peso medo del producto empaquetado. Aceptaría usted que = 400 gr. (proceso cotrolado)? olucó a) ea la varable aleatora defda como el peso de los paquetes del producto. e supoe que la dstrbucó de es N(, (0) ).. Hpótess: H 0 : = 400 (proceso cotrolado) H : 400 (proceso fuera de cotrol).. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: Poblacó ormal co varaza coocda, la estadístca es Z cuya dstrbucó es ormal N(0,). / Etoces: Regó crítca: la hpótess ula H 0 es certa, para = 0.05 y la alteratva blateral, e la dstrbucó de Z ( 400) /(0 / 00), se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.96 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC Z calc.96 o Z Cálculos, de los datos se tee: = 00, x 395, 0 calc

256 Z calc x 0 / Decsó: Puesto que Z calc = -.5 R.C., debemos rechazar H 0 y coclur co u 5% de sgfcacó que el proceso de empaquetado o está cotrolado. P-valor = P[ Z > -.5 ] = P[ Z >.5] = P[Z < -.5] = (0.006) = Como el valor-p = 0.04 < = 0.05 se rechaza Ho y se acepta H : 400 y se cocluye també co u 5% de sgfcacó que el proceso de empaquetado o está cotrolado. Nota: E el rago de varacó de, la regó crítca es: R. C. { x o x} { o 403.9} Por el hecho que x 395R. C., se debe rechazar H 0 y coclur co u resgo de 5 % que el proceso de empaquetado o está cotrolado. Cálculos utlzado Mtab (versó 5.0 e español) Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas Z Z de muestra y aparece la Vetaa Z de muestra (prueba e tervalo de cofaza) sguete: 56

257 Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: 00 y e Meda: 395 (la meda muestral). Escrbr la Desvacó estádar: 0. Nota: los datos muestrales aparece e ua columa, se escoge Muestras e columas: y se gresa dcha columa. Lo que sgue es gual para ambos casos. eleccoar Realzar prueba de hpótess y escrbr e Meda hpotétca: 400. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Escoger e Hpótess altera: o es gual a. Luego escoger Aceptar y Aceptar E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Z de ua muestra Prueba de mu = 400 vs. o = 400 La desvacó estádar supuesta = 0 Meda del Error N Meda estádar IC de 95% Z P (39.08, 398.9) Aparece los resultados ates obtedos: Z calc = -.5, el valor-p = 0.0 y el tervalo de cofaza del 95% para la meda µ obtedo a cotuacó e b). b) El tervalo de cofaza del 95% para el peso medo del producto empaquetado vee dado por: Z, Z. () Datos: = 00, = 395, σ = 0, α = 0.95 E la Tabla, Zo = Z =.96. El error de estmacó para la meda es: E = Z 0.96 = 3.9 gr. 00 Reemplazado e () se tee: µ ϵ [ ; ] = [39.08 ; 398.9] gr. co el 95% de cofaza. No se acepta que = 400 gr. porque o perteece al tervalo de cofaza, por lo tato, se debe rechazar H 0 y coclur co u 95 % de cofaza que el proceso de empaquetado o está cotrolado. 57

258 6. PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LA MEDIA (co varaza descoocda) Poblacó o ormal la poblacó o tee dstrbucó ormal y s la varaza es descoocda, para probar hpótess acerca de la meda, sólo s, el tamaño de la muestra es grade ( 30), se suele utlzar la estadístca: Z 0 / N(0,) Luego, las regoes crítcas de las pruebas de H o : = 0 cotra cualquera de las tres alteratvas H : > 0 o H : < 0 o H : 0 so las msmas (aproxmadamete) de la seccó ateror. Poblacó ormal la poblacó tee dstrbucó ormal N(, ), dode y so parámetros descoocdas, para < 30 la estadístca de la prueba acerca de la meda es: T x / t se supoe verdadera la hpótess ula, H o : = o, la estadístca especfcada por esta hpótess es: T x 0 / Nota: La estructura de la prueba es détca que e el caso de coocda, salvo que el valor de se estma por y la dstrbucó ormal estádar se susttuye por la dstrbucó t de tudet co - grados de lbertad. A. Prueba blateral o de dos colas. Hpótess: H o : = o, H : 0. Escoger el vel de sgfcacó: x 3. Estadístca de prueba: T t / 4. Regó crítca: determar los valores t /,, tales que la probabldad de rechazar H o cuado se supoe verdadera sea: 58

259 P ( T t /, ) / o P( T t /, ) /. E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de T es: R. C. { T t /, o T t /, } La regó de aceptacó es: R A. { t T t } x 5. Hallar T calc 0 / certa.. /, /, co la formacó muestral y supoedo que Ho es 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s T calc R.C.(o s T calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo gual. B. Prueba ulateral de la cola derecha. Hpótess: H o : = o, H : > 0. Escoger el vel de sgfcacó: x 3. Estadístca de prueba: T t / 4. Regó crítca: determar el valor t, tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: P[ 0 T t, H 0 : verdadera ] E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de T es: R. C. { T t, } La regó de aceptacó es: R A. { T t }. x 5. Hallar T calc 0 / certa.., co la formacó muestral y supoedo que Ho es 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s T calc R.C.(o s T calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. C. Prueba ulateral de la cola zquerda. Hpótess: H o : = o, H : < 0 59

260 . Escoger el vel de sgfcacó: x 3. Estadístca de prueba: T t / 4. Regó crítca: determar el valor -t, tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: P[ 0 T t, H 0 : verdadera ] E cosecueca, la regó crítca e el rago de varacó de T es: R.C. = {T < -t - α, - } La regó de aceptacó es: R.A. = {T > -t - α, - } x 5. Hallar T calc 0 / certa. co la formacó muestral y supoedo que Ho es 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s T calc R.C.(o s T calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota: Regla de decsó co el Itervalo de Cofaza La prueba de la hpótess ula H o : = 0 cotra H : 0 a u vel de sgfcacó dado, equvale al calcular el tervalo de cofaza (I.C.) del 00( - )% para el parámetro y luego rechazar la hpótess ula H o : = 0 s es que 0 I.C. Nota: Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor T calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ T - > T calc ] = P[T - < - T calc ] + P[T - > T calc ] = = P[T - < - T calc ] = P[T - > T calc ] Para cola a la derecha: P = P[T - > T calc ] Para cola a la zquerda: P = P[T - < T calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. 60

261 Ejemplo 4.- U fabrcate produce u cable de alambre de certo tpo, que tee ua ressteca a la ruptura o mayor de 300 kg. e descubre u proceso uevo y más barato que desea emplearse, sempre que el cable así producdo tega ua ressteca meda a la ruptura mayor de 300 kg. ua muestra aleatora de 5 cables producdos co el uevo proceso ha dado ua meda kg. y ua desvacó estádar = 0 kg. Debería el fabrcate adoptar el uevo proceso, s está dspuesto a asumr u error tpo I del 5%? Hallar el P- valor. olucó. Hpótess: H 0 : 300 (proceso atguo) H : > 300 (proceso uevo).. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: x T / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva ulateral derecha, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t -, - = t 0.95, 4 =.7 Luego, la regó crítca e la varable T está dada por: R.C = {T >.7} t 4 5. Cálculos, de los datos se tee: = 5, x = Kg. = 0 y = 300 Etoces: T calc x =.5 / 0 / 5 6. Decsó: puesto que T calc =.5 ϵ R.C., debemos rechazar H 0 y coclur co u 5% de sgfcacó que covee adoptar el uevo proceso. P-valor = P[T 4 >.5] = - P[T 4.5] = x () Como e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o está el valor.5, pero éste se ecuetra etre los valores.064 (co probabldad 0.975) y.49 (co probabldad 0.99) se determa x terpolado de la sguete maera: T α P x = x x = 0.86 x = x 0.975

262 Reemplazado x = 0.98 e () se obtee: P-valor = 0.98 = 0.08 Rpta. Como el valor-p = 0.08 < = 0.05 se rechaza Ho y se acepta H : > 300. Por lo tato, se cocluye també co u 5% de sgfcacó que es coveete adoptar el uevo proceso. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas t t de muestra y aparece la Vetaa t de muestra (prueba e tervalo de cofaza) sguete: Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: 5 y e Meda: (la meda muestral). Escrbr la Desvacó estádar: 0 (desvacó estádar muestral). Nota: los datos muestrales aparece e ua columa, se escoge Muestras e columas: y se gresa dcha columa. Lo que sgue es gual para ambos casos. eleccoar Realzar prueba de hpótess y escrbr e Meda hpotétca: 300. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Escoger e Hpótess altera: mayor que. Luego escoger Aceptar y Aceptar E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: 6

263 T de ua muestra Prueba de mu = 300 vs. > 300 Meda del Error 95% Límte N Meda Desv.Est. estádar feror T P Para prueba blateral: N Meda Desv.Est. Errorestádar IC de 95% (300.37, ) Aparece los resultados ates obtedos: T calc =.5, el valor-p = 0.07 (lgeramete dferete al 0.08 ecotrado co aproxmacó usado la Tabla 3) y el tervalo de cofaza del 95% para la meda µ obtedo a cotuacó. Nota.- se costruye el tervalo de cofaza del 95% para la meda, co α = 0.95 e la Tabla 3, t 0 = t 4, =.064. Además: = 5, = Kg. y = 0. El tervalo de cofaza para la meda es: [ - t 0 Luego: [ x /, + t 0 / ] 0 0, x ] = [304.5 ± 4.8] 5 5 Por lo tato: [ ; ] Kg. co el 95% de cofaza. E cosecueca, se rechaza H 0 : = 300 klos porque o perteece al tervalo de cofaza y se acepta H : > 300 Kg. sedo coveete adoptar el uevo proceso co u 95% de cofaza. 6.3 PRUEBA DE HIPÓTEI ACERCA DE UNA VARIANZA ea k,,..., ua muestra aleatora de tamaño, seleccoada de ua poblacó ormal co meda y varaza, parámetros descoocdos, y sea la varaza muestral, ( ) ( ) Etoces, la varable aleatora, 63

264 Esta estadístca se utlza para probar hpótess acerca de ua varaza. se supoe verdadera la hpótess ula Ho: σ = 0, la estadístca es: ( ) 0 ( ) El valor calc que resulta de la muestra aleatora, se usa para la prueba 0 de H 0, cotra ua alteratva ulateral o blateral. A. Prueba blateral o de dos colas. Hpótess: Ho: σ = 0, H : σ 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: ( ) 4. Regó crítca: determar los valores y /, /,, tales que la probabldad de rechazar la hpótess ula H 0 cuado se supoe verdadera sea: P [ /, ] / o P[ /, ] / La Regó crítca de la prueba es: R.C. = { < o > } /, /, La regó de aceptacó es: R.A. = { /, } /, ( ) 5. Hallar calc co la formacó muestral y supoedo que Ho es 0 certa. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s calc R. C. (o s calc R. A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. 64

265 B. Prueba ulateral de la cola derecha. Hpótess: H o : σ = 0, H : σ >. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: ( ) 4. Regó crítca: determar el valor 0, tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: P [, ] La Regó crítca de la prueba es: R.C. = { > },, La regó de aceptacó es: R.A. = { < }, ( ) 5. Hallar calc co la muestra y supoedo que Ho es certa Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, calc R. C. (o s calc R. A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. C. Prueba ulateral de la cola zquerda. Hpótess: H o : σ = 0, H : σ <. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: ( ) Regó crítca: determar el valor tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea:,

266 P [ ], La Regó crítca de la prueba es: R.C. = { < }, La regó de aceptacó es: R.A. = { > }, ( ) 5. Hallar calc co la muestra y supoedo que Ho es certa Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, calc R. C. (o s calc R. A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota: Regla de decsó co el Itervalo de Cofaza La prueba de la hpótess ula H o : σ = 0 cotra H : σ 0 a u vel de sgfcacó dado, equvale al calcular el tervalo de cofaza (I.C.) del 00( - )% para el parámetro σ y luego rechazar la hpótess ula H o : σ = 0 s es que I.C. Caso cotraro, s 0 ϵ I.C. se acepta la hpótess ula H o : σ = Nota: Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) 0. Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Para dos colas: calc, de maera que: 0 < P = P[ < calc calc ] > P = P[ > calc ] = { - P[ < calc calc ]} Para cola a la derecha: P = P[ > Para cola a la zquerda: P = P[ < calc ] calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. 66

267 Ejemplo 5.- E u proceso de fabrcacó, se platea la hpótess que la desvacó estádar de las logtudes de certo tpo de torllo es.0 mm. E ua muestra de dez torllos elegdos al azar del proceso de produccó se ha ecotrado las sguetes logtudes e mlímetros: 7, 66, 64, 7, 69, 67, 70, 68, 65, 69 Co estos datos, se justfca la suposcó que la desvacó estádar verdadera es.00 mm? Use el vel de sgfcacó = 0.05, y supoga que la dstrbucó de las logtudes es ormal. Halle el valor-p. olucó:. Hpótess : H : 4, H : 4 0. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 0, y supoedo verdadera la ( ) hpótess H 0 : 4, la estadístca de prueba: Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste blateral, e la tabla de chcuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos:.70 y 9. 0 /, 0.05,9 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { <.70 o > 9.0} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 6.77, etoces, calc ( ) (6.77) Decsó: Como = 5.3 R.A. se acepta H : 4 y coclumos que la calc 0 desvacó estádar es de mm. co el 5% de sgfcacó. Rpta. Como la prueba es blateral y calc = 5.3 > = 9 el valor-p se obtee así: P = { - P[ < ]} = { - P[ < 5.3]} = { - x}. () calc 9 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 9 grados de lbertad, o está el valor 5.3, pero éste se ecuetra etre los valores 4.7 (co probabldad 0.90) y 6.9 (co probabldad 0.95) se determa p terpolado de la sguete maera: 67

268 α P x x = x 39.6 = 0.53 x = 0.9 Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = { 0.9} = 0.76 Rpta x 0.90 Como el valor-p = 0.76 > = 0.05 se acepta H : 4. Por lo tato, se cocluye 0 també co u 5% de sgfcacó que la desvacó estádar es de mm. Cálculos utlzado Mtab E la Vetaa de Datos (Hoja de trabajo), columa C defr la varable Logtud (de los torllos) e gresar los 0 valores de la muestra. Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas σ varaza y aparece la Vetaa varaza sguete: E vez de gresar desvacó estádar, escoger gresar varaza. Como los datos muestrales aparece e la columa C Logtud, se escoge Muestras e columas: y se seleccoa e dcho recuadro la columa C Logtud. 68

269 Nota: s ya se tee los cálculos muestrales, habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: y la Varaza de la muestra: correspodetes. Lo que sgue es gual para ambos casos. eleccoar Realzar prueba de hpótess y escrbr e Varaza hpotétca: 4. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Escoger e Hpótess altera: o es gual a. Luego escoger Aceptar y Aceptar E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba e IC para ua varaza: Logtud Método Hpótess ula gma-cuadrado = 4 Hpótess altera gma cuadrado o = 4 El método estádar se utlza sólo para la dstrbucó ormal. El método ajustado se utlza para cualquer dstrbucó cotua. Estadístcas Varable N Desv.Est. Varaza Logtud Itervalos de cofaza de 95% IC para IC para Varable Método Desv.Est. varaza Logtud Estádar (.79, 4.75) (3.0,.55) Ajustado (.93, 3.98) (3.73, 5.85) Pruebas Varable Método Chcuadrada GL Valor P Logtud Estádar Ajustado Aparece los resultados ates obtedos: 69 calc = 5.3, el valor-p = 0.7 (lgeramete dferete al 0.76 ecotrado co aproxmacó usado la Tabla ) y el tervalo de cofaza del 95% para la varaza aalzado a cotuacó. Nota.- se costruye el tervalo de cofaza del 95% para la varaza σ, éste resultará ser: σ ϵ [3.0;.55] mm co el 95% de cofaza. E cosecueca, se acepta H : 4 porque perteece al tervalo de cofaza. 0 Por lo tato, se cocluye també que la desvacó estádar es de mm. co u 95% de cofaza.

270 6.4 PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LA RAZÓN DE VARIANZA ea y las varazas de dos muestras aleatoras depedetes de tamaños respectvos y, escogdas de dos poblacoes ormales co varazas respectvas y. Etoces, la estadístca, F / / f, tee dstrbucó de probabldad F co grados de lbertad y. Esta estadístca se utlza para probar gualdad de varazas. se supoe verdadera la hpótess ula Ho: o estadístca de la prueba es: F f, / u valor F calc que resulta de dos muestras aleatoras, se utlza para =, la probar la hpótess ula Ho cotra cualquera alteratva ulateral o blateral. A. Prueba blateral o de dos colas. Hpótess: Ho :,. Escoger el vel de sgfcacó: H : / 3. Estadístca de prueba: F f, / 4. Regó crítca: determar los valores f 70 y /,, /,,, tales que la probabldad de rechazar la hpótess ula H 0 cuado se supoe verdadera sea: P [ F f,, ] / [ /,, ] / o P F f / La Regó crítca es: R.C. = {F < f,, o F > f /,, } / La regó de aceptacó es: R.A. = { f,, F f /,, } / 5. Hallar F calc co la formacó muestral y supoedo que Ho es certa. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s F calc R.C. (o s F calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es.

271 B. Prueba ulateral de la cola derecha. Hpótess: Ho:,. Escoger el vel de sgfcacó: H : / 3. Estadístca de prueba: F f, / 4. Regó crítca: determar el valor f,, tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea: P [ F f,, ] La Regó crítca de la prueba es: R.C. = {F > f,, } f,, La regó de aceptacó es: R.A. = {F < f,, } 5. Hallar F calc co la muestra y supoedo que Ho es certa. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, F calc R.C. (o s F calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. C. Prueba ulateral de la cola zquerda. Hpótess: Ho :,. Escoger el vel de sgfcacó: H : / 3. Estadístca de prueba: F f, / 7

272 4. Regó crítca: determar el valor f, tal que la probabldad de rechazar H 0 cuado se supoe verdadera sea:,, P [ F f, ] La Regó crítca de la prueba es: R.C. = {F < f, }, La regó de aceptacó es: R.A. = {F > f, }, 5. Hallar F calc co la muestra y supoedo que Ho es certa. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, F calc R.C. (o s F calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota: Regla de decsó co el Itervalo de Cofaza La prueba de la hpótess ula Ho: o / / = cotra H o : a u vel de sgfcacó dado, equvale a determar el tervalo de cofaza (I.C.) del 00( - )% para la razó de varazas rechazar la hpótess ula H o : s es que / y luego / = I.C. cotraro, s / = ϵ I.C. se acepta la hpótess ula H o :. Nota: Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) Por el Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Para dos colas: F calc < P = P[ f, < F calc ] F calc, de maera que: F calc > P = P[ f, > F calc ] = { - P[ f, < F calc ]} Para cola a la derecha: P = P[ f, > F calc ] Para cola a la zquerda: P = P[ f, < F calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. Ejemplo 6.- Ua compañía dseña u uevo proceso de moldeo para reducr la varabldad e el dámetro de las pezas producdas. e cree que la varaza del uevo proceso es meor que la varaza del proceso atguo. Para ua muestra de 8 pezas del proceso 7

273 atguo y ua muestra de 6 pezas del proceso uevo se obtee los sguetes dámetros e mlímetros: Atguo (): 7, 3,, 8,, 0,, 9 Nuevo (): 3, 6, 4,, 5, 4 Cofrma estos datos que la varaza de los dámetros co el uevo proceso es meor que co el proceso atguo? upoga poblacoes ormales y use = 0.05 olucó ea y las varables que represeta los dámetros de las pezas co el proceso atguo y uevo respectvamete. Las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas descoocdas.. Hpótess: H 0 : = H :. Nvel de sgfcacó: = 0.05 > 3. Estadístca de prueba: sedo las poblacoes ormales y supoedo verdadera la hpótess ula Ho, para = 8 y = 6, la estadístca de prueba es: F f 7,5 4. Regó crítca: para = 0.05 y la prueba ulateral derecha, f 7,5, 0.95 = 4.88 es: R.C. = {F > 4.88} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 4.5, = y 4.5 F calc = Decsó. Como F calc =.065 R.A. se acepta Ho y coclumos que la Nota.- varaza de los dámetros co el uevo proceso o es meor que co el proceso atguo, so las dos varazas so guales co el 5% de sgfcacó. se costruye el tervalo de cofaza del 95% para la razó de varazas, éste resultará ser: / ϵ [0.30; 0.9] co el 95% de cofaza. Etoces, se acepta que / =, porque perteece al tervalo de cofaza. Por lo tato, se cocluye que co el 95% de cofaza, es decr que la varaza de los dámetros co el uevo proceso es gual a la del proceso atguo. Para hallar el valor-p, como F calc =.065 > se obtee así: 73

274 P = P[f 7,5 >.065] = { - P[f 7,5.065]} > 0.0 (e Excel = 0.448). Rpta. Ya que e la Tabla 4, de la dstrbucó F, para 7 y 5 grados de lbertad la probabldad acumulada hasta.065 es meor a 0.95 (e Excel es ). Como P = > = 0.05, se acepta la hpótess ula y se cocluye també co el 5% de sgfcacó, que la varaza de los dámetros co el uevo proceso o es meor que co el proceso atguo, so las varazas so guales. Cálculos utlzado Mtab E la Vetaa de Datos (Hoja de trabajo), e la columa C defr la varable dámetro Atguo- e gresar los 8 valores de la muestra y e la columa C defr la varable dámetro Nuevo- e gresar los 6 valores de la muestra. Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas σ σ varazas y aparece la Vetaa varazas sguete: Como los datos muestrales aparece e las columas C y C, se escoge Muestras e dferetes columas y se seleccoa e el recuadro de Prmera: la columa C Atguo- y e el recuadro de eguda: la columa C Nuevo-. Nota: s ya se tee los cálculos muestrales, habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: y la Varaza: (de la muestra) correspodete a la Prmera: y eguda: muestra. Lo que sgue es gual para ambos casos. 74

275 Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Colocar u Título: (del gráfco) Varaza atgua vs Varaza ueva. Luego escoger Aceptar y Aceptar E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba de varazas guales: Atguo-, Nuevo- Itervalos de cofaza de Boferro de 95% para desvacoes estádares N Iferor Desv.Est. uperor Atguo Nuevo Prueba F (dstrbucó ormal) Estadístca de prueba =.06, valor p = Prueba de Levee (cualquer dstrbucó cotua) Estadístca de prueba =.5, valor p = 0.86 Aparece los resultados ates obtedos: F calc =.065 y el valor-p = se observa los tervalos de cofaza de Boferro, e la gráfca de Varaza atgua vs Varaza ueva, se puede aprecar que estos se etre cruza, dcado que las varazas (y desvacoes estádar) so guales. Varaza atgua vs Varaza Nueva Atguo- Nuevo- Prueba F Estadístca de prueba.06 Valor P Prueba de Levee Estadístca de prueba.5 Valor P Itervalos de cofaza de Boferro de 95% para Desv.Est. 5 Atguo- Nuevo Datos

276 6.5 PRUEBA DE HIPÓTEI ACERCA DE DO MEDIA (co varazas coocdas) ea y las medas de dos muestras aleatoras depedetes de tamaños y seleccoadas respectvamete de dos poblacoes depedetes, co medas y y varazas y coocdas. las dos poblacoes so ormales, etoces, las estadístcas y tee respectvamete dstrbucó ormal N(,,/ ) y N(,,/ ) para >, y >. Etoces: - tee dstrbucó ormal N( - ; / + / ). las dos poblacoes o so ormales, pero y so sufcetemete grades ( > 30 y > 30), etoces, - tee aproxmadamete dstrbucó ormal N( - ; / + / ). egú sea las dos poblacoes ormales o o, la estadístca de prueba es: ( ) Z N(0,). supoemos verdadera la hpótess ula H 0 : = ó - = 0, la estadístca de prueba es: Z N(0, ) u valor Z calc = que resulta de dos muestras depedetes, se utlza para probar Ho: = cotra cualquera de las hpótess alteratvas H : ó H : > ó H : < La estructura de la prueba es smlar a los casos descrtos usado la dstrbucó Z. A. Prueba blateral o de dos colas se prueba H 0 : = o - = 0, cotra H : o - 0, la regó crítca e el rago de varacó de Z es: R.C. = {Z < - Z -/ o Z > Z -/ } 76

277 B. Prueba ulateral de la cola derecha se prueba H 0 : = o - = 0, cotra H : > o - > 0, la regó crtca e la varacó de Z es: R.C. = {Z > Z - } C. Prueba ulateral de la cola zquerda se prueba H 0 : = o - = 0, cotra H : < o - < 0, la regó crtca e la varacó de Z es: R.C. = {Z < - Z - } Nota.- Cuado las hpótess so de la forma: ) H 0 : - = d 0 cotra H : - d 0 ) H 0 : - = d 0 cotra H : - > d 0 3) H 0 : - = d 0 cotra H : - < d 0 La estadístca de la prueba es: Z d0 Cuya dstrbucó es aproxmadamete ormal N(0, ) segú sea las dos poblacoes ormales o o. e rechaza H 0 co resgo gual a, s Z calc R.C.(o s Z calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Nota.- e usa el tervalo de cofaza I.C. al 00( α)% para la dfereca de medas -, a f de verfcar s las medas so guales (cuado se cumple que - = 0 ϵ I.C.) o su dfereca asume u valor determado (s ocurre que - = d 0 ϵ I.C.). Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Z calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] + P[Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. 77

278 Ejemplo 7.- U fabrcate quere comparar los tempos de proceso de dos marcas de máquas A y B, para fabrcar u tpo de artículo. Al observar dos muestras aleatoras de 60 artículos procesados por A y B respectvamete, ecuetra que las medas respectvas so,30 y,90 segudos. upoga A = 0 y B = 90 segudos. a) Al vel de sgfcacó del 5%, se puede ferr que la máqua B es más rápda que la máqua A? Hallar el valor P. b) Al vel de sgfcacó del 5%, se puede ferr que la meda de B es meor que la meda de A e meos de 7 segudos? Hallar el valor P. olucó ea A y B los tempos de proceso co las máquas A y B respectvamete y A, B sus medas respectvas. e descooce las dstrbucoes de probabldades de A y B, pero las muestras so grades ( A = B = 60 > 30). Para determar s la máqua B es más rápda que la A, se compara sus tempos promedos de proceso: A > B. a). Hpótess: H 0 : A = B cotra H : A > B. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba.- s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z A A A B B B N(0, ) 4. Regó Crítca. Para = 0.05 y ua prueba ulateral de la cola derecha, e la Tabla, dstrbucó de Z se ecuetra el valor Z 0.95 =.645. Luego, la regó crítca es: 5. Cálculos, de los datos se tee: A = B = 60, x A = 30, R.C. = {Z >.645} x B = 90, A = 0 y B = 90 E.. = Error estádar = A A B B = Z calc x A x E B,30,

279 6. Decsó: ya que Z calc =.07 R.C., debemos rechazar Ho y coclur co el 5% de sgfcacó que el equpo B utlza meos tempo e el proceso de fabrcacó. El valor P para la cola derecha es: P = P[Z > Z calc ] = P[Z >.07] = Ф(.07) = = Rpta. Como P = < = 0.05, etoces se rechaza la Ho y se acepta H : A > B. e cocluye també co el 5% de sgfcacó que el equpo B utlza meos tempo promedo e el proceso de fabrcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas t t de muestras y aparece la Vetaa t de muestras (prueba e tervalo de cofaza) sguete: Recordar que cuado las muestras so grades t se aproxma a la ormal estádar. Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra:, la Meda: y la Desvacó estádar: correspodete a la Prmera: y eguda: muestra respectvamete. 79

280 Nota: los datos muestrales aparece e columas, se escoge Muestras e dferetes columas: y se gresa la Prmera: y eguda: columa e el recuadro correspodete. Lo que sgue es gual para ambos casos. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: E Dfereca de la prueba: dejar el 0. Escoger e Hpótess altera: mayor que. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba T de dos muestras e IC Meda del Error Muestra N Meda Desv.Est. estádar Dfereca = mu () - mu () Estmado de la dfereca: 40.0 Límte feror 95% de la dfereca: 7.9 Prueba T de dfereca = 0 (vs. >): Valor T =.07 Valor P = 0.0 GL = 09 Aparece los resultados ates obtedos: Z calc =.07 = T y el valor-p = 0.0 (muy próxmo al ecotrado co Z). b) Probar que la meda de B es meor que la meda de A e meos de 7 segudos, es equvalete a platear: B < A - 7 o B - A < 7 o A - B > 7. e debe probar H 0 : A - B = 7 cotra H : A - B > 7. ( A B ) 7 H 0 es verdadera, la estadístca de la prueba es: Z N(0, ) A B La regó crítca de la prueba ulateral de la cola derecha al vel = 0.05 es 60 msma del caso a): R.C. = {Z >.645 } Z calc ( x x) 7 (,30,90) 7.7 E Ya que Z calc =.7 R.C., debemos rechazar Ho y coclur que el tempo promedo que utlza la máqua B e el proceso es meor que el tempo promedo de A e meos de 7 segudos. A B 80

281 El valor P para la cola derecha es: P = P[Z > Z calc ] = P[Z >.7] = Ф(.7) = = Rpta. Como P = < = 0.05, etoces se rechaza la Ho y se acepta H : A - B > 7. e cocluye també, co el 5% de sgfcacó, que el tempo promedo que utlza la máqua B e el proceso es meor que el tempo promedo de A e meos de 7. Cálculos utlzado Mtab Los pasos so détcos hasta ates de escoger Opcoes Nvel de cofaza: E Dfereca de la prueba: escrbr 7. Escoger e Hpótess altera: mayor que. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba T de dos muestras e IC Meda del Error Muestra N Meda Desv.Est. estádar Dfereca = mu () - mu () Estmado de la dfereca: 40.0 Límte feror 95% de la dfereca: 7.9 Prueba T de dfereca = 7 (vs. >): Valor T =.70 Valor P = GL = 09 Aparece los resultados ates obtedos: Z calc =.70 = T y el valor-p = (muy próxmo al ecotrado co Z). 6.6 PRUEBA DE HIPÓTEI ACERCA DE DO MEDIA (co varazas descoocdas) las dos muestras aleatoras depedetes de tamaños y se seleccoa respectvamete de dos poblacoes cuyas dstrbucoes o so ormales co varazas y supuestas descoocdas, etoces, sempre que los tamaños de las muestras sea grades; 30 y 30 los parámetros respectvamete por y. y se estma 8

282 Para probar la hpótess ula H0 : 0 cotra ua alteratva blateral o ulateral, se utlza la estadístca: Z ( ) / / N(0,) Las regoes crítcas y las reglas de decsó para las pruebas de la hpótess ula H : 0 ( o H : d ) cotra ua alteratva ulateral o blateral so las msmas del método co varazas coocdas. ea y las medas y las varazas de dos muestras aleatoras y depedetes pequeñas ( < 30 y < 30 respectvamete) seleccoadas de dos poblacoes ormales co medas y y varazas y descoocdas. Estas varazas descoocdas preseta dos casos, ya que puede ser guales (homogéeas) o dferetes (heterogéeas) cuya prueba se realza medate el test de hpótess para la razó de varazas del acápte 6.4. Veamos ambos casos. A. Varazas descoocdas pero guales ( ) las poblacoes so ormales, depedetes, y co varazas descoocdas pero guales =, etoces, la estadístca de prueba es: T ( ) dode el estmador de la varaza comú c c es: t c ( ) la hpótess ula H0 : es verdadera, etoces, la estadístca. T c c t u valor: t calc x x ( ) que resulta de dos muestras aleatoras, se usa para probar H 0 co ua alteratva ulateral o blateral. 8

283 La estructura de la prueba es smlar a la usada co la dstrbucó de t.. Prueba blateral o de dos colas se prueba H0 : cotra H : la regó crítca es el tervalo; R.C. = T t o T t. Prueba ulateral de cola a la derecha /, /, se prueba H0 : cotra H : la regó crítca es el tervalo R.C. = {T t. } 3. Prueba ulateral de cola a la zquerda se prueba H0 : cotra H : la regó crítca es el tervalo. Ejemplo 8 R.C. = {T t, } e compararo dos marcas de llatas de automóvl, y, respecto a su duracó e Km; dos muestras aleatoras de 6 llatas de cada marca, dero estos resultados: = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, =,875. Co el % de sgfcacó, probar s so dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas. Hallar el valor-p. olucó Datos: = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, = 875. Prmero se debe probar s las varazas de las duracoes de las llatas de ambas marcas so guales o o. Hpótess: H :, = 0.0 0, H : Estadístca de prueba: sedo las poblacoes ormales y supoedo verdadera la hpótess ula Ho, para = 6 y = 6, la estadístca de prueba es: F f 5,5 83

284 Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla 4 de la dstrbucó F, se obtee los valores crítcos: f 5, 5, = 4.07; f 5, 5, = / 4.07 = Etoces: R.C. = {F < 0.46 o F > 4.07} 50 Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: F calc = Decsó: como F calc =.3 R.A. se acepta Ho y coclumos que las varazas de las duracoes de las llatas de ambas marcas so guales, co el % de sgfcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas σ σ varazas y aparece la Vetaa varazas. Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: 6 y 6, así como la Varaza: (de la muestra) y correspodete a la Prmera: y eguda: muestra respectvamete. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba de varazas guales Itervalos de cofaza de Boferro de 95% para desvacoes estádares Muestra N Iferor Desv.Est. uperor Prueba F (dstrbucó ormal) Estadístca de prueba =.3, valor p = Aparece el F calc =.3 ates obtedo y el valor-p = > = 0.0 y se cocluye també que las varazas de las duracoes de las llatas de ambas marcas so guales, co el % de sgfcacó. A cotuacó se prueba s so dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas. Hpótess: H0 : cotra H : =

285 La estadístca de prueba es: T t 6 6 t30 c c Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla 3: t 30, =.75. R.C. = {T < -.75 o T >.75} Co la formacó muestral: = 6, x = 49,658, =,50 y = 6, x = 48,5, determa: = 875; y bajo el supuesto que Ho es certa se c ( ) 5x50 5x = t calc xx c c 6 6 Decsó: como t calc =.5 R.A. se acepta Ho y se cocluye que las duracoes medas de las llatas de ambas marcas o so dferetes. Para dos colas: P = P[T 30 >.5] = [ P(T 30.5)] = [ x].. () E la Tabla 3, T de studet, o está el valor.5, se determa x terpolado así: T α P x = x x = 0.08 x = Reemplazado x = e () se obtee: P-valor = [ ] = 0.04 Rpta x Como el valor-p = 0.04 > = 0.0 se acepta Ho y se cocluye també que las duracoes medas de las llatas de ambas marcas so guales, co el % de sgfcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas t t de muestras y aparece la Vetaa t de muestras (prueba e tervalo de cofaza) sguete: 85

286 Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra:, la Meda: y la Desvacó estádar: correspodete a la Prmera: y eguda: muestra respectvamete. eleccoar Asumr varazas guales. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: E Dfereca de la prueba: dejar el 0. Escoger e Hpótess altera: o es gual a. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba T de dos muestras e IC Meda del Error Muestra N Meda Desv.Est. estádar Dfereca = mu () - mu () Estmado de la dfereca: 533 IC de 95% para la dfereca: (76, 990) Prueba T de dfereca = 0 (vs. o =): Valor T =.5 Valor P = GL = 30 Ambos utlza Desv.Est. agrupada = Aparece los resultados ates obtedos t calc =.5 y el valor-p = > = 0.0 y se cocluye també que las duracoes medas de las llatas de ambas marcas so guales, co el % de sgfcacó. 86

287 B. Varazas descoocdas supuestas dsttas las varazas de las dos poblacoes ormales depedetes so descoocdas supuestas dferetes, etoces, la estadístca de prueba usada es: Dode: T ( ) t H represeta los grados de lbertad. Dado que H rara vez es u etero, se toma la parte etera (etero mayor de H). La prueba de hpótess es smlar a las trabajadas aterormete co la dstrbucó t. Ejemplo 9 Dos máquas embolsa daramete detergete de maera depedete. Medate muestras aleatoras s reemplazo de bolsas de cada máqua se ha obtedo los sguetes resultados sobre el peso de las bolsas (e gramos): =, x = 505, = 0 y =, x = 495, = 4. Asumedo dstrbucó ormal para el peso de las bolsas, co el % de sgfcacó so dferetes los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas? Hallar el valor-p. olucó Datos: =, x = 505, = 0 y =, x = 495, = 4. Prmero se debe probar s las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas so guales o o. Hpótess: H :, = 0.0 0, H : Estadístca de prueba: sedo las poblacoes ormales y supoedo verdadera la hpótess ula Ho, para = y =, la estadístca de prueba es: F f, H 87

288 Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla 4 de la dstrbucó F se obtee los valores crítcos: f,, = 5.3; f,, = / 5.3 = R.C. = {F < 0.88 o F > 5.3} Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: 00 F calc = Decsó: Como F calc = 6.5 R.C. se rechaza Ho y coclumos que las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes ( ), co el % de sgfcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas σ σ varazas y aparece la Vetaa varazas. Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra: y, así como la Varaza: (de la muestra) 00 y 6 correspodete a la Prmera: y eguda: muestra respectvamete. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba de varazas guales Itervalos de cofaza de Boferro de 99% para desvacoes estádares Muestra N Iferor Desv.Est. uperor Prueba F (dstrbucó ormal) Estadístca de prueba = 6.5, valor p = Aparece el F calc = 6.5 ates obtedo y el valor-p = < = 0.0 y se cocluye també que las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes ( ), co el % de sgfcacó. A cotuacó se prueba s so dferetes los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas. Hpótess: H0 : cotra H : =

289 La estadístca de prueba es: T t t H 4 Dode: H = = = Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla 3: t 4, =.977 Datos del problema: R.C. = {T < o T >.977} =, x = 505, = 00 y =, x = 495, T calc = = 6. Decsó: como t calc = 3. R.C. se rechaza Ho y se acepta H :. e cocluye que los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas sí so dferetes, al % de sgfcacó. Para dos colas: P = P[T 4 > 3.] = [ P(T 30 3.)] = [ ] = Como el valor-p (hallado terpolado e T) = < = 0.0 se rechaza Ho y se cocluye també que los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes, al % de sgfcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas t t de muestras y aparece la Vetaa t de muestras (prueba e tervalo de cofaza). Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Tamaño de muestra:, la Meda: y la Desvacó estádar: correspodete a la Prmera: y eguda: muestra respectvamete. No seleccoar Asumr varazas guales. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: E Dfereca de la prueba: dejar el 0. Escoger e Hpótess altera: o es gual a. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: 89

290 Prueba T de dos muestras e IC Meda del Error Muestra N Meda Desv.Est. estádar Dfereca = mu () - mu () Estmado de la dfereca: 0.00 IC de 99% para la dfereca: (0.74, 9.6) Prueba T de dfereca = 0 (vs. o =): Valor T = 3. Valor P = GL = 4 Aparece los resultados ates obtedos t calc = 3., los grados de lbertad gual a 4 y el valor-p = < = 0.0 y se cocluye també que los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas so dferetes, al % de sgfcacó. 6.7 PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LA PROPORCIÓN upoga que se dspoe de ua muestra aleatora de observacoes, obteda de ua poblacó co ua proporcó p de éxtos (elemetos que posee u atrbuto partcular). el úmero de observacoes de la muestra es grade y la proporcó muestral observada es pˆ, para realzar cotrastes acerca de p se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : p = p 0 H : p p 0 o H : p > p 0, o H : p < p 0,. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: p p Z ˆ pq 4. La Regó crítca de la prueba es: N(0, ) R.C. = {Z < Z α/ = - Z - α/ o Z > Z - α/ } para H : p p 0 R.C. = {Z > Z -α } para H : p > p 0 R.C. = {Z < Z α = -Z -α } para H : p < p 0 5. Co la formacó muestral y supoedo que H 0 : p = p 0 es certa, hallar: pˆ p p0q 0 Z calc 0 90

291 Dode pˆ # de éxtos e la muestra = proporcó de elemetos que posee u atrbuto partcular e la muestra. 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, Z calc R.C. (o s Z calc R.A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Z calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] + P[Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro. Ejemplo 0 Ua muestra aleatora de 800 cletes de supermercados, 378 fuero capaces de decr el preco correcto de u artículo medatamete después de poerlo e el carro. Cotrastar, al vel de sgfcacó del 0%, la hpótess ula de que al meos la mtad de los compradores so capaces de decr el preco correcto, frete a la alteratva de que la proporcó poblacoal es meor de la mtad. Asmsmo, hallar el p-valor. olucó Deotemos por p la proporcó poblacoal de compradores capaces de decr el preco correcto e estas crcustacas. Queremos cotrastar las hpótess: H 0 : p p 0 = 0.50 H : p < 0.50 = 0.0 Z α = -Z -α = -Z 0.90 = -.8 La regó crítca es R.C. = {Z < -.8} Datos: p 0 = 0.50, = 800, = 378 p ˆ 378 / El estadístco del cotraste es, etoces, Z calc pˆ p = -.56 p0q0 0.5x

292 Decsó: como Z calc =.64 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula co el 0% de sgfcacó. e cocluye que meos de la mtad de los compradores so capaces de decr el preco correcto. P = P[Z < Z calc ] = P[Z < -.56] = Ф(-.56) = Rpta. Como el valor-p = 0.06 < = 0.0 se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que meos de la mtad de los compradores so capaces de decr el preco correcto, co el 0% de sgfcacó. Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas P proporcó y aparece la Vetaa proporcó (prueba e tervalo de cofaza). Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr el Número de evetos: 378 (úmero de éxtos) y el Número de esayos: 800 (tamaño de la muestra). Nota: los datos muestrales aparece e ua columa ( para cada éxto y 0 para cada fracaso), se escoge Muestras e columas: y se gresa dcha columa. Lo que sgue es gual para ambos casos. Marcar Realzar prueba de hpótess y escrbr e Proporcó hpotétca: Escoger Opcoes Nvel de cofaza: 90. Escoger e Hpótess altera: meor que. eleccoar Utlce la prueba y el tervalo basado e la dstrbucó ormal. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba e IC para ua proporcó Prueba de p = 0.5 vs. p < 0.5 Límte Muestra N Muestra p superor 90% Valor Z Valor P Uso de la aproxmacó ormal. Aparece los resultados ates obtedos Z calc = -.56 y el valor-p = 0.06 < = 0.0 etoces se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que meos de la mtad de los compradores so capaces de decr el preco correcto, co el 0% de sgfcacó. 9

293 6.8 PRUEBA DE HIPÓTEI PARA LA DIFERENCIA DE DO PROPORCIONE Cotrastar las hpótess: Ho: p = p = p o p - p = 0 Cotra: H : p < p o H : p > p o H : p p H : p - p 0 o H : p - p > 0 o H : p - p < 0 Dode: p y p so parámetros, sedo estos parámetros las proporcoes de éxto de dos poblacoes bomales. La estadístca de prueba e la cual se basa los crteros de decsó es la varable aleatora: pˆ pˆ ; que tee dstrbucó ormal, esto se cumple para muestras grades la cual se aproxma a la dstrbucó ormal estádar. pˆ pˆ ( p p ) Z N(0, ) pq pq se seleccoa muestras aleatoras depedetes de tamaño y de ua poblacó bomal, se calcula la proporcó de éxtos ˆp y ˆp de cada muestra: pˆ y p ˆ. Dode: : Es el úmero de éxtos e la muestra de tamaño : Es el úmero de éxtos e la muestra de tamaño El valor de la ormal estádar Z, cuado Ho es verdadera y, so grades es: Z pˆ pˆ pq pq la regó crítca para cada hpótess alteratva. 93 pˆ pˆ pq Para calcular Z, se estma el valor de p que aparece detro del radcal así: pˆ qˆ = - pˆ Etoces el valor de la estadístca Z, es: Z calc pˆ pˆ pq ˆ ˆ Luego usado los putos crítcos de la curva ormal estádar se puede hallar

294 PAO PARA PROBAR LA HIPOTEI DE DO PROPORCIONE, CUANDO LA MUETRA ON GRANDE:. Ho: p = p o p - p = 0 H : puede ser ua de las alteratvas. H : p < p o H : p > p o H : p p H : p - p < 0 o H : p - p > 0 o H : p - p 0. Escoger u vel de sgfcacó. 3. La estadístca de prueba es la varable aleatora Pˆ ˆ P, que tee ua dstrbucó aproxmadamete ormal cuado y so grades. Es decr: upoedo que Ho es verdadera. 4. Regó Crtca: pˆ pˆ Z N(0, ) pq pq R.C. = {Z < Z α/ = - Z - α/ o Z > Z - α/ } para H : p p R.C. = {Z > Z -α } para H : p > p R.C. = {Z < Z α = -Z -α } para H : p < p 5. Para los cálculos se halla: pˆ, Luego: Z calc pˆ y pˆ pˆ pq ˆ ˆ 94 pˆ 6. Decsó: Rechazar: Ho; s Z perteece a la regó crítca; e caso cotraro aceptar Ho. Método del valor P (o P-valor o sg o Probab, etc.) Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P (probabldad míma para rechazar Ho), a partr del valor Z calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] + P[Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, etoces, se rechaza H 0. e acepta H 0, e caso cotraro.

295 Ejemplo De ua muestra aleatora de 03 aucos publctados e revstas brtácas, 5 era humorístcos. De ua muestra aleatora depedete de 70 aucos publcados e revstas amercaas, 56 era humorístcos. Cotrastar, frete a ua alteratva blateral, la hpótess ula de que las proporcoes de aucos cómcos de las revstas brtácas y amercaas so guales, co el 5% de sgfcacó. Hallar p-valor. olucó ea las proporcoes poblacoales de aucos humorístcos e revstas brtácas y amercaas: p y p, etoces se desea probar las hpótess: Ho: p = p y H : p p co α = 0.05 Z α/ = Z =.96 La regó crítca es R.C. = {Z < -.96 o Z >.96} Datos: = 03, = 5, 56 p ˆ = 0.07, El estadístco del cotraste es: 5 p ˆ = 0.56, = 70, = 56, p ˆ = 0.8 y qˆ = pˆ pˆ Z calc =.5 pq ˆ ˆ 0.8x Decsó: como Z calc =.5 ϵ R.A. o se rechaza la hpótess ula co el 5% de sgfcacó. e cocluye que las proporcoes de aucos cómcos de las revstas brtácas y amercaas so guales. P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = = P[Z < -.5] = = Ф(-.5) = (0.0565) = 0.3 Rpta. La hpótess ula de que las proporcoes poblacoales de aucos humorístcos so la msma puede rechazarse para veles de sgfcacó mayores que 0.8%. Como el valor-p = 0.3 > = 0.05 o se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las proporcoes de aucos cómcos de las revstas brtácas y amercaas so guales, co el 5% de sgfcacó.

296 Cálculos utlzado Mtab Del meú escoger Estadístcas Estadístcas báscas P proporcoes y aparece la Vetaa proporcoes (prueba e tervalo de cofaza). Habltar la opcó Datos resumdos y escrbr para la Prmera: y eguda: muestra e Evetos: 5 y 08 (úmero de éxtos) y e Esayos: 03 y 403 (tamaño de la muestra). Nota: los datos muestrales aparece e dferetes columas ( para cada éxto y 0 para cada fracaso), se escoge Muestras e dferetes columas: y se gresa dchas columas e Prmera: y eguda:. Lo que sgue es gual para ambos casos. Escoger Opcoes Nvel de cofaza: 95. Dejar Dfereca de la prueba: 0.0. Escoger e Hpótess altera: o es gual a. eleccoar Utlce el cálculo agrupado de p para la prueba. Luego escoger Aceptar y Aceptar. E la hoja de esó aparece los resultados sguetes: Prueba e IC para dos proporcoes Muestra N Muestra p Dfereca = p () - p () Estmado de la dfereca: IC de 95% para la dfereca: ( , 0.585) Prueba para la dfereca = 0 vs. o = 0: Z =.5 Valor P = 0. Prueba exacta de Fsher: Valor P = 0.5 Aparece los resultados ates obtedos Z calc =.5 y el valor-p = 0. > = 0.05 etoces o se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las proporcoes de aucos cómcos de las revstas brtácas y amercaas so guales, co el 5% de sgfcacó. 96

297 PRUEBA DE HIPÓTEI PARA UN OLO PARÁMETRO P.H. PARA LA MEDIA POBLACIONAL H 0 : μ = μ 0 H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: μ > μ 0 Cuado la muestra es aleatora de ~ μ < μ 0 N (μ, σ ) co σ coocda o 30. Z Z 0 c > Z α c μ μ / Z c < Z α 0 Z c > Z α/ μ > μ 0 Cuado la muestra es aleatora de ~ T μ < μ 0 N (μ, σ ) co σ 0 c > t α descoocda, < 30. Tc t / T c < t α μ μ 0 T c > t α/ 0 P.H. PARA LA VARIANZA POBLACIONAL H 0 : σ = H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: σ > 0 La muestra es aleatora de ua poblacó ( ) χ c > χ α σ ormal o aproxmadamete ormal. C χ c < χ α < 0 0 χ σ c < χ α/ o χ c > χ α/ 0 P.H. PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL H 0 : p = p 0 H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: μ > μ 0 La muestra es aleatora y su tamaño es pˆ p Z 0 c > Z α μ < μ 0 grade ( 30) Z c p0q Z c < Z α 0 μ μ 0 Z c > Z α/ PRUEBA DE HIPÓTEI PARA DO PARÁMETRO P.H. PARA LA IGUALDAD DE VARIANZA POBLACIONALE H 0 : = H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: > Dos muestras aleatoras depedetes de F c > f α poblacoes ormales. F c f, < F c < f α F c <f α/ o F c > f α/ P.H. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA POBLACIONALE H 0 : μ - μ = μ 0 H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: μ - μ > μ 0. e toma dos muestras aleatoras 0 Z c > Z α μ - μ < μ 0 depedetes, de poblacoes Z c μ - μ μ Z c < Z α 0 ormales co y Z c > Z α/ coocdas o y 30. μ - μ > μ 0. e toma dos muestras aleatoras T 0 c > t α μ - μ < μ 0 depedetes de poblacoes Tc t μ - μ μ T c < t α 0 ormales, co y T p c > t α/ descoocdas pero guales (varazas homogéeas). 97

298 μ - μ > μ 0 μ - μ < μ 0 μ - μ μ 0 3. Dos muestras aleatoras depedetes de poblacoes ormales co y descoocdas pero dferetes (varazas heterogéeas). T 0 c t H Co: H T c > t α T c < t α T c > t α/ P.H. PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE POBLACIONALE H 0 : p - p = 0 H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: p - p > 0 Dos muestras aleatoras depede- pˆ pˆ Z c > Z α p - p < 0 tes co y 30. Z c Z p - p 0 pˆ pˆ Co pˆ c < Z α pq ˆ ˆ Z c > Z α/ P.H. PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE POBLACIONALE H 0 : p - p = p 0 H : Caso Estadístco de prueba Rechazar H 0 s: p - p > p 0 Dos muestras aleatoras depede- pˆ pˆ p Z 0 c > Z α p - p < p 0 tes co y 30. Z c pˆ qˆ pˆ qˆ Z c < Z α p - p p 0 Z c > Z α/ 98

299 6.9 PROBLEMA REUELTO. Las bolsas de certa marca de gelata dca u cotedo medo de 50 gramos. e toma ua muestra aleatora de 36 bolsas, resultado ua meda de 46.5 gramos y ua desvacó típca de gramos. a) Al 5% de sgfcacó se puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas? Hallar p-valor. b) Aceptaría usted que σ 50 gr por bolsa? Use α = Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el peso de las bolsas de gelata.. Hpótess: H 0 : = 50 gr. H : 50. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: para muestras grades ( 30) es: Z cuya dstrbucó es N(0,). / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva blateral, e la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.96 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC Z calc.96 o Z Cálculos, de los datos se tee: = 36, x 46.5, ˆ, = 50. Etoces: Z calc calc x Decsó: Puesto que Z calc = -.75 ϵ R.A., o debemos rechazar H 0 y coclur co u 5% de sgfcacó que se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de gelata. P-valor = P[ Z > -.75 ] = P[ Z >.75] = P[Z < -.75] = ( ) =

300 Como el valor-p = > = 0.05 o se rechaza Ho y se cocluye també co u 5% de sgfcacó que se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de gelata. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess : H 0 : σ = 50 H : σ 50. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 36, y supoedo verdadera la hpótess H 0, la estadístca de prueba es: ( ) ( ) Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste blateral, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos: 0.6 y 53. /, 0.05,35 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { < 0.6 o > 53.} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = = 44, etoces, calc ( ) (44) Decsó: Como calc = 0. R.C. se rechaza H 0 : σ = 50 y coclumos que la varaza de las bolsas de gelata es dferete a 50 gr por bolsa, co el 5% de sgfcacó. Como la prueba es blateral y calc = 0. < = 35 el valor-p se obtee así: P = P[ < ] = P[ < 0.] = x. () calc 35 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 35 grados de lbertad, o está el valor 0., pero éste se ecuetra etre los valores 8.5 (co probabldad 0.0) y 0.6 (co probabldad 0.05) se determa x terpolado de la sguete maera: P x x =.7 x 0.0

301 x.40 =.70 x = 0.04 Reemplazado x = 0.04 e () se obtee: P = P-valor = {0.04} = Rpta. Como el valor-p = < = 0.05 se rechaza H 0 : σ = 50. Por lo tato, se cocluye també co u 5% de sgfcacó que la varaza de las bolsas de gelata es dferete a 50 gr por bolsa.. E u estudo para determar s ha dsmudo el tempo de vda (e horas) del artículo producdo por ua empresa, se tomó ua muestra aleatora de 3 artículos, ecotrádose los resultados sguetes: x = 4500 horas y = 7 horas. a) Aceptaría usted que el verdadero tempo promedo de vda de los artículos de la empresa es meor de horas. Use = 0.0 y determe p-valor. b) Aceptaría usted que σ 00 horas por artículo? Use α = Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el tempo de vda del artículo.. Hpótess: H 0 : = horas H : < Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: para muestras grades ( 30) es: Z cuya dstrbucó es N(0,). / 4. Regó crítca: para = 0.0 y la alteratva ulateral zquerda, e la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z = -Z - Z 0.0 = -Z 0.99 = Luego, la regó crítca está dada por: R.C = {Z calc < -.33} 5. De los datos se tee: = 3, x 4500, ˆ 7, = x Etoces: Z calc. 8 ϵ R.A. / 7/ 3 6. Decsó: se acepta H 0, se cocluye al % de sgfcacó que el tempo promedo de vda de los artículos de la empresa es gual a horas. P-valor = P = P[Z < -.8] = Rpta. 30

302 Como P = 0.03 > = 0.0 se acepta Ho y se cocluye també co = 0.0 que el tempo medo de vda de los artículos de la empresa es de horas. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 00 σ = H : σ 00 H : σ Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 3, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (3) Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste blateral, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos: 6.8 y /, 0.05,30 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { < 6.8 o > 47.0} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 7 = 9 4, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (94) calc =.9 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 00 y coclumos que la desvacó estádar del tempo de vda de los artículos de la empresa es gual a 00 horas, co el 5% de sgfcacó. Como la prueba es blateral y calc =.9 < = 30 el valor-p se obtee así: P = P[ < ] = P[ <.9] = x. () calc 30 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 30 grados de lbertad, o está el valor.9, se determa x terpolado de la sguete maera: P x x =.3 x

303 x.8 =.3 x = Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = {0.464} = 0.98 Rpta. Como el valor-p = 0.98 > = 0.05 se acepta H 0 : σ = 00. Por lo tato, se cocluye també co u 5% de sgfcacó que la desvacó estádar del tempo de vda de los artículos de la empresa es gual a 00 horas. 3. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 500 gramos de sal. e toma ua muestra aleatora de 4 bolsas, resultado ua meda de 495 gr. y ua desvacó típca de gr. a) Al 5% de sgfcacó se puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de sal? Halle p-valor. b) Aceptaría usted que σ < 00 gr por bolsa? Use α = 0.0. Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el cotedo de sal e las bolsas.. Hpótess: H 0 : = 500 gr. H : 500. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: para muestras grades ( 30) es: Z cuya dstrbucó es N(0,). / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva blateral, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.96 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC Z calc.96 o Z De los datos se tee: = 4, x 495, ˆ, = 500. x Etoces: Z calc. 3 ϵ R.C. / / 3 6. Decsó: se rechaza H 0 y se acepta H : 500, se cocluye al 5% de sgfcacó que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de sal. P-valor = P[ Z > -.3 ] = P[ Z >.3] = P[Z < -.3] = (0.007) = Rpta. 303 calc

304 Como P = < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també co = 0.05, que o se está cumpledo co el cotedo medo e las bolsas de sal. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 00 gr H : σ < 00 gr. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 4, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (4) Regó crítca: Para = 0.0 y para u cotraste ulateral zquerdo, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra el valor crítco sguete:, 0.0, 40. Luego, la regó crítca es: R.C. { <.} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = = 44, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (44) calc = 8.8 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 00 y coclumos que la varaza del cotedo e las bolsas de sal es gual a 00 gr, co el % de sgfcacó. Como la prueba es ulateral a la zquerda el valor-p se obtee así: P = P[ < ] = P[ < 8.8] = x. () calc 40 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 30 grados de lbertad, o está el valor 8.8, se determa x terpolado de la sguete maera: P x x = x.6 =.3 x = Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = x 0.05 Rpta. 304

305 Como el valor-p = > = 0.05 se acepta H 0 : σ = 00. Por lo tato, se cocluye també co el % de sgfcacó, que la varaza del cotedo e las bolsas de sal es gual a 00 gr. 4. Ua muestra de 50 amales expermetales recbe ua certa clase de racó por u período de semaas. us aumetos de pesos arroja los valores x = 40 gr. y = 60 gr. a) Hay razó para creer que el aumeto de peso eto medo poblacoal es mayor a 40 gr? Use α = 0.0. Halle p-valor. b) Co α = 0.0 erá rechazada la hpótess σ = 500 gr a favor de σ > 500? Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el aumeto de peso e los amales.. Hpótess: H 0 : = 40 gr. H : > 40. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: para muestras grades ( 30) es: Z cuya dstrbucó es N(0,). / 4. Regó crítca: para = 0.0 y la alteratva ulateral derecha, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z - = Z 0.99 =.33 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC Z De los datos se tee: = 50, x 40, ˆ 60, = 40. x Etoces: Z calc. 8 ϵ R.A. / 60 / Decsó: o se rechaza H 0 : = 40 y se cocluye al % de sgfcacó, que el aumeto de peso eto medo de los amales es gual a 40 gr. P = P[Z >.8] = - P[Z.8] = 0.88 = 0.9 calc Rpta. Como valor-p = 0.9 > = 0.0 o se rechaza Ho y se cocluye també co = 0.0, que el aumeto de peso eto medo de los amales es gual a 430 gr. 305

306 b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 500 gr H : σ > 500 gr. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 50, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (50 ) Regó crítca: Para = 0.0 y para el cotraste ulateral derecho, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra el valor crítco sguete:, 0.99, Luego, la regó crítca es: R.C. { > 74.9} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 60 = 3600, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (3600) calc = 70.6 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 500 y se cocluye que la varaza del aumeto del peso eto de los amales es gual a 500 gr, co el % de sgfcacó. Como la prueba es ulateral a la derecha el valor-p se obtee así: P = P[ > ] = P[ > 70.6] = - P[ 70.6] = - x. () calc Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 49 grados de lbertad, o está el valor 70.6, se determa x terpolado de la sguete maera: P x 0.4 x x = x = 0.4 x = Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = = Rpta. 306

307 Como el valor-p = > = 0.0 se acepta H 0 : σ = 500. Por lo tato, se cocluye també co el % de sgfcacó, que la varaza del aumeto del peso eto de los amales es gual a 500 gr. 5. Ua uversdad grade quere estmar el úmero medo de días de efermedad de los estudates durate u año; ua muestra de 50 estudates dca que x = 3. días y = 5. días. a) Hay razó para creer que el verdadero úmero medo de días de efermedad es dferete a 6 días? Use α = Halle p-valor. b) Co α = 0.0 erá rechazada la hpótess σ = 50 a favor de σ < 50? Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el úmero de días de efermedad de los estudates durate u año.. Hpótess: H 0 : = 6 días H : 6. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: para 30 es: Z N(0,). / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva blateral, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.96 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC Z calc.96 o Z De los datos se tee: = 50, x 3., ˆ 5., = 6. x 3. 6 Etoces: Z calc 3. 8 ϵ R.C. / 5./ Decsó: se rechaza H 0 y se acepta H : 6, se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el úmero medo de días de efermedad de los estudates es dferete a 6 días (de acuerdo a los resultados estmados es de 3. días). calc 307

308 P = P[ Z > -3.8 ] = P[ Z > 3.8] = P[Z < -3.8] = (0.000) = Rpta. Como P = < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també co = 0.05, que el úmero medo de días de efermedad de los estudates es dferete a 6. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 50 días H : σ < 50 días. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 50, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (50 ) Regó crítca: para = 0.0 y el cotraste ulateral zquerdo, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra el valor crítco sguete:, 0.0, Luego, la regó crítca es: R.C. { < 8.9} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 5. = 7.04, etoces, calc ( ) (7.04) Decsó: Como calc = 6.5 R.C. se rechaza H 0 : σ = 50 y coclumos que la varaza del úmero de días de efermedad de los estudates es dferete a 50 días, co el % de sgfcacó (de acuerdo a los resultados estmados es de 7.04 días ). Como la prueba es ulateral a la zquerda el valor-p se obtee terpolado: P = P[ < ] = P[ < 6.5] = calc 49 Como el valor-p = < = 0.0 se rechaza H 0 : σ = 50. Por lo tato, se cocluye també co el % de sgfcacó, que la varaza del úmero de días de efermedad de los estudates es dferete a 50 días. 308

309 6. Las calfcacoes de dez estudates e u exame de estadístca fuero: 43, 6, 67, 70, 74, 76, 79, 85, 94 y 8. upoga que estas calfcacoes procede de ua poblacó ormal. a) Poga a prueba H 0 : μ = 70 cotra H : μ 70, co u vel de sgfcacó del 5%. Halle p-valor. b) Poga a prueba H 0 : σ = 500 cotra H : σ 500, co u vel de sgfcacó de Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como las calfcacoes de los alumos.. Hpótess: H 0 : μ = 70 H : μ 70. Nvel de sgfcacó: = x 3. Estadístca de prueba: T t9 / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva blateral, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t -/, - = t 0.975, 9 =.6 Luego, la regó crítca e la varable T es: R.C = {T < -.6 o T >.6} 5. Cálculos, co los datos se obtee: = 0, 70 x = 73, = 4.08 y μ = Etoces: T calc x / 4.08 / 0 = Decsó: puesto que T calc = 0.67 ϵ R.A., se acepta H 0 y se cocluye co u 5% de sgfcacó que la ota promedo de los alumos es de 70 putos. edo la prueba blateral, etoces p-valor = P es: P = P[ T 9 > 0.67 ] = P[T 9 > 0.67] = { - P[T ]} = ( 0.75) = 0.50 Rpta. Ya que e la tabla 3, T de studet, para 9 grados de lbertad, al valor 0.67 = 0.70, le correspode ua probabldad acumulada de Como el valor-p = 0.50 > = 0.05, se acepta Ho: μ = 70 y se cocluye també, co u 5% de sgfcacó, que la ota promedo de los alumos es de 70 putos. 309

310 b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 500 H : σ 500. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 0, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (0 ) Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste blateral, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos:.70 y 9. 0 /, 0.05,9 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { <.70 o > 9.0} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 4.08 = 98.5, etoces, calc ( ) (98.5) Decsó: Como calc = 3.57 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 500 y se cocluye que la varaza de las otas de los alumos es gual a 500 putos, co el 5% de sgfcacó. Como la prueba es blateral y así: calc = 3.57 < = 9 el valor-p se obtee P = P[ < ] = P[ < 3.57] = x. () calc 9 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 9 grados de lbertad, o está el valor 3.57, se determa x terpolado de la sguete maera: P x x = x 0.84 = 0.4 x = Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = {0.064} = 0.8 Rpta. 0.4 x

311 Como el valor-p = 0.8 > = 0.05 se acepta H 0 : σ = 500. Por lo tato, se cocluye també co u 5% de sgfcacó, que la varaza de las otas de los alumos es gual a 500 putos. 7. Los pesos de los paquetes de arroz embolsado es de 5 Kg. Ua muestra aleatora de 8 paquetes da ua meda de 5.3 Kg. y ua desvacó típca de. Kg. upoga que los pesos se dstrbuye ormalmete. a) Co ua sgfcacó del 5 % pruebe s el verdadero peso medo de los paquetes de arroz es dstto de 5 Kg. Halle p-value. b) Poga a prueba H 0 : σ = 5 cotra H : σ 5, co u α = Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el peso de los paquetes de arroz.. Hpótess: H 0 : μ = 5 H : μ 5. Nvel de sgfcacó: = x 3. Estadístca de prueba: T t7 / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la alteratva blateral, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t -/, - = t 0.975, 7 =.365 Luego, la regó crítca e la varable T es: R.C = {T < o T >.365} 5. Cálculos, co los datos se obtee: = 8, 5 x = 5.3, =. y μ = Etoces: T calc x = 0.70 /./ 8 6. Decsó: puesto que T calc = 0.70 ϵ R.A., se acepta H 0 y se cocluye co u 5% de sgfcacó que el peso medo de los paquetes de arroz es gual a 5 Kg. edo la prueba blateral, etoces p-valor = P es: P = P[ T 7 > 0.70 ] = P[T 7 > 0.70] = { - P[T ]} = ( 0.75) = 0.50 Rpta. Ya que e la tabla 3, T de studet, para 7 grados de lbertad, al valor 0.70, le correspode ua probabldad acumulada cercaa a

312 Como el valor-p = 0.50 > = 0.05, se acepta Ho: μ = 5 y se cocluye també, co u 5% de sgfcacó, que el peso medo de los paquetes de arroz es gual a 5 Kg. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 5 H : σ 5. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 8, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (8 ) Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste blateral, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos:.69 y 6. 0 /, 0.05,7 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { <.69 o > 6.0} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta =. =.467, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (.467).05 5 calc =.05 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 5 y se cocluye que la varaza de los pesos de los paquetes de arroz es gual a 5 Kg, co el 5% de sgfcacó. Como la prueba es blateral y así: calc =.05 < = 7 el valor-p se obtee P = P[ < ] = P[ <.05] = x. () calc 7 Como e la tabla, de ch-cuadrado, para 7 grados de lbertad, o está el valor.05, se determa x terpolado de la sguete maera: P x 0.36 x x =

313 x 0.48 = 0.36 x = Reemplazado x = e () se obtee: P = P-valor = {0.044} = Rpta. Como el valor-p = > = 0.05 se acepta H 0 : σ = 5. Por lo tato, se cocluye també co u 5% de sgfcacó, que la varaza de los pesos de los paquetes de arroz es gual a 5 Kg. 8. e prueba ua muestra aleatora de 5 fusbles de certa marca para determar el puto medo de ruptura. Los putos de ruptura meddos e amperes fuero: 8, 3, 30, 4 y 36. a) Hay razó para creer que el verdadero puto medo de ruptura es mayor de amperes? Use α = 0.0. Halle p-valor. b) Co α = 0.0, erá rechazada la hpótess σ = 30 amp a favor de σ < 30? Halle p-valor. olucó a) ea la varable aleatora defda como el puto de ruptura de los fusbles.. Hpótess: H 0 : μ = amperes H : μ >. Nvel de sgfcacó: = 0.0. x 3. Estadístca de prueba: T t7 / 4. Regó crítca: para = 0.0 y la alteratva ulateral derecha, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t -, - = t 0.99, 4 = Luego, la regó crítca e la varable T es: R.C = {T > 3.747} 5. Cálculos, co los datos se obtee: = 5, x = 30, = 4.47 y μ = Etoces: T calc x 30 = 4.0 / 4.47 / 5 6. Decsó: puesto que T calc = 4.0 ϵ R.C., se rechaza H 0 y se cocluye co el % de sgfcacó que el puto medo de ruptura es mayor de amperes. edo la prueba ulateral derecha, etoces p-valor = P es: P = P[T 4 > T calc ] = P[T 4 > 4.0] = { - P[T 4 4.0]} = ( 0.995) = Rpta. 33

314 Ya que e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o está el valor 4.0, se terpola y obtee ua probabldad acumulada de Como el valor-p = < = 0.0, se rechaza Ho: μ = y se cocluye també, co el % de sgfcacó, que el puto medo de ruptura de los fusbles es mayor de amperes. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 30 amp H : σ < 30. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 5, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (5 ) Regó crítca: Para = 0.0 y para u cotraste de la cola zquerda, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra el sguete valor crítco:, Luego, la regó crítca es: R.C. { < 0.97} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 0, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (0) calc =.67 R.A. o se rechaza H 0 : σ = 30 y se cocluye que la varaza de los putos de ruptura de los fusbles es gual a 30 amp, co el % de sgfcacó. Como la prueba es ulateral zquerda y así: calc =.67, el valor-p se obtee P = P[ < ] = P[ <.67] = calc 4 Rpta. Ya que e la tabla, de ch-cuadrado, para 4 grados de lbertad, o está el valor.67, se terpola y obtee ua probabldad acumulada de Como el valor-p = > = 0.0 se acepta H 0 : σ = 30. Por lo tato, se cocluye també co el % de sgfcacó, que la varaza de los putos de ruptura de los fusbles es gual a 30 amp. 34

315 9. U fabrcate sostee que sus autos cosume e promedo.50 galoes de gasola cada 00 Km. U vededor de la compañía comprueba el cosumo de gasola de 5 autos y ecuetra que el cosumo medo es de.6 galoes cada 00 Km. co ua desvacó estádar de 0.5 galoes. a) puede dudarse de lo sustetado por el fabrcate? Use α = 0.0. Halle p- valor. b) erá rechazada la hpótess σ 0.38? Use α = 0.0. Halle p-valor. olucó a) ea la varable defda como el úmero galoes cosumdos cada 00 Km.. Hpótess: H 0 : μ =.5 galoes H : μ.5. Nvel de sgfcacó: = 0.0. x 3. Estadístca de prueba: T t4 / 4. Regó crítca: para = 0.0 y la prueba es blateral, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t -/, - = t 0.995, 4 =.797 Luego, la regó crítca e la varable T es: R.C = {T < o T >.797 } 5. Cálculos, co los datos se obtee: = 5,.5 x =.6, = 0.5 y μ = Etoces: T calc x.6.50 =. / 0.5 / 5 6. Decsó: puesto que T calc =. ϵ R.A., o se rechaza H 0 y se cocluye co el % de sgfcacó que el cosumo medo de gasola e los autos es de.5 galoes cada 00 Km. y o puede dudarse de lo sustetado por el fabrcate. edo la prueba blateral, etoces p-valor = P es: P = P[ T 4 >. ] = P[T 4 >.] = { - P[T 4.]} = ( 0.98) = 0.04 Rpta. Ya que e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o está el valor., se terpola y obtee ua probabldad acumulada de

316 Como el valor-p = 0.04 > = 0.0, o se rechaza Ho: μ =.5 y se cocluye també, co el % de sgfcacó, que el cosumo medo de gasola e los autos es de.5 galoes cada 00 Km. b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 0.38 galoes H : σ Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 5, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (5 ) Regó crítca: Para = 0.0 y para u cotraste blateral, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra los sguetes valores crítcos: 9.89 y /, 0.005, 4 /, Luego, la regó crítca es: R.C. { < 9.89 o > 45.6} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta = 0.5 = 0.065, etoces, 6. Decsó: Como calc ( ) (0.065) calc = 3.95 R.C. se rechaza H 0 : σ = 0.38 y se cocluye que la varaza del cosumo de gasola e los autos por cada 00 Km. es dferete a 0.38 galoes, co el % de sgfcacó. Como la prueba es blateral y calc = 3.95 < = 4 el valor-p se obtee así: P = P[ < ] = P[ < 3.95] = (0.00) = calc 4 Ya que e la tabla, de ch-cuadrado, para 4 grados de lbertad, el valor 3.95, tee ua probabldad acumulada meor de Como el valor-p = < = 0.0 se rechaza H 0 : σ = Por lo tato, se cocluye també co el % de sgfcacó, que la varaza del cosumo de gasola e los autos por cada 00 Km. es dferete a 0.38 galoes. 36

317 0. Ua muestra de 5 cletes de certa gasolera dca que el úmero medo de galoes comprados a la semaa es de x = 4.3 y la desvacó estádar de =.7 galoes. a) Co el 5 % de sgfcacó. Hay razó para creer que el verdadero úmero medo de galoes comprados a la semaa por clete es meor de 5.6? Determe el p-valor. b) Co α = 0.05 Aceptaría usted que σ > 4.? Determe el p-valor. olucó a) ea la varable defda como el úmero de galoes de gasola comprados a la semaa por u clete.. Hpótess: H 0 : μ = 5.6 galoes H : μ < 5.6. Nvel de sgfcacó: = x 3. Estadístca de prueba: T t4 / 4. Regó crítca: para = 0.05 y la prueba de la cola zquerda, se ecuetra el valor crítco e la Tabla 3: t, - = -t -, - t 0.05, 4 = -t 0.95, 4 = -.7. Luego, la regó crítca e la varable T es: R.C = {T < -.7} 5. Cálculos, co los datos se obtee: = 5, 5.6 x = 4.3, =.7 y μ = Etoces: T calc x = -.4 /.7 / 5 6. Decsó: puesto que T calc = -.4 ϵ R.C., se rechaza H 0 y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el cosumo medo semaal de gasola por clete es meor a 5.6 galoes. edo la prueba ulateral zquerda, etoces p-valor = P es: P = P[T 4 < -.4] = - P[T 4.4] = = 0.03 Rpta. Ya que e la tabla 3, T de studet, para 4 grados de lbertad, o está el valor.4, se terpola y obtee ua probabldad acumulada de Como el valor-p = 0.03 < = 0.05, rechaza Ho: μ = 5.6 y se cocluye també, co el 5% de sgfcacó, que el cosumo medo semaal de gasola por clete es meor a 5.6 galoes. 37

318 b) Para verfcar la hpótess acerca de la varaza, se sgue los sguetes pasos:. Hpótess: H 0 : σ = 4. galoes H : σ > 4.. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: poblacó ormal, co = 5, y supoedo verdadera H 0, la estadístca de prueba es: ( ) (5 ) Regó crítca: Para = 0.05 y para u cotraste ulateral derecho, e la tabla de ch-cuadrado se ecuetra el sguete valor crítco:, 0.95, Luego, la regó crítca es: R.C. { > 36.4} 5. Cálculos: De los datos de la muestra resulta =.7 = 7.9, etoces, calc ( ) (7.9) Decsó: Como calc = 4.7 R.C. se rechaza H 0 : σ = 4. y se cocluye que la varaza de las compras de gasola por clete es mayor de 4. galoes, co el 5% de sgfcacó. Como la prueba es ulateral derecha el valor-p se obtee así: P = P[ > ] = P[ > 4.7] = - P[ 4.7] = = 0.0 calc 4 4 Ya que e la tabla, de ch-cuadrado, para 4 grados de lbertad, el valor 4.7, tee ua probabldad acumulada cercaa a Como el valor-p = 0.0 < = 0.05 se rechaza H 0 : σ = 4.. Por lo tato, se cocluye també co el 5% de sgfcacó, que la varaza de las compras de gasola por clete es mayor de 4. galoes.. e compararo dos marcas de llatas de automóvl, y, respecto a su duracó e Km. Dos muestras aleatoras de 3 llatas de cada marca, dero estos resultados: x = 46300, = 3, = 5000 y x = 4800, = 3, = 600. o dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas? Use α = 0.0. Determe p-valor. 38

319 olucó ea y la duracó (e Km.) de las llatas marca y respectvamete y, sus respectvas medas. e descooce la dstrbucó de probabldades de y, pero las muestras so grades ( = = 3 > 30). Para determar s so dferetes las duracoes medas de las llatas de ambas marcas, se compara sus duracoes medas:.. Hpótess: H 0 : = cotra H :. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba.- s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z N(0, ) 4. Regó Crítca. Para = 0.0 y la alteratva blateral, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.575 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: 5. Cálculos, de los datos se tee: RC = {Z calc < o Z calc >.575} = 3, x = 46300, = 5000 y = 3, x = 4800, = 600. E.. = Error estádar = = 46.6 Z calc x x E Decsó: ya que Z calc = -.7 R.A., o se rechaza Ho y se cocluye co el % de sgfcacó, que la duracó meda de las llatas marca y es la msma. El valor P para la prueba blateral es: P = P[ Z > -.7 ] = P[ Z >.7] = P[Z < -.7] = (0.004) = 0.04 Rpta. 39

320 Como P = 04 > = 0.0 o se rechaza Ho y se cocluye també que la duracó meda de las llatas de marcas es la msma, co el % de sgfcacó.. Muestras del pago por hora para los choferes de camoes e las cudades y 0.5. proporcoa los sguetes datos: = 35, x = $ 5.30, = $ 0.6 y = 40, x = $ 5.40, = $ Co u vel de sgfcacó del %, probar s el pago medo por hora a los choferes de camó de la cudad es meor que el pago medo por hora a los choferes de camó de la cudad. Hallar p-valor. olucó ea y el pago por hora a los choferes de camó e las cudades y respectvamete y, sus respectvas medas. e descooce las dstrbucó de probabldades de y, pero las muestras so grades ( y > 30). Para probar s el pago medo por hora a los choferes de camó de la cudad es meor que el pago medo por hora a los choferes de la cudad, se compara: <.. Hpótess: H 0 : = cotra H : <. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z N(0, ) 4. Regó Crítca. Para = 0.0 y la alteratva ulateral zquerda, e la Tabla de la ormal estádar, el valor crítco es: Z = -Z - Z 0.0 = -Z 0.99 = Luego, la regó crítca está dada por: R.C = {Z calc < -.33} 5. Cálculos, de los datos se tee: x = $ 5.30, = 35, = $ 0.6 y x = $ 5.40, = 40, = $

321 E.. = Error estádar = = Z calc x x E Decsó: ya que Z calc = -.78 R.C., se rechaza Ho y se cocluye co el % de sgfcacó, que el pago medo por hora a los choferes de camó de la cudad es meor que el pago medo por hora a los choferes de la cudad. El valor P para la prueba ulateral zquerda es: P = P[Z < -.78] = Rpta. Como P = < = 0.0 se rechaza Ho y se cocluye també que el pago medo por hora a los choferes de camó de la cudad es meor que el pago medo por hora a los choferes de la cudad, co el % de sgfcacó. 3. E u estudo para determar el gasto medo semaal e almetos e los hogares de las cudades y, se toma ua muestra al azar de 00 hogares de la cudad arrojado u gasto medo de /. 50 y ua desvacó estádar de 35. Ua muestra al azar de 80 hogares de la cudad da ua gasto medo de 40 y ua desvacó estádar de 30. Probar s es dferete el gasto medo semaal e almetos e las cudades y. Use α = Hallar p-valor. olucó ea y el gasto semaal e almetos e los hogares de las cudades y respectvamete y, sus respectvas medas. e descooce la dstrbucó de probabldades de y, pero las muestras so grades ( y > 30). Para determar s es dferete el gasto medo semaal e almetos e ambas cudades, se compara sus gastos medos:.. Hpótess: H 0 : = vs H :. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z N(0, ) 3

322 4. Regó Crítca. Para = 0.05 y la alteratva blateral, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.96 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: 5. Cálculos, de los datos se tee: RC = {Z calc < -.96 o Z calc >.96} = 00, x = 50, = 35 y = 80, x = 40, = 30. E.. = Error estádar = = 3.34 x x Z calc =.99 E Decsó: ya que Z calc =.99 R.C., se rechaza Ho y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el gasto medo semaal e almetos e las cudades y es dferete. El valor P para la prueba blateral es: P = P[ Z >.99 ] = P[ Z >.99] = Ф(-.99) = (0.0039) = Rpta. Como P = < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també que el gasto medo semaal e almetos de ambas cudades es dferete, co el 5% de sgfcacó. 4. e compararo los gastos mesuales (/.) e educacó e las cudades y ; muestras aleatoras de 00 famlas de la cudad y 50 de la cudad, dero estos resultados: = 00, = 60, = 60 y = 50, = 50, = 50. Use α = 0.05, para determar s el gasto medo mesual e educacó de la cudad es mayor que el gasto medo mesual e educacó de la cudad. Hallar el p-valor. olucó ea y el gasto mesual e educacó realzado por las famlas de las cudades y respectvamete y, sus respectvas medas. e descooce las dstrbucó de probabldades de y, pero las muestras so grades ( y > 30). Para determar s el gasto medo mesual e educacó de la cudad 3

323 es mayor que el gasto medo mesual e educacó de la cudad, se compara sus gastos medos: >.. Hpótess: H 0 : = cotra H : >. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z N(0, ) 4. Regó Crítca. Para = 0.05 y la alteratva ulateral derecha, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z - = Z 0.95 =.645. Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: RC = { Z calc >.645} 5. Cálculos, de los datos se tee: = 00, = 60, = 60 y = 50, = 50, = 50. E.. = Error estádar = = 5.89 x x Z calc =.70 E Decsó: ya que Z calc =.70 R.C., se rechaza Ho y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el gasto medo mesual e educacó de la cudad es mayor que el gasto medo mesual e educacó de la cudad. El valor P para la prueba ulateral derecha es: P = P[Z >.70] = Ф(.70) = = Rpta. Como P = < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també que el gasto medo mesual e educacó de la cudad es mayor que el gasto medo mesual e educacó de la cudad, co el 5% de sgfcacó. 5. Para determar el costo medo mesual de la eseñaza e las uversdades A y B, se toma ua muestra al azar de alumos de la uversdad A arrojado u costo medo de /. 650 y ua desvacó estádar de / 70. Ua muestra al azar de alumos de la uversdad B da ua costo medo de /. 675 y ua desvacó estádar de /. 90. Co α = 0.0, probar s es dferete el costo medo mesual de la eseñaza e las uversdades A y B. Hallar p-valor. 33

324 olucó ea A y B el costo mesual de la eseñaza e las uversdades A y B respectvamete y A, B sus respectvas medas. e descooce la dstrbucó de probabldades de A y B, pero las muestras so grades ( A y B > 30). Para determar s es dferete el costo medo mesual de la eseñaza e ambas uversdades, se compara sus gastos medos: A B.. Hpótess: H 0 : A = B vs H : A B. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: s se supoe verdadera la hpótess Ho y para muestras grades, la estadístca apropada es: Z A A A B B B N(0, ) 4. Regó Crítca. Para = 0.0 y la alteratva blateral, e la Tabla de la ormal estádar, se ecuetra el valor crítco: Z -/ = Z =.575 Luego, la regó crítca e la varable Z está dada por: 5. Cálculos, de los datos se tee: A =, RC = {Z calc < o Z calc >.575} x A = 650, A = 70 y B =, x B = 675, B = 90. E.. = Error estádar = A A B B = 0.37 x A x B Zcalc = -.4 E Decsó: ya que Z calc = -.4 R.A., o se rechaza Ho y se cocluye co el % de sgfcacó, que es gual el costo medo mesual de la eseñaza e las uversdades A y B. El valor P para la prueba blateral es: P = P[ Z > -.4 ] = P[ Z >.4] = Ф(-.4) = ( ) = Rpta. 34

325 Como P = > = 0.0 se acepta Ho y se cocluye també que el costo medo mesual de la eseñaza e ambas uversdades es gual, co el % de sgfcacó. 6. La produccó de 3 obreros de la jorada dura, do u promedo de 8 pezas co ua desvacó estádar de 0, metras que para obreros de la jorada octura, do u promedo de 74 co ua desvacó estádar de 7. Co el 5% de sgfcacó (α = 0.05), probar s: a) o heterogéeas las varazas de ambos turos? Halle p-valor. b) Es dferete la produccó meda de los dos turos? Halle p-valor. olucó ea y las varables que represeta el úmero de pezas producdas e los turos duro () y octuro () respectvamete. Asumedo que las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas descoocdas y las muestras so pequeñas ( y < 30) prmero se prueba s las varazas so heterogéeas, para segú ello probar s las medas so dferetes. Datos: = 3, = 8, = 0 y =, = 74, = 7. a). Hpótess: H 0 : = H :. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: supoedo las poblacoes ormales y la hpótess ula certa, para = 3 y =, la estadístca de prueba es: F f,0 4. Regó crítca. Para = 0.05 y la prueba blateral e la Tabla 4, los valores crítcos F so: f, 0, 0.05 = / f 0,, = / 3.37 = 0.97 y f, 0, = 3.6. R.C. = {F < 0.97 o F > 3.6} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 00, = 49 y 00 F calc =

326 6. Decsó. Como F calc =.04 R.A. se acepta Ho y coclumos que las varazas del úmero de pezas producdas e los turos duro y octuro so guales (homogéeas), co el 5% de sgfcacó. El valor P para la prueba blateral y como F calc =.04 > se obtee así: P = P[f,0 >.04] = { - P[f,0.04]} > 0.0 (e Excel 0.674). Rpta. Ya que e la Tabla 4 de la F, para y 0 grados de lbertad, la probabldad acumulada hasta.04 es meor a 0.95 (e Excel es ). Como P > 0.0 > = 0.05, se acepta la hpótess ula y se cocluye també que las varazas del úmero de pezas producdas e los turos duro y octuro so homogéeas, co el 5% de sgfcacó. b) A cotuacó se prueba s es dferete la produccó meda de los dos turos.. Hpótess: H 0 : = y H :. Nvel de sgfcacó: = La estadístca de prueba cuado las varazas so homogéeas es: T t 3 t c c 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba blateral, e la Tabla 3: t, =.074. Etoces: R.C. = {T < o T >.074} 5. Co la formacó muestral: = 3, = 8, = 0 y =, = 74, = 7; y bajo el supuesto que Ho es certa se determa: c ( ) 3x0 x7 3 = t calc xx c c 3 6. Decsó: como t calc =.4 R.C. se rechaza Ho y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que la produccó meda de los dos turos so dferetes. 36

327 Para dos colas: P = P[T >.4] = [ P(T.4)] = [ x].. () E la Tabla 3, T de studet, o está el valor.5, se determa x terpolado así: T α P x x x = x 8. = x = Reemplazado x = e () se obtee: P-valor = [ ] = Rpta. Como el valor-p = < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també que la produccó meda de los dos turos so dferetes, co el 5% de sgfcacó. 7. Dos máquas elata café depedetemete. Medate muestras aleatoras s reemplazo, de latas co café tomadas de cada máqua, se ha obtedo los sguetes resultados sobre el peso de las latas (e gramos): = 6, = 495, = 9 y = 6, = 505, = 5. a) o dferetes las varazas de los pesos de las latas co café de ambas máquas? Use = Halle p-valor. b) Es mayor el peso medo de las latas co café de la máqua que el de la máqua? Use = 0.0 y determe p-valor. olucó ea y las varables que represeta el peso de las latas co café (e gr.) de las máquas y respectvamete. Asumedo que las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas descoocdas y las muestras so pequeñas ( y < 30) prmero se prueba s las varazas so dferetes, para segú ello probar s es mayor el peso medo de las latas co café de la máqua que el de la máqua. Datos: = 6, = 495, = 9 y = 6, = 505, = 5. a). Hpótess: H 0 : = H :

328 . Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: supoedo las poblacoes ormales y la hpótess ula certa, para = = 6, la estadístca de prueba es: F f 5,5 4. Regó crítca. Para = 0.05 y la prueba blateral e la Tabla 4, los valores crítcos F so: f 5, 5, 0.05 = / f 5, 5, = /.86 = 0.35 y f 5, 5, =.86. R.C. = {F < 0.35 o F >.86} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 8, = 5 y 8 F calc = Decsó. Como F calc = 3.4 R.C. se rechaza Ho y coclumos que las varazas de los pesos de las latas co café de ambas máquas so dferetes (heterogéeas), co el 5% de sgfcacó. El valor P para la prueba blateral y como F calc = 3.4 > se obtee así: P = P[f 5,5 > 3.4] = { - P[f 5,5 3.4]} = { x}. () Como e la Tabla 4 de la dstrbucó F, para 5 y 5 grados de lbertad, o está el valor 3.4, pero éste se ecuetra etre los valores.86 (co probabldad 0.975) y 3.5 (co probabldad 0.99) para hallar x se terpola así: F α P x = x x 4.9 = 0.38 x = Reemplazado x = e () se tee: P = { 0.984} = 0.03 Rpta x Como P = 0.03 < = 0.05, se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las varazas de los pesos de las latas co café de ambas máquas so dferetes (heterogéeas), co el 5% de sgfcacó. 38

329 b) A cotuacó se prueba s el peso medo de las latas co café de la máqua, es mayor que el peso medo de las latas co café de la máqua.. Hpótess: H 0 : = y H : >. Nvel de sgfcacó: = La estadístca de prueba cuado las varazas so heterogéeas es: T H t t 3 Dode: H = = = Regó crítca, para = 0.0 y la prueba ulateral derecha, e la Tabla 3 el valor crítco es: t 3, 0.99 =.50. Etoces: R.C. = {T >.50} 5. Co la formacó muestral: = 6, = 495, = 9, = 6, = 505, = 5; y bajo el supuesto que Ho es certa se determa: t calc Decsó: como t calc = 3.89 R.C. se rechaza Ho y se cocluye co el % de sgfcacó, que el peso medo de las latas co café de la máqua es mayor que el peso medo de las latas co café de la máqua. Para la cola del lado derecho: P = P[T 3 > 3.89] = - P[T ] < (e Excel ) Rpta. Ya que e la Tabla 3 de la T, para 3 grados de lbertad, la probabldad acumulada hasta 3.89 es mayor a (e Excel es ). Como el valor-p < < = 0.0 se rechaza Ho y se cocluye també que el peso medo de las latas co café de la máqua es mayor que el peso medo de las latas co café de la máqua, co el % de sgfcacó. 39

330 8. E u colego de secudara, el cocete de telgeca de 5 alumos del turo duro, do u promedo de co ua desvacó estádar de 6; metras que para 5 estudates del turo octuro, do u promedo de 05 co ua desvacó estádar de 5. Co el % de sgfcacó pruebe sí: a) o heterogéeas las varazas de ambos grupos? Halle p-valor. b) o dferetes los cocetes medos de telgeca de los turos? Halle p- valor. olucó ea y las varables que represeta el cocete de telgeca de los alumos del turo duro () y del turo octuro () respectvamete. Asumedo que las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas descoocdas y las muestras so pequeñas ( y < 30) prmero se prueba s las varazas so heterogéeas, para segú ello probar s so dferetes los cocetes medos de telgeca de los turos. Datos: = 5, =, = 6 y = 5, = 05, = 5. a). Hpótess: H 0 : = H :. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: supoedo las poblacoes ormales y la hpótess ula certa, para = = 5, la estadístca de prueba es: F f 4,4 4. Regó crítca. Para = 0.0 y la prueba blateral e la Tabla 4, los valores crítcos F so: f 4, 4, = / f 4, 4, = / 4.30 = 0.33 y f 4, 4, = R.C. = {F < 0.33 o F > 4.30} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 36, = 5 y 36 F calc = Decsó. Como F calc = 0.6 R.C. se rechaza Ho y coclumos que las varazas de los cocetes de telgeca de los turos so dferetes (heterogéeas), co el % de sgfcacó. 330

331 El valor P para la prueba blateral y como F calc = 0.6 < se obtee así: P = P[f 4,4 < 0.6] = P[/ f 4,4 / 0.6] = P[f 4,4 6.5] = = { - P[f 4,4 6.5]} < 0.0 (e Excel 0.006). Rpta. Ya que e la Tabla 4 de la F, para 4 y 4 grados de lbertad, la probabldad acumulada hasta 6.5 es mayor a (e Excel es 0.999). Como P < 0.0 < = 0.0, se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las varazas de los cocetes de telgeca de ambos turos so dferetes (heterogéeas), co el % de sgfcacó. b) A cotuacó se prueba s so dferetes los cocetes medos de telgeca de los turos.. Hpótess: H 0 : = y H :. Nvel de sgfcacó: = La estadístca de prueba cuado las varazas so heterogéeas es: T t H t8 Dode: H = = = Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla 3 el valor crítco es: t 8, =.878. Etoces: R.C. = {T < o T >.878} 5. Co la formacó muestral: = 5, =, = 6, = 5, = 05, = 5; y bajo el supuesto que Ho es certa se determa: t calc Decsó: como t calc =.68 R.A. se acepta Ho y se cocluye co el % de sgfcacó, que los cocetes medos de telgeca de los turos so guales. 33

332 Para dos colas: P = P[T 8 >.68] = [ P(T 8.68)] = [ x].. () E la Tabla 3, T de studet, co 8 grados de lbertad, o está el valor.68, se determa x terpolado así: T α P x x = x 7.7 = 0.35 x = Reemplazado x = e () se obtee: P-valor = [ 0.943] = 0.4 Rpta x 0.90 Como el valor-p = 0.4 > = 0.0 o se rechaza Ho y se cocluye també que los cocetes medos de telgeca de ambos turos so guales, co el % de sgfcacó. 9. Muestras del sueldo de hombres () y mujeres () de ua compañía proporcoa los sguetes datos: = 0, = $ 540, = $ 6 y = 0, = $ 530, = $ 5. a) o heterogéeas las varazas de los sueldos de ambos grupos? Use = 0.0. Halle p-valor. b) Co u vel de sgfcacó del 5%, probar s el sueldo medo de las mujeres es meor que el de los hombres. Hallar p-valor. olucó ea y las varables que represeta el sueldo de los hombres () y de las mujeres () respectvamete. Asumedo que las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas descoocdas y las muestras so pequeñas ( y < 30) prmero se prueba s las varazas so heterogéeas, para segú ello probar s el sueldo medo de las mujeres es meor que el de los hombres. Datos: = 0, = $ 540, = $ 6 y = 0, = $ 530, = $ 5. a). Hpótess: H 0 : = H :. Nvel de sgfcacó: =

333 3. Estadístca de prueba: supoedo las poblacoes ormales y la hpótess ula certa, para = = 0, la estadístca de prueba es: F f 9,9 4. Regó crítca. Para = 0.0 y la prueba blateral e la Tabla 4, los valores crítcos F so: f 9, 9, = / f 9, 9, = / 3.43 = 0.9 y f 9, 9, = R.C. = {F < 0.9 o F > 3.43} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 56, = 5 y 56 F calc = Decsó. Como F calc =.4 R.A. o se rechaza Ho y coclumos que las varazas de los sueldos de ambos grupos so guales (homogéeas), co el % de sgfcacó. El valor P para la prueba blateral y como 333 F calc =.4 > se obtee así: P = P[f 9,9 >.4] = { - P[f 9,9.4]} > 0.0 (e Excel 0.778). Rpta. Ya que e la Tabla 4 de la F, para 9 y 9 grados de lbertad, la probabldad acumulada hasta.4 es meor a 0.95 (e Excel es 0.6). Como P > 0.0 > = 0.0, o se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las varazas de los sueldos de ambos grupos so guales (homogéeas), co el % de sgfcacó. b) A cotuacó se prueba s el sueldo medo de las mujeres es meor que el de los hombres.. Hpótess: H 0 : = y H : <. Nvel de sgfcacó: = La estadístca de prueba cuado las varazas so homogéeas es: T t 0 0 t38 c c 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba ulateral zquerda, e la Tabla 3: t 38, 0.05 = - t 38, 0.95 = Etoces:

334 R.C. = {T < -.686} 5. Co la formacó muestral: = 0, = $ 540, = $ 6, = 0, = $ 530, = $ 5; y bajo el supuesto que Ho es certa se determa: c ( ) 9x6 9x5 0 0 = 40.5 t calc c c Decsó: como t calc = -.04 R.C. se rechaza Ho y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el sueldo medo de las mujeres es meor que el sueldo medo de los hombres. Para la prueba ulateral zquerda: P = P[T 38 < -.04] = P(T 38.04) = = Rpta. Como el valor-p = 0.04 < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també que el sueldo medo de las mujeres, es meor que el sueldo medo de los hombres, co el 5% de sgfcacó. 0. e ha llevado a cabo u estudo para aalzar los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas comercales de dos cudades. Medate muestras aleatoras s reemplazo de 0 empresas tomadas e cada cudad se ha obtedo los sguetes resultados: = 0, x = 40, = 5 y = 0, x = 385, = 5. a) o dferetes las varazas de los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas comercales de las dos cudades? Use = Halle p-valor. b) o dferetes los gastos medos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas comercales de ambas cudades? Use = 0.05 y halle p- valor. olucó ea y las varables que represeta los gastos mesuales e segurdad partcular de las empresas comercales e las cudades y respectvamete. Asumedo que las dos poblacoes se dstrbuye ormalmete co varazas

335 descoocdas y las muestras so pequeñas ( y < 30) prmero se prueba s las varazas so dferetes; para segú ello, probar s so dferetes los gastos medos mesuales e segurdad partcular de las empresas comercales de ambas cudades. = 0, x = 40, = 5 y = 0, x = 385, = 5. a). Hpótess: H 0 : = H :. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: supoedo las poblacoes ormales y la hpótess ula certa, para = = 0, la estadístca de prueba es: F f 9,9 4. Regó crítca. Para = 0.05 y la prueba blateral e la Tabla 4, los valores crítcos F so: f 9, 9, 0.05 = / f 9, 9, = /.53 = y f 5, 5, =.53. R.C. = {F < o F >.53} 5. Cálculos: co los datos de la muestra se obtee: = 65, = 5 y 65 F calc = Decsó. Como F calc =.78 R.C. se rechaza Ho y coclumos que las varazas de los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas comercales de las dos cudades so dferetes (heterogéeas), co el 5% de sgfcacó. El valor P para la prueba blateral y como 335 F calc =.78 > se obtee así: P = P[f 9,9 >.78] = { - P[f 9,9.78]} = { x}. () Como e la Tabla 4 de la dstrbucó F, para 9 y 9 grados de lbertad, o está el valor.78, pero éste se ecuetra etre los valores.53 (co probabldad 0.975) y 3.03 (co probabldad 0.99) para hallar x se terpola así: F α P x = x x 0.975

336 x 3.5 = 0.5 x = Reemplazado x = e () se tee: P = { 0.983} = Rpta. Como P = < = 0.05, se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que las varazas de los gastos mesuales e segurdad partcular realzada por las empresas comercales de ambas cudades so dferetes (heterogéeas), co el 5% de sgfcacó. b) A cotuacó se prueba s so dferetes los gastos medos mesuales e segurdad partcular de las empresas comercales de ambas cudades.. Hpótess: H 0 : = y H :. Nvel de sgfcacó: = La estadístca de prueba cuado las varazas so heterogéeas es: T H t t 3 Dode: H = = = Regó crítca, para = 0.05 y la prueba blateral, e la Tabla 3 el valor crítco es: t 3, =.04. Etoces: R.C. = {T < -.04 o T >.04 } 5. Co la formacó muestral: = 0, x = 40, = 5 y = 0, x = 385, determa: t calc 65 5 = 5; y bajo el supuesto que Ho es certa se Decsó: como t calc =.6 R.C. se rechaza Ho y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que los gastos medos mesuales e segurdad partcular de las empresas comercales de ambas cudades so dferetes. Para dos colas: P = P[T 3 >.6] = [ P(T 3.6)] = [ x].. () 336

337 E la Tabla 3, T de studet, co 3 grados de lbertad, o está el valor.6, pero éste se ecuetra etre los valores.453 (co probabldad 0.99) y.744 (co probabldad 0.995) para hallar x se terpola así: T α P x 0.57 x x x = 0.57 x = Reemplazado x = e () se obtee: P-valor = [ 0.993] = Rpta. 58. = Como el valor-p = 0.04 < = 0.05 se rechaza Ho y se cocluye també que los gastos medos mesuales e segurdad partcular de las empresas comercales de ambas cudades so dferetes, co el % de sgfcacó.. Ua Ecuesta de Opó realzada e 000 hogares de Lma Metropoltaa (co hogares) dca que el 30.5 % de los hogares compra peródcos y revstas. Aceptaría Ud. que meos del 34 % de hogares lmeños compra peródcos y revstas? Use α = Halle p-valor. olucó Deotemos co p la proporcó (%) poblacoal de hogares que compra peródcos y revstas. e quere cotrastar las hpótess s meos del 34 % (0.34) de hogares lmeños compra peródcos y revstas.. Hpótess: H 0 : p p 0 = 0.34, H : p < Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: Z pˆ p0 p0q0 N(0,) 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba ulateral zquerda, e la Tabla el valor crítco es: Z α = -Z -α = -Z 0.95 = Etoces: R.C. = {Z < -.645} 5. Co la formacó muestral: = 000, p ˆ y bajo el supuesto que Ho: p = p 0 = 0.34 es certa, se determa:

338 Z calc pˆ p = -.33 p0q0 0.34x Decsó: como Z calc =.33 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que meos del 34 % (p < 0.34) de hogares lmeños compra peródcos y revstas (la estmacó muestral dca que es el 30.5%). P = P[Z < Z calc ] = P[Z < -.33] = Ф(-.33) = Rpta. Como el valor-p = < = 0.05 se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que meos del 34 % de hogares lmeños compra peródcos y revstas, co el 5% de sgfcacó.. Ua Ecuesta de Opó realzada e 800 hogares de Lma Metropoltaa (co.7 mlloes de hogares) 644 hogares dcaro que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda. Aceptaría usted que la verdadera proporcó de hogares que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda dfere de 0.75 (75%)? Use α = 0.0. Halle p-valor. olucó Deotemos co p la proporcó (%) poblacoal de hogares que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda. e quere cotrastar las hpótess s la proporcó de hogares que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda dfere de 0.75 o 75% (p 0.75).. Hpótess: H 0 : p = p 0 = 0.75, H : p Nvel de sgfcacó: = 0.0 pˆ p0 3. Estadístca de prueba: Z N(0,) p0q0 4. Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla el valor crítco es: Z -α/ = Z =.575. Etoces: R.C. = {Z < o Z >.575} Co la formacó muestral: = 800, = 644, p ˆ = y 800 bajo el supuesto que Ho: p = p 0 = 0.75 es certa, se determa: 338

339 Z calc pˆ p = 3.59 p0q0 0.75x Decsó: como Z calc = 3.59 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula y se cocluye co el % de sgfcacó, que la proporcó de hogares que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda dfere de 0.75 o 75% (la estmacó muestral señala que es o el 80.5%). Como la prueba es blateral, el valor-p se determa así: P = P[ Z > Z calc ] = P[ Z > 3.59] = Ф(-3.59) = (0.0007) = Rpta. Como el valor-p = < = 0.0 se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que la proporcó de hogares que tee abastecmeto de agua de la red públca detro de la vveda dfere de 0.75 o 75%, co el % de sgfcacó. 3. De ua muestra aleatora de 500 cudadaos etrevstados e Lma Metropoltaa, 400 dcaro que hay problemas de segurdad. Idca esta evdeca que más del 75 % de los cudadaos lmeños percbe que hay problemas de segurdad? Use el vel de sgfcacó de Halle p-valor. Explque el error tpo II. olucó Deotemos co p la proporcó (%) poblacoal de cudadaos de Lma Metropoltaa que dca que hay problemas de segurdad. e quere cotrastar las hpótess s más del 75 % (p > 0.75) de los cudadaos lmeños percbe que hay problemas de segurdad.. Hpótess: H 0 : p = p 0 = 0.75, H : p > Nvel de sgfcacó: = 0.05 pˆ p0 3. Estadístca de prueba: Z N(0,) p0q0 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba ulateral derecha, e la Tabla el valor crítco es: Z -α = Z 0.95 =.645. Etoces: R.C. = {Z >.645} 339

340 Co la formacó muestral: = 500, = 400, p ˆ = 0.80 y bajo 800 el supuesto que Ho: p = p 0 = 0.75 es certa, se determa: Z calc pˆ p =.58 p0q0 0.75x Decsó: como Z calc =.58 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que más del 75 % (p > 0.75) de los cudadaos lmeños percbe que hay problemas de segurdad (la estmacó muestral señala que es 0.80 o el 80%). Como la prueba es ulateral derecha, el valor-p se determa así: P = P[Z > Z calc ] = P[Z >.58] = Ф(.58) = = Rpta. Como el valor-p = < = 0.05 se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que más del 75 % (p > 0.75) de los cudadaos lmeños percbe que hay problemas de segurdad, co el % de sgfcacó. Error tpo II.- cosste e aceptar Ho (que el 75% de los cudadaos lmeños percbe que hay problemas de segurdad) cuado es falsa (este porcetaje realmete es de más del 75%). 4. e tomó ua muestra aleatora de 300 compradores e u cetro comercal y se ecotró que 8 está a favor de u horaro más amplo para las compras. Esta evdeca es sufcete para coclur que meos del 65 % de los compradores está a favor de u horaro más exteso? Use u vel de sgfcacó de Halle p-valor. olucó Deotemos co p la proporcó (%) poblacoal de compradores e el cetro comercal que respode que está a favor de u horaro más amplo para las compras. e quere probar las hpótess s meos del 65 % (p < 0.65) de los compradores está a favor de u horaro más exteso e el cetro comercal.. Hpótess: H 0 : p = p 0 = 0.65, H : p < Nvel de sgfcacó: =

341 3. Estadístca de prueba: Z pˆ p0 p0q0 N(0,) 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba ulateral zquerda, e la Tabla el valor crítco es: Z α = -Z -α = -Z 0.95 = Etoces: R.C. = {Z < -.645} 8 5. Co la formacó muestral: = 300, = 8, p ˆ = y 300 bajo el supuesto que Ho: p = p 0 = 0.65 es certa, se determa: Z calc pˆ p = -.56 p0q0 0.65x Decsó: como Z calc = -.56 ϵ R.A. o se rechaza la hpótess ula y se cocluye co el 5% de sgfcacó, que el 65 % (p = 0.65) de los compradores está a favor de u horaro más exteso e el cetro comercal. Como la prueba es ulateral zquerda, el valor-p se determa así: P = P[Z < Z calc ] = P[Z < -.56] = Ф(-.56) = Rpta. Como el valor-p = > = 0.05 o se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que el 65 % (p = 0.65) de los compradores está a favor de u horaro más exteso e el cetro comercal, co el 5% de sgfcacó. 5. De ua muestra aleatora de 500 cudadaos etrevstados e Lma Metropoltaa, 375 dcaro que o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro. Idca esta evdeca que meos del 80 % de los cudadaos o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro? Use el vel de sgfcacó de 0.0. Halle p-valor. olucó Deotemos co p la proporcó (%) poblacoal de cudadaos etrevstados que respode que dca que o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro. e quere probar las hpótess s meos del 80% (p < 0.80) de los cudadaos o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro.. Hpótess: H 0 : p = p 0 = 0.80, H : p < Nvel de sgfcacó: =

342 3. Estadístca de prueba: Z pˆ p0 p0q0 N(0,) 4. Regó crítca, para = 0.0 y la prueba ulateral zquerda, e la Tabla el valor crítco es: Z α = -Z -α = -Z 0.99 = Etoces: R.C. = {Z < -.33} Co la formacó muestral: = 500, = 375, p ˆ = 0.75 y bajo 500 el supuesto que Ho: p = p 0 = 0.80 es certa, se determa: Z calc pˆ p = -.80 p0q0 0.80x Decsó: como Z calc = -.80 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula y se cocluye co el % de sgfcacó, que meos del 80% (p < 0.80) de los cudadaos o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro. Como la prueba es ulateral zquerda, el valor-p se determa así: P = P[Z < Z calc ] = P[Z < -.80] = Ф(-.80 ) = Rpta. Como el valor-p = < = 0.0 se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que meos del 80% (p < 0.80) de los cudadaos o está de acuerdo co el servco mltar oblgatoro, co el % de sgfcacó. 6. A f de determar el vel de aceptacó de ua revsta de egocos, se etrevstaro dos grupos de empresaros: de Lma Metropoltaa () y del Resto del País (), se obtuvero los sguetes resultados: Lma M. (): = 800, = 80; Resto del País (): = 00, = 300. Co α = 0.05 o dferetes las verdaderas proporcoes de empresaros lmeños y o lmeños que acepta la revsta de egocos? Determe p- valor. olucó ea p y p, las proporcoes poblacoales de empresaros de Lma Metropoltaa () y del Resto del País () que acepta la revsta de egocos. Etoces, se desea probar s so dferetes las verdaderas proporcoes de empresaros lmeños y o lmeños que acepta la revsta de egocos. 34

343 . Hpótess: Ho: p = p y H : p p. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: pˆ pˆ ( p p ) Z N(0, ) pq pq 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba blateral, e la Tabla el valor crítco es: Z -α/ = Z =.96. Etoces: R.C. = {Z < -.96 o Z >.96} 5. Bajo el supuesto que Ho es certa y co la formacó muestral: = 800, = 80, = 0.5, 80 p ˆ = 0.35, = 00, = 300, p ˆ p ˆ = 0.9 y qˆ = 0.7; se determa: pˆ pˆ Z calc = 4.83 pq ˆ ˆ 0.9x Decsó: como Z calc = 4.83 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula co el 5% de sgfcacó. e cocluye que so dferetes las verdaderas proporcoes de empresaros lmeños y o lmeños que acepta la revsta de egocos. P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = P[Z < -4.83] = = Ф(-4.83) < (e Excel ). Rpta. Ya que e la Tabla de la dstrbucó ormal estádar, la probabldad acumulada hasta es meor a (e Excel es ). Como P < < = 0.0, se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que so dferetes las verdaderas proporcoes de empresaros lmeños y o lmeños que acepta la revsta de egocos, co el 5% de sgfcacó. 7. E ua muestra aleatora de 400 adultos, 0 está de acuerdo co la gestó presdecal. Metras que e ua muestra de 600 jóvees, 300 está de acuerdo co la gestó presdecal. e puede afrmar que la verdadera proporcó de adultos que está de acuerdo co la gestó presdecal, es mayor que la proporcó de jóvees que está de acuerdo co dcha gestó? Use α = Halle p-valor. olucó

344 ea p y p, las proporcoes poblacoales de adultos () y de jóvees () que está de acuerdo co la gestó presdecal. Etoces, se desea probar s la verdadera proporcó de adultos que está de acuerdo co la gestó presdecal, es mayor que la proporcó de jóvees que está de acuerdo co dcha gestó.. Hpótess: Ho: p = p y H : p > p. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: pˆ pˆ ( p p ) Z N(0, ) pq pq 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba ulateral derecha, e la Tabla el valor crítco es: Z -α = Z 0.95 =.645. Etoces: R.C. = {Z >.645} 5. Bajo el supuesto que Ho es certa y co la formacó muestral: = 400, = 0, 0.50, 0 p ˆ = 0.55, = 600, = 300, p ˆ = p ˆ = 0.5 y qˆ = 0.48; se determa: pˆ pˆ Z calc =.55 pq ˆ ˆ 0.5x Decsó: como Z calc =.55 ϵ R.A. o se rechaza la hpótess ula co el 5% de sgfcacó. e cocluye que so guales las verdaderas proporcoes de adultos y de jóvees que está de acuerdo co la gestó presdecal. Para la prueba es ulateral derecha: P = P[Z > Z calc ] = P[Z >.55] = Ф(.55) = = Rpta. Como P = > = 0.05, se acepta la hpótess ula y se cocluye també que so guales las verdaderas proporcoes de adultos y de jóvees que está de acuerdo co la gestó presdecal, co el 5% de sgfcacó. 8. De los alumos de la UNAC se toma ua muestra aleatora de 300 mujeres, 50 de las cuales está a favor de la ttulacó co tess. E ua muestra de 00 hombres, 0 dca que está a favor de lo msmo. e puede afrmar que hay ua dfereca sgfcatva etre las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess? Use α = 0.0. Halle p-valor

345 olucó ea p y p, las proporcoes poblacoales de estudates hombres () y mujeres () que está a favor de la ttulacó co tess. Etoces, se desea probar s so dferetes las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess.. Hpótess: Ho: p = p y H : p p. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: pˆ pˆ ( p p ) Z N(0, ) pq pq 4. Regó crítca, para = 0.0 y la prueba blateral, e la Tabla el valor crítco es: Z -α/ = Z =.575. Etoces: R.C. = {Z < o Z >.575} 5. Bajo el supuesto que Ho es certa y co la formacó muestral: = 00, = 0, 0.50, 0 p ˆ = 0.60, = 300, = 50, p ˆ = 0.54 y qˆ = 0.46; se determa: pˆ pˆ Z calc =.0 pq ˆ ˆ 0.54x producto e las cudades y. Ua muestra al azar de 600 hogares e cada p ˆ = Decsó: como Z calc =.0 ϵ R.A. o se rechaza la hpótess ula co el % de sgfcacó. e cocluye que so guales las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess. P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = P[Z < -.0] = = Ф(-.0) = (0.039) = Rpta. Como P = > = 0.0, se acepta la hpótess ula y se cocluye també que so guales las verdaderas proporcoes de alumos y alumas que está a favor de la ttulacó co tess, co el % de sgfcacó. 9. Ua empresa desea determar la proporcó de hogares que adquere su

346 cudad arroja que 88 lo adquere e la cudad y 5 e la cudad. erá la proporcó de hogares que adquere el producto e la cudad meor que la proporcó de hogares que adquere el producto e la cudad? Use = 0.0. Halle p-valor. olucó ea p y p, las proporcoes poblacoales de hogares que adquere el producto e las cudades y respectvamete. Etoces, se desea probar s la verdadera proporcó de hogares que adquere el producto e la cudad meor que la proporcó de hogares que adquere el producto e la cudad.. Hpótess: Ho: p = p y H : p < p. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: pˆ pˆ ( p p) Z N(0, ) pq pq 4. Regó crítca, para = 0.0 y la prueba ulateral, e la Tabla el valor crítco es: Z α = -Z -α = -Z 0.99 = Etoces: R.C. = {Z < -.33} 5. Bajo el supuesto que Ho es certa y co la formacó muestral: = 600, = 88, 0.4, 88 p ˆ = 0.48, = 600, = 5, p ˆ = p ˆ = 0.45 y qˆ = 0.55; se determa: pˆ pˆ Z calc = -.09 pq ˆ ˆ 0.45x Decsó: como Z calc = -.09 ϵ R.A. o se rechaza la hpótess ula co el % de sgfcacó; y se cocluye que las verdaderas proporcoes poblacoales de hogares que adquere el producto e las cudades y so guales. Para la prueba es ulateral zquerda: P = P[Z < Z calc ] = P[Z < -.09] = Ф(-.09) = Rpta. Como P = > = 0.0, se acepta la hpótess ula y se cocluye també que las proporcoes poblacoales de hogares que adquere el producto e las cudades y so guales, co el 5% de sgfcacó.

347 30. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por los polos de verao ol y mar. De ua muestra de 50 mujeres meores de 40 años, 50 estuvero teresados, metras que de 50 mujeres de 40 años a más, sólo 0 mostraro terés. Co el 5% de sgfcacó, exste dfereca etre la proporcó de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao ol y mar? Halle p-valor. olucó ea p y p, las proporcoes poblacoales de mujeres meores de 40 años () y las mujeres de 40 años a más () que muestra terés por los polos de verao ol y mar. Etoces, se desea probar s so dferetes ambas proporcoes.. Hpótess: Ho: p = p y H : p p. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: pˆ pˆ ( p p ) Z N(0, ) pq pq 4. Regó crítca, para = 0.05 y la prueba blateral, e la Tabla el valor crítco es: Z -α/ = Z =.96. Etoces: R.C. = {Z < -.96 o Z >.96} 5. Bajo el supuesto que Ho es certa y co la formacó muestral: = 50, = 50, 0.48, 50 p ˆ = 0.60, = 50, = 0, p ˆ = p ˆ = 0.54 y qˆ = 0.46; se determa: pˆ pˆ Z calc =.69 pq ˆ ˆ 0.54x Decsó: como Z calc =.69 ϵ R.C. se rechaza la hpótess ula co el 5% de sgfcacó; y se cocluye que so dferetes las verdaderas proporcoes de mujeres meores de 40 años y las de 40 años a más que mostraro terés por los polos de verao ol y mar. P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = P[Z < -.69] = Ф(-.69) = ( ) = Como P = < = 0.05, se rechaza la hpótess ula y se cocluye també que so dferetes las verdaderas proporcoes.

348 6.0 PROBLEMA PROPUETO. U proceso está programado para embotellar la catdad meda de 750 mlltros de gaseosa. e toma ua muestra aleatora de 4 botellas, resultado ua meda de 745 ml. y ua desvacó típca de ml. a) Al 5% de sgfcacó se puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e las botellas de gaseosa? Halle p-valor.. Aceptaría usted que σ < 00 ml por botella? Use α = Halle p-valor. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 50 gramos de café. e toma ua muestra aleatora de 36 bolsas, resultado ua meda de 53.5 gramos y ua desvacó típca de 3 gramos. a) e puede afrmar que el cotedo medo e las bolsas de café es mayor de 50 gramos? Use α = Halle p-valor. b) Aceptaría usted que σ 50 gr por bolsa? Use α = Halle p-valor. 3. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 500 gramos de frejol. e toma ua muestra aleatora de 35 bolsas, resultado ua meda de gramos y ua desvacó típca de 5 gramos. a) Al 5% de sgfcacó se puede afrmar que el cotedo medo e las bolsas de frejol es meor de 500 gramos? Halle p-valor. b) Aceptaría usted que σ > 300 gr por bolsa? Use α = Halle p-valor. 4. e tee la sguete prueba de hpótess: Ho: µ 00 y H : µ < 00. Ua muestra de 50 elemetos produce ua meda muestral de 95.5 y ua desvacó estádar muestral de. a) Realce la prueba de hpótess usado α = Halle p-valor. b) Poga a prueba H 0 : σ = 0 cotra H : σ 0, use α = Halle p-valor. 5. U proceso está programado para embolsar la catdad meda de 000 gramos de leteja. e toma ua muestra aleatora de 36 bolsas, resultado ua meda de gramos y ua desvacó típca de 0 gramos. a) Al 5% de sgfcacó se puede afrmar que o se está cumpledo co el cotedo medo e la bolsa? Halle p-valor. b) Aceptaría usted que σ 50 gr por bolsa? Use α = Halle p-valor. 348

349 6. Los pesos de dez estudates (e Kg.) fuero: 60, 44, 66, 7, 75, 75, 80, 84, 93 y 8. upoga que estos pesos procede de ua poblacó ormal. a) Poga a prueba H 0 : μ = 70 Kg. cotra H : μ 70, co u α = Halle p- valor. b) Poga a prueba H 0 : σ = 80 Kg cotra H : σ > 80, use α = Halle p- valor. 7. Los pesos etos (grs.) de las bolsas de detergete es de 50. Ua muestra aleatora de 0 bolsas do estos pesos: 48, 5, 48, 47, 45, 46, 46, 5, 47, 50. a) erá la meda poblacoal de los pesos etos meor a 50gr. Use α = 0.0. Halle p-valor. b) Poga a prueba H 0 : σ = 5 cotra H : σ 5, co u α = Halle p-valor. 8. Las latas de durazos de la Compañía La dulzura debe coteer u peso eto de 6 ozas, pero hay ua gra varabldad. Ua muestra aleatora de ses latas revela los pesos etos sguetes e ozas: 5., 6., 5.8, 5.4, 6. y 5.. a) Use α = 0.0 para determar s el verdadero peso eto de las latas de durazos es meor de 6 ozas. Determe p-valor. b) Aceptaría usted que σ <.5 gr por bolsa? Use α = Halle p-valor. 9. e prueba ua muestra aleatora de 9 bolsas de certa marca para determar el peso medo de lleado. Los pesos de las bolsas, e ozas, fuero: 8,, 5, 0, 9, 6,, 4 y 3. a) Hay razó para creer que el verdadero peso medo de lleado es mayor de 8 ozas? Use α = 0.0. Halle p-valor. b) erá rechazada la hpótess σ > 3.5 ozas? Use α = Halle p-valor. 0. Los pesos e klos de ua muestra aleatora de 8 cajas de galleta so: 4.6,.5, 5.3, 6., 4.4,.9, 3.7 y 4.9. upoedo que los pesos se dstrbuye ormalmete. a) Co ua sgfcacó del 5 % pruebe s el peso medo de las cajas de galleta es dstto de 4 Kg. Halle p-valor. b) Poga a prueba H 0 : σ = 5 cotra H : σ 5, co u vel de sgfcacó de Halle p-valor. 349

350 . U departameto de produccó desea determar s hay dfereca e el redmeto etre el turo duro y el octuro. Ua muestra aleatora de 80 obreros del turo duro alcaza ua produccó meda de 94.3 partes por hora, co ua desvacó estádar de 4 partes por hora, metras que otra muestra de 60 obreros de la oche alcaza u promedo de 89.7 partes por hora, co ua desvacó estádar de 7. e pde probar s es dferete el redmeto medo de ambos turos. Use α = Hallar p-valor.. E u estudo para determar el costo medo de los televsores e las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 00 hogares de A arrojado u costo medo de $ 50 y ua desvacó estádar de 5. Ua muestra al azar de 80 hogares de la cudad B da ua costo medo de $ 35 y ua desvacó estádar de 0. Co α = 0.0, probar s el costo medo de los televsores e las cudades A es mayor que el costo medo de los televsores e la cudad B. Hallar p-valor. 3. El departameto de marketg desea determar s hay dfereca etre las vetas mesuales promedo realzadas por hombres y mujeres. Ua muestra aleatora de 80 mujeres arroja ua veta meda de 95 artefactos mesuales, co ua desvacó estádar de 4 artefactos, metras que otra muestra de 60 hombres alcaza u promedo de 89 artefactos mesuales, co ua desvacó estádar de 7. Co α = 0.05, so dferetes las vetas medas realzadas por hombres y mujeres (µ m µ h )? Determe el p-valor. 4. E u estudo para determar el gasto medo mesual de los hogares e frutas para las cudades A y B, se toma ua muestra al azar de 00 hogares de A arrojado u gasto medo de /. 8 y ua desvacó estádar de 5. Ua muestra al azar de 00 hogares de la cudad B da ua gasto medo de 75 y ua desvacó estádar de 0. Use α = 0.0, para probar s el gasto medo mesual e frutas e la cudad B es meor que el gasto medo e A. Halle p-valor. 5. e compara dos marcas de cgarrllos, y, respecto a su cotedo de cota e mlgramos; dos muestras aleatoras de 40 cgarrllos de la marca y 50 de la 350

351 marca, dero estos resultados: x = 4.3, = 40, =.9 y x = 5.7, = 50, = 3.8. Es dferete el cotedo medo de cota de las dos marcas? Use α = 0.0. Halle p-valor. 6. Dos máquas embotella jugo depedetemete. Medate muestra aleatora s reemplazo de botellas tomadas de cada máqua se ha obtedo los sguetes resultados sobre el cotedo de las botellas (e ml.): = 6, = 495, = 5 y = 6, = 505, = 7. a) o dferetes las varazas de los cotedos de las botellas co jugo de ambas máquas? Use = Halle p-valor. b) o dferetes los cotedos medos de las botellas co gaseosa de ambas máquas? Use = 0.0 y determe p-valor. 7. e ha llevado a cabo u estudo para aalzar los gastos mesuales e publcdad (e dólares) realzado por las empresas comercales de dos cudades. Medate muestras aleatoras s reemplazo tomadas depedetemete e cada cudad se ha obtedo los sguetes resultados: = 0, = $ 950, = 95 y = 8, = $ 850, = 60. a) o heterogéeas las varazas de los gastos mesuales e publcdad de ambas cudades? Use = 0.0. Halle p-valor. b) Co u vel de sgfcacó del 5 %, probar s los gastos mesuales e publcdad de las empresas de la cudad es mayor que el de las empresas de la cudad. Hallar p-valor. 8. Dos grupos (de 6 alumas cada uo) escogdos al azar de ua escuela para secretaras, aprede taqugrafía por dos métodos dferetes y luego se les somete a pruebas de dctado. e ecuetra que el grupo obtee e promedo 3 palabras por muto co ua desvacó estádar de 5 palabras, metras que el grupo promeda 0 palabras por muto co ua desvacó estádar de 0 palabras. Co el % de sgfcacó probar s: a) o heterogéeas las varazas de ambos grupos? Halle p-valor. b) Es dferete el promedo de palabras por muto para los dos métodos? Halle p-valor. 35

352 9. e ha llevado a cabo u estudo para aalzar los gastos mesuales (/.) e alquler de local realzado por las empresas comercales de dos cudades grades. Medate muestras aleatoras s reemplazo tomadas depedetemete e cada cudad se ha obtedo los sguetes resultados: = 0, x = 938, = 96 y = 0, x = 856, = 6. a) o dferetes las varazas de los gastos mesuales e alquler de ambas cudades? Use = Halle p-valor. b) Co u vel de sgfcacó del 5 %, probar s los gastos mesuales e alquler de las empresas de la cudad es meor que el de las empresas de la cudad. Hallar p-valor. 0. Dos máquas embolsa daramete detergete de maera depedete. Medate muestras aleatoras s reemplazo de bolsas de cada máqua se ha obtedo los sguetes resultados sobre el peso de las bolsas (e gramos): =, x = 505, = 0 y =, x = 495, = 4. Co el % de sgfcacó probar s: a) o dferetes las varazas de los pesos de las bolsas co detergete de ambas máquas? Halle p-valor. b) o dferetes los pesos medos de las bolsas co detergete de ambas máquas? Halle p-valor.. De ua poblacó de 00,000 fumadores de cgarro, se seleccoa ua muestra aleatora de 800 fumadores y se ecuetra que 40 tee prefereca por la marca A. Esta evdeca es sufcete para coclur que más del 5 % de los fumadores de cgarro prefere la marca A? Use u vel de sgfcacó del %. Halle p-valor.. E ua muestra aleatora de 500 de los cudadaos de u dstrto se ecotró que 00 está de acuerdo co la gestó del alcalde. Idca esta evdeca que meos del 45% de los cudadaos está de acuerdo co la gestó del alcalde. Use u vel de sgfcacó del 5%. Halle p-valor. 3. De ua muestra aleatora de 500 hombres etrevstados, 5 dcaro que ve fútbol los lues e la oche por televsó. Idca esta evdeca que más del 0 % de los televdetes hombres ve el fútbol los lues por la oche? Use el vel de sgfcacó de 0.0. Halle p-valor. 35

353 4. E ua muestra aleatora de 600 de los 0000 hogares de u dstrto se ecotró que 40 cosume leche. Idca esta evdeca que meos del 45% de los hogares cosume leche. Use u vel de sgfcacó del 5%. Halle p-valor. Explque el error tpo I. 5. De ua muestra aleatora de 800 cudadaos etrevstados e Lma Metropoltaa, 00 dcaro que o está de acuerdo co el voto electróco. Idca esta evdeca que más del 0 % de los cudadaos o está de acuerdo co el voto electróco? Use el vel de sgfcacó de 0.0. Halle p-valor. 6. e etrevstaro a hombres y mujeres respecto a su terés por ua ueva marca de perfume. E ua muestra aleatora de 400 hombres y 600 mujeres, 0 hombres y 300 mujeres djero que les gustaba el uevo perfume. Co el % de sgfcacó, exste dfereca etre las verdaderas proporcoes de hombres y mujeres que djero que les gustaba el uevo perfume? Halle p-valor. 7. De los alumos de la UNAC se toma ua muestra aleatora de 600 hombres, 300 de las cuales está a favor del cambo currcular. E ua muestra de 400 mujeres, 40 dca que está a favor de lo msmo. e puede afrmar que es meor la proporcó de hombres que está a favor del cambo currcular, que la proporcó de mujeres a favor del cambo currcular? Use α = 0.0. Halle p- valor. 8. A f de determar el vel de aceptacó de la gestó presdecal, se etrevstaro dos grupos de cudadaos: de Lma Metropoltaa () y del Resto del País (), se obtuvero los sguetes resultados: Lma M. (): = 800, = 80; Resto del País (): = 00, = 300 Co α = 0.05 Exste dfereca etre las verdaderas proporcoes de lmeños y o lmeños que está de acuerdo co la gestó presdecal? Determe p- valor. 9. e etrevstaro dos grupos de mujeres respecto a su terés por la compra de casacas de cuero. De ua muestra de 300 mujeres de 40 años a más, 75 estuvero teresadas, metras que de 00 mujeres meores 40 años, 80 mostraro terés. Co el 5% de sgfcacó, será mayor la proporcó de 353

354 mujeres meores de 40 años teresadas e la compra de casacas de cuero, que la proporcó de las de 40 años a más teresadas e dcha compra. Halle p-valor. 30. E ua muestra aleatora de 400 jóvees, 0 está de acuerdo co la suscrpcó de los Tratados de Lbre Comerco (TLC s). Metras que e ua muestra de 600 adultos, 300 está de acuerdo co la suscrpcó de TLC s. a) Está Ud. de acuerdo que más del 50% de jóvees está de acuerdo co la suscrpcó de TLC s? Use α = 0.0. Halle p-valor. b) e puede afrmar que hay ua dfereca sgfcatva etre las verdaderas proporcoes de jóvees y adultos que está de acuerdo co la suscrpcó de TLC s? Use α = Halle p-valor. 354

355 Capítulo 7. PRUEBA DE HIPÓTEI NO PARAMÉTRICA er culto, es el úco modo de ser lbre José Martí CONTENIDO 7. Uso de la dstrbucó Ch-cuadrado. Test de depedeca. 7. Test de bodad de ajuste. 7.3 Test de Wlcoxo. 7.4 Test de sgos. 7.5 Test de la medaa. 7.6 Ejerccos resueltos. 7.7 Ejerccos propuestos. E este capítulo, se preseta alguos métodos para la realzacó de pruebas estadístcas o paramétrcas, las msmas que o requere la verfcacó de alguos supuestos como la ormaldad y homogeedad de varazas, para la realzacó de pruebas paramétrcas. Los métodos o paramétrcos so ua sere de procedmetos que o requere supuestos acerca de la dstrbucó de probabldad por ello so llamados métodos de lbre dstrbucó y so empleados co datos meddos e escala omal u ordal, as como co datos de tervalo o razó s supoer dstrbucó algua. Etre las vetajas del uso de los métodos o paramétrcos se tee: - e emplea cuado se descooce la dstrbucó de la poblacó estudada. - Las hpótess se formula s cosderar valores para los parámetros. - e usa e datos de escala omal u ordal. - e usa cuado las muestras so pequeñas ( < 30). Las desvetajas de estos métodos so: - e vuelve complcadas para muestras grades. - e desperdca formacó usado métodos o paramétrcos s se puede emplear procedmetos paramétrcos. A cotuacó se desarrolla las prcpales pruebas estadístcas o paramétrcas co sus correspodetes aplcacoes. 355

356 7. UO DE LA DITRIBUCIÓN CHI-CUADRADO. TET DE INDEPENDENCIA E muchos estudos surge el terés por determar s exste algua relacó de depedeca etre varables cualtatvas, cuyos resultados so presetados e tablas de cotgeca de f flas por c columas. Las categorías (cualdades, atrbutos o modaldades) de las varables se preseta e los márgees superor e zquerdo, e las casllas se preseta las frecuecas observadas para las dsttas combacoes y los totales e los márgees derecho e feror. upoga que se desea determar s las varables A y B so depedetes. ea A las categorías de A ( =,,., f) y Bj las categorías de B (j =,,., c) las que se muestra e la tabla de cotgeca pxq sguete: Obs. B. B j. B c A O. O j. O c O A O. O j. O c O A f O f. O fj. O fc O f. O.. O. j. O. c E la tabla ateror se muestra també las frecuecas observadas O j, los totales de cada fla O. = c O j j, los totales de cada columa O. j = f O j y el total de observacoes para el estudo c j O j f O. Los pasos a segur para la prueba de hpótess so:. Hpótess: H o : A y B so varables depedetes H : A y B so varables depedetes 356

357 . Escoger el vel de sgfcacó: f c ( Oj ej ) 3. Estadístca de prueba: e j j ( f )( c) Dode e j O x O j so las frecuecas esperadas obtedas co las frecuecas observadas, supoedo que Ho es certa, es decr que A y B so depedetes. Las frecuecas esperadas se muestra e la tabla de cotgeca pxq sguete: Esp. B. B j. B c A e. e j. e c O A e. e j. e c O A f e f. e fj. e fc O f. O.. O. j. O. c 4. Regó crítca: hallar el valor crítco tal que la probabldad de, ( f ) ( c) rechazar H 0 cuado se supoe certa sea: P [,( f )( c) ] La Regó crítca de la prueba es: R.C. = { > }, ( f ) ( c) 357, ( f ) ( c)

358 La regó de aceptacó es: R.A. = { < }, ( f ) ( c) f c ( Oj ej ) 5. Hallar calc co las tablas aterores. e j j 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a, s calc R. C. (o s calc R. A. ). No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Ejemplo E u estudo realzado co los alumos de la asgatura de Estadístca Básca de la FCE-UNAC, el año 0, se usa el ídce de masa corporal (peso/talla ) para determar la codcó del peso del alumo (delgado, ormal o co sobrepeso) y ver s exste algua relacó de depedeca co el sexo (hombre o mujer) del estudate. Los resultados observados obtedos co el P v, se muestra e la sguete tabla: Tabla de cotgeca CONDICIÓN DEL PEO * EO CONDICIÓN DEL PEO Valores Observados Hombre EO Mujer Total Delgado Normal obrepeso Total Co el 5% de sgfcacó probar s hay ua relacó de depedeca etre la codcó del peso del alumo y su sexo (géero). olucó. H 0 : La codcó del peso de los estudates es depedete del géero de este. (NO exste relacó etre la codcó del peso y el géero del estudate). H : La codcó del peso de los estudates depede del géero de este (Exste relacó etre la codcó del peso y el geero del estudate). 358

359 Desty. Nvel de sgfcacó: = 0.05 ( O 3. Estadístca de prueba: 3 j ej ) j ej 4. Regó crítca: e la Tabla de Ch-cuadrado, hallar el valor crítco =, ( f ) ( c) = Etoces, R.C. = { > 5.99} 0.95, Dstrbuto Plot Ch-quare, df= Hallar sguete: Valor crítco de ch-cuadrado e Mtab calc co la tabla de valores observados y la de valores esperados Tabla de cotgeca CONDICIÓN DEL PEO * EO CONDICIÓN DEL PEO Valores Esperados Hombre EO Mujer Total Delgado Normal obrepeso Total Los valores esperados se obtee co los totales observados así: Hombre-delgado = 7x38 / 0 =.; Mujer-delgada = 7x8 / 0 = 4.8 Hombre-ormal = 99x38 / 0 = 3.4; Mujer-ormal = 99x8 / 0 = 67.6 Hombre-sobrep = 4x38 / 0 = 4.4; Mujer-sobrep = 4x8 / 0 =

360 calc 3 ( O ) j ej (0.) (7 4.8) (33 3.4) e j j 4 ( ) (5 4.4) (9 9.6) = Decsó: como calc 3.45 R. A., co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0, por lo tato la codcó del peso de los estudates es depedete del géero de este. (NO exste relacó etre la codcó del peso y el géero del estudate). Estado defdas las varables sexo y codcó del peso, los resultados e el programa P se obtee así: Aalzar Estadístcos descrptvos Tablas de cotgeca. E la vetaa de Tablas de cotgeca, gresar e Flas: la varable codcó del peso y e Columas: la varable sexo. E Estadístcos, escoger Ch-cuadrado. Luego Cotuar y Aceptar, los resultados so la Tabla de cotgeca de valores observados y las Pruebas de ch-cuadrado sguetes: Pruebas de ch-cuadrado Valor gl g. astótca (blateral) Ch-cuadrado de Pearso 3,477 a,76 Razó de verosmltudes 5,56,06 Asocacó leal por,74,89 leal N de casos váldos 0 a. 3 casllas (50,0%) tee ua frecueca esperada feror a 5. La frecueca míma esperada es,. Los resultados so smlares, pues ch-cuadrado = 3.477, es equvalete al 3.45 y como el valor-p = g. = 0.76 > = 0.05 o se rechaza Ho y se calc cocluye també que la codcó del peso de los estudates es depedete del géero, es decr o hay dferecas sgfcatvas etre el sexo y el peso de los alumos, co el 5% de sgfcacó. 360

361 De maera smlar e el programa Mtab, defr las columas para la varables sexo y codcó (del peso). Escoger del meú Estadístcas Tablas Tabulacó cruzada y ch-cuadrada. E Para flas: seleccoar codcó y e Para columas: sexo, tal como se apreca a cotuacó: Co el botó ch-cuadrada escoger Aálss de ch-cuadrada. Luego Aceptar, Aceptar y e la vetaa de esó aprece el resultado sguete: Estadístcas tabuladas: Codcó, exo Flas: Codcó Columas: exo Hombre Mujer Todo Delgado Normal obrepeso Todo Cotedo de la celda: Coteo Ch-cuadrada de Pearso = 3.477, GL =, Valor P = 0.76 Ch-cuadrada de la tasa de verosmltud = 5.56, GL =, Valor P = 0.06 * NOTA * 3 celdas co coteos esperados meores que 5 Resultados smlares a los ya ecotrados. 36

362 7. TET DE BONDAD DE AJUTE Esta prueba es utlzada cuado se desea verfcar s es razoable que los datos observados de ua varable, sgue ua dstrbucó de probabldades determada co p parámetros. Los pasos a segur para la prueba de hpótess so:. Hpótess: H o : Los datos se ajusta a u modelo de probabldades H : Los datos o se ajusta al modelo de probabldades. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: k ( O e e ) ( k p) Los datos se preseta e ua tabla de frecuecas, co k categorías o tervalos A, co sus correspodetes frecuecas observadas O y frecuecas esperadas e = p. Las probabldades p = P(A ) se obtee co el modelo de probabldades al que se ajusta los datos. La tabla es: A O e (O e ) /e A O e (O e ) /e A O e (O e ) /e A k O k e k (O k e k ) /e k (O e ) /e, k p 36

363 4. Regó crítca: hallar el valor crítco tal que la probabldad de, k p rechazar H 0 cuado se supoe certa sea: P [, k p ] La regó crítca es: R.C. = { < }, k p 5. Hallar k ( O e ) calc co la ateror tabla de frecuecas. e 6. Decsó: se rechaza H 0 co co el 00 % de sgfcacó, s calc R. C. No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Ejemplo Co el f de estudar s u dado está o o equlbrado, se arroja el dado 300 veces e forma depedete, obteédose los sguetes resultados: Resultado O Co el 5% de sgfcacó se puede decr que el dado o esta equlbrado. olucó. Hpótess: H o : El dado está equlbrado P() = /6, =,,, 6 H : El dado o está equlbrado P() /6, =,,, 6. Nvel de sgfcacó: = 0.05 ( O e 3. Estadístca de prueba: e 6 ) 4. Regó crítca: e la Tabla de Ch-cuadrado, hallar el valor crítco 6 =, k p =.. Etoces, R.C. = { >.} 0.95, 5 5. Hallar calc co la formacó muestral = 300 y bajo el supuesto que Ho es certa, es decr, p = /6, por lo tato las frecuecas esperadas so e = p = 300x/6 = 50. La Tabla de frecuecas observadas y esperadas es: Resultado O e

364 6 ( O e ) calc e = (55 50) 50 (4 50) 50 (53 50) 50 (46 50) 50 + (47 50) (57 50) = Decsó: como calc 3.44 R. A., co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0, por lo tato, se cocluye que el dado está equlbrado. 7.3 TET DE WILCOON Es ua prueba de RANGO CON IGNO propuesta por Wlcoxo (945) y se usa para cotrastar ua hpótess referda al valor de la medaa de la poblacó (Me). Para la verfcacó de la hpótess o se hace gú supuesto sobre la dstrbucó de la poblacó y las observacoes requere al meos ua escala de tervalo ya que la prueba toma la dfereca etre cada valor muestral y el valor hpotétco de la medaa. Los pasos a segur e la prueba so:. Hpótess: H o : Me = Me 0 H : Me Me 0 o Me < Me 0 o Me > Me 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. Estadístca de prueba: W = suma de los ragos postvos 4. Regó crítca: buscar los valores crítcos e la Tabla 5, de Wlcoxo para 40 y = 0.05 o Determar la W de Wlcoxo co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: a) Hallar las dferecas d = Me 0 co el sgo correspodete. algua dfereca es cero, la observacó asocada se elma y el tamaño efectvo de la muestra dsmuye. b) Raquear las dferecas d e forma ascedete, s tomar e cueta el sgo (e valor absoluto). dos o más dferecas so guales se asume el rago promedo de esas dferecas empatadas. c) Asgar los sgos de las dferecas d a sus respectvos ragos. d) Obteer la suma de los ragos para las dferecas postvas y para las egatvas por separado. La suma de los ragos postvos = W calc, es el 364

365 valor calculado del estadístco de prueba y srve para hallar el valor-p y compararlo co el vel de sgfcacó. e) el tamaño de muestra es grade el valor-p se obtee medate la aproxmacó a la dstrbucó Normal co: Z ( ) Co W y 4 calc W ( W 0.5) W W ( )( ) 4 N(0,) 6. Decsó: se rechaza H 0 co el 00 % de sgfcacó, s W calc R.C. No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P, a partr del valor Z calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, se rechaza H 0. E caso cotraro, se acepta H 0. Ejemplo 3 Ua muestra de los salaros semaales (/.) de 5 obreros arroja los sguetes resultados: 303, 97, 375, 73, 3, 43, 33, 85, 76, 39, 306, 90, 380, 305 y 50. Probar s la medaa de los salaros es dferete de / Use α = olucó. Hpótess: H o : Me = 300 H : Me 300. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: W = suma de los ragos postvos 4. Regó crítca: para = 5 y = 0.05, e la tabla 5, de Wlcoxo la regó crítca es: R.C. = {W < 5 o W > 95} R.A. = {5 W 95} 5. Determar la W de Wlcoxo co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: 365

366 Obreros alaros () Dferecas d = 300 Rago de d Ragos co sgo (+) (-) Total W calc = suma de los ragos postvos = Decsó: como W calc = 67.5 ϵ R.A., co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0 y por lo tato la medaa de los salaros es de / Para la aproxmacó a la dstrbucó ormal, co = 5 se obtee: W Z calc ( ) 5(6) ( )( ) 5(6)(3) = 60 y W = ( W 0.5) W ( ) 60 = Para dos colas, el valor-p es: 7.6 W P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = P[Z < -0.40] = (0.3446) = Como el valor-p = 0.69 > = 0.05, co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0. E el programa Mtab, defr la varable salaros co sus datos. Escoger del meú Estadístcas No paramétrcos W Wlcoxo de muestra. Al abrr la vetaa de dálogo, e Varables: seleccoar alaros, e Medaa de la prueba: escrbr 300 (medaa hpotétca) y e Hpótess altera: escoger o es gual a. Falmete escoger Aceptar, tal como se apreca a cotuacó: 366

367 E la vetaa de esó aprece el resultado sguete: Prueba de clasfcacó co sgos de Wlcoxo: alaros () Prueba de la medaa = vs. La medaa o = Número de Estadístca Medaa N prueba de Wlcoxo P estmada alaros () Resultados y coclusoes smlares a los ates obtedos: W = 67.5 y P = El Mtab proporcoa el tervalo de cofaza del 95% para la medaa: IC de clasfcacó co sgos de Wlcoxo: alaros () Itervalo de Medaa Cofaza cofaza N estmada lograda Iferor uperor alaros () Como la medaa hpotétca cae e el tervalo de cofaza, també se acepta que la medaa de los salaros es / TET DE IGNO Es ua prueba basada e los sgos que surge de la dfereca de comparar los datos de ua poblacó co respecto a su medaa o etre sí (e vestgacó de mercados para detfcar la prefereca haca ua de dos marcas de u producto). 367

368 PRUEBA PARA COMPARAR LO VALORE CON LA MEDIANA Los pasos a segur e la prueba so:. Hpótess: H o : Me = Me 0 H : Me Me 0 o Me < Me 0 o Me > Me 0. Escoger el vel de sgfcacó: 3. La estadístca de prueba = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete. se basa e la dstrbucó Bomal co probabldad de éxto ½ ya que la probabldad que u valor sea mayor o meor que la medaa es ½. 4. Regó crítca: buscar el valor crítco e la Tabla 6, de valores crítcos para la prueba del sgo : 5 y = 0.0 o La hpótess ula se rechaza s es meor o gual al valor de la tabla. 5. Determar = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete, co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: a) Aplcar u sgo más (+) a cada valor observado e la muestra mayor que la medaa hpotétca Me 0 y u sgo meos (-) a cada valor meor. algú valor es gual a la medaa hpotétca Me 0, o se aplca sgo alguo y el tamaño efectvo de la muestra dsmuye. b) Hallar calc = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete, es el valor calculado del estadístco de prueba y srve para hallar el valor-p y compararlo co el vel de sgfcacó. c) el tamaño efectvo de muestra es > 0 el valor-p se obtee medate la aproxmacó Normal de la Bomal = = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete co p = q = 0.5. ( 0.5) 0.5 = N(0.5, 0.5) etoces Z calc N(0,) Decsó: se rechaza H 0 co el 00 % de sgfcacó, s calc R.C. No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P, a partr del valor Z calc, de maera que: 368

369 Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] el valor de P <, se rechaza H 0. E caso cotraro, se acepta H 0. Ejemplo 4 Para la muestra de los salaros semaales (/.) de 5 obreros del ejemplo 3, sguetes: 303, 97, 375, 73, 3, 43, 33, 85, 76, 39, 306, 90, 380, 305 y 50. Probar s la medaa de los salaros es dferete de / Use α = olucó. Hpótess: H o : Me = 300 H : Me 300. Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete. 4. Regó crítca: para = 5 y = 0.05, e la tabla 6 de valores crítcos para la prueba del sgo, la regó crítca es: R.C. = { 3} R.A. = { > 3} 5. Determar calc co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: Obreros alaros () 369 go Dfereca

370 calc = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete = Decsó: como calc = 7 ϵ R.A., co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0 y por lo tato la medaa de los salaros es de / Para la aproxmacó a la dstrbucó ormal de = = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete, co = 5, p = q = 0.5 se obtee: Z calc ( 0.5) 0.5 (7 0.5) 0.5x5 = Para dos colas, el valor-p es: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] = P[Z < 0.0] = (0.5000) = Como el valor-p =.00 > = 0.05, co el 5% de sgfcacó o se rechaza H 0. E el programa Mtab, defr la varable salaros co sus datos. Escoger del meú Estadístcas No paramétrcos ± eñal de muestra. Al abrr la vetaa de dálogo, e Varables: seleccoar alaros, e Medaa de la prueba: escrbr 300 (medaa hpotétca) y e Hpótess altera: escoger o es gual a. Falmete escoger Aceptar, tal como se apreca a cotuacó: E la vetaa de esó aprece el resultado sguete: 370

371 Prueba de sgos para medaa: alaros () Prueba del sgo de la medaa = vs. o = N Debajo Igual Arrba P Medaa alaros () Resultados y coclusoes smlares a los obtedos: = Debajo = 7 y P = El Mtab proporcoa també el sguete tervalo de cofaza del 95% para la medaa: IC de sgos: alaros Itervalo de cofaza del sgo para la medaa Itervalo de Cofaza cofaza N Medaa lograda Iferor uperor Poscó alaros NLI Como la medaa hpotétca cae e el tervalo de cofaza, també se acepta que la medaa de los salaros es / PRUEBA PARA COMPARAR LO VALORE ENTRE I E vestgacó de mercados srve para detfcar la prefereca haca ua de dos marcas de u producto (se asga sgo postvo cuado la prefereca es por la marca de terés y sgo egatvo e caso cotraro), també para hacer comparacoes etre los valores de los grupos A y B (asgado sgo postvo cuado el valor de A es superor al valor de B y sgo egatvo e caso cotraro, s so guales se descarta las observacoes y dsmuye). Probar s las preferecas so guales para ambas marcas o que el úmero de sgos postvos es gual al úmero de sgos egatvos es equvalete a probar s p = Los pasos a segur e la prueba so:. Hpótess: H o : p = 0.50 H : p 0.50 o p < 0.50 o p > Escoger el vel de sgfcacó: 37

372 3. La estadístca de prueba = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete. se basa e la dstrbucó Bomal co probabldad de éxto ½ ya que la probabldad que se prefera ua u otra marca (o que u valor sea mayor o meor que otro) es ½. 4. Regó crítca: buscar el valor crítco e la Tabla 6 para la prueba del sgo. La hpótess ula se rechaza s es meor o gual al valor de la tabla. 5. Determar = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete, co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: a) se compara dos marcas de u be o servco: aplcar sgo postvo (+) cuado la prefereca es por la marca de terés y sgo egatvo (-) e caso cotraro. se hace comparacoes etre los valores de los grupos A y B asgar sgo postvo (+) cuado el valor de A es superor al valor de B y sgo egatvo (-) e caso cotraro. so guales los valores o se aplca sgo alguo, se descarta las observacoes y el tamaño efectvo de la muestra dsmuye. b) Hallar calc = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete, es el valor calculado del estadístco de prueba y srve para hallar el valor-p y compararlo co el vel de sgfcacó. c) el tamaño efectvo de muestra es > 0 el valor-p se obtee medate la aproxmacó Normal de la Bomal = = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete co p = q = 0.5. ( 0.5) 0.5 = N(0.5, 0.5) etoces Z calc N(0,) Decsó: se rechaza H 0 co el 00 % de sgfcacó, s calc R.C. por lo tato o so guales las preferecas por ambos productos o los valores comparados de los grupos A y B o so guales. Otra forma de establecer la regla de decsó, es calculado el valor P, a partr del valor Z calc, de maera que: Para dos colas: P = P[ Z > Z calc ] = P[Z < - Z calc ] Para cola a la derecha: P = P[Z > Z calc ] Para cola a la zquerda: P = P[Z < Z calc ] 37

373 el valor de P <, se rechaza H 0. E caso cotraro, se acepta H 0. Ejemplo 5 E u estudo para determar s la marca de frugo B es más preferda por las amas de casa que la marca A, se hzo degustar aleatoramete las marcas A y B a 6 amas de casa sedo sus preferecas las sguetes: B, B, B, B, A, B, B, B, B, B, B, A, B, B, A y B. Co el 5% de sgfcacó pruebe s la prefereca de las amas de casa por la marca de frugo A es feror a la marca B. olucó. Hpótess: s la prefereca de las amas de casa por las marcas de frugo A y B es la msma es equvalete a postular H o : p = 0.50 frete a la alteratva que la prefereca por la marca A es feror a la marca B, H : p < Nvel de sgfcacó: = Estadístca de prueba: = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete. 4. Regó crítca: para = 6 y = 0.05, e la tabla 6 de valores crítcos para la prueba del sgo, la regó crítca es: R.C. = { 3} R.A. = { > 3} 5. Determar calc co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: Ama de casa Frugo preferdo 373 go B + B + 3 B + 4 B + 5 A - 6 B + 7 B + 8 B + 9 B + 0 B + B + A - 3 B + 4 B + 5 A - 6 B +

374 calc = úmero de veces que se repte el sgo meos frecuete = Decsó: como calc = 3 ϵ R.C., co el 5% de sgfcacó se rechaza H 0 y por lo tato se acepta que la prefereca por la marca A es feror a la marca B. 7.5 TET DE LA MEDIANA E el acápte 6.5 y 6.6 se trataro las pruebas estadístcas paramétrcas Z o T para la verfcacó de la gualdad de medas de dos poblacoes, extrayedo muestras depedetes de dchas poblacoes co varazas coocdas o descoocdas. La prueba de la medaa es la cotraparte o paramétrca para la verfcacó de la gualdad de medaas de dos poblacoes, extrayedo muestras depedetes. La escala de medda de la varable es cuado meos ordal. El procedmeto a segur e la prueba es el sguete:. Hpótess: H o : Me = Me H : Me Me o Me > Me o Me < Me. Escoger el vel de sgfcacó: ( O 3. Estadístca de prueba: j ej ) j ej [, ) Dode O j so las frecuecas observadas y e j so las frecuecas esperadas obtedas co las frecuecas observadas, supoedo que Ho es certa. 4. Regó crítca: hallar el valor crítco tal que la probabldad de [, ] rechazar H 0 cuado se supoe certa sea: P [ ] [, ] La Regó crítca de la prueba es: R.C. = { > } [, ] 5. Determar calc, co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, medate el sguete procedmeto: a) Calcular la medaa comú Me co toda la formacó de las dos muestras. b) Para cada muestra determar el úmero de observacoes que so meores o guales a la medaa comú y las que so mayores a dcha medaa y las frecuecas observadas resultates se coloca e ua tabla de cotgeca x como la sguete: 374

375 Muestra Me > Me Total O O O. O O O. Total O. O.. O x O j c) Hallar las frecuecas esperadas ej y colocarlas e la tabla: Muestra Me > Me Total e e O. e e O. Total O. O.. ( O j ej ) d) Determar calc e j j 6. Decsó: se rechaza H 0 co resgo gual a s s calc R. C. No se rechaza H 0 e caso cotraro. se rechaza H o se dce que la prueba es sgfcatva co resgo cuyo valor es. Ejemplo 6 Co la formacó del úmero de udades veddas por hombres y mujeres e la tabla, determar s la medaa del úmero de udades veddas por las mujeres es mayor que la medaa de las udades veddas por los hombres. Usar el 5% de sgfcacó. olucó Hombres () Mujeres () Hpótess: H o : Me = Me y H : Me > Me 375

376 . Nvel de sgfcacó: = ( O 3. Estadístca de prueba: j ej ) j ej [, ) 4. Regó crítca: el valor crítco es = 3.84 y R.C. = { > 3.84}. [, 0.95] 5. Determar calc, co la formacó muestral y bajo el supuesto que Ho es certa, de la sguete maera: a) Co toda la formacó de las dos muestras se calcula la medaa comú y resulta Me = 3.5. b) Para cada muestra se determa el úmero de observacoes que so meores o guales (orde ) a la medaa comú 3.5 y las que so mayores (orde ) a dcha medaa: Ud. Veddas exo Orde Me =

377 Las frecuecas observadas resultates se coloca e ua tabla de cotgeca x como la sguete: Muestra Me (Ord. ) > Me (Ord. ) Total = hombres 8 5 O. = 3 = Mujeres 5 8 O. = 3 Total O. = 3 O. =3 = 6 O x O j c) Hallar las frecuecas esperadas ej y colocarlas e la tabla: Muestra Me (Ord. ) > Me (Ord. ) Total = hombres O. = 3 = Mujeres O. = 3 Total O. = 3 O. =3 = 6 ( O j ej ) d) Determar: calc e j j (8 6.5) (5 6.5) (5 6.5) (8 6.5) calc = P-valor = P( >.385) = - P(.385) = 0.76 = Decsó: como calc =.38 ϵ R.A. y P-valor = 0.39 > = 0.05, o se rechaza H 0 por lo tato co el 5% de sgfcacó se acepta que la medaa del úmero de udades veddas por las mujeres y los hombres so guales. 377