INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS

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1 Uverstat de les Illes Balears Col.leccó Materals Ddàctcs INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Joaquí Alegre Martí Magdalea Cladera Muar Palma, 00

2 ÍNDICE INTRODUCCIÓN: Qué es...? Qué es ua varable? Qué es la estadístca descrptva? Cuál es el ámbto de la estadístca descrptva e el aálss ecoómco? Qué so la poblacó y la muestra? 4 Qué es u parámetro? Qué es u estadístco? 4 Qué es ua muestra aleatora? 6 Estructura del lbro. 7 CAPÍTULO I. Descrpcó de Varables Cualtatvas. 7 Varables cualtatvas omales y ordales. 8 Dstrbucó de frecuecas. Frecueca relatva y frecueca relatva acumulada. Dagrama de barras. Moda. 4 Medaa. 5 Pctograma. 6 Dagrama de Pareto. 9 CAPÍTULO II. Dstrbucó de Frecuecas e Hstograma. 9 Escala de tervalo y de cocete. 9 Varables dscretas y cotuas. 9 Dstrbucó de frecuecas. Dagrama de barras. 3 Hstograma. 6 Cómo trabajar co los hstogramas. 35 CAPÍTULO III. Estadístcos Descrptvos de ua Varable Cuattatva. 35 Meddas de poscó cetral. 35 Moda y medaa.

3 36 Meda artmétca. 38 Propedades de la meda. 38 Meda poderada. 40 Meda poderada y muestreos complejos. 43 Represetatvdad de la meda. 43 Meda cortada (trmmed mea). 45 Meda geométrca. 48 Utlzacó de la meda, moda y medaa para detectar la asmetría de ua dstrbucó. 5 Cuartles, decles y percetles. 57 Meddas de dspersó: rago, rago tercuartílco, varaza, desvacó estádar, coefcete de varacó. 58 Dscusó y propedades de la varaza, desvacó estádar y coefcete de varacó. 76 Relacó etre la meda y la desvacó estádar: Desgualdad de Chebychev. 79 El Dagrama de caja. 8 Dagrama de caja. Ayudas para su terpretacó. 89 Meddas de asmetría y curtoss. 89 Medda de asmetría de Fsher. 9 Medda de asmetría de Pearso. 9 Medda de aputameto o curtoss. 0 CAPÍTULO IV. Aálss Bvarate de Varables Cualtatvas. 0 Dstrbucó cojuta de varables. Tabla de cotgeca. 08 Ch-cuadrado y C de cotgeca. 3 Lambda. 9 Gamma, Tau-b y Tau-c. 33 CAPÍTULO V. El Coefcete de Correlacó. 33 Asocacó leal etre dos varables. 34 Asocacó leal postva o egatva. 37 Estadístco de covaraza. 44 Propedades de la covaraza. 45 Coefcete de correlacó leal. 48 Propedades del coefcete de correlacó. 48 Matrz de correlacoes. 49 Alguos errores e la terpretacó del coefcete de correlacó. 53 El coefcete de correlacó de ragos de Spearma.

4 77 CAPÍTULO VI. Ajuste de ua Recta. 79 De la propuesta de causaldad a la recta de regresó. 8 Obtecó de a y b por mímos cuadrados ordaros. 86 Dervacó de las expresoes de mco para a y b. 89 Ejemplos de cálculo de la recta de regresó. 95 Ajustes o leales. 96 Sempre es posble u bue ajuste? 98 Alguas propedades del error del ajuste. 98 Medda de bodad del ajuste: Coefcete de determacó R. 0 Límtes del coefcete de determacó. 04 Aálss gráfco de los errores del ajuste. 05 Exste algua relacó etre el coefcete de correlacó y el coefcete de determacó? 05 Dos ejemplos umércos sobre el coefcete de determacó. 3 BIBLIOGRAFÍA.

5 INTRODUCCIÓN: Qué es...? Qué es ua varable? E estadístca, como e matemátcas o ecoomía, se emplea el cocepto de varable para referros a cualquer característca, que toma valores dferetes e u cojuto de observacoes. E ecoomía, por ejemplo, defmos la reta como ua varable. Al hacerlo podemos estar pesado e los gresos auales de las famlas de ua regó, e la que cada famla tedrá u volume de gresos dstto. També podemos pesar e los gresos agregados de la regó, meddos a lo largo del tempo (cada trmestre o cada año), y cosderar que la regó es el dvduo sobre el que se mde la varable. Las dos terpretacoes del cocepto de reta que aputamos so correctas, utlzádose e ámbtos dsttos. Lo que es esecal e su defcó es la posbldad de medr el vel de gresos de ua maera sstemátca (sea para u cojuto de famlas e u mometo del tempo, sea para u úco dvduo, famla o regó a lo largo de u perodo), obteedo observacoes de ua catdad varable. E el caso de la reta estamos cosderado ua varable de tpo cuattatvo. Hablamos de ua varable cuattatva cuado la característca que se mde toma valores umércos. Muchas de las varables ecoómcas so de este tpo, pero també hay varables ecoómcas de tpo cualtatvo. Etedemos por varable cualtatva aquella que toma valores o umércos. La característca que se mde e el dvduo sería, e este caso, ua cualdad (u atrbuto) del msmo. Por ejemplo, la dstcó de los cosumdores por sexo, el tpo de famla (su composcó), el vel de estudos o la categoría profesoal so varables de tpo cualtatvo que forma parte de los aálss de los patroes de cosumo. La perteeca a u sector dustral cocreto, el tpo de mercado (acoal o teracoal) e el que se opera, la exsteca de barreras de etrada so característcas que se estuda e ecoomía dustral. La dstcó etre varables cuattatvas y cualtatvas es mportate desde el puto de vsta estadístco porque las téccas que puede emplearse e uo u otro caso so dferetes.

6 Qué es la estadístca descrptva? Cuál es el ámbto de la estadístca descrptva e el aálss ecoómco? La estadístca descrptva es u cojuto de métodos cuyo objetvo es ordear las observacoes, resumr la formacó dspoble y obteer las meddas cuattatvas que descrbe sus característcas. La descrpcó es cuattatva y pretede ser lo más stétca posble. La teoría ecoómca se suele teresar por varables ecoómcas e u vel alto de abstraccó. Los campos de la macroecoomía y mcroecoomía, la ecoomía del cosumo y ecoomía de la produccó, la ecoomía facera, etc. toma como refereca agetes ecoómcos, sobre los que se defe modelos de comportameto. Estos agetes, defdos como referecas abstractas tee, s embargo, su coexó co la realdad ecoómca. El ámbto de la estadístca se aplca a esos dvduos reales, estudado varables como el gasto famlar, los beefcos empresarales o el ídce de paro de u país. Las téccas estadístcas també se aplca al cotrol de caldad de la produccó, a la gestó de carteras de accoes, etc., campos de meor abstraccó, e los que las varables a estudar puede ser ta cocretas como la produccó dara de ua máqua o el preco de ua accó. E cualquera de los campos e los que se aplque, la estadístca descrptva pretede ayudar a platear y resolver los problemas de la ecoomía. Qué so la poblacó y la muestra? Al cojuto de dvduos objetvo del aálss se le deoma poblacó. Ua muestra es ua parte de la poblacó. Cuado se trabaja co ua muestra las coclusoes que se obtee debe restrgrse, calmete, a ésta. Extraer coclusoes más geerales, aplcables a toda la poblacó, sólo puede hacerse de ua maera lmtada, sedo ecesaro etre otras cosas que la muestra sea represetatva y que la geeralzacó de las coclusoes se haga de ua forma prudete y rgurosa. Las téccas de la estadístca ferecal faclta esa geeralzacó desde la muestra a la poblacó. Las téccas descrptvas se puede aplcar a toda la poblacó, s esta se cooce, o a ua muestra. E el caso de dspoer úcamete de formacó muestral se deberá aplcar las téccas de la estadístca ferecal s se quere geeralzar las coclusoes obtedas.

7 El trabajo co muestras es usual es ecoomía. Uo de los ejemplos más coocdos para justfcar el uso de las muestras se ecuetra e el terreo del cotrol de caldad. Ua empresa dedcada a la produccó de bombllas, las habrá dseñado garatzado u tempo de vda determado. Ates de servr su producto la empresa deseará comprobar la fabldad real de su oferta realzado algú tpo de prueba, pero obvamete esto o lo podrá hacer co toda la produccó, puesto que la destruría. Ua muestra represetatva permtrá a la empresa comprobar el tempo de duracó real de sus bombllas. Ejemplos de stuacoes smlares o so dfícles de ecotrar. Pese, por ejemplo, e las empresas de audtoría cotable cuado accede a la formacó de ua empresa. S la empresa audtora se vera oblgada a segur cada ua de los procesos de la empresa (desde el prmer movmeto cotable al archvo de la últma factura) se vería metda e ua labor abordable. La seleccó, al azar, de ua muestra de alguos movmetos cotables puede ser sufcete para verfcar la correccó de la toda la gestó. La ecesdad de trabajar co muestras respode e muchas ocasoes a u ahorro e los costes de obtecó de la formacó. S puede obteerse formacó esecal y geeralzable a partr de ua muestra o será precso acceder a toda la poblacó. E ocasoes, el recurrr a las muestras o obedece a ua cuestó de costes, so a la mposbldad de acceder a todas las observacoes. Esta stuacó es frecuete e ecoomía cuado se recoge la evolucó temporal del valor de ua varable. Alguos modelos ecoómcos cosdera que, e u mometo del tempo, la poblacó de terés so todos los valores posbles que puede tomar ua observacó. Por ejemplo, mage que está sguedo la evolucó dara del preco de ua accó e u mercado bursátl a lo largo de u año. Cada día usted observará el preco de la accó a la hora del cerre de la sesó de bolsa, de maera que s el mercado abre durate doscetos días, dspodrá de doscetos precos. Respecto al año, ese cojuto de doscetas observacoes, se cosdera ua poblacó o ua muestra del preco de la accó? Se dspoe de todos los precos de cerre observados a lo largo del año, pero o de todos los precos que ha tomado la accó. E u día cocreto, el preco de la accó puede tomar dsttos valores y es hasta certo puto ua cuestó de azar el que a la hora del cerre se observe u preco determado. Las doscetas observacoes puede etederse como ua muestra de todos los precos que puede haber tomado la accó (que defría la poblacó). E este caso, los posbles valores de ua varable e u mometo del tempo defría la poblacó, el valor observado se cosderaría ua realzacó muestral.

8 El empleo de formacó muestral obedece a veces a la mposbldad de observar toda la poblacó. Qué es u parámetro? Qué es u estadístco? Cuado queremos eteder lo que ocurre co uos datos, lo más adecuado es resumr los valores dvduales. Estaremos teresados e coocer cuál es el valor represetatvo de u grupo o hasta qué puto las observacoes se aleja de ese valor. Cuado se está estudado ua poblacó, estas meddas que descrbe las característcas de los datos se deoma parámetros poblacoales. El valor medo de ua varable e ua poblacó sería u parámetro, també lo es la proporcó de dvduos de la poblacó que tee ua característca. La dscusó de alguos de estos parámetros es parte de la estadístca. E geeral, daremos el ombre de estadístco a cualquer fórmula aplcada e la formacó muestral. Muchos de los estadístcos que se utlza pretede ser estmacoes de los parámetros de la poblacó. S sólo dspoemos de ua muestra, podemos calcular el valor medo de las observacoes y supoer que esa meda muestral puede ser ua buea aproxmacó al valor del parámetro, la meda poblacoal. La relacó etre el parámetro y su estmacó e la muestra es parte esecal de la estadístca ferecal. No obstate, los térmos parámetro y estadístco so palabras de uso frecuete també e la estadístca descrptva. Qué es ua muestra aleatora? Para que las muestras sea útles debe ser represetatvas de la poblacó. Ua maera de garatzar la represetatvdad de ua muestra cosste e obteerla medate procedmetos aleatoros. Los muestreos aleatoros garatza la represetatvdad de la muestra al basarse e el azar. S se desea extraer ua muestra de ce observacoes de ua poblacó de ml dvduos, parece razoable seleccoar aleatoramete los ce dvduos etre toda la poblacó. La seleccó aleatora más seclla es el muestreo aleatoro smple (m.a.s.) E su dseño deal, el m.a.s. cosstría e asgar u úmero a cada uo de los elemetos de la poblacó y seleccoar al azar (co gual probabldad para cada úmero) el cojuto de dvduos que formará parte de

9 la muestra. Puede magar que este dseño deal, para ser operatvo ecesta e ocasoes de otros crteros que lo complemete (qué ocurre cuado la poblacó o puede umerarse, por ejemplo), pero queremos destacar ahora la dea de que medate dseños muestrales aleatoros se pretede cosegur muestras lo más represetatvas posbles de la poblacó. Los dseños de obtecó de las muestras so a veces más complejos que el muestreo aleatoro smple. S sabemos que ua poblacó se dstrbuye aproxmadamete gual etre los dos sexos, podría teresaros que ese porcetaje se matuvera e la muestra. Por azar, sería posble obteer ua muestra e la que la mayoría de los dvduos perteecera a uo de los dos sexos. U dseño muestral más rco podría dvdr la poblacó e dos (segú su sexo), realzado u m.a.s. e cada ua de las partes, es decr, seleccoado al azar la mtad de la muestra etre la poblacó mascula y la otra mtad etre la poblacó femea. El dseño ya o es puro azar, puesto que éste se sacrfca parcalmete para garatzar la máxma represetatvdad. La complejdad estadístca del dseño muestral puede aumetar rápdamete, cuado se mpoe más crteros. Lo que resulta esecal es que bajo dseños más o meos complejos, sempre aparece falmete u procedmeto de seleccó basado e el azar. El estudo y dseño de los dferetes tpos de muestreo es ua parte de la estadístca ferecal y o se dscute e este lbro. Sólo e u puto del aálss descrptvo se produce u cruce co la dea de poblacó y es cuado a cada dvduo de la muestra se le asoca u factor de elevacó poblacoal. El factor de elevacó poblacoal dca el úmero de dvduos de la poblacó a los que represeta cada uo de los dvduos de la muestra. Imagemos ua poblacó co 000 dvduos, de la cual se quere extraer ua muestra de dez observacoes. A cuátos dvduos de la poblacó represeta cada uo de los dvduos de la muestra? S se trata de u m.a.s., cada uo de los dvduos de la muestra ha tedo gual oportudad de ser elegdo y cada dvduo represetará a 000/000 dvduos e la poblacó. El factor de elevacó de cada elemeto de la muestra será gual a 00. El Isttuto Nacoal de Estadístca, por ejemplo, realza gra parte de su trabajo basádose e muestras, auque ofrece sus resultados al vel de la poblacó. Para ello utlza los factores de elevacó calculados prevamete (e fucó del partcular dseño muestral). S se quere descrbr la poblacó empleado la muestra, puede resultar útl emplear estos factores.

10 Estructura del lbro El lbro se estructura e ses capítulos. Los tres prmeros trata el aálss descrptvo de ua úca varable (aálss descrptvo uvarate): se dedca u corto capítulo al tratameto de varables cualtatvas y dos capítulos a las varables de tpo cuattatvo. Los capítulos sguetes se cetra e el aálss de las relacoes etre dos varables (relacoes bvarates). E el capítulo cuarto se estuda las relacoes bvarates etre varables cualtatvas, metras que el quto y sexto está dedcados a las relacoes bvarates etre varables cuattatvas. E cada capítulo los coceptos teórcos está acompañados de u úmero amplo de ejemplos.

11 CAPÍTULO I. Descrpcó de VARIABLES CUALITATIVAS E este capítulo se expoe las téccas más secllas que se utlza para descrbr ua varable cualtatva. Defremos las varables cualtatvas omales y ordales, los coceptos asocados a la dstrbucó de frecueca y los lmtados estadístcos que puede emplearse e la descrpcó. El capítulo se cerra co alguos de los procedmetos gráfcos empleados para represetar las dstrbucoes de estas varables. Varables cualtatvas omales y ordales. E ua ecuesta sobre el gasto turístco se preguta a los vstates de ua autoomía cuál es la mpresó que ha obtedo de su vaje. La preguta y las posbles respuestas so las sguetes: La mpresó que ha tedo de su vaje ha sdo: Muy buea. Buea. Normal. Mala. També se preguta cuál es la categoría soco-profesoal e la que se stúa el ecuestado: Su profesó es: Profesoal lberal. Drectvo o empresaro. Admstratvo. Trabajador maual. Trabajador Autóomo. Fucoaro. Jublado. Estudate Otras. Las aterores varables so de tpo cualtatvo, calfcádose como de tpo ordal (la prmera) y omal (la seguda). La dstcó etre ellas es clara. E la preguta sobre la mpresó del vaje, la respuesta muy buea dca u vel de satsfaccó mayor que buea, ésta últma respuesta estaría a su vez por ecma de ormal y mala señalaría e vel mímo de satsfaccó. Las respuestas puede, e algú setdo, ordearse de meos a más.

12 E cambo, o es posble ordear de meos a más las respuestas de ua varable como la categoría profesoal. Las varables cualtatvas omales úcamete poe ombre a ua característca, las varables ordales lleva asocadas u orde e las respuestas. Las categorías de ua varable omal, al cotraro de las de ua varable ordal, o puede ordearse de meos a más. Dstrbucó de frecuecas. Frecueca relatva y frecueca relatva acumulada. La prcpal herrameta de aálss de ua varable de tpo cualtatvo es el smple recueto del úmero de los casos detro de cada categoría. Además de referros a las categorías de ua varable, emplearemos també el térmo valores de la varable. Supogamos que teemos ua varable A, que puede tomar las categorías A, A,, A I. El prmer objetvo es coocer cuátos dvduos tee cada característca. La prcpal herrameta de aálss de ua varable de tpo cualtatvo es el smple recueto del úmero de los casos detro de cada categoría. E estadístca, el úmero de veces que se repte ua de las categorías o valores de la varable se deoma frecueca o, de maera más precsa, frecueca absoluta (que deotaremos ). Por dstrbucó de frecuecas se etede el regstro de todos las posbles categorías o valores de la varable, juto co sus frecuecas asocadas. Además de las frecuecas absolutas se suele presetar las frecuecas relatvas de cada categoría. La frecueca relatva se defe como la frecueca absoluta dvdda por el total de observacoes: f,, K, I Cuado se trabaja co ua varable de tpo ordal (cuyas categorías se puede ordear de meor a mayor) se puede calcular las frecuecas acumuladas. La dea de acumulacó faclta coocer rápdamete el úmero de observacoes que está por debajo de u determado valor o categoría. Se dstgue etre frecuecas acumuladas absolutas y relatvas. La frecueca absoluta acumulada se defe como:

13 N,,K I. j Y la frecueca relatva acumulada como: F j j j, N,, K I Recuerde que tee setdo hablar de valores acumulados cuado las respuestas de la varable se ha ordeado de meor a mayor, lo que sólo es posble s la varable cualtatva es de tpo ordal. La mage estádar de ua dstrbucó de frecuecas es ta seclla como la que se muestra e el cuadro. E la msma aparecería, para el total de observacoes, los I dsttos atrbutos de la varable, sus frecuecas absolutas, las frecuecas relatvas y las frecuecas relatvas acumuladas. Cuadro Dstrbucó de frecuecas Categorías Frecuecas Frecuecas Frecuecas Absolutas Relatvas Relatvas acumuladas A / / A / ( + ) / A I I I / ( + + I ) / Ejemplo. Régme de propedad de la vveda. El régme de propedad de la vveda famlar puede cosderarse como ua varable cualtatva, dstguedo tres posbles categorías: la vveda está e alquler, la vveda es de propedad co la hpoteca pedete o la vveda es de propedad s hpoteca. Ate ua muestra cocreta de famlas, podemos descrbr de ua maera cuattatva su relacó co la propedad de su vveda. E el cuadro se muestra la dstrbucó de frecuecas de ua muestra de 479 declarates de IRPF. Auque o es estrctamete ecesaro suele ser cómodo, cuado se graba los datos, covertr las categorías e etquetas umércas. E uestro ejemplo se ha defdo ua varable deomada vveda que toma u valor gual a 0 cuado la vveda es de alquler, gual a

14 cuado la vveda es de propedad pero tee la hpoteca aú vgete y valor, s la vveda es de propedad y s hpoteca. Cuadro VIVIENDA POSESIÓN VIVIENDA HABITUAL(0,,) Cum Value Label Value Frequecy Percet Percet Alquler ,8 36,8 Hpoteca vgete 960 0,0 56,9 Propedad , 00, Total ,0 Vald cases 479 Mssg cases 0 E el cuadro aparece los sguetes coceptos: Los valores que toma la varable (Value). Para esta varable los valores 0, y refleja las categorías de alquler, vveda co hpoteca vgete y vveda de propedad (e la columa Value Label se muestra las etquetas de la varable). La Frecueca absoluta (Frequecy). El úmero de dvduos que tee cada ua de las categorías. La frecueca relatva (Percet). Defda como el cocete etre la frecueca absoluta y el úmero total de observacoes. La frecueca relatva acumulada (Cum Percet). La frecueca relatva acumulada se defe como la suma acumulada de los porcetajes relatvos de las categorías aterores y hasta la propa categoría. La vveda e propedad y ya pagada, co u 43.% de los declarates tee el mayor porcetaje de dvduos. La seguda es la categoría de vveda e alquler, co u 36.8% de declarates. Falmete, la categoría co meos dvduos correspode a la de declarates que vve e vveda de propedad, aú o pagada. La mportaca de cada ua de las categorías es fácl de percbr cuado el úmero de categorías de la varable es muy pequeño.

15 Los porcetajes acumulados o tee ua terpretacó ocete cuado se trata varables de tpo cualtatvo. La formacó de que el 56.9% de los dvduos vve e régme de alquler o e vveda propa co hpoteca puede ser ua formacó s setdo. La frecueca relatva se defe como la frecueca e cada clase dvdda por el total de observacoes: f La frecueca relatva acumulada e cada clase se defe, ua vez ordeadas las respuestas desde la categoría feror a la superor, como: F j j E varables de tpo cualtatvo omal el porcetaje acumulado de frecuecas o debe leerse de maera automátca, puesto que al o exstr u orde e las categorías, el setdo de la acumulacó puede ser cofuso. N Dagrama de barras. Los resultados de la dstrbucó de frecuecas se puede acompañar de ayudas gráfcas que faclta la lectura de la formacó. El dagrama de barras represeta, para cada ua de las categorías de la varable (dcada e uo de los ejes de la gráfca), su frecueca absoluta o relatva (que se muestra e u segudo eje). Su objetvo es dspoer de ua vsualzacó clara y rápda de la mportaca de cada ua de las categorías de la varable. E la gráfca se muestra el dagrama de barras correspodete al ejemplo ateror. El dagrama de barras represeta gráfcamete las frecuecas (absolutas o relatvas) de la varable.

16 Gráfca 00 Gráfca de barras Frecueca POSESIÓN VIVIENDA (0Alquler,Hpoteca,Propedad) Moda. E el Ejemplo sobre el régme de propedad de la vveda uo de los resultados obtedos era que la categoría co u porcetaje mayor de dvduos era la (vveda e propedad s hpoteca). Esta percepcó putual puede covertrse e el prmer estadístco de resume, ya que saber cuál es la categoría más frecuete de ua varable dce algo del comportameto geeral del grupo de dvduos. Coocer el valor co mayor frecueca permte dspoer de ua medda stétca de cuál es la tedeca geeral de las observacoes. A este valor se le deoma moda de la dstrbucó. La moda de ua dstrbucó es el valor de la varable co mayor frecueca. E ocasoes, las dstrbucoes de frecuecas se puede caracterzar e fucó de la moda, dstguedo etre dstrbucoes co ua úca moda (dstrbucoes umodales) y dstrbucoes e las que so dos o más de dos los valores que alcaza la máxma frecueca (dstrbucoes bmodales o multmodales, respectvamete). Es dfícl ecotrar dstrbucoes empírcas que sea multmodales e el setdo estrcto e que aquí se ha defdo, es decr, que de maera exacta varos valores tega la msma frecueca. S embargo, resulta teresate detectar dstrbucoes e las que dos o más valores tee frecuecas más altas que los

17 demás. E la práctca estas dstrbucoes se deoma també multmodales. La explcacó de esta flexbldad puede ecotrarla e la comparacó de las gráfcas y 3. Ambas represeta dos dstrbucoes fctcas de ua varable que tomaría ocho categorías. E la prmera dstrbucó se observa ua doble moda, co las categorías A 3 y A 7 co superor e gual frecuecas absolutas. E la seguda dstrbucó la moda se ecuetra e la categoría A 3, pero resulta obvo que cualquer cometaro sobre la dstrbucó que gorase la categoría A 7 falsearía la mage de cojuto que se desea trasmtr. Hablar de ua dstrbucó bmodal, co ua prmera moda stuada e la categoría A 3 y ua seguda moda e la categoría A 7 resultaría ser u retrato más fel de las observacoes. Gráfca Frecuecas 0 0 A A A3 A4 A5 A6 A7 A8 Varable Cualtatva Gráfca Frecuecas 0 0 A A A3 A4 A5 A6 A7 A8 Varable Cualtatva

18 Medaa. E el caso de varables cualtatvas ordales la moda o es el úco estadístco co sgfcado. Puesto que e las varables ordales exste u setdo de orde e sus categorías, s éstas se ordea de meos a más, la dstrbucó de frecuecas acumuladas tedrá ua terpretacó. La medaa es aquella característca de la dstrbucó que ocupa la poscó cetral de la msma. Ordeados los valores de la varable (de meor a mayor), la medaa defe aquel puto que deja por debajo de sí msmo el 50% de la dstrbucó. Ordeados los valores de la varable (de meor a mayor) la medaa es aquel valor de la dstrbucó que ocupa el valor cetral de la msma. Ejemplo. Ivestgacó comercal de u uevo producto. Las empresas, ates de lazar u producto uevo, realza pruebas para medr su aceptacó. Ua práctca habtual es ofrecer ua muestra del producto a alguos cosumdores potecales. Ua ecuesta posteror permtrá coocer el vel de satsfaccó del cosumdor y las modfcacoes que podría resultar adecuadas. Supogamos que ua empresa productora de u abrllatador de muebles reparte de maera aleatora 36 udades de u uevo producto etre u úmero gual de posbles cosumdores, realzado después ua ecuesta sobre el vel de satsfaccó respecto al producto. E el cuadro 3 se reproducría los resultados obtedos. Cuadro 3 Value Label Vald Cum Value Frequecy Percet Percet Percet Nada satsfactoro 6,5,7,7 Poco satsfactoro 3 3, 3,9 6,6 Bastate satsfactoro ,7 43,0 59,6 Muy satsfactoro , 40,4 00,0 No lo ha probado 5 3 5,5 Mssg Total 36 00,0 00,0 La varable cualtatva preseta cuatro posbles respuestas, dcado cada ua de ellas el vel de satsfaccó del cosumdor. Exste ua quta opcó que recoge la categoría de aquellas persoas que falmete o ha empleado el producto y que, e este ocasó, se ha defdo como valores perddos (mssg). E los resultados del programa aparece dos columas de porcetajes. E la prmera, el total de observacoes (haya empleado o o el producto) se recoge como refereca para calcular las frecuecas. E la

19 seguda columa (vald percet) se calcula lo que se deoma porcetajes váldos, calculádose las frecuecas co refereca al úmero de dvduos que ha empleado el producto. Las característcas más relevates de la dstrbucó sería ua moda para la categoría de bastate satsfactoro (43% de las respuestas váldas) y u valor medao e la msma categoría, al acumularse detro de ella el 50% de cosumdores. Además, e los porcetajes acumulados puede leerse que sólo el 6,6% de los cosumdores cosdera el producto ada o poco satsfactoro. El dagrama de barras de la dstrbucó se represeta e la gráfca 4, aparecedo esta vez e el eje vertcal las frecuecas relatvas. Destaque de los resultados aterores el hecho de que la lectura de los porcetajes acumulados (y, por tato de la medaa) tee setdo al tratarse de ua varable cualtatva de tpo ordal. Gráfca 4 50 Gráfca de barras Porcetaje 0 0 Muy satsfactoro Bastate satsfact. Poco satsfactoro Nada satsfactoro Satsfaccó co respecto al producto Pctograma. Juto a los dagramas e barra es posble represetar la mportaca de cada ua de las categorías usado otro tpo de gráfcas. El pctograma o es más que u círculo e el que se represeta las categorías de la varable proporcoalmete a su frecueca. La regla de proporcoaldad se cosgue defedo los águlos proporcoalmete a las frecuecas. Así, ua categoría co ua frecueca relatva del 40.4% debería cubrr u águlo gual a E la gráfca 5 se represeta las frecuecas relatvas del ejemplo ateror por medo de u pctograma.

20 Gráfca 5 Frecuecas relatvas Nada satsfecho,7% Poco satsfecho 3,9% Muy satsfecho 40,4% Bastate satsfecho 43,0% Dagrama de Pareto. S se quere resaltar la dstrbucó de frecuecas acumuladas puede emplearse el deomado dagrama de Pareto. Éste o es más que u dagrama e barras e el que las categorías se ordea de mayor a meor frecueca, dbujado sobre las barras ua líea dcatva de la frecueca acumulada hasta esa categoría. La gráfca se puede realzar tato sobre varables omales como ordales. El dagrama de Pareto es u dagrama de barras e el que las categorías se ordea de mayor a meor frecueca, dbujado ua líea dcatva de la frecueca acumulada hasta esa categoría. Ejemplo 3. Cotrol de produccó. Ua empresa sufre cotuas paradas e su cadea de produccó. Dada la mportaca de las cosecuecas ecoómcas de estas paradas se decde cotrolar durate u mes cuáles so las razoes que las ocasoa. Para ello se solcta de los operaros que aote el tpo de percace y el tempo que tarda e arreglarse, desde que se detecta hasta que se solucoa el problema. Las causas detectadas (ses causas partculares a este proceso de produccó) así como su frecueca y el tempo de parada se reproduce e el cuadro 4.

21 Cuadro 4 Causa Frecueca Tempo de parada (e mutos) Rotura de torllos 0 70 Rotura de aradelas Rotura o bloqueo de ctas Rotura de aros de sujecó 0 5 Rotura de otras pezas 0 6 Desajustes de temperatura 53 E total, como cosecueca de 39 paradas, se ha perddo 04 mutos e u mes de trabajo. El tempo de parada y el úmero de paradas se puede aalzar a partr de los correspodetes dagramas de Pareto. E la gráfca 6 se observa que las tres causas más frecuetes de parada so la sexta, prmera y seguda, por este orde. Estas tres prmeras causas, tal como se observa e la líea cotua del dagrama, represeta u porcetaje alto del total de paradas, e cocreto u 79,5% de éstas, (+0+0)/39. E la gráfca 7 se puede observar, s embargo, que o todas las paradas tee gual mportaca e cuato al tempo de terrupcó. Las tres prmeras causas (prmera, sexta y tercera) supoe u 80,4% del tempo de parada, ( )/04. S el terés de la empresa se ecuetra e reducr al máxmo el tempo de parada (y o tato el úmero de veces e que la produccó se detee) debería cetrarse e los determates de la rotura de torllos, los desajustes de temperatura y la rotura o bloqueo de ctas. Gráfca Porcetaje 30 Número de paradas ,00 0,00 0,00 4 3,00 4,00 5, Causa de la parada

22 Gráfca Porcetaje Tempo de parada , ,00 4 3,00 0 4,00,00 5, Causa de la parada

23 CAPÍTULO II. Dstrbucó de frecuecas e hstograma Las varables de tpo cuattatvo so aquellas que toma, e lugar de categorías, valores umércos. Las categorías de las varables cualtatvas puede relacoarse co valores umércos, pero eso o las coverte e cuattatvas, puesto que el úmero, e su caso, o es más que ua etqueta, carecedo de setdo operar matemátcamete co ellos. Escala de tervalo y escala de cocete. Desde u puto de vsta teórco se dstgue etre varables cuattatvas meddas e escala de tervalo y e escala de cocete. Las varables cuattatvas tee ua escala de tervalo s se puede ordear sus valores y, además, se puede realzar co ellos las operacoes de suma y resta. La prmera característca la comparte co las varables cualtatvas ordales, pero al cotraro que e aquéllas, e la escala de tervalo puede medrse la dstaca etre dsttas observacoes. Permte afrmar, por ejemplo, que u dvduo tee u valor que supera e dez udades al que toma otro dvduo, o que etre dos dvduos hay ua dfereca de vete udades. Las varables co escala de cocete añade a estas característcas la de corporar u orge o arbtraro. La dfereca esecal es que este segudo tpo de varable admte u cero verdadero (toeladas cosumdas o úmero de empleados, por ejemplo, dode el cero se etede como exsteca) y permte el cálculo de proporcoes etre los dsttos valores (ua observacó toma u valor que es el doble que el de otra). Normalmete, desde el puto de vsta práctco, o sempre se realza ua dstcó etre ellas. Varables dscretas y cotuas. També se suele dstgur e la estadístca descrptva etre varables de tpo dscreto (s la varable toma u úmero fto o fto umerable de observacoes) y de tpo cotuo (fto o umerable). De uevo, desde el puto de vsta práctco esta dstcó o es mportate e muchas ocasoes. Dstrbucó de frecuecas. Dagrama de barras. La dea de recueto, es decr, la dea de crear ua dstrbucó de frecuecas debe ser, como e el caso de las varables cualtatvas, el prmer paso del aálss. Observar los dsttos valores que toma ua varable, ordearlos de meor a mayor y cotar el úmero de veces que aparece cada valor os dará ua dea de su comportameto. El úco problema que se platea co ua varable de tpo cuattatvo es que suele tomar u úmero de valores mucho mayor que las posbles categorías de ua

24 varable cualtatva. La mage geeral que se pretede dar co la dstrbucó de frecuecas puede ser etoces poco útl, porque la formacó está poco resumda. El trabajo co tervalos de la varable, e lugar de co cada uo de sus posbles valores, es el procedmeto ormal para cosegur ua mage stétca de la dstrbucó. Ejemplo. Dstrbucó de frecuecas del úmero de hjos. E este prmer ejemplo vamos a obteer la dstrbucó de frecuecas y el dagrama de barras del úmero de hjos de ua muestra de famlas españolas. La muestra de 54 famlas está formada por ua seleccó aleatora de declarates del IRPF que ya hemos aalzado aterormete. La dstrbucó de frecuecas para ua muestra de esta varable Número de hjos del hogar aparece e el cuadro y su represetacó e u dagrama e barras e la gráfca. Cuadro Número de hjos del hogar Cumulatve Cumulatve Nños Frequecy Percet Frequecy Percet Gráfca

25 Frecuecas absolutas Número de hjos del hogar El prmer resultado teresate de la dstrbucó es el dspoer de los valores que toma la varable, formacó que a pror o coocíamos. El úmero de hjos e la muestra toma úcamete valores 0,,, 3, 4, 5. Se trata de ua varable de tpo cuattatvo dscreta. Como e el caso de ua varable cualtatva podríamos detectar la moda y medaa de la dstrbucó. La moda correspode al valor 0, ya que el 44.8% de las famlas o tee gú hjo e el hogar. La medaa de la dstrbucó es el hjo úco, ya que es e el valor e dode se acumula el 50% de las observacoes. Se puede resaltar, además, la mportaca de los tres prmeros valores para descrbr el comportameto de la muestra: el 93.3% de las famlas tedría u úmero gual o feror a dos hjos. U problema dferete se efreta cuado la varable toma dversos valores umércos, pero co u úmero mayor de posbldades. Pesemos e la dstrbucó de la edad del perceptor prcpal de retas de ua famla (sustetador prcpal) e la msma muestra de declarates. E cocreto, s solctásemos la dstrbucó de frecuecas e ua muestra de 460 famlas, para la varable Edad del sustetador prcpal, os ecotraríamos ahora co la dstrbucó del cuadro º. Cuadro EDAD del sustetador prcpal Vald Cum Value Frequecy Percet Percet Percet 6,00,,, 7,00 4,3,3,3 8,00 3,9,9,

26 (Cotuacó Cuadro ) 9,00 9,6,6,8 0,00 0,4,4 3,,00 8,, 4,5,00 33,3,3 6,7 3,00 34,3,3 9,0 4,00 37,5,5,6 5,00 36,5,5 4,0 6,00 4,9,9 6,9 7,00 33,3,3 9, 8,00 3,,,3 9,00 33,3,3 3,6 30,00 3,, 5,8 3,00 7,8,8 7,6 3,00 34,3,3 9,9 33, , 3, 33,0 34,00 3,, 35, 35,00 3,, 37,3 36,00 3,, 39,5 37,00 6,8,8 4, 38,00 3,, 43,4 39,00 3,, 45,5 40,00 5,7,7 47, 4,00 34,3,3 49,5 4,00 7,8,8 5,4 43,00 34,3,3 53,7 44,00 3,, 55,8 45,00 40,7,7 58,6 46,00 3,, 60,8 47,00 35,4,4 63, 48,00 3,6,6 64,7 49,00 0,4,4 66, 50,00 8,9,9 68,0 5,00,8,8 68,8 5,00 34,3,3 7, 53,00 3,, 73,3 54,00 8,9,9 75, 55,00,4,4 76,6 56,00 5,7,7 78,4 57,00 30,, 80,4 58,00 38,6,6 83,0 59,00 5,7,7 84,7 60,00 5,0,0 85,8 6,00 5,0,0 86,8 6,00,8,8 87,6 63,00 8,, 88,8 64,00,8,8 89,6 65,00 7,, 90,8 66,00 4,0,0 9,7 67,00,8,8 9,5 68,00 0,4,4 93,9 69,00 0,7,7 94,6 70,00 9,6,6 95,

27 7,00 6,4,4 95,6 7,00 8,5,5 96, 73,00 5,3,3 96,5 74,00 7,5,5 97,0 75,00 8,5,5 97,5 76,00 4,3,3 97,8 77,00,, 97,9 78,00 5,3,3 98, 79,00 5,3,3 98,6 80,00 5,3,3 98,9 8,00 5,3,3 99, 8,00 5,3,3 99,6 83,00,, 99,7 84,00,, 99,7 85,00,, 99,8 86,00,, 99,9 87,00,, 99,9 88,00,, 00, Total ,0 00,0 Gráfca Frecuecas absolutas EDAD del sustetador prcpal La lectura de esta dstrbucó ya o resulta ta cómoda como cuado la varable toma u úmero escaso de valores. La creacó de la tabla sgue sedo ua ayuda para compreder el comportameto de la varable (moda, medaa, porcetajes acumulados hasta u determado valor), pero resulta algo más dfícl hacerse ua dea geeral de la dstrbucó. La represetacó gráfca del dagrama e barras (gráfca ) os ayuda a smplfcar la mage, pero també preseta u exceso de formacó. Uo de los prcpales objetvos de las

28 téccas estadístcas es facltar la compresó de la formacó umérca, sacrfcado volume de formacó (meor precsó) por ua mejor compresó de la msma (mayor efceca). Hstograma. Para tratar varables que toma gra catdad de valores el procedmeto usual es el de agrupar los valores e tervalos. Tomemos la varable edad del sustetador prcpal co la que hemos trabajado e el apartado ateror. De ua maera arbtrara, podemos pesar e crear tervalos de edad de 8 años: de los 6 a los 4 años, de los 4 a los 3, etc. E el cuadro 3 se recoge el resultado de esta agrupacó de la varable y e la gráfca 3, la represetacó correspodete de las frecuecas relatvas de cada tervalo. Auque ahora o dspoe de formacó sobre el úmero de dvduos de la muestra que tee ua edad cocreta, los rasgos geerales de la dstrbucó de la edad es más clara. Cuadro 3 Vald Cum EDAD Frequecy Percet Percet Percet 6 a 4 69,6,6,6 4 a ,4 8,4 9,9 3 a ,3 7,3 47, 40 a ,5 7,5 64,7 48 a ,6 3,6 78,4 56 a 64 64,, 89,6 64 a ,6 6,6 96, 7 a 80 40,7,7 98,9 80 a 88 6,, 00, Total ,0 00,0

29 Gráfca EDAD del sustetador prcpal La represetacó realzada para la varable Edad del sustetador prcpal se deoma hstograma. Auque se parece al dagrama de barras, se dfereca e que e el dagrama, la altura de la barra es proporcoal a la frecueca, metras que e el hstograma es el área del rectágulo la que es proporcoal a la frecueca. Formalmete puede establecerse otras dferecas etre el dagrama e barras y el hstograma. E el dagrama, cada barra represeta la frecueca de u atrbuto de la varable, metras que e u hstograma, cada uo de los rectágulos represeta las frecuecas de dversos valores de la varable (tervalos de valores). Además, debe teerse e cueta que e los hstogramas, cuado aparece u tervalo co frecueca cero, o se omte por ello su represetacó, metras que e u dagrama de barras o se cluye gú espaco para aquellos valores co frecueca ula. E el hstograma se represeta las frecuecas de la varable defda e tervalos. El área del rectágulo es proporcoal a la frecueca e el tervalo. El hstograma se costruye de maera que el área correspodete al rectágulo que se dbuja sobre el tervalo sea proporcoal a su frecueca. Carecería de setdo proceder como e el dagrama de barras. Puesto que los tervalos e los que se puede dvdr cualquer varable cotua so de ua

30 ampltud y úmero arbtraro, s dbujásemos barras co alturas proporcoales a las frecuecas para cada tervalo, los resultados sería absurdos. Hacedo el área proporcoal a la frecueca relatva para el tervalo - ésmo se tedrá: Area base * altura dode la base es la ampltud del tervalo y, por tato, la altura del rectágulo es gual a: altura base S u tervalo tee ua gra ampltud tederá e prcpo a ofrecer u mayor úmero de frecuecas, o obstate e el hstograma se segurá mateedo u área total proporcoal. La altura del rectágulo, de acuerdo co su defcó, se cooce como desdad de frecueca. Para detfcar cada tervalo se emplea e ocasoes sus putos medos, deomados marcas de clase: Límte superor del tervalo + Límte feror del tervalo marca de clase E muchos hstogramas es la marca de clase el valor que detfca los tervalos. E geeral, se emplea el hstograma: () cuado se trata de varables que cotee muchos valores dferetes; () cuado tee setdo costrur tervalos, agrupado valores adyacetes. Cómo trabajar co los hstogramas. El hstograma pretede facltar la compresó de la forma de la dstrbucó de la varable. Al estudar u hstograma se debe estar dspuesto a descubrr cuáles so los valores más frecuetes, los valores que ocurre co poca frecueca, la smetría o asmetría de la dstrbucó, su dspersó y forma. La moda y la medaa que utlzábamos para descrbr ua varable cualtatva puede usarse co la msma defcó sobre las varables

31 cuattatvas. La moda es el valor co mayor frecueca. La medaa es aquel valor que (ordeada la varable de meor a mayor) deja por debajo de sí msmo el 50% de las observacoes. Estos estadístcos puede calcularse sobre la dstrbucó orgal de la varable, auque puede ser recomedable obteer la moda y la medaa e los tervalos de la varable. Exste fórmulas para obteer la moda y la medaa a partr de la formacó agregada e tervalos, pero es també correcto detectar la moda y medaa e el propo tervalo y hablar, por ejemplo, del tervalo modal cuado e ua dstrbucó se detecta u tervalo co u área (ua frecueca) mayor que los restates. Uo de los problemas de los hstogramas es decdr co cuátos tervalos costrurlos y s los tervalos debe ser todos de la msma ampltud. Normalmete los hstogramas se costruye co tervalos de gual ampltud, de maera que o be se defe el úmero de tervalos y de ahí se deduce (a partr del rago de la varable) la ampltud de cada tervalo, o be se decde arbtraramete la ampltud del tervalo y luego se deduce el úmero de tervalos. Estas decsoes está sujetas a ua certa arbtraredad. Ua regla frecuetemete utlzada es la de defr tervalos de la msma ampltud, e u úmero gual al etero más próxmo a. Es ormal defr tervalos de dferete ampltud e las colas de la dstrbucó (valores superores e ferores de la dstrbucó), e dode además se suele emplear tervalos abertos. El tervalo feror se defe tomado los valores por debajo de ua catdad (meos de ) y el tervalo superor, por ecma de ua catdad (más de ). El propósto de estos tervalos abertos es evtar hstogramas e los que pese demasado la represetacó de los valores extremos, que puede estar muy alejados del comportameto comú. Ejemplo. Efecto del úmero de tervalos e la costruccó del hstograma. La decsó sobre el úmero de tervalos que debe tomarse para costrur u hstograma puede ser decsva para la compresó de la dstrbucó. Como ejemplo se ofrece e los gráfcos 4 a 7 cuatro hstogramas de la varable gresos famlares de ua muestra de famlas de la Ecuesta de Presupuestos Famlares (EPF-90). E la gráfca 4 se ofrece u hstograma basado e 7 tervalos (úmero seleccoado segú crteros formales por u programa formátco de estadístca), sedo la ampltud de cada tervalo de 0000 ptas. La gráfca 5 se basa e 0 tervalos (ampltud 54000), la gráfca 6 e 5 tervalos (ampltud 600) y, falmete, la gráfca 7 co 50 tervalos de ampltud gual a 0800, cada uo de ellos.

32 Gráfca 4 Gráfca Igresos percbdos. Muestra EPF Igresos percbdos. Muestra EPF Gráfca 6 Gráfca Igresos percbdos. Muestra EPF Igresos percbdos. Muestra EPF Observe que squera las gráfcas 4 y 6 (co 7 y 5 tervalos) proporcoa ua mage détca, detectádose ua moda más señalada e el prmer hstograma. E la gráfca 5 (co 0 tervalos) se recoge la mage básca de la dstrbucó, sedo cluso sufcete para captar las grades líeas de la msma, caracterzada por ser ua dstrbucó asmétrca haca la derecha. S embargo, s uo está teresado e detectar posbles modas y submodas (o modas relatvas) parecería más adecuado el hstograma basado e 50 tervalos. Cuado se trabaja co hstogramas, resulta recomedable expermetar co el úmero de tervalos. Ejemplo 3. Dstrbucó de los porcetajes de gasto e almetacó y vestdo. E este ejemplo se cosdera dos partdas del gasto e cosumo de ua muestra de famlas españolas. Se va a aalzar los hstogramas y las dstrbucoes de frecuecas de las proporcoes de gasto del cosumo e almetos y e vestdo y calzado. Cada uo de estos agregados tee característcas dsttas, que se refleja e las formas de sus dstrbucoes.

33 La muestra que seleccoamos correspode a 7 hogares, proveetes de la Ecuesta Cotua de Presupuestos famlares (ECPF). La ECPF es ua ecuesta realzada por el INE desde el prmer trmestre de 985, efectuádose cada trmestre desde ese año. La ecuesta recoge el orge y cuatía de las retas famlares y su cocrecó e gastos de cosumo (gastos trmestrales de más de 00 bees). La udad básca de la ecuesta so los hogares, de los que se seleccoa alrededor de 300 de maera aleatora, reovádose cada trmestre el.5% de la muestra (como cosecueca de ello, u hogar permaece e la ecuesta como máxmo ocho trmestres). Las 7 famlas de uestro ejemplo so las que cumple su últmo trmestre e la ecuesta e el cuarto trmestre de 99. Las varables so proporcoes de gasto (e almetacó, y e vestdo y calzado). Estas se ha calculado, para cada be y e cada famla como: proporcó del gasto del hogar e el be gasto e el be 00 cosumo total del hogar E las gráfcas 8 y 9 (almetacó y vestdo y calzado, respectvamete) aparece cojutamete las dstrbucoes de las proporcoes de gasto y sus hstogramas. Estos resultados se ha obtedo utlzado u programa formátco de estadístca y el úmero de tervalos e los que debía dvdrse las varables ha sdo calculado por el propo programa. E los resultados se ofrece el hstograma (co las frecuecas relatvas e el eje horzotal) y la dstrbucó de frecuecas: FREQ. es la frecueca absoluta, CUM. FREQ. la frecueca absoluta acumulada, PCT. la frecueca relatva y CUM. PCT. la frecueca relatva acumulada. Los tervalos se defe por medo de su marca de clase; recuerde que la marca de clase de u tervalo es su puto medo, de maera que u valor de 4 al lado de uo de los rectágulos del hstograma dca que el tervalo correspodete está etre 0 y 8. La prmera mpresó que se obtee de los dos hstogramas es la de su dferete forma. Ambas so dstrbucoes umodales (co u tervalo defedo la máxma frecueca), auque la dstrbucó correspodete a almetacó preseta esa moda e el cetro de los valores que toma la varable, metras que vestdo y calzado tee la moda bastate desplazada del cetro de la varable, muy cerca de sus

34 valores mímos. Las dsttas formas de las dstrbucoes so mportates cuado se trata de descrbr el comportameto de ua varable. Auque más adelate volveremos sobre ello, puede ya reteer que u tpo de dstrbucó como la de almetos se cooce e estadístca como dstrbucó smétrca, metras que la de vestdo y calzado se cooce como dstrbucó asmétrca por la derecha, al teer muchos más valores alejados de la moda por la parte superor de la varable (ua dstrbucó asmétrca por la zquerda tedría la mage cotrara). Qué os aporta la formacó de las dstrbucoes? Cetrémoos e el gasto e almetacó. El tervalo mímo de la varable tee ua marca de clase del 4% y el tervalo más alto es gual al 84%. El tervalo más frecuete, que defría la moda, se stúa e el 8% del gasto, cfra que detfcaría el 3.99% de las famlas de la muestra. Al tratarse del cosumo de almetos, parece que sería lógco esperar que el porcetaje de gasto que éstos represeta e u hogar o fuera muy elevado. La moda, co u valor alrededor del 8%, os ofrece ua buea refereca de cuál puede ser la proporcó esperada. S embargo, e la dstrbucó destaca las observacoes que se stúa e la parte superor de la varable. El porcetaje de famlas que dedca algo más del 50% de su presupuesto a la almetacó resulta sgfcatvo. E cocreto, por ecma del tervalo cuya marca de clase es 44 (40% a 48%) se stúa el %, es decr que alrededor de u 0% de las famlas, cosume más del 48% de su gasto total e almetacó. La mayoría de hogares, s embargo, lmta este porcetaje, destacado que el 60.5% de los hogares tee u porcetaje de gasto feror al 3%. La descrpcó de la seguda varable puede hacerse e térmos parecdos. La moda, co u valor del 5%, os defe el valor más frecuete. La dstrbucó de este tpo de gasto es dferete a la de almetacó. El recorrdo de la varable es bastate meor, stuádose teórcamete etre el 0 y el 47.5% (valores feror y superor del prmer y últmo tervalo, respectvamete). El tervalo feror tee como puto medo 0, y debe terpretarse como defdo etre 0 y.5%, al o ser posble defr u porcetaje de gasto egatvo (tervalo etre.5 y.5). E este tervalo se stúa el.88% de los hogares, de maera que destaca de la dstrbucó el que el 50.8% de los hogares gaste meos del 7.5% de su cosumo trmestral e vestdo y calzado. Los valores superores de la varable, s embargo, o muestra frecuecas ta altas. Por ecma del 5% del gasto (y hasta u máxmo del 47.5%) se ecotraría ada más que alrededor del 7% de los hogares.

35 Gráfca 8 Proporcó de gasto e almetacó FREQ. CUM. FREQ. PCT. CUM. PCT Frecuecas relatvas ECPF. IV trmestre 99 Gráfca 9 Proporcó gasto e vestdo y calzado FREQ. CUM. FREQ. PCT. CUM. PCT Frecuecas relatvas ECPF. IV trmestre 99 Ejemplo 4. La flueca del salaro mímo e la desgualdad salaral. El mpacto que tee el salaro mímo sobre la dstrbucó de los salaros ha sdo aalzado co datos de la ecoomía portuguesa por Rute (997). La legslacó sobre salaro mímo mpoe u efecto de tpo gualtaro e la estructura de salaros, al mpoer restrccoes e los

36 salaros pagados por los empleadores. E su trabajo dscute dversos hstogramas que muestra la dstrbucó de los salaros e dsttos años. El aálss de los msmos se drge especalmete a la deteccó de los pcos (modas o submodas) del salaro mímo, clarfcado además la estructura de salaros que quere descrbrse. E todos los hstogramas se señala la poscó de los salaros mímos correspodetes a la agrcultura y al cojuto de actvdades ecoómcas, excluyedo e este caso la agrcultura y el trabajo doméstco (estas poscoes se detfca e el eje horzotal co las letras A y M, respectvamete). E la gráfca 8 se muestra el hstograma de los salaros del año 983. E el msmo puede detectarse ua moda e el salaro mímo agrícola y ua moda, más mportate, e el salaro mímo del resto de la ecoomía. Hasta 986 (gráfca 9), las relacoes ecoómcas se edurecero, cotrayédose el vel de empleo y aumetado el cerre de empresas. La legslacó sobre salaro mímo hzo que éste fuera mayor e relacó al salaro medo e la ecoomía. Esto tuvo u efecto gualtaro sobre la dstrbucó, al acercar los salaros más bajos a los del resto de trabajadores. Este efecto se do també sobre los salaros ferores al mímo legal, que se vero arrastrados por el aumeto del salaro mímo. El hstograma de los salaros del año 99 se muestra e la gráfca 0. E ese año o se permtero salaros legales por debajo del mímo, el pco correspodete todavía se detecta, pero la cocetracó por ecma del mímo aumeta. Los pcos detectados e las dstrbucoes lustra la mportaca de la legslacó sobre salaro mímo y, e cosecueca, la mportaca de los factores sttucoales e la dstrbucó de los salaros. Gráfca 8