1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones

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Pablo Quiroga Castillo
hace 8 años
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1 . Definición. Enfoque geométrico. Igualdad.4 Operaciones.5 Aplicaciones Objetios. Se persigue que el estudiante: epresente geométricamente un ector de Determine magnitud dirección de un ector. Sume ectores, multiplique por un escalar a un ector, obtenga el productor escalar el producto ectorial entre ectores Obtenga el área de un paralelogramo sustentados por dos ectores. Obtenga el olumen del paralelepípedo sustentado por tres ectores.

Sume ectores, multiplique por un escalar a un ector, obtenga el productor escalar el producto ectorial entre

2 Tomando como referencia la teoría de ectores en el plano, se obtienen definiciones propiedades de los ectores en el espacio.. DEFINICIÓN Un ector de es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: (, ),. ENFOQUE GEOMÉTICO Geométricamente a un ector de como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos (, ) se lo representa en el Espacio P,. Si, P, P P traamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una representación del ector P P, (, ) P (, ), P (, ), Este ector puede tener muchas otras representaciones equialentes en el espacio. Una representación equialente útil es aquella que se realia ubicando al ector con el origen como punto de partida. P (,, )

ENFOQUE GEOMÉTICO Geométricamente a un ector de como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos (, ) se lo representa en el Espacio P,.

3 .. Magnitud o norma Sea (,, ). La magnitud o norma de denotada como, se define como: + + Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el ector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. Para (, ), sería: ( ) + ( ) + ( ).. Dirección La dirección de (,, ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes,, γ α β Los ángulos α, β γ son llamados Ángulos Directores.

que define el ector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.

4 Obsere que: Cosα + + Cosβ + + Cosγ + + Ejercicio. Demostrar que cos α + cos β + cos γ.. Sentido El sentido de lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.. IGUALDAD DE VECTOES DE.4 OPEACIONES.4. Suma Dos ectores,,,, son iguales si sólo si, Sean dos ectores de (, ), (,, tales que ) entonces la + suma de con, denotada como, se define como: ( +, + ) +, + 4

5 .4.. Propiedades + + Sean, ectores de. la suma es conmutatia , entonces:. la suma es asociatia., 4. 0 tal que Donde 0 ( 0,0, 0) + 0, es llamado Vector Neutro, tal que Donde + 0 es llamado Vector Inerso Aditio de Geométricamente: (, ), + (, ), Los ectores sustentan un paralelogramo, el ector de la diagonal maor es el Vector Suma el ector de la diagonal menor es el Vector Diferencia..4. Multiplicación por escalar ) Sea α (,, un ector de entonces: ( α, α α) α, 5

Geométricamente: (, ), + (, ), Los ectores sustentan un paralelogramo, el ector de la diagonal maor es el Vector Suma

6 .4.. Propiedades. α,, + + α α α. α, β, ( α + β ) α + β. α, β, α β αβ Cualquier ector de, (,, ), puede ser epresado en combinación lineal de los ectores,0,0, 0,,0 i j k ( 0,0,) (,, ) (,0,0 ) + ( 0,,0 ) + ( 0,0, ) i + j+ k.4.. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno Sean,, ectores de como, (,. El Producto escalar de con denotado se define como: ) + + Ejemplo Si (,, ) (,4, 0) entonces ()( ) + ()() 4 + ( )() Propiedades Sean ectores de.. Entonces: 6

0,0,) (,, ) (,0,0 ) + ( 0,,0 ) + ( 0,0, ) i + j+ k.4.. Producto Escalar.

7 α β αβ Si (,, Por lo tanto ) entonces: (,, ) (,, ) + + o también Producto Vectorial. Producto Cru Sean,, ectores de, (,. El Producto Vectorial de denotado como se define como: ) con (, ( ) ), Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cru entre dos ectores es resoler el siguiente determinante, para la primera fila: i j k Ejemplo. Sea (,, ) (,, 0) entonces i j i j 5k k 0 7

El Producto Vectorial de denotado como se define como: ) con (, ( ) ), Una manera práctica para obtener

8 .4.4. Propiedades. Sean, ectores de. El ector es tanto perpendicular a como a. El sentido del ector se lo puede obtener empleando la mano derecha. Mientras los dedos se dirigen desde hacia., el pulgar indica la dirección de Si // entonces 0 6. α α α α De la última epresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado mu importante: 8

Mientras los dedos se dirigen desde hacia., el pulgar indica la dirección de. 4. 0 5.

9 [ ] θ θ θ θ cos cos cos sen Finalmente: senθ.5 APLICACIONES.5. CALCULO DEL ÁEA DEL PAALELOGAMO SUSTENTADO PO DOS VECTOES. Sean dos ectores, no paralelos. Obsere la figura: θ h Tomando como base a, tenemos: h altura base Area Obsere que h senθ entonces θ sen Area Y por la propiedad del producto cru: Area 9

10 Ejemplo Hallar el área del triángulo sustentado por los ectores (,, 0) SOLUCIÓN: (,, ) El área del triángulo sustentado por dos ectores es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los ectores, es decir: i Area Triángulo j Como i j 5k entonces k 0 Area Triángulo + ( ) + ( 5) 0 Ejemplo Hallar el área del triángulo que tiene por értices los puntos (,,0), (,, ) (,0,) SOLUCIÖN: Primero se forman dos ectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P (,, ) (,,0) P P (,0, ) P P, 0, 0 En este caso, P P (,, 0) ( 0,, ) (,, ) Entonces, i j 0 i j 9k k Area Triángulo () + ( ) + ( 9) 9 0

SOLUCIÖN: Primero se forman dos ectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a

11 .5. CALCULO DEL VOLUMEN DEL PAALELEPÍPEDO SUSTENTADO PO TES VECTOES Sean, tres ectores. Obsere la figura. h h Tomando como base el paralelogramo sustentado por, la altura h del paralelepípedo será la proección escalar sobre, entonces: Volumen Area base altura Donde Area base altura h Pr o Por tanto. Volumen Finalmente, simplificando resulta: Volumen Esta última epresión es denominada, EL TIPLE PODUCTO ESCALA de los ectores,, su interpretación es el olumen del paralelepípedo sustentado por los ectores,. Obsere además que no importa el orden de operación de los ectores, por qué?.

base altura Donde Area base altura h Pr o Por tanto.

12 Ejemplo Hallar el olumen del paralelepípedo sustentado por los ectores,,, (,0, ),,. SOLUCIÖN. Por lo definido anteriormente, Volumen u + Ejercicios propuestos V. Sean los ectores V ˆ i ˆj 4kˆ V ˆ i + ˆj kˆ. V a) Determinar la proección ectorial de sobre el ector. V V b) Calcular la componente de perpendicular a. esp. a) Pr o ( 5, 5 0 V ) V,. Sean los ectores A A iˆ 5 ˆj + kˆ B iˆ + ˆ j B k. Calcule los alores de A B para los cuales A B es paralelo a: a) al eje b) al eje esp. a) A 5 B 5 4 b) A 5 B 5 4. Calcular el área del triángulo que tiene sus értices en los puntos (-,,4); (,,7) ; (4,,6) esp. Area Dados tres ectores V ( 5,,6), V, (, 7,4),8, ˆ b) V forman un tetraedro con értice en el origen. Determinar su altura desde el origen. esp. h Un tetraedro tiene por base el triángulo de értices (.-6,-), (4,4,-) (-,-,); Si el értice opuesto es el punto (8,0,6), determine su altura. esp. h Sean u ectores no nulos, diferentes tales que: w u +, w u, w ( u + ). Hallar w w w esp Sea V un ector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un ector cualquiera, el ector U V W U V V es ortogonal a V. 8. Demuestre que si U es ortogonal a V a W, entonces U es ortogonal a cv d W para c d escalares cualquiera. 9. Demostrar que el área del triángulo, cuos értices son los etremos de los ectores A, B C, es B A C A 0. Demostrar que el olumen del tetraedro de aristas A + B, B+ C C+ A es el doble del olumen del tetraedro de aristas A, B C.. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares. +

Sean los ectores A A iˆ 5 ˆj + kˆ B iˆ + ˆ j B k. Calcule los alores de A B para los cuales A B es paralelo a: a) al eje b) al eje esp. a) A 5 B 5 4 b) A 5 B 5 4.

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