12.2 Vectores Algunos de los factores que medimos están determinados simplemente por sus magnitudes. Por

Transcripción

1 . Vectores 665. Vectores Algnos de los factores qe medimos están determinados simplemente por ss magnitdes. Por ejemplo, para registrar la masa, la longitd o el tiempo sólo necesitamos escribir n número el nombre de la nidad de medida apropiada. Para describir na ferza, n desplazamiento o na elocidad necesitamos más información. En el caso de na ferza, necesitamos registrar la dirección en la cal actúa, así como s magnitd. Para describir el desplazamiento de n cerpo, tenemos qe decir en qé dirección se moió qé tan lejos. Para describir la elocidad de n cerpo debemos saber hacia dónde se dirige el cerpo, así como la rapidez con qe está iajando. En esta sección mostraremos cómo representar, en el plano o en el espacio, elementos qe tienen tanto magnitd como dirección. Pnto inicial A AB Pnto final FIGURA.7 El segmento de recta dirigido se llama ector. B Componentes Una cantidad como na ferza, n desplazamiento o na elocidad se llama ector se representa por medio de n segmento de recta dirigido (figra.7). La flecha apnta en la dirección de la acción, s longitd representa la magnitd de la acción en términos de na nidad apropiada. Por ejemplo, el ector de ferza apnta en la dirección en la cal actúa la ferza, s longitd es na medida de la intensidad de la ferza; n ector de elocidad apnta en la dirección del moimiento s longitd es la rapidez del objeto móil. La figra.8 mestra el ector de elocidad en na posición específica para na partícla qe se desplaza a lo largo de na traectoria en el plano o en el espacio. (Esta aplicación de los ectores se estdia en el capítlo ). z B A D E O C F FIGURA.9 Las catro flechas en el plano (segmentos de recta dirigidos) mostradas aqí tienen la misma longitd dirección. Por lo tanto, representan al mismo ector, por lo qe escribimos AB = CD = OP = EF. P(,, z ) 0 z P Q(,, z ) (,, ) Posición del ector de PQ,, FIGURA.0 Un ector PQ en posición estándar tiene s pnto inicial en el origen. Los segmentos de recta dirigidos PQ son paralelos tienen la misma longitd. 0 (a) Dos dimensiones DEFINICIONES Un ector es n segmento de recta dirigido. El segmento de recta dirigido AB tiene n pnto inicial A n pnto final B, s longitd o magnitd se representa por ƒ AB ƒ. Dos ectores son igales cando tienen la misma longitd dirección. Las flechas qe samos para trazar ectores representan al mismo ector si tienen la misma longitd, son paralelas apntan en la misma dirección (figra.9) sin importar s pnto inicial. En los libros de teto, los ectores se denotan normalmente con letras minúsclas en negritas, por ejemplo,, w. Algnas eces samos letras maúsclas en negritas, como F, para representar n ector de ferza. Cando se san crsias, se acostmbra escribir peqeñas flechas encima de las letras, por ejemplo s, s, ws, Fs. Necesitamos na manera para representar algebraicamente los ectores, de manera qe podamos precisar s dirección. Sea = PQ. Eiste n segmento de recta dirigido igal a PQ co pnto inicial es el origen (figra.0). Ésta es la representación de en posición estándar es el ector qe normalmente samos para representar a. Podemos especificar a escri- 0 (b) Tres dimensiones FIGURA.8 El ector de elocidad de na partícla qe se desplaza a lo largo de na traectoria (a) en el plano (b) en el espacio. La pnta de la flecha sobre la traectoria indica la dirección del moimiento de la partícla.

2 666 Capítlo : Los ectores la geometría del espacio biendo las coordenadas de s pnto final (,, ) cando está en posición estándar. Si es n ector en el plano, s pnto final (, ) tiene dos coordenadas. DEFINICIÓN Si es n ector bidimensional en el plano igal al ector con pnto inicial en el origen pnto final (, ), entonces la epresión de en componentes es = 8, 9. Si es n ector tridimensional igal al ector con pnto inicial en el origen pnto final (,, ), entonces la epresión de en componentes es = 8,, 9. Por lo tanto, n ector bidimensional es n par ordenado 5 8, 9 de números reales, n ector tridimensional es na terna ordenada 5 8,, 9 de números reales. Los números, son los componentes de. Si 5 8,, 9, se representa por el segmento de recta dirigido PQ, donde el pnto inicial es P(,, z ) el pnto final es Q 5 (,, z ), entonces 5, 5, z 5 z, (éase la figra.0). Por lo tanto, 5, 5 5 z z son los componentes de PQ. En resmen, dados los pntos P(,, z ) Q 5 (,, z ), el ector en posición estándar 5 (,, ) igal a PQ es = 8 -, -, z - z 9. Si es el ector bidimensional con P(, ) Q 5 (, ) como pntos en el plano, entonces 5 (, ). No ha n tercer componente para ectores en el plano. Con esto en mente desarrollaremos el álgebra de los ectores tridimensionales simplemente eliminaremos el tercer componente cando se trate de ectores bidimensionales (n ector en el plano). Dos ectores son igales si sólo si ss ectores en posición estándar son idénticos. De manera qe 8,, 9 8,, 9 son igales si sólo si 5, 5 5. La magnitd o longitd del ector PQ es la longitd de calqiera de ss representaciones como segmento de recta dirigido. En particlar, si 5 8,, z z 9 es el ector en posición estándar para PQ, entonces la fórmla para la distancia proporciona la magnitd o longitd de, representada por el símbolo o ƒƒ ƒƒ. La magnitd o longitd del ector = PQ es el número no negatio ƒ ƒ = + + = s - d + s - d + sz - z d (éase la figra.0). El único ector con longitd 0 es el ector cero , 09 o , 0, 09. Este ector también es el único sin dirección específica. EJEMPLO Determine (a) los componentes (b) la longitd del ector con pnto inicial en P(, 4, ) pnto terminal Q(5,, ). Solción (a) El ector en posición canónica qe representa a PQ tiene componentes = - = -5 - s -d = -, = - = - 4 = -,

3 . Vectores 667 = z - z = - =. La epresión PQ en componentes es = 8-, -, 9. (b) La longitd o magnitd de = PQ es ƒ ƒ = s -d + s -d + sd = 9 =. 45 F = a, b FIGURA. La ferza qe tira del carrito hacia delante se representa por el ector F co componente horizontal es la ferza efectia (ejemplo ). EJEMPLO Se tira de n carrito a lo largo de n selo liso horizontal con na ferza F de 0 libras qe forma n ánglo de 45 con el selo (figra.). Cál es la ferza efectia qe mee el carrito hacia delante? Solción La ferza efectia es el componente horizontal de F 5 8a, b9, dado por Note qe F es n ector bidimensional. a = ƒ F ƒ cos 45 = s0d a b L 4.4 lb. Operaciones algebraicas con ectores Dos operaciones fndamentales qe peden realizarse con ectores son la sma de ectores la mltiplicación por n escalar. Un escalar es simplemente n número real se llama así cando qeremos resaltar s diferencia en relación con los ectores. Los escalares peden ser positios, negatios o cero se san para escalar n ector mltiplicándolo. DEFINICIONES Sean 5 8,, 9 5 8,, 9 ectores k n escalar. Sma: + = 8 +, +, + 9 Mltiplicación escalar: k = 8k, k, k 9 La sma de ectores se realiza smando los componentes correspondientes de los ectores. Mltiplicamos n ector por n escalar haciendo el prodcto de cada componente por el escalar. Las definiciones se aplican de manera similar a los ectores en el plano, sólo qe éstos tienen únicamente dos componentes 8, 9 8, 9. La definición de la sma de ectores en el plano se ilstra geométricamente en la figra.a, donde el pnto inicial de n ector se coloca en el pnto final del otro. Otra interpretación se mestra en la figra.b (llamada la le del paralelogramo de la sma), donde, (a) (b) FIGURA. (a) Interpretación geométrica de la sma de ectores. (b) La le del paralelogramo para la sma de ectores.

4 668 Capítlo : Los ectores la geometría del espacio.5 la sma, llamada el ector resltante, es la diagonal del paralelogramo. En física, las ferzas se sman ectorialmente, al igal qe las elocidades, las aceleraciones, etcétera. Así, la ferza qe actúa sobre na partícla sjeta a ferzas eléctricas graitacionales se obtiene smando los dos ectores de ferza. En la figra. se mestra la interpretación geométrica del prodcto k del escalar k por el ector. Si k. 0, entonces k tiene la misma dirección qe ; si k, 0, entonces la dirección de k es opesta a la dirección de. Comparando las longitdes de k, emos qe FIGURA. Múltiplos escalares de. ƒ k ƒ = sk d + sk d + sk d = k s + + d = k + + = ƒ k ƒƒ ƒ. La longitd de k es igal al prodcto del alor absolto del escalar k por la longitd de. El ector () 5 tiene la misma longitd de, pero apnta en la dirección opesta. La diferencia de dos ectores está definida por - = + s -d. (a) ( ) (b) FIGURA.4 (a) El ector, smando a, da. (b) 5 (). Si 5 8,, 9 5 8,, 9, entonces - = 8 -, -, - 9. Obsere qe ( ) 5, de manera qe smando el ector ( ) a se obtiene (figra.4a). La figra.4b mestra la diferencia como la sma (). EJEMPLO Sean 5 8,, , 7, 09. Obtenga los componentes de (a) + (b) - (c) ` `. Solción (a) + = 8-,, , 7, 09 = 8-, 6, 9 + 8,, 09 = 80, 7, 9 (b) - = 8-,, 9-84, 7, 09 = , - 7, - 09 = 8-5, -4, 9 (c) ` = ` = ` h -,, i ` = C a- b + a b + a b. Las operaciones ectoriales tienen mchas de las propiedades de la aritmética ordinaria. Propiedades de las operaciones con ectores Sean,, w ectores, a b escalares.. + = = = asbd = sabd sa + bd = a + b s + d + w = + s + wd + s -d = 0 = as + d = a + a Estas propiedades se erifican fácilmente sando las definiciones de sma de ectores mltiplicación por n escalar. Por ejemplo, para establecer la propiedad, tenemos + = 8,, 9 + 8,, 9 = 8 +, +, + 9 = 8 +, +, + 9 = 8,, 9 + 8,, 9 = +.

5 `. Vectores 669 Cando tres o más ectores en el espacio se encentran en el mismo plano, decimos qe son ectores coplanares. Por ejemplo, los ectores, siempre son coplanares. Vectores nitarios Un ector de longitd se llama ector nitario. Los ectores nitarios estándar (o canónicos) son i = 8, 0, 09, j = 80,, 09, k = 80, 0, 9. Calqier ector 5 8,, 9 se pede escribir como na combinación lineal de los ectores nitarios estándar de la sigiente manera: z OP i j z k P (,, z ) k O i j P P P (,, z ) OP i j z k FIGURA.5 El ector de P a P es P P = s - di + s - dj + sz - z dk. = 8,, 9 = 8, 0, ,, , 0, 9 = 8, 0, ,, , 0, 9 = i + j + k. Llamamos al escalar (o número) el componente en i del ector, a el componente en j, a el componente en k. La epresión en componentes del ector de P (,, z ) a P (,, z ) es P P = s - di + s - dj + sz - z dk (figra.5). Siempre qe Z 0, s longitd no es cero ` = ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ =. Es decir, es n ector nitario en la dirección de, llamado la dirección del ector no nlo. EJEMPLO 4 P (,, 0). Obtenga el ector nitario en la dirección del ector de P (, 0, ) a Solción Diidimos P P entre s longitd: P P = s - di + s - 0dj + s0 - dk = i + j - k ƒ P P ƒ = sd + sd + s -d = = 9 = = P P = ƒ P P ƒ El ector nitario es la dirección de i + j - k P P. = i + j - k. EJEMPLO 5 Si 5 i 4j es n ector de elocidad, eprese como el prodcto de s rapidez por n ector nitario en la dirección del moimiento. Solción La rapidez es la magnitd (longitd) de : ƒ ƒ = sd + s -4d = = 5. BIOGRAFÍA HISTÓRICA Hermann Grassmann ( ) El ector nitario tiene la misma dirección de : ƒ ƒ = i - 4j 5 = 5 i j.

6 670 Capítlo : Los ectores la geometría del espacio Entonces = i - 4j = 5 a 5 i jb. (')'* Longitd Dirección del moimiento (rapidez) En resmen, podemos epresar calqier ector no nlo en términos del prodcto de ss dos características fndamentales, longitd dirección, escribiendo = ƒ ƒ. ƒ ƒ Si Z 0, entonces. es n ector nitario en la dirección de ; ƒ ƒ. La ecación = ƒ ƒ epresa a en términos de s longitd dirección. ƒ ƒ EJEMPLO 6 Se aplica na ferza de 6 newtons en la dirección del ector 5 i j k. Eprese la ferza F como el prodcto de s magnitd dirección. Solción El ector de ferza tiene magnitd 6 dirección, entonces ƒ ƒ F = 6 ƒ ƒ i + j - k i + j - k = 6 = s -d = 6 a i + j - kb. Pnto medio de n segmento de recta Los ectores a mendo son útiles en geometría. Por ejemplo, las coordenadas del pnto medio de n segmento de recta se determinan promediando. P (,, z ) M,, P (,, z ) z z El pnto medio M del segmento de recta qe ne los pntos P(,, z ) P (,, z ) es el pnto a +, +, z + z b. Para comprender por qé, obsere la figra.6, donde OM = OP + sp P d = OP + sop - OP d = sop + OP d O FIGURA.6 Las coordenadas del pnto medio son los promedios de las coordenadas de P P. EJEMPLO 7 = + El pnto medio del segmento qe ne P (,, 0) P (7, 4, 4) es a + 7 i + + j + z + z k., - + 4, b = s5,, d.

7 . Vectores 67 Aplicaciones Una aplicación importante de los ectores se da en la naegación. N NO ESTÁ A ESCALA FIGURA.7 Los ectores qe representan las elocidades del aión el iento de cola del ejemplo 8. E EJEMPLO 8 Un aión comercial, qe ela hacia el este a 500 millas por hora con cielo despejado, encentra n iento de cola de 70 millas por hora soplando en dirección 60 al noreste. El aión mantiene el rmbo hacia el este, pero, debido al iento, adqiere na nea rapidez dirección con respecto al selo. Cáles son la rapidez dirección? Solción Si 5 la elocidad del aión solamente 5 la elocidad del iento de cola, entonces (figra.7). La elocidad del aión con respecto al selo está dada por la magnitd dirección del ector resltante. Si el eje positio representa la dirección este el eje positio representa la dirección norte, entonces los componentes de son Por lo tanto, = 8500, 09 = 870 cos 60, 70 sen 60 9 = 85, = 855, 59 = 55i + 5 j ƒ + ƒ = 55 + s5d L 58.4 = tan L 6.5. Figra.7 La nea rapidez del aión con respecto al selo es de alrededor de 58.4 millas por hora, s nea dirección es de aproimadamente 6.5 al noreste. Otra aplicación importante se da en física e ingeniería, cando arias ferzas actúan sobre n objeto simple. 55 F F (a) 40 EJEMPLO 9 Un peso de 75 newtons (N) está sspendido por dos alambres, como se mestra en la figra.8a. Obtenga las ferzas F F qe actúan en ambos alambres. Solción Los ectores de ferza F F tienen magnitdes F F componentes qe se miden en newtons. La ferza resltante es la sma F F debe ser igal en magnitd actar en dirección opesta (hacia arriba) al ector de peso w (figra.8b). A partir de la figra se dedce qe F = 8-ƒ F ƒ cos 55, ƒ F ƒ sen 55 9 F = 8ƒ F ƒ cos 40, ƒ F ƒ sen F F F 80, 759 Pesto qe F F 5 80, 759, el ector resltante llea al sistema de ecaciones F F 55 F F 40 -ƒ F ƒ cos 55 + ƒ F ƒ cos 40 = 0 ƒ F ƒ sen 55 + ƒ F ƒ sen 40 = 75. Al despejar F en la primera ecación sstitir el resltado en la segnda, tenemos w 80, 759 ƒ F ƒ = ƒ F ƒ cos 55 cos 40 ƒ F ƒ sen 55 + ƒ F ƒ cos 55 cos 40 sen 40 = 75. (b) Por lo tanto, FIGURA.8 ejemplo 9. El peso sspendido del ƒ F ƒ = 75 sen 55 + cos 55 tan 40 L N,

8 67 Capítlo : Los ectores la geometría del espacio ƒ F ƒ = = 75 cos 55 sen 55 cos 40 + cos 55 sen cos 55 sens d L 4.8 N. Los ectores de ferza son F , F , Ejercicios. Vectores en el plano En los ejercicios a 8, 5 8, 9 5 8, 59. Determine (a) los componentes (b) la magnitd (longitd) del ector indicado En los ejercicios 9 a 6, obtenga los componentes del ector. 9. El ector PQ, donde P 5 (, ) Q 5 (, ) 0. El ector OP donde O es el origen P es el pnto medio del segmento RS, donde R 5 (, ) S 5 (4, ). El ector del pnto A 5 (, ) al origen. La sma de AB CD, donde A 5 (, ), B 5 (, 0), C 5 (, ), D 5 (, ). El ector nitario qe forma n ánglo 5p con el eje positio 4. El ector nitario qe forma n ánglo 5p4 con el eje positio 5. El ector nitario obtenido al girar el ector 80, 9 0 en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen 6. El ector nitario obtenido al girar el ector 8, 09 5 en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen Vectores en el espacio En los ejercicios 7 a, eprese cada ector en la forma 5 i j k. 7. P P si P es el pnto (5, 7, ) P es el pnto (, 9, ) 8. P P si P es el pnto (,, 0) P es el pnto (, 0, 5) 9. AB si A es el pnto (7, 8, ) B es el pnto (0, 8, ) 0. AB si A es el pnto (, 0, ) B es el pnto (, 4, 5). 5 si 5 8,, 9 5 8, 0, 9. si 5 8, 0, 9 5 8,, 9 Representaciones geométricas En los ejercicios 4, copie los ectores, w con pnto inicial final conforme se reqiera para dibjar el ector indicado.. 4. w w a. + b. + + w c. - d. - w a. - b. - + w c. - d. + + w Longitd dirección En los ejercicios 5 a 0, eprese cada ector como prodcto de s longitd dirección. 5. i + j - k 6. 9i - j + 6k 7. 5k i - 6 j - 6 k 5 i k i + j + k

9 . Vectores 67. Determine los ectores con las longitdes direcciones dadas. Intente hacer los cálclos mentalmente. Longitd Dirección a. i b. -k c. d. 7. Obtenga los ectores con las longitdes direcciones dadas. Intente hacer los cálclos mentalmente. Longitd Dirección a. 7 -j b. - 5 i k c. d. a 7 0 i + j - 6 k. Determine n ector de magnitd 7 en la dirección de 5 i 5k. 4. Obtenga n ector de magnitd en dirección opesta a la dirección de 5 ()i ()j ()k. Dirección pntos medios En los ejercicios 5 a 8, determine a. La dirección de P P b. El pnto medio del segmento de recta P P. P s -,, 5d P s, 4, 5d P s, 4, 5d 5 j k 6 7 i - 7 j + 7 k i - 4 j - k P s, 5, 0d P s4, -, 7d P s,, 4d 8. P s0, 0, 0d P s, -, -d 9. Si AB 5 i 4j k B es el pnto (5,, ), obtenga A. 40. Si AB 57i j 8k A es el pnto (,, 6), obtenga B. Teoría aplicaciones 4. Combinación lineal Si 5 i j, 5 i j, w 5 i j, obtenga los escalares a b tales qe 5 a bw. 4. Combinación lineal Si 5 i j, 5 i j, w 5 i j, escriba 5, donde sea paralelo a sea paralelo a w. (Véase el ejercicio 4). 4. Velocidad Un aión ela en dirección 5 al oeste del norte a 800 kmh. Determine la forma en componentes de la elocidad del aión, sponiendo qe el eje positio representa el rmbo este el eje positio representa el rmbo norte. 44. (Continación del ejemplo 8) Qé rapidez dirección debe tener el aión del ejemplo 8 para qe el ector resltante sea de 500 millas por hora hacia el este? 45. Considere n peso de 00 N sspendido de dos alambres como se mestra en la sigiente figra. Obtenga las magnitdes los componentes de los ectores de ferza F F Considere n peso de 50 N sspendido de dos alambres, como se mestra en la figra. Si la magnitd del ector F es de 5 N, obtenga el ánglo a la magnitd del ector F. 47. Considere n peso de w-n sspendido de dos alambres, como se mestra en la figra. Si la magnitd del ector F es 00 N, determine w la magnitd del ector F. 40 F 48. Considere n peso de 5 N sspendido de dos alambres, como se ilstra en la figra. Si las magnitdes de los ectores F F son ambas de 75 N, entonces los ánglos a b son igales. Obtenga a. a F F a w Ubicación Un pájaro ela desde s nido 5 km en dirección de 60 al noreste, donde se detiene a descansar en n árbol. Lego ela 0 km en dirección hacia el sroeste se detiene en n poste telefónico. Utilice n sistema de coordenadas de manera qe el origen esté en el nido del pájaro, el eje apnte hacia el este el eje apnte hacia el norte. a. En qé pnto se bica el árbol? b. En qé pnto se localiza el poste de teléfono? 50. Use triánglos semejantes para obtener las coordenadas del pnto Q qe diide al segmento de P (,, z ) a P (,, z ) en dos tramos, ca razón es pq 5 r. 5. Medianas de n triánglo Sponga qe A, B C son las esqinas de na delgada placa trianglar de densidad constante como se mestra en la figra. a. Obtenga el ector qe a desde C al pnto medio de M del lado AB. b. Determine el ector qe a desde C al pnto qe está sobre la mediana CM, a dos tercios de la distancia de C a M F F 50 5 F F b 45 F