Vectores en el plano con punto inicial fijo

Transcripción

1 Vectores en el plano con punto inicial fijo bjetivos. Considerar el conjunto V 2 () de los vectores en el plano euclidiano (también llamados segmentos dirigidos o flechas) con un punto inicial fijo. Definir las operaciones lineales en V 2 (), mencionar sus propiedades principales y algunas ideas de las demostraciones. Requisitos. Elementos de la geometría euclidiana. Conjunto V 2 () 1. El plano euclidiano. Consideremos el plano euclidiano, que se estudia en la geometría elemental y que se define de manera formal mediante los axiomas de Euclides y Hilbert (vease el libro: Hilbert Fundamentos de la geometría ). Vamos a usar algunas nociones básicas de la geometría del plano: un punto pertenece a una recta C; una punto está entre puntos y C (en una recta C); puntos y están por un lado de un punto C (en una misma recta); segmentos (segmentos de rectas); segmentos y CD tienen la misma longitud: = CD ; etc. 2. Conjunto V 2 (): segmentos dirigidos en el plano con punto inicial fijo. Fijemos un punto en el plano. Denotemos por V 2 () al conjunto de todos los segmentos dirigidos (también llamados flechas) que inician en el punto, esto es, el conjunto de todos los segmentos dirigidos de la forma, donde es cualquier punto del plano. E C D V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 1 de 7

2 3. Igualdad de elementos del conjunto V 2 (). Segmentos dirigidos y se llaman iguales si sus puntos finales coinciden: =. 4. bservación. Los elementos de V 2 () se pueden identificar con los puntos del plano: a un segmento dirigido le corresponde su punto terminal. 5. Segmentos dirigidos colineales y no colineales. Para todos puntos, siempre se cumple una y sólo una de las siguientes dos condiciones: y son colineales ( ), esto es, existe una recta l que pasa por, y ; y no son colineales ( ), esto es,,, y las rectas y intersectan sólo en. 6. Segmentos dirigidos codirigidos y contradirigidos. Sean y segmentos dirigidos colineales. Entonces se cumple una y sólo una de las siguientes dos condiciones: y son codirigidos ( ), esto es, y están por un lado del punto, ó uno de los puntos y coincide con, ó = = ; y son contradirigidos ( ), esto es, está entre y. V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 2 de 7

3 peraciones lineales en V 2 () 7. Suma de dos elementos de V 2 (). Sean, V 2 (). Para definir su suma C = +, consideremos varios casos: El caso principal: y no son colineales, esto es,,, y las rectas y se cruzan en un sólo punto. En este caso el segmento dirigido C se define por la regla de paralelogramo, esto es, C es el cuarto vértice del paralelogramo con los lados y : C y son codirigidos y no nulos, esto es,,, y los puntos y están por un lado de. En este caso C está por este mismo lado de y C = +. y son contradirigidos y >. En este caso C y están por un lado de y C =., =. En este caso C =.... (escriba los casos restantes). 8. Ejercicio. Terminar la definición (considerar todos los casos). V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 3 de 7

4 9. Producto de un elemento de V 2 () por un número real. Sean V 2 () y λ R. El producto de por λ (notación: λ ), se define como, donde el punto, a su vez, se define mediane las siguentes reglas: si = ó λ = 0, entonces = ; si y λ > 0, entonces y están por un lado de y = λ ; si y λ < 0, entonces está entre y y = λ. 10. Nota acerca de otras operaciones en V 2 (). hora vamos a considerar el conjunto V 2 () sólo con la operación de adición y la operación de multiplicación por números reales. Estas dos operaciones se llaman operaciones lineales en V 2 (). El espacio V 2 () con estas operaciones es un ejemplo importante de espacio vectorial. Es posible definir otras operaciones en V 2 (). Por ejemplo, el producto interno (producto escalar):, = cos. Esta operación también es importante, pero no se considera ahora. V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 4 de 7

5 Propiedades de la adición en V 2 () 11. Propiedad asociativa. La adición en V 2 () cumple con la propiedad asociativa: para todos,, C V 2 () ( + ) + C = + ( + C). 12. Tarea adicional. Demuestre el teorema para el caso no degenerado ningunos dos de los segmentos dirigidos,, C son colineales. 13. Propiedad conmutativa. La adición en V 2 () cumple con la propiedad conmutativa: para todos, V 2 () + = +. Esta propiedad es obvia, porque la definición de la suma es simétrica respecto a los sumandos. 14. Segmento dirigido nulo en V 2 (). El segmento dirigido se llama segmento dirigido nulo (o degenerado). Inmediatamente de la definición de la suma se deduce: 15. Propiedad principal del segmento dirigido nulo. Para todo V 2 (), + = y + =, esto es, el vector es un elemento neutro con respecto a la adición. 16. Segmento dirigido opuesto. Sea V 2 (). El segmento dirigido opuesto a, denotado por, se define como, donde el punto se define por las siguientes reglas: si =, entonces = ; si, entonces está en la recta, está entre y, =. Por la definición de la suma, tenemos la siguiente 17. Propiedad principal del segmento dirigido opuesto. V 2 () + ( ) = y ( ) + =. V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 5 de 7

6 Propiedades de la multiplicación por números reales en V 2 () 18. Propiedad distributiva respecto a la adición en V 2 (). La multiplicación de los elementos de V 2 () por números reales cumple con la propiedad distributiva respecto a la adición en V 2 (): para todos, V 2 () y todo λ R, λ( + ) = λ + λ. El dibujo para el caso cuando y λ > 0: C C quí por la construcción := λ, := λ, C := +, C := λ C. Hay que probar que C = Propiedad distributiva respecto a la adición en R. La multiplicación de los elementos de V 2 () por números reales cumple con la propiedad distributiva respecto a la adición en R: para todo V 2 () y todos λ, µ R, (λ + µ) = λ + µ. 20. Propiedad homogénea. Para todo V 2 () y todos λ, µ R, λ(µ ) = (λµ). 21. Propiedad de multiplicación por 1. Para todo V 2 (), 1 =. V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 6 de 7

7 Resumen 22. Lista de propiedades. Hemos definido el conjunto V 2 (), la adición de los elementos de V 2 () y la multiplicación de los elementos de V 2 () por números reales. Hemos visto que estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades (,, C son puntos arbitrarios del plano, λ, µ son números reales arbitrarios): ( + ) + C = + ( + C). + =, + ( ) =, + = +. + =. λ( + ) = λ + λ. (λ + µ) = λ + µ. λ(µ ) = (λµ). 1 =. ( ) + =. 23. Nota. El conjunto V 2 () dotado con las operaciones lineales definidas arriba es un ejemplo de espacio vectorial real. V 2 (): vectores en el plano con punto inicial fijo, página 7 de 7