Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

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1 Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio vectorial 6 3. Sistema de geeradores. Depedecia lieal Base e u espacio vectorial Rago de matrices y espacios vectoriales 25 1

2 El cocepto de espacio vectorial e matemáticas es uo de los más simples y a la vez más útiles. E la modelizació de muchos problemas, se iteta aproximar e algú setido, a objetos más simples, y el de espacio vectorial es básico para este objetivo. Para u alumo que viee del istituto, la idea de vector va aparejada a la de flecha ya que usualmete, tato e matemáticas como e física, los vectores se represeta por flechas. Sería iteresate para el alumo pesar que puede haber espacios vectoriales que o so espacios euclídeos (ver los ejemplos que aparece más abajo). Y tambié sería iteresate coocer: 1) qué se quiere represetar cuado, e u espacio euclídeo, se dibuja u vector como ua flecha y 2) qué tiee que ver las flechas que uo dibuja al cocepto de espacio vectorial que damos e este tema. 1. Espacio vectorial Defiició 1.1 U espacio vectorial es ua tera (V,+, ), dode V es u cojuto y +, so dos aplicacioes (operacioes) + : V V V, : R V V a las que llamaremos suma de vectores y producto por escalares respectivamete y co las siguietes propiedades: deotado +(u,v) = u + v y (λ,v) = λv, 1. u + (v + w) = (u + v) + w, u,v,w V (asociativa). 2. u + v = v + u, u,v V (comutativa). 3. Existe e V tal que e + v = v + e = v, v V (elemeto eutro). 4. Para cada v V existe w tal que v + w = w + v = e (elemeto opuesto). 5. λ(µv) = (λ µ)v, v V, λ,µ R (seudoasociativa). 6. λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)v = λv + µv, u,v V y λ,µ R (distributiva). 7. 1v = v, v V (uimodular). De forma abreviada diremos que V es u espacio vectorial. A los elemetos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares. Las primeras propiedades e u espacio vectorial so las siguietes. Proposició El elemeto eutro es úico. Se deotará por 0. 2

3 2. El elemeto opuesto de u vector es úico. Si v es u vector, su opuesto lo deotamos por v. Demostració. 1. Supogamos que e y e so dos elemetos eutros. Como e es elemeto eutro, e = e + e y como e tambié es elemeto eutro, e = e + e. Por tato, e = e. 2. Sea v V y supogamos que tiee dos elemetos opuestos, u y w. Por defiició v + u = 0 = v + w. Etoces u = u + 0 = u + (v + w) = (u + v) + w = 0 + w = w. No habrá cofusió co el símbolo 0, si represeta al escalar 0 o al elemeto eutro del espacio vectorial, ya que e cada mometo se sabrá si se tiee u escalar o u vector. Por otro lado, dados dos vectores, escribiremos u v e vez de u+( v) y tambié diremos u meos v, defiiedo así la diferecia de dos vectores: sumar al primero el opuesto del segudo. A cotiuació mostramos alguos ejemplos de espacios vectoriales. 1. El espacio euclídeo R. Aquí R = {(x 1,...,x );x i R,1 i }. Las operacioes so las siguietes: (x 1,...,x ) + (y 1,...,y ) = (x 1 + y 1,...,x + y ) λ(x 1,...,x ) = (λx 1,...,λx ). El elemeto eutro es (0,...,0) y el opuesto de (x 1,...,x ) es ( x 1,..., x ). 2. El espacio de matrices M m (R), dode (A + B) i j = a i j + b i j, (λa) i j = λa i j. El elemeto eutro es la matriz dode todos los coeficietes so 0 y la matriz opuesta de A es ( a i j ). 3. El espacio de poliomios (co coeficietes reales) de grado meor o igual que, R [x] = {a 0 + a 1 x a x ;a i R,0 i }. 3

4 Las operacioes so (a 0 +a 1 x+...+a x )+(b 0 +b 1 x+...+b x ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+...+(a +b )x λ(a 0 + a 1 x a x ) = (λa 0 ) + (λa 1 )x (λa )x. El elemeto eutro es el poliomio ulo 0+0x+...+0x y el opuesto de a a x es ( a 0 ) ( a )x. 4. El espacio de poliomios (co coeficietes reales), R[x] = N R [x]. El producto por escalares es el mismo, y la suma es la siguiete: sea a 0 + a 1 x a x y b 0 + b 1 x b m x m dos poliomios y supogamos, por ejemplo, que m. Etoces (a 0 + a 1 x a x ) + (b 0 + b 1 x b m x m ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x (a + b )x + b +1 x b m x m. 5. Sea X u cojuto y sea el espacio de aplicacioes de X e R, A(X,R ) = { f : X R ; f es aplicació}. Si f,g A(X,R ), se defie la aplicació suma f + g como la aplicació f + g : X R dada por ( f + g)(x) := f (x) + g(x), x X. Del mismo modo, se defie la aplicació (λ f ) : X R como (λ f )(x) := λ f (x), x X. E ambos casos, la suma de f (x) y g(x) así como el producto λ f (x) se hace como vectores del espacio euclídeo R. El elemeto eutro es la aplicació ula, es decir, aquella aplicació 0 : X R defiida por 0(X) = 0 R. El elemeto opuesto de ua aplicació f es f : X R defiida por ( f )(x) = f (x). 6. El espacio de las fucioes cotiuas de R e R, C(R,R), co la suma y producto por escalares del ejemplo aterior, co X = R y = El espacio de las fucioes cotiuas de [0,1] e R, C([0,1],R), co la suma y producto por escalares del ejemplo aterior. 8. El espacio de las fucioes poliómicas de R e R, P[x] = { f : R R; f es ua fució poliómica}. Las operacioes so las del ejemplo aterior. 9. El espacio de las fucioes poliómicas de R e R de grado meor o igual que : P [x] = { f : R R; f es ua fució poliómica de grado meor o igual que }. Las operacioes so las del ejemplo aterior. 10. El espacio de las fucioes derivables de R e R co la suma y producto por escalares dadas como fucioes de R e R. 4

5 11. El espacio V = { f : R R; f (x)+ f (x) = 0}, co la suma y producto del ejemplo aterior. 12. Sea X u cojuto cualquiera y (V,+, ) u espacio vectorial tal que existe ua aplicació biyectiva f : X V. Etoces se puede defiir e X las siguietes operacioes que lo covierte e espacio vectorial: x + y = f 1 ( f (x) + f (y)), λx = f 1 (λ f (x)). Como cosecuecia, el elemeto eutro de X es f 1 (0) y el opuesto de x es f 1 ( f (x)). 13. Se sabe de teoría de cojutos que R y R 2 so biyectivos. Sea f : R 2 R ua aplicació biyectiva cualquiera. Cosideramos e R la estructura de espacio vectorial euclídeo. Etoces f y (R,+, ) iduce ua estructura de espacio vectorial e R 2 pero ésta o coicide co el plao euclídeo R 2 defiido e el primer ejemplo. 14. Sea V u cojuto formado por u úico puto p, es decir, V = {p}. Etoces defiimos p + p = p y λ p = p. Etoces V es u espacio vectorial. El elemeto eutro es p y el opuesto de p es p. A partir de ahora deotamos este espacio vectorial como V = {0}. Proposició 1.3 E u espacio vectorial se tiee las siguietes propiedades: 1. λ0 = 0, λ R. 2. 0v = 0, v V. 3. ( λ)v = (λv) = λ( v), λ R,v V. 4. Si λv = 0, etoces λ = 0 o v = Si λu = λv y λ 0, etoces u = v. 6. Si λv = µv y v 0, etoces λ = µ. 7. Si N, v = v+... +v. Demostració. 1. λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0. Sumado a ambos lados el opuesto de λ0, es decir, (λ0), se tiee 0 = (λ0) + (λ0 + λ0) = ( (λ0) + λ0) + λ0 = 0 + λ0 = λ0. 5

6 2. Como 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, sumado a ambos lados el opuesto de 0v, es decir, (0v), se cocluye 0 = 0v. 3. Para la primera igualdad, hay que probar que el puesto de λv es ( λ)v. Por la propiedad seudoasociativa y el apartado aterior: (λv) + (( λ)v) = (λ λ)v = 0v = 0. Para la seguda igualdad, hay que probar que el opuesto de λv es λ( v). Etoces 4. Supogamos que λ 0. Etoces (λv) + (λ( v)) = λ(v + ( v)) = λ0 = 0. 0 = 1 λ (λv) = ( 1 λ)v = 1v = v. λ 5. Como λu = λv, etoces λ(u v) = 0 y ya que λ 0, etoces u v = Como λv = µv, etoces (λ µ)v = 0 y ya que v 0, etoces λ µ = Por el apartado (3), v = ( )v = 1v v = v v. 2. Subespacio vectorial E matemáticas, ua vez defiida ua estructura matemática e u cojuto, es atural trasladar dicha estructura a subcojutos suyos, o dicho de otra maera, dado u subcojuto, os pregutamos cuál es la forma atural de defiir el mismo tipo de estructura e dicho subcojuto y que esté relacioada co la existete e el espacio ambiete. E el caso que estamos cosiderado aquí, supogamos que teemos u espacio vectorial (V,+, ) y sea A V u subcojuto se puede defiir ua estructura de espacio vectorial e A que tega algo que ver co la que tiee ya V? Si fuera así, diremos que A es u subespacio vectorial de V. Clarificamos u poco el problema. Teemos u espacio vectorial (V,+, ) y U V u subcojuto cualquiera. E geeral, si u,v U, el vector suma u + v o tiee porqué perteecer a U. Pesemos, por ejemplo, e V = R 2 y P la parábola P = {(x,y) R 2 ;y = x 2 }, dode (1,1),(2,4) P, pero (1,1) + (2,4) = (3,6) P. Lo mismo sucede co el producto por escalares: 2(1, 1) = (2, 2) P. Dicho de otra maera, sea las aplicacioes suma 6

7 + : V V V y producto por escalares : R V V. Restrigimos ambas aplicacioes a U U y R U, respectivamete: + U U : U U V, R U : R U V. (1) Supogamos ahora que U satisface que tato la suma como el producto por escalares so operacioes cerradas e U. Esto os quiere decir que los codomiios e las dos aplicacioes que aparece e (1) so U. A estas aplicacioes las vamos a deotar por + y (otació que sólo se va usar ahora y otra vez más tarde): + : U U U, : R U U. Ua vez que so cerradas, ahora os podemos hacer la siguiete preguta: La tera (U, +, ) es u espacio vectorial? Si la respuesta es sí, etoces decimos que U es u subespacio vectorial de V. E tal caso, o vamos a usar la otació + y, sio simplemete + y, el mismo símbolo que había e (V,+, )! Hay que teer cuidado que auque para vectores u,v U, u + v = u +v, esto o dice que las aplicacioes + y + so iguales, ya que los domiios y codomiios so distitos e ambas aplicacioes. Auque la defiició de subespacio vectorial que viee a cotiuació es la atural que uo cabe esperar, ya se mostrará que, e geeral, o a todo subcojuto de u espacio vectorial se puede trasladar la estructura vectorial. E verdad, so muy pocos los subcojutos que so subespacios vectoriales. Defiició 2.1 Sea V u espacio vectorial y U u subcojuto suyo. Se dice que U es u subespacio vectorial de V si satisface las siguietes propiedades: 1. Si u,v U, etoces u + v U. 2. Si λ R y u U, etoces λu U. 3. Co la suma + y producto por escalares de V, U es u espacio vectorial. El siguiete resultado es, e cierto setido, sorpredete, porque os dice que e la defiició 2.1, la tercera codició es cosecuecia de las otras dos. Proposició 2.2 Sea U u subcojuto de u espacio vectorial V. So equivaletes los siguiete euciados: 7

8 1. U es u subespacio vectorial. 2. U satisface las dos siguietes propiedades: a) Si u,v U, etoces u + v U. b) Si λ R y u U, etoces λu U. Demostració. Es evidete la implicació 1) 2). Veamos ahora 2) 1). Lo úico que hay que probar es el apartado 3) de la defiició de subespacio vectorial, es decir, teemos que comprobar todas las propiedades de espacio vectorial para (U, +, ). Al parecer, todas las propiedades so evidetes ya que la suma y el producto por escalares que hay e U fucioa del mismo modo que e V, y si e V es cierta, por ejemplo, la propiedad comutativa, tambié lo será e U, ya que la suma de vectores es la misma!? Veámoslo u poco co más deteimieto, por ejemplo, la propiedad comutativa. Sea u,v U. Retomamos la otació +. Hay que probar que u +v = v +u, pero por la defiició de + se tiee u +v = u + v = v + u = v +u, dode e (*) hemos usado la propiedad comutativa de la operació + e (V,+, ). Por tato, efectivamete, todas las propiedades so fáciles de probar, excepto dos de ellas, la de elemeto eutro y elemeto opuesto. La razó es la siguiete. Veamos primero la de elemeto eutro. Dicha propiedad os dice que teemos que ecotrar u vector e e U! tal que u + e = u para cualquier u U. Si supiéramos que el elemeto eutro 0 de V perteeciera a U, etoces tomaríamos simplemete e = 0, pero 0 V? La respuesta es sí. La razó es la siguiete: sea u U u vector cualquiera, y tomamos λ = 0 R. Por hipótesis, λu U, pero sabemos (proposició 1.3, (2)) que 0u = 0, el elemeto eutro de V. Lo mismo podemos decir para la propiedad de elemeto opuesto. Sea u U. La propiedad de elemeto opuesto os dice que teemos que ecotrar u vector w e U! tal que u + w = 0 (ahora ya sabemos que el elemeto eutro de U es el mismo que el de V, es decir, el vector 0). Si supiéramos que el elemeto opuesto de u e V, el que hemos deotado por u, perteeciera a U, tomamos simplemete w = u. Pero es cierto que u U y la razó es la siguiete: como 1 R y u U, etoces 1u U. Pero teemos ua propiedad (proposició 1.3, (3)) que os dice que 1u = u. Como cosecuecia de la demostració, se tiee: 1. El elemeto eutro 0 de V perteece a todos los subespacios vectoriales de V. 8

9 2. Si U es u subespacio vectorial de V y u U, etoces el elemeto opuesto de u e U y e V coicide. 3. U subespacio tiee al meos u elemeto, el elemeto eutro. Esto os sirve para saber que, por ejemplo, todos aquellos subcojutos de R que o cotiee al (0,...,0), el orige de coordeadas, o puede ser subespacios vectoriales (cuidado: el cojuto puede teer al orige y o ser subespacio vectorial, como sucedía co la parábola). Así, cojutos famosos o so subespacios vectoriales: e R 2, el círculo x 2 + y 2 = 1 o la recta y = x + 1 o so subespacios vectoriales. Es fácil probar que la defiició de subespacio vectorial es equivalete a la siguiete: u cojuto U V es u subespacio vectorial de V si y sólamete si para cada u,v U, λ,µ R, λu + µv U. El siguiete ejemplo de subespacio vectorial es secillo, pero importate. Proposició 2.3 Sea A M m (R). E R se defie el cojuto U = {x = (x 1,...,x ) R ;Ax = 0}. Etoces U es u subespacio vectorial de R. Demostració. Es evidete que si x,y U y λ R, etoces A(x + y) = Ax + Ay = = 0, A(λx) = λ(ax) = λ0 = 0. Proposició 2.4 Sea V u espacio vectorial. 1. Los cojutos {0} y V so subespacios vectoriales. 2. Si U y W so subespacios vectoriales, etoces U W tambié es subespacio vectorial. 3. Si U y W so subespacios vectoriales de V y U W, etoces U es u subespacio vectorial de W. 9

10 Demostració. Las demostracioes so evidetes si más que aplicar la proposició aterior. La primera propiedad os dice que e u espacio vectorial hay subespacios vectoriales, al meos dos. La seguda y tercera os dice que el cocepto de subespacio vectorial se lleva bie co las operacioes cojutistas de itersecció e iclusió. La última, cocretamete, os iforma que la propiedad de subespacio es idiferete a qué espacio vectorial está icluido dicho subespacio. Observemos que hay otras operacioes cojutistas dode la propiedad de subespacio vectorial o se traslada. Por ejemplo: 1. La uió de subespacios vectoriales o tiee porqué ser subespacio vectorial. Así, e R 2, los cojutos U = {(x,0);x R} y W = {(0,y);y R} so subespacios vectoriales, pero U W o lo es, pues (1,0),(0,1) U W, pero (1,0) + (0,1) = (1,1) U W. 2. El cojuto complemetario de u subespacio vectorial uca es subespacio vectorial: si U es u subespacio vectorial, V U o lo es porque el elemeto eutro está e U, y por tato, o e V U. Tambié puede verse el resultado aterior como ua forma de costruir uevos subespacios vectoriales a partir de otros dados. A cotiuació, damos otra maera de costruir subespacios vectoriales, que o es cojutista, sio vectorial. Auque la siguiete defiició o apareta ada ovedoso, hay que hacer hicapié e que es fudametal la estructura vectorial de V. Defiició 2.5 Sea V u espacio vectorial y U y W dos subespacios vectoriales. Se defie la suma de U co W como el cojuto U +W = {u + w;u U,w W}. El cojuto U +W es u subespacio vectorial. El hecho de que sea u subespacio vectorial es fácil ya que si u + w,u + w U +W, etoces y si λ R, etoces (u + w) + (u + w ) = (u + u ) + (w + w ) U +W λ(u + w) = (λu) + (λw) U +W. E ambas partes hemos usado que tato U como W so subespacios vectoriales. 10

11 Veamos u ejemplo. Sea U = {(x,y) R 2 ;x y = 0} y W = {(x,0) R 2 ;x R}. Etoces U +W = {(x,y) + (x,y );(x,y) U,(x,y ) W} = {(x,x) + (x,0);x,x R} = {(x + x,x);x,x R}. Es fácil probar que U +W = R 2, pues si (x,y) R 2, podemos escribir (x,y) = (y,y) + (x y,0) U +W. Alguas propiedades de la suma de subespacios vectoriales viee recogidas e el siguiete resultado. Proposició 2.6 Sea U y W dos subespacios vectoriales de u espacio vectorial V. 1. U +W = W +U. 2. U +U = U. 3. U U +W, W U +W. 4. U +W es el meor subespacio (co respecto a la iclusió de cojutos) que cotiee a U y a W. 5. U +W = {G V ;G es subespacio vectorial y U,W G}. Demostració. 1. Es evidete por la propiedad comutativa de vectores. 2. Veamos que U U +U. Si u U, escribimos u = u+0 U +U ya que 0 U. Por otro lado, si u + w U +U, etoces u,w U y por ser U subespacio vectorial, u + w U. Esto prueba que U +U U. 3. Si u U, escribimos u = u+0 U +W, ya que 0 perteece a cualquier sub espacio vectorial. 4. Supogamos que G es u subespacio vectorial tal que U,W G y sea u + w U +W. Por tato, u,w G y ya que G es u subespacio vectorial, u + w G. Esto prueba que U +W G. 11

12 5. Deotamos Q = {G V ;G es subespacio vectorial y U,W G}. Ya sabemos por la proposició 2.4 (2), que la itersecció arbitraria de subespacios vectoriales es u subespacio vectorial (la demostració se hizo para dos subespacios, pero es igualmete válida para ua familia arbitraria) y por tato Q es u subespacio vectorial. Ya que U,W Q, etoces U +W Q por ser Q u subespacio vectorial. Para la otra iclusió, usamos el apartado aterior Defiició 2.7 Sea U y W subespacios vectoriales de V. Se dice que V es suma directa de U y W, y escribimos V = U W, si 1. V = U +W. 2. U W = {0}. Proposició 2.8 Sea U y W subespacios vectoriales de V. So equivaletes los siguietes euciados: 1. V = U W. 2. Todo vector de V se escribe de forma úica como suma de u vector de u y otro de W. Demostració. 1) 2). Sea v V. Por la primera propiedad de suma directa, sabemos que existe u U, w W tal que v = u + w. Veamos ahora que es de forma úica. Para ello, supogamos que v = u + w, co u U y w W. Hay que probar que u = u y que w = w. Como u + w = v = u + w, etoces u u = w w. Pero etoces, u u = w w U W. Ya que U W = {0}, etoces u u = w w = 0, como se quería probar. 2) 1) Como todo vector de V es suma de uo de U y otro de W, etoces V U +W, es decir, V = U +W. Sea ahora v U W. Como v = v + 0 = 0 + v U +W y sólo se puede expresar de forma úica, etoces v = 0, probado que U W = {0}. 12

13 3. Sistema de geeradores. Depedecia lieal E esta secció aparece dos coceptos fudametales e la teoría de espacios vectoriales: sistema de geeradores y vectores liealmete idepedietes. Defiició 3.1 Sea X = {v 1,...,v } u cojuto de vectores de u espacio vectorial V. Ua combiació lieal de X es ua suma del tipo λ 1 v λ v, λ i R,1 i. Se llama subespacio vectorial geerado por X al cojuto de dichas combiacioes lieales: < X >=< v 1,...,v >= L(X) = L({v 1,...,v }) = { Proposició 3.2 Se tiee las siguietes propiedades: i=1 λ i v i ;λ i R,1 i }. 1. < X > es u subespacio vectorial. Si el cardial de X es 1, se dice que < v > es la recta vectorial geerada por v. 2. Si X U, dode U es u subespacio vectorial, etoces < X > U. 3. Si X Y, etoces < X > < Y >. 4. Si X,Y V, etoces < X Y >=< X > + < Y >. Demostració. 1. Si λ 1 v λ v, µ 1 v µ v < X >, etoces por las propiedades distributivas e V se tiee (λ 1 v λ v )+(µ 1 v µ v ) = (λ 1 +µ 1 )v (λ +µ )v < X >. Por otro lado, λ(λ 1 v λ v ) = (λλ 1 )v (λλ )v < X >. 2. Ya que v 1,...,v U y U es u subespacio vectorial, etoces λ 1 v λ v U. 13

14 3. Supogamos que X = {v 1,...,v } {v 1,...,v m } = Y, co m. Etoces λ 1 v λ v = λ 1 v λ v + 0v v m < Y >. 4. Sea X = {v 1,...,v }, Y = {u 1,...,u m } y X Y = {v 1,...,v u 1,...,u m }. U vector de < X Y > es de la forma λ 1 v λ v +µ 1 u µ u = (λ 1 v λ v )+(µ 1 u µ u ) < X > + <Y >. El recíproco es aálogo. Defiició 3.3 U espacio vectorial V se llama fiitamete geerado si existe u cojuto fiito de vectores X tal que < X >= V. A X se llama u sistema de geeradores de V. Veamos ejemplos de espacios vectoriales y os pregutamos si so fiitamete geerados. 1. El espacio euclídeo R es fiitamete geerado, pues R =< e 1,...,e >, dode e 1 = (1,0,...,0),e 2 = (0,1,...,0),...,e = (0,0,...,1). Efectivamete, si (x 1,...,x ) R, etoces (x 1,...,x ) = x 1 e x e < X >. 2. El espacio de poliomios R [x] es fiitamete geerado, co R [x] =< 1,...,x >. Tambié es cierto que R [x] =< 1,1 + x,...,1 + x >. 3. El espacio de las fucioes poliómicas P [x] de grado meor o igual que es fiitamete geerado, tomado como sistema de geeradores las fucioes poliómicas f k (x) = x k, 0 k. 4. El espacio R[x] o es fiitamete geerado. Supogamos que R[x] =< p 1 (x),..., p m (x) >. Si k deota el orde de p k (x), sea N tal que > k, para todo 1 k m. Etoces es evidete que el poliomio p(x) = x R[x] o se puede expresar e combiació lieal de X. 5. El espacio P[x] de las fucioes poliómicas o es fiitamete geerado, co u razoamieto aálgo al aterior. 6. El espacio vectorial V = {solucioes de f (x)+ f (x)) = 0} es fiitamete geerado, ya que V =< si(x),cos(x) >. 14

15 7. El espacio trivial V = {0} es fiitamete geerado. Proposició 3.4 Sea V u espacio vectorial y X, Y subcojutos fiitos de V. 1. Si X es u sistema de geeradores de V y X Y, etoces Y tambié es u sistema de geeradores. 2. Si {v 1,...,v } es u sistema de geeradores y v 1 es combiació lieal de los demás, etoces {v 2,...,v } es u sistema de geeradores de V. 3. Si {v 1,...,v } es u sistema de geeradores y v = a 1 v a v, co a 1 0, etoces {v,v 2,...,v } es u sistema de geeradores de V. 4. U subespacio vectorial de u espacio vectorial fiitamete geerado, tambié es fiitamete geerado. Demostració. 1. Es evidete, pues V =< X > < X Y >=< Y >. 2. Escribimos v 1 = a 2 v a v. Sea ahora v V. Sabemos que existe escalares λ i tales que v = i=1 λ iv i. Escribiedo el valor de v 1, se tiee v = (λ 1 a 2 + λ 2 )v (λ 1 a + λ )v < v 2,...,v >. 3. Como a 1 0, podemos escribir Etoces v 1 = 1 a 1 a 1 v i=2 a i a 1 v i. V =< v 1,...,v > =< v,v 1,...,v > =< v,v 2,...,v >, dode e ( ) se ha usado el apartado 1) de esta proposició y e ( ) el apartado aterior. 4. Supogamos que V =< v 1,...,v >. La demostració es por cotradicció y supogamos que U o es fiitamete geerado. E particular, U {0}. Sea u 1 U u vector o ulo. Como < u 1 > U, existe u vector u 2 U tal que u 2 < u 1 >. Sea ahora {u 1,u 2 }. Como < u 1,u 2 > U, etoces existe u 3 U tal que u 3 < u 1,u 2 >. 15

16 De esta forma, se ecuetra vectores de U, {u 1,...,u } co la propiedad que < u 1,...,u > U y u k < u 1,...,u k 1 >. Tomamos u 1. Etoces existe escalares λ i tales que u 1 = λ 1 v λ v. Algú λ i o es ulo, por ejemplo, λ 1. Etoces < v 1,...,v >=< u 1,v 2,...,v >. Tomamos ahora u 2 y lo escribimos e combiació lieal de los últimos vectores: u 2 = µ 1 u 1 + µ 2 v µ v. Si µ 2 =... = µ = 0, etoces u 2 sería combiació lieal de u 1, que o es posible. Por tato, algú escalar µ i es o ulo para i 2. Supogamos por ejemplo que µ 2 0. Etoces cambiamos v 2 por u 2. Siguiedo el proceso, acabamos co que < u 1,...,u >=< v 1,...,v >= V, e particular, todo vector de U es combiació lieal de {u 1,...,u }, lo cual es ua cotradicció. Nota 3.5 De la demostració, se deduce que los apartados 2) Y 3) se puede geeralizar del siguiete modo: 1. Sea {v 1,...,v } V tal que v 1 < v 2,...,v >. Etoces < v 2,...,v >=< v 1,...,v >. 2. Sea {v 1,...,v } V y v = a 1 v a v, co a 1 0, etoces < v 1,...,v >=< v,v 2,...,v >. El último apartado os permite probar que espacios vectoriales defiidos ateriormete o so fiitamete geerados. Así, sabemos que P[x] o es fiitamete geerado y es subespacio vectorial de C(R,R), luego C(R,R) o es fiitamete geerado. Defiició 3.6 U cojuto de vectores {v 1,...,v } se dice que es liealmete idepediete (o que forma u cojuto de vectores libre) si la úica combiació lieal ula de ellos es la trivial. De otra forma: si i=1 λ iv i = 0, etoces λ i = 0 para cada 1 i. U cojuto de vectores que o es liealmete idepediete se llama liealmete depediete (o trabado). Expresamos qué quiere decir que {v 1,...,v } so liealmete depedietes: existe escalares, λ 1,...,λ, o todos ulos, tales que 0 = λ 1 v λ v. El cocepto de depedecia lieal geeraliza el cocepto de vectores proporcioales. Cocretamete, sea u,v V. Se dice que u es proporcioal a v si existe λ R tal que 16

17 u = λv. Obsérvese que si λ 0, etoces podemos escribir v = (1/λ)u, es decir, v es tambié proporcioal a u. Por tato, ser proporcioal o es recíproco e geeral. Por ejemplo, el vector 0 es proporcioal a todos los vectores, pero el úico vector proporcioal al 0 es el propio 0. E particular, o podemos decir que dos vectores so proporcioales, a o ser que los dos o sea ulos. Proposició {v} es liealmete idepediete si y y sólo si es o ulo. 2. Dos vectores so liealmete idepedietes si y sólamete si uo de los dos es proporcioal al otro. 3. Si X Y e Y es liealmete idepediete, etoces X es liealmete idepediete. 4. Si X Y y X es liealmete depediete, etoces Y es liealmete depediete. 5. El cojuto X es liealmete depediete si y sólo si u vector de X es combiació lieal de los demás. 6. Si 0 X, etoces X es liealmete depediete. 7. Si {v 1,...,v } es liealmete idepediete y v = a 1 v a v, co a 1 0, etoces {v,v 2,...,v } es liealmete idepediete. Demostració. 1. Supogamos que {v} es liealmete idepediete. Si v = 0, etoces 0 = 1v y v o sería idepediete. Por otro lado, supogamos que v 0 y veamos que {v} es liealmete idepediete. Sea λ v = 0. Etoces sabemos que λ = 0 o v = 0. Ya que el segudo caso o es posible, etoces λ = 0, como se quería probar. 2. Supogamos que {u, v} so liealmete depedietes. Etoces existe escalares λ,µ o todos ulos, tales que 0 = λu + µv. Supogamos por ejemplo que λ 0. Etoces escribimos u = ( µ/λ)v, probado que u es proporcioal a v. Recíprocamete, sea u y v dos vectores y supogamos que u es proporcioal a v. Etoces existe λ R tal que u = λv. Escribimos esta igualdad como 0 = u λv = 1u λv y como 1 0, etoces {u,v} so liealmete depedietes. 3. Supogamos X = {v 1,...,v } {v 1,...,v m } = Y co m. Para probar que X es liealmete idepediete, sea i=1 λ iv i = 0. Pero podemos escribir 0 = i=1 λ i v i + 0v v m. 17

18 Ya que Y es liealmete idepediete, todos los escalares so ulos, e particular, λ i = 0, 1 i. 4. Es cosecuecia del apartado aterior. 5. Sea X = {v 1,...,v } y supogamos que v 1 = i=2 a iv i. Etoces escribimos 0 = v 1 i=2 a i v i = 1v 1 i=2 a i v i, y como 1 0, etoces los vectores so liealmete depedietes. 6. Es cosecuecia del apartado aterior. 7. Sea λ 1 v + λ 2 v λ v = 0. Sustituimos v por su valor y agrupamos: (λ 1 a 1 )v 1 + (λ 1 a 2 + λ 2 )v (λ 1 a + λ )v = 0. Ya que {v 1,...,v } es liealmete idepediete, teemos λ 1 a 1 = 0 λ 1 a 2 + λ 2 = 0 λ 1 a + λ = 0. De la primera ecuació, como a 1 0, deducimos que λ 1 = 0, y sustituyedo e las otras, cocluimos λ i = 0, 2 i, como se quería probar. No hay relació etre los coceptos de sistema de geeradores y depedecia lieal. Veámoslo e el siguiete ejemplo. Cosideramos el plao euclídeo R Los vectores {(1,0),(0,1)} so liealmete idepedietes y so u sistema de geeradores. 2. El vector {(1,0)} es liealmete idepediete y o es u sistema de geeradores. 3. Los vectores {(1,0),(0,1),(1,1)} o so liealmete idepedietes y so u sistema de geeradores. 4. Los vectores {(1,0),(2,0)} o so liealmete idepedietes i so u sistema de geeradores. 18.

19 4. Base e u espacio vectorial A partir de ahora, supodremos que todos los espacios vectoriales so fiitamete geerados. Defiició 4.1 Ua base de u espacio vectorial es u sistema de geeradores que es liealmete idepediete. Veamos ejemplos de bases e espacios vectoriales coocidos: 1. E R, B = {e 1,...,e } co e i = (0,..., 1,...,0) es base de R y se llama la base usual de R. 2. El cojuto B = {e 1,e 1 +e 2,...,e e } = {(1,0,...),(1,1,...,0),...,(1,...,1)} es base de R. 3. E R [x], B = {1,x,...,x } es ua base, llamada la base usual. 4. E M m (R) ua base es {E i j ;1 i,1 j m}, dode la matriz E i j es la matriz que tiee ceros e todos los lugares, excepto e el lugar (i, j), que tiee u 1. Esta base se llama la base usual de M m (R). 5. Sea el subespacio vectorial U = {(x,y) R 2,x y = 0}. Ua base de U es {(1,1)}. 6. Sea {v 1,...,v } vectores liealmete idepedietes e u espacio vectorial V. Etoces {v 1,...,v } es base de < v 1,...,v >. 7. E el espacio trivial V = {0} o hay bases, pues {0} es liealmete depediete. Teorema 4.2 Sea V u espacio vectorial y B = {v 1,...,v } u cojuto de vectores. So equivaletes los siguietes euciados: 1. B es base de V. 2. Para cada v V, existe úicos x i R tales que v = i=1 x iv i. Demostració. 1) 2). Por ser B u sistema de geeradores, todo vector de v es combiació lieal de V. Veamos que los escalares so úicos. Sea ahora v = i=1 y iv i. Etoces 0 = i=1 x i v i i=1 i y i v i = 19 i=1 (x i y i )v i.

20 Como B es liealmete idepediete, todos los escalares x i y i so 0, probado la uicidad. 2) 1) El hecho de que todo vectores es combiació lieal de los vectores de B prueba que B es u sistema de geeradores. Veamos que so tambié liealmete idepedietes. Sea i=1 x iv i = 0. Etoces el vector 0 se puede escribir de dos formas como combiació lieal de los vectores de B, a saber, x 1 v x v = 0 = 0v v. Por la uicidad de la hipótesis, x i = 0 para cada i, como se quería probar. Gracias a este teorema, teemos la siguiete Defiició 4.3 Sea B ua base de u espacio vectorial. Se llama coordeadas de u vector v a la -upla (x 1,...,x ) tal que v = i=1 λ iv i. De esta forma, fijada ua base e u espacio vectorial V, existe ua correspodecia biuívoca etre V y R, a saber, la aplicació f B : V R dada por f B (v) = (x 1,...,x ), es biyectiva, dode (x 1,...,x ) so las coordeadas de V respecto de B: v = i=1 x ie i. Volvemos al ejemplo de V = R. Si (x 1,...,x ) R, etoces las coordeadas de este vector respecto de la base usual coicide justamete co (x 1,...,x ). De la misma forma, e R [x], las coordeadas del vector a 0 + a 1 x a x respecto de la base usual es (a 0,a 1,...,a ) R +1. A partir de ahora vamos a demostrar que e u espacio vectorial dado, el cardial de las bases de dicho espacio es siempre el mismo. De paso, vamos a probar que e todo espacio vectorial fiitamete geerado hay bases: hasta ahora o se ha probado que las haya y sólo se ha hecho para alguos espacios coocidos, a saber, R, R [x], etc. Lema 4.4 Sea X e Y dos cojutos fiitos de u espacio vectorial, tales que X Y, X es liealmete idepediete e Y es u sistema de geeradores. Etoces existe ua base B de V tal que X B Y. Demostració. Supogamos X = {v 1,...,v } {v 1,...,v m } = Y co m. Si = m, etoces la base buscada es B = X = Y. Por tato, podemos supoer que < m. La demostració se hace después de realizar u úmero fiito de pasos, que describimos ahora. Tomamos v +1. Existe dos posibilidades: 20

21 1. Supogamos que v +1 < v 1,...,v >. Etoces < v 1,...,v >=< v 1,...,v,v +1 > y {v 1,...,v,v +1 } es liealmete depediete. Etoces quitamos v Si v +1 < v 1,...,v >, etoces {v 1,...,v,v +1 } es liealmete idepediete. Para ello, sea ua combiació lieal de la forma 0 = +1 i=1 λ iv i. Etoces λ +1 = 0, pues e caso cotrario, podríamos despejar v +1 y escribirlo e combiació lieal de {v 1,...,v }, lo cual o es posible (proposició 3.7, (5)). Sabiedo ya que λ +1 = 0, os quedaría i=1 λ iv i. Pero como X es liealmete idepediete, etoces λ 1 =... = λ = 0. Ua vez probado esto, añadimos a X el vector v +1. Ahora tomamos el siguiete vector, v +2 y os pregutamos si v +2 < v 1,...,v,v +1 >, dode v +1 o aparecería si hubiera sucedido el primer caso, y sí, si fuera el segudo. De uevo, si es combiació lieal, se quita, y si o, se añade, teiedo además que {v 1,...,v +2 } es liealmete idepediete. Así vamos haciedo co todos los vectores hasta acabar co v m. Se tedría pues u cojuto de vectores de la forma (después de ua reordeació de los ídice a partir del lugar ), {v 1,...,v,v +1,...,v k }, dode este cojuto es liealmete idepediete. Veamos que tambié es u sistema de geeradores. Pero este es evidete porque se ha ido quitado aquellos vectores que so combiació lieal de los ateriores, y la propiedad de sistema de geeradores o cambia por la proposició 3.4, (2). Corolario 4.5 Si u es u vector o ulo, u perteece a ua base. Demostració. Sea {v 1,...,v } u sistema de geeradores. Tomamos X = {u} e Y = {u,v 1,...,v }. Sabemos que X es liealmete idepediete (proposició 3.7, (1)) y que Y es u sistema de geeradores por la proposició 3.4, (1). Ahora aplicamos el lema 4.4. Corolario 4.6 Existe bases e u espacio fiitamete geerado o trivial. Demostració. Hay vectores o ulos y aplicamos el corolario aterior. Corolario 4.7 (completació) Dado u cojuto de vectores liealmete idepedietes de u espacio vectorial, siempre es posible añadir vectores hasta obteer ua base del mismo. Demostració. Sea X u cojuto liealmete idepediete y Z u sistema de geeradores. Aplicamos el lema 4.4 tomado Y = X Z (proposició 3.4, (1)). 21

22 Corolario 4.8 Dado u sistema de geeradores, hay u subcojuto del mismo que es base. Demostració. Estamos supoiedo que el espacio vectorial o es el espacio trivial ulo. Si Y es el sistema de geeradores, sea e Y u vector o ulo. Aplicamos el lema 4.4 co X = {e}. Lema 4.9 Sea B = {e 1,...,e } ua base de u espacio vectorial. Sea v V y v = i=1 λ iv i. Si λ 1 0, etoces {v,e 2,...,e } es ua base de V. Demostració. Es cosecuecia de las proposicioes 3.4, (3) y 3.7, (7). Teorema 4.10 (de la base) Sea V u espacio vectorial fiitamete geerado. Etoces todas las bases de V tiee el mismo cardial. Demostració. Supogamos que teemos dos bases de diferetes cardiales y llegamos a ua cotradicció. Sea estas bases B 1 = {e 1,...,e } y B 2 = {v 1,...,v m } y supogamos, si perder geeralidad, que < m. Tomamos e 1. Como B 2 es base, existe escalares λ i tales que e 1 = m i=1 λ iv i. Alguo de ellos o es cero (si o, e 1 = 0 y B 1 sería liealmete depediete). Supogamos, por ejemplo, que λ 1 0. Por el lema 4.9, {e 1,v 2,...,v m } es base. Tomamos ahora e 2 y lo expresamos e combiació lieal de esta base: e 2 = µ 1 e 1 + µ 2 v µ m v m. Alguos de los escalares µ 2,..., µ m o es cero, pues e caso cotrario, e 2 = µ 1 e 1 y B 1 o sería liealmete idepediete. De uevo, y si perder geeralidad, supoemos que µ 2 0. Por el lema aterior, {e 1,e 2,v 3,...,v m } es base. Cotiuado co el mismo proceso, después de pasos cocluimos que B 3 = {e 1,...,e,v +1,...,v m } es base. Si embargo el último vector, v m, que existe, pues m >, se escribe e combiació lieal de la base B 1, lo que idica que B 3 es liealmete depediete: cotradicció. Este teorema permite dar la siguiete defiició. Defiició 4.11 Se llama dimesió de u espacio vectorial (o ulo) al cardial de cualquier base suya. Si el espacio es V = {0}, se dice que su dimesió es 0. Corolario 4.12 Sea V u espacio vectorial y X = {e 1,...,e m } V. 22

23 1. Si X es u cojuto de vectores liealmete idepediete, etoces m dim(v ). Además se da la igualdad si X es base. 2. Si X es u sistema de geeradores de V, etoces m dim(v ). Además se da la igualdad si X es base. Demostració. 1. Por el corolario 4.7, sabemos que existe bases que cotiee a X. Si m = dim(v ), la misma demostració del corolario os dice que el cardial de Z es 0, es decir, X es base. 2. Por el corolario 4.8, sabemos que existe bases coteidas e X. Si m = dim(v ), etoces por la fiitud de los dos cojutos, dicha base coicide co X. Relacioamos la dimesió de u espacio vectorial co la de u subespacio suyo. Corolario 4.13 Si U es u subespacio vectorial de u espacio vectorial V, etoces dim(u) dim(v ) y la igualdad se tiee si y sólamete U = V. Demostració. Sea {e 1,...,e m } ua base de U. E particular so liealmete idepedietes, y por corolario aterior, m dim(v ). Si hay igualdad, etoces dicho cojuto sería u sistema de geeradores de V, pero como tambié lo es de U, etoces U = V. U subespacio vectorial de dimesió 1 se llama recta vectorial, si es 2, plao vectorial, y si es dim(v ) 1, hiperplao vectorial. Ahora relacioamos la dimesió de U +W co las de U y W. Teorema 4.14 Sea U y W subespacios vectoriales de V. Etoces: 1. Si B 1 es u sistema de geeradores de U y B 2 de W, etoces B 1 B 2 es u sistema de geeradores de U +W. 2. dim(u +W) = dim(u) + dim(w) dim(u W). 3. Si V = U W, etoces dim(v ) = dim(u) + dim(w). 4. Sea B 1 y B 2 bases de U y W respectivamete. Etoces so equivaletes: 23

24 Demostració. a) V = U W. b) B 1 B 2 es base de V. 1. Cosecuecia del apartado 4) de la proposició Teemos U W U y U W W. Sea B 1 = {e 1,...,e m } ua base de U W. Completamos hasta obteer bases de U y W respectivamete: B 2 = {e 1,...,e,u 1,...,u m } base de U y B 3 = {e 1,...,e,w 1,...,w k } base de W. Probamos que B 2 B 3 es base de U +W, probado el resultado sobre las dimesioes, ya que el cardial de B 2 B 3 es + m + k. Como B 2 es sistema de geeradores de U y B 3 de W, etoces B 2 B 3 lo es de U +W por el apartado aterior. Veamos que es liealmete idepediete. Sea Etoces i=1 0 = i=1 λ i e i λ i e i + m j=1 µ i v i + k r=1 m k µ i v i = δ r w r U W. j=1 r=1 δ r w r. (2) E particular, y como B 1 es base de U W, existe escalares a i tales que es decir, k δ r w r = r=1 i=1 a i e i + k r=1 i=1 a i e i, δ r w r = 0. Como B 3 es liealmete idepediete, todos los escalares so 0, e particular, δ r = 0, 1 r k. Volviedo a (2), cocluimos que i=1 λ i e i m µ j v j = 0, j=1 y como B 2 es liealmete idepediete, todos los escalares λ i y µ j so 0, como se quería probar. 3. Es cosecuecia del apartado aterior y teiedo e cueta que U +W = V y U W = {0}. 24

25 4. 1) 2) Del apartado 1), B 1 B 2 es sistema de geeradores de U +W = V. Como o hay vectores e B 1 B 2, pues implicaría U W {0}, se tiee card(b 1 B 2 ) = card(b 1 ) + card(b 2 ) = dim(u) + dim(w) = dim(v ) por el apartado aterior. Por tato, B 1 B 2 es base. 2) 1). Se sabe de (1) de este teorema que < B 1 B 2 >= U +W, luego V = U + W. Por otro lado, como B 1 B 2 es liealmete idepediete, o hay elemetos repetidos e B 1 y B 2. Etoces dim(v ) = card(b 1 B 2 ) = card(b 1 ) + card(b 2 ) = dim(u) + dim(w). Por el apartado 2), U W = {0}. 5. Rago de matrices y espacios vectoriales Para acabar co esta secció, vamos a relacioar el tema 1 co éste de espacios vectoriales. Así daremos u método secillo para saber si u cojuto de vectores es liealmete idepediete, sistema de geeradores o base. La clave se ecuetra e relacioar este problema co el rago de ua matriz y las solucioes de u sistema de ecuacioes lieales. Proposició 5.1 Sea V u espacio vectorial de dimesió, B = {e 1,...,e } ua base de V y Y = {v 1...,v m } V u cojuto fiito de vectores. Escribimos v j = i=1 a i j e i, 1 j m. Sea Z = {w 1,...,w m } el cojuto de vectores de R dado por w j = (a 1 j,a 2 j,...,a j ), 1 j m. Etoces Y es liealmete idepediete (resp. sistema de geeradores, base) si y sólamete si Z es liealmete idepediete (resp. sistema de geeradores, base). Demostració. Estudiar si Y es liealmete idepediete equivale a probar que la úica solució de x 1 v x m v m = 0 es x 1 =... = x m = 0. Esta ecuació se escribe como x 1 (a 11 e a 1 e ) + x 2 (a 22 e a 2 e ) x m (a 1m e a m e ) = 0 Agrupado e e i y como B es liealmete idepediete, etoces hay que estudiar cuál es el cojuto de solucioes de AX = 0, co x 1 A = (a i j ) M m (R), X =., 0 = 0. x 0 25

26 Si uo platea la misma cuestió para el cojuto Z, el sistema de ecuacioes es el mismo. Para saber si Y es u sistema de geeradores, hay que probar que todo vector es combiació lieal de los elemetos de Y, es decir, dado v = b 1 e b e, co b i arbitrarios, hay que hallar escalares x i tales que m i=1 x iv i = v. De uevo, escribiedo e coordeadas, equivale a estudiar si hay solució de AX = b. El mismo sistema aparece para el cojuto Z. Por tato, para estudiar la aturaleza de u cojuto de vectores e u espacio vectorial, fijamos ua base, la que sea, y trabajamos co las coordeadas de dichos vectores, como vectores de R, dode = dim(v ). Por tato, a partir de ahora, trabajamos e R. Relacioamos las trasformacioes elemetales de matrices co los coceptos de depedecia lieal y sistema de geeradores. Sea Z = {v 1,...,v m } u cojuto de vectores de R. Sea A = (v 1... v m ) la matriz que, por columas, so las coordeadas de v j respecto de la base usual v j = i=1 a i j e i,1 j, es decir, colocamos simplemete los vectores por columas. Cosideramos trasformacioes elemetales por columas de la matriz A = (a i j ). 1. Si hacemos AC i j, los uevos vectores de R que se obtiee so los mismos que ates, pero cambiados de orde. 2. Si realizamos AC i (λ), co λ 0, el vector e i se ha cambiado por λe i. 3. Si hacemos AC i j (λ), se cambia el vector e i por e i + λe j. Ya hemos visto ateriormete (proposicioes 3.4 y 3.7) que estas operacioes e Z o cambia el hecho de ser Z liealmete idepediete o sistema de geeradores. Como cosecuecia de esto y de la demostració aterior, teemos: Corolario 5.2 Sea Z = {v 1,...,v m } u cojuto de vectores de R. Sea A = (v 1... v m ) la matriz que, por columas, so las coordeadas de v j respecto de la base usual. 1. dim(< Z >) = r(a). 2. Z es liealmete idepediete si y sólo si r(a) = m, 3. {v 1,...,v } es base de R si y sólamete si det(a) 0. 26

27 Demostració. La demostració es evidete, pues las trasformacioes elemetales de A se correspode co trasformacioes e Z que o cambia las propiedades de depedecia lieal y sistema de geeradores. Este resultado puede reiterpretar el cocepto de rago de ua matriz dado e el tema 1. Corolario 5.3 El rago de ua matriz es el úmero de columas liealmete idepedietes. Como sabemos que el rago de ua matriz es igual al de su traspuesta, podemos cambiar la palabra columa por fila. Teorema 5.4 Sea u subespacio vectorial U de R dado por U = {(x R ;Ax = 0}. Etoces dim(u) = r(a). Demostració. Sea r = r(a). Podemos supoer que el meor correspodiete a la submatriz de las primeras r filas y r primeras columas es o ulo. Etoces las solucioes de Ax = 0 se escribe como x 1 = c 1r+1 λ r c 1 λ x 2 = c 2r+1 λ r c 2 λ.. x r = c rr+1 λ r c r λ (3) x r+1 = λ r+1 dode λ i R. Por tato U = { x 1. x R ;λ r+1.. x = λ c 1r+1. c rr λ r+2 c 1r+2. c rr λ c 1. c r 0. 1 ;λ i R,r+1 i } 27

28 o lo que es lo mismo, U =< c 1r+1. c rr , c 1r+2. c rr ,..., c 1. c r 0. 1 >. Si llamamos B = {v r+1,v r+1,...,v } a dichos vectores, lo que se ha probado que B es u sistema de geeradores de U: obsérvese que dado valores a λ i co 1 y 0 e las solucioes del sistema de ecuacioes, se obtiee dichos vectores, lo que prueba que perteece a U. Fialmete es evidete que so liealmete idepedietes ya si escribimos ua combiació ula m i=r+1 λ iv i = 0, el mismo sistema de ecuacioes (3) prueba que dichos escalares debe ser cero. Nota 5.5 Las ecuacioes dadas e (3) se llama ecuacioes cartesiaas del subespacio. De este resultado, vamos a defiir las ecuacioes cartesiaas de u subespacio vectorial de R, y luego la de u subespacio de u espacio vectorial cuado se ha prefijado ua base del mismo. Defiició 5.6 Sea u subespacio vectorial U de R de dimesió m. Si U = {(x R ;Ax = 0}, dode A M ( m) (R), etoces a las ecuacioes Ax = 0 se llama las ecuacioes cartesiaas (o implícitas) de U. Obsérvese que: 1. El úmero de filas de A coicide co el rago de A. 2. Las filas de A, como vectores de R, so liealmete idepedietes. Nota 5.7 Obsérvese que la demostració del teorema aterior os da: 1. U método para hallar ua base de u subespacio vectorial que viee dado como Ax = 0: la base se obtiee al resolver dicho sistema homogéeo. 28

29 2. U método para hallar las ecuacioes cartesiaas de u subespacio vectorial que viee dado por Ax = 0: se calcula el rago de A y se toma las ecuacioes (filas) correspodietes a u meor que os determia el rado de A. Hacemos ahora el recíproco del teorema aterior, es decir, cómo obteer las ecuacioes cartesiaas cuado uo cooce ua base del subespacio vectorial. Teorema 5.8 Sea u subespacio vectorial U de R de dimesió m. Etoces existe ua matriz A M ( m) (R) de rago m tal que U = {x R ;Ax = 0}. Demostració. Sea B = {v 1,...,v m } ua base de U y escribimos dicha base e coordeadas respecto de la base usual: v j = i=1 a i je i. Etoces la matriz A M m (R) tiee rago m. Sea v = (x 1,...,x ) R. Etoces v U si y sólo si v < v 1,...,v m >, es decir, si y sólo si, rago(a x) = m. Como el rago de A es m, existe e A ua submatriz m m do determiate o ulo. Por tato, es equivalete a decir, que todos los meores que resulta de añadir filas y (úica) última columa a esta submatriz, so ulos. El úmero de meores es exactamete, m, obteiedo las ecuacioes cartesiaas del subespacio. Obsérvese que cada uo de los meores es ua combiació lieal de x 1,...,x, obteiedo así, ecuacioes lieales. Observemos que el subespacio vectorial U = {x R ;Ax = 0} puede verse como el cojuto de solucioes del sistema de ecuacioes lieales Ax = 0. Sabemos que este sistema es compatible, o dicho e térmios de este tema, todo subespacio vectorial es o vacío, y al meos cotiee al elemeto eutro del espacio vectorial. Si el sistema es determiado, quiere decir que r(a) = y U = {0}, que es el úico subespacio de dimesió 0 e R. E caso cotrario, el sistema es idetermiado, y el cojuto de solucioes, el subespacio U, tiee, por defiició, dimesió igual a r(a), es decir, la dimesió del cojuto de solucioes coicide co la dimesió del subespacio U. Como cosecuecia de la proposició 5.1 se tiee: Corolario 5.9 Sea V u espacio vectorial y B = {e 1,...,e } ua base. Sea U V u subespacio vectorial de dimesió m. Represetamos por (x 1,...,x ) R las coordeadas de u vector de V. Etoces existe ua matriz A M ( m) (R) de rago m tal que U = {x R ;Ax = 0} y se llama ecuacioes cartesiaas de U a Ax = 0. Para fializar, vamos a dar el cocepto de la matriz de cambio de base. Sea V u espacio vectorial de dimesió y sea B = {e 1,...,e } y B = {e 1,...,e } dos bases. Tomamos 29

30 v V y hallamos las coordeadas de v respecto de B y B : v = x j e j, v = x je j. j=1 j=1 qué relació hay etre el vector (x 1,...,x ) y (x 1,...,x )? Expresamos la base B e coordeadas respecto de B, escribiedo Etoces v = e j = i=1 j a i j e j=1x i = i=1 a i j e i, 1 j. i=1 ( j=1 a i j x j )e i y como sabemos que tiee que ser j=1 x j e j, la uicidad de las coordeadas implica x 1. x = A x 1. x. Defiició 5.10 La matriz A aterior se llama la matriz de cambio de base de B a B y la deotamos por M(1 V,B,B ). De la defiició de producto de matrices, es imediato el siguiete resultado: Proposició 5.11 Sea B, B y B tres bases e u espacio vectorial. Etoces M(1 V,B,B ) = M(1 V,B,B )M(1 V,B,B ). 30