Vector Spaces 4.1 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Pearson Education, Inc.

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1 4 Vector Spaces 4. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 0 Pearson Education, Inc.

2 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, sobre el cual se definen dos operaciones, llamadas la suma y la multiplicación por un escalar, sujeto a diez axiomas (o reglas). Los axiomas se cumplen para todos los objetos u, v, y w en V y para todos los escalares c y d.. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V.. u + v = v + u 3. (u + v) + w = u + (v + w). 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.-

3 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u 5. Para cada u en V, existe un vector u en V tal que u + -u = 0 6. El múltiplo escalar de u por c, denotado por cu, está en V. 7. c(u + v) = cu + cv 8. (c + d)u = cu + du 9. c(du) = (cd)u 0. u = u 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 3

4 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Utilizando estos axiomas, se puede demostrar que el vector cero del axioma 4 es único y que el vector u, llamado el negativo de u, en el axioma 5 es único para cada u en V. Tambien se puede probar que: 0u = 0 c0 = 0 -u = (-)u 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 4

5 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Algunos espacios vectoriales El conjunto de todos los vectores de dos entradas El conjunto de todos los vectores de tres entradas R 3 El conjunto de todas las matrices de mxn (M mn ) R El conjunto de todos los polinomios de grado menor e igual a dos (P ) El conjunto de todos los polinomios de grado menor e igual a tres (P 3 )

6 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Ejemplo : Dado un conjunto V de todas las flechas (segmentos de recta dirigidos) en el espacio tridimensional, donde dos flechas son iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. Definir la suma por la regla del paralelogramo, y para cada v en V, definir cv como la flecha cuya longitud es c veces la longitud de v, apuntando en la misma dirección de v si c >=0 y en la dirección opuesta de otra manera. O sea, Demostrar que V es un espacio vectorial. 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 6

7 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Solucion: La definición de V es geométrica, utilizando los conceptos de longitud y dirección. No se involucra el sistema de coordenadas xyz. Un vector de longitud cero es un simple punto y representa al vector cero. El negativo de v es -v. Los axiomas, 4, 5, 6, y 0 son evidentes. 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 7

8 SUBSPACIOS Definición: Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V tal que tiene tres propiedades: a. El vector cero de V está en H. b. H es cerrado para la suma vectorial. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. c. H es cerrado para la multiplicación por escalares, el vector cu está en H. 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 8

9 SUBSPACIOS Las propiedades (a), (b), y (c) garantizan que un subespacio H de V es por si mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones vectoriales ya definidas en V. Entonces: cada subespacio es un espacio vectorial. A la inversa, cada espacio vectorial es un subespacio (de si mismo y posiblemente de otros espacios mas grandes). 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 9

10 UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO El conjunto que tiene como único elemento el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, y se le llama el subespacio cero y se escribe como {0}. 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 0

11 UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO El término combinación lineal se refiere a la suma de múltiplos escalares de vectores, y Gen{v,,v p } denota el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir como combinaciones lineales de v,,v p. c v c v + + v = + c p p v Entonces Gen{v,,v p } es un espacio vectorial y contiene todos los v dados por la ecuación anterior

12 CONJUNTO, EJEMPLO NUMERICO Ejemplo : considere los vectores v = 3 y v = Demostrar que Gen {v, v } es un subespacio de R 3 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.-

13 CONJUNTO, EJEMPLO Solución: considerar dos vectores arbitrarios en Gen {v, v } y y un escalar c. Numericamente v v u c c + = v v v d = d + u = c 3! " $ % + c! " $ % v = d 3! " $ % + d! " $ %

14 CONJUNTO, EJEMPLO Debemos demostrar que se cumplen las tres propiedades de los subespacios, donde V es R 3 y H es Gen {v, v }

15 CONJUNTO, EJEMPLO Esto es:! a. El vector está en Gen {v, v } " $ % b. Gen {v, v } es cerrado para la multiplicación por escalares. c. Gen {v, v } es cerrado para la suma vectorial.

16 CONJUNTO, EJEMPLO El vector cero de R 3 debe estar en Gen {v, v } Suponer un vector arbitrario de Gen {v, v }, digamos:! $! $ u = c 3 " + c % " Si hacemos c =0 y c =0, obtenemos el vector cero. Entonces el vector cero es una combinación de v y v y está en Gen {v, v } %

17 CONJUNTO, EJEMPLO Gen {v, v } debe ser cerrado para la suma vectorial. Hacer la suma de dos vectores arbitrarios de Gen {v, v }, o sea:! u + v = (c + d ) " 3 $! + (c + d ) % " $ % la suma es una combinación de v y v, por lo que pertenece a Gen {v, v }

18 CONJUNTO, EJEMPLO Gen {v, v } debe ser cerrado para la multiplicación por escalares. Hacer un múltiplo escalar de un vector arbitrario en Gen {v, v } el múltiplo escalar es una combinación de los vectores v y v, por lo que pertenece a Gen {v, v } cu = c c 3! " $ % + c! " $ % ' ( ) ) ) * +,,, = cc 3! " $ % v + cc! " $ %

19 CONJUNTO, EJEMPLO Los vectores en Gen {v, v }, cumples con las tres propiedades para ser un subespacio, en este caso de R 3

20 CONJUNTO Ejemplo 3: Dados v y v en un espacio vectorial V, y dado H = Gen{v, v }. Mostrar que H es un subespacio de V. Solución: El vector cero está en H, ya que 0= 0v + 0v Para mostrar que H es cerrado para la suma vectorial, tomar dos vectores arbitrarios en H, digamos, u= sv + s v y w= tv + t v. Por los axiomas, 3, y 8 para el espacio vectorial V, u+ w = ( sv + s v ) + ( tv + t v ) = ( s + t )v + ( s + t )v 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.- 0

21 CONJUNTO De manera que está en H. u + w Además, si c es cualquier escalar, entonces por los axiomas 7 y 9, cu = c( sv + s v ) = ( cs)v + ( cs )v lo que demuestra que cu está en H y H es cerrado para la multiplicación escalar. Entonces H es un subespacio de V. 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.-

22 CONJUNTO Teorema : Si v,,v p están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v,,v p } es un subespacio de V. Llamamos a Gen {v,,v p } el subespacio generado por {v,,v p }. Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto generador para H es un conjunto {v,,v p } en H tal que H = Gen{v,...v. p } 0 Pearson Education, Inc. Slide 4.-

23 CONJUNTO Ejemplo 4: Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma Demuestre que H es un subespacio de Slide Pearson Education, Inc. + t t s s t s R

24 CONJUNTO Ejercicio 4..3: Sean Está w en {v, v, v 3 }? Cuantos vectores están en {v, v, v 3 }? Cuantos vectores están en {v, v, v 3 }? w está en el subespacio generado por {v, v, v 3 }? = 0 v = 3 v v 3 = 4 6! " $ % = 3 w

25 EJERCICIOS PROPUESTOS Capítulo, sección 8; se recomienda realizar los ejercicios: a 6 Capítulo 4, sección ; se recomiendan los ejercicios:, 3, 4, 0,, 5, 8, 4 y 35.