1. Conceptos de teoría de la probabilidad

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1 Master de Investigación en Economía Aplicada. Métodos Cuantitativos II. 9-. G.García.. Conceptos de teoría de la probabilidad Espacios de probabilidad. Establece el espacio de probabilidad asociado al experimento aleatorio tirar una moneda perfecta 3 veces seguidas. El conjunto de los resultados posibles es Ω = {(+ + +), (+ + C), (+C+), (C + +), (+CC), (CC+), (C + C), (CCC)} En el caso de espacios muestrales finitos, las σ álgebras correspondientes también son necesariamente finitas y se puede dar una descripción de sus elementos. concretamente, es σ(ω) y contiene n elementos. Podemos asignar un modelo equiprobable, esto es una probabilidad de 8 a cada uno de los sucesos posibles pues no existe nada en el enunciado que haga pensar en resultados privilegiados.. Un intervalo de longitud es dividido en tres partes. Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos formen un triángulo? Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que Ω = (,) (,), A = B((,) (,)) y que P(A) = m(a)/m((,) (,)). Sean x e y las abcisas de los dos puntos escogidos. Debe ser, o bien < x < < y < y y x < < y < < x < y x y < La probabilidad de formar un triángulo es Demuestra las siguientes propiedades elementales de las probabilidades.

2 a) P( ) = Fijado A A, apliquemos la propiedad de σ aditividad a la sucesión {A,,, }. Tendremos, P(A) = P(A) + n P( ) P( ) = b) La propiedad de σ aditividad implica la de aditividad finita. Sea {A i } i=..n una colección finita de conjuntos disjuntos de A. Claramente, {A,...,A n,,, } es una sucesión de conjuntos disjuntos de A. Por la propiedad de σ aditividad y la propiedad, que acabamos de demostrar, P( n i= A i) = P(( n i= A i) ( )) = n P(A i ) + n P( ) = P(A i ) i= c) Para todo A A, P(A c ) = P(A). Para cualquier A A se verifica Ω = A A c. De aquí y como consecuencia de la propiedad de aditividad finita, = P(A)+P(A c ). i= d) Si A, B A cumplen A B, entonces P(A) P(B) Se verifica que B = A (B A c ). Así, P(B) = P(A (B A c )) = P(A) + P(B A c ) P(A) e) Si A, B A, P(A B) + P(A B) = P(A) + P(B)

3 Vectores aleatorios. Describe la ley multinomial en el caso dos dimensional, esto es para m =. Es la ley Bin(n;p ). Sea (X,Y ) un vector aleatorio con función de densidad f XY (x,y) = 4xy si < x < y < y <. Comprueba que esta función cumple las condiciones para ser una función de densidad. La función es positiva en el dominio y 4xy dxdy = 3. Sean X e Y variables aleatorias con función de densidad conjunta k(y x) x y f XY (x,y) = en caso contrario a) Determina el valor de k. = y k (y x)dx dy = k = k y dy = k 6 k = 6 (y x)] y dy = b) Encuentra la densidad marginal de X x f X (x) = 6(y x) dy = 3 ( x) x en caso contrario c) Calcula P(Y < 3 X = ) Así, f Y X=x (y) = 6(y x) 3( x) x y en caso contrario 3

4 f Y X= (y) = Por lo tanto, 6(y ) 3( ) = 8(y ) y en caso contrario P(Y < 3 X = ) = 3 8(y )dy = 9 4. La función de densidad conjunta de un vector aleatorio (X,Y ) es 6( x y) si < x <, < y < x f X,Y (x,y) = en caso contrario a) Comprueba que f X,Y verifica las condiciones de una función de densidad. x ( x) 6( x y) dy dx = 6 b) Encuentra la distribución marginal de X. f X (x) = x dx = 6 ( x y)dy = 3 6x + 3x c) Encuentra la distribución marginal de Y. f Y (y) = y d) Son X e Y independientes?[5] No, por ejemplo pero 6 ( x y)dx = 3 6y + 3y f X (,5) f Y (,5) =,75,6875 =,6565 f XY (,5,,5) =,5 4

5 5. La distribución de un vector aleatorio (X, Y ) está caracteritzada per la siguiente función de densidad k si (x,y) A f XY (x,y) = si (x,y) / A, donde A = { (x,y) R < y < x <, }. a) Encontrad el valor de k. Como el recinto A tiene área igual a, ha de ser k =. b) Encontrad las densidades marginales de X i de Y. -marginal de X, Si x (,), f X (x) = En caso contrario, f X (x) =. -marginal de Y, Si y (,), x x dy = x Si y (,), f Y (y) = y dx = + y f Y (y) = y dx = y En caso contrario, f Y (y) =. Observación.. En realidad f Y (y) = y dy = + y si < y < y en caso contrario. c) Son X e Y independientes? No lo son, pues f XY (x,y) f X (x) f Y (y) d) Encontrad E[X], E[Y ]. E[X] = 5 x x dx = 3

6 E[Y ] = y ( + y) dy + e) Calcula P(X < Y = 4 ) y ( y) dy = f ) Calcula E[X Y ] y E[Y X]. P(X < Y = 4 ) = 3 E[X Y ] = Y (,) + + Y E[Y X] = (,) g) Calcula E(E(X Y )) Por la ley de las esperanzas iteradas, E(E(X Y )) = E(X) = La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias con distribución absolutamente continua es k(x + xy) si < y < ; < x < f X,Y (x,y) = en caso contrario a) Determinad el valor de k. = + + f X,Y (x,y)dy dx = k(x + xy)dy dx = 3 4 k Así, k = 4 3 b) Determinad las funciones de densidad marginales de X y de Y. 4 3 (x + xy)dy = x si < x < f X (x) = en caso contrario 4 3 f Y (y) = (x + xy)dx = 3 ( + y) si < y < en caso contrario 6

7 c) Son X e Y independientes? Si. En el caso que (x,y) / (,), se verifica f X,Y (x,y) = f X (x) f Y (y). Si < y < ; < x <, f X,Y (x,y) = 4 (x + xy) = x 3 3 ( + y) = f X(x) f Y (y) es decir, X e Y son independientes. 7. Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad conjunta 3x si y x f X,Y (x,y) = en caso contrario a) Encuentra la función de densidad marginal de X y de Y. f X (x) = x 3x dy = 3x ; si x f Y (y) = y 3x dx = 3 ( y ); si y b) Encuentra la función de densidad de X Y = y. f X Y =y (x) = 3x 3 ; si y x, y < y ( y ) = x c) Encuentra P(X 3 4 Y = ). P(X 3 4 Y = ) = 3 4 x 5 dx = ( ) d) Determina la covarianza entre X e Y. E[XY ] = y xy 3x dx dy = y( y3 ) dy = 3 E[X] = x 3x dx = 3 4 E[Y ] = y 3 ( y ) dy = 3 8 Así, cov(x,y ) = = 3 6 =, (Entregas) Un contratista no conoce con certeza los costes de material y de mano de obra de un proyecto pero cree que los costes de material (en miles de euros) pueden representarse mediante una variable aleatoria X con media 6 y desviación típica 6. El coste de la mano de obra asciende a 9 euros por día. El número de días necesario para terminar el proyecto, puede representarse según una variable aleatoria X con media 8 y desviación típica. a.- Cuál es el valor esperado y la varianza del coste de la mano de 7

8 obra? b.- Suponiendo que los costes de material y de mano de obra son independientes, Cuál es la media y la varianza del coste total del proyecto (material y mano de obra)? a.- Sea X 3 la variable aleatoria que modela el coste de la mano de obra: µ X3 = 9 8 = 7 euros y σ X 3 = (9) = 664 euros b.- Dada la independencia entre material y mano de obra, la media del coste total es 6+7, = 67, miles de euros y la varianza es 36+,664 = 37,664 (miles de euros) 9. (Asignación) Lanzamos una moneda al aire tres veces. Sean X el número de caras que han salido e Y el valor absoluto de la diferencia entre el número de caras y de cruces. Determinad, a.- La ley del vector aleatorio (X,Y ). b.- Las leyes marginales de X y de Y. c.- El valor esperado de X. a.- La ley conjunta viene dada por la tabla, b.- Las leyes marginales son X \ Y Y X c) E[X] = = 8 = 3 8

9 . (Asignación) La función de densidad conjunta de (X,Y ) es constante en la región limitada por las rectas x + y = x + y = 3 x y = x y = y nula fuera de ella. a.- Determinad la función de densidad conjunta de (X,Y ). b.- Calcula E[Y X = 3 ]. a.- El recinto donde el vector aleatorio toma valores que denotaremos C es un cuadrado de area. Así la función de densidad conjunta es si (x,y) C f X,Y (x,y) = en caso contrario b.- Si x (,), f X (x) = +x x f Y X= (y) = con lo que E[Y X = 3 ] = dy = x. Así, = 3 si y ( 3, 4 3 ) en caso contrario 3 y dy =. (Examen en convocatoria) Una variable aleatoria X tiene función de densidad k(7 x) si < x < 3 f X (x) = en caso contrario a) Determina el valor de k. b) La esperanza de X. c) La probabilidad de que si se realizan tres observaciones independientes, al menos una de las tres sea inferior a la media. a) Como = + f X(x) dx, ha de ser k = k =. b) E[X] = xf X(x) dx = 3 x(7 x) dx =,5 c) La probabilidad pedida la podemos obtener través del suceso contrario, que es el que afirma que todas las observaciones son superiores o iguales 9

10 a la media. Si calculamos la probabilidad de que una observación de X sea superior o igual a la media, P(X,5) = 5 56,45 La probabilidad de que tres observaciones independientes sean superiores o iguales a la media es,45 3. Finalmente, el suceso al menos una de las tres sea inferior a la media es justamente el contrario de las tres observaciones independientes sean superiores o iguales a la media, con lo que la probabilidad pedida es,45 3 =,989. Normal multivariante. Sea X = (X,X ) N (µ,σ). Demuestra que X y X son independientes si y sólo si el coeficiente de correlación ρ entre X y X es nulo. La implicación en el sentido es directa por la definición del coeficiente de correlación. La implicación en el sentido se tiene vía la función de densidad de la normal multivariante. f X (x) = π σ σ ρ e Si ρ = queda, f X (x) = ( ( ) x µ + ( ) ) x µ ρ (x µ )(x µ ) ( ρ ) σ σ σ σ e σ (x µ ) e σ (x µ ) = π σ π σ = f X (x ) f X (x ) con lo que X y X son independientes.. Demuestra que si (X,X ) N ((µ,µ ), X N(µ,σ ) y X N(µ,σ ). σ σ σ σ ), entonces Basta utilizar la definición de normal multivariante con el vector (,) t para demostrar que X N(µ,σ ) y con el vector (,)t para X N(µ,σ ).

11 3. Sea (X,X ) N ((µ,µ ), σ σ ). Determina la distribución σ σ condicional de X. (X X =x ) Realizando el cociente de las densidades conjunta y marginal correspondiente, se tiene, ( X X =x N µ + σ ) σ (x µ ),σ σ σ de dónde observamos, a) E[X X =x ] es lineal en la condición (x ) b) var[x X =x ] no depende de la condición c) Su distribución condicional también és normal Aplicaciones: Regresión Lineal 4. Sean Z i Z independientes e idénticamente distribuidas según una N(,). Sean X = Z + 4Z y Y = + Z Z. a) Demuestra que (X,Y ) sigue una distribución normal bivariante. b) Determina la distribución de X y la de Y. c) Calcula P(X Y > ). (Z,Z ) N (,),.- Para cualquier a,b, ax + by = (a + b)z + (4a b)z + b es normal al ser combinación lineal de normales..- X N(,) i Y N(,5) 3.- Como Cov(X,Y ) = 6 (X,Y ) N ((,), 6 6 5

12 Entonces, tomando A =, y utilizando las propiedades de linealidad de la distribución normal multivariante, X Y N (,) A, A t 6 A = N(,37) 6 5 Así, P(X Y > ) = P(Z > ( ) 37 ) =, Las variables X e Y, que representan las calificaciones obtenidas por una clase en dos asignaturas distintas, se distribuyen (aproximadamente) como una normal bivariante de esperanzas µ X = 75 y µ Y = 7, varianzas σx = 6 y σ Y = 5 y correlación corr(x,y ) =,75. a) Determina la matriz de varianzas covarianzas de (X,Y ). b) Cuál es la probabilidad de que la puntuación X sea menor que la puntuación Y? c) Supongamos que las puntuaciones X e Y son transformados a una escala diferente según X =,X e Y =,Y. Examina la distribución conjunta de las puntuaciones transformadas (X,Y ) facilitando el tipo, esperanza y matriz de varianzas covarianzas de (X,Y ). 6 5 a) ; donde se ha utilizado que cov(x,y ) = var[x] 5 5 var[y ] corr(x,y ), esto es 6 5,75 = 5. b) Se pide calcular P(X < Y < ) = P(X Y < ). Como, según las propiedades de la normal bivariante, X Y = (X,Y ) N(5, ), se tiene que P(X Y < ) = P(Z < 5/ ) =,66 donde Z N(,). c) Nuevamente por las propiedades de la normal bivariante, (X,Y ) se distribuye según una distribución normal variante de vector de medias (6, 5, 6, ) y matriz de varianzas covarianzas.,6,5,5,5

13 . Fundamentos de Inferencia Estadística Estimación puntual. Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad Bern(p). a) Determina el estimador máximo verosímil para p L(X,...,X n ;p) = p X i ( p) n X i ln L(X,...,X n ;p) = X i ln(p) + (n X i )ln( p) p ln L(X Xi,...,X n ;p) = p + n X i ( ) p La solución de la ecuación de máxima verosimilitud es, ˆp = Xi n Es un máximo porque, p lnl(x,...,x n ;p) = Xi p + n Xi ( ) < p ( p) b) El estimador máximo verosímil es sesgado? Xi E[ˆp] = E[ n ] = np n = p ˆp no es sesgado. c) El estimador máximo verosímil es suficiente? Como, (( ) p n )ˆp L(X,...,X n ;p) = ( p) n p según el lema de factorización, ˆp es suficiente. 3

14 . Sean X, X y X 3 una muestra de tres observaciones de una población de media µ y varianza σ. Consideremos los estimadores de µ, T = 6 X + 3 X + X 3 T = 6 X + 3 X + 6 X 3 a) Probad que ambos estimadores son insesgados. E[T ] = 6 µ + 3 µ + µ = µ E[T ] = 6 µ + 3 µ + 6 µ = µ b) Cuál de los dos estimadores es más eficiente? T es más eficiente que T. var[t ] = 36 σ + 9 σ + 4 σ = 7 8 σ var[t ] = 36 σ σ + 36 σ = σ c) Proponed un estimador insesgado para µ que sea más eficiente que T i T. X = 3 X + 3 X + 3 X 3 verifica E[X] = µ var[x] = 3 σ como var[x] < var[t ] i var[x] < var[t ], se tiene que X es más eficiente que T i T. 3. Propón un estimador insesgado para σ en el modelo normal univariante. Ŝ = n n i= (X i X n ). 4

15 4. La media poblacional µ de una variable aleatoria ha sido estimada por dos investigadores a partir de dos muestras independientes. En los dos casos se ha usado la media muestral como estimador, denotándose éstas por X y X, respectivamente. Se sabe que las varianzas de estos estimadores son.5 y.9, respectivamente. Un tercer investigador propone usar el promedio de las dos medias muestrales como estimador de µ: W = ( X + X )/. a) Es W estimador insesgado de µ? W insesgado pues E[W] = (E[ X ] + E[ X ])/ = µ b) Qué estimador de los tres es más eficiente, X, X, o W? Como los tres son estimadores insesgados, su ECM coincidirá con su varianza. var( X ) =,5 var( X ) =,9 var(w) = 4 var( X ) + 4 var( X ) =,6 así W es más eficiente que X y que X. c) Encontrar los valores a y b tales que el estimador T = a X +b X sea insesgado y de mínima varianza. Para que T sea insesgado, se tiene que verificar E[T] = µ. Como E[T] = ae[ X ] + be[ X ] = (a + b)µ tenemos que T insesgado a + b = Por otra parte, var[t] = a var[ X ] + ( a) var[ X ] =,5 a +,9 ( a) La función a,5 a +,9 ( a) es estrictamente convexa; así a =,375 es mínimo de la función al ser punto estacionario. Así el estimador,375 X +,65 X es insesgado y de mínima varianza en la clase de los estimadores T = a X + b X. 5. (Asignación) Sea X,X,X 3,X 4 una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria de valor esperado µ y desviación standard σ. 5

16 Consideremos los siguientes estimadores de µ, X = 4 4 X i T = 4 X + 4 X + X 3 i= La afirmación T es más eficiente que X, es cierta? Justifica la respuesta Ambos estimadores son insesgados con lo que el ECM coincidirá con la varianza. Se tiene, ECM[X] = 4 σ y ECM[T] = 3 8 σ. Así, X es más eficiente que T y la afirmación es falsa. 6. (Examen en convocatoria) Un inversor dispone de euros que tiene la posibilidad de invertir en distintas proporciones en dos activos financieros alternativos. Los intereses por euro invertido en cada una de estos activos pueden ser representados mediante dos variables aleatorias independientes X e Y con igual media µ e igual varianza σ. Suponiendo que el inversor decide colocar α euros en el primer activo y, por lo tanto, ( α) en el segundo. a) Determina la repartición de los euros correspondiente a la opción de mínimo riesgo de los intereses. b) Suponiendo ahora que las variables X e Y no son independientes y denotando por c la covarianza entre ambas, determina, ) La varianza del interés total. ) Para qué valores de c se reduce más el riesgo diversificando? a) El interés total de la inversión viene dado por R = α X + ( α)y, que tiene valor esperado µ euros. Observamos que el interés esperado es el mismo para cualquier valor de α. La varianza del interés total es, var[r] = (α ) var[x]+(( α)) var[y ] = (α α+) 6 σ La dependencia en α se trata de una parábola con término ĺıder positivo; así en el vértice alcanza un mínimo global, esto es en α = ( ) 4 =, con lo que la repartición pedida es 5 euros para el primer activo y 5 para el segundo. b)en este caso, la varianza del riesgo es var[r] = (α ) var[x] + (( α)) var[y ] + α( α) 6 c = 6

17 = ( (α α + )σ + α( α)c ) 6 b) Si examinamos la expresión dentro del paréntesis como función de c vemos que el primer sumando siempre es positivo. El segundo será vía el que se podría reducir el riesgo: como α > y α >, es necesario que c < para que se reduzca más el riesgo diversificando. Regiones de confianza. Una empresa de cervezas conoce que la cantidad de cerveza que contienen las latas que fabrica se comporta según una distribución normal de desviación típica,3 litros. a) Se obtiene una muestra aleatoria de 5 latas y se construye un intervalo de confianza para la media poblacional que tiene como límite inferior.8 y límite superior.38. Cuál es la confianza asociada a este intervalo? En este caso n = 5 σ =,3 Buscamos α tal que, Ha de ser, z α σ n =, z α =, 5,3 = 8,33 De las tablas, P(N(,) > 3,49) =,9998 =, es decir, el intervalo del enunciado tiene una confianza superior al 99,96% b) Un gerente de la compañía exige un intervalo de confianza al 99% que tenga una amplitud màxima de.3 litros a cada banda de la media muestral. Cuántas observaciones se necesitan para este objetivo? 7

18 De las tablas, P(N(,) <,57) =,9949 P(N(,) <,58) =,995 Ha de ser,,575 σ n,3 n 6,63 Así n 7. Se llevó a cabo un sondeo de opinión en España y una de las preguntas realizadas a una muestra aleatoria de 5 personas fue: Considera que la Economía mejorará en 6 o no? 473 (3,5 % de las personas en el estudio respondieron que si, 967 (64,5 %) dijeron que no y 6 (4, %) dijeron que no lo sabían. Construid los intervalos de confianza al 95 % para cada una de los proporciones de las respuestas sí y no. Sea ˆp la proporción de éxitos en la muestra aleatoria de 5 observaciones procedentes de una población con una proporción p de éxitos. Entonces, si n es suficientemente elevado (n 4) sabemos que T = ˆp p ˆp( ˆp) n AN(,) De esta manera, un intervalo de confianza al ( α)% viene dado por ( ) ˆp z α ˆp( ˆp) n, ˆp + z α ˆp( ˆp) n En nuestro caso, n = 5. Respecto a la proporción de sí en la población, p si, como ˆp si = 473 5, un intervalo de confianza al 95% para a p si viene dado por, I psi = ( ,96 5 ( 5 ), ,96 5 ( 5 ) ) = 5 = (,98,,3388) Para a la proporción de no en la población, p no, como ˆp no = 967 5, un 8

19 intervalo de confianza al 95% para a p no viene dado por, I pno = ( ,96 5 ( 5 ), ,96 5 ( 5 ) ) = 5 = (,64,,6689) 3. Se tienen las siguientes observaciones del contenido en gramos del principio activo de un fármaco que se suponen procedentes de una muestra aleatoria simple de una población normal con desviación estándar,.,4;,;,;,83;,88;,9;,7;,;,3;, a) Hallar un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza de 95 %.[5 puntos] x =,3 y z,5 =,96 El intervalo es,3 ±,96, = (,979358;,939864) b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, cuál debería ser el tamaño de la muestra para disminuir el tamaño del intervalo calculado en (a) al menos la mitad? [5 puntos] El tamaño del intervalo en (a) es,96, =,39684 Para reducir el tamaño a la mitad, debemos encontrar n tal que,96, n =,39684 =,6 Ha de ser n =,96,,39684 = 6,36, que tiene como solución n = 39,97. Por lo tanto, n 4 Contraste de hipótesis. Una pieza de recambio para los frenos de un coche tiene la forma de un disco con un diámetro de 35 mm. En una fabrica se hace un control de calidad del proceso de fabricación para ver si el diámetro medio de los discos sigue el valor deseado. a) En este caso, cuáles serían la hipótesis nula y la alternativa? H : µ = 35 H : µ 35 9

20 b) Se considera una muestra aleatoria de 4 discos y se calcula la media y la desviación estándar muestrales con unos resultados de 35.5 mm para la media y una desviación estándar de. mm. Calcula el p-valor y realiza un comentario sobre la actual calidad de la producción. Sea X:= la variable aleatoria que mide el diámetro de una pieza escogida al azar entre las fabricadas. Por ser el tamaño muestral suficientemente grande (n 3), T = X 35 S n N(,) El valor observado es, T obs = 35,5 35, 4 =,635 De las tablas, tenemos que P(N(,),63) =,9957 Así, P(N(,),63) =,43 El p-valor es,43 =,86 con lo que se rechaza la hipótesis nula con prácticamente cualquier nivel de significación (se puede considerar α =,5 o bien α =, para fijar ideas) y a afirmar que se han observado evidencias en la muestra a favor de que el diámetro de las piezas fabricadas es superior a 35. Notemos que en el contraste H : µ = 35 H : µ > 35 también rechazaríamos H (pues el p-valor es ahora,43)con prácticamente cualquier nivel de significación.

21 . Se realiza un estudio sobre la situación actual de las empresas de servicios; concretamente al respecto de los cambios que comportará la expansión de la UE a 5 países y los planes elaborados para facilitar esta expansión. Hay indicios para pensar que la situación no es la misma en las diferentes regiones europeas y que la región B está menos adaptada que la región A. Una vez finalizado el estudio, resulta que de las 5 empresas de servicios encuestadas de la región A, 95 tenían preparado un plan d adaptación. En la región B, 56 de 4. Consideras que los datos evidencian que la proporción de empresas de servicios que tenían a punto un plan de adaptación es más alta en la región A que en la región B? (α =,). Sea p A la proporción de empresas en la zona A que tienen preparado un plan d adaptación y p B en la zona B. Se contrasta, H : p A p B = H : p A p B > Al ser los tamaños muestrales suficientemente grandes, T = (ˆp A ˆp B ) (p A p B ) ˆp ( ˆp )( n A + n B ) AN(,) donde ˆp = n Aˆp A +n B ˆp B n A +n B es la estimación de la proporción poblacional común. Se tiene ˆp A = i ˆp B = La estimación de la proporción poblacional común es ˆp =,344 y por lo tanto T obs = 3,339 con lo que rechazamos la hipòtesis nula a prácticamente cualquier nivel de significación. En consecuencia se concluye que la zona B está menos preparada que la zona A. a.- Se trata de un contraste para la diferencia de proporciones (la de mujeres ejecutivas en y la de mujeres ejecutivas en 5) con muestras independientes donde ˆp =,354, T obs =,9338 y el p valor,33. Rechazamos la hipótesis nula que el porcentaje poblacional de mujeres

22 ejecutivas no ha cambiado en los dos momentos del tiempo. b.- Se trata de un contraste para una proporción, el de mujeres ejecutivas en 5. El valor postulado por la hipótesis nula es,5. Se tiene, T obs = 6,6565 con lo que p-valor,. Rechazamos la hipótesis nula que en el año 5 el porcentaje poblacional de mujeres ejecutivas es igual al de hombres ejecutivos.,33(,33) c.- Ha de ser,96 n =,. Si resolvemos en n la anterior ecuación obtenemos n = 8493, (Asignación) Sea µ la media de una variable aleatoria X. Para contrastar la hipòtesis nula H : µ = contra la alternativa H : µ se ha obtenido un estadístico de contraste T =,76 y un p valor igual a.89. La afirmación La hipótesis nula H : µ = ha de ser rechazada en favor de la alternativa H : µ < a un nivel de significación α =,5 es verdadera o falsa? Justifica la respuesta. El p valor para el contraste requerido es igual a.89/=.445. Como el nivel de significación es α =,5 decidimos rechazar la hipótesis nula H : µ = en favor de la alternativa H : µ < a un nivel de significación α =,5. Así la afirmación es verdadera. 4. (Asignación) Sea µ el valor esperado de una variable aleatoria normalmente distribuida. El estadístico t de una muestra de n = 5 observaciones para contrastar H : µ = H : µ > tiene el valor t =,8. a.- Cuál es la distribución de probabilidad de este estadístico? b.- Es significativo el valor t =,8 a un nivel del 5%? y a un nivel del %? a.- t Student con 4 grados de libertad. b.- p valor=p(t 4 >,8) < P(P(t 4 >,76) =,5 y por lo tanto es significativo al 5% p valor=p(t 4 >,8) > P(P(t 4 >,64) =, y por lo tanto es no significativo al % 5. (Asignación) Según la información proveniente de una muestra aleatoria de n = consumidores, quisiéramos determinar si después de

23 nuestra campaña publicitaria ha aumentado el conocimiento de nuestra marca Goodstat (según estudios previos, este conocimiento, es decir la proporción de consumidores que conocen nuestra marca era del 5 %). Tomando un nivel significación α =,5, planteamos el contraste H : p =,5;H a : p >,5. Cuál es la potencia del contraste si la proporción real es p =,3? (Especifica primero, claramente, la regla de decisión que se utilizará en el contraste). La regla de decisión es, (ˆp,5)/,5,75/ > z,5 que se puede escribir como: Si ˆp >,3, rechazamos H. La potencia se obtiene según β = P[rechazar H p =,3] = P[ˆp >,3 p =,3] = = P[Z >. ˆp,3,3,7/ ] = P[Z >,463] P[Z >,46] =,38 6. Un organismo gubernamental establece que el nivel de radioactividad del agua potable no debería exceder de 4 unidades por litro. Con este objetivo, se pretende realizar un contraste de hipótesis para H : µ 4 contra H : µ > 4 siendo µ el valor esperado de la radioactividad en un litro de agua. Teniendo en cuenta que la radioactividad representa una amenaza considerable para la salud, qué error resulta más peligroso, el de tipo I o el de tipo II? Por qué? [5 puntos] Es el de tipo II, pues estamos dando como válido que la radioactividad no excede del ĺımite considerado como seguro, pero en realidad si que lo ha sobrepasado; H H 3