Propiedades de la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar

Transcripción

1 ÁLGEBRA MATRICIAL PROF. MARIELA SARMIENTO SESIÓN : ESPACIO VECTORIAL Propiedades de la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar Teorema.1: Si A, B y C son vectores cualesquiera y c y d son escalares entonces la suma vectorial y la multiplicación por un escalar cumplen lo siguiente: 1. A + B = B + A (Ley conmutativa). A + (B + C) = (A + B) + C (Ley Asociativa) 3. O tal que A + O = A (Elemento Neutro para la suma) 4. -A tal que A + (-A) = O (Elemento Simétrico o Negativo) 5. c(a + B ) = ca + cb (Ley Distributiva) 6. (c + d) A = ca + da (Ley Distributiva) Definición: Un Espacio Vectorial real V está formado por un conjunto de vectores, y un conjunto de escalares (números reales), y está dotado por dos operaciones suma de vectores y multiplicación por un escalar tal que para cada par de vectores A V y B V y c R se tiene: A+B V y ca V de tal forma que se satisfacen las propiedades del Teorema anterior. Observación: Si A = ( a 1, a ) se tiene: (a 1, a ) = (a 1, 0) + (0, a ) = a 1 (1, 0) + a (0, 1) Los vectores (1, 0) y (0, 1) son vectores de magnitud 1 por lo que se llaman vectores unitarios y los denotamos por: i = (1, 0 ), j = ( 0, 1) Representación geométrica de i y j:

2 Propiedades de los espacios vectoriales Sea (V, K, +,. ) un espacio vectorial u = O u V. α. O = O, α K 3. α. u = 0 α = 0 ó u = O 4. (- α)u = -(αu), u V y α K. En particular -u = (-1)u = -( 1u) SUBESPACIOS Definición: Dado (V, K, +,. ) un espacio vectorial y dado S V un subconjunto no vacío de V, decimos que (S, K, +,. ) es un subespacio de (V, K, +,. ) si y sólo si (S, K, +,. ) es un espacio vectorial. Ejemplo 1: Sea (R, R, +,. ) y sea S = { (x,y) R / y = x } S es un subespacio de R. En efecto, S R y cumple con todas las propiedades para (S, R, +) y (S, R,.), luego S es un espacio vectorial. Proposición: Si S V, S y S es cerrado con respecto a la suma y al producto por un escalar entonces (S, K, +,. ) es un subespacio de (V, K, +,. ). Ejemplo : Verifiquemos que S, dado en el ejemplo 1, es un subespacio de (R, R, +,. ). 1. S? Si porque (1,) R. S V? Cierto, por definición de S todos los elementos de S están en R. 3. S es cerrado respecto a la suma? ( Si a, b S a + b S?) Sea a (x, y) y b (z, w) y = x, w = z Luego ( x, y) + ( z, w) = ( x,x) + ( z,z) = ( x + z,x + z) = ( x + z, ( x + z) ) S a + b = 4. S es cerrado respecto al producto por un escalar? (Si α R y a S αa S?) Luego S es un subespacio de R OPERACIONES CON SUBESPACIOS 1. Intersección de Subespacios: ( x, y) = α ( x, x) = ( α x, x) S α a = α α

3 Sea {S i } una familia de subespacios de (V, K, +,. ) entonces S = subespacio de V. IS i i es un. Unión de Subespacios: Si S 1 y S son subespacios de V entonces S 1 U S no necesariamente es un subespacio de V. Ejemplo 3: En (R, R, +,. ), consideremos a S 1 y S formados por cada una de las rectas de la figura, entonces S 1 U S está formado por el par de rectas. Si tomamos los vectores a S 1 y b S tenemos a + b S 1 U S (a+b está fuera de ambas rectas) 3. Suma de Subespacios: Sea S 1 y S dos subespacios de (V, K, +,. ). Sea S = S 1 + S = { x V / x = x 1 + x, x 1 S 1, x S } S es un subespacio suma de S 1 y S. S es un subespacio de V. Demostración: 1. S? Si porque O S 1 y O S por ser subespacios. Entonces O + O = O S 1 + S O S. S V? Cierto, por definición de S. 3. S es cerrado respecto a la suma? ( Si a, b S a + b S?) Sean a, b S a = a 1 + a y b = b 1 + b con a 1, b 1 S 1 y a, b S Luego ( a + a ) + ( b + b ) = ( a + b ) + ( a + b ) S a + b = donde (a 1 + b 1 ) S 1 y (a + b ) S Luego (a + b) S 4. S es cerrado respecto al producto por un escalar?

4 (Si α R y a S αa S?) Sea α R y a S, a = a 1 + a con a 1 S 1 y a S Luego ( a + a ) = α a + a S α a = α 1 1 α porque α a1 S1 y α a S α a S RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS PAGINAS SIMILARES AUTOEVALUACIÓN RESUMEN Un Espacio Vectorial real V está formado por un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (números reales), y está dotado por dos operaciones suma de vectores y multiplicación por un escalar tal que se satisfacen las propiedades: Conmutativa, Asociativa, Elemento Neutro, Elemento Simétrico y la Propiedad Distributiva de la suma con respecto al producto. Un Subespacio es un subconjunto no vacío S de un espacio vectorial (V, K, +,. ) tal que (S, K, +,. ) es, a su vez, un espacio vectorial. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Sea K X el conjunto de todas las funciones con dominio X y codominio K, esto es, K X = { f / f: X K }. En K X definimos la suma y el producto por un escalar mediante: Si f, g K X entonces f + g K X tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x), x X. Si α K y f K X entonces (αf) (x) = α f(x), x X. Probar que (K X, K, +,. ) es un espacio vectorial. Respuesta: Veamos si se satisfacen las propiedades enumeradas en el Teorema.1, esto es: a. La suma de funciones es conmutativa? (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) (*) = (g + f)(x) (*) porque f(x) R, g(x) R y la suma de números reales es conmutativa. b. La suma de funciones es asociativa?

5 [f + (g + h)](x) = f(x) + [g(x) + h(x)] = [ f(x) + g(x) ] + h(x) = [f + g](x) + h(x) = = [(f + g) + h](x) c. Existe el elemento neutro para la suma de funciones? Si, el elemento neutro es la función constantemente igual a cero, esto es: O : R R O( x) = 0, x R Porque O(x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x), g R R d. Existe el elemento simétrico para la suma de funciones? f R R, (-f) R R tal que f(x) + (-f)(x) = 0 = O(x), x R e. Se cumple la ley distributiva de la suma de funciones con respecto al producto por un escalar? c(f + g)(x) = c[f(x) + g(x)] = cf(x) + cg(x) = [cf + cg](x) = [c(f + g)](x) (c + d) f(x) = c f(x) + d f(x) = (cf)(x) + (df)(x) = [cf + df](x). Investigar si S = { (x, y, z) R 3 / x + z = 0 } es un Subespacio del espacio vectorial (R 3, R, +,. ). Respuesta: a. S? Si porque el vector v = (1,,-1) S b. S V? Si por definición de S. c. S es cerrado con respecto a la suma? Sean a = (x,y,z) y b = (u,v,w) vectores de S entonces x+z = 0 y u+w = 0 Veamos si a + b S. a + b = (x,y,z) + (u,v,w) = (x + u, y + v, z + w) Sumando la primera y última componente del vector suma, tenemos: (x + u) + (z + w) = (x + z) + (u +w) = = 0 Luego a + b S y S es cerrado con respecto a la suma d. S es cerrado con respecto al producto por un escalar? Sea a = (x,y,z) S y α R. Como a S entonces x+z = 0. Luego: αa = α(x,y,z) = (αx, αy, αz) Sumando la primera y última componente del vector αa, tenemos: αx + αz = α(x + z) = α0 = 0. Luego αa S.