CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL

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1 CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO ECEL D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Estadístcas Ecoómcas y Socodemográfcas. Isttuto Cátabro de Estadístca. Dª. Mª Paz Moral Zuazo. Profesora Ttular de Uversdad. Uversdad del País Vaco Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

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3 ÍNDICE. El Método Estadístco.. Itroduccó 5.. El Método Estadístco 5.3. Coceptos y defcoes báscas 7. Itroduccó a las fucoes estadístcas e Excel.. Fucoes e Excel 9.. Gráfcos 0.3. Tablas y gráfcos dámcos 3.4. Las macros Aálss de datos para el tratameto estadístco 7 3. Aálss de dstrbucoes 3.. Itroduccó Dstrbucoes de frecuecas udmesoales Meddas de poscó e ua dstrbucó de frecuecas udmesoal Característcas de las meddas de dspersó Dstrbucoes de frecuecas bdmesoales Dstrbucoes de probabldad. Alguas dstrbucoes de terés 5 4. Meddas de desgualdad y cocetracó 4.. Meddas de forma Meddas de cocetracó: ídce de G y Curva de Lorez Cálculo e terpretacó de los ídces de cocetracó Modelo de regresó leal 5.. El método de los mímos cuadrados ordaros Bodad del ajuste Ifereca acerca de los estmadores Predccó e el modelo de regresó Volacó de los supuestos del modelo leal de regresó Regresó leal múltple 6.. Itroduccó Defcecas muestrales: multcolealdad y errores de medda Modelo co varables cuattatvas y cualtatvas como regresores El empleo de varables cualtatvas para el tratameto de la estacoaldad El modelo probablístco leal 9 7. Números ídces 7.. Itroduccó Ídces smples y complejos Ídces poderados Ídces de precos Elaces y cambos de base Deflactacó de seres ecoómcas Prcpales ídces de precos españoles 0 8. Seres temporales 8.. Itroduccó a las seres temporales Compoetes de ua sere temporal Aálss de la tedeca 8.4. Aálss de la estacoaldad Aexo I: Aálss de regresó co Excel 3 Aexo II: Acceso a datos exteros desde Excel 4 Aexo III: Macros e Excel 49 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

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5 .- El método estadístco..- Itroduccó Auque la palabra Estadístca provee del latí status o estado, esta palabra sólo descrbe e parte su sgfcado real, es decr, solo descrbe la fucó de la Estadístca de llevar regstros ordeados de datos para descrbr el estado de las cosas. S embargo, la Estadístca va más allá de esta smple fucó. E forma más geeral, la Estadístca es la ceca que se ocupa de la coleccó, clasfcacó, orgazacó, aálss, sítess e terpretacó de datos. E palabras secllas podríamos decr que la Estadístca es la ceca de los datos E térmos geerales la Estadístca aborda dos tpos de problemas: Resumr, descrbr y explorar datos. Utlzar datos de ua muestra para ferr la aturaleza del cojuto del cual se escogó la muestra. Así, la Estadístca se dvde e dos partes ítmamete relacoadas: Estadístca Descrptva: Esta es la parte de la Estadístca que se dedca a la orgazacó, sítess y descrpcó de cojutos de datos. Esta es mportate, ya que ates de que la mete humaa pueda terpretar (hacer ferecas es terpretar) u cojuto de datos, especalmete cuado estos so demasados, es ecesaro resumrlos o represetarlos de maera clara, smplfcada o reducda. Estadístca Iferecal: Esta rama de la Estadístca trata el problema de ferr la aturaleza de u cojuto de datos a partr de ua muestra de dchos datos. El cojuto de dvduos o etdades que se desea descrbr se deoma poblacó, metras que ua muestra es u subcojuto de dvduos seleccoados de la poblacó...- El método estadístco Segú el dccoaro de la RAE el sgfcado de la palabra Ceca es (e su prmera acepcó): CIENCIA: Cojuto de coocmetos obtedos medate la observacó y el razoameto, sstemátcamete estructurados y de los que se deduce prcpos y leyes geerales. Segú esta defcó podemos fáclmete compreder la razó de catalogar la Estadístca como ceca, ya que como se puede ver la estadístca se adapta perfectamete a esta defcó. Aalcemos ahora cuales so los pasos que se ha de segur e cualquer vestgacó estadístca o lo que es lo msmo, vamos a ver e que cosste el método estadístco, que es u método cetífco. Es tarea propa de la ceca, observar adecuadamete los hechos, dscerr que elemetos so costates e ellos y determar las leyes que lo rge, es decr, sus relacoes costates Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

6 y uversales. Es el método propo a la ceca, el Método Cetífco, el que se aplca al cclo completo de ua vestgacó, desde el eucado del problema hasta la evaluacó de los resultados obtedos. E el método cetífco podríamos dstgur e forma esquemátca, y co las lmtacoes que esto supoe, las sguetes etapas: Eleccó y eucado del problema La eleccó de u problema co el f de averguar sus causas o de ecotrarle solucoes, depederá de los jucos de valor del vestgador y de las codcoes socales, polítcas y ecoómcas e las cuales se desarrolla la ceca. El eucado puede hacerse a través de la descrpcó de la stuacó problema o medate el plateameto de ua preguta. Formulacó de ua Hpótess La hpótess es ua explcacó de la stuacó problema o ua respuesta posble a la preguta plateada. Se formula e térmos afrmatvos respecto a relacoes etre varables pertetes. Deduccó de cosecuecas verfcables de la hpótess Sedo la hpótess ua explcacó o ua respuesta geeral, muchas veces o es posble vestgar drectamete su veracdad. Se procede e estos casos a deducr e forma lógca cosecuecas partculares de la hpótess Verfcacó de la hpótess La verfcacó puede hacerse, sobre todo e las cecas exactas, medate demostracoes teórcas basadas e relacoes aceptadas e el estado actual del coocmeto. Iterpretacó de los resultados Co los datos obtedos e la etapa ateror se decde s se ha rechazar o o la hpótess e estudo. Poedo todo lo ateror e relacó a lo que os ocupa e el curso podemos ver cuales so las etapas del Método Estadístco. Podemos decr que es u cojuto de procedmetos aplcados e secueca lógca a la obtecó y aálss de datos. Es el método estadístco el que os proporcoa las téccas ecesaras para recolectar y aalzar la formacó requerda. Podríamos dstgur e él ua etapa de Plafcacó y otra de Ejecucó Etapa de Plafcacó E esta etapa debemos cosderar las sguetes fases: - Defcó de objetvos: Correspode formalmete a la descrpcó del problema que da orge a la vestgacó. Se debe señalar detalladamete lo que se pretede vestgar, es decr, el qué, cómo, dode, cuado y por qué. - Defcó del Uverso: Se debe defr el grupo del cual se extraerá la formacó y a la cuál se referrá los resultados. - Dseño de la muestra: La teoría del Muestreo o de Dseño y Aálss de Expermetos puede garatzaros que la formacó que geeraremos os permtrá proyeccoes váldas al uverso de terés. - Defcó de las udades de observacó, escalas de clasfcacó y udades de medda: E ua msma vestgacó puede haber varos objetvos parcales que requera estudar udades de observacó dferetes. - Preparacó del pla de tabulacó y aálss: El cudado e este aspecto uca podría cosderarse excesvo, debería llegarse, tal vez, hasta cosderar alteratvas de aálss adecuadas para compesar alguas alteracoes accdetales del pla de trabajo. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

7 Etapa de Ejecucó E esta etapa podemos recoocer las sguetes fases: - Recoleccó de la formacó: E esta fase se recoge los datos de acuerdo a los plaes establecdos aterormete. Geeralmete es lo que se cooce como Trabajo de Campo. Es mportate garatzar la obtecó correcta de la formacó, para lo cual hay que establecer los correspodetes procesos ecamados al cotrol de caldad del proceso. - Tratameto y Elaboracó de la formacó: Ua vez que se tee los datos estos ha de pasar por procesos de valdacó y depuracó, que garatce que la formacó obteda es correcta (s datos mposbles o cosstetes). Asmsmo hay que garatzar ua correcta codfcacó de los datos, para u tratameto correcto. Co los datos verfcados, y geeralmete e u soporte formátco, se procede a la elaboracó de tablas, formes y de todos los procedmetos estadístcos ecesaros para lograr u mejor aálss de los msmos. E esta fase es dode tervee las téccas de estadístca descrptva que se va a estudar. - Aálss de los resultados: El aálss de los resultados es la últma fase del proceso, que e geeral depede del tpo de estudo que estemos realzado, que puede ser descrptvo, ferecal, cofrmatoro,.3.- Coceptos y defcoes báscas E esta seccó se preseta alguas ocoes báscas sobre lo que se va a tratar e el curso: Estadístca descrptva: Cojuto de métodos de descrpcó, aálss y represetacó de cojutos umerosos de datos. Utlza métodos umércos y gráfcos co el f de resumr, ordear y smplfcar la formacó coteda e los datos. Poblacó estadístca: Cojuto de elemetos que posee ua o varas característcas comues y sobre los cuales se va a realzar el estudo. Debe estar perfectamete determada, s gú tpo de ambgüedad, de forma que se pueda dstgur fáclmete s u elemeto perteece o o a la msma. Por ejemplo: varoes mayores de 5 años, productos almetcos, cudades co más de ccueta ml habtates, etc. Ua poblacó puede ser fta o fta, segú el úmero de elemetos que la compoga. Los elemetos de la poblacó se deoma udades estadístcas o dvduos y al úmero total de dvduos que costtuye la poblacó se le deoma tamaño de la poblacó. U dvduo es, por tato, cualquer ete observable que posee característcas medbles o clasfcables. Muestra: A meudo, es mposble o poco práctco realzar u estudo exhaustvo de la poblacó, por lo que se hace ecesaro seleccoar u subcojuto represetatvo de la msma, llamado muestra, cuyo estudo permte extraer coclusoes geeralzables a toda la poblacó. El úmero de elemetos de la muestra se deoma tamaño de la muestra. Como ya hemos dcado, la estadístca descrptva trata úcamete de recoger, clasfcar y resumr los datos obtedos a partr del estudo de ua muestra, s preteder obteer coclusoes o hacer ferecas acerca de la poblacó completa (objetvo de la fereca estadístca). Caracteres: Cualdades o característcas comues de los dvduos de la poblacó, que se desea estudar e dcha poblacó. Por ejemplo, e la poblacó formada por los estudates matrculados e la Dplomatura de Estadístca para el curso actual, los caracteres puede ser sexo, edad, color de ojos, estatura, peso, etc. Cada uo de los posbles estados que puede presetar u carácter se deoma modaldad. Por ejemplo: hombre-mujer, etc., egros-marroes-verdes-azules so las modaldades de los caracteres sexo, edad y color de ojos, respectvamete. Las modaldades Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

8 de u carácter ha de ser exhaustvas y excluyetes, es decr, cada dvduo de la poblacó debe presetar ua y sólo ua de esas modaldades. Los caracteres se puede clasfcar e cualtatvos y cuattatvos: Caracteres cualtatvos o atrbutos so aquellos cuyas modaldades o so medbles, por ejemplo, el sexo, el color de ojos, el vel de estudos, la profesó, el estado cvl, el grupo saguíeo, la acoaldad, el vel soco-ecoómco, etc. sería caracteres cualtatvos de ua persoa. Auque los caracteres cualtatvos o se puede medr umércamete, su formacó puede ver dada e escala omal o e escala ordal. Se dce que la formacó relatva a u carácter vee dada e escala omal s etre las dsttas modaldades o categorías (o umércas) o se puede establecer gú orde atural, por ejemplo: sexo, color de ojos, profesó, estado cvl, grupo saguíeo, acoaldad, etc. Por el cotraro, e ua escala ordal sí es posble establecer u orde o graduacó etre las dsttas modaldades del carácter, por ejemplo: vel de estudos (prmara-secudara-bachllerato-uverstarospostgrado), vel soco-ecoómco (bajo-medo-alto), etc. Caracteres cuattatvos so aquellos cuyas modaldades so medbles umércamete, es decr, a cada modaldad se le asga u úmero de forma atural. Por ejemplo, la edad, la estatura o el peso de ua persoa, el úmero de empleados de ua empresa, el tamaño de u mucpo, etc. Varable estadístca o aleatora. E geeral, ua varable estadístca es la represetacó matemátca de u carácter. Las varables estadístcas se suele represetar medate las letras, Y, Z, etc. El térmo varable se refere a que camba de valor segú el dvduo que se observe y el térmo aleatora a que el valor observado varía e fucó de ua fucó de dstrbucó de probabldad, que puede ser coocda o o. Ua varable estadístca podrá tomar tatos valores como modaldades presete el carácter correspodete. Los valores de ua varable se represetará medate {x ;x ; } los de ua varable Y medate {y ;y ; }, y así sucesvamete. Atededo a la clasfcacó de los caracteres establecda aterormete, las varables estadístcas se clasfca asmsmo e: Varables estadístcas cualtatvas: represeta caracteres cualtatvos y tee u tratameto bastate especal. Su formacó puede ver dada e escala omal u ordal. Varables estadístcas cuattatvas: represeta caracteres cuattatvos y puede ser: Dscretas: so aquellas que sólo puede tomar valores aslados (e úmero fto o fto umerable), ormalmete eteros (por ejemplo: úmero de hjos de ua famla, úmero de alumos e ua facultad, etc.). Cotuas: so las que, e geeral, puede tomar cualquer valor real detro de u tervalo (por ejemplo: el peso o la estatura de ua persoa, la temperatura de u cuerpo, la velocdad de u móvl, etc.) Notemos que, co frecueca, la dstcó etre estos dos tpos de varables es más teórca que práctca, e el setdo de que ua msma varable puede ser cosderada dscreta o cotua, depededo de la precsó de los aparatos de medda. Así, muchas varables cotuas será tratadas como dscretas y vceversa. Probabldad: s u suceso puede ocurrr de maeras mutuamete excluyetes e gualmete verosímles, y s a de éstas posee u atrbuto A, la probabldad de A es la fraccó a/ (Mood y Graybll, 978). Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

9 . Itroduccó a las fucoes estadístcas e ECEL. E este tema se va a troducr u cojuto de aplcacoes de Excel útles para realzar ejerccos de Estadístca: fucoes estadístcas, gráfcos, tablas dámcas y las herrametas para el aálss de datos... Fucoes e Excel Ua fucó es ua fórmula defda e Excel, que usaremos para realzar operacoes complejas sobre valores umércos, de texto o de otro tpo. Podremos aplcar fucoes a datos ubcados e celdas dvduales o cojutos de datos (flas, columas, matrces). Ua fucó sempre devuelve u valor, que puede ser u texto, u úmero o u valor lógco. Podemos utlzar fucoes escrbedo drectamete ua expresó o be utlzado el asstete, ua vez poscoados e la celda e la que deseamos que aparezca el resultado de la fucó. Veamos u ejemplo de escrtura drecta de ua fucó: supogamos que deseamos calcular la suma de las catdades que fgura e la columa A, fla 0, columa B desde la fla 5 hasta la 0, y las costates 50 y 37, y que este resultado aparezca e la celda A0. Para ello, hacemos clc sobre la celda A0 y escrbmos SUMA(A0;B5:B0;50;37) Los argumetos de ua fucó puede ser costates, varables, ragos de celdas u otras fucoes o expresoes, sempre y cuado su resultado sea u valor del msmo tpo que el argumeto requerdo. Los argumetos de ua fucó se separa por puto y coma. S utlzamos el asstete de fórmulas os aparecerá el cuadro de dálogo Isertar fucó. Las fucoes se ecuetra agrupadas por categorías, que podemos ver e la lsta desplegable, o be podemos utlzar la búsqueda para localzar la fucó que os teresa. Para cada ua de las fucoes, Excel dspoe de u texto de ayuda co la descrpcó de la fucó, de sus argumetos y ejemplos de uso. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

10 Ua vez seleccoada la fucó, e la sguete patalla troducremos los argumetos de la msma, escrbédolos drectamete o seleccoado ragos de celdas Excel 003 dspoe de 80 fucoes estadístcas para cálculo de meddas de tedeca cetral, dspersó y forma, para seres de datos, así como dstrbucoes de probabldad, recuetos y valores del estadístco e cotrastes de hpótess. E este curso veremos como aplcar las más habtuales para obteer ua descrpcó de uestros datos... Gráfcos Excel permte crear gráfcos a partr de los datos cotedos e u lbro. Los gráfcos permte vsualzar la formacó de la hoja para poder comparar datos y deducr coclusoes. TIPOS DE GRÁFICOS COLUMNAS: Muestra los cambos que ha sufrdo los datos e el trascurso de u período de tempo. BARRAS: Ilustra las comparacoes etre elemetos dvduales. LÍNEAS: Muestra las tedecas de los datos a tervalos temporales y compara categorías. CIRCULAR: Muestra el tamaño proporcoal de los elemetos que coforma u todo. GRÁFICO Y O DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: Muestra las relacoes etre valores umércos de varas seres de datos. ÁREAS: Destaca la magtud de los datos e el trascurso del tempo. ANILLOS: Al gual que u gráfco crcular muestra la relacó de las partes co u todo, auque puede coteer más de ua sere de datos. RADIALES: Compara los valores de seres de datos. Cada categoría tee su propo eje de valores. Las líeas coecta todos los valores de las msmas seres. SUPERFICIE: So útles para coocer las combacoes óptmas (máxmos o mímos) etre dos cojutos de datos. BURBUJAS: Es u gráfco de dspersó pero co tres varables. COTIZACIONES: Se utlza para lustrar la cotzacó de accoes. Requere etre tres y cco seres de datos (máxmo, mímo y cerre; apertura, máxmo, mímo y cerre; volume, máxmos, mímos y cerre; volume, apertura, máxmo, mímo y cerre). CÓNICOS, CILÍNDRICOS Y PIRAMIDALES: So equvaletes a los gráfcos de columas y barras, cambado úcamete la presetacó. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

11 ELEMENTOS DE UN GRÁFICO Marca de graduacó Eje de valores Área del gráfco Resume de gastos Este año Pasado año Título Leyeda del gráfco Área de trazado Rótulos de datos Líeas de dvsó 0 Persoal Alquler Vajes Sumstros Eje de categorías Seres de datos CREAR UN GRÁFICO Seleccoamos el rago de datos que vamos a represetar y pulsamos el asstete de gráfcos o e el meú Isertar seleccoamos Gráfco. Seleccoamos el tpo de gráfco, para cada categoría de gráfco se os ofrece u subtpo. E la fcha Tpos persoalzados podemos ecotrar gráfcos combacó de dos tpos de gráfcos, por ejemplo, líeas y columas, y gráfcos co dseños más vstosos. E el º paso del asstete s o he especfcado el rago de datos o está mal podemos seleccoarlo e la fcha Rago de datos pulsado el coo, que cotrae el cuadro de dálogo para poder seleccoar de la hoja el rago de datos y seleccoamos s los datos queremos represetarlos e flas o columas. E la fcha Sere seleccoamos el rago dode se ecuetra los datos y ombres de las seres de datos y el rago de los rótulos de los ejes de categoría. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

12 E el 3 er paso del asstete añadmos y damos formato a Títulos, Eje, Líeas de dvsó, Leyeda, Rótulos de datos y Tabla de datos. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

13 E el últmo paso del asstete elegmos la ubcacó del gráfco..3. Tablas y gráfcos dámcos Ua tabla dámca cosste báscamete e ua agrupacó de ua o varas seres de datos desagregados, de forma que obtegamos ua vsta resumda de los msmos. Co las tablas dámcas o solamete podremos elaborar cas cualquer tpo de forme que ecestemos, so que además podremos actualzar automátcamete los msmos a medda que dspogamos de uevos datos. Los formes de tablas y gráfcos dámcos costtuye potetes herrametas para la elaboracó de publcacoes o formes. Para crear ua tabla dámca, acudremos al meú Datos -> Iforme de tablas y gráfcos dámcos Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

14 El Asstete os guará e tres pasos e el proceso de creacó del forme. E prmer lugar especfcaremos la ubcacó de los datos y el tpo de forme que vamos a geerar. A cotuacó, marcamos el rago de celdas que cotee los datos Por últmo dcamos dode vamos a stuar la tabla dámca Ua vez hecho esto, la tabla se muestra s cotedos. Debemos especfcar e qué poscó de la tabla se presetará los datos agregados. Para ello, seleccoaremos cada uo de los elemetos de la lsta y lo agregaremos a ua de las áreas de flas, columas, datos o pága. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

15 Destacar que la opcó Área Pága os permte seleccoar otro campo, de forma que la tabla mostrará los datos para cada valor del campo que se ha especfcado e Pága, pero sólo uo cada vez. Hay u botó por cada título o campo de la base, esos botoes se arrastra a: Pága: S queremos que el elemeto se presete de maera dvdual, por págas. Fla: Muestra los datos como cabecera de las flas. Columas: muestra los datos como cabecera de columa. Área de datos: Sempre será las columas o campos que tega datos umércos, ya que co ellos se realza los cálculos, por defecto la suma. Dspoemos de las sguetes fucoes de agregacó de los datos: - Suma - Cueta - Promedo - Máxmo - Mímo - Producto - Cotar úmeros - Desvacó típca - Desvacó típca de la poblacó - Varaza - Varaza poblacoal E el ejemplo se ha elegdo para las columas las varables AÑO y MUNICIPIO, y para las flas las varables GRUPO_EDAD y SEO. Como valor agregado se ha añaddo la suma de POBLACION. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

16 Ua vez creada la tabla, podemos modfcarla medate las sguetes accoes, dspobles e el meú que aparece cuado hacemos clc co el botó derecho del rató sobre la tabla: - Crear u gráfco dámco, a partr de los datos de la tabla - Ejecutar el asstete para modfcar el dseño o las opcoes de la tabla - Actualzar los datos desde el orge. Esta opcó es especalmete útl s los datos procede de ua base de datos extera, puesto que os permtrá actualzar el forme s teer que realzar los pasos prevos de mportar los datos desde la fuete - Seleccoar u cojuto de flas o columas para ocultar/mostrar el detalle o agregar y desagregar elemetos - Especfcar la fucó o fucoes de agregacó que aplcamos e el área de datos Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

17 - Opcoes geerales de tabla: título, formato, totales sí o o, tratameto de valores erróeos o ulos, etc. - - Ocultar/mostrar la barra de herrametas y la lsta de campos de la tabla dámca.4. Las macros Aálss de datos para el tratameto estadístco Los prcpales desarrollos estadístcos que cotee la hoja de cálculo de Excel 003 se ecuetra e el meú Herrametas -> Aálss de datos. E caso de o ecotrar esta opcó actvada e uestro ordeador etoces tedremos que cargar la macro Herrametas para aálss desde el apartado Complemetos, tal como se muestra e la fgura sguete. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

18 Ua vez cargada la macro las posbldades de efectuar aálss y operacoes estadístcas so umerosas. Muchas de estas posbldades que se rá desarrollado a lo largo del curso. A cotuacó ofrecemos ua breve descrpcó de los compoetes de la macro Aálss de Datos, esta es la que aparece e la opcó ayuda que corpora la hoja de cálculo ECEL: a) Aálss de varaza de u factor Realza u aálss smple de varaza para comprobar la hpótess segú la cual dos o más muestras so guales (extraídas de poblacoes co la msma meda). Esta técca profudza e las pruebas para dos medas, por ejemplo, la prueba t. El ANOVA, creado por R.A. Fsher e 95 para resolver dversos problemas agrícolas, tee por objetvo descompoer la varabldad de los datos asocados a u expermeto e compoetes depedetes, las cuales so asgables a dsttas causas. b)aálss de varaza de dos factores co varas muestras de grupo Realza ua extesó del aálss de varaza de u factor co más de ua muestra por cada grupo de datos. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

19 c) Aálss de varaza de dos factores co ua sola muestra por grupo Realza u aálss de dos factores co ua sola muestra por grupo que comprueba la hpótess segú la cual las medas de dos o más muestras so guales (extraídas de poblacoes co la msma meda). Esta técca profudza e las pruebas para dos meddas como, por ejemplo, la prueba t. d) Coefcete de correlacó Mde la relacó etre dos cojutos de datos que ha sdo calculados e escala para ser depedetes de la udad de medda. El cálculo de la correlacó de poblacó devuelve la covaraza de dos cojutos de datos dvdda por el producto de sus desvacoes estádar. Podrá utlzar la herrameta Coefcete de correlacó para determar s dos cojutos de datos varía cojutamete, es decr, s los valores altos de u cojuto está asocados co los valores altos del otro (correlacó postva), s los valores bajos de u cojuto está asocados co los valores bajos del otro (correlacó egatva) o s los valores de ambos cojutos o está relacoados (correlacó tede a cero). Covaraza Devuelve el promedo del producto de desvacoes de putos de datos partedo de las medas respectvas. La covaraza es ua medda de la relacó etre dos ragos de datos. Podrá utlzar la herrameta Covaraza para determar s dos ragos de datos varía cojutamete, es decr, s los valores altos de u cojuto está asocados co los valores altos del otro (correlacó postva), s los valores bajos de u cojuto está asocados co los valores bajos del otro (correlacó egatva) o s los valores de ambos cojutos o está relacoados (correlacó tede a cero). Estadístca descrptva Geera u forme de estadístcas de ua sola varable para datos del rago de etrada, y proporcoa formacó acerca de la tedeca cetral y dspersó de los datos. Suavzacó expoecal Predce u valor basádose e el proóstco correspodete al período ateror, ajustado al error de dcho proóstco. Utlza la costate de suavzacó a, cuya magtud determa la exacttud co la que los proóstcos respode a errores del proóstco ateror. Prueba F para varazas de dos muestras Realza ua prueba F de dos muestras para comparar las varazas de dos poblacoes. Por ejemplo, puede utlzar ua prueba F para determar s los tempos de ua carrera de atletsmo dfere e la varaza de las muestras de dos corredores. Aálss de Fourer Resuelve problemas de sstemas de líeas y aalza datos peródcos, trasformádolos medate el método Fast Fourer Trasform (FFT). Esta herrameta també realza trasformacoes versas, e las que el verso de los datos trasformados devuelve los datos orgales. Hstograma Calcula las frecuecas dvduales y acumulatvas de ragos de celdas de datos y de clases de datos. Geera datos acerca del úmero de aparcoes de u valor e u cojuto de datos. Por ejemplo, e ua clase co 0 alumos se desea obteer la dstrbucó de Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

20 calfcacoes medate ua categoría de putuacó por letras. Ua tabla de hstograma presetará los límtes de las calfcacoes por letras así como el úmero de calfcacoes que hay etre el límte más bajo y el actual. La calfcacó más frecuete es la moda de los datos. Meda móvl Proyecta valores e el período proostcado, basádose e el valor promedo de la varable calculada durate u úmero específco de períodos aterores. Ua meda móvl proporcoa formacó de tedecas que quedaría emascarada por ua smple meda de todos los datos hstórcos. Utlce esta herrameta para proostcar vetas, vetaros u otras tedecas. Geeracó de úmeros aleatoros Llea u rago co úmeros aleatoros depedetes extraídos de uo de varas dstrbucoes. Podrá utlzar esta herrameta para caracterzar a los sujetos de ua poblacó co ua dstrbucó de probabldades. Por ejemplo, puede utlzar ua dstrbucó ormal para caracterzar la poblacó de estatura de las persoas, o utlzar ua dstrbucó de Beroull co dos resultados posbles para caracterzar la poblacó de resultados cuado se laza ua moeda al are. Jerarquía y percetl Crea ua tabla que cotee los ragos ordales y porcetuales de cada valor de u cojuto de datos. Podrá utlzar este procedmeto para aalzar la mportaca relatva de los valores e u cojuto de datos. Regresó Realza u aálss de regresó leal utlzado el método de mímos cuadrados para ajustar ua líea a u cojuto de observacoes. Podrá utlzar esta herrameta para aalzar la forma e que ua sola varable depedete se ve afectada por los valores de ua o más varables depedetes, por ejemplo, varos factores cde e el redmeto de u atleta, etre ellos la edad, la altura y el peso. Basádose e u cojuto de datos acerca del redmeto, la regresó determa la parte de cada uo de los factores e las meddas de redmeto. Los resultados de la regresó podrá utlzarse etoces para predecr el redmeto de u atleta uevo o sometdo a prueba. Muestra Crea ua muestra de la poblacó tomado los datos del rago de etrada como poblacó. Es posble utlzar ua muestra e lugar de toda la poblacó cuado ésta sea demasado grade para procesarla o para presetarla gráfcamete. Además, s cree que los datos de etrada so peródcos, puede crear ua muestra que cotega sólo los valores de ua parte determada de u cclo. Por ejemplo, s el rago de etrada cotee cfras de vetas trmestrales, la muestra realzada co ua tasa peródca de 4 permtrá colocar los valores del msmo trmestre e la tabla de resultados. Prueba t para medas de dos muestras emparejadas Realza ua prueba t de Studet e dos muestras emparejadas para determar s las medas de ua muestra so dsttas. E este tpo de prueba o se supoe que las varazas de ambas poblacoes sea guales. Puede utlzar la prueba emparejada cuado exsta u par de observacoes de las muestras, por ejemplo, cuado u grupo de muestra se somete dos veces a prueba, ates y después de u expermeto. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

21 Prueba t para dos muestras supoedo varazas guales Realza ua prueba t de Studet e dos muestras. E este tpo de prueba se supoe que las varazas de ambos ragos so guales, y se cooce co el ombre de prueba t homoscedástca. Se emplea para determar s las medas de dos muestras so guales. Prueba t para dos muestras supoedo varazas desguales Realza ua prueba t de Studet e dos muestras. E este tpo de prueba se supoe que las varazas de ambos ragos so desguales, y se cooce co el ombre de prueba t heteroscedástca. Utlícela para determar s las medas de dos muestras so guales y a partr de qué mometo se dfereca los grupos sometdos a estudo. Utlce ua prueba emparejada cuado exsta u grupo ates del tratameto y después de él. Prueba z para medas de dos muestras Realza ua prueba z e las medas de dos muestras co varazas coocdas. Esta herrameta se emplea para comprobar las hpótess acerca de la dfereca exstete etre las medas de dos poblacoes, por ejemplo, puede utlzarla para estudar las dferecas e el redmeto de dos modelos de vehículos. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

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23 3.- Aálss de dstrbucoes 3..- Itroduccó E este tema y los sguetes se va a troducr téccas estadístcas para ua sola varable, es decr, que co lo que se va a tratar es ua sere de valores {x, x,, x } que se habrá obtedo de medr ua varable e ua sere de dvduos. S la sere correspode a ua varable medda e u dvduo a lo largo del tempo tedremos ua sere temporal, y s es ua varable medda e dversas localzacoes geográfcas tedremos ua sere espacal. Estas dos últmas, auque se les puede aplcar alguas de las téccas explcadas, o costtuye el objetvo de este capítulo Dstrbucoes de frecuecas udmesoales Tablas de Frecuecas e varables cualtatvas o cuattatvas dscretas. Ua vez que se tee los datos de ua varable hay que ordearlos y resumrlos. Ua forma de hacerlo es agrupar los valores guales y cotar las veces que se repte cada uo de ellos. E varables cualtatvas o cuattatvas dscretas esta es la forma habtual de proceder, e varables cuattatvas cotuas se procederá prmero a ua agrupacó de los datos. Las defcoes de los dsttos tpos de frecuecas se da a cotuacó: Frecueca absoluta: Llamaremos así al úmero de repetcoes que preseta ua observacó. Se represeta por. Frecueca relatva: Es la frecueca absoluta dvdda por el úmero total de datos, se suele represetar por f. Propedad: La suma de todas las frecuecas relatvas, sempre debe ser gual a la udad. S la varable que se está tratado es cualtatva ordal o be cuattatva se puede defr otros dos tpos de frecuecas. Este tpo de frecuecas se puede calcular para varables cualtatvas omales, pero e ese caso el setdo de las msmas es escaso, ya que o exste u orde atural para los valores de este tpo de datos. f Frecueca absoluta acumulada: Es la suma de los dsttos valores de la frecueca absoluta tomado como refereca u dvduo dado. La últma frecueca absoluta acumulada es gual al º de casos: Supoedo que hay k valores dsttos N N + N k k- + k Frecueca relatva acumulada: es el resultado de dvdr cada frecueca absoluta acumulada por el úmero total de datos, se la suele represetar co la otacó: F Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

24 c L L De gual forma, també se puede defr a partr de la frecueca relatva, como suma de los dsttos valores de la frecueca relatva, tomado como refereca u dvduo dado. La últma frecueca relatva acumulada es gual a la udad. Tabla de frecuecas para ua varable dscreta. La ordeacó e la tabla, será: x N f F x N f F x N f F x 3 3 N f 3 Σ N Tabla de frecuecas para varable cotua: recorrdo, tervalo, ampltud, marca de clase, desdad de frecueca. Cuado os ecotramos co ua dstrbucó co u gra úmero de valores, se suele agrupar e tervalos para facltar la compresó de los datos. Esta práctca tee e cambo u coveete: se perde formacó sobre la propa dstrbucó. [L -, L ) Se dca por L - al extremo feror del tervalo y por L al extremo superor. Cerramos el tervalo por la zquerda y abrmos por la derecha. Es ua maera de orgazarse, pudedo ser al cotraro. Para operar utlzaremos la marca de clase, el puto medo de u tervalo. Para calcularla podemos defrla como la semsuma de los valores extremos del tervalo, esto es sumar los extremos, y dvdr etre. La ampltud del tervalo, sería la logtud del tervalo, se represeta por: a L - L - NOTA: Cómo obteer, a partr de los datos, ua tabla de frecuecas agrupada? Nº de tervalos: A partr de la raíz cuadrada del úmero de datos redodeado podemos obteer el úmero de tervalos. Recorrdo: Valor mayor, meos valor meor de los datos. Re x -x Ampltud: Dvsó etre el Recorrdo y el úmero de tervalos que hayamos decddo. Se puede redodear també. Re a Nº de tervalos NOTA: S los tervalos o so de la msma ampltud hay que calcular la desdad de frecueca del tervalo -ésmo, como el cocete etre el úmero total de observacoes de u tervalo y la ampltud del msmo d a Ejemplos Ejemplo El gobero desea averguar s el úmero medo de hjos por famla ha desceddo respecto de la década ateror. Para ello ha ecuestado a 50 famlas respecto al úmero de hjos, y ha obtedo los sguetes datos: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

25 Se pde: a) Cuál es la poblacó objeto de estudo? b) Qué varable estamos estudado? c) Qué tpo de varable es? d) Costrur la tabla de frecuecas? e) Cuál es el úmero de famlas que tee como máxmo hjos? f) Cuátas famlas tee más de hjo, pero como máxmo 3? Qué porcetaje de famlas tee más de 3 hjos? Solucó: a) La poblacó objeto de estudo es el cojuto de famlas de u determado país. b) La varable que estamos estudado es el úmero de hjos por famla c) El tpo de varable es dscreta ya que el úmero de hjos solo puede tomar determados valores eteros (es mposble teer medo o u cuarto de hjo). d) Para costrur la tabla de frecuecas teemos que ver cuatas famlas tee u determado úmero de hjos. Podemos ver que el úmero de hjos, toma los valores exstetes etre 0 hjos, los que meos y 6 hjos, los que más y tedremos: x N f F 0 0,04 0, ,08 0, 7 0,4 0, ,30 0, , 0, ,0 0, ,04 N 50 e) El úmero de famlas que tee dos o meos hjos es: f) El úmero de famlas que tee más de u hjo pero tres como máxmo es: Por últmo el porcetaje de famlas que tee más de tres hjos, so aquellos que tee 4; 5 y 6 es decr El porcetaje será el tato por uo multplcado por ce es decr, la frecueca relatva de dchos valores multplcado por 00: ( 0,+0,0+0,0)* 00 0, % Ejemplo U uevo hotel va a abrr sus puertas e certa cudad. Ates de decdr el preco de sus habtacoes, el gerete vestga los precos por habtacó de 40 hoteles de la msma categoría de esa cudad. Los datos obtedos e euros fuero Se pde: 3,4 8,, 33,6 5,8 9, ,6 30,6 7 3,8 3,4 5, , 30,6 5, 6,4 34,8 9,8 5,8 4,6 34,8 6,4 8,8 36,6 5,8 3, ,4 3,4 8, 9,8 7 8, 5, 7 8,8 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

26 a) Cuál es la poblacó objeto de estudo? b) Qué varable estamos estudado? c) Qué tpo de varable es? d) Qué problema platea la costruccó de la tabla de frecuecas? e) Cuáto hoteles tee u preco etre 9 y euros? f) Cuáto hoteles tee u preco superor a 8? g) Qué porcetaje de hoteles cuesta como mucho 5? SOLUCIONES: a) La poblacó objeto de estudo so los hoteles de ua cudad. b) La varable que estamos estudado es el preco. c) El tpo de varable es cotua. d) El problema que platea es que exste muchos valores dferetes. Por tato es coveete agrupar la sere e tervalos. La maera de hacerlo sería la sguete: prmero, calculamos el recorrdo Re x x 36,6 9,8 6,8 Cuado o se os dce ada sobre el º de tervalos a tomar, éste se suele obteer calculado la raíz cuadrada del º de datos observado. Veremos que la raíz cuadrada de 40 es gual a 6,3 por lo tato tomaremos 6 tervalos, que es el etero más próxmo. Como el recorrdo es 6,8, s lo dvdmos por el º de tervalos tedremos la ampltud de cada uo de ellos y así: 6,8/6,8. Tomaremos 3 como ampltud del tervalo, puesto que resulta más secllo y claro operar co eteros y, puesto que la eleccó del úmero y ampltud de los tervalos se deja a crtero del vestgador, sempre preferremos la opcó más smple. [L -,, L ) N f F [9 - ) 0,05 0,05 [ - 5) 6 8 0,5 0, [5-8) 0 0,3 0,5 [8-3) 3 0,75 0,775 [3-34) , 0,875 [34-37) ,5 N 40 e) f) 0 g) %F *000,* Prmeros Gráfcos estadístcos. Para aprecar a golpe de vsta la magtud o poscó de las varables, se suele efectuar ua represetacó gráfca, los sstemas de gráfcos más usuales so: Dagrama de putos Este tpo de represetacó se suele utlzar co varables cuattatvas cotuas, y cosste e represetar sobre ua recta los valores obtedos. Permte aprecar la dstrbucó de los datos a lo largo de su recorrdo Dagrama de tallo-hojas Este tpo de dagrama permte vsualzar la dstrbucó de ua varable umérca. S se tee los datos: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

27 El dagrama es el sguete: E la parte zquerda está el prmer dígto de los datos (puede ser o más dígtos). E la parte derecha se ecuetra el dígto fal, de forma que cada dígto correspode a u valor (podría ser també grupos de dos o más dígtos). Dagrama de barras Se utlza para frecuecas absolutas o relatvas, acumuladas o o, de ua varable. E el eje horzotal, stuaremos los dferetes valores de la varable. E el eje vertcal la frecueca. Levataremos barras o columas separadas de altura correspodete a la frecueca adecuada a b c d e Las barras se podría dbujar e horzotal. e d c b a Este tpo de dagramas se puede utlzar para cualquer tpo de varables, pero para varables cotuas se ha de agrupar e clases. Dagrama de sectores El área de cada sector es proporcoal a la frecueca que se quera represetar, sea absoluta o relatva. Para calcularlo podemos decr que el área depede del águlo cetral, medate la sguete proporcó: /Nα/360 Como resulta /N f, tedremos que α *360 f Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

28 % 0% 9% 4% a b c d e 36% Este tpo de dagramas se puede utlzar para cualquer tpo de varables, pero para varables cotuas se ha de agrupar e clases. Hstograma Cuado la varable es cotua se puede utlzar u hstograma para su represetacó. E este caso se dbuja rectágulos cuya base correspode a la ampltud del tervalo (clase) y de forma que el área del rectágulo correspode a la frecueca relatva de la clase. Frecueca Los tervalos puede o ser guales: x Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

29 Frecueca x Polígoo de frecuecas Es la recta que ue los extremos superores de u dagrama de barras (que o se dbuja ormalmete), o be los putos cetrales de la base superor de los rectágulos de u hstograma a b c d e Dagramas co frecuecas acumuladas So dagramas de barras o polígoos de frecuecas e los que se emplea las frecuecas acumuladas Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

30 Pctograma Se suele utlzar para expresar u atrbuto. Se suele utlzar coos que se detfque co la varable (ejemplo u pez) y su tamaño suele guardar relacó co la frecueca Cartograma Se represeta la formacó medate u dagrama covecoal sertado e u mapa. Este tpo se aplca a varables e la que los dvduos so regoes geográfcas. S las frecuecas o el valor de la varable se represeta co colores teemos lo que se llama u mapa temátco. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

31 Más de 9 ( 7 9 ] ( 3 7 ] ( 3 ] hasta (0) () (4) () () Se puede també represetar barras co las frecuecas e cada ua de las zoas,o be dagramas de sectores o cualquer otro Meddas de poscó e ua dstrbucó de frecuecas udmesoal Itroduccó E este tema y el sguete vamos a obteer uos úmeros que cuatfque las propedades fudametales de la dstrbucó de frecuecas. Estos úmeros podemos clasfcarlos e: Meddas de localzacó (poscó). So coefcetes de tpo promedo que trata de represetar la stuacó ua determada dstrbucó, puede ser de dos tpos:.-cetrales: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

32 -Medas: Artmétca Geométrca Armóca -Medaas -Moda.-No cetrales: -Cuatles: Cuartles Decles Cetles o percetles Meddas de dspersó: So complemetaras de las de poscó e el setdo que señala la dspersó e cojuto de todos los datos de la dstrbucó respecto de la medda o meddas de localzacó adoptadas. Meddas de forma: Estuda la asmetría-smetría y deformacó (aputameto, aplastameto) respecto de ua dstrbucó modelo deomada dstrbucó NORMAL Meddas de cocetracó: Estuda la cocetracó de ua dstrbucó frete a la uformdad. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

33 Meddas de cetralzacó. MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la varable dvdda etre el úmero total de elemetos. x + x + x +... x + x 3 x S el valor x de la varable se repte veces, aparece e la expresó de la meda artmétca de la forma: x, Como f otra posble expresó será N x f Ejemplo: S teemos la sguete dstrbucó, se pde hallar la meda artmétca, de los sguetes datos expresados e kg. x x x 60 60, 0 kg NOTA: A la meda artmétca se la deoma també CENTRO DE GRAVEDAD de la dstrbucó. S la varable esta agrupada e tervalos (varable cotua), se asga las frecuecas a las marcas de clase y se procede como s la varable fuera dscreta. E el futuro cosderaremos dsttamete c x Ejemplo: [L -,L ) x c c [30, 40) [40, 50) [50, 60) x Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

34 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: E ocasoes o todos los valores de la varable tee el msmo peso. Esta mportaca que asgamos a cada varable, es depedete de la frecueca absoluta que tega. Será como u aumeto del valor de esa varable, e tatas veces como cosderemos su peso. Es la meda artmétca que se utlza cuado a cada valor de la varable (x ) se le otorga ua poderacó o peso dstto de la frecueca o repetcó. Para poder calcularla se tedrá que teer e cueta las poderacoes de cada uo de los valores que tega la varable Se la suele represetar como: w Sedo w la poderacó de la varable x y x w w w la suma de todas las poderacoes. Ejemplo: U estudate realza 3 exámees de complejdad crecete, obteedo los sguetes resultados: 5, 8 y 7. El prmer exame lo hzo e ½ hora, el segudo e hora y el tercero e hora y meda, por lo que se les atrbuye ua poderacó de, y 3 respectvamete. Se pde calcular la ota meda. W x w N 6 4 S calculamos la meda artmétca tedremos que : x ,67 3 Ahora be, s calculamos la meda poderada, obtedremos: x w ( x ) ( x ) ( x ) ( + + ) Propedades de la meda artmétca PROPIEDAD : La suma de las desvacoes de los valores de la varable co respecto a la meda artmétca es 0. Veamos que resulta al operar la sguete expresó: ( x ). Tedremos que ( ) ( ) ( ) ( x ) ( x ) x x x x x. 0 0 PROPIEDAD : La meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable co respecto a ua costate cualquera se hace míma cuado dcha costate cocde co la meda artmétca (Teorema de KÖRING). ( ) D k ( ) ( ) x k x x prop 0 0 x Para k (meda artmétca) el valor de las desvacoes será míma. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

35 PROPIEDAD 3: S a todos los valores de la varable se le suma ua msma catdad, la meda artmétca queda aumetada e dcha catdad: Supogamos que teemos ua varable x de la que coocemos su meda. Supogamos ahora que teemos otra varable, que se calcula a partr de la ateror de la sguete forma: y x k +. S ahora queremos calcular la meda de esta seguda varable: y ( + ) ( + ) + x k x k x k x k y + x k x + + k como x s susttumos tedremos Y + k PROPIEDAD 4: S todos los valores de la varable se multplca por ua msma costate la meda artmétca queda multplcada por dcha costate. La demostracó se realzaría de maera aáloga a la ateror. NOTA: De las dos propedades aterores se deduce que la resta y la dvsó se realzaría de gual maera para la propedad 3 y 4 respectvamete. Corolaro: S ua varable es trasformacó leal de otra varable (suma de u úmero y multplcacó por otro), la meda artmétca de la ª varable sgue la msma trasformacó leal co respecto a la meda artmétca de la ª varable, sedo y a x + b, dode a y b so úmeros reales: y ( ax + b) ( ax + b ) a x b y + ax + b Podemos utlzar esta metodología para calcular la meda de la sguete dstrbucó S efectuamos u cambo de varable valor más cetrado, tedremos: y x tomado como ueva varable el x y y ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ y 3 y 7 9 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

36 x y, etoces x y , , 9 Como Sedo PROPIEDAD 5: - S e u cojuto de valores se puede obteer ó más subcojutos dsjutos, la meda artmétca del cojuto se relacoa co la meda artmétca de cada uo de los subcojutos dsjutos de la sguete forma: N I x N x la meda de cada subcojuto y N el úm. de elemetos de cada subcojuto. Veamos la demostracó de la propedad: Sea la dstrbucó x, x,, x, x +, x +,,x k, observado que habría como dos subcojutos de y k- elemetos cada uo. S cosderamos la meda artmétca de la dstrbucó: para los dos subcojutos, la expresó de la meda quedaría: k k x + x x x + j j r r j j r r j r + j r + x y calculamos los sumatoros S multplcamos umerador y deomador de cada ua de las fraccoes por ua msma catdad el resultado o varía, por tato, multplcaremos la prmera por N que es su úmero de elemetos del prmer subcojuto y la seguda por N que es el correspodete, la expresó quedará: N k j r + x N N j x rj jr j + N x k N x r r + r N expresar de la sguete maera: j x N j j N + j x N j j como j x N j j x so la meda del prmer y segudo subcojuto, la expresó la podemos N N N + N + que es lo que queríamos demostrar ya que s las frecuecas se multplca o dvde por u msmo úmero, la meda o varía IMPORTANTE: Hay que teer e cueta que la meda artmétca es muy sesble a los valores extremos, es decr, a valores umércos muy dferetes, (tato por lo grades, o pequeños que sea), al resto de la muestra. Esto puede resultar u problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más adelate. y Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

37 MEDIA GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA. Meda geométrca: Respode a la sguete expresó G x x x x k... 3 k y se la puede defe, como la raíz -ésma del producto de todos los valores de la varable. També la podemos represetar como: 3 ( 3... k G x x x x k ) NOTA: E muchas ocasoes, los valores de la dstrbucó os mpde poder efectuar los cálculos al exceder la capacdad de la calculadora. Utlzaremos las propedades de los logartmos: lg (a.b) lg a + lg b lg a lg a 3 k 3 k 3 k 3 k lg G lg( x x x... x ) lg( x x x... x ) (lg lg lg 3... lg k ) x + x + x3 + + x k sabedo que lo podemos expresar e otacó compacta: lg ( lg lg 3 lg 3... lg ) x x + x + x + + k xk lg G decr que G at lg lg x Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral, por lo que podemos El logartmo de la meda geométrca es la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable. El problema se preseta cuado algú valor es 0 ó egatvo y expoete de la raíz par ya que o exsta raíz par de u úmero egatvo. Suele utlzarse cuado los valores de la varable sgue ua progresó geométrca. També para promedar porcetajes, tasas, º ídces, etc. sempre que os vega dados e porcetajes. Ejemplo: Hallar la meda geométrca de la sguete dstrbucó: lg x lg G x N por lo tato será coveete amplar la tabla co lo que os quedará x lg x lg x 00 0 lg lg , lg , lg ,

38 lg x 45, lg G, 056 G at lg.,0555 3,63 Meda armóca. La represetaremos como H: Es la versa de la meda artmétca de las versas de los valores de la varable, respode a la sguete expresó: H x x x x 3... Se utlza para promedar velocdades, tempos, redmeto, etc. (cuado fluye los valores pequeños). Su problema: cuado algú valor de la varable es 0 o próxmo a cero o se puede calcular. Ejemplo: calcular la meda armóca de la sguete dstrbucó: x N Para poder hallarla, es ecesaro que calculemos el verso de x y el verso de la frecueca por lo que amplaremos la tabla co columas adcoales: x /x /x 00 0 / / / / N x 50 H,8 4, 545 0,95 x Etre la meda artmétca la meda geométrca y meda armóca se da sempre la sguete relacó: H G MEDIANA: Me La medaa o valor medao será el valor de la varable que separa e dos grupos los valores de las varables, ordeadas de meor a mayor. Por tato es ua catdad que os dca orde detro de la ordeacó. El lugar que ocupa se determa dvdedo el º de valores etre : Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

39 Cuado hay u úmero mpar de valores de la varable, la medaa será justo el valor de orde cetral, aquel cuya frecueca absoluta acumulada cocda co. Es decr: N < N Me x. Por tato la medaa cocde co u valor de la varable. El problema está cuado haya u úmero par de valores de la varable. S al calcular resulta que es u valor meor que ua frecueca absoluta acumulada, el valor de la medaa será aquel valor de la varable cuya frecueca absoluta cumpla la msma codcó ateror: N < N Me x. Por el cotraro s cocde que x + x + Me medaa realzaremos el sguete cálculo: Ejemplo: Sea la dstrbucó N N, para obteer la lugar que ocupa x N N N ,5 como se produce que N < < N 6 < 7,5 < 6 Me x,por lo tato Me 7 El otro caso lo podemos ver e la sguete dstrbucó: Lugar que ocupa 3/ 6 > x N N N 3 x + x Me 6 Notar que e este caso se podría haber producdo que hubera ua frecueca absoluta acumulada superor a 6. E este caso se calcularía como e el ejemplo ateror. E dstrbucoes agrupadas, hay que determar el tervalo medao [ L L ),, la forma de hacerlo será calcular el valor de la mtad de, y observar que tervalo tee ua frecueca absoluta acumulada que cumpla N < N <. Después de saberlo haremos el sguete cálculo: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

40 N N Me L + a Sedo: [ L -, L ) el tervalo que cotee a la frecueca acumulada N/ a ampltud de dcho tervalo. Ejemplo: [ L -, L ) N [0, 5) [5, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) 4 67 N 67 67/ ; Me estará e el tervalo [30-35 ). Por tato realzamos el cálculo: N 33, 5 50 Me L + a 30 + *5 3,38 00 MODA: Mo Será el valor de la varable que más veces se repte, es decr, el valor que tega mayor frecueca absoluta. Puede exstr dstrbucoes co más de ua moda: bmodales, trmodales, etc. E las dstrbucoes s agrupar, la obtecó de la moda es medata. Ejemplo: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral x Moda {, 4}, e este caso teemos ua dstrbucó bmodal. E los supuestos que la dstrbucó vega dada e tervalos, es decr, sea agrupada, se puede producr dos casos: que tega la msma ampltud, o que esta sea dstta. S tee la msma ampltud, e prmer lugar tedremos que ecotrar el tervalo modal, será aquel que tedrá mayor frecueca absoluta [ L, L ). Posterormete realzaremos el sguete cálculo: + Mo L + a + + Sedo:

41 L - extremo feror del tervalo modal a ampltud de dcho tervalo - y + desdades de frecueca de los tervalos ateror y posteror respectvamete al que cotee la moda. Cuado los tervalos sea de dstta ampltud, el tervalo modal será el de mayor desdad de frecueca, es decr d,ya que cosderaremos la caldad del tervalo e fucó a de la frecueca y de la ampltud. Para realzar el cálculo, tedremos e cueta la sguete expresó: Nota: d + Mo L + a d + d+.- Cuado hay ua úca moda, la medaa suele estar compredda etre x y Mo..- Cuado la dstrbucó es smétrca (co moda) se cumple que: x MeMo Ejemplo: Hallar la moda de la sguete dstrbucó [L -,L ) D /a [0, 5) [5, 50) [50, 00) [00, 50) [50, 00) Calculamos el tervalo modal [5 50). Operamos: d 3, ,5 + 0,8 + 3, 6 + Mo L a d d Cuatles: cuartles, decles y percetles So meddas de localzacó smlares a las aterores. Se las deoma CUANTILES (Q). Su fucó es formar del valor de la varable que ocupará la poscó (e tato por ce) que os terese respecto de todo el cojuto de varables. Podemos decr que los Cuatles so uas meddas de poscó que dvde a la dstrbucó e u certo úmero de partes de maera que e cada ua de ellas hay el msmo de valores de la varable. Las más mportates so: CUARTILES, dvde a la dstrbucó e cuatro partes guales (tres dvsoes). C,C,C 3, correspodetes a 5%, 50%,75%. DECILES, dvde a la dstrbucó e 0 partes guales (9 dvsoes).d,...,d 9, correspodetes a 0%,...,90% PERCENTILES, cuado dvde a la dstrbucó e 00 partes (99 dvsoes).p,...,p 99, correspodetes a %,...,99%. Exste u valor e cual cocde los cuartles, los decles y percetles es cuado so guales a la Medaa y así veremos Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

42 Dstguremos etre dstrbucoes agrupadas, y las que o lo está: E las dstrbucoes s agrupar, prmero hallaremos el lugar que ocupa: Etoces tedremos que: N - < (%) < N Q x e el supuesto que (%) N Q E dstrbucoes agrupadas prmero ecotraremos el tervalo dode estará el cuatl, lugar e el que N < (%)< N Itervalo [L -, L ), e este caso: (%) N N Q L + a x + x Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: E la sguete dstrbucó + x N Calcular la medaa (Me); el prmer y tercer cuartl (C,C 3 ); el 4º decl (D 4 ) y el 90 percetl (P 90 ) Medaa (Me) Lugar que ocupa la medaa lugar 0/ 0 Como es gual a u valor de la frecueca absoluta acumulada, realzaremos es cálculo: x + x Me,5 Prmer cuartl (C ) Lugar que ocupa e la dstrbucó ( ¼). 0 0/4 5 Como N - < (5%). < N, es decr 3 < 5 < 0 esto mplcara que C x 0 Tercer cuartl (C 3 ) Lugar que ocupa e la dstrbucó (3/4).0 60/4 5, que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: C x + x ,5 Cuarto decl (D 4 ) Lugar que ocupa e la dstrbucó (4/0). 0 80/0 8. Como N - < (%). < N ya que 3 < 8 < 0 por tato D 4 0. Noagésmo percetl (P 90 ) Lugar que ocupa e la dstrbucó (90/00) /00 8. que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: P x + x ,5 Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el prmer cuartl, el cuarto decl y el 90 percetl de la sguete dstrbucó: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

43 Prmer cuartl (C 4 ) [L -, L) N [0, 00) [00, 00) [[00, 300) [300, 800) Lugar ocupa el tervalo del prmer cuartl: (/4) /4 5. Por tato C 4 estará stuado e el tervalo [00 00).Aplcado la expresó drectamete, tedremos: C Cuarto decl (D 4 ) Lugar que ocupa: (4/0) Por tato D 4 estará stuado e el tervalo [00 00). D Aplcado la expresó tedremos: 4 Noagésmo percetl (P 90 ) ,57 40 Lugar que ocupa: (90/00) , por tato P 90 estará stuado e el tervalo [ ). Aplcado la expresó tedremos: P , Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

44 3.4.- Característcas de las meddas de dspersó. Las meddas de dspersó os srve para cuatfcar la separacó de los valores de ua dstrbucó. Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o meor separacó de los valores de la muestra, respecto de las meddas de cetralzacó que hayamos calculado. Al calcular ua medda de cetralzacó como es la meda artmétca, resulta ecesaro acompañarla de otra medda que dque el grado de dspersó, del resto de valores de la dstrbucó, respecto de esta meda. A estas catdades o coefcetes, les llamamos: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, pudedo ser absolutas o relatvas Meddas de dspersó absolutas: Recorrdo Recorrdo tercuartílco. Varaza Desvacó típca Desvacó meda respecto de la medaa Meddas de dspersó relatvas Coefcete de varacó de PEARSON Idce de varacó respecto de la medaa Meddas de dspersó absolutas Recorrdo: Se defe como la dfereca etre el mayor y meor valor de las varables de ua dstrbucó: R x x Recorrdo tercuartílco: R C C 3 Se defe como la dfereca etre el tercer y el prmer cuartl: Desvacó meda respecto de la medaa: Es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacoes de los valores de la varable co respecto de la medaa. D Me x Me Varaza: Es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable co respecto de la meda de la dstrbucó. Respode a la expresó x ( ) S Cuado se trabaja co muestras se suele utlzar la cuas-varaza, que se obtee como la ateror pero e el dvsor aparece -. Esta medda tee mejores propedades astótcas (muestras grades) que la varaza. NOTA: Su problema so las udades ya que mutos al cuadrado o exste, y s hablamos de logtud m x m os daría metros al cuadrado o sea superfce. El valor de la varaza o lo podemos tomar, pues, como la catdad que resulta, e las udades que os proporcoa los datos. Para haceros ua dea aproxmada, uca exacta, hay que obteer la raíz cuadrada, y así esta ueva medda, es la desvacó típca: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

45 S operamos, podemos obteer la sguete expresó, que es mucho más seclla de operar, y obteemos meos error de redodeo: S ( x ) x Propedades de la varaza : ª.- Es sempre u valor o egatvo, que puede ser gual o dstta de 0. Será 0 solamete cuado todos los valores de la varable sea guales. ª.- S a todos los valores de la varable se le suma ua costate la varaza o se modfca. Veámoslo: x ( ) S S a x le sumamos ua costate x x + k tedremos (sabedo que ' S ( x ' ') [( ) ( ' )] ( ) x x + k + k S x x + k ) 3ª.- S todos los valores de la varable se multplca por ua costate la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcha costate. Veámoslo: S a x x k tedremos (sabedo que ' k ) ( x ' ') [( ) ( ' )] [ ( )] k x x k k S N N N k ( x ) k ( x ) k S 4ª.- S e ua dstrbucó obteemos ua sere de subcojutos dsjutos, la varaza de la dstrbucó cal se relacoa co la varaza de cada uo de los subcojutos medate la expresó S N S x Sedo N el º de elemetos del subcojuto () y S la varaza del subcojuto () Desvacó típca: La desvacó típca o stadard, es la raíz cuadrada, co sgo postvo, de la varaza. Se represeta por S, y tee la sguete expresó: S x ( ) + S + N Propedades de la desvacó típca A su vez la desvacó típca, també tee ua sere de propedades que se deduce fáclmete de las de la varaza (ya que la desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza): ª.- La desvacó típca es sempre u valor o egatvo S será sempre 0 por defcó. Cuado S 0 x (para todo ). ª.- S a todos los valores de la varable se le suma ua msma costate la desvacó típca o varía. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

46 3ª.- S a todos los valores de la varable se multplca por ua msma costate, la desvacó típca queda multplcada por el valor absoluto de dcha costate Gráfcos co meddas de poscó y dspersó: Dagrama de caja. Ua forma de represetar gráfcamete la dstrbucó es la utlzacó de meddas para teer ua dea de la dstrbucó de los valores. Para costrur u Dagrama de caja se utlza la medaa y los cuartles. E el gráfco sguete se dca la forma de hacerlo. F f Q Me Q 3 f F Me es la medaa Q y Q 3 so el prmer y tercer cuartl f es Q -,5(Q 3 -Q ) o el mímo (el que sea más grade) f es Q 3 +,5(Q 3 -Q ) o el máxmo (el que sea más pequeño) F es Q -3(Q 3 -Q ) F es Q 3 +3(Q 3 -Q ) Los putos etre f y F se represeta de ua forma, lo msmo que los que está etre f y F Los putos meores de F o mayores que F se represeta de otra. Ambos tpos de observacoes so lo que se cooce como observacoes atípcas. També so útles estos gráfcos para comparar dstrbucoes A B C D E F G H Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

47 Meddas de dspersó relatva. Coefcete de varacó de PEARSON. El problema de las meddas de dspersó absolutas es que ormalmete so u dcador que os da problemas a la hora de comparar. Comparar muestras de varables que etre sí o tee catdades e las msmas udades, de ahí que e ocasoes se recurra a meddas de dspersó relatvas. El coefcete de varacó de PEARSON es ua de las más sgfcatvas y lo podemos defr, como el cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca de ua dstrbucó. Es ecesaro teer e cueta que al efectuar el cocete elmamos las udades por tato V es admesoal. V x S El coefcete de varacó o se ve fludo s multplcamos todos los valores de la varable por ua costate V x k S k S V k k x Propedad: S a todos los valores de la varable se le suma ua msma costate el coefcete de varacó queda alterado. Es cosecueca medata de las propedades de la meda Dstrbucoes de Frecuecas Bdmesoales De forma geeral, s se estuda sobre ua msma poblacó y se mde por las msmas udades estadístcas ua varable y ua varable Y, se obtee seres estadístcas de las varables e Y. Cosderado smultáeamete las dos seres, se suele decr que estamos ate ua varable estadístca bdmesoal Dstrbucoes estadístcas bdmesoales: tablas de doble etrada o de cotgeca o de correlacó Tablas de doble etrada o de cotgeca Sea ua poblacó estudada smultáeamete segú dos caracteres e Y; que represetaremos geércamete como (x ; y j ; j ), dode x ; y j, so dos valores cualesquera y j es la frecueca absoluta cojuta del valor -ésmo de co el j-ésmo de Y. Ua forma de dspoer estos resultados es la coocda como tabla de doble etrada o tabla de cotgeca, la cual podemos represetar como sgue: Y y y.. y j.. y k. x.. j.. k. x.. j.. k Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

48 x.. j.. k x h h h.. hj.. hk h.. j..... j... k N E este caso, os dca el úmero de veces que aparece x cojutamete co y ;, os dca la frecueca cojuta de x co y, etc Dstrbucoes margales Dada la dstrbucó bdmesoal (x ; y j ; j ), se llama dstrbucoes margales a cada ua de las dos dstrbucoes udmesoales que se puede obteer, de forma que e cada ua de ellas o se tega e cueta la otra, es decr, dada la sguete dstrbucó bdmesoal; Y y Y Y 3 y 4. x 3 4. x 3 4. x x j N podemos obteer las sguetes dstrbucoes margales Y x. y j. j x. y. x. y. x 3 3. y 3. 3 x 4 4. y 4. 4 Por tato, podemos decr: j. N. j j j Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

49 Dstrbucoes codcoadas. Caso de depedeca estadístca Al poer ua restrccó o codcó a ua de las dos varables, teemos las dstrbucoes codcoadas. Se las suele represetar como: /Y, dca que el valor de vee codcoado por Y Y/ dca que el valor de Y vee codcoado por Idepedeca estadístca Se dce que dos varables e Y so depedetes estadístcamete cuado la frecueca relatva cojuta es gual al producto de las frecuecas relatvas margales e todos los casos, es decr: j.. j Para todo, j S esto o se cumple para todos los valores se dce que hay depedeca estadístca Covaraza. Caso de depedeca E el estudo cojuto de dos varables, lo que os teresa prcpalmete es saber s exste algú tpo de relacó etre ellas. Esto se ve gráfcamete co el dagrama de dspersó. Veremos ahora ua medda descrptva que srve para medr o cuatfcar esta relacó: S k xy j ( x x)( y y) j j S S xy >0 hay depedeca drecta (postva), es decr a grades valores de x correspode grades valores de y. S S xy 0 las varables está correladas, es decr o hay relacó leal. S S xy < 0 hay depedeca versa o egatva, es decr a grades valores de x correspode grades valores de y. Gráfcamete, dcaría la Covaraza, que los datos, se ajusta a ua recta, e los sguetes casos: S xy >0 S xy <0 PROPIEDADES DE LA COVARIANZA:.- S a todos los valores de la varable x, les sumamos ua costate k y a todos los valores de la varable y les sumamos ua costate k, la covaraza o varía..- S a todos los valores de ua varable x los multplcamos por ua costate k y a todos los valores de la varable y los multplcamos por ua costate k, su covaraza queda multplcada por el producto de las costates. 3.- A partr de las aterores: s teemos dos varables x, y co la covaraza S xy, y trasformacoes leales de las varables de la forma zax+b, y tcy+d, la ueva covaraza se relacoa co la ateror de la forma: S zt acs xy. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

50 4.- Otra forma de calcular la Covaraza sería: utlzaremos e la práctca. S xy x y jj Y j. Será la que NOTA: El coveete de la covaraza, como medda de asocacó es su depedeca de las udades. Habrá que defr ua ueva medda, que o está afectada por los cambos e las udades de medda. Esta medda será el coefcete de correlacó leal rxy, co la sguete expresó: r xy Sxy S S x y sedo S x y S y las desvacoes típcas de x e y. Este coefcete es admesoal y sempre estará etre y. S hay relacó leal postva, r xy >0 y próxmo a. S hay relacó leal egatva r xy <0 y próxmo a. S o hay relacó leal r xy será próxmo a 0. NOTA: Cuado las varables x e y so depedetes, Sxy 0, y por tato rxy0. Es decr, s dos varables so depedetes su covaraza vale cero. No podemos asegurar lo msmo e setdo cotraro. S dos varables tee covaraza cero, o podemos decr que so depedetes. Sabemos que lealmete o tee relacó, pero podría teer otro tpo de relacó y o ser depedetes. Ejemplo: A partr de los sguetes datos, vamos a calcular la Covaraza y el coefcete de correlacó: Altura Peso Los cálculos que ecestamos: x 69'6 y 67'8 s xy s s x y 7'39 8' L 69'6 67'8 5'3 0 Ahora se puede calcular el coefcete de correlacó leal rxy y el de determacó leal R 5'3 r xy 0'88 7 '39 8'7567 que os dca que las varables está relacoadas Represetacoes gráfcas: dagrama de dspersó o ube de putos Represetamos e ejes coordeados, ua de las dos varables e el eje, y la otra e el eje Y. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

51 Nube de putos 8 Pesos (kg.) Alturas (cm.) Para dcar el úmero de cocdecas, o be poemos símbolos dferetes, o be dcamos etre parétess, el úmero Dstrbucoes de probabldad. Alguas dstrbucoes de terés Ua dstrbucó de probabldad es, e térmos geerales, cualquer regla o mecasmo que determe la probabldad de que ua varable aleatora tome u determado valor x (v.a. dscreta) o se ecuetre compredda e u rago (v.a.cotua). Esta regla o mecasmo puede ser u gráfco, ua tabla o ua fucó. Toda dstrbucó de probabldad, ha de cumplr estos dos requstos: ( s la v.a. es dscreta o be f x) dx 0 x ) P x) 0 x ) P ( x) s es dscreta o x f ( x) dx s es cotua ( s es cotua Ua fucó de dstrbucó de probabldad es la expresó que os dca cual es la probabldad de que la varable aleatora tome u valor meor o gual que x. E otacó matemátca F( x) P( x) La fucó de desdad de probabldad es la dervada de la fucó de dstrbucó y os dca la probabldad de que la v.a. tome u determado valor x (v.a. dscreta). E el caso de ua v.a. cotua, la tegral defda e u tervalo [a,b] de la fucó de desdad proporcoa la probabldad de que la v.a. se ecuetre e [a,b]. Dstrbucó bomal La dstrbucó bomal es ua dstrbucó de probabldad dscreta del úmero de éxtos e ua secueca de expermetos depedetes, cada uo de los cuales tee probabldad θ de ocurrr. Su fucó de desdad de probabldad está dada por: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

52 para, sedo las combacoes de e x ( elemetos tomados de x e x) Por ejemplo, la dstrbucó bomal se usa para ecotrar la probabldad de sacar 5 caras y 7 cruces e lazametos de ua moeda. E este caso se tee que y resulta: Su meda y su varaza so: Dstrbucó hpergeométrca Ua v.a. que toma todos los valores compreddos etre 0 y, sgue ua dstrbucó hpergeométrca cuado: [ x] P Np Nq x x N x Esta fucó proporcoa la probabldad de obteer u úmero determado de "éxtos" e ua muestra, coocdos el tamaño de la muestra,, el úmero de éxtos de la poblacó, p, y el tamaño de la poblacó, N. Esta dstrbucó proporcoa la base teórca para el muestreo aleatoro s reposcó e poblacoes ftas. Su esperaza (meda) y varaza so N E( ) p y σ pq N Dstrbucó Normal Se hace ecesaro, para la teoría sguete, coocer la dstrbucó ormal, ya que tee gra mportaca al querer estudar el aputameto o curtoss. Se dce que ua dstrbucó tee u aputameto u otro, sempre e comparacó co la dstrbucó ormal. També es coocda como campaa de Gauss, debdo a su forma. Esta campaa respode a la represetacó gráfca de la fucó de desdad de la dstrbucó: f ( x) ( e x µ ) σ σ π Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

53 La mportaca de la dstrbucó ormal se debe prcpalmete a que hay muchas varables asocadas a feómeos aturales que sgue el modelo de la ormal: Característcas bométrcas Caracteres fsológcos como el efecto de u fármaco Caracteres socológcos como el cosumo de certo producto por u msmo grupo de dvduos Caracteres pscológcos como el cocete telectual Nvel de rudo e Telecomucacoes Errores cometdos al medr certas magtudes Valores estadístcos muestrales como la meda La represetacó gráfca de la fucó de desdad de la dstrbucó ormal, de parámetros µ y σ, N(µ, σ), tee las sguetes característcas: a) es smétrca respecto a la meda (parámetro µ) b) crecete para x < µ y decrecete para x > µ c) hay u máxmo e x µ d) el valor de f(x) se acerca astótcamete a 0 cuado x -> ± Cuado µ 0 y σ, la dstrbucó se cooce co el ombre de ormal estádar. Dada ua varable aleatora ormal, co meda µ y desvacó típca σ, s defmos otra varable aleatora, etoces la varable aleatora Z tedrá ua dstrbucó ormal estádar de meda 0 y desvacó típca. Se dce que se ha tpfcado la varable. Dstrbucoes dervadas de la ormal Las dstrbucoes que se explca a cotuacó se obtee como combacoes de fucoes de dstrbucó de varables aleatoras depedetes que sgue ua dstrbucó ormal. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

54 Dstrbucó Χ de Pearso La varable aleatora resultate de sumar k varables aleatoras depedetes, que sgue ua dstrbucó ormal estádar (meda 0 y desvacó típca ), tee ua dstrbucó que se deoma co k grados de lbertad. La fucó de desdad de la varable así costruída vee dada por la sguete expresó: dode y f k (x) 0 para. Γ es la fucó gamma. La esperaza matemátca es gual a k y la varaza es k. La dstrbucó es asmétrca y su propedad fudametal es que, s sumamos dos varables aleatoras depedetes de grados de lbertad y m, se obtee ua ueva v.a. co +m grados de lbertad. Esta dstrbucó tee muchas aplcacoes e fereca estadístca, por ejemplo e el test jcuadrado y e la estmacó de varazas. També está volucrada e el problema de estmar la meda de ua poblacó ormalmete dstrbuda y e el problema de estmar la pedete de ua recta de regresó leal, a través de su papel e la dstrbucó t de Studet, y partcpa e todos los problemas de aálss de varaza, por su papel e la dstrbucó F de Sedecor, que es la dstrbucó del cocete de dos varables aleatoras de dstrbucó j-cuadrado e depedetes. Cuado k es sufcetemete grade se aproxma por la dstrbucó ormal. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

55 4.- Meddas de desgualdad y cocetracó 4..- Meddas de forma Las meddas de forma de ua dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss Asmetría Cuado al trazar ua vertcal, e el dagrama de barras o hstograma, de ua varable, segú sea esta dscreta o cotua, por el valor de la meda, esta vertcal, se trasforma e eje de smetría, decmos que la dstrbucó es smétrca. Dremos pues, que es smétrca, cuado a ambos lados de la meda artmétca haya el msmo º de valores de la varable, equdstates de dcha meda dos a dos, y tales que cada par de valores equdstates tee la msma frecueca absoluta. E caso cotraro, dcha dstrbucó será asmétrca o dremos que preseta asmetría. Asmétrca a la derecha Asmétrca a la zquerda Smétrca Para calcular la asmetría, ua posbldad, es utlzar el llamado coefcete de FISHER que represetaremos como g y respoderá a la sguete expresó matemátca: g 3 ( x x) 3 s Segú sea el valor de g, dremos que la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, a zquerdas o egatva, o smétrca, o sea: S g > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha). S g < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda). S g 0 la dstrbucó será smétrca. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

56 Otra posbldad de calcular la asmetría, es por medo del coefcete de PEARSON (Ap), el cual respode a la sguete expresó. A p Mo S Auque e la práctca este coefcete sería más fácl de calcular que el ateror, cas o lo utlzaremos ya que solo es certo cuado la dstrbucó tee las sguetes codcoes: Umodal Campaforme Moderada o lgeramete asmetrca. S Ap > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha). S Ap < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda). S Ap 0 la dstrbucó será smétrca. NOTA: Otro coefcete es el coefcete de asmetría de Bowley, meos utlzado. El cual esta basado e la poscó de los cuartles y la medaa, para lo cual los relacoaremos de acuerdo co la sguete expresó: C3 + C Me Ab C + C Curtoss Para calcularlo utlzaremos la expresó g 4 ( x ) 4 3 s S g > 0 la dstrbucó será leptocúrtca o aputada S g 0 la dstrbucó será mesocúrtca o ormal S g < 0 la dstrbucó será platcúrtca o meos aputada que lo ormal. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

57 4..- Meddas de cocetracó: Idce de G y Curva de Lorez. Las meddas de cocetracó trata de poer de releve el mayor o meor grado de gualdad e el reparto del total de los valores de la varable, so por tato dcadores del grado de dstrbucó de la varable. Para este f, está cocebdos los estudos sobre cocetracó. Deomamos cocetracó a la mayor o meor equdad e el reparto de la suma total de los valores de la varable cosderada (reta, salaros, etc.). Las ftas posbldades que puede adoptar los valores, se ecuetra etre los dos extremos:.- Cocetracó máxma, cuado uo solo percbe el total y los demás ada, e este caso, os ecotraremos ate u reparto o equtatvo: x x x 3 x - 0 y x..- Cocetracó míma, cuado el cojuto total de valores de la varable esta repartdo por gual, e este caso dremos que estamos ate u reparto equtatvo x x x 3 x - x De las dferetes meddas de cocetracó que exste os vamos a cetrar e dos: Idce de G, Coefcete, por tato será u valor umérco. Curva de Lorez, gráfco, por tato será ua represetacó e ejes coordeados Cálculo e terpretacó de los ídces de cocetracó Sea ua dstrbucó de retas (x, ) de la que formaremos ua tabla co las sguetes columas:.- Los productos x, que os dcará la reta total percbda por los retstas de reta dvdual x..- Las frecuecas absolutas acumuladas N. 3.- Los totales acumulados u que se calcula de la sguete forma: u x u x + x u 3 x + x + x 3 3 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

58 u x + x + x x Por tato podemos decr que x u 4.- La columa total de frecuecas acumuladas relatvas, que expresaremos e tato por ceto y que represetaremos como p y que vedrá dada por la sguete otacó p N La reta total de todos los retstas que será u y que dada e tato por ceto, la cual represetaremos como q y que respoderá a la sguete otacó: q u 00 u Por tato ya podemos cofeccoar la tabla que será la sguete: N u x N u p 00 q 00 p u - q x x N u p q p - q x x N u p q p - q x N u p q p - q Como podemos ver la últma columa es la dfereca etre las dos peúltmas, esta dfereca sera 0 para la cocetracó míma ya que p q y por tato su dfereca sera cero. S esto lo represetamos gráfcamete obtedremos la curva de cocetracó o curva de Lorez.La maera de represetarlo será, e el eje de las, los valores p e % y e el de las Y los valores de q e %. Al ser u %, el gráfco sempre será u cuadrado, y la gráfca será ua curva que se urá al cuadrado, por los valores (0,0), y (00,00), y quedará sempre por debajo de la dagoal. La maera de terpretarla será: cuato más cerca se stúe esta curva de la dagoal, meor cocetracó habrá, o más homogeedad e la dstrbucó. Cuato más se acerque a los ejes, por la parte feror del cuadrado, mayor cocetracó. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

59 Veamos dos ejemplos, el de la zquerda de poca cocetracó y el de la derecha de más cocetracó. Aalítcamete calcularemos el ídce de G el cual respode a la sguete ecuacó I G k ( p q ) k p Este ídce tomara los valores de I G 0 cuado p q cocetracó míma y de I g cuado q 0 Esto lo veremos mejor co u ejemplo Frecueca marca x Σu q (u /u ) 00 p (N/) 00 p - q L - L x N ,48 8,85 7, ,38 36,54, ,33 60,38 5, ,95 78,85, ,95 86,5 8, ,6 89,3 5, ,33 94,6 9, ,08 97,3 5, ,55 99,3, ,00 00,00 0,00 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

60 ,5 5,48 Se pde Ídce de cocetracó y Curva de Lorez correspodete Idce de cocetracó de GINI I k ( p q ) 5, 48 65,5 G k p 0,93 Observamos que hay poca cocetracó por ecotrarse cerca del 0. Curva de Lorez La curva la obteemos cerca de la dagoal, lo que dca que hay poca cocetracó: 00,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 00,0 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

61 5. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL 5..- El Método de los Mímos Cuadrados Ordaros. La regresó leal es ua de las téccas más utlzadas e el trabajo ecoométrco. Medate dcha técca tratamos de determar relacoes de depedeca de tpo leal etre ua varable depedete o edógea, Y, respecto de ua o varas varables explcatvas o edógeas,. E este epígrafe comezaremos el estudo del caso de ua úca ecuacó de tpo leal co ua varable depedete y ua depedete, dejado para el próxmo epígrafe la geeralzacó del modelo al caso de multples varables exógeas. Se trata de estudar ua ecuacó o u modelo del sguete tpo: Y a + b + e t t t Nuestra labor cosste e estmar los parámetros a y b de la ecuacó ateror a partr de los datos muestrales de los que dspoemos. Para ello utlzaremos el método de los Mímos Cuadrados Ordaros (MCO), pero ates de ver e que cosste este método debemos hacer certas hpótess sobre el comportameto de las varables que tegra el modelo. A la varable e t la deomamos térmo de perturbacó o error, y es ua varable que recoge todos aquellos factores que puede flur a la hora de explcar el comportameto de la varable Y y que, s embargo, o está reflejados e la varable explcatva. Estos factores debe ser poco mportates, es decr, o puede exstr gua varable explcatva relevate omtda e el modelo de regresó. De ser así, estaríamos curredo e lo que se cooce como u error de especfcacó del modelo. El térmo de perturbacó també recoge los posbles errores de medda de la varable depedete, Y. De lo ateror se desprede que, a la hora de estmar los parámetros del modelo, resultará de vtal mportaca que dcho térmo de error o ejerza gua flueca determate e la explcacó del comportameto de la varable depedete. Por ello, cuado se aplca el método de mímos cuadrados ordaros, se realza las sguetes hpótess de comportameto sobre el térmo de error:. La esperaza matemátca de e t es cero, tal que E(e t ) 0. Es decr, el comportameto del térmo de error o preseta u sesgo sstemátco e gua dreccó determada. Por ejemplo, s estamos realzado u expermeto e el cual teemos que medr la logtud de u determado objeto, a veces al medr dcha logtud cometeremos u error de medda por exceso y otras por defecto, pero e meda los errores estará compesados.. La covaraza etre e y e j es ula para j tal que E(e e j ) 0. Ello quere decr que el error cometdo e u mometo determado,, o debe estar correlacoado co el error cometdo e otro mometo del tempo, j, o dcho de otro modo, los errores o ejerce flueca uos sobre otros. E caso de exstr correlacó, os ecotraríamos ate el problema de la autocorrelacó e los resduos, el cual mpde realzar ua estmacó por mímos cuadrados válda. 3. La matrz de varazas y covarazas del térmo de error debe ser escalar tal que Var(e ) σ I,,,, dode I es la matrz udad. Dado que sempre que medmos ua varable, se produce u certo error, resulta deseable que los errores que cometamos e mometos dferetes del tempo sea smlares e cuatía. Esta codcó es lo que se cooce como supuesto de homocedastcdad que, e caso de o verfcarse, mpedría u uso legítmo de la estmacó leal por mímos cuadrados. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

62 Estas hpótess mplca que los errores sgue ua dstrbucó Normal de meda cero y varaza costate por lo que, dado su carácter aleatoro, hace que los errores sea por aturaleza mpredecbles. Asmsmo, las varables cludas e el modelo debe verfcar que:. El comportameto de la varable depedete Y se ajusta al modelo leal durate todo el perodo muestral, es decr, o se produce u cambo mportate e la estructura de comportameto de Y a lo largo de la muestra cosderada.. Las varables explcatvas,, so o estocástcas, es decr, so cosderadas fjas e muestreos repetdos. 3. El úmero de varables explcatvas, k, sempre debe ser meor que el tamaño muestral,. Es decr, sempre debemos dspoer de más observacoes que parámetros haya e el modelo. Veamos a cotuacó, supoedo que se verfca los supuestos aterores, como se realza la estmacó de los parámetros a y b. Gráfcamete, el resultado que obtedremos al estmar dchos parámetros será ua recta que se ajuste lo máxmo posble a la ube de putos defda por todos los pares de valores muestrales (,Y ), tal y como se puede aprecar e el gráfco 5.. Gráfco 5.. Nube de putos o gráfco de dspersó co varables relacoadas lealmete El térmo de error, e, puede ser eteddo, a la vsta del gráfco ateror, como la dstaca que exste etre el valor observado, Y, y el correspodete valor estmado, que sería la mage de e el eje de ordeadas. El objetvo de la estmacó por Mímos Cuadrados Ordaros es, precsamete, mmzar el sumatoro de todas esas dstacas al cuadrado; es decr : M e ( Y Yˆ ) ( Y aˆ bˆ ) Los parámetros y varables que lleva ecma u símbolo de aceto crcuflejo (^) dca que so estmadas por lo que o se correspode co el valor real de la varable so que co el calculado por osotros. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

63 Dervado esta expresó respecto a los coefcetes a y b e gualado a cero obteemos el sguetes sstema de ecuacoes: Y a + b Y aˆ + b ˆ Y aˆ + bˆ dode represeta el tamaño muestral y e Y represeta las medas de dchas varables. Resolvedo dcho sstema de ecuacoes obteemos la solucó para los parámetros a y b: b ( )( Y Y ) ( ) a Y b Ejemplo 5.. Se pretede estmar el sguete modelo: Y a + b + e t t t dode Y t es la catdad vedda aualmete del be Y e el año t, y t es el preco medo al cual se vedó el be Y durate el año t. Se dspoe de los sguetes datos muestrales: Año Y t t Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

64 A partr de estos datos cales podemos calcular la sguete tabla: Y t t ( Y Y ) ( ) ( Y Y ) ( ) ( ) ( Y Y ) 0 9-6,4 4, -6,4 6,8 40,96 8-4,4 3, -3,64 9,6 9, ,4, -3,74,, ,4 0, -0,4 0,0 5, ,4 0, -0,4 0,0, ,6-0,9-0,54 0,8 0, ,6-0,9-3,4 0,8,96 3 4,6 -,9-8,74 3,6,6 5,6 -,9-6,4 8,4 3, ,6 -,9-6,84 3,6,96 Total ,6 44,9 58,4 Meda 6, 4 4, Aplcado las formulas vstas aterormete: b ( )( Y Y ) ( ) a Y b 6.4 ( ) 4.8 de dode la ecuacó de la recta estmada será Y e t t t Falmete, susttuyedo e la expresó ateror los valores de t, podemos obteer los valores de Yˆ y el valor de los térmos de error, e : Yˆ e Y Yˆ Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

65 Bodad de Ajuste Como ya hemos cometado aterormete, el modelo de regresó leal se platea para explcar el comportameto de la varable depedete Y. Por ello, e dcho estudo será teresate aalzar la varacó que expermeta esta varable y, detro de esta varacó, estudar qué parte está sedo explcada por el modelo de regresó y qué parte es debda a los errores o resduos. Para ello, a partr de los térmos de error, se puede obteer la expresó: Y ' Y Yˆ' Yˆ + e' e E el caso de que exsta térmo depedete e el modelo, la descomposcó ateror quedaría como: SCT SCE + SCR dode: SCT: es la Suma de Cuadrados Totales y represeta ua medda de la varacó de la varable depedete. SCE es la Suma de Cuadrados Explcados por el modelo de regresó. SCR es la Suma de Cuadrados de los Errores Cada ua de estas sumas vee dada por las sguetes expresoes: SCT Y ' Y Y Y Y SCE β ' ' Y Y SCR e Y ' Y β ' ' Y SCT SCE A partr de las expresoes aterores es posble obteer ua medda estadístca acerca de la bodad de ajuste del modelo medate lo que se cooce como coefcete de determacó (R ), que se defe como: R SCR SCT, 0 R Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

66 y e el caso partcular de modelo co térmo depedete, como: SCE R, 0 R SCT Medate este coefcete es posble seleccoar el mejor modelo de etre varos que tega el msmo úmero de varables exógeas, ya que la capacdad explcatva de u modelo es mayor cuato más elevado sea el valor que tome este coefcete. S embargo, hay que teer certo cudado a la hora de trabajar co modelos que presete u R muy cercao a pues, auque podría parecer que estamos ate el modelo perfecto, e realdad estaría ecubredo certos problemas de ídole estadístca como la multcolealdad que veremos más adelate. Por otra parte, el valor del coefcete de determacó aumeta co el úmero de varables exógeas del modelo por lo que, s los modelos que se compara tee dstto úmero de varables exógeas, o puede establecerse comparacó etre sus R. E este caso debe emplearse el coefcete de determacó corregdo R, el cual depura el cremeto que expermeta el coefcete de determacó cuado el úmero de varables exógeas es mayor. La expresó aalítca de la versó corregda es: R ( ) SCR k SCT k R cuyo valor també oscla etre 0 y 5.3. Ifereca acerca de los Estmadores Hasta el mometo hemos vsto como la estmacó por Mímos Cuadrados Ordaros permte obteer estmacoes putuales de los parámetros del modelo. La fereca acerca de los msmos permte completar dcha estmacó putual, medate la estmacó por tervalos y los cotrastes de hpótess. Los prmeros posblta la obtecó de u tervalo detro del cual, co u determado vel de cofaza, osclará el verdadero valor de u parámetro, metras que los segudos os permtrá extraer cosecuecas del modelo, averguado s exste o o, evdeca acerca de ua sere de cojeturas que puede platearse sobre sus parámetros. Veamos la expresó aalítca de la estmacó por tervalos y las reglas a segur para realzar u cotraste de hpótess. Itervalos De Cofaza a) Itervalo de cofaza para el parámetro βˆ Su cálculo se realza medate la sguete expresó: IC ( ˆ β : β ± S β t k ) dode S β es la desvacó típca estmada para el coefcete βˆ, que se obtee de la matrz de varazas y covarazas de los estmadores expresada como: Σ ββ σ β σ β... σ βk β β σ σ ββ β σ... β β K ββk ββk βk Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral σ σ σ...

67 cuyos estmadores será: S ˆ S ˆ ˆ... β ββ S ˆ ˆ S ˆ... S ˆ ˆ β β β ββ S ˆ ˆ S ˆ ˆ... βkβ βk β S S ˆ β ˆ βk ˆ β ˆ βk S... ˆ βk obtedos a partr de la expresó ( ) varaza del térmo de error y ( ) regresores utlzados (ver Tema 7). e S ˆ ˆ Se ', dode S ββ e k ' la versa de la matrz de productos cruzados de los b) Itervalo de cofaza para la varaza del térmo de error La expresó del tervalo de cofaza para la varaza del térmo de error es: IC σ S ( k) S e ( k) SCR SCR ; ; χα χ α χ α χ α : e e es la estmacó de la dode α represeta el vel de sgfcacó del cotraste y geeralmete se utlza u 5% de sgfcacó. Cotrastes de Hpótess a) Cotraste dvdual sobre u parámetro Formulacó de la hpótess: H H * 0 : β j β j * : β j β j Estadístco expermetal: t exp ˆ β j β S Estadístco teórco: t (α / ) tco t k Regla de decsó: S t exp > ttco se rechaza la hpótess ula ˆ j β * j b) Cotraste de sgfcacó dvdual Formulacó de la hpótess: H : β 0 Estadístco expermetal: 0 j H : β t j exp ˆ β j S Estadístco teórco: (α / ) t ˆ j β tco t k 0 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

68 Regla de decsó: S t exp > ttco se rechaza la hpótess ula c) Cotrastes para u cojuto de hpótess leales Formulacó de la hpótess: o alteratvamete: H 0 H : Rβ r : r β + r β +... r β + r β r β + r β +... q 0 q + r + r k k + r qk β r K β r K β r K q Estadístco expermetal: F exp ( R ˆ β r) [ R ( ' ) R' ] ( R ˆ β r) SCR k q dode q represeta el úmero de ecuacoes de la hpótess ula Estadístco teórco: F( q, k,α ) F tco Regla de decsó: S F exp > Ftco se rechaza la hpótess ula d) Cotraste de sgfcacó global Formulacó de la hpótess: H β β... β 0 Estadístco expermetal: F 0 : 3 K SCE k SCR k R k ( R ) exp Estadístco teórco: F( k, k,α ) F tco k Regla de decsó: S F exp > Ftco se rechaza la hpótess ula 5.4. Predccó e el Modelo de Regresó Ua vez estmado y valdado el modelo, ua de sus aplcacoes más mportates cosste e poder realzar predccoes acerca del valor que tomaría la varable edógea e el futuro o para ua udad extramuestral. Esta predccó se puede realzar tato para u valor dvdual como para u valor medo, o esperado, de la varable edógea, sedo posble efectuar ua predccó putual o por tervalos. Su cálculo se realza medate las expresoes que fgura a cotuacó: a) Predccó dvdual: se trata de hallar el valor estmado para la varable Y u perodo haca delate. E este caso basta co susttur el valor de las varables exógeas e el modelo e el sguete perodo y calcular el uevo valor de Y. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

69 b) Itervalo de predccó. Para hallar u tervalo de predccó debe utlzarse la sguete expresó: IC ' ( ' ) ; Ŷ + t S ( ) ' Yˆ t t k S + t+ t+ t+ k + : + t+ ' t+ c) Itervalos de predccó para u valor medo o esperado. La expresó a utlzar e este caso será: IC E ˆ ' ' ( Y ) : Yt+ t k S t+ ( ' ) t+ ;Ŷt + + t k S t+ ( ' ) t + t Volacó de los Supuestos del Modelo Leal de Regresó Como veíamos e aterores epígrafes, el modelo de regresó leal requere que se cumpla las sguetes hpótess sobre los térmos de error: Meda cero : E(e ) 0,, Varaza costate : Var(e ) σ I,, Resduos correlacoados : Cov(e,e j ) 0 El cumplmeto de algua de dchas hpótess, mplca la o aleatoredad de los resduos y, por tato, la exsteca de algua estructura o relacó de depedeca e los resduos que puede ser estmada, debedo ser cosderada e la especfcacó cal del modelo. Los prcpales problemas asocados al cumplmeto de las hpótess de ormaldad de los resduos so, por u lado, la heteroscedastcdad, cuado la varaza de los msmos o es costate, y la autocorrelacó o exsteca de correlacó etre los dferetes resduos, lo que volaría el supuesto de térmos de error correlacoados. S se costruye ua gráfca de los resultados de ua estmacó mímo cuadrátca (e abcsas) frete al valor absoluto de los resduos (e ordeadas), cuado éstos últmos preseta ua dstrbucó Normal de meda cero y varaza costate, N (0, σ ), el resultado obtedo (gráfco 6..) muestra que el tamaño del error es depedete del tamaño de la varable estmada, ya que errores co valor elevado se correspode co valores bajos y altos de la varable depedete estmada; s embargo, ua dstrbucó de resduos co problemas de heteroscedastcdad da lugar a ua fgura como la que puede observarse e el gráfco 6.3., e dode se mafesta ua clara relacó de depedeca etre la varable estmada y el tamaño del error. E este caso los errores de mayor tamaño se correspode co los valores más altos de la varable estmada. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

70 R e s d u o s a le a to ro s d e m e d a c e ro y v a ra z a c o s ta te V arab le e stm a d a ( y) R e sd u o s va lo r a b so l u to (e ) Gráfco 5.. Resduos Homocedástcos R esd u o s co h etero ced astcd ad V arab le e stm ad a (y) R esd uos valo r ab soluto (e) Gráfco 5.3. Resduos Heteroscedástcos La represetacó gráfca de los errores e forma de sere temporal, es decr, poedo e el eje de abcsas los errores y e ordeadas el perodo temporal e que está datados, permte aprecar la auseca o preseca de correlacó ya que a los resduos o correlacoados (gráfco 5.4.) le correspode ua represetacó gráfca e la que o se apreca pauta temporal algua, sucedédose de forma mpredecble o aleatora, metras que e los resduos co problemas de autocorrelacó, la pauta temporal es evdete, evdecádose que cada resduo puede ser predcho e fucó de la sucesó de los errores correspodetes a perodos temporales pasados (gráfco 5.5.) Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

71 Resduos aleatoros co meda cero y varaza costate Gráfco 5.4. Resduos s Autocorrelacó Resduos co problema de autocorrelacó Gráfco 5.5. Resduos co Autocorrelacó Estos problemas asocados a los errores puede detectarse co test estadístcos dseñados para ello. A cotuacó se descrbe dchos test y la forma e que debe procederse para estmar modelos e dode la estmacó mímo-cuadrátca preseta problemas de este tpo asocados a los resduos. Heteroscedastcdad Decmos que el térmo de error de ua estmacó mímo-cuadrátca preseta heteroscedastcdad cuado la varaza del msmo es dferete para las dsttas observacoes que tegra la muestra, lo que mplca que la varabldad de los errores mímo-cuadrátcos obtedos está relacoados de algua maera co los datos utlzados e el modelo, ya sea por estar relacoados co la escala temporal de los datos recogdos o por presetar algua relacó de depedeca co algua de las varables exógeas utlzadas. Las cosecuecas para la estmacó mímo-cuadrátca so que los estmadores de los coefcetes segurá sedo sesgados y leales pero ya o será de míma varaza o efcetes. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

72 La deteccó de la heteroscedastcdad se realza a través de dversos cotrastes paramétrcos, etre los que cabe destacar el cotraste de Bartlett (Mood, 950), el costraste de Goldfeld- Quadt (965) y el cotraste de Whte (980), los cuales pasamos a ver a cotuacó. Test de Bartlett El test de Bartlett se basa e de que la suposcó de que las observacoes de los datos de la varable a estmar por el modelo puede agruparse e G grupos (g,,..., G), cada uo de los cuales se caracterza por teer u dstto tpo de observacoes asocadas a la varable explcatva, de tal maera que sería el úmero de observacoes correspodetes al prmer grupo, el úmero de observacoes asocadas al segudo grupo y, e geeral, G es el úmero de observacoes asocadas al grupo g-ésmo. A cada grupo le correspode u valor medo de la varable depedete y ua varaza para este valor medo. El test cotrasta s dcha varaza es gual o o etre los dsttos grupos que se ha costrudo para la varable depedete, admtédose la hpótess de exsteca de heteroscedastcdad s la varaza es sgfcatvamete dferete etre los grupos formados. Los pasos a segur e la práctca para realzar el test de Bartlett so los sguetes: g. Se estma la varaza ( s ) de cada grupo de observacoes, g,,..., G medate la sguete expresó: s g g g ( y y ) g g. Se calcula el estadístco S: G G g log sg g logs g g S G + 3( G ) g g g Bajo el supuesto de homocedastcdad, S se dstrbuye como ua ch-cuadrado (χ ) co G grados de lbertad. Por lo tato, se rechazará la hpótess de gual varaza e todos los grupos s S es mayor que el valor crítco de la dstrbucó ch-cuadrado al vel de sgfcacó estadístca fjado. Cotraste de Goldfeld-Quat El cotraste de Goldfeld-Quat se utlza para cotrastar la homocedastcdad cuado la forma de la heteroscedastcdad o es coocda, auque se tuye que la varaza guarda ua relacó moótoa crecete o decrecete respecto a algua varable exógea (que deomaremos varable z). La operatva de este test es la sguete:. Ordear todas las observacoes de las varables del modelo, de meor a mayor, e fucó de la varable z.. Elmar c observacoes cetrales de la ordeacó ateror, de tal forma que quede dos submuestras de (-c)/ observacoes cada ua. Al seleccoar c, debe hacerse de Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

73 tal forma que (-c)/ sea sustacalmete mayor que el úmero de parámetros del modelo. 3. Estmar dos veces el modelo orgal medate Mímos Cuadrados Ordaros, utlzado e cada estmacó ua de las submuestras. 4. Deomado SR y SR a las sumas de los cuadrados de los resduos de ambas submuestras (de maera que el subídce correspoda a la submuestra co la meor suma) se defe el estadístco F: SR F SR La dea que subyace bajo este cotraste es la sguete: s exste heteroscedastcdad etoces, co la ordeacó de la muestra, la varaza del térmo de error será mayor haca el fal de la muestra que al prcpo de la msma. Como el cuadrado de los resduos está asocado co la varaza de los msmos, etoces SR debería ser sesblemete mayor que SR. Por ello, se rechazara la hpótess ula de homocedastcdad sempre que el valor del estadístco F excede el valor e tablas de la dstrbucó F (-c-k)/, (-c-k)/, aceptádose la exsteca de heteroscedastcdad e caso cotraro. Cotraste de Whte El cotraste de Whte se desarrolló també para evtar la ecesdad de cosderar ua forma específca para la heteroscedastcdad. El cotraste se basa e que, bajo la hpótess ula de homocedastcdad, la matrz de varazas y covarazas de los estmadores MCO de β es: σ ( ' ) Por el cotraro, s exste heteroscedastcdad, la matrz de varazas y covarazas vee dada por: ( ' ) ' Ω ( ' ), Ω dag( σ, σ,..., σ ) Por tato, s tomamos la dfereca etre ambas queda: ( ' ) ' Ω ( ' ) σ ( ' ) Por ello, basta co cotrastar la hpótess ula de que todas estas dferecas so guales a cero, lo que equvale a cotrastar que o hay heteroscedastcdad. Los pasos a segur para realzar el cotraste de Whte so los sguetes:. Estmar el modelo orgal y obteer la sere de resduos estmados. Realzar ua regresó del cuadrado de la sere de resduos obtedos e el paso ateror sobre ua costate, las varables exógeas del modelo orgal, sus cuadrados y los productos cruzados de segudo orde (los productos resultates de multplcar cada varable exógea por cada ua de las restates hasta completar. Es decr, se trata de estmar por MCO la relacó: ˆ et α + ϕ ϕk k + η ηk k + ω ωk k + ν νkk ρ k 3. Al aumetar el tamaño muestral, el producto R (dode es el úmero de observacoes y R es el coefcete de determacó de la últma regresó) sgue ua dstrbucó Ch-cuadrado co p grados de lbertad, dode p es el úmero de varables exógeas utlzadas e la seguda regresó. Se aceptará la hpótess de Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral k

74 exsteca de heteroscedastcdad cuado el valor del estadístco supere el valor crítco de la dstrbucó Ch-cuadrado al vel de sgfcacó estadístca fjado. Correccó de la heteroscedastcdad Los problemas de heteroscedastcdad se resuelve utlzado ua técca de estmacó leal que recbe el ombre de Mímos Cuadrados Geeralzados (MCG). El uso de Mímos Cuadrados Geeralzados equvale a redefr las varables utlzadas e el modelo orgal de regresó tal que todas ellas queda dvddas por la desvacó típca de los resduos: Y * Y, σ e * j j, j,..., k, e σ e * e σ e Posterormete se realza la regresó mímo cuadrátca co el modelo trasformado: * Y β + β * + β3 * β k * k + e * La trasformacó descrta del modelo orgal requere del coocmeto prevo de ua estmacó de la varaza de los resduos. S o se dspoe de ua estmacó preva de dcha varaza, ésta puede estmarse medate la sguete expresó: σ MCG eˆ t T k Autocorrelacó Decmos que exste autocorrelacó cuado el térmo de error de u modelo ecoométrco está correlacoado cosgo msmo a través del tempo tal que E(e, e j ) 0. Ello o sgfca que la correlacó etre los errores se dé e todos los perodos so que puede darse ta sólo etre alguos de ellos. E preseca de autocorrelacó, los estmadores mímo-cuadrátcos sgue sedo sesgados pero o posee míma varaza, debédose utlzar e su lugar el método de Mímos Cuadrados Geeralzados. La exsteca de autocorrelacó e los resduos es fáclmete detfcable obteedo las fucoes de autocorrelacó (acf) y autocorrelacó parcal (acp) de los errores mímocuadrátcos obtedos e la estmacó. S dchas fucoes correspode a u rudo blaco, se costatará la auseca de correlacó etre los resduos. S embargo, el mero exame vsual de las fucoes aterores puede resultar cofuso y poco objetvo, por lo que e la práctca ecoométrca se utlza dversos cotrastes para la autocorrelacó, sedo el más utlzado el de Durb-Watso (950), que pasamos a ver segudamete. Cotraste de Durb-Watso S se sospecha que el térmo de error del modelo ecoométrco tee ua estructura como la sguete: e ˆ ρ ˆ + u t et t etoces el cotraste de Durb-Watso permte cotrastar la hpótess ula de auseca de autocorrelacó. Dcho cotraste se basa e el cálculo del estadístco d, utlzado para ello los errores mímo-cuadrátcos resultates de la estmacó: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

75 d ( eˆ eˆ eˆ ) El valor del estadístco d oscla etre 0 y 4, sedo los valores cercaos a los ídcatvos de auseca de autocorrelacó de prmer orde. La terpretacó exacta del test resulta compleja, ya que los valores crítcos apropados para cotrastar la hpótess ula de o autocorrelacó requere del coocmeto de la dstrbucó de probabldad bajo el supuesto de cumplmeto de dcha hpótess ula, y dcha dstrbucó depede a su vez de los valores de las varables explcatvas, por lo que habría que calcularla e cada aplcacó. Para facltar la terpretacó del test Durb y Watso dervaro dos dstrbucoes: d y d s, que o depede de las varables explcatvas y etre las cuales se ecuetra la verdadera dstrbucó de d, de forma que a partr de u determado vel de sgfcacó, se adopta la sguete regla de decsó: S d d rechazamos la hpótess ula de o autocorrelacó frete a la hpótess alteratva de autocorrelacó postva. S d 4 d rechazamos la hpótess ula de o autocorrelacó frete a la hpótess alteratva de autocorrelacó egatva. S d s d 4- d s aceptamos la hpótess ula de o autocorrelacó. E la sguete pága presetamos la tabla co la dstrbucó desarrollada por Durb y Watso para los valores de d y d s Ejemplo 5.. E el sguete ejercco plateamos ua regresó leal etre el cosumo de eergía eléctrca e España y el PIB a precos de mercado valorado e moeda costate (mlloes de euros) Cosumo de Eergía Eléctrca (mles de TEP) PIB (mlloes de euros) Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

76 Fuete: INE y OCDE Co los datos de la tabla ateror la estmacó MCO etre el cosumo de eergía eléctrca y el PIB sería la sguete: Y t t +ε t Sedo Y t el cosumo de eergía eléctrca y t el PIB e moeda costate. Los resultados de la estmacó se preseta a cotuacó: Estadístcas de la regresó Coefcete de correlacó múltple Coefcete de determacó R R ajustado Error típco Observacoes 6 Coefcetes Error típco Estadístco t Probabldad Itercepcó PIB-$ Como vemos las estadístcas de la regresó realzada so bueas, se obtee u R muy elevado, y los parámetros so estadístcamete sgfcatvos, ya que el valor teórco de la t- Studet es.5 al 95% de probabldad. No obstate, la represetacó gráfca de los errores aputa a la posbldad de u problema de autocorrelacó etre los resduos: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

77 Grafco de los resduos 600,0 500,0 400,0 300,0 00,0 00,0 0,0-00, ,0-300,0-400,0 Para verfcarlo calculamos el estadístco t de Durb-Watso: Y* e t e t e t -e t- (e t -e t- ) Total d (ˆ e eˆ eˆ ) 479,08.7 7,79, Los valores teórcos del estadístco para 6 observacoes y k varables explcatvas, so d D 0.98 y d U.4. Dado < 0.98 o podemos rechazar la hpótess de la exsteca de autocorrelacó postva. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

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79 6. Regresó Leal Múltple 6..- Itroduccó. Pasamos a cotuacó a geeralzar el modelo ateror al caso de u modelo co varas varables exógeas, de tal forma que se trata de determar la relacó que exste etre la varable edógea Y y varables exógeas,,,, k. Dcho modelo se puede formular matrcalmete de la sguete maera: Y β + β + e β t + β t k kt et,,,, dode: Y Y Y es el vector de observacoes de la varable edógea... Y... k... k [... k] es la matrz de observacoes de las varables... k exógeas β β β es el vector de coefcetes que pretedemos estmar... β K e e e es el vector de térmos de error... e S e la expresó ateror se cosderara que exste térmo depedete, α, la matrz quedaría como: k k... k [... ] 3 k y el modelo quedaría así: Y α + β + β β + u k k,,..., Supoedo que se verfca las hpótess que veíamos ates, el problema a resolver uevamete es la mmzacó de la suma de los cuadrados de los térmos de error tal que: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

80 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral Y Y Y e M ) ( ) ˆ ( β Desarrollado dcho cuadrado y dervado respecto a cada β obteemos el sguete sstema de ecuacoes expresado e otacó matrcal: Y ' ' β e dode basta co despejar β premultplcado ambos membros por la versa de la matrz ) ' ( para obteer la estmacó de los parámetros del modelo tal que: Y ' ) ' ( ˆ β dode: k k k k k ' k Y Y Y Y... ` S e el modelo exstera térmo depedete, α, las matrces aterores sería: k k k k k ' k Y Y Y Y... ` El resultado de multplcar dchas matrces coduce a la obtecó de la estmacó de los parámetros β del modelo: k k k k k k Y Y Y Y β β β β ˆ... ˆ ˆ ' ) ' ( ˆ k Cada uo de los coefcetes estmados, βˆ, so ua estmacó sesgada del verdadero parámetro del modelo y represeta la varacó que expermeta la varable depedete Y

81 cuado ua varable depedete varía e ua udad y todas las demás permaece costates (supuesto ceters parbus). Dchos coefcetes posee propedades estadístcas muy teresates ya que, s se verfca los supuestos ates cometados, so sesgados, efcetes y óptmos. Ejemplo 6.. Se dspoe de formacó relatva al grado de ocupacó hotelera (Y), úmero medo de turstas ( ), meddo e mles de turstas, y estaca meda ( ), medda e días. Los datos dspobles so de corte trasversal y perteece a cada ua de las 7 Comudades Autóomas. Se quere coocer como varará el empleo del sector turístco e Catabra e fucó del aumeto de las estacas medas. Tabla 6.. Vajeros, peroctacoes y estaca meda. Año 003 Datos por comudades autóomas y provcas Empleo (e Número de vajeros mles) (mles) Estaca meda Adalucía 8,4.90,5 3, Aragó 3,6.848,0, Asturas (Prcpado de),4.088,,3 Balears (Illes) 5,9 6.76,0 7, Caaras 7, 4.875,7 7,8 Catabra,0 933,8,4 Castlla y Leó 6, 3.647,6,7 Castlla-La Macha,8.805,,7 Cataluña 3,5 0.77,7 3,4 Comudad Valecaa 3, ,7 3,9 Extremadura,.000,7,7 Galca * 6, ,5, Madrd (Comudad de) 0, ,9, Murca (Regó de),0 88,5 3,0 Navarra (Comudad Foral de), 557,7,0 País Vasco 3,.540,6,9 Roja (La) 0,7 446,,8 6, ,5 50,3 Fuete:INE. El modelo teórco a estmar co la formacó dspoble es el sguete: Y α+β + β + e dode Y es el empleo el umero de vajeros y la estaca meda. Obteemos los sumatoros de los productos cruzados: Y Y E cosecueca: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

82 7 ( ' ) ( 'Y ) Vamos a estmar el modelo propuesto por Mímos Cuadrados Ordaros. Para ello, basta co multplcar las matrces tal que: ˆ β ( ' ) ' Y 5,70 0,00,67 Por lo que el modelo queda como sgue: Ŷ -5,70+0,00 +,67 dode ˆ β 0, 00 dca el efecto, sobre el grado de ocupacó hotelera, de las varacoes utaras del úmero medo de turstas y ˆ β, 67 mde la varacó que se producría e el grado de ocupacó hotelera s la estaca meda aumetara e ua udad. E cosecueca u aumeto de las estacas medas de los turstas e Catabra de,4 días a 3 día sgfcaría u aumeto del empleo del sector e.607 persoas. 6.. Defcecas Muestrales: Multcolealdad y Errores de Medda Multcolealdad El feómeo de la multcolealdad aparece cuado las varables exógeas de u modelo ecoométrco está correlacoadas etre sí, lo que tee cosecuecas egatvas para la estmacó por Mímos Cuadrados Ordaros pues, e ese caso, e la expresó: ˆ β ( ' ) ' Y la matrz ( ' ) o será vertble por lo que resultará mposble hallar la estmacó de los parámetros del modelo y la varaza de los msmos. Esto es lo que se cooce por el ombre de multcolealdad exacta. S embargo, e la práctca o os ecotraremos co u caso ta extremo como el que acabamos de expoer, so que geeralmete os ecotraremos ate multcolealdad aproxmada, sedo ua de las columas de la matrz ( ' ), aproxmadamete, ua combacó leal del resto por lo que será ua matrz aproxmadamete sgular. Al o ser el determate de ( ' ) gual a cero, exstrá versa y podrá estmarse los parámetros pero co las sguetes cosecuecas: Por u lado, pequeñas varacoes muestrales producdas al corporar o sustraer u úmero reducdo de observacoes muestrales podría geerar mportates cambos e los parámetros estmados. Por otro lado, la matrz de covarazas del estmador MCO, ( ) S ˆ ββˆ S ' ser u múltplo de ( ' ), será muy grade por ser el determate de ( ' ) e, al Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

83 muy pequeño por lo que la estmacó realzada será muy poco precsa al ser la desvacó típca de cada parámetro muy elevada. Las solucoes propuestas para resolver el problema de la multcolealdad so varados, s be e geeral resulta poco satsfactoros: Ua posbldad, sugerda por Johsto (984) cosste e exclur aquella varable exógea que puede estar muy correlacoada co el resto y posterormete estmar el coefcete asocado a dcha varable medate otro procedmeto para clurlo e el modelo. També se ha sugerdo la posbldad de reformular el modelo, covrtédolo e u modelo de varas ecuacoes. Errores de medda Cuado hablamos de errores e las varables os refermos a los errores de medcó de las msmas. Como el alumo ya debería coocer, al medr las relacoes exstetes e Ecoomía recurrmos a varables obtedas, la mayoría de las veces por medo de estmacoes muestrales, esto es, a través de u muestreo represetatvo de las udades que las geera (cosumo teror de u país, produccó, etc.) o dervadas de éstas (Producto Iteror Bruto, etc.). Estas estmacoes de las varables macroecoómcas va asocadas a u error de muestreo. Las varables cuatfcadas a través de muestreos represetatvos, o sólo se da al trabajar co macromagtudes, ecotrádoselas també el vestgador e todas las dscplas (Marketg, Cotabldad, etc.) Es mportate, por tato, que al efectuar cualquer tpo de vestgacó y aálss, se coozca la fuete y orge de los datos, así como sus característcas báscas (error de muestreo, vel de cofaza, tpo de muestreo, tamaños muestrales, uverso de refereca, flueca o sesgo de la o respuesta, etc.). El hecho de que los errores e las varables a medr exsta, ha producdo ua cotroversa a lo largo del tempo etre los ecoómetras, exstedo partdaros de su tratameto así como partdaros de o teerlos e cueta. A estos errores se les propuso como los causates de las dscrepacas e los valores observados y la regresó, fudametádose e la dfereca exstete etre las varables teórcas y las varables empírcas. La aceptacó de la exsteca de errores e la medcó de las varables produce u problema de aceptacó de cossteca e las estmacoes mímo cuadrátcas debdo a que, evdetemete, s ua varable esta medda co error éste se reflejará e la perturbacó aleatora, producédose ua correlacó etre ambos compoetes de la ecuacó. E estos casos se utlza la defcó de varable latete, como la varable real, que o sempre cocdrá co la varable empírca u observada. La varable latete se descrbe como la varable observada más el térmo de error. Llevado el problema a u modelo cocreto, se puede observar como susttuyedo las varables a aalzar (sempre se supoe que se desea trabajar co varables reales latetes ) por las varables observadas más el error de medda, se llega al problema descrto. Este problema dfere e su magtud segú s el error se da e las varables explcatvas o e las varables edógeas. Así, s sólo exste errores e la varable edógea, los estmadores mímo cuadrátcos será sesgados y cosstetes, pero presetará u problema de efceca (se cremeta la varaza del error). S, por el cotraro, los errores de medcó se ecuetra e las varables explcatvas del modelo, los estmadores mímo cuadrátcos será sesgados e cosstetes. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

84 Otro hecho a teer e cueta es que habtualmete o se cooce el valor real de la varable, o coocédose, por tato, el error cometdo e su medcó (estmacó), debedo el vestgador trabajar co la varable observada, lo que coduce a la ecesdad de trabajar co estmadores cosstetes. Actualmete exste ua líea de vestgacó e la cual se trabaja co errores e las varables, coocda como el aálss de ecuacoes estructurales los cuales, partedo del hecho de que o se mde perfectamete las varables latetes medate la formacó dspoble, corpora detro de su mplemetacó los errores de medda. Detro de esta líea de vestgacó cabe destacar los sguetes métodos: Método de Agrupacó de las Observacoes, que cosste e la dvsó de los valores muestrales e grupos o submuestras a partr de los cuales, ua vez ordeados de meor a mayor los valores de la varable explcatva, se calcula las medas artmétcas, obteédose de esta maera tato la pedete como el térmo depedete. Los estmadores así obtedos so cosstetes, pero o efcetes. Método de Varables Istrumetales (VI), cosste e ecotrar u strumeto o varable que, o estado cluda e el modelo, esté correlacoada co el térmo de error y correlacoada co la varable explcatva para la que actúa de strumeto y que posee errores de medda. El estmador obtedo de esta maera será u estmador cosstete, s be el método platea certas dfcultades, ya que es dfícl ecotrar e la práctca strumetos de ua varable medda co error que o esté correlacoados co el térmo de error. Método de la Regresó Poderada, e la que se da ua poderacó gual a los errores de y de Y. Posterormete, y ua vez fjada la relacó etre las varazas de los errores, se procede a estmar e fucó de Y, y de Y e fucó de, debedo ecotrarse la regresó verdadera etre ambas estmacoes Modelo co varables cuattatvas y cualtatvas como regresores. E u modelo ecoométrco, se etede por varable al cocepto ecoómco que queremos aalzar. Normalmete utlzaremos varables cuattatvas, es decr, aquellas cuyos valores vee expresados de forma umérca. S embargo, també exste la posbldad de clur e el modelo ecoométrco formacó cualtatva, sempre que la formacó cualtatva pueda expresarse de forma cuattatva. Detro de este tpo de varables se dstgue:: Varables proxes: so varables aproxmadas a la varables objeto de aálss. Por ejemplo, s quero utlzar ua varable que mda el vel cultural de u país (varable cualtatva) puedo utlzar como varable proxy el úmero de bblotecas exstetes e u país, que s be o recoge el cocepto exacto que yo quero medr, s se aproxma al msmo. Varables fctcas o dummy: estas varables toma úcamete (e prcpo) dos valores arbtraros segú se de o o certa cualdad e u feómeo. Habtualmete a la varable fctca se le asga el valor s ocurre u determado feómeo y 0 e caso cotraro. Estas varables, a su vez, puede ser de dos tpos: Fctca de tervalo: Por ejemplo s estoy aalzado la varable exportacoes e España desde 970 hasta el año 000, hay u hecho mportate que es la etrada de España e la Uó Ecoómca que debo recoger a través de la utlzacó de la varable fctca. Fctca de escaló: Por ejemplo s está aalzado el crecmeto ecoómco de u país e el que e u año determado hubo u acotecmeto meteorológco que tuvo ua repercusó egatva sobre la ecoomía, al Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

85 tratarse éste u dato casual (y o equlbrado co el resto de valores que toma la sere) debo troducr e el modelo este tpo de formacó para que la tega e cueta e la estmacó y cometa u meor error. Varables defdas por su perteeca o o a u grupo: s yo tego ua varable cualtatva que me defe la perteeca o o de u país a u grupo (por ejemplo reta alta, meda y baja) podré troducr esta varable cualtatva e el modelo codfcádola, es decr expresado sus valores e úmeros de tal forma que puedo asocar cada vel de reta co u valor úmero arbtraro (por ejemplo : reta baja; : reta meda; y 3: reta alta).se etede por datos, los dferetes valores que toma ua varable. Los datos puede correspoder a los valores de ua varable e el tempo (sere temporal), o avalores para dferetes sujetos e u mometo dado (datos de corte trasversal). A cotuacó vamos a platear el ejercco de la clusó de ua varables cualtatva dcotómcas ó dummy e u modelo de regresó leal. Supogamos que teemos el sguete modelo: Y t β +β t +ε t () sedo,.,t, T + T E el perodo T sabemos de la exsteca de u suceso extraordaro que afecta a la evolucó de la varable depedete, y queremos lógcamete saber el efecto que causa dcho suceso extraordaro sobre la ecuacó a estmar. Por ello habremos de defr las sguetes varables dummy: D t 0 s t T s t > T D t ( D t 0 ) s t T s t > T La estructura de ambas varables sería la sguete: D. 0 D... 0 D tee tatos como observacoes hay hasta T y D tee tatos como observacoes hay etre T y T. Aalzar el efecto del suceso extraordaro sobre la regresó, puede realzarse de forma separada para cada perodo de a T y T a T o cojutamete para todo el perodo, be sobre el termo costate B o sobre la pedete B. Para el aálss del térmo costate tedremos que platear los sguetes modelos de regresó: Y t β +α D t +β t +ε t () Y t β +α D t +β t +ε t (3) Y t α D t +α D t +β t +ε t (4) E este caso : Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

86 S se utlza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α 0 S se utlza la especfcacó del modelo (3) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α 0 S se utlza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α α S queremos aalzar la pedete del modelo, platearemos las sguetes ecuacoes de regresó: Para el aálss del térmo costate tedremos que platear los sguetes modelos de regresó: Y t β +β t +δ (D t t )+ε t (5) Y t β +β t +δ (D t t )+ε t (6) Y t β +δ (D t t )+ +δ (D t t )+ε t (7) E cuyo caso: S se utlza la especfcacó del modelo (5) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ 0 S se utlza la especfcacó del modelo (6) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ 0 S se utlza la especfcacó del modelo (7) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ δ Las varables dummy també puede ser utlzadas para modelzar varables defdas por su perteeca o o a u grupo. Supogamos ahora que estamos modelzado la relacó que exste etre la reta dspoble y las prmas de seguro cotratadas por u grupo N de dvduos, a partr de datos del mporte de las prmas de seguro cotratadas por cada dvduo Y, y la reta o los gresos que declara cada uo de ellos R : Y β +β R +ε t (8), sedo..n De este grupo de dvduos coocemos alguas otras característcas que puede ser trascedetes a la hora de uestro aálss, por ejemplo el vel de estudos. E cocreto dspoemos de formacó sobre el vel de estudos que ha completado: s estudos, prmaros, secudaros o uverstaros. Utlzado dcha formacó creamos las sguetes varables dummy: D t s tee estudos uverstaros 0 s o tee estudos uverstaros D t s o tee estudos uverstaros ( Dt ) 0 s tee estudos uverstaros S por ejemplo la muestra de dvduos que teemos es de 0 (N0), de los cuales tres de ello tee estudos uverstaros, las varables dummy tedría la sguete estructura: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

87 D 0 D Al gual que e el ejemplo ateror el vestgador puede estar teresado e aalzar el efecto que tee el vel de formacó e el gasto e prmas de seguros de los dferetes dvduos. Al gual que e el ejemplo ateror podemos cotrastar el efecto que tee el vel de estudos e el termo depedete (α), o e el coefcete (β) que relacoa el vel de reta co el mporte pagado e prmas. El plateameto del problema para el aálss del térmo costate sería etoces: Y β +α D +β R +ε (9) Y β +α D +β R +ε (0) Y α D +α D +β R +ε () E este caso: S se utlza la especfcacó del modelo (9) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α 0 S se utlza la especfcacó del modelo (0) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α 0 S se utlza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : α α Para el aálss de la pedete tedremos que platear los sguetes modelos de regresó: Y β +β R +δ (D R )+ε () Y β +β R +δ (D R )+ε (3) Y β +δ (D R )+ +δ (D R )+ε (4) E cuyo caso: S se utlza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ 0 S se utlza la especfcacó del modelo (3) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ 0 S se utlza la especfcacó del modelo (4) el aálss de la varabldad de β exge cotrastar la hpótess ula H 0 : δ δ Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

88 6.4. El empleo de varables cualtatvas para el tratameto de la estacoaldad E Ecoomía se suele trabajar co datos auales, pero e muchos casos y dervado del carácter predctvo del modelo o be de la objetva utlzacó del msmo, se hace ecesaro trabajar co seres de datos daras, mesuales o trmestrales, y muchas seres e ecoomía geeralmete adolece del carácter estacoal de las msmas (cosumos bajos e los meses de verao, cosumos turístcos altos e este perodo, dsmucó de las vetas e domgos y lues, etc.) Las varables dummy puede utlzarse para recoger el efecto de la estacoaldad e el modelo ecoométrco que estmamos. Las varables dummy para ajuste estacoal so varables artfcales que asume valores dscretos, geeralmete de 0 y. Estas fuero orgalmete aplcadas por Lovell a cos de los años 60 y srve para "explcar" la estacoaldad e las seres de tempo, la cual, como se señalo e el apartado 6.3, es u patró de comportameto regular de ua sere a lo largo de cada año, que puede obedecer a factores tales como costumbres, días festvos decretados, vacacoes de verao, época de avdad y otros factores smlares que ocasoa cremetos o dsmucoes e las magtudes de certas varables, como por ejemplo la produccó, las vetas, etc. S se trabaja co datos trmestrales, cabría pesar e utlzar ua varables artfcal para cada trmestre, que defdas como: q, q, q 3 y q 4 ; su represetacó matrcal para dos años cualesquera sería: x x x 3 x4 x 5 x6 x 7 x8. No obstate hay que teer presete que las columas correspodetes a las varables estacoales daría lugar a ua combacó leal exacta co la costate, lo cual producría que el determate de la matrz ' fuera gual a cero y, por tato, sgular (o vertble), lo que mpde estmar los coefcetes del modelo de regresó. Para evtar este coveete se utlza úcamete tres de las cuatro varables dummy y por supuesto la costate. Así, s se excluye la varable q 4 e la matrz, el efecto estadístco de la varable omtda estaría mplíctamete recogdo co la columa de la costate. E deftva, la matrz de varables exógeas estaría determada por las tres dummy: q, q, q 3 y la costate, y las varables exógeas cuattatvas co lo cual la matrz sería: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

89 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral x x x x x x x x Otra forma muy utlzada cosste e expresar las varables artfcales estacoales como desvacoes co respecto a la que correspode al cuarto trmestre. Estas uevas varables, que podría deomarse S, S y S 3, correspodería a las sguetes dferecas vectorales: S q - q 4 S q - q 4 S 3 q 3 - q 4 Ua vez efectuadas las operacoes aterores e corporado el vector de la costate, la ueva matrz queda defda de la sguete maera: x x x x x x x x Como se observa e la matrz ateror, los vectores de las varables dummy estacoales ha sdo defdos de forma tal que su suma sea cero e cada año, por lo que este sstema permte que el efecto estacoal se aule e el año y que se obve el problema de sgulardad de la matrz. A maera de ejemplo, cosdérese u modelo de regresó co cfras trmestrales, e dode la varable Y depede de la varable y e el que se corpora tres varables dummy trmestrales (S, para todo,, 3) y u térmo de error ( ). Este modelo estaría represetado de la sguete maera: Y S + S + 3S 3 + La estmacó se llevaría a cabo co las tres varables dummy trmestrales S, S y S 3. Los coefcetes de las tres varables dummy detfca las dferecas co respecto al cuarto trmestre. Es mportate mecoar que e el caso de varables co perodcdad mesual, se crearía úcamete oce varables estacoales, e forma equvalete a lo explcado e esta seccó.

90 S embargo, e este caso se preseta el coveete de que se requere gra catdad de observacoes. No obstate hay que teer presete que el uso de las varables estacoales preseta problemas cuado la estacoaldad de la sere Y es móvl, es decr, cuado varía año co año. E este caso, es dfícl que modelos de este tpo capture de ua forma adecuada la estacoaldad de la varable depedete. Ejemplo 6.. Se dspoe de datos trmestrales correspodetes a los ejerccos , relatvos al cosumo de electrcdad e GWh e España (Y t ) y al PIB a precos de mercado e mlloes de euros costates de 995. Tabla 7. Año Q Demada de Electrcdad PIB (mlloes de (GWh) euros) Fuete: Mstero de Ecoomía Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

91 E la fgura 6. se apreca el carácter estacoal de la demada de eergía eléctrca: Cosumo de Electrcdad (GWh) Fg. 6.. Cosumo Trmestral de Electrcdad Los trmestres de mayor cosumo so los terceros y cuartos (otoño e vero) y los de meor, el segudo y tercero (prmavera y verao). Para evtar la multcolealdad estmamos co las cualtatvas de los tres prmeros trmestres: Y t -4,705.+3,087.Q t -996.Q t +,066.Q3 t t +e t co los sguetes resultados: Coefcete de determacó R Estadístcas de la regresó Coefcete de correlacó múltple R ajustado Error típco Observacoes 3 Coefcete s Error típco Estadístco t Itercepcó PIB Q Q Q Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

92 Para cosderar la hpótess H 0 : β 0, hay que teer presete que el valor teórco de la t-studet correspodete a ua dstrbucó co (3-5) grados de lbertad es.69 para α0.05/ (95% de cofaza). Se comprueba, por tato, que todos los coefcetes so sgfcatvamete dsttos de cero El modelo probablístco leal El modelo de probabldad leal se caracterza por teer la varable edógea y dcotómca o bara, es decr toma el valor y s u determado suceso ocurre y el valor y0 e caso cotraro. Estos modelos so gra utlzacó e aálss estadístco e las cecas socales, pero ecuetra ua dfícl aplcacó e el aálss estadístco e ecoomía debdo a las dfcultades de terpretacó ecoómca de los resultados que ofrece este tpo de vestgacoes. A este respecto, hay que cosderar que estos modelos lo que realmete vestga es la probabldad de que se de ua opcó (determada por la varable edógea) o o se de (valores y o y0). A pesar del carácter dcotómco de la varable edógea, el modelo de probabldad leal se especfca de la forma habtual, teedo presete que las varables exógeas o so dcotómcas so cotuas: Y β +β +ε () sedo, N De acuerdo co la expresó () el hecho de que la varable edógea tome valores dscretos ( ó 0), el térmo de perturbacó ε, úcamete puede tomar dos valores: S Y 0 ε -β - β co probabldad p. S Y ε -β - β co probabldad (-p). Dado que la esperaza del térmo de error ha de ser ula E(ε )0, etoces se demuestra que p -β -β y (-p) β +β, lo que permte evaluar la probabldad de que la varable edógea tome el valor correspodete: Prob (Y 0) Prob (ε -β - β ) p -β - β. Prob (Y ) Prob (ε -β - β ) (-p) β + β. A su vez la varaza del térmo de perturbacó, se calcularía a partr de p: Var(ε ) (-β -β )( β +β )p*(-p) Ua problemátca herete a los estmadores MCO de estos modelos, so los sguetes: La perturbacó aleatora (ε ) o sgue ua dstrbucó ormal. Es secllo observar este hecho ya que el carácter baro ( o 0) de la varable edógea afecta a la dstrbucó de la perturbacó, teedo esta ua dstrbucó Bomal. Este problema se amora cuado se utlza tamaños de muestra (N) grades e dode la dstrbucó Bomal es susceptble de aproxmarse a ua Normal. La perturbacó aleatora o tee ua varaza costate (es heteroscedástca), lo cual supoe ua falta de efceca. Para solucoarlo habría que realzar trasformacoes que os dese ua perturbacó homocedástca, esta trasformacó cosste e multplcar todas las varables por ua certa catdad que elme el problema de la heteroscedastcdad. Dcha catdad puede ser: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

93 ) ) ( β + β ) )( β ) β sedo β los estmacoes MCO del modelo. ) El mayor problema que platea estos modelos es o obstate que las predccoes realzadas sobre la varable edógea o sempre se ecuetra e el tervalo [0,], ya que puede ser mayores que cero y meores que. Este problema tee dos solucoes, ua es tomar como valor 0 todas las estmacoes de la varable edógea co valores egatvos, y cuado estas resulte mayores que. La seguda, solucó es utlzar fucoes de dstrbucó que esté acotadas etre cero y uo. Segú sea esta dstrbucó tedremos las dsttas versoes de los modelos co varable depedete dcotómca. Las más utlzadas so los modelos Probt y Logt. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

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95 7. NUMEROS INDICES 7.. Itroduccó El úmero ídce es u valor expresado como porcetaje de ua cfra que se toma como udad base. Por ejemplo, cuado decmos que el ídce de precos de cosumo (base meda de 9900) correspodete al mes de dcembre de 997 es,9, estamos señalado que los precos e dcembre de 997 era u,9 más elevados que los que estaba e vgor a lo largo de 99. Los úmeros ídces o tee udades y puede referrse tato a precos (ídce de precos de cosumo, ídce de precos percbdos por los agrcultores, ídce de precos dustrales) como a catdades (ídce de produccó dustral). El úmero ídce es u recurso estadístco para medr dferecas etre grupos de datos. U úmero ídce se puede costrur de muchas formas dsttas. La forma de cada ídce e partcular depederá del uso que se le quera dar. Los úmeros ídces se elabora tato co precos (p) como co catdades (q). El año e que se ca el cálculo de u úmero ídce se deoma año base y se ombra por p 0 o q 0 segú tratemos de precos o de catdades, a los precos o las catdades de los años sucesvos los dcamos por p t o q t. S trabajamos co dferetes tpos de mercacías utlzamos los subídces () para referros a u tpo de mercacía, de modo que utlzamos los símbolos p t o q t para señalar el preco o la catdad de la mercacía e el período t. S hubese N mercacías el valor total de la cesta de productos durate el perodo t se expresa : Valor total durate el perodo t N p t q t Los úmeros ídces se clasfca e poderados y o poderados. Los úmeros ídces o poderados so los más secllos de calcular, pero debe de utlzarse co especal cudado. Los úmeros ídces poderados requere que defamos prevamete a su costruccó los crteros de poderacó o de peso. Ua vez defda ua poderacó debe de respetarse e los sucesvos períodos. E este apartado estudaremos los ídces poderados que so de aplcacó comú. A la hora de elaborar u úmero ídce hay que teer presete ua sere de propedades que el ídce debe de cumplr. Dchas propedades so: a) Exsteca: Todo úmero ídce ha de teer u valor fto dstto de cero. b) Idetdad: S se hace cocdr el período base y el período actual el valor del ídce tee que ser gual a la udad (o 00 s se elabora e porcetajes). c) Iversó: El valor del ídce ha de ser vertble al tercambar los períodos etre sí. Es decr : I o t el ídce del año o calculado co la base del año t, ha de ser gual al verso t I o del ídce del año t calculado e base del año o. d) Proporcoaldad: S e el período actual todas las magtudes expermeta ua varacó proporcoal, el úmero ídce tee que expermetar també dcha varacó. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

96 e) Homogeedad: U úmero ídce o puede estar afectado por los cambos que se realce e las udades de medda. 7.. Ídces smples y complejos Cosderado u período determado (por ejemplo, eero de 990) como período base del ídce, se elabora el ídce smple a partr de la razó de precos (precos relatvos) o catdades (catdades relatvas) respecto al valor de aquéllos e el período base multplcados por 00: I t xt 00 x o E el sguete período el ídce smple sería I ( t + ) x ( t + ) x o 00 Al comparar los úmeros ídce I t e I (t+) se ve el cremeto del preco de dcho producto e cuestó. Los ídces smples puede agregarse de dferetes formas, a dchas agregacoes se les cooce como ídces complejos. S supoemos que teemos N dferetes productos, obtedríamos operado los sguetes ídces complejos: a) ídce meda artmétca de ídces smples cuado operamos del sguete modo : I I I I I N N N N b) ídce meda geométrca de ídces smples cuado operamos del sguete modo : I N I. I... I N I N N c) ídce meda armóca de ídces smples cuado operamos del sguete modo : I N N N I I I I N d) ídce meda agregatva de ídces smples cuado operamos del sguete modo : I x + x x t t Nt N x o + xo xno N x x t o Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

97 7.3. Ídces poderados. Ua poderacó w es u valor de refereca para cada producto que determa su mportaca relatva e el ídce total. Al ser el poderador u valor relatvo lo ormal es que se presete calculado e tato por uo, por ceto ó por ml, expresado así el porcetaje que represeta dcho producto e la cesta de productos que cubre el ídce: W p q 0 0 p q 0 0 Ua vez obtedos los poderadores (w ) se calcula el ídce meda artmétca poderada de ídces smples cuado operamos del sguete modo : I I w I w I w N w + w w N N N N I. w w Ejemplo 7.. E la tabla 7. aparece la formacó que dspoemos sobre ua cesta de productos: Productos Preco veta Udades Preco veta Udades Preco veta Udades M 3000, 4000, M,5 4000,5 3000, M ,4 000 M , ,5 000 Calculamos los ídces smples de precos para los productos de la cesta: Productos M 00 0,00 40,00 M 00 00,00 06,67 M ,00 0,00 M4 00,50,50 Los ídces smples para la cesta de productos será: Idces smples Meda artmétca Meda geométrca Meda armóca Meda agregatva ,3 9, ,79 9, ,46 8, ,3 9,79 El poderador sería tato por uo el valor del producto, es decr el preco por la catdad vedda, e el total veddo: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

98 M 0, ,8085 0,68968 M 0,7777 0, , M3 0,7773 0, , M4 0, , , Y el ídce meda artmetca poderado resultará ser los sguetes: Idce poderado Meda artmétca ,57 9, Ídces de precos. Los ídces de precos se elabora usualmete utlzado ídces complejos poderados, sedo los más utlzados los deomados ídces de Laspeyres, Paasche y Fsher. a) Ídce de Laspeyres El ídce de Laspeyres es ua meda artmétca poderada de ídces smples, cuyo crtero de poderacó es w p o.q o. La fórmula que defe el ídce de Laspeyres es la sguete: Lp N N I w I N N p q t p q o o o Se suele utlzar este ídce a la hora de elaborar los ídces de precos por cuestoes práctcas ya que úcamete requere vestgar e el año base el valor de los poderadores, que es la parte mas costosa de la elaboracó del ídce, (tégase e cueta que e el IPC se realza ua ecuesta de presupuestos famlares e los años base que requere ua muestra de hogares). Ua vez determados los poderadores el ídce de Laspeyres úcamete requere que se vestgue e los sucesvos períodos la evolucó de los precos. b) Ídce de Paasche També es ua meda artmétca poderada de los ídces smples, pero utlzado como coefcete poderador w p o.q t ; por tato su defcó queda como: Pp N N I w I N N p q t p q o t t La dfereca etre el ídce Paasche y el ídce Laspeyres es que exge calcular las poderacoes para cada perodo correte t, hacedo su cálculo estadístco más laboroso, y presetado el coveete de que sólo permte comparar la evolucó del preco de cada año co el año base, dado que las poderacoes varía de período e período. Ambas razoes ha determado que este ídce sea más usual que el ateror. c) Ídce de Fsher. El ídce de Fsher es la meda geométrca de los ídces de Laspeyres y Paasche, es decr : Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

99 Ep Lp. Pp Como los ídces de precos de cosdera u año determado para calcular el poderador be sea a partr de q 0.p 0, o de q t.p 0, utlza la deomacó de año base para referrse al año 0 a partr del que se calcula el poderador w Elaces y cambos de base. Uo de los problemas que tee los ídces poderados como el ídce de Laspeyres es que perde represetatvdad a medda que los datos se aleja del perodo base. Tégase presete que, por ejemplo, el IPC que el INE calculó e 99 utlzó los poderadores obtedos e la Ecuesta de Presupuestos Famlares de 983 que, a su vez, reflejaba la estructura meda de cosumo de los españoles e aquel año. El tempo trascurrdo etre 983 y 99 era lo sufcetemete dlatado para que se hubera producdo cambos e los hábtos de cosumo y e cosecueca el INE procedó a elaborar ua ueva Ecuesta de Presupuesto Famlares (la de 99), cuya estructura de cosumo ó cesta de compra es la que actualmete se utlza como base para obteer el IPC. La decsó que tomó el INE de realzar u uevo IPC co la estructura de cosumo resultate de la Ecuesta de Presupuestos Famlares de 99 es lo que provoca el Cambo de Base del IPC. Al ser los poderadores dsttos los utlzados etre 983 y 99 y los actuales, los ídces de precos so esecalmete dsttos, y por lo tato o se puede comparar a pror etre sí. El procedmeto a través del cual hacemos comparables úmeros ídces obtedos co bases dsttas es lo que se deoma Elace. El elace de ídces se basa e la propedad de versó de los úmeros ídces. Supogamos que queremos efectuar u cambo de base desde u ídce costrudo co base 99, a otro e base 00. Sea I t 9 el ídce costrudo e base 99 e I t 0 el ídce costrudo co la base 00, etoces: I t 0 I. I t I 9 I I I t E el caso del IPC español el INE publca el valor del cocete I I que deoma coefcete legal de elace. El valor del coefcete legal de elace el la sere del IPC base 00 y el costrudo co la base 99 para España y Catabra, fgura e la tabla sguete: Tabla º 7. Idce de Precos de Cosumo. Base 00. Coefcetes de Elace IPC. Base 00. Coefcetes de Elace. Comudades Autóomas. Grupos COICOP Nacoal Catabra Geeral. Base 00 0, , Almetos Y Bebdas No Alcohólcas 0, ,76984 Bebdas Alcohólcas Y Tabaco 0, ,5806 Vestdo Y Calzado 0,8434 0, Vveda 0, ,76533 Meaje 0, ,8590 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

100 Medca 0, ,8763 Trasporte 0,776 0,7080 Comucacoes 0, ,8049 Oco Y Cultura 0, ,79466 Eseñaza 0, ,5689 Hoteles, Caf s Y Restaurates 0, ,66708 Otros Bees Y Servcos 0,7060 0, Fuete: Isttuto Nacoal de Estadístca Las seres elazadas se calcula multplcado cada uo de los ídces e base 9 por este coefcete. No obstate, hay que teer presete que estos coefcetes matee las tasas de varacó publcadas hasta dcembre de 00 de los ídces e base 99 pero o permte calcular tasas de varacó etre perodos de dsttas bases, ya que o solucoa la ruptura ocasoada por la clusó de los precos rebajados. Por lo tato, las tasas de varacó etre perodos de dsttas bases obtedas medate los ídces e base 99 elazados co el coefcete de elace legal y los ídces e base 00 o estaría be calculadas. Ejemplo 7. A cotuacó vamos ha realzar u ejercco de elace de dferetes bases del ídce de precos percbdos por los agrcultores. E la Tabla º 7.3 teemos ua tabla co las seres del Ídce de Precos Percbdos por la Agrcultores e España del producto Leche, base 995; y la sere de dcho ídce e base 000. El elace de la sere a la base 000 se realza coforme a la regla ates expuesta: Tabla º 7.3 Idce de precos percbdos por los agrcultores e España. Preco de la leche. Años Precos de la leche (Base 995) Precos Leche (Base 000) Precos Leche (Elace ) ,96 96, ,70 98, , 0, ,0 00, ,33 00,00 00, ,6 0,3 0, ,6 04, ,0 04, ,0 0, ,5 09, ,54 07,54 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

101 7.6. Deflactacó de seres ecoómcas. La utldad más mportate que tee los ídces de precos, aparte de descrbr el comportameto de los precos durate u período cocreto, es la de deflactar seres croológcas o temporales valoradas e pesetas. Deflactar es elmar el compoete de subda de precos que es herete a toda sere temporal que vee referda a u valor moetaro (vetas de ua empresa, los depóstos y crédtos bacaros, el PIB, etc...). Las vetas de ua empresa, por ejemplo, se cremeta de u año a otro (ó de u mes a otro), be por haber aumetado el úmero de peddos que realza los cletes o be por que la empresa o el mercado haya decddo ua subda e los precos de los artículos peddos. S osotros valoramos el úmero de peddos del año actual utlzado los precos vgetes el ejercco pasado dspodríamos de u elemeto comparatvo co respecto al ejercco ateror que os señalaría de maera equívoca s uestro volume de egoco se ha cremetado co depedeca de lo ocurrdo co los precos E cosecueca, cuado obteemos el valor de la sere utlzado como refereca para su valoracó el preco que rge e u período determado (u año e cocreto), realzamos ua valoracó a precos costates e tato que dcha sere valorada a los precos vgetes e cada período os da su valor a precos corretes. E la práctca, para pasar de ua sere e pesetas corretes a pesetas costates se realza dvdedo la prmera por u ídce de precos adecuado. Este procedmeto recbe el ombre de deflactacó y al ídce de precos elegdo se le deoma deflactor. No obstate, hay que señalar que, cuado utlzamos como deflactor u ídce de Laspeyres: vt lp Σp t. qt Σpo. q Σp t. qo Σp o. qo o Σpt. q Σpt. q t o No pasamos exactamete valores corretes a costate, cosa que s ocurre co el Idce de Paasche cuado es utlzado como del vt lp Σp t. qt Σpo. q Σp t. qt Σp o. qt o E el cuadro sguete se ha deflactado la sere de salaros ordaros e la costruccó de Catabra por trabajador e el perodo 00 a 006 utlzado el Ídce Geeral de Precos al Cosumo de Catabra de 00 a 006 (meda trmestral) e base 006: Tabla º 7. Año Coste salaral ordaro Coste salaral e euros del 006 Trmestre IPC 00 05,6 87,04 70, , 88,84 309, ,78 88,80 348, ,04 90,6 334, ,87 90,05 3, ,98 9,06 336, ,49 90,96 39, ,4 9,44 36, ,0 9,77 33,9 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

102 004 65,44 93,79 349, ,4 93,66 33, ,6 95,30 343, ,86 94,5 363, ,36 96,58 347, ,75 96,89 337, ,46 98,43 34, ,89 98,3 383, ,9 00,43 363, ,9 00,3 38, ,9 00,94 350, ,7 00,5 348, ,98 0,66 353, ,7 0,76 390,35 Fuete : ICANE. 7.7 Prcpales ídces de precos españoles. A cotuacó expoemos las prcpales carácterístcas de los ídces de precos españoles: Ídce de Precos al Cosumo (IPC) El IPC es ua medda estadístca de la evolucó del cojuto de precos de los bees y servcos que cosume la poblacó resdete e vvedas famlares e España. El cosumo se defe e el IPC a través de todos los gastos que los hogares dedca al cosumo; se excluye, por tato, las versoes que realza los hogares. Además, sólo se tee e cueta los gastos reales que realza la poblacó, lo que mplca la exclusó de cualquer operacó de gasto mputada (autocosumo, autosumstro, alquler mputado, salaro e espece o cosumos subvecoados, como los sataros o educacoales). La cesta de la compra para elaborar el IPC se obteía de ua ecuesta de gastos de cosumo de los hogares. Tradcoalmete, el IPC cambaba de base cada ocho o ueve años; esto era así porque la fuete utlzada para la elaboracó de las poderacoes y de la cesta de la compra era la Ecuesta Básca de Presupuestos Famlares (EBPF), cuya perodcdad marcaba la de los cambos de base del IPC. De hecho hasta 997 covvía dos ecuestas de presupuestos famlares: ua cotua, co perodcdad trmestral, y ua básca, que se realzaba cada ocho o ueve años. A partr de ese año ambas ecuestas fuero susttudas por ua sola, cuya perodcdad es trmestral y la formacó que proporcoa está más cercaa a la ecuesta básca, e cuato al vel de desagregacó. Esta ueva ecuesta, deomada Ecuesta Cotua de Presupuestos Famlares (ECPF), proporcoa la formacó ecesara para realzar u cambo de sstema del IPC, la actualzacó de las poderacoes así como la reovacó de la composcó de la cesta de la compra. Pero, además, posblta la actualzacó permaete de dchas poderacoes así como la revsó de la cesta de la compra. Para calcular el IPC e las bases aterores al 00 correspodete al período t se utlza el ídce de Laspeyres. La poderacó de u artículo (wpo.qo) represeta la proporcó del gasto efectuado e ese artículo respecto al gasto total efectuado por los hogares. La estructura de poderacoes permaecía fja durate el período de vgeca del Sstema de Ídces de Precos de Cosumo. La ueva fórmula de cálculo del IPC Base 00 se deoma Laspeyres ecadeado, el período de refereca de los precos varía cada año. Durate el año 00 cocde co el año base y para Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

103 años posterores al 00 será el mes de dcembre del año medatamete ateror al cosderado. El prcpal coveete de estos ídces es la falta de adtvdad, o permte obteer el dce medo a partr de la suma poderada de los dces que lo compoe. El ídce geeral o se puede obteer como meda poderada de los doce grupos. El úmero total de artículos que compoe la cesta de la compra del IPC base 00 es 484. La estructura fucoal del IPC costa de grupos, 37 subgrupos, 80 clases y 7 subclases. També, a dfereca de las bases aterores, los precos medos utlzados e el cálculo del ídce se obtee a partr de medas geométrcas. La etrada e vgor del Sstema 00 supuso també ua ruptura e las seres de ídces debdo a la clusó de los precos rebajados. Esta ruptura afecta al cálculo de las tasas de varacó cuado los ídces de los períodos de tempo seleccoados está meddos e bases dferetes; cuado esto ocurre, la fórmula geeral para calcular las tasas de varacó debe ser modfcada. El IPC que elabora el INE se armoza a escala europea e el IPCA, este es u dcador estadístco cuyo objetvo es proporcoar ua medda comú de la flacó que permta realzar comparacoes teracoales y examar, así, el cumplmeto que e esta matera exge el Tratado de Maastrcht para la etrada e la Uó Moetara Europea. La base legal del proceso de armozacó del IPC es el Reglameto del Cosejo º 494/95 de 3 de octubre de 995 que establece las drectrces para la obtecó de ídces comparables, así como u caledaro de oblgado cumplmeto para todos los países de la Uó Europea. La prcpal dfereca etre el IPC y el IPCA es que este excluye los Servcos médcos y la Eseñaza reglada. Dferecas meores se da e la poderacó de los Seguros, para los que sólo se cosdera los gastos lgados a las prmas etas, los Automóvles, de los cuales se elma los gastos correspodetes a vetas etre cosumdores, o los Medcametos y productos farmacéutcos, que sólo cluye los o subvecoados. El IPCA está formado por doce grades grupos. Para defr estos grupos se ha utlzado la COICOP. Ídce de Precos Idustrales (IPRI) El IPRI es u dcador coyutural que mde la evolucó mesual de los precos de los productos dustrales fabrcados y veddos e el mercado teror, e el prmer paso de su comercalzacó, es decr, mde la produccó a precos de veta a salda de fábrca obtedos por los establecmetos dustrales e las trasaccoes que estos efectúa, excluyedo los gastos de trasporte y comercalzacó y el IVA facturado. Se elabora a partr de ua ecuesta de perodcdad mesual, que vestga más de establecmetos dustrales. La cobertura del ídce se extede a todos los sectores dustrales excluda la costruccó. El IPRI vestga los precos de las ramas de actvdad dustrales al vel de 4 dígtos de la CNAE (subgrupos). Cada ua de estas ramas de actvdad aparece represetada por ua cesta de productos. Estos productos, a su vez, se desagrega e varedades (desagregacó de productos co característcas físcas sufcetemete homogéeas) y subvaredades (modelos cocretos de ua varedad que fabrca u establecmeto determado). E total se seleccoa.500 varedades y alrededor de datos elemetales o datos prmaros de precos. Se calcula como u Ídce de Laspeyres, que se podera de acuerdo a la mportaca de las ramas de actvdad y de los productos e 000, segú la formacó que sumstra la Ecuesta Idustral, de la sguete forma: Al vel de rama de actvdad (dvsó, agrupacó, grupo y subgrupo de la CNAE) segú el valor de la cfra de egocos. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

104 Al vel de productos, segú el valor de la produccó. E el uevo sstema del ídce de precos dustrales se ofrece formacó para las dsttas Comudades Autóomas. Ídce de Coste de la Costruccó. El Ídce de Coste de la Costruccó ó Ídce de Cosumos termedos de la costruccó se elabora a partr de datos procedetes de la Ecuesta de la Estructura de la Costruccó, y del IPRI. El Ídce de Coste de la Costruccó tee como base el año 990. Es u ídce de Laspeyres que aplca la estructura de poderacoes de materales y cosumos dversos" obteda a partr de la Ecuesta de Estructura de la Costruccó a la evolucó de los precos dustrales del IPRI, base 990. El Ídce de Coste a la Costruccó se desagrega e tres ídces de precos de los cosumos de costruccó segú la tpología de las obras. Ídces de precos percbdos por el agrcultor. El Mstero de Agrcultura y Pesca elabora desde 953 la estadístca Ídce de Precos Percbdos por el agrcultor, que co perodcdad mesual sumstra formacó sobre los precos medos acoales de los productos agraros, e ídces de precos agregados para la totaldad de los productos agraros y para los grupos más sgfcatvos. Los ídces de precos agregados so ídces de Laspeyres que ecesta de poderadores referdos a u año base para formar los úmeros ídces compuestos de dferetes especfcacoes de productos. La base actual co la que se elabora el ídce es la de 990, otros cambos de base tuvero lugar e 965, 976 y 985. La metodología de elaboracó del Ídce de precos percbdos por el agrcultor se apoya e u aálss de la estructura productva y comercal de la produccó agrara e el año base, que da lugar a ua defcó de las especfcacoes de productos a cosderar, la dstrbucó geográfca (áreas terrtorales) y frecueca mesual de las tomas de datos ecesaros. Ello orga ua estructura de poderacoes para cada área geográfca que se utlza para la elaboracó de los precos mesuales, y ua poderacó para cada especfcacó que se utlza para elaborar los Ídces agregados. E deftva, para cada año base se cofeccoa ua matrz e dode fgura las catdades comercalzadas e el período base e cada área terrtoral (provca) y mes, que tee e cueta la estacoaldad de la produccó y la dversdad agroómca de las áreas. De dcha matrz se obtee el caledaro de precos que es vestgado mes a mes por las udades provcales. El preco percbdo se defe como el preco de mercado, s clur gastos de trasporte, adecuacó del producto, mpuestos drectos o tasas. E cojuto se vestga 5555 precos e el cojuto de las áreas, lo que da lugar a especfcacoes de productos. Ídces de precos hoteleros. El Idce de Precos Hoteleros (IPH) es ua medda estadístca de la evolucó mesual del cojuto de las prcpales tarfas de precos que los empresaros aplca a sus cletes. Para su obtecó se utlza la Ecuesta de Ocupacó e Alojametos Turístcos: Establecmetos Hoteleros (EOH) co la formacó que se obtee, mesualmete, de uos establecmetos a los que se les evía u cuestoaro. A partr de esta ecuesta se obtee formacó sobre la ocupacó hotelera (vajeros etrados, peroctacoes, grado de ocupacó etc.), su estructura (plazas, persoal, etc.) y demás varables de terés, co ua ampla desagregacó geográfca y por categorías de los establecmetos. E el cuestoaro, Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

105 se les pde, etre otras varables, los precos aplcados a dsttos tpos de cletes por ua habtacó doble co baño. Esos precos se desglosa e las sguetes tarfas: Tarfa ormal. Tarfa f de semaa. Tarfa especal a tour-operador. Tarfa especal a empresas. Tarfa especal a grupos. El ídce de precos se calcula a partr de: 5 st st I 00 It t dode y, ST t 0 t w st M I t y w t M t 5 M t 0 t M B 0 t 0 t B 0 t que represeta el porcetaje de gresos percbdos por los hoteleros por las habtacoes ocupadas e ua tarfa cocreta sobre los gresos obtedos por el total de tarfas; y sedo, M t st : preco de la habtacó doble co baño (s clur IVA desayuo) e la tarfa t, e el mes s del año T. B t 0 : úmero total de habtacoes ocupadas a las que se les aplcó la tarfa t e el año base. M t 0 : preco medo, e el año base 00, de la habtacó doble co baño (s clur IVA desayuo) e la tarfa t. E la ecuesta se solcta a los hoteleros que dque el porcetaje de aplcacó de cada ua de las tarfas sobre el total de habtacoes ocupadas. De ahí se extrae la formacó para calcular el total de habtacoes ocupadas e cada tarfa para todos los meses del año base. La suma de esa varable a lo largo de los doce meses del año 00 (B t 0 ) es la que se utlza e el cálculo de las poderacoes (W t ). Las poderacoes se calcula a vel de provca, categoría del establecmeto y tarfa, y posterormete se agrega por tarfas, categorías o comudades autóomas segú el ídce agregado que se quera obteer. Dchas poderacoes permaece fjas hasta que se actualza la base, lo cual está prevsto realzar aualmete A dfereca del Ídce de Precos de Cosumo, el IPH es u dcador desde la óptca de la oferta, ya que mde la evolucó de los precos que efectvamete percbe los hoteleros e aplcacó de las dsttas tarfas por las que factura. Por tato, o mde la evolucó de los precos que paga los hogares la tarfa ofcal que aplca los hoteleros, so el comportameto de los precos facturados por los hoteleros a dstto tpo de cletes (hogares, empresas, agecas de vaje y tour-operadores). Se calcula y dfude ídces para las decsete comudades autóomas, Ceuta y Mellla; además, també se publca ídces para las dsttas tarfas a vel acoal. Ídces de costes laborales. El Idce de Costes Laborales es ua operacó estadístca cotua, de carácter coyutural y perodcdad trmestral, que tee por objetvos proporcoar formacó sobre: - El Coste Laboral medo por trabajador y mes. - El Coste Laboral medo por hora efectva de trabajo. - El tempo trabajado y o trabajado. Se obtee resultados acoales y por comudades autóomas. La ecuesta se extede al cojuto de la dustra, la costruccó y los servcos, e cocreto se vestga a aquellas cuetas de cotzacó co actvdades ecoómcas compreddas e las seccoes de la C a la K y de la M a la O de la Clasfcacó Nacoal de Actvdades Ecoómcas 993 (CNAE-93). E total se vestga 54 dvsoes de la CNAE-93. Queda excludas, la Admstracó Públca, Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

106 Defesa y Segurdad Socal Oblgatora (Seccó L de la CNAE-93), el servco doméstco (Seccó P) y los orgasmos extraterrtorales (Seccó Q). Los trabajadores objeto de ecuesta so todos los trabajadores asocados a la cueta de cotzacó por los que haya exstdo oblgacó de cotzar durate al meos u día e el mes de refereca. A efectos del cálculo del coste laboral por trabajador, aquellos que ha estado de alta e la cueta de cotzacó durate u perodo de tempo feror al mes se cotablza como la parte proporcoal al tempo que ha estado de alta e dcha cueta. Para los resultados obtedos de coste salaral y jorada laboral, los trabajadores se clasfca segú su tpo de jorada e trabajadores a tempo completo y a tempo parcal. Se cosdera trabajadores a tempo completo aquellos que realza la jorada habtual de la empresa e la actvdad de que se trate. So trabajadores a tempo parcal, y así debe quedar reflejado e su cotrato, aquellos que realce ua jorada feror a la jorada cosderada como habtual de la empresa e la actvdad de que se trate o, e caso de o exstr ésta, feror a la máxma legal establecda. E la ecuesta se defe como el coste total e que curre el empleador por la utlzacó de factor trabajo. Icluye el Coste Salaral más los Otros Costes. El coste salaral comprede todas las remueracoes, tato e metálco como e espece, realzadas a los trabajadores por la prestacó profesoal de sus servcos laborales por cueta ajea, ya retrbuya el trabajo efectvo, cualquera que sea la forma de remueracó, o los perodos de descaso computables como de trabajo. El Coste Salaral cluye por tato el salaro base, complemetos salarales, pagos por horas extraordaras, pagos extraordaros y pagos atrasados. Los Otros Costes cluye las Percepcoes o Salarales (las retrbucoes percbdas por el trabajador o por el desarrollo de su actvdad laboral so como compesacó de gastos ocasoados por la ejecucó del trabajo o para cubrr ecesdades o stuacoes de actvdad o mputables al trabajador) y las Cotzacoes Oblgatoras a la Segurdad Socal. La Jorada Laboral se defe como el úmero de horas que cada trabajador dedca a desempeñar su actvdad laboral. Se dstgue los sguetes coceptos: - Horas pactadas: So las horas legalmete establecdas por acuerdo verbal, cotrato dvdual o coveo colectvo etre el trabajador y la empresa. - Horas efectvas: So las horas realmete trabajadas tato e perodos ormales de trabajo como e jorada extraordara, cluyedo las horas perddas e lugar de trabajo, que tee la cosderacó de tempo efectvo e vrtud de la ormatva vgete.se obtee como la suma de las horas pactadas más las horas extras y/o complemetaras meos las horas o trabajadas excepto las horas perddas e el lugar de trabajo. - Horas o trabajadas: So las horas o trabajadas durate la jorada laboral por cualquer motvo (vacacoes y festas, capacdad temporal, materdad, adopcó y motvos persoales, descasos como compesacó por horas extraordaras, horas de represetacó sdcal, cumplmeto de u deber excusable, assteca a exámees y vstas médcas, días u horas o trabajadas por razoes téccas, orgazatvas o de produccó, horas perddas e el lugar de trabajo, coflctvdad laboral, absetsmo, guarda legal, cerre patroal, ). E la Ecuesta de Coste Laboral se calcula ídces smples de varacó de los Costes Laborales medos. Para ello, se toma como período base el año 000, de forma que los Idces de Costes de 000 se hace 00. U ídce cualquera se calcula medate la fórmula: C I t C t o Dode C 0 es el coste medo e el período base 000 y C t es el coste medo e el trmestre actual. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

107 8. SERIES TEMPORALES 8.. Itroduccó a las seres temporales El presete epígrafe pretede ser ua breve troduccó al estudo de las seres temporales, las cuales posee ua gra mportaca e el campo de la Ecoomía dada la abudaca de este tpo de observacoes; de hecho, las seres temporales costtuye la mayor parte del materal estadístco co el que trabaja los ecoomstas. Pero, qué es ua sere temporal? Por defcó, ua sere temporal es ua sucesó de observacoes de ua varable realzadas a tervalos regulares de tempo. Segú realcemos la medda de la varable cosderada podemos dstgur dsttos tpos de seres temporales: Dscretas o Cotuas, e base al tervalo de tempo cosderado para su medcó. Flujo o Stock. E Ecoomía, se dce que ua sere de datos es de tpo flujo s está referda a u período determado de tempo (u día, u mes, u año, etc.). Por su parte, se dce que ua sere de datos es de tpo stock s está referda a ua fecha determada (por ejemplo, el 3 de Dcembre de cada año). U ejemplo de datos de tpo flujo sería las vetas de ua empresa ya que éstas tedrá u valor dstto s se obtee el dato al cabo de ua semaa, u mes ó u año; por su parte, la cotzacó de cerre de las accoes de esa msma empresa sería ua varable de tpo stock, ya que sólo puede ser regstrado a ua fecha y hora determadas. Obsérvese que exste relacó etre ambos tpos de varables, pues la cotzacó al cerre de las accoes o es más que el preco de cerre del día ateror más, o meos, el flujo de precos de la sesó cosderada. Depededo de la udad de medda, podemos ecotrar seres temporales e pesetas o e dversas magtudes físcas (klogramos, ltros, mllas, etc.) E base a la perodcdad de los datos, podemos dstgur seres temporales de datos daros, semaales, mesuales, trmestrales, auales, etc. Ates de profudzar e el aálss de las seres temporales es ecesaro señalar que, para llevarlo a cabo, hay que teer e cueta los sguetes supuestos: Se cosdera que exste ua certa establdad e la estructura del feómeo estudado. Para que se cumpla este supuesto será ecesaro estudar períodos lo más homogéeos posbles. Los datos debe ser homogéeos e el tempo, o, lo que es lo msmo, se debe mateer la defcó y la medcó de la magtud objeto de estudo. Este supuesto o se da e muchas de las seres ecoómcas, ya que es frecuete que las estadístcas se perfeccoe co el paso del tempo, producédose saltos e la sere debdos a u cambo e la medcó de la magtud estudada. U caso partcularmete frecuete es el cambo de base e los ídces de precos, de produccó, etc. Tales cambos de base mplca cambos e los productos y las poderacoes que etra e la elaboracó del ídce que repercute cosderablemete e la comparabldad de la sere e el tempo. El objetvo fudametal del estudo de las seres temporales es el coocmeto del comportameto de ua varable a través del tempo para, a partr de dcho coocmeto, y bajo el supuesto de que o va a producrse cambos estructurales, poder realzar predccoes, es Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

108 decr, determar qué valor tomará la varable objeto de estudo e uo o más períodos de tempo stuados e el futuro, medate la aplcacó de u determado modelo calculado prevamete. Dado que e la mayor parte de los problemas ecoómcos, los agetes se efreta a ua toma de decsoes bajo u cotexto de certdumbre, la predccó de ua varable revste ua mportaca otora pues supoe, para el agete que la realza, ua reduccó de la certdumbre y, por ede, ua mejora de sus resultados. Las téccas de predccó basadas e seres temporales se puede agrupar e dos grades bloques: Métodos cualtatvos, e los que el pasado o proporcoa ua formacó drecta sobre el feómeo cosderado, como ocurre co la aparcó de uevos productos e el mercado. Así, por ejemplo, s se pretede efectuar u estudo del comportameto de ua accó e Bolsa, y la socedad acaba de salr a cotzar al mercado, o se puede acudr a la formacó del pasado ya que ésta o exste. Métodos cuattatvos, e los que se extrae toda la formacó posble coteda e los datos y, e base al patró de coducta seguda e el pasado, realzar predccoes sobre el futuro. Idudablemete, la caldad de las prevsoes realzadas depederá, e buea medda, del proceso geerador de la sere: así, s la varable observada sgue algú tpo de esquema o patró de comportameto más o meos fjo (sere determsta) seguramete obtegamos predccoes más o meos fables, co u grado de error bajo. Por el cotraro, s la sere o sgue gú patró de comportameto específco (sere aleatora), seguramete uestras predccoes carecerá de valdez por completo. Geeralmete, e el caso de las seres ecoómcas o exste varables determstas o aleatoras puras, so que cotee ambos tpos de elemetos. El objeto de los métodos de prevsó cuattatvos es coocer los compoetes subyacetes de ua sere y su forma de tegracó, co objeto de realzar de su evolucó futura. Detro de los métodos de predccó cuattatvos, se puede dstgur dos grades efoques alteratvos: Por u lado, el aálss uvarate de seres temporales medate el cual se teta realzar prevsoes de valores futuros de ua varable, utlzado como formacó la coteda e los valores pasados de la propa sere temporal. Detro de esta metodología se cluye los métodos de descomposcó y la famla de modelos ARIMA uvarates que veremos más adelate. El otro gra bloque detro de los métodos cuattatvos estaría tegrado por el aálss multvarate o de tpo causal, deomado así porque e la explcacó de la varable o varables objeto de estudo tervee otras adcoales de ella o ellas msmas. E el tratameto de seres temporales que vamos a abordar, úcamete se cosderará la formacó presete y pasada de la varable vestgada. S la varable vestgada es Y y se dspoe de los valores que toma dcha varable desde el mometo hasta T, el cojuto de formacó dspoble vedrá dado por: Y, Y, Y 3,, Y T-, Y T Dada esa formacó, la predccó de la varable Y para el período T+ la podemos expresar como: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

109 Y ˆ T + / T Co esta otacó queremos dcar que la predccó para el perodo T+ se hace codcoada a la formacó dspoble e el mometo T. El aceto crcuflejo sobre la Y os dca que esa predccó se ha obtedo a partr de u modelo estmado. Covee també hacer otar que T+ sgfca que se está hacedo la predccó para u período haca delate, es decr, co la formacó dspoble e t hacemos ua predccó para el período sguete. Aálogamete, la predccó para el período T+ y para el período T+m, co la formacó dspoble e T, vedrá dada, respectvamete, por: ˆ ˆ Y T + / T ; YT + m / T que será predccoes de y m períodos haca adelate. S, geércamete, para el período t se efectúa ua predccó co la formacó dspoble e Y ˆ t, y a la que desgamos por t / t, para el período t podemos hacer ua comparacó de este valor co el que realmete observemos (Y t ). La dfereca etre ambos valores será el error de predccó de u período haca adelate y vedrá dado por: e t / t Yt Yt / t ˆ Cuado u feómeo es determsta y se cooce la ley que lo determa, las predccoes so exactas, verfcádose que e t / t 0. Por el cotraro, s el feómeo es poco sstemátco o el modelo es adecuado, etoces los errores de predccó que se vaya obteedo será grades. Para cuatfcar globalmete los errores de predccó se utlza los sguetes estadístcos: la Raíz del Error Cuadrátco Medo (RECM) y el Error Absoluto Medo (EAM). E el caso de que se dspoga de T observacoes y se haya hecho predccoes a partr de la observacó, las fórmulas para la obtecó de la raíz del Error Cuadrátco Medo y el Error Absoluto Medo so las sguetes: RECM T t t / t e T T t ( Y Yˆ t T t / t ) EAM T t e t / t T T t Y Yˆ t T t / t De forma aáloga se puede aplcar la RECM y el EAM e predccoes de, 3,, m períodos haca adelate. E el aálss de seres temporales se aplca, e geeral, métodos alteratvos a uos msmos datos, seleccoado aquel modelo o aquel método que, e la predccó de períodos presetes y pasados, arroja errores de predccó meores, es decr, arroja ua RECM o u EAM meor. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

110 8.. Compoetes de ua Sere Temporal Tradcoalmete, e los métodos de descomposcó de seres temporales, se parte de la dea de que la sere temporal se puede descompoer e todos o alguos de los sguetes compoetes: Tedeca (T), que represeta la evolucó de la sere e el largo plazo Fluctuacó cíclca (C), que refleja las fluctuacoes de carácter peródco, pero o ecesaramete regular, a medo plazo e toro a la tedeca. Este compoete es frecuete hallarlo e las seres ecoómcas, y se debe a los cambos e la actvdad ecoómca. Para la obtecó de la tedeca es ecesaro dspoer de ua sere larga y de u úmero de cclos completo, para que ésta o se vea fluda por la fase del cclo e que falza la sere, por lo que, a veces, resulta dfícl separar ambos compoetes. E estos casos resulta útl eglobar ambos compoetes e uo solo, deomado cclotedeca o tedeca geeralzada. Varacó Estacoal (S): recoge aquellos comportametos de tpo regular y repettvo que se da a lo largo de u período de tempo, geeralmete gual o feror a u año, y que so producdos por factores tales como las varacoes clmatológcas, las vacacoes, las festas, etc. Movmetos Irregulares (I), que puede ser aleatoros, la cual recoge los pequeños efectos accdetales, o errátcos, como resultado de hechos o prevsbles, pero detfcables a posteror (huelgas, catástrofes, etc.) E este puto, cabe señalar que e ua sere cocreta o tee por qué darse los cuatro compoetes. Así, por ejemplo, ua sere co perodcdad aual carece de estacoaldad. La asocacó de estos cuatro compoetes e ua sere temporal, Y, puede respoder a dsttos esquemas; así, puede ser de tpo adtvo: YT+C+S+I També puede teer ua forma multplcatva: YTCSI O be ser ua combacó de ambos, por ejemplo: YTCS+I Ua forma seclla para ver como está asocadas las compoetes de ua sere temporal es represetar gráfcamete la sere que estamos aalzado. S al realzar la represetacó gráfca se observa que las fluctuacoes so más o meos regulares a lo largo de la sere, s verse afectadas por la tedeca (véase Fg. 9.), se puede emplear el esquema adtvo. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

111 Fgura 8.. Esquema adtvo S, por el cotraro, se observa que la magtud de las fluctuacoes varía co la tedeca, sedo más altas cuado ésta es crecete y más bajas cuado es decrecete (véase Fg. 8.), se debe adoptar etoces el esquema multplcatvo. Fgura 8.. Esquema multplcatvo Aálss de la tedeca Como decíamos e el apartado ateror, la tedeca es el compoete de la sere temporal que represeta la evolucó a largo plazo de la sere. La tedeca se asoca al movmeto uforme o regular observado e la sere durate u período de tempo exteso. La tedeca es la formacó más relevate de la sere temporal ya que os forma de s detro de cco, dez o quce años tedrá u vel mayor, meor o smlar al que la sere tee hoy día. El aálss de la tedeca se realza fudametalmete co dos objetvos: por u lado, para coocer cuáles so las pautas de comportameto a lo largo del tempo, de la varable objeto de estudo, y por otro, para predecr sus valores futuros. Las tedecas suele represetarse medate fucoes de tempo cotuas y dferecables. Las fucoes de tedeca más utlzadas so:. Leal. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

112 . Polómca. 3. Expoecal. 4. Modelo autorregresvo 5. Fucó 6. Curva de Gompertz 7. Modelo logarítmco recíproco S ua sere temporal t se ajusta a ua tedeca leal, la fucó de tempo que se platea es la sguete: t α+βt t,,, Ua tedeca polómca de grado p se ajustará a ua fucó del sguete tpo: f(t) α+β + β t + +β p t p S la tedeca sgue ua ley expoecal, etoces la fucó de ajuste será: f(t) ae rt dode a y r so costates. U modelo autorregresvo ajusta la tedeca de la forma sguete: t γ 0 +γ x t- + u t sedo γ>0 La curva logístca se represeta medate la fucó: T T( t ) be rt dode t, b y r so costates postvas. La curva de Gompertz respode a la sguete ecuacó: f (t) T b e-rt dode T, r, b so parámetros postvos. Falmete, el modelo logarítmco recíproco, vee defdo por la relacó: f(t) a + b /t B<0 Para calcular las fucoes de tedeca, lo habtual es lealzar las formas de las fucoes o leales y proceder a su estmacó como s fuera ua fucó de tedeca leal. Ua vez establecdo u modelo teórco para la tedeca, se debe proceder a la determacó o cálculo de los parámetros que descoocemos medate dversos procedmetos estadístcos, que pasamos a descrbr a cotuacó. Método de los sempromedos El método de los sempromedos es la forma más rápda de estmar ua líea de tedeca recta. El método requere dvdr la sere de datos e dos mtades y calcular el promedo de cada mtad que se cetra e el puto medo. La recta que ua ambas medas (o sempromedos) será la líea de tedeca estmada. Ejemplo 8.. Utlzado la sere croológca de vetas de gasola e Catabra sobre la que vamos a realzar u ajuste de ua tedeca basada e el método de sempromedos: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

113 AÑOS Tabla Tabla 8.. Tedeca de la evolucó de las vetas de gasolas e Catabra. Años (mles de tm). Fuete: ICANE Dvdmos la sere e dos mtades, cada ua de cco años, y calculamos los promedos de cada mtad. Los promedos los cetramos e las observacoes cetrales, las correspodetes a 999 y 004: Promedo cetrado e Promedo cetrado e Tm. La ecuacó de la líea de tedeca será: Y t * a + bt dode Y t * es el valor de la tedeca estmada de las vetas de gasola. El valor de a se obtee al hacer t0, y se hace correspoder co el valor del prmer promedo: a Y * El coefcete de la pedete de la recta b represetaría el cremeto aual de la tedeca, y se calcula a partr de los dos promedos: b.53 5 Nótese que al ser cco los años que hay de dfereca etre 004 y 999, años e los que hemos cetrado los promedos, el deomador que utlzamos para calcular el cremeto aual es gual a 5. La ecuacó Y t * t os srve para obteer la tedeca ua vez coocdos los valores t o del regresor, que ha de teer ecesaramete valor cero e 987. Los valores de t se elabora a partr de ua sucesó de putuacoes cosecutvas que va desde u mímo de - de 997 hasta u máxmo de 7 e 006: Tm. Sempromedo t Tedeca Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

114 Tabla 8.. Tedeca de la evolucó de las vetas de gasolas e Catabra. Años (mles de tm.).método de sempromedos. Represetamos e el gráfco 8. la tedeca: Tm. Tedeca Gráfco 8.. Método de mímos cuadrados El método de mímos cuadrados es el que más se utlza para ajustar tedecas. Este método da los msmos resultados que el método ateror cuado es utlzado para obteer tedecas leales. S realzamos secllas trasformacoes artmétcas de los datos puede també ser utlzado para represetar fucoes de tedecas o leales. Estmar ua tedeca leal por el método de MCO equvale a estmar la sguete fucó: Y t * a + bt utlzado como varable explcatva u vector de úmeros secuecales {,,3,,} represetatvos del perodo. S se quere obteer ua tedeca expoecal, debemos lealzar la fucó lo que requere su trasformacó e logartmos: Y be rt etoces: l Y t l b + rt Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

115 Ua vez estmada la tedeca leal por mímos cuadrados, calculamos la expoecal del logartmo para devolver la tedeca a la escala de los datos orgales. Ejemplo 8. Veamos u ejemplo: cosderemos la sguete tabla e la que se muestra la evolucó de las vetas de gasola e Catabra. Co dchos datos vamos a estmar ua tedeca expoecal medate el método de mímos cuadrados. Tm.(Y) Logartmo (Y) Tedeca logarítmca Tedeca ,56, ,57, ,47 3, ,39 4, ,53 5, ,45 6, ,49 7, ,49 8, ,4 9, ,38 0, Tabla 8.3. Tedeca de la evolucó de las vetas de gasola e Catabra. Años (mles de tm.).método de mímos cuadrados. Veamos la represetacó de dchos datos e el gráfco 8.3.; e él comprobamos cómo se ajusta a los datos de veta de gasola e Catabra: Tm. Tedeca Gráfco Tedeca expoecal Para aalzar la caldad del ajuste realzado hay que cosderar los estadístcos de la regresó mímo cuadrada : Estadístcas de la regresó Coefcete de correlacó múltple 0, Coefcete de determacó R 0,49794 El capítulo 5. dedcado a la regresó mmo-cuadrada estuda los fudametos de dcha técca y los estadístcos que se mecoa. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

116 R ajustado 0, Error típco 0,05473 Observacoes 0 El coefcete R es ua medda de que la magtud de los errores co respecto al tamaño de la varable Y; errores muy pequeños e relacó al tamaño de Y determa que el coefcete R se aproxme a ; por el cotraro errores muy altos e relacó al tamaño de la varable Y, dará lugar a valores de R más alejados de y más cercaos a cero. E el ejercco que hemos realzado la magtud del coefcete de determacó (R 0,49) sería dcatvo de u mal ajuste. Otros estadístcos que debemos cosderar so los que hace refereca al grado de sgfcacó de los coefcetes b y m: Itercepcó Varable Coefcetes Error típco Estadístco t Probabldad Iferor 95% Superor 95% Iferor 95,0% Superor 95,0%, , ,94649,494E-7, , , , , , , , , , , , La tercepcó e el orge es el coefcete a, y la Varable es el coefcete b. La tabla da el abaco de valores más probables para ambos coefcetes al vel de cofaza del 95%, estos valores so los que fgura e las casllas Iferor y Superor. E el caso del coefcete a, el ajuste mímo-cuadrado da como resultado que lo más probable es que se ecuetre etre el tervalo que va desde el valor,47 hasta el,63, sedo su valor medo,55; e tato que el coefcete b estará e el tervalo que va desde -0,03 hasta -0,0006, resultado ser su valor medo -0,0. Como etre estos tervalos o fgura el valor cero, señalamos que los coefcetes estmados so estadístcamete sgfcatvos. E el ejemplo la fucó leal estmada sería: Y * t,47-0,0t que e forma expoecal quedaría: Y t 0498,9.e -0,0t Medas móvles E el aálss de seres temporales, el método de medas móvles tee dversas aplcacoes: así, este método puede seros útl s queremos calcular la tedeca de ua sere temporal s teer que ajustaros a ua fucó preva, ofrecedo así ua vsó suavzada o alsada de ua sere, ya que promedado varos valores se elma parte de los movmetos rregulares de la sere; també puede servros para realzar predccoes cuado la tedeca de la sere tee ua meda costate. Veamos qué es ua meda móvl: se trata, secllamete de ua meda artmétca que se caracterza porque toma u valor para cada mometo del tempo y porque e su cálculo o etra todas las observacoes de la muestra dspoble. Etre los dsttos tpos de medas móvles que se puede costrur os vamos a referr a dos tpos: medas móvles cetradas y medas móvles asmétrcas. El prmer tpo se utlza para la represetacó de la tedeca, metras que el segudo lo aplcaremos para la predccó e modelos co meda costate. Las medas móvles cetradas se caracterza porque el úmero de observacoes que etra e su cálculo es mpar, asgádose cada meda móvl a la observacó cetral. Así, ua meda móvl cetrada e t de logtud + vee dada por la sguete expresó: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

117 Yt + Yt Yt Yt+ + Y MM ( ) t Yt+ + + t+ + Como puede observarse, el subídce asgado a la meda móvl, t, es el msmo que el de la observacó cetral, Y t. Obsérvese també que, por costruccó, o se puede calcular las medas móvles correspodetes a las prmeras y a las últmas observacoes. Por su parte, e el caso de las medas móvles asmétrcas se asga cada meda móvl al período correspodete a la observacó más adelatada de todas las que tervee e su cálculo. Así la meda móvl asmétrca de putos asocada a la observacó t tedrá la sguete expresó: MMA( ) t t Yt + + Yt Yt Yt+ t + + Y t Este tpo de medas móvles se emplea e la predccó de seres cuya tedeca muestra ua meda costate e el tempo, utlzádose la sguete ecuacó: MMA ) T + Yt MMA( ) YT + YT ( + T + T + T + Es decr, para predecr el valor de la sere e el período sguete se suma a la meda móvl, la meda artmétca de los últmos períodos, sedo la logtud de la meda móvl. La utlzacó de medas móvles mplca la eleccó arbtrara de su logtud u orde, es decr, del úmero de observacoes que tervee e el cálculo de cada meda móvl. Cuato mayor sea la logtud, mejor se elmará las rregulardades de la sere, ya que al terver más observacoes e su cálculo se compesará las fluctuacoes de este tpo, pero por el cotraro, el coste formatvo será mayor. Por el cotraro, cuado la logtud es pequeña, la meda móvl refleja co mayor rapdez los cambos que pueda producrse e la evolucó de la sere. Es coveete, pues, sopesar estos factores al decdr la logtud de la meda móvl. Ejemplo 8.3 Veamos a cotuacó u ejemplo, cotuado co la sere de vetas de gasola, optamos por calcular ua meda móvl treal que ofrece los sguetes resultados: Tm. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral Meda móvl treal Tabla 9.4. Tedeca de la evolucó de las vetas de gasola e Catabra. Años (mles de tm.).meda móvl treal El valor de la meda móvl treal asgado a 998 se calcula así:

118 A su vez, el valor de la meda móvl treal asgado a 999 se calcula así: Meda movl treal Tm. Meda móvl treal Gráfco 8.4. Como se apreca e el gráfco 9.4., el coveete que tee la meda móvl es que perdemos formacó de la tedeca e los ejerccos cal y fal. E este setdo, volvemos a resaltar que las medas móvles, comparadas co métodos basados e ajustes artmétcos, tee u coste formatvo. Alsado Expoecal Smple El método del alsado expoecal smple cosste, al gual que e el caso de las medas móvles, e ua trasformacó de la varable orgal. S ua varable Y es sometda a u proceso de alsado expoecal smple se obtee como resultado la varable alsada S t. Teórcamete, la varable alsada S t se obtedría segú la expresó: S t ( w) Y t + ( w) wy t- + (-w) w Y t- + ( w) w3 Y t-3 + () dode w es u parámetro que toma valores compreddos etre 0 y, y los putos suspesvos dca que el úmero de térmos de la varable alsada puede ser fto. La expresó ateror e realdad o es más que ua meda artmétca poderada 3 de ftos valores de Y. Se deoma alsada ya que suavza o alsa las osclacoes que tee la sere, al obteerse como ua meda poderada de dsttos valores. Por otra parte, el calfcatvo de expoecal se debe a que la poderacó o peso de las observacoes decrece expoecalmete a medda que os alejamos del mometo actual t. Esto quere decr que las observacoes que está alejadas tee muy poca cdeca e el valor que toma St. Falmete, el calfcatvo de smple se aplca para dstgurla de otros casos e que, como veremos más adelate, ua varable se somete a ua doble operacó de alsado. 3 Para que pueda aceptarse que es ua meda artmétca poderada debe verfcarse que las poderacoes, sume. La demostracó, que excede las pretesoes de este texto, se basa e el cálculo de la suma de ftos térmos de ua progresó geométrca covergete. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

119 Ua vez que se ha vsto estos aspectos coceptuales, vamos a proceder a la obtecó operatva de la varable alsada, ya que la expresó o es drectamete aplcable, por coteer ftos térmos. Retardado u período e la expresó ateror se tee que: S t- ( w) Y t- + ( w) wy t- + (-w) w Y t-3 + () Multplcado ambos membros por w se obtee: ws t- ( w) wy t- + ( w) w Y t- + ( w) w3 Y t-3 + (3) Restado (3) de () membro a membro y ordeado los térmos se tee que: O també: S t ( - w) Y t + ws t- dode α w. S t αy t + ( - α) S t- Ahora ya sólo os falta calcular los valores de α y S 0, parámetros a partr de los cuales resulta secllo hallar los valores de la varable alsada de forma maera recursva, tal que: S αy + ( - α) S 0 S αy + ( - α) S S 3 αy 3 + ( - α) S Al asgar u valor a α hay que teer e cueta que u valor pequeño de α sgfca que estamos dado mucho peso a las observacoes pasadas a través del térmo S t-. Por el cotraro, cuado α es grade se da más mportaca a la observacó actual de la varable Y. E geeral, parece que u valor de α gual a 0. es apropado e la mayor parte de los casos. Alteratvamete, se puede seleccoar aquel valor de α para el que se obtega ua Raíz del Error Cuadrátco Medo meor e la predccó del período muestral. Respecto a la asgacó de valor a S 0 se suele hacer estos supuestos: cuado la sere tee muchas osclacoes se toma S Y ; por el cotraro, cuado la sere tee ua certa establdad se hace S 0 Y. Ejemplo 8.4 E este ejemplo se preseta u alsado expoecal para la sere de vetas de gasola, utlzado como factor de alsado el valor 0,5. Alsado Tm.(Y) Meda movl a0, Tabla 8.5. Tedeca de la evolucó de las vetas de gasola e Catabra. Años (mles de tm.). Alsado expoecal Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

120 El valor co del alsado, S 0, es la meda de los tres prmeros años: Alsado expoecal Tm.(Y) Alsado a0, Gráfco 8.5. Alsado Expoecal Doble Ua varate más avazada del método ateror es el Alsado Expoecal Doble, també coocdo como método de Brow. Báscamete, lo que se hace medate este método es someter a la varable a ua doble operacó de alsado: e la prmera operacó se alsa drectamete la varable objeto de estudo, metras que e la seguda operacó se procede a alsar la varable alsada prevamete obteda. Así pues, las fórmulas del Alsado Expoecal Doble so las sguetes: Prmer alsado: S t αy t + ( α) S t- Segudo alsado: S t αs t + ( α) S t- Obsérvese que e los dos alsados se utlza el msmo coefcete α. A partr de las dos varables alsadas se estma los coefcetes de la recta para utlzarlos e la predccó. Las fórmulas que permte pasar de los coefcetes de alsado a los coefcetes de la recta so las sguetes: b b 0t t S ' t S '' t α ( S α ' t S '' t ) Falmete, s co la formacó dspoble e t, deseamos realzar ua predccó de la varable para el mometo t+m, aplcaremos la sguete fórmula: Y ˆ b + b t+ m 0t t m Asmsmo, al gual que e el caso del Alsado Expoecal Smple, para poder obteer S t ' y S t es ecesaro coocer los valores cales, que e este caso sería dos, S 0 y S 0. Para determarlos se utlza las sguetes relacoes que permte obteer b 0t y b t, auque e setdo verso. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

121 Realzado u ajuste de la recta por mímos cuadrados co toda la formacó dspoble se obtedrá las estmacoes ˆ ˆ. b0t y b t Hacedo que: b 00 bˆ 0 t y b 0 bˆ t y tomado t 0, se obtee: S S ' 0 '' 0 b b α b0 α α b0 α A partr de estos valores se ca la recursó ya señalada. E lo que respecta al valor de α, es váldo lo que se djo e el caso del Alsado Expoecal Smple, sedo acosejable tomar α 0. o, alteratvamete, seleccoar aquel valor de α que haga míma la Raíz del Error Cuadrátco Medo cuado realcemos predccoes Aálss de la estacoaldad E este apartado pasamos a examar el aálss de la estacoaldad de las seres temporales, etedédose por tal, aquellos cclos regulares cuya duracó es feror al año. Las varacoes o cclos estacoales so muy frecuetes e las seres temporales, sea cual sea su aturaleza, y puede presetar u esquema horaro, daro, semaal, mesual, trmestral o cluso semestral, o sedo ecesaro que tega algua relacó co las estacoes del año. Lo verdaderamete mportate de los cclos estacoales es su temporaldad o repetcó regular. Alguos ejemplos de cclos estacoales sería: El aumeto de vajeros e los autobuses urbaos e determadas horas del día. Las vetas daras de u supermercado que suele presetar etre semaa u esquema bastate regular. El movmeto de vajeros e los establecmetos hoteleros que se cocetra e determados meses del año. El cosumo de eergía eléctrca que suele ser mayor los meses de vero. El motvo prcpal que duce a estudar los cclos estacoales es que, de o teerse e cueta estas varacoes, se obtee bastates dstorsoes a la hora de aalzar la evolucó de las seres, actuado muchas veces el factor estacoal como ua máscara que mpde captar adecuadamete la evolucó del feómeo objeto de estudo. U ejemplo de estas dstorsoes ocurre, por ejemplo, cuado se compara el cosumo de electrcdad e el prmer y segudo trmestre del año, ya que el cclo estacoal al delmtar u aumeto del cosumo e los meses de vero, mpde ua terpretacó correcta sobre el uso subyacete de la eergía de dcho período. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

122 Por ello, será coveete elmar el flujo de los cclos estacoales e la sere, a f de poder realzar comparacoes etre dos estacoes sucesvas y predecr correctamete el comportameto futuro de la varable. Para ello, exste dferetes procedmetos: utlzacó de fltros leales, -ARIMA, SEATS (Sgal Extracto ARIMA Tme Seres), etc., cuya solucó requere de u cálculo matemátco relatvamete complejo; aquí úcamete estudaremos los procedmetos de desestacoalzacó más secllos: el método de porcetaje promedo y el método del porcetaje promedo móvl. Asmsmo, cabe señalar que, co carácter prevo a la desestacoalzacó, a meudo hay que realzar ua sere de ajustes e la sere temporal para teer e cueta hechos o evetos que puede afectar al cclo estacoal que tratamos de aalzar. Estos evetos que suele ser festvdades, terrupcoes del trabajo debdo a huelgas, paros, regulacoes de empleo, etc., o sempre so elmados por los promedos detro del mes o trmestre e que se produce, de ahí que sea ecesaro corregr prevamete los datos cales. Ua forma de compesar estas varacoes es multplcar la sere de datos orgíales por la sguete razó: Número de días efectvos de u mes e u promedo de años (ó e u caledaro laboral) Número de días efectvos del mes dado e la que la defcó de los días efectvos depederá de la sere croológca que os teresa y de los motvos por los que realzamos el ajuste. Falmete, para saber s ua sere temporal preseta varacoes estacoales de relevaca, se suele hacer u aálss de la varaza del compoete estacoal-rregular de la sere, utlzado como factor de varacó la refereca temporal de la sere (semaal, mesual, trmestral, etc. ). Dcho aálss proporcoa como estadístco la F de Sedecor, cuyo valor comparado co el que fgura e las tablas del Aexo, os permte determar s tee sgfcacó el factor temporal para explcar la varaza de la sere; de admtrse dcha posbldad, quedaría demostrado que los movmetos estacoales de la sere so lo sufcetemete determates como para proceder a su desestacoalzacó posteror. Ejemplo 8.5 Veamos a cotuacó u ejemplo: vamos a realzar u test de preseca de estacoaldad a la sere mesual de vetas de gasola e Catabra durate el período Años Meses TOTAL Tabla 8.6. Vetas de Gasola e Catabra Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

123 Para ello, obteemos la compoete estacoal-rregular de la sere como dfereca etre la sere orgal y ua tedeca que calculamos medate ua meda móvl cetrada de térmos. Años Meses Tabla 8.7. Vetas de Gasola e Catabra. Compoete Estacoal-Irregular Para realzar u test de preseca de estacoaldad utlzamos la técca de Aálss de Varaza de u factor, utlzado como factor la agrupacó por meses de los datos de vetas de gasola. El aálss de varaza ofrece e este caso los sguetes resultados: ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de lbertad Suma de cuadrados Promedo de los cuadrados F Valor crítco de F Etre grupos ,6 8, ,9469E-44 Detro de los grupos , ,038 Total Como se puede aprecar, el valor de la F es lo sufcetemete grade para admtr la hpótess H 0 de que el factor temporal mesual explca ua parte de la varaza que tee toda la sere. El valor crítco de la F por debajo del cual rechazamos la hpótess H 0 e las tablas estaría e toro a. Método del porcetaje promedo El método del porcetaje promedo es u procedmeto rápdo y smple para elaborar u ídce estacoal. El prmer paso cosste e expresar la formacó de cada mes (o trmestre) como u promedo para el año; e u segudo paso se obtee porcetajes de los promedos auales; y, falmete, e u tercer paso, dchos porcetajes se promeda e cada mes, obteédose como resultado el ídce estacoal. Ejemplo 8.6. Para lustrar el método del porcetaje promedo utlzamos el ateror ejemplo de las vetas mesuales de gasola e Catabra para el período E prmer lugar obteemos el promedo mesual de las vetas auales: Años Meses Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

124 TOTAL MEDIA Tabla 8.8. Después calculamos e cada año el porcetaje del promedo, que es la relacó que se da etre las vetas de cada mes y su promedo aual. Años Meses % 9% 83% 8% 85% 79% 79% 84% 8% 84% 7% 88% 84% 79% 8% 79% 76% 8% 80% 8% 3 00% 0% 0% 9% 95% 99% 89% 94% 00% 97% 4 95% 00% 00% 95% 0% 98% 03% 03% 95% 00% 5 97% 89% 95% 9% 94% 97% 0% 96% 0% 0% 6 93% 95% 0% 9% 0% 98% 0% 03% 04% 00% 7 6% 0% 7% 3% % 6% 4% % 4% 7% 8 39% 39% 38% 49% 50% 6% 44% 34% 4% 35% 9 08% 98% 0% 0% 0% 88% 04% 03% 03% 04% 0 00% 9% 93% 80% 90% 5% 98% 94% 94% 96% 87% 88% 84% 87% 84% 88% 84% 88% 85% 88% 99% 96% 93% 0% 95% 96% 96% 98% 9% 95% Tabla 8.9. El ídce estacoal sería el promedo para cada mes de los dez datos auales: Años Ídce Meses estacoal % 9% 83% 8% 85% 79% 79% 84% 8% 84% 83,4% 7% 88% 84% 79% 8% 79% 76% 8% 80% 8% 80,43% 3 00% 0% 0% 9% 95% 99% 89% 94% 00% 97% 97,04% 4 95% 00% 00% 95% 0% 98% 03% 03% 95% 00% 99,05% 5 97% 89% 95% 9% 94% 97% 0% 96% 0% 0% 96,30% 6 93% 95% 0% 9% 0% 98% 0% 03% 04% 00% 98,76% 7 6% 0% 7% 3% % 6% 4% % 4% 7% 3,80% 8 39% 39% 38% 49% 50% 6% 44% 34% 4% 35% 39,60% 9 08% 98% 0% 0% 0% 88% 04% 03% 03% 04% 03,% 0 00% 9% 93% 80% 90% 5% 98% 94% 94% 96% 96,% 87% 88% 84% 87% 84% 88% 84% 88% 85% 88% 86,3% 99% 96% 93% 0% 95% 96% 96% 98% 9% 95% 96,4% 00% Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

125 Tabla 8.0. El ídce os señala que e el período estudado las vetas de eero ha estado u 83.4% por debajo de las vetas mesuales promedo de cada año, y que e el mes de agosto el vel de vetas fue u 39.60% superor al vel de veta mesuales promedo aual. Dado que el valor medo mesual del ídce ha de ser gual a 00, la suma de los datos de que costa el ídce mesual debe ser gual a 00. Para obteer ua sere de las vetas ajustadas estacoalmete, esto es, descotado el efecto que provoca el cclo estacoal, se dvdría las vetas de cada mes por el correspodete ídce estacoal y se multplcaría por 00: Años Meses Tabla 8.. Método del porcetaje del promedo móvl El método del porcetaje del promedo móvl es uo de los métodos más usados para la medcó de la varacó estacoal. Su cálculo es també bastate secllo: e prmer lugar se obtee u promedo móvl de meses de la sere de datos orgales (o de 4 trmestres s se utlza los datos trmestrales) tal que: MM ( L) t+ 0.5 L / t+ ( L / ) + L Y, t L, L L +,..., N Luego se recurre a u promedo móvl de meses para cetrar coveetemete el promedo ateror, al que se le deoma promedo móvl cetrado de doce meses; es decr: MM ( L x ) t MM ( L) + MM ( L), L L t +, +,..., N t 0.5 t+ 0.5 L Falmete se obtee el ídce dvdedo los datos orgales por el promedo móvl cetrado, MM(L x ) t : EI t Yt MM ( L x ) t es decr, ua estmacó cojuta del compoete estacoal y del compoete rregular. A los valores obtedos medate la expresó ateror se los deoma ídces brutos de varacó estacoal. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

126 S dspoemos de formacó para K años completos, el úmero total de observacoes es N y la logtud del período estacoal es L, se verfcará que K L N. Bajo estos supuestos, para cada estacó se dspoe de K ídces brutos de varacó estacoal, ya que se perde L/ datos al prcpo y L/ datos al fal, es decr, se perde u dato e cada estacó. Para cada estacó se puede calcular ua meda de todos los ídces brutos dspobles. Así, para la estacó h, la meda se obtedrá sumado todos los ídces brutos de varacó estacoal correspodetes a esa estacó y dvdedo por K, que es el úmero de datos dspobles e cada caso; es decr: EI * t Eh, h,,..., L K Al haber realzado u promedo de K datos, el compoete rregular queda elmado s K es sufcetemete grade. E todo caso, al promedar sempre se ateuará el efecto del compoete rregular. Por ello, el resultado obtedo es u ídce de varacó estacoal e el que se supoe que el compoete rregular ha desaparecdo completamete. S embargo, estos ídces o va a ser los deftvos, ya que se trata de ídces o ormalzados. S exste estacoaldad, ésta o debe afectar al vel de la sere, por lo que es razoable exgr a los coefcetes de estacoaldad el requsto de que su meda sea, ó, alteratvamete, que su suma sea L. Cuado los ídces de estacoaldad cumple este requsto se dce que está ormalzados. Los ídces de varacó estacoal ormalzados se puede calcular fáclmete aplcado ua proporcó. Así, s utlzamos el símbolo Ê h para desgar el ídce de varacó estacoal de la estacó h, su expresó vedrá dada por E ˆ h ˆ E * h L L h E * h Falmete, la sere desestacoalzada se obtedrá dvdedo cada valor de la sere orgal por el ídce de varacó estacoal correspodete. Así, e el caso de que el período t perteezca a la estacó h, etoces el valor de la sere desestacoalzada, al que desgaremos por D t, vedrá dado por: D t Y Eˆ t h Ejemplo 8.7. Veamos a cotuacó u ejemplo, utlzado de uevo la sere de vetas de gasola de Catabra para obteer dcho ídce estacoal. Años Meses Vetas Meda móvl meses Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

127 Tabla El prmer promedo móvl se cetra e el 6º mes (Juo), lo que mplca dejar s valores ses meses al fal de la sere. El segudo promedo, que es ua meda móvl de dos meses, se realza para cetrar coveetemete el promedo móvl ateror, el prmer valor que aparece es el valor promedo de y 8.835, y se cetra e el 7º mes (Julo), quedado así ambos extremos de la sere resultate co ses meses de auseca de datos: Años Meses Vetas Meda móvl meses Promedo móvl cetrado Tabla 8.3. Falmete se calcula el ídce dvdedo los datos orgales por el promedo móvl cetrado y multplcado por ce: Años Meses Vetas Meda móvl meses Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral Promedo móvl cetrado Ídce estacoal ,49% ,0% ,63% ,4% ,00% ,09% ,56% ,9%

128 Tabla ,54% ,40% ,05% La sere desestacoalzada de las vetas de gasola e Catabra sería el promedo móvl cetrado de meses: Vetas Promedo móvl cetrado Sere desestacoalzada Gráfco 8.4. Predccó co estacoaldad estable Los coefcetes de estacoaldad calculados e el epígrafe ateror puede ser utlzados para realzar predccoes de la varable. Para ello, vamos a cosderar el supuesto de que dspoemos de ua muestra de tamaño T y deseamos realzar predccoes para los L períodos sguetes (por ejemplo, s los datos so trmestrales y la muestra comprede años completos, se trataría de predecr los valores que toma la varable e los trmestres del prmer año postmuestral). Bajo el supuesto de estacoaldad estable, el predctor vedrá dado por la sguete expresó: Yˆ Tˆ Eˆ t+ h / T T + h h, h,,, L dode T ˆ T + h es la predccó obteda de la tedeca medate el ajuste de ua fucó a los datos desestacoalzados. Desestacoalzacó co Estacoaldad Cambate Hasta ahora hemos cosderado el supuesto de que los coefcetes de estacoaldad era estables, es decr, que se repetía año tras año. S embargo, e muchas ocasoes este supuesto o es realsta, pudedo ocurrr que estos coefcetes esté afectados por ua tedeca. Bajo el supuesto de estacoaldad cambate, las fases para la aplcacó del método de la razó a la meda móvl so las sguetes:. Obtecó de uas medas móvles de orde estacoal.. Obtecó de uas medas móvles cetradas. 3. Obtecó de los ídces brutos de varacó estacoal. 4. Obtecó de los ídces de varacó estacoal s ormalzar. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

129 Las tres prmeras fases so las msmas que se aplcaba bajo el supuesto de estacoaldad estable. Ua vez obtedos los ídces brutos de varacó estacoal, se debe proceder a la represetacó de este dcador para cada estacó por separado. A la vsta de esta represetacó se tomará la decsó de cuál es la fucó matemátca adecuada para represetar la tedeca de la estacoaldad. Recuérdese que los ídces brutos de varacó estacoal so ua estmacó cojuta del compoete estacoal y del compoete rregular. Por ello, al realzar el ajuste de modelos que recoja la tedeca de la estacoaldad, lo que estamos hacedo e realdad es separar estos dos compoetes. Así, adoptado el supuesto de que está tegrados de forma adtva, se tedrá la sguete descomposcó: EI E * + I, h,,, L t t t * dode E t so los valores estmados al ajustar ua fucó del tempo e la que la varable depedete es EI. E la mayor parte de las ocasoes es adecuado el ajuste de ua recta para tal faldad. S éste es el caso resulta: E * t h0 ˆh aˆ + a r, h,,, L dode r es el año e que se ecuetra el período t. Teedo e cueta que al calcular los ídces brutos de varacó estacoal se perde L/ datos al prcpo y L/ al fal y supoedo que se dspoe de formacó sobre K años completos, etoces r varará, segú los casos, etre y K o etre y K. Después de realzado el ajuste se procederá a la predccó de los coefcetes de estacoaldad de cada uo de los años que tegra la muestra. De esta forma se obtee uos ídces de varacó estacoal s ormalzar, auque dsttos para cada año. Segudamete, la obtecó de los ídces de varacó estacoal ormalzados se realzará hacedo ua lgera modfcacó e la fórmula ya estudada. Cocretamete, la fórmula a aplcar será la sguete: E ˆ t ˆ E L * t m E * m, m,,, r Como puede verse e la fórmula ateror, la ormalzacó se realza año a año. Por ello, el factor de ormalzacó es gual a L dvddo por la suma de los ídces de varacó estacoal correspodetes al msmo año (r) e que se ecuetra el período t. Falmete, la sere desestacoalzada, al gual que ates, se obtee dvdedo la sere orgal por el ídce de varacó estacoal correspodete, es decr, D t Yt Eˆ t Obsérvese que, bajo el supuesto de estacoaldad cambate, a cada dato de la varable le correspode u ídce de varacó estacoal dstto, a dfereca de lo que ocurría bajo el supuesto de estacoaldad costate, dode el ídce de varacó estacoal permaecía fjo detro de cada estacó. Desestacoalzacó y Predccó co Estacoaldad Cambate Bajo el supuesto de estacoaldad cambate, el predctor vedrá dado por la sguete expresó: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

130 Yˆ Tˆ Eˆ t+ h / T T + h h, h,,, L dode T ˆ T + h es la predccó obteda de la tedeca medate el ajuste de ua fucó a los datos desestacoalzados y E es la predccó de la estacoaldad para el período T+h, obteda a partr de u ajuste y su posteror ormalzacó. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

131 Aexo I: Aálss de regresó co Excel La otacó de la regresó leal e ECEL es la sguete: Y m + b Sedo, Y la varable depedete,, la varable depedete, el parámetro m es la pedete y el parámetro b es ua costate que dca que cuado 0, Yb. Para calcular los parámetros de la regresó leal se procedería: mcov(xy)/var(x) Cov(xy)Covaraza de Y Meda Artmétca(Y)-Meda A()*Meda A(Y) bmeda A()-Meda A(Y)*m COVARIANZA Obtee el promedo del producto de desvacoes de putos de datos partedo de las medas respectvas. La covaraza es ua medda de la relacó etre dos ragos de datos y está vculada a la udad de medda correspodete a e Y. Staxs: Cálculo de Covaraza de e Y Escrbmos e la celda Covar(b3:b4;c3:c4) COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Mde el grado de relacó exstete etre las varables, y se calcula medate: Corr(Y)Cov(Y)/(Desv(x)*Desv(y)) Este toma valores etre y -, S Corr(Y) Relacó Drecta y Absoluta (Aumeto de >Aumeto Y). 0 No exste Correlacó ( e Y so correladas). - Relacó Idrecta y Absoluta (Aumeto de >Dsm. Y). Staxs: Cálculo de Coef. de Correlacó de e Y Escrbmos e la celda Coef.de.Correl(b3:b4;c3:c4) Asstete: Nos stuamos e Asstete de fucoes, estadístcas, y COEF. DE CORREL. y e el paso de Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

132 e Matr stuamos el rago de valores de Y, y e Matrz el de la COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Muestra la bodad de la recta de regresó para estudar la relacó de depedeca etre las varables. Su valor fluctúa etre 0 y. E os dcaría que la recta es perfecta para determar esa relacó y e 0 que o os es útl la recta de regresó para determarla. E el caso de que fuera, os dcaría que o exstría dferecas etre valores estmados y valores reales. Staxs: COEFICIENTE.R(matrz_ymatrz_x) ESTIMACIÓN LINEAL para varables Calculamos ahora la recta de regresó leal etre dos varables, Y y medate : Ym* + b Staxs: ESTIMACION.LINEAL(Matrx_Y;Matrz_;costate;estadístca) Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

133 Coocdo_y Coocdo_x Valores de la Varable depedete (Oblgatoro). Valores de la Varable depedete. Costate Determa s b debe de calcularse (se omte o poe Verdadero), lo que debe ser lo habtual, salvo que se sepa co certeza que cuado 0, Y es dstto de cero. E este últmo caso, debe de poerse 0 o FALSO. Estadístca Determa s se calcula estadístcos adcoales de la recta de regresó. La fucó devuelve ua MATRIZ, por lo que debe de seleccoarse el rago de salda : Seleccoar el rago de salda, Etrar e el asstete de fucoes y cofrmar co Ctrl + Shft+ Retur las saldas de los dcadores se os muestra de la sguete forma Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

134 m se(m) R F ss(reg) b se(b) se(y) df ss(res) m b se(m) Pedete de la recta de regresó. Puede ser calculada separadamete medate la fucó PENDIENTE Staxs Pedete(matrz_y;matrz_x) Puto de terseccó co eje Y. Puede calcularse depedetemete co la fucó INTERSECCION.eje Staxs Itersecco.eje(matrz_y;matrx_x) Valor del error típco de la pedete. se(b) Valor del error típco de la terseccó. R Coefcete de Determacó de la recta de regresó. Puede calcularse separadamete medate la fucó COEFICIENTE.R Staxs Coefcete.R(matrz_y;matrz_x) se(y) Error típco de la estmacó Puede calcularse depedetemete co la fucó ERROR.TIPICO.Y Staxs Error.Tpco.Y(Matrz_y;Matrz_x) F Estadístco F o valor F observado. Puede calcularse depedetemete co la fucó DISTR.F Staxs Dstr.F(;grados_lbertad;grados_lbertad_) df Grados de lbertad para la prueba F. se(reg) se(resd) Suma de los cuadrados de la regresó. Suma de los cuadrados de los resduos. TENDENCIA Ua vez calculados los valores m y b de la recta y aalzado los dos estadístcos aterores, podemos realzar el proóstco de valores que alcazará Y e fucó de los uevos valores de. $y m+b Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

135 Medate esta fucó podemos calcular, tato los valores que obtedría la Y para dsttos valores de, como las dferecas etre los valores reales de y los valores estmados para cada. Para ello utlzamos el asstete de fucoes, Tedeca co lo que hemos calculado los valores estmados, para los datos reales que teemos. Medate el asstete de gráfcas podemos represetar las dferecas etre los valores reales y los obtedos por regresó leal. (Para ello ordeamos los datos de la tabla ateror de meor a mayor). Así msmo, vamos a calcular valores de tedeca para datos ajeos a la muestra utlzada, para ello hay que escrbr e la matrz de Nuevas_, las deseadas. També se puede realzar, calculado medate la fucó PRONOSTICO para u valor determado de Staxs: Proóstco(xmatrz_ymatrz_x) REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Al gual que hemos realzado la regresó leal mímo cuadrátca para establecer la depedeca etre Y e, també podemos realzarlas para observar dcha depedeca de Y respecto a varas varables (..). E este caso la regresó será del tpo : Ym+..+m+b De la msma maera calcularemos el coefcete de determacó y los coefcetes de correlacó parcales etre varables. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

136 E Excel es posble calcular otros estadístcos que puede ser muy útles, tales como EL Valor F Observado, los grados de lbertad, la suma de regresó de cuadrados, la suma resdual de los cuadrados, error típco de la estmacó... Veamos ahora el caso de que la varable depedete está relacoada co más de ua varable depedete. Para varables depedetes, la recta de regresó será : Yx*m +...+x*m + b Para 3 varables depedetes: Y*m+*m+3*m3+b y los resultados se muestra e la sguete matrz de datos : Seleccoamos la regresó medate el asstete de fórmulas : Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

137 ESTIMACIÓN EPONENCIAL E ocasoes la depedeca etre varables o se ajusta a ua recta o al ajustarla os sale u coefcete de determacó que dca que o es útl, y podemos realzar la estmacó medate ua curva expoecal. E Excel podemos realzar la tedeca de datos medate la fucó crecmeto que ajusta los datos de, Y a lo largo de la curva. Hasta ahora, hemos realzado la estmacó medate regresó leal, pero todos los procesos obtedos e la leal (uvarate y multvarate), se puede realzar de gual forma co ua regresó expoecal medate ua estmacó logarítm ca. La curva obteda será de la forma: y(b*(mx)..(mx)) o matrcalmete yb*mx E este caso s al especfcar la costate e el asstete poemos Falso, el valor que o calcula se asume gual a. Ya que Excel calcula la formula para los cálculos: L(Y)L(b)+ x * L(m) * L(m) los estadístcos que os resulta será : se(m) se(b) Errores típcos de L(m) Error típco de L(b) E el asstete seleccoaremos la fucó ESTIMACION.LOGARITMICA. La tedeca de los datos la realzamos medate la fucó CRECIMIENTO. Estmacó de u Modelo de Regresó Leal co la macro Aálss de datos A cotuacó, vamos a estmar los parámetros de u determado modelo por Mímos Cuadrados Ordaros utlzado la macro Aálss de datos, programa que smplfca otablemete los cálculos a realzar cuado dspoemos de muchas observacoes y/o varables exógeas. Supogamos que la catdad demadada de mazaas vee determada e fucó de su preco, y queremos cuatfcar dcha relacó. Partmos de la sguete tabla de datos: Catdad (Kg.) Preco (u.m. / Kg.) Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

138 S realzamos u dagrama de dspersó medate la opcó Gráfco, detro del meú Isertar de Excel, obtedremos u gráfco como el sguete e el que puede comprobarse la relacó que aparetemete exste etre catdades demadadas de mazaas y su preco. Curva de demada Preco (u.m. / Kg.) Relacó etre la demada de mazaas y su preco Pasamos a cotuacó a estmar la recta de regresó por Mímos Cuadrados Ordaros. Para ello, el alumo debe verfcar que tee stalada la opcó Herrametas para el Aálss detro la opcó Complemetos del meú Herrametas. E caso de o teer dcha opcó stalada e uestro ordeador, deberemos marcar las casllas que se ve e la fgura, sertado segudamete el CD-Rom de Mcrosoft Offce para proceder a su stalacó. Ua vez staladas estas opcoes, dspodremos de ua ueva opcó e el meú Herrametas llamada Aálss de Datos. S pchamos e ella, os aparecerá ua vetaa smlar a la sguete, e la que seleccoaremos la opcó Regresó: Al seleccoar dcha opcó os aparecerá u cuadro de dálogo como el sguete: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

139 E este cuadro de dálogo podemos seleccoar el rago de uestra hoja de cálculo que cotee los datos referdos a la varable edógea (Rago Y de etrada) y a las varables exógeas (Rago ). Asmsmo, se cluye otras opcoes sumamete útles tales como elmar el térmo depedete del modelo (Costate gual a cero), determar el vel de cofaza al cual se realzará los tests de sgfcacó de los parámetros, la posbldad de obteer ua tabla co los térmos de error del modelo (Resduos) y su gráfco (Grafco de Resduales), etc. Ua vez troducdos los ragos de las varables y seleccoado las opcoes que deseemos (o debemos olvdar dcar e qué Hoja, Rago o Lbro deseamos que os aparezca los resultados), pulsamos e Aceptar y os aparecerá ua vetaa smlar a ésta: La estmacó de los parámetros del modelo aparece e la columa Coefcetes, juto co su Desvacó Típca o Error Típco y el estadístco t de sgfcatvdad dvdual (obsérvese que al térmo depedete del modelo, Excel lo deoma Itercepcó). A la vsta de los resultados, el modelo estmado tee la sguete forma: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

140 Catdad Preco (48.) (-8.46) dode etre parétess se muestra el estadístco t expermetal asocado a cada parámetro, sedo ambas claramete superores a.365 (valor e tablas de ua t de Studet co k 7 grados de lbertad al 95% de cofaza. Para el aálss de la bodad de ajuste del modelo, Excel ofrece los sguetes resultados: a) Por u lado, s marcamos la caslla Curva de Regresó Ajustada obteemos u gráfco co los valores orgales y estmados de la varable edógea, lo que os permtrá realzar u prmer acercameto vsual al grado de ajuste de la recta (véase grafco) Preco Curva de regresó ajustada.500 Catdad Catdad Proóstco Catdad Preco Recta de regresó etre la demada de mazaas y su preco b) Por otro lado, Excel muestra e la parte superor de los resultados el valor del coefcete de determacó que, e uestro caso, es del 98%, lo que os dca u grado de ajuste muy bueo. Para evaluar la sgfcatvdad estadístca de los parámetros estmados, además de los estadístcos t asocados a cada parámetro estmado y los respectvos tervalos de cofaza para cada uo de ellos, Excel os muestra també el estadístco F que aparece e la tabla Aálss de Varaza, medate el que se realza u cotraste de sgfcacó global de los parámetros estmados. E los resultados obtedos, el estadístco F tomo u valor asocado a u p-value de , valor que es claramete feror a 0.05, por lo que se rechaza la hpótess ula, lo que os permte afrmar que todos los parámetros del modelo so globalmete sgfcatvos, es decr, todos so sgfcatvamete dsttos de cero. E este puto, cabe señalar que s estmamos u modelo co varas varables exógeas y os ecotramos co que alguo de los parámetros del modelo es estadístcamete gual a cero, deberíamos elmar dcha varable del modelo al o haberse ecotrado ua relacó de causaldad co la varable edógea. Respecto al aálss de los errores o resduos del modelo, Excel ofrece el Cuadro de Valores Ajustados (Proóstco Catdad), los Resduos del modelo y los Resduos Estádares (es decr, tpfcados). Segú la teoría que hemos estudado hasta ahora, los resduos estádares debe segur ua dstrbucó Normal de meda 0 y desvacó estádar ; por tato, aquellos resduos cuyo valor absoluto supere.96 se correspoderá co valores atípcos, també deomados outlers e la lteratura estadístca. E uestro ejemplo, afortuadamete, o se observa gú outler como puede aprecarse e la sguete tabla de Aálss de Resduos: Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

141 Aálss de los resduos Observacó Proóstco Catdad Resduos Resduos estádares 439,03 6,97 0,79 305,46 9,54 0,9 3 78,75-8,75 -,33 4,96 -,96-0,56 5 8,47-8,47-0, ,75-9,75-0, ,33 6,67 0, ,6 5,74,0 El gráfco de los resduos també costtuye ua herrameta de aálss mportate, ya que os permte evaluar la aleatoredad de los msmos. E uestro ejemplo, se observa ua lgera falta de aleatoredad, dervada de que los cuatro últmos resduos preseta ua marcada racha crecete. Preco Gráfco de los resduales Resduos Preco Gráfco de resduos del modelo de demada de mazaas frete al preco Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

142 Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

143 Aexo II: Acceso a datos exteros desde Excel Además de poder utlzar fcheros de datos e dsttos formatos (HTML, ML, texto, etc.), Excel permte mportar datos desde servdores de bases de datos (SQL Server, Oracle, MySQL, p. ej.), sempre y cuado tegamos stalado e uestro PC el cotrolador correspodete. E el caso de que los datos de terés se ecuetre e ua base de datos Access, podremos acceder a los msmos de dos maeras: be como fchero o be como servdor de bases de datos, medate la creacó de ua coexó ODBC u OLEDB. Vamos a explcar dos ejemplos de acceso a ua BD Access. Caso : Acceso como archvo Procedemos a abrr el fchero Access desde el meú Archvo -> Abrr. E Tpo de archvo seleccoamos Bases de datos de Access (*.mdb; *.mde) La adverteca de segurdad os forma sobre la posbldad de que la cosulta de datos proporcoe u acceso a formacó o autorzada. Ua BD Access, además de los datos de terés, puede coteer cosultas a otras fuetes de datos y debemos teer esto e cueta cuado utlzamos archvos procedetes de otro usuaro o departameto. E este caso, abrmos el fchero puesto que es de cofaza. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

144 La vetaa Seleccoar tabla os muestra las tablas y vstas o cosultas exstetes e la BD, para seleccoar la que os terese. Solamete podemos seleccoar ua tabla, por lo que, s deseamos cargar datos procedetes de dferetes tablas, tedremos que repetr esta operacó para cada ua de ellas. Ua vez seleccoada ua tabla, se carga los datos e la hoja actva, cluyedo las cabeceras co el ombre de las columas. Ua vez cargados los datos, la barra de herrametas de datos exteros os permtrá: - modfcar la cosulta, por ejemplo fltrar los datos medate ua seteca SQL Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

145 - establecer propedades del rago de datos y comportameto de la hoja de datos (actualzacó al abrr, refresco cada certo tempo, etc.) - actualzar los datos medatamete Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

146 Caso : Acceso como servdor base de datos Para mportar datos desde u servdor de BBDD, acudremos al meú Datos -> Obteer datos exteros -> Importar datos Por defecto, Excel os muestra los fcheros exstetes para orígees de datos ya defdos. S o dspoemos de ua coexó para la base de datos, podemos crearla pulsado el botó Nuevo orge. El Asstete para la coexó de datos os guará paso a paso para establecer ua coexó. E prmer lugar, seleccoamos el tpo de orge de datos. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

147 E el ejemplo, seleccoamos DSN (ombre de orge de datos) ODBC para abrr el orge de datos Access stalado por defecto E la vetaa de exploracó, buscamos el fchero datos_clmatcos.mdb A cotuacó, seleccoaríamos ua tabla, tal y como hcmos e el caso ateror Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

148 Por últmo, guardamos los datos de coexó, para su uso posteror Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

149 Aexo III: Macros e Excel Qué so las macros? Las tareas que se realza co frecueca puede automatzarse medate macros. Ua macro (macrostruccó) cosste e ua sere de comados y fucoes que se almacea e u módulo de Vsual Basc y que puede ejecutarse sempre que sea ecesaro realzar la tarea. So, por lo tato, programas secllos pero que puede resultar tremedamete útles e uestro trabajo daro, co la vetaja de que o es ecesaro coocer u leguaje de programacó para crearlas. Smplemete dejaremos que Excel lo haga por osotros. Grabar macros Al grabar ua macro, Excel almacea formacó sobre cada paso dado cuado se ejecuta de forma maual ua sere de comados. A cotuacó, se ejecuta la macro para que repta los comados. S se comete algú error metras se graba la macro, també se graba las correccoes que se realce. Vsual Basc almacea cada macro e u uevo módulo adjuto a u lbro. Para que ua macro se ejecute cada vez que haga clc e u botó determado o presoe ua combacó de teclas específca, asge la macro a u botó de la barra de herrametas, a u método abrevado de teclado o a u objeto gráfco de ua hoja de cálculo. Ejecutar fáclmete ua macro Se puede ejecutar ua macro seleccoádola de ua lsta e el cuadro de dálogo Macro. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral

150 Admstrar macros Tras grabar ua macro, se puede ver el códgo de macro co el Edtor de Vsual Basc para corregr errores o modfcar lo que hace la macro. Por ejemplo, s la macro de ajuste de texto també tee que aplcar el formato de egrta al texto, se puede grabar otra macro para aplcar el formato de egrta a ua celda y, a cotuacó, copar las struccoes de esa macro a la macro de ajuste de texto. El Edtor de Vsual Basc es u programa dseñado para que los usuaros prcpates pueda escrbr y edtar fáclmete códgo de macro, y proporcoa mucha Ayuda e patalla. No es precso saber cómo se programa o se utlza el leguaje de Vsual Basc para realzar cambos secllos e las macros. El Edtor de Vsual Basc permte modfcar macros, coparlas de u módulo a otro, coparlas etre dferetes lbros, cambar el ombre de los módulos que almacea las macros o cambar el ombre de las macros. Segurdad de macros Excel cluye proteccoes para ayudar a proteger cotra vrus susceptbles de ser trasmtdos por macros. S se comparte macros co otros usuaros, se puede certfcar esas macros co ua frma dgtal de modo que los demás usuaros puede comprobar que procede de ua fuete fdedga. Al abrr u lbro que cotee macros, se puede comprobar su orge ates de habltarlas. Cetro de Estudos de la Admstracó Regoal de Catabra. Curso 0-C-06-0 Profesores: Fracsco Parra, Mª Paz Moral