REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA DERECHOS RESERVADOS

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA DETERMINACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS REGRESIONAL DE LOS MODELOS MATEMATICOS POLINÓMICOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PUNTO DE ROCÍO Y DEL PUNTO DE BURBUJA DEL GAS NATURAL VENEZOLANO Trabajo Especal de Grado, presetado como requsto para optar al Título de Igeero Químco PRESENTADO POR: MARTÍNEZ ARRIA, Jua Pablo Erque C.I SOLER VARGAS, Jua Carlos C.I Maracabo, Septembre de 006

2 Dedcatora Dedcatora A Dos, por darme la telgeca y la perseveraca para alcazar todas ms metas. Por darme la dcha de termar esta etapa e m vda y empezar ua ueva y ser m fortaleza e todos los mometos de m vda. A ms padres Saba y Erque, por darme todo e esta vda. Por la educacó, los cosejos y el apoyo codcoal que sempre he recbdo de su parte, esta es su recompesa. A m hermaa Sabra por su apoyo codcoal a lo largo de toda la carrera, gracas por haberme ayudado a alcazar este sueño. A m ova wbell, por su ayuda, apoyo y compresó e todo mometo durate m carrera uverstara. Gracas por todo, esto també es tuyo. A todos ms famlares, amgos y a todas aquellas persoas que de algua u otra forma me apoyaro y estuvero a m lado a lo largo de todos estos años. Co todo m respeto y mucho amor para ustedes. Jua Pablo Erque Martíez Arra. v

3 Dedcatora v

4 Agradecmetos Agradecmetos A la Uversdad Rafael Urdaeta, por ser el plar prcpal de eseñaza y apredzaje a lo largo de uestra carrera. Al Ig. Wlberto Herádez, por su ayuda codcoal tato académcamete como persoalmete, así como també por ser uestro tutor y haberos eseñado y ayudado a lo largo de la realzacó de la tess. Igualmete agradecemos al Drector de la Escuela de Igeería Químca Ig. Oscar Urdaeta. Agradecemos a la Lc. Mlagros Qujada, uestra tutora metodológca por haberos eseñado y ayudado a lo largo de la realzacó de la tess. A los profesores e geeral de la Escuela de Igeería Químca, quees compartero sus experecas y coocmetos para uestra formacó como Igeeros Químcos. A todas las persoas que os ayudaro de ua u otra maera e la carrera, muchas gracas por ayudaros a cumplr este sueño. v

5 Resume MARTÍNEZ ARRIA, Jua Pablo Erque C.I y SOLER VARGAS Jua Carlos C.I Determacó Medate el Aálss Regresoal de los Modelos Matemátcos Polómcos para la Estmacó del Puto de Rocío y del Puto de Burbuja del Gas Natural Veezolao. Trabajo Especal de Grado, Uversdad Rafael Urdaeta, Facultad de Igeería, Escuela de Igeería Químca. Maracabo, Septembre 006. Resume El presete trabajo tee como objetvo, determar medate el aálss regresoal los modelos matemátcos polómcos para la estmacó del puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural veezolao, para lo cual fue ecesaro producr ua data teórca producto de smulacoes rgurosas del cálculo del puto de rocío y del de burbuja (Pr, Tr, Pb, Tb). Estas smulacoes se realzaro medate los métodos comues de estmacó del puto de rocío y del puto de burbuja obteédose los parámetros co los cuales se tomaro como refereca para desarrollar y valdar los modelos matemátcos polómcos. Se recolectó u total de 8 muestras de gas atural de las dferetes operadoras del país, las cuales coteía los valores de composcó, temperatura y presó requerdo para dchas smulacoes. Para determar los modelos matemátcos polómcos de las varables de estudo, se utlzó el aálss regresoal. El aálss de resduales practcado a los resultados determó la valdez y aceptacó de los modelos obtedos, los cuales presetaro ua mayor precsó que los ya exstetes. E esta vestgacó se cocluyó que el aálss regresoal puede ser utlzado para obteer modelos que permta proostcar el comportameto del gas atural veezolao y se recomeda utlzar dcha técca para modelar otras propedades termodámcas ó para modelar el comportameto de otros fludos, ya que la msma permte la smplfcacó de los cálculos e la geería. Palabras claves: Puto de Rocío, Puto de Burbuja, Smulacó, Aálss Regresoal. v

6 Abstract MARTÍNEZ ARRIA, Jua Pablo Erque C.I ad SOLER VARGAS Jua Carlos C.I Determato by the Regressoal Aalyss of Mathematcal Polyomc Models to estmate the Dew Pot ad the Bubble Pot of the Veezuela Natural Gas. Abstract The ma objectve of the preset paper s developed equatos to determe the bubble pot ad the dew pot of the Veezuela atural gas. To reach ths goal t was ecessary to get theoretcal data from dfferet smulatos usg the methods already kow to estmate these values. These results were take to develop ad valdate the mathematcal polyomc models. To smulate these propertes, 8 samples of atural gas from dfferet locatos aroud the coutry were collected whch cotaed ts values of Temperature, Pressure ad Composto. The mathematcal polyomc models were gve off usg the regressoal aalyss. The aalyss of resduals performed to the results, cocluded that the models developed had a better precso of the models already calculated. As a cocluso from ths vestgato, regressoal aalyss ca be used to obta tred models for Veezuela atural gas behavor ad t s recommeded the use of ths techque for modelg thermodyamc propertes or eve other fluds, due to easy egeerg calculatos. Key Words: Bubble Pot, Dew Pot, Smulato, Regressoal Aalyss. v

7 Ídce Ídce Geeral Portada. Hoja de Presetacó Hoja de Frma. Dedcatora.v Agradecmetos v Resume v Abstract..v Ídce Geeral...x Ídce de Aexos. x Ídce de Tablas..x Ídce de Gráfcas...xv Itroduccó...16 CAPÍTULO I: El Problema.18 Plateameto del problema...19 Formulacó del problema..0 Objetvos de la vestgacó..0 Objetvo geeral 0 Objetvos específcos...0 Justfcacó e mportaca de la vestgacó....1 Delmtacó... CAPÍTULO II: Marco Teórco...3 Atecedetes de la vestgacó..4 Bases teórcas..6 Gas atural 6 Tpos de gas..7 Gas dulce...7 Gas agro o ácdo.8 x

8 Ídce Gas rco (húmedo) 8 Gas pobre (seco)..8 Geeraldades del gas atural 8 Tratameto del gas atural 30 Deshdratacó..30 Importaca de la deshdratacó del gas.31 Proceso de udad de deshdratacó...31 Edulzameto..31 Procesameto del gas atural...3 Extraccó de líqudos..3 Fraccoameto de líqudos...33 Propedades y comportameto del gas 33 Propedades de hdrocarburos puros.34 Determacó del Puto de Burbuja.34 Determacó del Puto de Rocío.35 El Aálss de Regresó..35 Dagrama de Dspersó..36 Regresó Leal Smple..37 Estmacoes de Mímos Cuadrados 39 Evaluacó de la Adecuacó del Modelo de Regresó Leal.40 Aálss Resdual 41 Coefcete de Determacó (R )..43 Modelo de Regresó Leal Múltple..44 Estmacó de los Parámetros por Mímos Cuadrados.47 Efoque Matrcal para la Regresó Leal Múltple 48 Meddas de Adecuacó del Modelo...51 Coefcete de Determacó Múltple...5 Aálss Resdual 5 Teoría de Errores...54 Defcoes de Térmos Báscos..56 Defcó operacoal de las varables..57 x

9 Ídce CAPÍTULO III: Marco Metodológco.59 Tpo de vestgacó.60 Dseño de la vestgacó 60 Téccas e strumetos de recoleccó de datos 61 Fases de la vestgacó.6 Fase I: Adecuacó de los datos, Recoleccó de muestra 6 Cálculo de las varables e Estudo 63 Fase II: Determacó de los modelos matemátcos polómcos 63 Fase III: Seleccó de modelos, Aálss de sesbldad y valdacó de los msmos 64 CAPÍTULO IV: Resultados de la vestgacó 65 Objetvo 1.- Seleccoar u cojuto de muestras para la estmacó del puto de rocó y el puto de burbuja del gas atural veezolao..66 Objetvo.- Efectuar la smulacó del cálculo del puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural veezolao 80 Objetvo 3.- Realzar el aálss regresoal para determar los modelos matemátcos polómcos de predccó del puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural veezolao...84 Objetvo 4.- Realzar el aálss de sesbldad y valdacó de los modelos matemátcos polómcos para la estmacó del puto de rocó y el puto de burbuja del gas atural veezolao...99 Aálss de los Resultados 108 CONCLUSIONES RECOMENDACIONES..110 BIBLIOGRAFÍA ANEXOS...11 x

10 Ídce Ídce de Aexos Aexo A: Gráfcas del (NGPA) Aexo B: Ejemplo de muestras de Gas Natural...14 Aexo C: Programa e el Leguaje RTL Hp 48/49 15 Aexo D: Cálculos Típcos.17 x

11 Ídce Ídce de Tablas TABLA #4.1 hasta 4.8: Muestras de gas atural de las dferetes regoes del país..66 TABLA #4.9: Determacó de las temperaturas de rocío..81 TABLA #4.30: Determacó de las presoes de rocío....8 TABLA #4.31: Determacó de las temperaturas de burbuja.83 TABLA #4.3: Determacó de las presoes de burbuja 84 TABLA #4.33: Valores calculados co el modelo seleccoado para la temperatura de rocío 86 TABLA #4.34: Valores calculados co el modelo seleccoado para la presó de rocío.89 TABLA #4.35: Valores calculados co el modelo seleccoado para la presó de rocío e u rago de temperatura etre K 91 TABLA #4.36: Valores calculados co el modelo seleccoado para la presó de rocío e u rago de temperatura etre K 9 TABLA #4.37: Valores calculados co el modelo seleccoado para la presó de rocío e u rago de temperatura etre K 93 TABLA #4.38: Valores calculados co el modelo seleccoado para la temperatura de burbuja.95 x

12 Ídce TABLA #4.39: Valores calculados co el modelo seleccoado para la presó de burbuja...98 TABLA #4.40: Resduales de la temperatura de rocío..99 TABLA #4.41: Resduales de la presó de rocío..100 TABLA #4.4: Resduales de la presó de rocío para u rago de operacó etre K...10 TABLA #4.43: Resduales de la presó de rocío para u rago de operacó etre K..103 TABLA #4.44: Resduales de la presó de rocío para u rago de operacó etre K.104 TABLA #4.45: Resduales de la temperatura de burbuja.105 TABLA #4.46: Resduales de la presó de burbuja.106 xv

13 Ídce Ídce de Gráfcas GRAFICA #.1 hasta.4: Ejemplos de las grafcas de los resduos...4 GRÁFICA #4.1: Aálss resdual de la temperatura de rocío 100 GRÁFICA #4.: Aálss resdual de la presó de rocío 101 GRÁFICA #4.3: Aálss resdual de la presó de rocío para u rago de operacó etre K...10 GRÁFICA #4.4: Aálss resdual de la presó de rocío para u rago de operacó etre K GRÁFICA #4.5: Aálss resdual de la presó de rocío para u rago de operacó etre K GRÁFICA #4.6: Aálss resdual de la temperatura de burbuja 106 GRÁFICA #4.7: Aálss resdual de la presó de burbuja.107 xv

14 Itroduccó INTRODUCCIÓN El gas atural es uo de los recursos eergétcos de mayor mportaca e el país, razó por la cual, las ecuacoes que gobera el cálculo del puto de rocío y del puto de burbuja de este fludo so amplamete utlzadas e cálculos de produccó, cotrol, dseño y operacó e la dustra; para la aplcacó de estas ecuacoes es ecesara la utlzacó de tablas (NGPA) para el cálculo de varos parámetros de forma teratva lo cual hace tedoso, poco practco y hasta geera u porcetaje de error al mometo de tomar las lecturas de dchas tablas. Por esta razó se hace teresate desde el puto de vsta técco y académco, la obtecó de ecuacoes o modelos explíctos que permta smplfcar los cálculos y se costtuya e ua herrameta aceptable e el campo de trabajo. El aálss regresoal es ua herrameta que cojutamete co el modelado matemátco, permte ua estratega basada e resultados expermetales u obtedos e el campo de trabajo, la cual collevaría al proóstco del valor de ua determada varable, co precsó detro del rago de valdez requerda. La presete vestgacó está orgazada e cuatro capítulos: El Capítulo I, descrbe detalladamete el problema, sus causas, cosecuecas y ua breve explcacó justfcado el motvo por el cual se quere resolver. El Capítulo II, está basado e aspectos teórcos relacoados co el tema de estudo e vestgacoes que se ha realzado e años aterores. El Capítulo III, explca de maera secuecal y detallada la forma sstemátca de cómo se va a resolver el problema y las herrametas que se utlzará para ello. El Capítulo IV, es el más mportate, e el cual se mostrará los resultados obtedos y el aálss de los msmos. Por últmo se preseta las coclusoes y recomedacoes deducdas de la presete vestgacó. 16

15 Itroduccó E esta vestgacó se cocluyó lo sguete: El aálss regresoal puede ser utlzado para la obtecó de modelos que permta proostcar el comportameto del gas atural veezolao y se recomeda la utlzacó de esta técca para modelar otras propedades termodámcas ó para modelar el comportameto de otros fludos, debdo a que la msma permte la smplfcacó de los cálculos e la geería. 17

16 Captulo I CAPÍTULO I El Problema Plateameto del problema El gas atural veezolao es ua mezcla homogéea de hdrocarburos parafícos de la forma CH + compuesto prcpalmete de metao, catdades meores de gases orgácos como el N, CO, H S y otros (Gozález 006, Pág.0 ), de composcó varable y acotado detro de ragos específcos. Veezuela ocupa ua poscó relevate detro de los países productores de gas atural, co uas reservas probadas del,4% de las reservas mudales y que está e el orde de los 5,5x10 1 m 3 de gas a codcoes estádar. Durate mucho tempo o se le ha dado la mportaca que este recurso amerta, e razó de que mayormete se explota otros recursos eergétcos tales como: el petróleo, el carbó y los recursos hdráulcos. El gas atural veezolao se ecuetra e el yacmeto como ua mezcla de gases lvaos (CH 4, N...), a codcoes supercrítcas y otra porcó de hdrocarburos parafícos más pesados (C + 3 ), a codcoes subcrítcas, razó por la cual, es posble que parte del gas codese e las paredes del pozo o cluso e las paredes de las tuberías que lo trasporta, ocasoado problemas operacoales e los equpos de superfce los cuales o fuero dseñados para procesar el líqudo prevamete codesado y fuera de especfcacó arrastrado por la correte gaseosa y també ocasoado problemas e las tuberías de trasporte, dsmuyedo de esta forma, la produccó. Debdo ha esto se hace ecesaro mateer el cotrol del puto de rocío y del puto de burbuja para la produccó del gas atural, los cuales se ecuetra goberados por relacoes matemátcas y termodámcas. 19

17 Captulo I Por esta razó se requere el desarrollo de ecuacoes práctcas, rápdas y secllas para el cálculo del puto de rocío y del puto de burbuja co ua prescó aceptable, por lo cual se platea el desarrollo de modelos matemátcos polómcos que e forma explcta permta el cálculo de los msmos. Formulacó del problema E base a lo expuesto aterormete, se formula la sguete preguta: Como determar medate el aálss regresoal los modelos matemátcos polómcos para la estmacó del puto de rocó y el puto de burbuja del gas atural veezolao? Objetvo geeral Determar medate el aálss regresoal los modelos matemátcos polómcos para la estmacó del puto de rocó y del puto de burbuja del gas atural veezolao. Objetvos específcos 1.- Seleccoar u cojuto de muestras para la estmacó del puto de rocó y el puto de burbuja del gas atural veezolao..- Efectuar la smulacó del cálculo del puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural veezolao. 3.- Realzar el aálss regresoal para determar los modelos matemátcos polómcos de predccó del puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural veezolao. 0

18 Captulo I 4.- Realzar el aálss de sesbldad y valdacó de los modelos matemátcos polómcos para la estmacó del puto de rocó y el puto de burbuja del gas atural veezolao. Justfcacó e mportaca de la vestgacó Todo estudo o desarrollo que se realce co el objeto de producr ua herrameta que faclte o smplfque los cálculos e geería, es por s msmo justfcado, sobre todo s los recursos vertdos e su ejecucó será la telectualdad, la ejerctacó y la amplacó de coocmetos y téccas que al adqurrlas collevaría a ua posteror evolucó de que la realza. Como ya se mecoó, la falta de cotrol e el puto de rocío y del puto de burbuja del gas atural puede afectar la produccó, el trasporte e cluso el procesameto del msmo. Los métodos comues utlzados para calcular estos parámetros, so repettvos y u poco tedosos, por esta razó se requere el desarrollo de ecuacoes práctcas, rápdas y secllas para el cálculo de dchas propedades co ua prescó aceptable. El desarrollo de herrametas que faclte la predccó de valores del puto de rocío y del puto de burbuja, puede ser justfcado por cualquer geero químco o de procesos, debdo a que pudera ser utlzadas e el cálculo de equlbros de fases y de otras propedades termodámcas, requerdas para el dseño, cotrol, matemeto y segurdad de las platas y procesos. La determacó de los modelos matemátcos polómcos medate el aálss regresoal que se pretede desarrollar e este trabajo es édta y orgal, ya que e la bblografía revsada o aparece gú tratameto smlar dode se determe el puto de rocío y el puto de burbuja medate ecuacoes practcas rápdas y secllas y co ua prescó aceptable para el gas atural veezolao, 1

19 Captulo I lo cual justfca su realzacó y lo revste co característcas de aporte al vel del desarrollo técco y cetífco de uestra uversdad. Delmtacó La presete vestgacó se realzará e la Uversdad Rafael Urdaeta ubcada e el mucpo Maracabo, Estado Zula, e u perodo de 7 meses cádose e el mes de Eero de 006 hasta julo de 006.

20 Captulo II Atecedetes de la vestgacó Toda vestgacó se fudameta e la búsqueda de formacó que tegrada a ua estratega efcete dé respuestas a la problemátca plateada, es por esto que se realzó la recoplacó de trabajos los cuales guarda relacó co la presete vestgacó. A cotuacó se preseta ua sítess de estos trabajos, los resultados obtedos y los aportes que de estos se derva. Iragorry M. (004), presetó u trabajo especal de grado para optar al título de Igeero Químco e la Uversdad Rafael Urdaeta ttulado Elaboracó de u programa de smulacó para el cálculo de equlbro líqudo-vapor e columas separacó usadas e el procesameto del gas atural, co la faldad de realzar ua revsó bblográfca para seleccoar la ecuacó de estado y sus reglas de mezcla, para predecr el equlbro líqudo-vapor durate el procesameto del gas atural, medate el desarrollo de u programa de smulacó. La vestgacó realzada permtó coocer, el rago de aplcacó del modelo termodámco co ecuacoes de estado para la predccó de las codcoes de equlbro etre las fases, se ha amplado recetemete de maera sgfcatva utlzado ecuacoes cúbcas rgurosas, dotadas de reglas de mezcla avazadas, las cuales geera resultados precsos para la mayoría de los sstemas e la práctca dustral. La evaluacó de múltples alteratvas dervó e las ecuacoes de Peg- Robso y la de Twu-Coo-Cugha (TCCPR) para el dseño de estrategas amgables requerdas e el cálculo de las temperaturas y presoes de burbuja y rocío de mezclas multcompoetes de hdrocarburos y gases orgácos lvaos presetes e el gas atural. 4

21 Captulo II Gozález H. (006), presetó u trabajo especal de grado para optar al título de Igeero Químco e la Uversdad Rafael Urdaeta ttulado Aálss regresoal de modelos matemátcos polómcos para relacoar propedades termodámcas del gas atural veezolao, co el objeto de determar ecuacoes explíctas de práctca y seclla utlzacó para el cálculo de: Factor de compresbldad (Z), Volume molar (V), Cotedo Líqudo del Gas (CLG), Valor Calorífco Bruto y Neto (VCB y VCN). Para ello fue ecesaro producr ua data teórca producto de smulacoes rgurosas utlzado el leguaje RPL (Hp), de los métodos de Drachuck Puvs y Robso (DPR), y de Pápay para el cálculo de Z, de las ecuacoes de estado de Peg Robso y Patel-Teja para el cálculo de V y de la regla de Kay, para el cálculo del CLG, VCB y VCN. També se obtuvero los valores de Z co la gráfca de Stadg & Katz, cuyos valores fuero utlzados como refereca para valdar el modelo obtedo de Z. Para determar los modelos matemátcos polómcos de cada ua de las varables de estudo, se utlzó el aálss regresoal. Luego se realzó el aálss de resduales a los resultados obtedos co el objeto de determar la valdez y aceptacó de los modelos, los cuales presetaro ua mayor precsó que los ya exstetes. Se cocluyó que el aálss regresoal puede ser utlzado para obteer modelos que permta proostcar el comportameto del gas atural veezolao y se recomedó utlzar dcha técca para modelar otras propedades termodámcas ó para modelar el comportameto de otros fludos, ya que la msma permte la smplfcacó de los cálculos e la geería. 5

22 Captulo II Bases teórcas Gas atural Se deoma gas atural al formado por los membros más volátles de la sere parafíca de hdrocarburos, prcpalmete metao, catdades meores de etao, propao y butao y, falmete, puede coteer porcetajes muy pequeños de compuestos más pesados. Además, es posble cosegur e el gas atural catdades varables de otros gases o hdrocarburos, como dóxdo de carboo, sulfuro de hdrógeo (ácdo sulfhídrco), trógeo, helo, vapor de agua, etc. El gas atural puede obteerse como tal e yacmetos de gas lbre o asocados e yacmetos de petróleo y de codesado (porcoes volátles de petróleo). E Veezuela, los yacmetos de gas lbre so de recete utlzacó. Tradcoalmete el gas atural se ha obtedo vculado co la produccó de petróleo. (Martíez 1987, Pág. 3) Es coveete aclarar que, e su composcó, o aparece úcamete los hdrocarburos, so també las mpurezas, como el agua, el dóxdo de carboo y el sulfuro de hdrogeo. Adcoalmete, el persoal que trabaja e este tpo de operacoes debe vglar la preseca de area, que produce la erosó. Las parafas y los asfálteos se deposta y crea problemas. Cuado el agua está e forma lquda y e preseca de sulfuro de hdrogeo (H S), forma ácdos que corroe las stalacoes. Para el profesoal de la geería, el gas atural o es úcamete la mezcla de compoetes parafícos y de sus respectvas mpurezas, so també las codcoes que aparece e vrtud de cada uo de esos elemetos cotedos e el fludo. 6

23 Captulo II La presó y la temperatura a la cual se debe producr, trasportar y procesar, permte calcular la catdad de líqudo que se puede depostar e el sstema, el espesor de la pared metálca de los equpos, el dámetro de la tubería que se utlza para coducr el fludo y de muchos otros aspectos que cofgura el dseño. Del coocmeto que se tega de estas varables y del domo e su utlzacó depederá el éxto del profesoal que se dedca ha profudzar e el maejo de esta formacó. Segú los datos del año 001 publcados por la Admstracó de Iformacó de Eergía (Eergy Iformato Admstrato) del gobero de los Estados Udos (005), el gas atural ha sdo la matera prma de mayor valor a agregado a los hdrocarburos e la dustra petroquímca. El valor de las vetas de gas a vel mudal, para la dustra químca y petroquímca fue de mlloes de dólares, metras que las vetas para la dustra petroquímca alcazaro uas cfras de mlloes. Esto se compara co mlloes de dólares que geeró la dustra del petróleo e el msmo año. El gas utlzado para la dustra petroquímca produjo mlloes (73,7% del total geerado por el petróleo). ( Tpos de gas Segú Martíez (1987, Pág. 3, 4), exste cuatro tpos de gas, los cuales se preseta a cotuacó: Gas dulce Es aquel que cotee catdades de sulfuro de hdrógeo (H S), meores a 4 ppm, v. La GPSA defe u gas apto para ser trasportado por tuberías por aquel que cotee 4 ppm, v de H S; meos del 3,0% de dóxdo de carboo y 6 a 7 lbras de agua por mlló de pes cúbcos e codcoes ormales (pc). 7

24 Captulo II Gas agro o ácdo Es aquel que cotee catdades aprecables de sulfuro de hdrógeo, dóxdo de carboo (CO ) y otros compoetes ácdos (COS, CS, mercaptaos, etc) razó por la cual se vuelve corrosvo e preseca de agua lbre. Gas rco (húmedo) Es aquel del cual se puede obteer catdades aprecables de hdrocarburos líqudos, C + 3 de, aproxmadamete, 3,0 GPM (galoes por ml pes cúbcos e codcoes ormales). No tee gua relacó co el cotedo de vapor de agua que pueda coteer el gas. Gas pobre (seco) Es u gas que práctcamete está formado por metao (C 1 ) y etao (C ). S embargo, e sstemas de compresó de gas se habla de gas húmedo, e gles wet gas, al que cotee vapor de agua y gas seco (gles dry gas ), al que o cotee vapor de agua. Geeraldad del gas atural Segú Urdaeta y Pería (005, Pág. 30), el gas atural preseta las sguetes geeraldades: 1. El gas atural extraído de los yacmetos, e u producto coloro e odoro, o tóxco ta lgero como el are. Procede de la descomposcó de los sedmetos de matera orgáca atrapada etre estratos rocosos y es ua mezcla de hdrocarburos lgeros, e dode el metao (CH 4 ) se ecuetra e grades proporcoes, acompañado de otros 8

25 Captulo II hdrocarburos y gases cuya cocetracó depede de la localzacó del yacmeto.. El gas atural es ua eergía efcaz, retable y lmpa, y por sus precos compettvos y su efceca como combustble, permte alcazar cosderables ecoomías a sus utlzadores. Por ser el combustble mas lmpo de orge fósl, cotrbuye decsvamete e la lucha cotra la cotamacó atmosférca, y es ua alteratva eergétca que se destacará e el sglo XXI por su crecete partcpacó e los mercados mudales de la eergía. 3. La explotacó a gra escala de esta fuete eergétca atural cobró especal relevaca tras los mportates hallazgos regstrados e dsttos lugares del mudo a partr de los años ccuetas. Gracas a los avaces tecológcos desarrollados, sus procesos de produccó, trasporte, dstrbucó y utlzacó o preseta resgos causa mpacto ambetal aprecable. 4. La dstrbucó o homogéea de reservas petroleras, codcoa el crecmeto ecoómco de u país, a la depedeca de este recurso. Ngú país del mudo co grades expectatvas e su crecmeto ecoómco, co reservas de gas atural y que especalmete o sea u país petrolero, o puede dejar de lado el uso tesvo del GNC como combustble alteratvo. 5. E corto tempo, las estrctas ormas de emsoes desarrolladas por las autordades de cotrol, será aplcadas más severamete au e los países e desarrollo. 9

26 Captulo II 6. Las emsoes propas de aftas y gasol, exste lmtadas e los motores a GNC, la cual permtrá progresar e el desarrollo de los msmos. Tratameto del gas atural Así msmo Urdaeta y Pería (005, Pág. 31), reseña el tratameto del gas atural como toda aquella actvdad de ídole físco y químco dode se adecua el gas para poder ser empleado como combustble o matera prma para la dustra petroquímca, debdo a ua alta cocetracó de H O, CO Y H S; geerado e los sstemas de procesameto y de trasporte, problemas de corrosó, resgo operacoal y reduccó de la efceca del gas como combustble. Detro de los procesos de tratameto para cumplr co la especfcacó de cotedo de H O, CO Y H S se ecuetra: Deshdratacó Es u proceso medate el cual se remueve el agua del gas atural y depededo de la tecología empleada el cotedo de agua del gas ya deshdratado puede r desde 1.113x10-4 Kg. por m 3 de gas e codcoes ormales, hasta partes por mlló. Los prcpales procesos empleados so la deshdratacó medate tretléglcol (TEG), el cual es u proceso de absorcó de dode el TEG se poe e cotacto cotra correte e ua columa co el gas atural, este sale por el tope deshdratado y el TEG pasa a ua sstema de regeeracó dode se le elma el agua absorbda, el otro proceso es la deshdratacó medate Tamces Moleculares, a dfereca del proceso ateror este es u proceso de absorcó dode a u lecho de sóldos desecates co ampla afdad por el agua y químcamete erte se les hace flur el gas atural 30

27 Captulo II húmedo, este sale seco y el sóldo desecate es regeerado medate gas seco calete. Importaca de la deshdratacó del gas La deshdratacó del gas se realza para prever la formacó de hdratos y codesacó del gas así msmo para cumplr co requermetos de los equpos utlzados e el sstema y por últmo para evtar la corrosó. Proceso de udad de deshdratacó El gas atural extraído del pozo es mezclado co ua correte de agua saturada para ser almetado a u mezclador para luego pasar a u saturador el cual opera a ua temperatura y ua presó determada, e el fodo sale agua lbre y e el tope sale gas saturado, el cual pasa a través de u efrador ecargado de dsmur la temperatura para troducrlo a u separador dode opera a ua determada presó y temperatura, e el fodo del separador sale lqudo y como producto de tope, vapor almetado después a u deshdratador ecargado de dejar al gas s gú tpo de líqudo para poder llevarlo s gú problema a la plata de refacó. Edulzameto Se debe teer presete su uso, el cual, deota la elmacó de los compoetes ácdos del gas atural, por lo geeral el dóxdo de carboo y el sulfuro de hdrógeo. A los efectos del tema e estudo, otros compoetes ácdos como el COS y el CS, tee ua gra mportaca debdo a su tedeca a dañar las solucoes utlzadas para edulzar el gas y, por lo geeral, o se reporta detro de la composcó del gas a tratar, ua costumbre muy costosa para la dustra. 31

28 Captulo II Procesameto del gas atural El gas atural después de haber sdo tratado y depededo de su composcó, es posble que cotega hdrocarburos de gra valor comercal, cualquer dustra co el f de maxmzar el valor de sus productos, procesa este gas tratado para extraer Etao, Propao, Butaos, Gasola y Resdual, los cuales, tee u gra valor e los mercados Nacoales y Extrajeros. El procesameto del gas atural esta coformado por las sguetes etapas. Extraccó de líqudos La forma más utlzada para la obtecó de líqudos del gas atural es medate la reduccó de la temperatura del msmo. Esto se puede lograr medate ua refrgeracó drecta utlzado los prcpos de refrgeracó mecáca o auto refrgeracó por expasó. La seleccó del método o la combacó de los msmos, depede de la composcó del gas, del producto a obteer, del vel de recobro deseado y/o de los parámetros ecoómcos y de dseño de ua stuacó e partcular. El prcpo termodámco, e el cual se basa las dferetes tecologías de extraccó de líqudos, busca llevar al gas atural a codcoes de saturacó para luego reducr la temperatura ya sea por refrgeracó proceso coocdo como Refrgeracó Mecáca o expasó de fludo. La expasó puede ser realzada setrópca o setálpcameta, de esta maera se obtee la mayor catdad de líqudos; cuado la expasó es efectuada e forma soetálpca el proceso es adabátco y es coocdo como expasó Joule Thompso, metras la expasó se realza soetrópcamete, a través de u sstema de turbo expasó se obtedrá ua meor temperatura y ua mayor catdad de lqudo. 3

29 Captulo II Fraccoameto de líqudos El proceso de fraccoameto es aquel medate el cual se obtee de los líqudos del gas atural (LGN) uo o varos productos bajo especfcacoes comercales, esto se logra medate ua columa de platos o empaques promovedo el tercambo de masa etre el líqudo y el vapor, el cual es geerado por el calor troducdo al sstema. Este vapor al asceder por la columa se va efrado, geerado la dsmucó e la cocetracó de sus compoetes mas pesados. E la fase lquda se preseta el proceso verso, a medda que descede por la columa se caleta vaporzado sus compoetes mas lvaos, geerado así medate este tercambo eergétco y másco los productos deseados bajo especfcacoes. Propedades y comportameto del gas De acuerdo co Martíez (1987, Pág. 4): e la forma más smple, u gas puede cosderarse que está formado por partículas s volume y etre las cuales o exste fuerzas de atraccó o repulsó. Es u fludo homogéeo, geeralmete de baja desdad y vscosdad, s volume defdo y ocupa cualquer espaco e el cual se coloca. Los gases que se ajusta a esta defcó, se deoma gases deales. El cocepto ateror de gas, geeralmete se cumple e codcoes de baja presó y temperatura, pero gradualmete el gas se aparta de esta defcó y el comportameto teórco se aleja del observado. A medda que aumeta la presó y/o la temperatura, debe clurse el volume de las moléculas y las fuerzas de atraccó o repulsó etre ellas. A los que cumple co esta defcó se les deoma gases reales. 33

30 Captulo II Propedades de hdrocarburos puros Muchas de las cualdades y cálculos de mezclas de hdrocarburos se obtee a partr de las propedades de los compoetes puros. La Ref. 1 (GPSA, 1987, seccó 3) cluye los datos de costates físcas de hdrocarburos puros e geeral, partcularmete hdrocarburos parafícos y otros compoetes del gas atural. Este tpo de formacó es lo más completo que exste e la lteratura y debe estar a dsposcó permaete de las persoas que trabaja co el gas atural. Determacó del Puto de Burbuja El puto de burbuja puede ser defdo como la codcó e la cual el sstema es todo lqudo co solo ua sola gota (ftesmalmete pequeña) de vapor presete. La catdad de vapor es especfcada como ua cuestó de coveeca e tato la composcó del líqudo es esecalmete gual a la composcó del sstema. Por lo tato, x, la fraccó molar de cada compoete e el lqudo, puede ser ecotrado del aálss total del sstema. Pero, por defcó, la suma de la fraccó molar de todos los compoetes debe sumar la udad e ambos vapor y lqudo. Se deduce que: * X Y= K = Dode: K.X : el valor de K veces X para cada compoete e la mezcla El procedmeto es como sgue para u sstema de composcó coocda. 1) Se asume ua temperatura para la presó coocda (o asumr presó s la temperatura es coocda). ) Se ecuetra K a la presó y temperatura coocda y asumda. 34

31 Captulo II 3) Se multplca K del paso por la correspodete X. 4) S la sumatora de los valores del paso 3 es gual a la udad, se asumó la presó o temperatura correcta. S o, se repte el paso 1-3 hasta que la sumatora sea gual a 1, o al meos hasta que se pueda obteer valores que permta realzar ua terpolacó del puto requerdo detro de los límtes de exacttud establecdos. Determacó del Puto de Rocío El puto de rocío se defe como la codcó e la que el sstema es todo vapor coteedo solo ua ftesmalmete pequeña gota de líqudo. E este caso la composcó del vapor es gual a la del sstema etero, cosecuetemete. / K X = Y = El procedmeto es exactamete el msmo para calcular el puto de burbuja a excepcó que se usa esta ecuacó. 1) Se asume ua temperatura para la presó coocda (o asumr presó s la temperatura es coocda). ) Se ecuetra K a la presó y temperatura coocda y asumda. 3) Se dvde la Y etre la correspodete K del paso. 4) S la sumatora de los valores del paso 3 es gual a la udad, se asumó la presó o temperatura correcta. S o, se repte el paso 1-3 hasta que la sumatora sea gual a 1, o al meos hasta que se pueda obteer valores que permta realzar ua terpolacó del puto requerdo detro de los límtes de exacttud establecdos. El Aálss de regresó Es ua técca estadístca para el modelado y la vestgacó de la relacó etre dos o más varables. Es ua coleccó de herrametas estadístcas para ecotrar estmacoes de los parámetros del modelo de regresó. 35

32 Captulo II Dagrama de dspersó Es ua gráfca e la que cada par de (X, Y ) esta represetado co u puto e u sstema de coordeadas bdmesoal. El aálss de este dagrama de dspersó dca que, s be ua curva o pasa exactamete por todos los putos, exste ua evdeca fuerte de que los putos está dspersos de maera aleatora alrededor de ua líea recta. Por cosguete es razoable supoer que la meda de la varable aleatora Y esta relacoada co X por la sguete relacó leal; Ε( / x) = y/ x = β + β χ Y μ Dode la pedete y la ordeada al orge de la recta recbe el ombre de coefcete de regresó. S be la meda de Y es ua fucó leal de X, el valor real observado de Y o cae de maera exacta sobre la recta. La maera apropada de geeralzar este hecho co u modelo probablístco leal es supoer que el valor esperado de Y es ua fucó leal de X, pero que para u valor fjo de X el valor real de Y está determado por el valor medo de la fucó (el modelo leal) más u termo que represeta u error aleatoro, por ejemplo, Y = β + β χ Dode es el error aleatoro. Este modelo recbe el ombre de modelo de regresó leal smple, ya que solo tee ua varable depedete o regresor. E ocasoes, los modelos de este tpo surge de ua relacó teórca. E otras, o hay gú coocmeto teórco de la relacó exstete etre X y Y, la seleccó del modelo se basa e el aálss del dagrama de dspersó. E estos casos, el modelo de regresó se cosdera como u modelo empírco. Para lograr ua mayor famlardad co este modelo, supógase que es posble fjar el valor de X y observar el valor de la varable aleatora Y. Ahora be, s X es fjo el compoete aleatoro del membro derecho del modelo dado por la 36

33 Captulo II ecuacó ateror, determa las propedades de Y. Supógase que la meda y la varaza de so 0 y σ, respectvamete. Etoces, E ( Y / x) = E( β + β χ+ ) = β + β χ + E( ) = β + β χ Nótese que ésta es la msma relacó que se escrbó al co, de maera empírca, a partr del aálss del dagrama de dspersó. La varaza de Y dado que X es V ( Y/ x) = V( β + βχ+ ) = V( β + βχ) + V( ) = 0+ σ = σ Por tato, el modelo de regresó verdadero μ 1 y / x = β + β χ 0 es ua recta de valor promedo; esto es la altura de la recta de regresó e cualquer valor de X es precsamete el valor esperado de Y para dcha X. La pedete β 1 puede terpretarse como el cambo e la meda de Y por udad de cambo e X. Por otra parte, la varabldad de Y e u valor partcular de X está determada por la varaza del error σ. Esto mplca que exste ua dstrbucó de valores de Y para cada X, y que la varaza de dstrbucó es la msma e cada X. E muchos problemas reales, los valores de la ordeada al orge y la pedete (β 0, β 1 ) y la varaza del error o se cooce, y debe estmarse a partr de datos muestrales. Comúmete, esta ecuacó de regresó ajustada o modelo se utlza e la predccó de observacoes futuras de Y, o para estmar la respuesta promedo para u vel partcular de X. σ Regresó leal smple Cosdere sólo u regresor o predctor X, y ua varable depedete o respuesta Y. Supógase que la verdadera relacó etre Y y X es ua líea recta, y que la observacó de Y e cada vel de X es ua varable aleatora. Tal como ya se dcó, el valor esperado de Y para cada valor de X es 37

34 Captulo II E ( Y / x) = β + β χ dode la ordeada al orge β o y la pedete β 1 so los coefcetes descoocdos de la regresó. Se supoe que cada observacó, Y, puede descrbrse por el modelo Y = β + β χ dode es u error aleatoro co meda cero y varaza σ. També se supoe que los errores aleatoros que correspode a observacoes dferetes so varables aleatoras o correlacoadas. Supógase que se tee pares de observacoes (X 1, Y 1 ), (X, Y ), (X N, Y N ). Las estmacoes de β o y β 1 debe dar como resultado ua líea que (e algú setdo) se ajuste mejor a los datos. El cetífco alemá Karl Gauss ( ) propuso estmar los parámetros β o y β 1 de la ecuacó ateror de modo que se mmce la suma de los cuadrados de las desvacoes vertcales. Este crtero para estmar los coefcetes de regresó se cooce como el método de los mímos cuadrados. Al utlzar la ecuacó ateror es posble expresar las varacoes de la muestra como Y = + β χ + = 1,,..., β 0 1 Y la suma de los cuadrados de las dervacoes de las observacoes co respecto a la recta de regresó es L = = = 1 = 1 ( γ β β χ ) Los estmadores de mímos cuadrados de β o y β 1 (por ejemplo β o debe satsfacer las ecuacoes sguetes: y β 1 L β 0 β ', β ' = 0 1 = 1 ( γ β ' β ' χ ) 0 1 = 0 38

35 Captulo II = = = L ) ' ' ( ', ' χ χ β β γ β β β.10 Después de smplfcar las ecuacoes aterores, se tee que = = = ' ' γ χ β β = = = = ' ' χ γ χ β χ β.11 Las dos ecuacoes aterores recbe el ombre de ecuacoes ormales de mímos cuadrados. La solucó de estas ecuacoes da como resultado los estmadores de mímos cuadrados β o y β 1. Estmacoes de mímos cuadrados Las estmacoes de mímos cuadrados de la ordeada al orge y la pedete del modelo de regresó leal smple so χ β γ β ' ' 1 0 = ' = = = = = = χ χ χ γ χ γ β.13 Dode ( ) ( ) = = = = 1 1 1/ / 1 χ γχ γ γ 39

36 Captulo II Por tato, la líea de regresó ajustada o estmada es γ ' = β ' + β ' χ Nótese que cada par de observacoes satsface la relacó Dode γ = β ' + β ' χ + e 1 0 = 1,,..., e = y y ' recbe el ombre de resduo. El resduo descrbe el error e el ajuste del modelo de la -ésma observacó. Desde el puto de vsta de la otacó, e ocasoes es coveete dar símbolos especales al umerador y al deomador de la ecuacó.13. Dados los datos (X1, Y1), (X,Y),., (X,Y) sea S xx = ( χ χ) = = 1 = 1 χ = 1 χ.14 Y S xy = = 1 γ ( χ χ) = = 1 χ γ = 1 χ = 1 γ.15 Evaluacó de la adecuacó del modelo de regresó leal El ajuste de u modelo de regresó leal requere de varas suposcoes, la estmacó de los parámetros del modelo requere la suposcó de que los errores so varables aleatoras o correlacoadas co meda cero y varaza costate. Las pruebas de hpótess y la estmacó de tervalos requere que los errores esté dstrbudos de maera ormal. Además, se supoe que el grado del modelo es correcto; esto es, s se ajusta u modelo de regresó leal smple, 40

37 Captulo II etoces se supoe que el feómeo e realdad se comporta de maera leal o de prmer grado. Aálss resdual Los resduos so e = y yˆ, = 1,...,, dode y es ua observacó real y ŷ es el correspodete valor ajustado a partr del modelo de regresó. A meudo el aálss de los resduos es útl para verfcar la hpótess de que los errores tee ua dstrbucó que es aproxmadamete ormal co varaza costate, así como para determar la utldad que tee la adcó de más térmos al modelo. Como comprobacó aproxmada de la ormaldad, el expermetador puede costrur u hstograma de frecueca de los resduos ua gráfca de probabldad ormal de los resduos. També es posble estadarzar los resduos medate el cálculo de d = e = 1,...,. / σˆ S los errores tee ua dstrbucó ormal, etoces aproxmadamete el 95% de los resduos estadarzados debe caer e el tervalo (-,+). Los resduos que se aleja mucho de este tervalo puede dcar la preseca de u valor atípco; esto es ua observacó que o es comú co respecto a los demás datos. Se ha propuesto varas reglas para descartar los valores atípcos. S embargo, e ocasoes los valores atípcos proporcoa formacó mportate sobre crcustacas poco usuales que so de terés para los expermetadores y que o debe descartarse. A meudo es útl hacer ua gráfca de los resduos 1) como ua secueca e el tempo (s es que ésta se cooce), ) cotra las y 3) cotra la varable depedete x. Usualmete, estas gráfcas tee u aspecto smlar a los cuatro patroes geerales que aparece a cotuacó. ŷ 41

38 Captulo II Grafca.1 Grafca. Grafco.3 Grafco.4 La fgura.1 represeta la stuacó deal, metras que las fguras.,.3 y.4 represeta aomalías. S los resduos aparece como e la fgura., la varaza de las observacoes puede aumetar co el tempo o co la magtud de y o x, Comúmete se utlza ua trasformacó de datos sobre la respuesta y para elmar este problema. S ua gráfca de los resduos cotra el tempo tee el aspecto del grafco., etoces la varaza de las observacoes aumeta co el tempo. Las gráfcas de los resduos cotra ŷ y x tee el aspecto como el de el grafco.3, també dca ua desgualdad e la varaza. Los gráfcos resduales co aspecto smlar al.4, dca que el modelo es adecuado; esto es, que es 4

39 Captulo II ecesaro añadr al modelo térmos de orde superor, cosderar ua trasformacó de la varable x o de la varable y (o ambas), o cosderar otros regresores. Coefcete de determacó (R ) La catdad R SS r = = 1 S yy SS S yy e.16 Recbe el ombre de coefcete de determacó y se utlza co mucha frecueca para juzgar la adecuacó de u modelo de regresó. A meudo se hace refereca de maera vaga a R como la catdad de varabldad e los datos que es explcada o tomada e cueta por el modelo de regresó. La estadístca de R debe emplearse co precaucó, ya que sempre es posble hacer R gual co uo medate la adcó al modelo de u úmero sufcete de térmos. Por ejemplo puede obteerse u ajuste perfecto a putos co u polomo de grado -1. Además, R sempre aumeta s se ua varable al modelo, lo que o ecesaramete mplca que el uevo modelo sea mejor que el ateror. A meos que la suma de los cuadrados de los errores del uevo modelo se vea dsmuda por ua catdad gual al error cuadrátco medo orgal, el uevo modelo tedrá u error cuadrátco medo mayor que el ateror, debdo a la perdda de u grado de lbertad e el error. Por tato, e realdad el uevo modelo es peor que el ateror. Exste varas deas erróeas e cuato a R. E geeral, R o mde la magtud de la pedete de la recta de regresó. U valor grade de R o mplca ua pedete grade. Por otra parte, R o mde cuá apropado resulta ser el modelo, ya que esto puede flarse de maera artfcal co la adcó al 43

40 Captulo II modelo de térmos polomales e x de grado superor. Icluso, R puede ser grade s X y Y está relacoadas de maera o leal. Falmete a pesar de que R sea grade, esto o ecesaramete mplca que el modelo de regresó proporcoará predccoes precsas de observacoes futuras. Modelo de regresó leal múltple Muchas aplcacoes del aálss de regresó volucra stuacoes dode se tee más de ua varable de regresó. U modelo de regresó que cotee más de u regresor recbe el ombre de modelo de regresó múltple. Como ejemplo, supógase que la vda efcaz de ua herrameta de corte depede de la velocdad de corte y del águlo de la herrameta. U modelo de regresó múltple que pueda descrbr esta relacó es el sguete γ = β + β χ + β χ Dode y represeta la vda de la herrameta; x 1, la velocdad de corte; x, el águlo de la herrameta, y es u termo de error aleatoro. Este es u modelo de regresó leal múltple co dos regresores. Se utlza el térmo leal porque la ecuacó.17 es ua fucó leal de los parámetros descoocdos β 0, β 1 y β. El modelo de regresó de la ecuacó.17 descrbe u plao e el espaco trdmesoal formado por Y, x 1 y x. El parámetro β 0 es la terseccó del plao. E ocasoes, los parámetros β 1 y β se cooce como coefcetes de regresó parcales, ya que β 1 mde el cambo esperado e Y por udad de cambo e x 1 cuado x se matee 44

41 Captulo II costate, y β mde el cambo esperado e Y por udad de cambo e x cuado x 1 se matee costate. E geeral, la varable depedete o respuesta Y puede estar relacoada co k varables depedetes o regresores. El modelo Y = β + β χ + β χ β χ k k 0.18 recbe el ombre de modelo de regresó leal múltple co k varables de regresó. Los parámetros β j, j = 0,1,..., k, se cooce como coefcetes de regresó. Este modelo descrbe u hperplao e el espaco de dmesó k formado por las varables de regresó x j. El parámetro β j represeta el cambo esperado e la respuesta Y por udad de cambo x j cuado todos los demás regresores x ( j) se matee costates. Frecuetemete los modelos de regresó leal múltple se emplea como fucoes de aproxmacó. Esto es, se descooce la verdadera relacó fucoal etre Y y x 1, x,..., x k, pero sobre certos ragos de las varables depedetes el modelo de regresó leal costtuye ua aproxmacó adecuada. Los modelos que tee ua estructura más compleja que la dada por la ecuacó.18 co frecueca puede aalzarse co las téccas de la regresó leal múltple. Por ejemplo, cosdérese el modelo polomal cúbco co ua varable de regresó 3 Y = β + β χ + β χ + β χ S se hace x 1 = x, x = x, x 3 = x 3, etoces la ecuacó.19 puede escrbrse como Y = β + β χ + β χ + β χ que es u modelo de regresó leal múltple co tres varables de regresó. 45

42 Captulo II Los modelos que cluye efectos de teraccó també puede aalzarse co los métodos de la regresó leal múltple. Ua teraccó etre dos varables puede represetarse e el modelo por u termo formado por u producto cruzado, tal como como Y = β + β χ + β χ + β χ χ S se hace x 3 = x 1 x y β 3 = β 1, etoces la ecuacó.1 puede escrbrse Y = β + β χ + β χ + β χ que es u modelo de regresó leal. E geeral, cualquer modelo de regresó que es leal e los parámetros (las β) es u modelo de regresó leal, s mportar la forma de la superfce que éste geera. E geeral, la teraccó mplca que el efecto producdo por el cambo de ua varable (por ejemplo, x 1 ) depede del vel de la otra varable (x ). Los efectos de teraccó aparece co la frecueca e el estudo y aálss de sstemas reales, y los métodos de regresó so ua de las téccas que puede emplearse para descrbrlos. Como ejemplo fal, cosdérese el modelo de segudo grado co teraccó Y = β + β χ + β χ + β χ + β χ + β χ χ S se hace x 3 = x 1, x 4 = x, x 5 = x 1 x, β 3 = β 11, β 4 = β y β 5 = β 1 etoces la ecuacó. puede escrbrse como u modelo de regresó leal múltple de la sguete maera: Y = β + β χ + β χ + β χ + β χ + β χ Los térmos cuadrátcos y de teraccó de este modelo produce ua fucó que tee la forma de u motículo. Depededo de los valores de los 46

43 Captulo II coefcetes de regresó, el modelo de segudo grado co teraccó es capaz de tomar ua varedad muy ampla de formas; por tato, éste es u modelo de regresó muy flexble. Estmacó de los parámetros por mímos cuadrados El método de mímos cuadrados puede emplearse para estmar los coefcetes de regresó del modelo leal múltple de la ecuacó.18. Supógase que se tee dspoble > k observacoes, y sea x j la -esma observacó o vel de la varable x j. Las observacoes so (x 1, x,..., x k, y 1 ), = 1,,..., y > k Se acostumbra presetar los datos de ua regresó múltple e ua tabla tal como la sguete: Y X1 X X k Y 1 X 11 X 1 X 1k Y X 1 X X k Y X 1 X X k Cada observacó (x 1, x,..., x k, y 1 ) satsface el modelo de la ecuacó.18, es decr γ = β + β χ + β χ β χ k k k = β + β χ 0 j j =1 + = 1,,...,.3 La fucó de mímos cuadrados es L = = 1 = = ( γ β 1 j = 1 0 k β χ ) j j.4 47

44 Captulo II El sguete paso es mmzar L co respecto a β 0, β 1,..., estmacoes de mímos cuadrados de β 0, β 1,..., β k debe satsfacer β k. Las Y L β L β 0 β ' 0, β '1... β ' k = ( γ β' = 1 j = 1 β' χ ) = 0 j β ' o, β '1..., β ' k k = ( γ β' β' χ ) χ = 0 = 1 j = 1 0 j j j 0 k j j.5 j = 1,,..., k.6 Después de smplfcar las ecuacoes.5 y.6, se obtee las ecuacoes ormales de mímos cuadrados. β ' χ + β ' χ β χ = β ' + β ' ' = = = χ + β' χ + β' χ χ β χ χ = k 1 k = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 0 ' χ + β ' χ χ + β ' χ χ β χ = k 1 k 1 k k k = = = = = k k =1 γ χ γ β ' ' χ γ 0 k Nótese que exste p = k+1 ecuacoes ormales, ua para cada coefcete de regresó descoocdo. La solucó de las ecuacoes ormales so los estmadores de mímos cuadrados de los coefcetes de regresó β 0, β 1,..., 1 β k^. La solucó de las ecuacoes ormales puede obteerse co cualquer método apropado para la solucó de sstemas de ecuacoes leales. Efoque matrcal para la regresó leal múltple Al ajustar u modelo de regresó múltple es mucho más coveete expresar las operacoes matemátcas e forma matrcal. Supógase que exste k 48

45 Captulo II varable de regresó y observacoes (x 1, x,..., x k, y ), = 1,,...,, y que el modelo que relacoa los regresores co la respuesta es γ = β + β χ + β χ β χ k k = 1,,..., Este modelo es u sstema de ecuacoes que puede expresarse e otacó matrcal como γ = X β+.8 Dode y = y 1 y y X= [ ] 1 X 11 X 1k 1 X 1 X k 1 X 1 X k β 0 = β β β 1 y = 1 E geeral, Y es u vector de observacoes de ( 1), Χ es ua matrz ( p) de los veles de las varables depedetes, β es u vector de (p 1) formado por los coefcetes de regresó y es u vector de ( 1) de errores aleatoros. mmza Se desea ecotrar el vector de estmadores de mímos cuadrados,β, que L = = 1 = ' = ( y X β )' ( y X β ) 49

46 Captulo II El estmador de mímos cuadrados β es la solucó para β e las ecuacoes 0 = β L No se dará los detalles sobre como realzar las dervadas aterores; s embargo, las ecuacoes resultates que es ecesaro resolver so γ β ' ' ' X X X =.9 Las ecuacoes.9 so las ecuacoes ormales de mímos cuadrados e forma matrcal, y so détcas a la forma escalar que se do para ellas e las ecuacoes.7. Para resolver las ecuacoes ormales se multplca ambos membros de las ecuacoes.9 para la versa de X X. Por cosguete, el estmador de mímos cuadrados de β es y X X X ' ) ' ( ' 1 = β.30 Nótese que exste p=k+1 ecuacoes ormales y p=k+1 cógtas (los valores de β 0, β 1,,β k ).Por otra parte, a meudo la matrz X X es o sgular, tal como se supo aterormete, de modo que puede emplearse los métodos para vertr matrces descrtos e los textos sobre determates y matrces al hallar (X X) 1 ; e la práctca, los cálculos de la regresó leal múltple sempre se realza co el empleo de ua computadora. Es fácl ver que la forma matrcal de las ecuacoes ormales es détca a la forma escalar. Al escrbr la ecuacó.9 co detalle, se obtee = = = = = = = = = = = k k k k k k χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ ' k ' ' 1 0 β β β = = = = k γ χ γ χ γ 50