SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació matricial A X A B C, siedo A, B y C las matrices A, B, C Halle la matriz X que verifique la ecuació matricial A X A B C, A, B, C S la matriz A tiee matriz iversa A -, (podemos pasar de (A I ) mediate trasformacioes elemetales a (I B), la matriz B es A - ), podemos multiplicar la epresió matricial A X A B C por la izquierda por la matriz (A - ). (A I ) 0 0 F - F 0 -/ (I A - ), por tato A - -/. 0 0 F / 0 0 / 0 0 / 0 / Tambié se puede calcular la matriz iversa por la fórmula A - (/ A ) Adj(A T ), usado determiates. A 0 0 ; 0 AT ; Adj(A T - ) ; A - - -/ (/) / De A X A B C, teemos (A - ) A X (A - ) A (A - ) B C I X I A - (A - ) B C X A - (A - ) B C (A - ) A - A / -/ -/ 0 0 ; B C - 0 / 0 / 0 / Luego X A - (A - ) B C -/ -/ 0 -/ -5 -/ 6 / / 0 / 8 0 / / - / EJERCICIO _A Se cosidera la fució f() -. a) (0 8 putos) Determie la mootoía y curvatura de la fució. b) (0 8 putos) Calcule sus asítotas. c) (0 9 putos) Represétela gráficamete. Determie la mootoía y curvatura de la fució. Me está pidiedo la mootoía, que es el estudio de f (). - f() -. Vemos que o eiste e -. f(). ; - f'() () () Si f () 0; teemos 0, lo cual o tiee setido, luego o hay igú º que aule la ª derivada, por tato o tiee etremos y siempre es creciete o decreciete. Como f (0) /() > 0, f() es estrictamete creciete ( ) e R {-}. Me está pidiedo la curvatura, que es el estudio de f ().

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua 0 - () - () () () f'() ; f''() () Si f () 0; teemos -() 0, de dode 0, luego -, que o puede ser el puto de ifleió, porque e - o está defiida la fució (veremos que es ua asítota vertical). Como f (-) /() > 0, f() es covea ( )e (-,-). Como f (0) 8/() < 0, f() es cócava ( ) e (-, ). (b) Calcule sus asítotas. f(). Como lim f() lim -/0 -, la recta - es ua asítota vertical de f lim f() lim -/0 - Como lim f() lim, la recta y es ua asítota horizotal de f e. Como la fució es u cociete de fucioes poliómicas la asítota horizotal es la misma e -. Como tiee asítotas horizotales, o tiee asítotas oblicuas (podría teerlas si fuese ua fució a trozos) c) Represétela gráficamete. Co los datos ateriores es suficiete para esbozar la gráfica, o obstate le daremos dar u par de valores a izquierda y derecha de la asítota vertical -. f(-) -/-. f(0) 0 U esbozo sería EJERCICIO _A Se ha impartido u curso de coducció eficiete a 00 persoas. De los asistetes al curso, 60 so profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% ha mejorado su coducció. Este porcetaje baja al 80% e el resto de los asistetes. Halle la probabilidad de que, elegido u asistete al azar: a) ( 5 putos) No haya mejorado su coducció. b) ( 5 putos) No sea profesor de autoescuela, sabiedo que ha mejorado su coducció. Se ha impartido u curso de coducció eficiete a 00 persoas. De los asistetes al curso, 60 so profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% ha mejorado su coducció. Este porcetaje baja al 80% e el resto de los asistetes. Halle la probabilidad de que, elegido u asistete al azar: Total persoas de coducció eficiete 00 Total profesores de auto escuela 60. Resto El 95% de profesores ha mejorado la coducció 60 (95/00) 57. Mejorar coducció B

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua El 80% de los o profesores ha mejorado la coducció 0 (80/00). Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Profesores Pr No profesores Pr C Totales Mejorar coducció B 57 No mejorar coducció B C Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Profesores Pr No profesores Pr C Totales Mejorar coducció B No mejorar coducció B C 8 Totales No haya mejorado su coducció. p( o mejora coducció) p("b C Número total de o mejora la coducció ") Número total de persoas (b) No sea profesor de autoescuela, sabiedo que ha mejorado su coducció. No profesores que ha mejorado p("no profesor sabiedo que ha mejorado") Total de ha mejorado la coducció EJERCICIO _A Se acepta que los redimietos auales, medidos e porcetajes, que produce los depósitos bacarios a plazo, se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica 8 y se pretede realizar ua estimació del redimieto medio de los mismos. Para ello, se tiee ua muestra de 6 etidades bacarias e las que se observa que el redimieto medio de los depósitos es del 5. a) ( 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza, al 96%, para el redimieto medio de los depósitos a plazo. Cuál es el error máimo cometido e la estimació? b) ( puto) Mateiedo el mismo ivel de cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar el redimieto medio de los depósitos co u error máimo de 0 5? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) z α/, z α/ dode z -α/ y z α/ - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) - α/ σ Tambié sabemos que el error máimo de la estimació es E z α /, para el itervalo de la media, de z - α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es E. Se acepta que los redimietos auales, medidos e porcetajes, que produce los depósitos bacarios a plazo, se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica 8 y se pretede realizar ua estimació del redimieto medio de los mismos. Para ello, se tiee ua muestra de 6 etidades bacarias e las que se observa que el redimieto medio de los depósitos es del 5.

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Calcule u itervalo de cofiaza, al 96%, para el redimieto medio de los depósitos a plazo. Cuál es el error máimo cometido e la estimació? Datos del problema: σ 8; 6; 5; ivel de cofiaza 96% α, de dode α 0 0, co la cual α/ 0 0 De p(z z -α/ ) - α/ , mirado e las tablas de la N(0,) la probabilidad 0 98 vemos que o viee, si embargo la más próima que viee es que correspode a z -α/ 05 (Iterpolado z -α/ 05), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) z α/, z α/ '8 '8 '5 '05,'5 ' ( 885, 5). σ '8 El error cometido es E < z α / ' (b) Mateiedo el mismo ivel de cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar el redimieto medio de los depósitos co u error máimo de 0 5? Datos del problema: σ 8; igual ivel de cofiaza el mismo, luego z -α/ 05; Error E < 0 5 Por tato tamaño míimo pedido es: > 55 etidades fiacieras. z - α/. σ '05 '8 E 0'5 5 6, es decir el tamaño míimo es OPCIÓN B EJERCICIO _B a) ( 9 putos) Represete la regió defiida por las siguietes iecuacioes 7 y -0; y ; 5y y determie sus vértices. b) (0 6 putos) Calcule los valores máimo y míimo que alcaza la fució F(,y) y e dicha regió. Represete la regió defiida por las siguietes iecuacioes 7 y -0; y ; 5y y determie sus vértices. Las desigualdades 7 y -0; y ; 5y, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 7 y -0; y ; 5y. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y 7 0; y - ; y /5 /5; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas.

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y /5 /5 e y 7 0; teemos /5 /5 7 0, de dode - 550, es decir sale -6, de dode - e y -, y el puto de corte es A(-,-) De y 7 0 e y - ; teemos 7 0 -, de dode 8-8, es decir sale - e y, y el puto de corte es B(-,) De y /5 /5 e y - ; teemos /5 /5 -, de dode - -50, es decir sale 8, de dode e y -, y el puto de corte es C(,-) Fijádoos e la resolució de las ecuacioes, los vértices del recito so: A(-,-); B(-,) y el C(,-). b) Calcule los valores máimo y míimo que alcaza la fució F(,y) y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(-,-); B(-,) y el C(,-). F(-,-) (-) (-) -6, F(-,) (-) () 7, F(,-) () (-) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es -6 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(-,-), y el máimo absoluto es 7 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto B(-,). EJERCICIO _B Sea P(t) el porcetaje de células, de u determiado tejido, afectadas por u cierto tipo de efermedad trascurrido u tiempo t, medido e meses: Pt () t t si t-50 si t > 5 t5 a) (0 5 putos) Estudie la cotiuidad de la fució P. b) (0 75 putos) Estudie la derivabilidad de P e t 5. c) (0 75 putos) Estudie la mootoía de dicha fució e iterprete la evolució del porcetaje de células afectadas. d) (0 5 putos) E algú mometo el porcetaje de células afectadas podría valer 50? Sea f la fució defiida por Pt () t t si t-50 si t > 5 t5 Estudie la cotiuidad de la fució P. t si 0 t 5 Pt () 00t-50 si t > 5 t5 t es cotiua e R e particular e 0 t < 5 00t-50 es cotiua e R {-5}, e particular e t > 5 t5 Veamos la cotiuidad e t 5 f es cotiua e t 5 si P(5) lim P(t) 5..

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua P(5) lim P(t) lim P(t) lim lim (t ) 5 00t-50 t5 50/0 5, luego P(t) es cotiua e t 5, y por tato e 0 t <. (b) Estudie la derivabilidad de P e t 5. t si 0 t 5 t si 0 < t < 5 t si 0 < t < 5 Pt () ; P'( t) 00t-50 00(t5)-(00t-50) 750 si t > 5 si t > 5 si t > 5 t5 (t5) (t5) Para que P sea derivable e t 5, P (5 ) P (5 - ). Vemos la cotiuidad de la derivada. P (5 - ) lim P'(t) lim (t) 0. P (5 ) lim P'(t) / Como P (5 ) P (5 - ), o eiste P (5). (t5) lim (c) Estudie la mootoía de dicha fució e iterprete la evolució del porcetaje de células afectadas. Me está pidiedo la mootoía, que es el estudio de f (). Si 0 < t < 5, P (t) t De P (t) 0; teemos t 0, de dode t 0, que puede u etremos relativo ó absoluto. Como P () > 0, luego P(t) es estrictamete creciete ( ) e 0 < t < Si t > 5, P (t) (t5) De P (t) 0; teemos 750 0, lo cual es absurdo luego P(t) siempre es creciete o siempre decreciete. Como P (6) 750/ > 0, luego P(t) es estrictamete creciete ( ) e t > 5, por tato P(t) siempre es creciete. d) E algú mometo el porcetaje de células afectadas podría valer 50? Igualmos 50 a 00t-50, es decir 50 00t-50, de dode 50t 50 00t 50, luego 50t 500, por t5 t5 tato t 0, es decir al cabo de 0 meses el porcetaje de células es 50. EJERCICIO _B Se sabe que el % de la població activa de cierta provicia está formada por mujeres. Tambié se sabe que, de ellas, el 5% está e paro y que el 0% de los hombres de la població activa tambié está e paro. a) ( 5 putos) Elegida, al azar, ua persoa de la població activa de esa provicia, calcule la probabilidad de que esté e paro. b) ( 5 putos) Si hemos elegido, al azar, ua persoa que trabaja, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Se sabe que el % de la població activa de cierta provicia está formada por mujeres. Tambié se sabe que, de ellas, el 5% está e paro y que el 0% de los hombres de la població activa tambié está e paro. Llamemos H, M, Pa y T (Pa) C, a los sucesos siguietes, ser hombre, " ser mujer ", " estar e paro " y " o estar e paro ", respectivamete. Además teemos p(m) % 0, p(pa/m) 5% 0 5, p(pa/h) 0% 0 0 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). a) Elegida, al azar, ua persoa de la població activa de esa provicia, calcule la probabilidad de que esté e paro. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola etraída sea egra (N) es: p(pa) p(m).p(pa/m) p(h).p(pa/h) '. b) Si hemos elegido, al azar, ua persoa que trabaja, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( H T ) p( H).p(T/H ) 0'56 0'8 p(h/t) p(t) - p(pa) - 0' EJERCICIO _B a) ( puto) E ua ciudad vive 00 hombres y 0 mujeres y se quiere seleccioar ua muestra de tamaño 5 utilizado muestreo estratificado por seos, co afijació proporcioal, cuál sería la composició de la muestra? b) ( 5 putos) A partir de ua població de elemetos,,, se seleccioa, mediate muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño. Escriba dichas muestras y calcule la variaza de las medias muestrales. E ua ciudad vive 00 hombres y 0 mujeres y se quiere seleccioar ua muestra de tamaño 5 utilizado muestreo estratificado por seos, co afijació proporcioal, cuál sería la composició de la muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N, N,..., N k, y si,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra,... k y se calcula eligiedo los úmeros,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N, N,..., N k, es decir... k N N Nk N E uestro caso De , teemos , luego hay que elegir 0 hombres. 70 De , teemos 0 5, luego hay que elegir mujeres. 70 b) A partir de ua població de elemetos,,, se seleccioa, mediate muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño. Escriba dichas muestras y calcule la variaza de las medias muestrales. 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so 6. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: Elemetos Media de la muestra i MUESTRAS La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. i i i i i ( i ) N6 0 0 La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: µ k i N i i 0 6 5/ La desviació típica de la distribució muestral de medias es: σ ( ) i i N