MATEMÀTIQUES 4ESO 14/15 NOM I COGNOMS. AUTOEVALUACIÓN INECUACIONES Y P.L tutor: SEK-CATALUNYA SISTEMA EDUCATIU SEK.

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1 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS SEK-CATALUNYA COL LEGI INTERNACIONAL SISTEMA EDUCATIU SEK Aula INTEL LIGENT AUTOEVALUACIÓN INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL. Ámbito Científico Técnico Curso: 4ESO Materia: Matemáticas PAI Alumno 1

2 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS CRITERIO A: NIVEL DE LOGRO DESCRIPTOR El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación. 1- El alumno intenta hacer deducciones al resolver problemas sencillos en contextos conocidos.(resuelve los ejercicios 1 ) 3-4 En ocasiones, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas sencillos y de carácter más complejo en contextos conocidos.(el alumno resuelve EL ejercicio ) - Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos conocidos.( El alumno resuelve los ejercicios 3 y 4 ) 7-8 El alumno hace deducciones adecuadas en todo momento al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos, incluidas situaciones desconocidas.( El alumno es capaz de resolver el ejercicio ) 1.- Resuelve la siguiente inecuación y expresa las soluciones de tres formes diferentes: ( x 1) 3(x ) 3 4 Inecuación de primer grado con una incógnita, por lo tanto la resolvemos utilizando el mismo método que las ecuaciones de primer grado:

3 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS ( x 1) 3(x ) ( x 1) 9(x ) 8x 8 18x 18 8x 18x 8 18 x 8 x Fíjate que el número que multiplica a la x en la última expresión es positivo por lo tanto en el despeje final estamos dividiendo por un número positivo y por lo tanto no hace falta girar el símbolo de la inecuación. Forma gráfica. Sobre la recta: 43/1 - + Tercera forma por intervalos: (- ;43/1] Recuerda que los infinitos no son números reales y por lo tanto siempre son abiertos y el 43/1 forma parte de la solución, por eso está con la llave, y es así porque la inecuación tiene el igual..- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de primer grado con una incògnita: 3( x 1) x ( x 1) 1 9 x Al tener solo una incògnita la resolución pasa por resolver cada una de las inecuaciones de forma individual y luego representar las soluciones particulares en la recta, una por inecuación, y verificar cuál es la zona en la que cohexisten, si la hay, las tres soluciones. PRIMERA INECUACIÓN: 3

4 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS 3( x 1) x 3 x x 3 x SEGUNDA INECUACIÓN: ( x 1) 1 9 x 1 9 x 9 1 x 1 1 x x Fíjate que en este caso cuando hemos llegado al momento de realizar el despeje el coeficiente de la x es negativo y por eso tenemos que dividir por un número negativo para realizar el despeje, ésta es la razón por la cuál hemos tenido que girar el símbolo de la inecuación. La tercera inecuación ya está resuelta. Pasamos a representar cada inecuación sobre una recta: Vemos como existe una zona en la que las tres flechas cohinciden que es la que va desde el menos infinito hasta el dos, por lo tanto esta es la solución del sistema: (- ;] El dos està cerrado porque forma parte de la solución, fíjate como es solución de la primera, y las otras dos flechas pasan por él. 4

5 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS 3.-Resuleve la siguiente inecuación de segundo grado: x 1 En este caso tenemos una inecuación con una incógnita y de grado superior a uno por lo tanto vamos a factorizarla: x 1 x (-1) x x1 ; x Utilizamos los polinomios de Ruffini para factorizar la ecuación y pondremos: ( x )( x ) Esta expresión tenemos que estudiarla según los dos casos posibles primero que sea cero y después que pueda ser menor que cero. CASO I: CUANDO LA EXPRESIÓN ES CERO En este caso tenemos una ecuación: ( x )( x ) En este caso tenemos el producto de dos números que es cero, apliquemos que cualquiera de los dos puede ser cero: ( x ) x ( x ) x Como era de esperar nos devuelve las raíces, esto significa que las raíces que serán la frontera de la solución forman parte de la misma. Recuerda que esto pasaba siempre que la inecuación tiene el signo de igual. CASO II: Es el caso en el que estudiaremos los signos. Podríamos realizar un árbol de probabilidad, pero en este caso, al ser sencillo, no lo haremos. Necesitamos que el resultado de los dos binomios de la factorización sea negativo por lo tanto uno de los dos debe ser postivo y el otro negativo para que el producto sea negativo. Por lo tanto tenemos que estudiar dos casos: CASO I: el primero + y el segundo

6 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS ( x ( x ) ) Busquemos la solución de este sistema: ( x ) x ( x ) x Vemos que no tiene solución. CASO II: el primero negativo y el segundo positivo: ( x ) x ( x ) x Vemos que la solución va desde forma de intervalos sería: hasta por lo tanto en ( ; ) Y ahora para obtener la solución total del problema es la unión de las diferentes soluciones obtenidas: SOLUCIÓN TOTAL, TENGAMOS EN CUENTA QUE COMO LA INECUACIÓN CONTIENEN EL IGUAL LAS FRONTERAS SERÁN SOLUCIÓN:

7 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS [ ; ] 4.-Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de primer grado con dos incògnites: x y x y 3 SISTEMA DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS, EN ESTE CASO TENEMOS QUE REALIZAR LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DOS INECUACIONES PASADAS A ECUACIONES: ECUACIÓN 1: x y x y ( y 1) 4 y 4 y 4 y y REPETIMOS EL PROCESO PARA LA OTRA INECUACIÓN, PASADA A ECUACIÓN: x y 3 x 3 y x 3 y LAS REPRESENTAMOS EN LA MISMA GRÁFICA. COMO SON RECTAS SÓLO NECESITO DOS PUNTOS: 7

8 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS En la gráfica podemos ver las cuatro zonas que determinan el sistema: Cojemos un punto en cada zona para buscar cuál de ellas es la solución: ZONA I: A(,3) COMPROBACIÓN: * *3 3 VEMOS COMO SON FALSAS AMBAS INECUACIONES EN LA ZONA I POR LO TANTO NO PUEDE SER LA SOLUCIÓN: ZONA II: B(,) * * 3 FALLA LA PRIMERA POR LO TANTO TAMPOCO LA ZONA II ES LA SOLUCIÓN. ZONA III. C(,-1) 8

9 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS * *( 1) 3 VEMOS QUE EN ESTA ZONA AMBAS INECUACIONES SON CIERTAS POR LO TANTO ES LA ZONA SOLUCIÓN, Y ADEMÁS AMBAS TIENEN EL IGUAL LO QUE IMPLICA QUE LAS DOS SEMIRRECTAS QUE PARTEN DEL PUNTO DE CORTE Y CONTINÚAN HASTA EL INFINITO TAMBIÉN FORMAN PARTE DE LA SOLUCIÓN..-PROBLEMA DE PROGRACIÓN LINEAL: Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 3. yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración, gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita, gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es es doble que el de un yogurt de limón. Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo? Sean las variables de decisión: x= número de yogures de limón producidos. y= número de yogures de fresa producidos. a= coste de producción de un yogurt de limón. La función a minimizar es: f(x, y)=ax+ay Y las restricciones: 9

10 MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS La zona de soluciones factibles es: Siendo los vértices: A(, 4) B(, 3) C intersección de r y s: En los que la función objetivo toma los valores: Hay que fabricar, pues, 1. yogures de limón y. yogures de fresa para un costo mínimo de.a bolívares. 1

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