APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Transcripción

1 APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS 1.- Resolución de problemas: Esquemas protocuantitativos Desarrollo del número Principios de conteo Niveles evolutivos en el conteo Conteo de objetos (errores) Estrategias de resolución de problemas Tipos de pensamiento numérico Tipos de problemas aritméticos Cambio Combinación Comparación

2 Base Innata? A los 6 meses discriminan numerosidades de pequeños conjuntos (Wynn) Reconocen diferencias exactas en el nº de unidades/sucesos (Wynn) En Resnick (1989): estudios de discriminación indican que los niños pequeños son capaces de hacer jucios en base a comparaciones más que en función de su valor absoluto, lo que muestra que disponen de algún tipo de esquema para comparar objetos cuantitativamente Este conocimiento se complementará luego con Cuantifica ciones Esquemas protocuantitativos

3 1.- Resolución de problemas: Integración del conteo con los esquemas protocuantitativos esquemas protocuantitativos resolución de situaciones problemáticas conteo

4 1.1.- Esquemas protocuantitativos Esquemas de razonamiento que permiten establecer juicios de cantidad sin atender a la numerosidad E. P. de comparación asignar etiquetas lingüísticas a la comparación de tamaños: mayor, menor, más, menos, más alto, lo que permite hacer juicios de comparación sobre cantidades de materil físico E. P. de incremento/decremento razonamiento sobre cambios en las cantidades cuando se les añade o quita algún elemento (si tengo tres juguetes y me dan otro tendré más que antes) sin necesidad de ver los objetos en su estado anterior y posterior E. P. de parte/todo reconocer que cualquier pieza puede ser dividida en partes más pequeñas; que el todo es mayor que las partes ; y que las partes se pueden recombinar para hacer el todo. Primer conocimiento de la propiedad aditiva de las cantidades.

5 1.2.- Desarrollo del número Piaget Conteo Es el primer vehículo que encuentran los niños para construir el concepto de número y la base de una parte importante de sus matemáticas informales.

6 Principios de conteo Correspondencia: se trata de etiquetar cada elemento de un conjunto una vez y sólo una. Este principio implica dos procesos que han de coordinarse: partición y etiquetación. Cardinalidad: establece que la última de las etiquetas de la secuencia numérica representa el cardinal del conjunto, la cantidad de elementos que tiene el conjunto. Orden estable: este principio indica que para contar es vital establecer una secuencia coherente, aunque la secuencia no sea ni numérica ni convencional. Abstracción: implica que los principios anteriores se pueden aplicar a cualquier tipo de conjunto. Irrelevancia: hace referencia a que el orden por el que se comienza a enumerar los elementos es irrelevante para su designación cardinal.

7 Correspondencia Correspondencia uno-a-uno entre los elementos físicos de un conjunto y los más abstractos de otro: los numerales Coordinación de dos procesos Partición: control de los elementos contados y los que faltan por contar Etiquetado: asignar cada etiqueta de la serie a cada objeto del conjunto Problema: los objetos se distribuyen en el espacio, mientras que las etiquetas se distribuyen en el tiempo. Necesario dos tipos de correspondencias: temporal: etiquetas-señalamiento (uno mientras se señala un objeto, dos señalando un objeto ) espacial: señalamiento-objeto

8 Cardinalidad Regla que establece que el último número empleado en el conteo de un conjunto indica el número de elementos del mismo (numerosidad) Se refleja en: Si se enfatiza la última palabra utilizada en el conteo Si se repite la última palabra utilizada en el conteo Si se responde con la numerosidad correcta de un conjunto sin contarlo cuando este conjunto ha sido contado previamente, es decir, se responde con la cardinalidad del primer conteo No obstante, estas manifestaciones pueden reflejar simplemente la regla de la última palabra y no una verdadera cardinalidad Transición conteo-a-cardinal: cuando la última palabra no se refiere al último objeto contado, sino al conjunto global de objetos Transición cardinal-a-conteo: las etiquetas se emplean para designar un conjunto (ej. aquí hay cinco canicas; pon cinco canicas en la taza ) Producción de un conjunto: memoria de trabajo

9 Transición cardinal-aconteo Tenemos cinco círculos (se enseña cinco círculos y una tarjeta); cuéntalos para ver cuántos hay 5 niño Uno, dos, tres, cuatro, cinco Mira, te he dado cinco círculos (señala tarjeta) y cuando los has contado, el último número que has dicho era cinco; el número de círculos es lo mismo que el último número que dices Tenemos cuatro cuadrados; cuéntalos para ver cuántos hay 4 niño Uno, dos, Cuál será el último número que dirás cuando acabes de contar?

10 Aprendizaje de la serie numérica Es un prolongado proceso (2-7 años aprox.) Existe mucha variabilidad entre niños Los errores tienen una estructura característica Ej: Estable convencional Estable incorrecta Inestable incorrecta

11 Desarrollo de la secuencia de conteo (Tomado de Fuson, Secada y Hall, 1983) NIVEL DE SECUENCIA CADENA LISTA IRROMPIBLE CADENA ROMPIBLE SIGNIFICADOS RELACION ADOS Secuencia Secuencia Secuencia-conteo Secuenciaconteocardinal Secuencia-conteocardinal Secuenciaconteocardinal ESTRUCTURA CONCEPTUAL DENTRO DE LA SECUENCIA Y RELACIONES ENTRE DIFERENTES SIGNIFICADOS DE PALABRAS NUMÉRICAS unodostrescuatrocincoseis Uno-dos-tres-cuatro-cinco-seis Palabras emparejadas con objetos (Correspondencia) Conteo de objetos con resultado cardinal (Palabra cardinal/ Cardinalidad) Los sumandos se incluyen dentro del conteo total; el primer sumando está abreviado por la transformación cardinal al conteo CADENA NUMERABLE CADENA BIDIRECCIONA L: CONTEO NUMÉRICO GENUINO Secuenciaconteocardinal Las secuencias de palabras se convierten en entidades cardinales: se hace una correspondencia entre el 2º sumando incrustado y alguna otra presentación del 2º sumando La secuencia se convierte en una secuencia unificada, numérica e incrustada; ambos sumandos existen fuera de la suma y son equivalentes a ella. Pueden establecerse relaciones entre las 2 diferentes estructuras s + s = S; los sumandos pueden descomponerse

12 Niveles evolutivos en el conteo unodostrescuatrocincoseissiete uno -dos -tres -cuatro -cinco -seis -siete uno -dos -tres -cuatro -cinco -seis -siete uno -dos -tres -cuatro -cinco -seis -siete [siete] [cuatro] cuatro -cinco -seis -siete [siete] cuatro cinco seis siete [cuatro] procedimientos para llevar la cuenta composición aditiva

13 Ejemplos: distintas habilidades de conteo Un niño cuenta uno, dos, tres, cuatro una y otra vez mientras juega en el arenero. Un niño cuenta uno, dos, tres, cuatro mientras señala cada una de sus canicas y enuncia tengo cuatro canicas. Otra niña dice: necesito cuatro canicas de mi bolsa de canicas, y entonces cuenta uno, dos, tres, cuatro. Otra niña cuenta sus canicas uno, dos, tres, cuatro, cinco y concluye que tiene más canicas que los otros dos niños.

14 Conteo de objetos (errores) Errores típicos que violan la correspondencia temporal Señalar un objeto sin decir etiqueta O O O O O Señala Etiqueta Asignar dos etiquetas a un objeto señalado Errores típicos que violan la correspondencia espacial Saltar objetos sin señalar ni etiquetar Doble conteo de un objeto

15 Resolución de situaciones problemáticas (desde el conocimiento informal) TIPO DE SITUACIÓN MODELADO DE LA SITUACIÓN Pedro tenía 3 golosinas; su hermano le dio 2 golosinas más; cuántas golosinas tiene ahora? contar todo 1. Contar objetos para representar el conjunto inicial 2. Contar objetos para representar la cantidad que se añade 3. Contar todos los objetos para determinar el conjunto resultado Pedro tenía 5 golosinas; le dio dos golosinas a su hermano; cuántas golosinas tiene ahora? separar de 1. Contar objetos para representar el conjunto inicial 2. Quitar los objetos que especifica el conjunto cambio 3. Contar los objetos que quedan para establecer el conjunto resultado Hay 5 pájaros y hay 3 nidos; cuántos nidos hay que poner para que cada pájaro tenga su nido? añadir sobre (después de emparejar) 1. Crear dos filas de objetos para representar cada conjunto 2. Añadir objetos a la fila más pequeña hasta que sea igual a la fila mayor 3. Contar el número de objetos añadidos Hay 5 pájaros y hay 3 nidos; cuántos pájaros se quedarán sin nido? emparejamiento 1. Crear dos filas de objetos para representar cada conjunto 2. Contar el número de objetos no emparejados en la fila del conjunto mayor

16 Representaciones del número (secuencia) 1º Término oral cinco Representación concreta 2º Reconocer el numeral (identificar 5 con cinco y con la representación concreta) 3º Escribir el numeral

17 1.3.- Estrategias de resolución de problemas Conteo total: los niños representan los dos sumandos con dos conjuntos de objetos que previamente han contado para formarlos, y que son contados de nuevo para hallar el resultado total. pautas digitales, el niño, con sus dedos, representa inmediatamente cada sumando, de manera que luego sólo ha de contar todos los dedos que ha levantado; reconocimiento de pautas digitales, el niño representa inmediatamente cada sumando, a la vez que reconoce la pauta digital correspondiente a los dedos utilizados Conteo a partir del primero, el niño empieza el conteo a partir del cardinal del primer conjunto, sea o no el mayor. Conteo a partir del mayor: el niño comienza el conteo a partir del cardinal del conjunto más grande.. Descomposición: exige la reconstrucción de la respuesta basándose en la recuperación de una suma parcial. Es resolver, por ejemplo, la suma como Recuperación directa: a través de ella los niños recuperan directamente de la memoria a largo plazo la solución del problema. Es la estrategia más avanzada de cuantas disponen los niños a la hora de calcular.

18 Estrategias de conteo para distintas situaciones problemáticas TIPO DE SITUACIÓN ESTRATEGIAS Cambio añadiendo y ombinación: conjunto final y todo desconocidos Cambio quitando: conjunto final desconocido contar todo 1. Contar objetos para representar el conjunto inicial o una de las partes 2. Contar objetos para representar la cantidad que se añade o para la otra parte 3. Contar todos los objetos para determinar el conjunto resultado o el todo. separar de 1. Contar objetos para representar el conjunto inicial 2. Quitar los objetos que especifica el conjunto cambio 3. Contar los objetos que quedan para establecer el conjunto resultado Igualación: diferencia desconocida añadir sobre (después de emparejar) 1. Crear dos filas de objetos para representar cada conjunto 2. Añadir objetos a la fila más pequeña hasta que sea igual a la fila mayor 3. Contar el número de objetos añadidos Comparación: diferencia desconocida emparejamiento 1. Crear dos filas de objetos para representar cada conjunto 2. Contar el número de objetos no emparejados en la fila del conjunto mayor

19 Tipos de pensamiento matemático Matemáticas de: Objetos de razonamiento Términos lingüísticos Operaciones protocuantitativos material físico mucho, poco, más, incrementar, combinar menos, grande, etc. separar, comparar cantidades material físico n objetos, añadir incrementar conjuntos medible quitar, repartir cuantificados por números específicos de objetos; combinar conjuntos cuantificados; dividir un conjunto de objetos en partes iguales números números específicos n más que, n veces, acciones de sumar, restar, n más m, n dividido multiplicar, dividir por m aplicado a números específicos

20 1.5.- TIPOS DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS 1.- CAMBIO (CA): Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad, a la que se añade o se le quita otra de la misma naturaleza. En los problemas de Cambio se puede preguntar por la cantidad final, por la cantidad resultante de la transformación, y por último la cantidad inicial. Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: la cantidad crece o decrece. De aquí surgen los 6 tipos de problemas de Cambio (CA1; CA2; CA3, CA4; CA5; CA6). 2.- COMBINACIÓN (CO): Se trata de problemas en los que se tienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica, y se quiere saber la cantidad total que se obtiene cuando se reúnen las anteriores, o cuando conociendo la total y una de aquellas, se quiere saber cuál es la otra. De aquí surgen dos tipos de problemas: CO1 y CO COMPARACIÓN (CM): Esta categoría comprende aquellos problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esas cantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada y otra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas. En el problema Juan tiene 4 euros y Luisa tiene 3 euros más. Cuántos euros tiene Luisa?, la cantidad comparada es la de Luisa, y los euros de Juan constituyen el referente. En los problemas de comparación se puede preguntar por la diferencia si se conocen las dos cantidades, por la cantidad comparada cuando se conocen el referente y la diferencia, o por la cantidad referente, si se conocen la comparada y la diferencia. Como además se puede preguntar por cuántos más o por cuántos menos, resultan seis tipos de problemas de Comparación (CM1; CM2; CM3; CM4; CM5; CM6). CAMBIO COMPARACIÓN COMBINACIÓN Conjunto Inicial C. Cambio Conjunto Final Conjunto Mayor Conjunto Diferencia Conjunto Menor Parte Parte Todo

21 CATEGORÍA DE CAMBIO Y SUS TIPOS TIPO DE PROBLEMAS CA1(cambio-unión) CA Se conoce cantidad inicial. Se le hace crecer. Se pregunta por la cantidad final.? NIVEL ACADÉMICO Ciclo I (1ºEP) 6 años. ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES CAMBIO 1.. Se parte de una cantidad inicial a la que se hace crecer. Se pregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza. Es un problema de sumar. *"Antonio tenía en su hucha 8 euros. Después de su comunión, metió otros 12 euros. Cuánto dinero tiene ahora en la hucha "? * Montse tenía 4 aros antes de comenzar la clase de educación física. Al finalizar la clase sus alumnos le dan 5 más. Cuántos aros tiene ahora Monse? CA2 (cambioseparación) CA2 8-3 Se le hace disminuir. Se pregunta por la cantidad final? Ciclo I (1ºEP) 6 años CAMBIO 2. Se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir. Se pregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza. Es un problema de restar... *"Antonio tenía en su hucha 8 euros. En su cumpleaños se ha gastado 5 euros. Cuánto dinero tiene ahora en la hucha"? * Lourdes tiene 5 bolas y le da 2 a Israel Cuántas le quedan?. CA 3 (cambiounión) CA3?+ 5 Se conoce cantidad inicial y final (mayor). Se pregunta por aumento 8 Ciclo I-II ( 2ª-3º EP) 7-8 años CAMBIO 3. Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación, se llega a una cantidad final conocida y mayor que la inicial. Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar: *"Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar ha reunido 18. Cuántos ha ganado?" * Raquel tiene 15 lapiceros Cuántos más necesitará para tener 17 en total? CA 4 (cambioseparación) CA4 8?- Se conoce cantidad inicial y final (mayor). Se pregunta por aumento 5 Ciclo I-II ( 2ª- EP) 7-8 años CAMBIO 4. Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación, se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial. Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar: *"Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar le quedan sólo 8 tazos. Cuántos ha perdido?" * Belén tiene 17 chicles, da algunos a Pablo y le quedan 5. Cuántos chicles dio a Pablo?

22 TIPO DE PROBLEMAS CA 5 (cambiounión) +3 NIVEL ACADÉMICO Ciclo I-II ( 2ª-3º EP) 8 9 años ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES CAMBIO 5. Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que ésta ha crecido y la cantidad resultante. Es un problema de restar: CA5? 8 *"Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar? Se conoce cantidad final y su aumento. Se pregunta cantidad inicial. CA 6 (cambioseparación) CA6? -3 Se conoce cantidad final y su disminución. Se pregunta cantidad inicial. 5 Ciclo I-II ( 2ª-3º EP) 8 años * Héctor tiene algunos caramelos y le dan dos más. Tiene entonces 7 caramelos. Cuántos caramelos tenía al principio? CAMBIO 6. Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que ésta ha disminuido y la cantidad resultante. Es un problema de sumar: *"Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?" * Marta tiene algunos rotuladores. Da 2 a Jorge y le quedan 5 rotuladores Cuántos rotuladores tenía al principio?

23 PROBLEMAS DE COMBINACIÓN Y SUS TIPOS TIPO DE PROBLEMA S CO 1 CO1 3 5? NIVEL ACADÉMICO Ciclo I (1º EP) 6 años ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES. COMBINACION 1. Es el clásico problema en que las dos partes se reúnen para formar un todo. Es un problema de sumar. "Luisa tiene 12 bombones rellenos y 5 normales. Cuántos bombones tiene Luisa en total?" Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo. CO 2 CO2 3? 8 Ciclo I-II (2º-3ºEP) 8 años COMBINACIÓN 2. Es el problema inverso al anterior, puesto que se conoce el todo y una de las partes, y se pregunta por la otra. Es un problema conmutativo y de restar: *"Luisa tiene 12 bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene 10 rellenos, cuántos bombones normales tiene Luisa?" Se conoce el todo y una de las partes. Se pregunta por la otra. * En clase hay 15 alumnos; 9 son niños y el resto niñas Cuántas niñas hay? * En clase hay 15 alumnos; 4 están sentados y el resto de pié Cuántos niños están de pié?

24 PROBLEMAS DE COMPARACIÓN Y SUS TIPOS TIPO DE PROBLEMAS C M 1 CM1 8 Cuántos más? +? Conocemos las dos cantidades. Se pregunta por la diferencia en más. 5 NIVEL ACADÉMICO Ciclo I-II (3º EP) 8 años ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES COMPARACIÓN 1. Es uno de los clásicos problemas de comparación, en el que se expresan las dos cantidades y se pregunta por la diferencia y en el sentido del que tiene más. Es un problema de restar: "Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. Cuántos euros más que Raquel tiene Marcos?". Es una situación, en la que se conocen las cantidades que tienen los do sujetos, y se pregunta por la diferencia en más que tiene la cantidad mayor respecto a la menor. Es un problema de mediana dificultad se trabaja fundamentalmente en 2º Ciclo de EP. Es difícil porque la formulación del problema induce al error, ya que el alumno asocia añadir a sumar C M 2 CM2 Cuántos menos? 8 -? 5 Conocemos las dos cantidades. Se pregunta por la diferencia en menos. Ciclo I-II (1º-3º EP) 6-8 años COMPARACIÓN 2. Es otro de los clásicos problemas de comparación, en el que se expresan las dos cantidades y se pregunta por la diferencia y en el sentido del que tiene menos. Es un problema de restar: "Marcos tiene 37 euros. Raquel tiene 12 euros. Cuántos euros menos que Marcos tiene Raquel?" Es una situación, en la que se conocen las cantidades que tienen los do sujetos, y se pregunta por la diferencia en menos que tiene la cantidad menor respecto a la mayor. Es un problema de mediana dificultad, se trabaja fundamentalmente en 2º Ciclo de EP. C M 3 3+ Ciclo I-II (2º-3º EP) 8-9 años COMPARACIÓN 3. Situación en la que se quiere averiguar la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en más de ésta. Es un problema de sumar. CM3 5? "Ester tiene 8 euros. Irene tiene 5 euros más que ella. Cuánto dinero tiene Irene?" Se conoce la cantidad del 1º y la diferencia en más del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º En esta situación de comparación conocemos la cantidad que tiene el 1º sujeto ( Ester), y la diferencia en más que tiene el otro sujeto( Irene) Ahora se pregunta por la cantidad total que tiene el 2º sujeto ( Irene).

25 TIPO DE PROBLEMAS C M 4 CM4 8 3-? Se conoce la cantidad del 1º y la diferencia en menos del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º NIVEL ACADÉMICO Ciclo I (2º EP) 7-8 años ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES COMPARACIÓN 4. Situación en 1a que.se quiere averiguar la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en menos de ésta. Es un problema de restar: "Ester tiene 8 euros. Irene tiene 5 euros menos que ella. Cuánto dinero tiene Irene?" En esta situación de comparación conocemos la cantidad que tiene el 1º sujeto (Ester), y la diferencia en menos que tiene el otro sujeto( Irene) Ahora se pregunta por la cantidad total que tiene el 2º sujeto ( Irene). Es un Problema para el 1º Ciclo de EP. Aunque algunos alumnos no lo dominan hasta el 2º Ciclo. C M 5 3+ Ciclo II-III (2º- 3º EP) 8-11 años COMPARACIÓN 5. Situación en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en más de ésta. Es un problema de restar: 8 CM5? "Rosa tiene 17 euros, y tiene 5 euros más que Carlos. Cuántos euros tiene Carlos?" Se conoce la cantidad del 1º y su diferencia en más con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º C M 6 CM6 3-5? Se conoce la cantidad del 1º y su diferencia en menos con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º Ciclo II-III (2º- 3º EP) 8-11 años Es una situación en la que se requiere saber a cuanto asciende una 2ª cantidad, conociendo una 1ª mayor y su diferencia con la 2ª. Se trata de comparar dos cantidades, de las que una de ellas está sin construir, y en su construcción radica la solución del problema. Es un problemas para el 2-3º Ciclo de E P, y requiere mucho entrenamiento. COMPARACIÓN 6. Situación en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en menos de ésta. Es un problema de sumar: "Rosa tiene 17 euros, y tiene 5 euros menos que Carlos. Cuántos euros tiene Carlos?" Es una situación en la que se requiere saber a cuanto asciende una 2ª cantidad, conociendo una 1ª menor y su diferencia con la 2ª. Se trata de comparar dos cantidades, de las que una de ellas está sin construir, y en su construcción radica la solución del problema. Es un problemas para el 2º - 3º Ciclo de E P. Y requiere mucho entrenamiento.

26 2.- MEJORA DE LAS CAPACIDADES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ALUMNOS CON DIFICULTADES. PROGRAMA DE INSTRUCCIÓN (tomado de Orrantia y cols., 1993) Modelo de comprensión (Tomado de Orrantia, 2003)

27 2.2.- PROGRAMA DE INSTRUCCIÓN 1. Ayudas textuales (reescritura) 2. Representación lingüística del problema 3. Representación figurativa del problema 4. Razonamiento (planificación de la solución) 5. Revisión/evaluación/supervisión (ayudas metacognitivas)

28 1. Ayudas textuales (reescritura) Rscribir el problema de manera que sea más comprensible. Problemas De Combinación Problemas De Cambio Problemas De Comparación

29 Versión 1 Pedro tenía 37 metros de cable. Compró algunos metros de cable más. Ha utilizado 126 metros y le han sobrado 11 metros de cable. Cuántos metros de cable compró? Versión 2 (reescrita) Pedro tenía 37 metros de cable. Compró algunos metros de cable más y los juntó con los que tenía. Del total de metros cable que juntó ha utilizado 126 metros y le han sobrado 11 metros de cable. Cuántos metros de cable compró? PARTE? PARTE 126 PARTE 37 TODO? PARTE 11

30 2. Representación lingüística del problema Consiste en articular el enunciado del problema en función de lo que se conoce y no se conoce. 3. Representación figurativa del problema. Cambio Combinación Comparación 4. Razonamiento: Operar con la estructura parte-todo del problema mediante Preguntas clave: Cambio: el conjunto desconocido, será más grande o más pequeño? Comparación: Cuál de los conjuntos es el mayor y cuál es el menor? Combinación: El conjunto desconocido, es una de las partes o es el total?

31 5. Revisión/evaluación/supervisión (ayudas metacognitivas) Se revisa, evalúa y supervisa la aplicación de las ayudas anteriores. Por ejemplo, una vez decidida la operación a realizar y ejecutada se puede introducir el resultado en el conjunto vacío del esquema y comprobar si es correcto. También se puede ir supervisando la ejecución de las restantes ayudas; por ejemplo cómo sé si he articulado correctamente las distintas frases del problema? he rellenado bien el esquema? si no en qué me tengo que fijar para hacerlo correctamente?