Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

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1 Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund especie, () u(x) = φ(x)+λ k(x, y)u(y) dy. Aquí, φ(x) C (,b) es un función dd. Lfunción k(x,y), tmbiénes dd y se conocecomo el núcleo de l ecución integrl. Aquí supondremos que k(x, y) es un función continu en (, b) (, b). Queremos resolver l ecución () pr u(x). Estudiremos en primer lugr el cso en que k es un producto de l form (2) k(x, y) = s(x)s(y). Si k es de l form (2) diremos que es un núcleo simple. En el cso de núcleos simples es fácil resolver (). De hecho, reemplzndo (2) en (), tenemos (3) u(x) = φ(x)+λs(x) Llmemos (4) A = s(y)u(y) dy. s(y)u(y) dy. que es simplemente un número que depende de l función u. En términos de A, l ecución (3) se escribe como (5) u(x) = φ(x)+λas(x), de modo que u es un combinción linel de φ y s. Todo el problem se reduce encontrr el vlor de A. Pr ello, reemplzmos (5) en (4) y obtenemos ( ) (6) A Entonces si λ s(x) 2 dx λ = s(x)2 dx, s(x)φ(x) dx. l constnte A está dd por (7) A = s(x)φ(x)dx λ s(x)2 dx, y l solución de l ecución de Fredholm está dd por (5). Ahor consideremos, pr el mismo k (i.e., pr el núcleo simple ddo por (2), l ecución de Fredholm de primer especie, (8) λ k(x,y)u(y)dy = u(x). Si llmmos T l operdor integrl de núcleo k, l ecución nterior es de l form (9) T(u)(x) = λ u(x),

2 2 que es un ecución de vlores propios pr el operdor T. Reemplzndo (2) en (8) vemos que u es solución de (8) si es de l form () u(x) = Bs(x), en que () B = λ s(y)u(y) dy. Reemplzndo u, ddo por () en () vemos que (8) tiene solución no trivil pr u si y solo si, (2) λ = s(x)2 dx. En otrs plbrs, cundo el núcleo es de l form k(x,y) = s(x)s(y) el operdor integrl T tiene un solo utovlor (ddo por (2) y su correspondiente utofunción (s(x)). Si hor resumimos estos dos csos en uno sólo, tenemos un ilustrción de lo que se conoce hbitulmente como l lterntiv de Fredholm: Si λ no es un utovlor del oerdor integrl T con núcleo k, entonces existe un solución de l ecución integrl de Fredholm (). Consideremos l ecución integrl Método de Iterción: Series de Neumnn (3) u(x) = +λ x u(y) dy. Est es un ejemplo de ecución de Volterr de segund especie. Este ejemplo es muy simple de resolver en form cerrd reduciéndolo un ecución diferencil ordinri. De hecho, si derivmos (3) con respecto x, vemos que u stisfce du dx = λu, y, por otr prte, evlundo (3) en x =, vemos que u() =. L solución de est ecución diferencil, con est condición inicil es (4) u(x) = e λx. A continución, reobtendremos (4) usndo lo que se conoce como el método de iterción, o de ls series de Neumnn. Escribmos l solución desed en series de potenci del prámetro λ, i.e., (5) u(x) = λ n u (n) (x),) y remplcemos en (3). Así obtenemos x λ n u (n) (x) = + λ n+ u (n) (y)dy. n= y, redefiniendo el índice de l segund sum tenemos x (6) λ n u (n) (x) = + λ n u (n ) (y)dy. n= Igulndo los coeficientes de igules potencis de λ en l ecución nterior tenemos, (7) (8) n= n= n= u () (x) =, u (n) (x) = x u (n )(y)dy, pr n =,2,...

3 3 Resolviendo itertivmente (8) obtenemos (9) u (n) (x) = xn n!, y, finlmente, reemplzndo en (5) tenemos, (2) u(x) = n= λ nxn n! = eλx. El método de iterción siempre converge (i.e., d un solución) en el cso de ecuciones de Volterr de segund especie. En cmbio, pr ls ecuciones de Fredholm solo converge si λ es suficientemente pequeño: Resolvmos, por el método de iterción, l exución de Fredholm de segund especie, (2) u(x) = φ(x)+λ k(x,y)u(y)dy. Procedemos como en el cso nterior: escribiendo l solución en l form (5), y reemplzndo en (2) obtenemos l secuenci de ecuciones, (22) u () (x) = φ(x), u (n) (x) = (23) k(x,y)u (n )(y)dy. Resolviendo ls ecuciones nteriores encontrmos (24) u () (x) = φ(x), (25) u () (x) = k(x,y)φ(y)dy, (26)... (27) u (n) (x) = k(n) (x,y n )φ(y n )dy n, en que el núcleo k (n) (x,z) (que se conoce como núcleo iterdo) está ddo por (28) k (n) (x,z) =... k(x,y )k(y,y 2 )...k(y n,z)dy dy 2... dy n. LLmemos S n (x) = n m= λm u (m) (x) l sum prcil, que converge l soluciónde l ecuciónintegrl de Fredholm. Ahor vmos estimr l norm de S n. Usndo l desiguldd tringulr tenemos, (29) S n φ + λ m u (m). m= Pr estimr l norm de u (m) podemos usr l relción de recurrenci (23) y l desiguldd de Schwrz. Usndo l desiguldd de Schwrz, tenemos [ 2 ( b )( b ) b (3) k(x,y)u (m ) (y)dy] k(x,y) 2 dy u 2 (m ) (y)dy Integrndo est últim ecución en x (,b), usndo l definición de l relción de recurrenci (23), obtenemos [ ] b (3) u (m) 2 k(x,y) 2 dxdy u (m ) 2. Conviene hor definir (32) K = k(x,y) 2 dxdy.

4 4 En términos de K, prtir de (3) se obtiene l siguiente relción de recurrenci pr ls norms de ls iterciones sucesivs u (n) : (33) (34) Iterndo (34) obtenemos u () = φ, u (m) K u (m ), m. (35) u (m) K m φ. Reemplzndo est últim estimción en (29) obtenemos finlmente, ( n ) (36) S n λ m K m φ λ K φ, pr vlores de λ tles que m= λ K <. Así pués, ls sums prciles S n convergen pr vlores suficientemente pequeños de λ, i.e., pr vlores λ tles que (37) λ < K. Comentrio: L constnte K se conoce como l norm de Hilbert Schmidt del operdor integrl T de nucleo k. Consideremos el operdor integrl Propieddes Espectrles de Operdores Integrles (38) T(u)(x) λ k(x, y)u(y) dy, denúcleok(x,y). LlmemosK lnormdehilbert Schmidtde T (supongmosquek < ). Entonces, el operdor T mpe funciones de cudrdo integrble (en (, b)) en funciones de cudrdo integrble. De hecho, tenemos, Tu K u. Si definimos el producto interno usul en (,b), entonces, si el núcleo k es simétrico (i.e., si k(x,y) = k(y, x)) entonces el operdor T es utodjunto, en el sentido que (u,tv) = (Tu,v). (Aquí estoy suponiendo núcleos y productos internos reles; si considermos funciones complejs, tenemos que exigir que el núcleo stisfg k(x,y) = k(y,x) pr que el operdor T se utodjunto). Consideremos el problem espectrl (39) T(u i ) = λ i u i pr el operdor integrl T. Aquí, por uso hbitul en Teorí de Ecuciones Integrles, los utovlores se denotn por /λ i. Los resultdos principles concernientes l problem espectrl (39) se pueden resumir en el teorem siguiente:

5 5 Teorem (PropieddesEspectrlesdel OperdorT). i) Existe un sucesión de vlores propios, λ i >. ii) Ls correspondientes funciones propis son ortogonles. iii) Cd λ i tiene degenerción finit. iv) El único posible punto de cumulción de l secuenci {λ i } es infinito. v) b = k(x,y) 2 dxdy = K 2. i λ 2 i Como hemos visto, es fácil demostrr l existenci de un utovlor y de un utofunción cundo el núcleo del operdor T es simple (i.e., es de l form k(x, y = s(x)s(y)). Tmbién es reltivmente fácil hcerlo cundo el núcleo es un sum finit de núcleos simples, i.e., cundo es de l form k(x,y) = n m= s m(x)s m (y). En este último cso el problem espectrl del operdor integrl se reduce l problem espectrl de un mtriz simétric de n n. Si el núcleo k(x,y) es un función continu en un intervlo (, b) finito, por el Teorem de Weierstrss se puede proximr por sum de núcleos simples. Entonces uno puede estudir el espectro de los operdores integrles socidos estos núcleos proximdos. Esto no lo vmos hcer quí. El lector interesdo puede consultr, por ejemplo, R. Cournt, D. Hilbert, Methods of Mthemticl Physics, vol. I, Interscience Publishers, Inc., NY, 953, Chpter III, págs Aquí supodré que el operdor T tiene un secuenci numerble de utovlores λ i, y llmremos u i ls correspondienes utofunciones (que son ortonormles, pues T es utodjunto). Consideremos l siguiente desiguldd, ( ) 2 b (4) I k(x,y) u i (x)u i (y) dxdy. λ i i= Desrrollndo el cudrdo tenemos, (4) I = K 2 2 k(x,y) u i (x)u i (y)dxdy + λ i i= i,j= λ i λ j u i (x)u i (y)u j (x)u j (y)dxdy. Usndo l ortonormlidd de ls funciones u i y el hecho que son propis de T con vlor propio /λ i, prtir de (4) obtenemos (42) I = K 2 2 u i (x) 2 b dx+ δ i,j u i (y)u j (y)dxdy. λ i λ j i= De donde finlmente obtenemos, (43) K 2 es decir, (44) λ 2 i λ 2 i= i i,j=, λ 2 i= i K 2, que es l desiguldd de Bessel pr operdores integrles. L desiguldd de Bessel vle pr todo n. Si hy infinitos utovlores, tomndo el límite n tenemos (45) K 2, λ 2 i= i De hecho, se puede demostrr que si se considern todos los utovlores de T, se tiene l iguldd en (45).

6 6 De (45) observmos que si el operdor interl T tiene norm de Hilbert Schmidt finit (i.e., K < ) entonces, los λ i solo pueden tener degenerción finit, y solo se pueden cumulr en infinito. Si los u i formn bse de ls funciones de cudrdo intregrble en el intervlo (,b), se tiene l siguiente identidd pr el núcleo k(x, y): (46) k(x, y) = i= u i (x)u i (y) λ i. L representción (46) pr el núcleo k se conoce como fórmul de Mercer. Pr demostrr l fórmul de Mercer, sumiendo que ls utofunciones u i formn bse, podemos proceder como sigue: considermos k(x, y) como un función de y (que depende del prámetro x), y expndámosl en términos de ls funciones bse u i. Entonces, (47) k(x, y) = c i u i (y), y dd l ortogonlidd de los u i, los coeficientes están ddos por (48) c i = i= k(x,y)u i (y)dy = λ i u i (x). L primer iguldd en (48) sigue del hecho que los u i son ortonormles (dice que los coeficientes c i son l proyección ortogonl de k(x,y) lo lrgo de u i ) en tnto que l segund iguldd sigue del hecho que los u i son propios de T con vlor propio /λ i. Reemplzndo (48) en (47) obtenemos (46). Consideremos el operdor de Sturm Liouville Un plicción funciones de Green (49) Lu = d2 u dx 2 que ctú sobre funciones u C 2 (,), que stisfcen ls condiciones de borde u() = u() =. Como hemos visto en l clse nterior, el operdor L se puede invertir, y su inverso se puede escribir como un operdor integrl. Así, si considermos el problem (5) Lu = f, en que f es un función dd, y u stisfce u() = u() =, podemos resolver pr u como (5) u(x) = L (f)(x) = G(x,y)f(y)dy. Así, el inverso L se puede escribir como un operdor integrl. El núcleo del inverso de un operdor diferencil se conoce típicmente como función de Green. Pr el operdor L en cuestión (ddo por (49)) l función de Green (ver l clse nterior) está dd por (52) (53) G(x,y) = x( y), pr x y, G(x,y) = y( x), pr y x. Por otr prte ls funciones propis de L stisfcen (54) Lu n = λ n u n. Debidmente normlizds están dds por (55) u n (x) = 2sen(nπx), en tnto que los utovlores están ddos por (56) λ n = n 2 π 2,

7 7 pr n =,2,... Invirtiendo (54), usndo l función de Green, vemos que (57) λ n u n (x) = G(x,y)u n (y)dy, en que G(x,y) está ddo por (53). Usndo (53, 55, 56) en l fórmul de Mercer (46) obtenemos (58) (59) (6) n= Por otr prte, usndo l iguldd de Bessel = obtenemos 2 (nπ) sen(nπx)sen(nπy) = 2 = x( y) si x y, = y( x) si y x. λ 2 n= n n= G(x,y) 2 dxdy, n 4 = π4 9. Comentrio: Pr hcer l integrl doble de G(x,y) 2 usmos l simetrí de G (i.e., G(x,y) = G(y,x)). Así, I G(x,y)2 dxdy = 2 x (6) G(x,y)2 dxdy = (62) = 2 x y2 ( x) 2 dydx = 2 3 x3 ( x) 2 dx = 9. REFERENCIAS: [] F.G. Tricomi, Integrl Equtions, Dover Publictions, Inc., NY, 985. Nots bibliográfics: c Rfel Benguri D., 22

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