SESION El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales

Transcripción

1 SESION. El comando Integrate. Aproimación de integrales definidas. Integración de funciones racionales

2 . El comando Integrate El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo y se realiza mediante la instrucción Integrate. La instrucción Integrate es capaz de resolver una amplísima variedad de integrales. El manejo de la instrucción queda descrito en el siguiente cuadro Comando: Integrate Sintais:. Integrate[f[],]. Integrate[f[],{, 0, }] Resultado: Formato : Proporciona la integral indefinida de la función f[] con respecto a la variable. En el resultado proporcionado no aparecerá ninguna constante de integración por lo que realmente la instrucción proporciona una primitiva de f[]. Formato : Proporciona la integral definida de la función f[] con respecto a la variable en el intervalo ( 0, ), es decir, 0 [ ] f d. Ejemplo : In[]:= Integrate[,] Out[]= In[]:= Integrate[,] ( ) ArcTan[ ] Out[]= ( ) In[]:= Integrate[,t] (t a) b a t ArcTan b Out[]= b In[]:= Integrate[,{,0,}] 8 Out[]= In[5]:= Integrate[a Cos[b t],{t,0,π}] asin[ bπ] Out[5]= b In[6]:= Integrate[,{,0,π}] Out[6]= (-π) In[7]:= N[%] Out[7]= π Véase que, aunque en la epresión que estamos integrando aparecen más variables (a y b), la integración se realizará respecto a la variable t. Puede verse como el resultado obtenido se corresponde con la fórmula que vimos en teoría para las integrales de este tipo. En este caso efectuamos la integral definida con respecto a la variable t. El resultado de la integral dependerá de los valores de las variables a y b. Véase como la variable de integración, t, ha desaparecido del resultado final. Podemos obtener la integral definida y luego aproimar el resultado numéricamente.

3 Es posible utilizar el comando Integrate mediante una notación más próima a la notación matemática habitual. Ello es posible empleando la paleta de símbolos que aparece en la pantalla al iniciarse el programa. Integral indefinida Integral definida Para utilizar la paleta basta con pulsar el botón correspondiente a la integral definida o indefinida tras lo cual se mostrarán en el área de trabajo los símbolos de integración asociados a ese botón. Finalmente, se completan los recuadros en blanco que aparecen, situando en ellos los valores que deseemos para la epresión a integrar, variable de integración y límites de integración. Es posible, por último, utilizar el teclado para obtener en pantalla los símbolos de integración que deseemos. Recordando las siguientes combinaciones de teclas podremos insertar desde el teclado todos los elementos necesarios para calcular una integral el símbolo se obtiene mediante la combinación de teclas: int el símbolo de diferencial,, se obtiene mediante: dd los límites de integración para la integral definida se obtienen siguiendo los pasos que a continuación se indican:. el límite inferior se consigue con: -. una vez introducido el índice inferior pasamos directamente al superior con: Ë 5 (es decir %). tras introducir el valor del límite superior el cursor saldrá de las posiciones correspondientes a los límites de integración mediante: È Recuérdese que en los puntos anteriores cuando escribimos varias teclas unas a continuación de otras ello indica que esas teclas se pulsarán secuencialmente una tras otra y en cambio cuando escribimos el símbolo de suma () las teclas se pulsarán, sosteniendo la pulsación, también en el mismo orden en que estén escritas. Ejemplo : La combinación de teclas int - 0 Ë 5 Ë Cos[] dd da lugar a La combinacíon da lugar a 0 Cos [ ]. int dd.

4 EJERCICIOS Obténgase mediante MATHEMATICA la integral indefinida de las funciones f () = y f () = Efectúese este ejercicio de tres maneras diferentes: utilizando la instrucción Integrate eplícitamente, utilizando la paleta de símbolos y finalmente utilizando el teclado para introducir los símbolos de integración. Calcular el área comprendida entre las funciones f () = 9 5 f () = en el intervalo [0,5]. (sugerencia: utilícese una representación gráfica para estudiar la forma de la región cuya área vamos a calcular y posteriormente determínese mediante Solve los posibles puntos de corte entre f y f para obtener los límites de integración adecuados. Téngase en cuenta la nota al final del ejercicio). NOTA: Aunque MATHEMATICA efectúa los cálculos con una precisión elevada, en ocasiones, como consecuencia de la acumulación de pequeños errores de redondeo, resultados que debería tener valor cero aparecen con un valor muy próimo a cero aunque no eactamente nulo. Estos valores que son prácticamente cero pueden eliminarse mediante la instrucción Chop. Así por ejemplo In[]:= Chop[5 0-6 I] Out[]= 5 En este ejemplo, el número complejo i tiene parte imaginaria prácticamente nula (la parte imaginaria sería 0-6 = ) con lo que la instrucción Chop la elimina por ser un número muy próimo a cero dejando solamente la parte real (en este caso 5). La instrucción Chop es útil cuando tras aplicar la instrucción N a una epresión observamos que aparecen números complejos con partes imaginarias prácticamente nulas que son, en general, debidas a errores en cálculos internos realizados por MATHEMATICA.. Aproimación de integrales definidas Cuando resolvemos una integral indefinida esperamos siempre obtener como solución una fórmula en la que aparezcan en una cantidad finita las funciones elementales que conocemos (e, cos, sen, polinomios, etc.) relacionadas entre si mediante una cantidad también finita de operaciones de suma, producto, potenciación o composición. Sin embargo esto no siempre es posible y podemos encontrar una amplia clase de funciones (denominadas funciones trascendentales) para las que su integral no puede ser epresada mediante una fórmula finita en el sentido que antes hemos comentado. Ello no quiere decir que estas funciones no tengan integral, simplemente sucede que su integral no puede epresarse mediante una fórmula sencilla y su estudio precisará otros métodos de los que no nos ocuparemos en este curso. Como ejemplo, si intentamos resolver con MATHEMATICA la integral cos(sen ) d, no obtendremos respuesta alguna In[]:= Integrate[Cos[Sin[]],] Out[]= Cos[Sin[]] Ello se debe a que la función f() = cos(sen ) es una función trascendente y su integral no tiene una epresión finita en términos de funciones elementales. Cuando lo que pretendemos obtener es la integral definida en lugar de la indefinida el problema anterior desaparece ya que al calcular la integral definida pretendemos obtener un único número en lugar de toda una fórmula. Un número puede ser aproimado mientras que una fórmula o función necesita, para ser aproimada, técnicas matemáticas sofisticadas que se salen del alcance de este curso. De esta manera MATHEMATICA no podrá calcular directamente el valor (este valor será un número) de 0 cos(sen )d

5 pero si podrá obtener una aproimación numérica. Véase qu e si pretendemos calcular la integral definida anterior directamente con MATHEMATICA, el programa no nos proporciona respuesta. Disponemos de dos métodos en MATHEMATICA para aproimar la integral definida de una función.. En primer lugar podemos utilizar la instrucción de aproimación N. Por ejemplo In[]:= N[Integrate[Cos[Sin[]],{,0,}]] con lo que obtenemos que Out[]= cos(sen )d = En segundo lugar podemos emplear la instrucción NIntegrate que se describe a continuación Comando: NIntegrate Sintais: NIntegrate[f[],{, 0, }] Resultado: Obtiene una aproimación numérica de la integral definida 0 [ ] f d. Ejemplo : In[]:= NIntegrate[Cos[Sin[]],{,0,}] Out[]= EJERCICIOS Calcular las siguientes integrales definidas 5 sen() e d, 0 d, 5 sen(e ) d.. Integración de funciones racionales En teoría hemos visto un método para calcular la integral indefinida de una función racional. Este método se basa en descomponer la función racional en cuestión en suma de funciones más sencillas que denominamos fracciones simples integrando posteriormente esta descomposición. Aunque el cálculo de la integral de una función racional pueda realizarse directamente mediante la instrucción Integrate, pudiera ser que, o bien la instrucción Integrate no sea capaz de obtener la integral deseada, o bien que nos interese la obtención de la integral paso a paso (para comprobar un ejercicio, por ejemplo). Utilizando los comandos que incorpora MATHEMATICA es posible seguir los pasos necesarios para obtener la descomposición en fracciones simples de una manera sencilla. Veamos con un ejemplo como ello es posible: Para calcular la integral d 5 necesitamos descomponer la función racional que en ella aparece como una suma de fracciones simples. Esta descomposición la obtendremos a través de los siguientes pasos:. Al ser el grado del numerador superior al grado del denominador hemos de dividir ambos polinomios. Para efectuar esta división emplearemos la instrucción PolynomialDivision 5

6 Comando: PolynomialDivision Sintais: PolynomialDivision[p,q,] en donde es una variable y p, q son polinomios en la variable. Resultado: Proporciona la lista {resultado,resto} siendo: resultado el resultado de dividir p entre q. resto el resto de la división de p entre q. En nuestro caso efectuaremos In[]:= PolynomialDivision[ 7, ,] Out[]= {-,- } tras lo cual sabemos que = 5 5 Tenemos ahora que descomponer en fracciones simple la función racional 5. Igualamos el denominador de la función racional a cero y obtenemos las soluciones de la ecuación que así resulta: In[]:= Solve[ ==0,] Out[]= {{ - },{ - },{ },{ },{ }} de manera que obtenemos las soluciones complejas conjugadas : = ± i (multiplicidad ). reales : = (multiplicidad ). y por tanto la función racional tendrá una descomposición en fracciones simples del tipo a b c d e =, 5 ( ) donde hemos interpretado la solución compleja =i como =0 i.. Hemos de calcular finalmente los coeficientes a, b, c, d y e. La igualdad anterior debe mantenerse para cualquier valor de. Si sustituimos por 0 obtenemos que a b 0 c d 0 e = 0 = a c e (0 ) Vemos que dando a un valor obtenemos una ecuación en la que aparecen las variables a, b, c, d y e. Podemos emplear una regla de sustitución para realizar esta misma tarea de forma sencilla con MATHEMATICA: a b c d e In[]:= == /. 0 5 ( ) Out[]= 0 -ace Dando a distintos valores podríamos haber obtenido diferentes ecuaciones. Puesto que tenemos cinco variables (a, b, c, d y e) necesitamos cinco ecuaciones y debemos dar cinco valores diferentes a. Podemos hacerlo dando distintos valores uno a uno según el mismo formato que hemos empleado en In[] o podemos realizar todas las sustituciones en una sola instrucción. En la siguiente instrucción realizamos en un solo paso las sustituciones 0, -,, -, : a b c d e In[]:= == /.{{ 0},{ -} 5 ( ) { },{ -},{ }} a 5 Out[]= {0 -ace, (-bc) (-de), a (abc) 5 a (de), (-bc) (-de),

7 7 a (bc) (de)} Para calcular el valor de a, b, c, d y e bastará con resolver el sistema que forman estas cinco ecuaciones empleando la instrucción solve: In[]:= Solve[%] Out[]= {{a,b,c 7,d -,e -}} De manera que finalmente la descomposición en fracciones simples es 7 = 5 ( ) ( ) ( ) y aplicando todo lo hecho en los pasos, y tenemos que 7 = 5 ( ) ( ) ( ) y la integral que pretendemos calcular queda entonces como sigue 7 d = d d d 5 d d ( ) ( ) = = L( ) L( ) L( L( ) ) 7 arctg() 5 arctg() C arctg() C Véase que las integrales que hemos tenidos que resolver al final del cálculo son todas ellas inmediatas o se ajustan a alguno de los tipos sencillos de integral racional. Puede resolverse ahora esta integral utilizando Integrate y comparar los resultados obtenidos por los dos métodos. Finalmente comentaremos que si la función racional que pretendemos descomponer en fracciones simples no es ecesivamente complicada, podemos utilizar la instrucción Apart en lugar de seguir los pasos, y como en el ejemplo anterior Comando: Apart Sintais: Apart[funracional] Resultado: Obtiene la descomposición en fracciones simples de la función racional funracional. Por ejemplo In[8]:= Apart[ ] 5 Out[8]= ( ) 7 (- ) ( ) ( ) EJERCICIOS 5 55 Calcular la integral d Calcular la integral. Utilícese el proceso descrito en este apartado empleando la instrucción Apart si ello es posible. 7