Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de f por un incremento de la variable ( x).

Transcripción

1 2 Integrales Indefinidas y Métodos de Integración La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F. Diferencial de una función Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de f por un incremento de la variable ( x). 2.1 Definición Función Primitiva Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original Una relación entre las variables que contenga n constantes arbitrarias, se llama primitiva. Las n constantes reciben el nombre de esenciales si no se pueden sustituir por un número menor de constantes. Ejemplo: Sea By = A.x² + C x + D ; las constantes A, B, C, D no son esenciales pues dividiendo todo por B tenemos: y = A/B x² + C/B x + D/B = C 1. x² + C 2. x + C 3 donde C 1 = A /B ; C 2 = C /B ; C 3 = D/B luego y = C 1. x² + C 2. x + C 3 Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con respecto a x dy /dx = 2 C 1. x + C 2 ; d²y / dx² = 2 C 1 ; d 3 y / dx 3 = 0 Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial asociada a la primitiva dada. y=3x +2x+18 dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x +2x = 3x +2x+c 2.2 Definición Integral Indefinida Integrar, en el Cálculo, es el proceso inverso de la Derivación de funciones. El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina integral indefinida y se simboliza Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de x Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

2 Donde C representa una constante llamada constante de integración. Ejemplo: la derivada de y=5x es y =5, la derivada de y=5x+3 es y =5, la derivada de y=5x-2 es y =5. Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. 2.3 Propiedades Integral Indefinida. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. k f(x) dx = k f(x) dx 2.4 Calculo Integrales Indefinidas Calculo Integrales Directas La integración directa es aplicable es cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva. Usando la Formula directa Problema Resuelto Calculo Integrales Por Cambio De Variable El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

3 cambio de variable y se diferencia en los dos términos: : Calculo Integrales Por Partes Permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y es recomendable cuando tenemos en el integrando el producto de distintos tipos de funciones. Origen de la Formula 1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x). 2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite escribir, d (f(x).g(x)) = g(x).f (x)dx + f(x).g (x)dx 3. Integrando los dos miembros, d [f(x).g(x)] = g(x).f (x).dx + f(x).g (x).dx De la misma manera que dx = x, también d [f(x).g(x)] = f(x).g(x) Por tanto, f(x).g(x) = g(x).f (x).dx + f(x).g (x).dx. De aquí se obtiene que: f(x).g (x).dx = f(x).g(x) - g(x).f (x).dx Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du = f (x) dx, y al ser v = g(x), dv = g (x) dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior. La regla que corresponde a la del producto para la derivación se llama regla de integración por partes, el método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: Ejemplo:

4 2.4.4 Calculo Integrales Trigonométricas Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes Si la integral es trigonométrica hay que tener en cuenta las siguientes identidades: sen2x + cos2x = tag2x = sec2x 1 + cot2x = csc2x sen2x = 1/2(1 - cos2x) cos2x = 1/2(1 + cos2x) senx cosx = 1/2sen2x senx cosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)] senx seny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)] cosx cosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)] 1 - cosx = 2sen21/2x 1 + cosx = 2cos21/2x 1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x) 1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x) Especialmente importantes son estas dos identidades: sen x = (2 tan(x/2))/(1 + tan2(x/2)) cos x = (1 - tan2(x/2))/(1 + tan2(x/2)) Haciendo t = tan x/2, nos queda: sen x = 2t/(1 + t2) cos x = (1 - t2)/(1 + t2) dx = 2 dt/(1 + t2) Calculo Integrales Por Sustitución Trigonométrica La sustitución trigonométrica es una técnica de integración muy utilizada cuando ocurre integrando algébricos. Ella se basa en el hecho que identidades trigonométricas muchas veces posibilitan la sustitución de uno función algébrica por una función trigonométrica, que puede ser más facilmente integrada. La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. El objetivo consiste en eliminar los radicales del integrando. Con este fin, usamos las identidades pitagóricas,

5 EJEMPLO 1 Solución La cual implica que, Por tanto, Calculo Integrales Por Fracciones Parciales La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios. Definición: Se llama función racional a toda función del tipo Ejemplo: son polinomios con coeficientes reales, y grado

6 CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador constante a determinar., siendo A una 2A - 2B CASO 2: Factores Lineales Iguales. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, determinar. que se repita n veces en el denominador de una siendo los valores de A y B constantes reales.