5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta

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1 5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma cuadrangular del dibujo, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = = 14 2 b) V() = Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Calcula el grado de éstos. a) 5 3 y b) 3 2 y 3 c) 7 2 y 5 + 3y 2 d) 4a Son monomios: a) y d) El grado del a) es 4 El grado del d) es 1 3 Ordena de forma decreciente, según los grados, los siguientes polinomios y calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente: a) b) c) d) a) Grado: 3, coeficiente principal: 5 Término independiente: 4 b) Grado: 6, coeficiente principal: 4 Término independiente: 7 c) Grado: 5, coeficiente principal: 4 Término independiente: 0 d) Grado: 8, coeficiente principal: 1 Término independiente: 9 4 Halla el valor de a, b y c para que los siguientes polinomios sean iguales: P() = a b Q() = c a = 5, b = 6, c = 0 A P L I C A L A T E O R Í A 154 SOLUCIONARIO

2 5 Suma los siguientes polinomios: P() = Q() = Calcula P() Q(): P() = Q() = P() + Q() = Halla el opuesto de los siguientes polinomios: P() = Q() = P() = Q() = P() Q() = Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por: I(t) = t 2 3t + 5 G(t) = t 2 4t + 9 Halla la epresión B(t) de los beneficios. B(t) = I(t) G(t) = t 4 2. Multiplicación de polinomios Calcula, en función de, el área del rectángulo de la figura: P I E N S A Y C A L C U L A A() = ( + 5) = Calcula mentalmente: a) ( + 2) 0 b) ( 3) 1 c) ( 7) 1 d) (2 + 6) 0 a) 1 b) 3 c) 7 d) 1 Desarrolla mentalmente: a) ( + 5) 2 b) ( + 3) ( 3) c) ( 6) 2 d) ( + 5) ( 5) a) b) 2 9 c) d) Desarrolla y simplifica: a) (2 + 1/2) 2 b) (/3 + 1) (/3 1) c) (6 2/3) 2 d) (5 + 3/4) (5 3/4) a) /4 b) 2 /9 1 c) /9 d) /16 Halla el polinomio que da el área del cuadrado de la figura: A() = ( + 3) 2 = A P L I C A L A T E O R Í A + 3 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 155

3 13 Desarrolla los siguientes productos: a) 5 2 (2 3 3) b) 2 3 ( ) c) 3( ) d) 6 4 ( 5 + 2) 16 Multiplica los polinomios: P() = Q() = a) b) c) d) Factoriza mentalmente: a) b) c) 2 25 d) a) 2( + 3) b) ( 3) 2 c) ( + 5)( 5) d) ( + 4) 2 15 Factoriza: a) b) c) 2 3 d) a) 4 3 (3 + 2) b) 5( + 2) 2 c) ( + 3 )( 3 ) d) (3 5) Multiplica los polinomios: P() = Q() = Multiplica los polinomios: P() = Q() = División de polinomios Realiza mentalmente las siguientes divisiones: a) ( ) : b) ( ) : ( + 3) c) ( ) : ( 4) d) ( 2 25) : ( + 5) a) b) + 3 c) 4 d) 5 P I E N S A Y C A L C U L A 19 Divide y haz la comprobación: P() = entre Q() = C() = R() = Se comprueba que C() Q() + R() = P() 20 Divide por Ruffini: P() = entre Q() = + 3 C() = R = 7 A P L I C A L A T E O R Í A 156 SOLUCIONARIO

4 21 Divide: P() = entre Q() = C() = R() = Divide por Ruffini: P() = entre Q() = 3 C() = R = Divide: P() = entre Q() = C() = R() = Divide por Ruffini: P() = entre Q() = + 1 C() = R = 8 25 Halla un polinomio tal que al dividirlo entre se obtenga de cociente: y de resto: ( )( ) = = Teorema del resto y del factor Tenemos un rectángulo de 12 m de perímetro, luego la base más la altura medirán 6 m. Si la altura mide metros, la base medirá 6 metros. La fórmula del área será: A() = (6 ) A() = 6 2 Completa en tu cuaderno la tabla de la derecha y halla cuándo el área es máima A() = 6 2 P I E N S A Y C A L C U L A 6 1 A() = El área es máima cuando = 3 m UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 157

5 A P L I C A L A T E O R Í A 26 Calcula mentalmente el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: 32 Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P() = P() = a) Para = 0 b) Para = 1 Y a) P(0) = 8 b) P(1) = 4 X 27 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = 3 b) Para = 3 a) P(3) = 13 b) P( 3) = = 1, 2 = 3 P() = Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre 2 R = P(2) = Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre + 3 R = P( 3) = 8 30 división sea 5: ( 3 + k 2 4) : ( + 3) P( 3) = 5 9k 31 = 5 k = Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre + 1 R = P( 1) = 0 sí es divisible. Halla el valor de k para que el polinomio: sea divisible entre 1 P() = k + 10 R = P(1) = k = 0 k = 7 El polinomio tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. No, porque 2 siempre es mayor o igual que cero y al sumarle 9, siempre es positivo; por tanto nunca puede ser cero. 31 Cuál de los números, 3 o 3, es raíz del polinomio P() = ? R = P(3) = 0 = 3 es raíz R = P( 3) = 0 = 3 es raíz 158 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas 1. Polinomios. Suma y resta 36 Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Calcula el grado de éstos. a) y b) 5 2 y 3 c) 2 y 5 4y 2 d) 7 Son monomios: b) y d) El grado del b) es 5 El grado del d) es 0 37 Clasifica las siguientes epresiones algebraicas en monomios, binomios o trinomios. a) + y + z b) 7 5 y 3 c) y d) a) Trinomio b) Monomio c) Binomio d) Binomio 38 Calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente de los siguientes polinomios: a) b) c) d) a) Grado: 4, coeficiente principal: 5 Término independiente: 1 b) Grado: 7, coeficiente principal: 4 Término independiente: 1 c) Grado: 2, coeficiente principal: 5 Término independiente: 3 d) Grado: 10, coeficiente principal: 6 Término independiente: 7 39 Suma los siguientes polinomios: P() = Q() = Multiplicación de polinomios 41 Desarrolla mentalmente: a) ( + 3) 2 b) ( + 1)( 1) 2 2 c) ( 7) 2 d) ( + )( ) a) b) 2 1 c) d) Desarrolla y simplifica: a) (3 + 1/3) 2 b) ( + 1/3)( 1/3) c) (/2 2/3) 2 d) (2 + 3/2)(2 3/2) a) /9 b) 2 1/9 c) 2 /4 2/3 + 4/9 d) 4 2 9/4 43 Desarrolla los siguientes productos: a) 4(5 4 6) b) 7 2 ( ) c) 3 3 ( 6 2 1) d) 5 4 ( 2 + 5) a) b) c) d) Factoriza mentalmente: a) b) c) 2 5 d) a) 4 2 (2 + 3) b) ( + 5) 2 c) ( + 5 )( 5 ) d) ( 7) 2 Multiplica los polinomios: P() = Q() = Calcula P() Q(): P() = Q() = UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 159

7 Ejercicios y problemas 46 Multiplica los polinomios: P() = Q() = C() = R = Multiplica los polinomios: P() = Q() = División de polinomios 48 Divide y haz la comprobación: P() = entre Q() = C() = R() = Hay que hacer la comprobación: Q() C() + R() tiene que dar P() 49 Divide y haz la comprobación: P() = entre Q() = C() = R() = Hay que hacer la comprobación: Q() C() + R() tiene que dar P() 52 Divide por Ruffini: entre Q() = 1 Divide por Ruffini: entre Q() = 2 P() = C() = R = 5 53 P() = C() = R = Teorema del resto y del factor Calcula mentalmente el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = 0 b) Para = 1 a) P(0) = 6 b) P(1) = 2 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = 2 b) Para = 1 50 Divide P() = entre Q() = a) P(2) = 23 b) P( 1) = 4 C() = R() = Divide por Ruffini: entre Q() = + 2 P() = Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre 3 R = P(3) = SOLUCIONARIO

8 57 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre + 2 R = P( 2) = Cuál de los números, 2 o 2, es raíz del polinomio P() = ? R = P(2) = 12 No es raíz. R = P( 2) = 0 Sí es raíz. 59 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre 3 R = P(3) = 0 Sí es divisible. 60 división sea 7: ( 4 + k ) : ( + 1) P( 1) = 7 k + 12 = 7 k = 5 Para ampliar 61 Halla el valor de a, b y c para que los siguientes polinomios sean iguales: P() = 6 5 b Q() = a c a = 6, b = 0, c = 4 64 Factoriza: a) b) c) d) a) 6 2 (4 3) b) 2( + 3) 2 c) (3 + 2)(3 2) d) 5 2 ( 1) 2 62 Halla el opuesto de los siguientes polinomios: P() = Q() = división sea 13: ( 5 + k ) : ( 1) P() = Q() = P(1) = 13 k 2 = 13 k = Calcula mentalmente: a) (2/3 + 5) 0 b) (3 25) 1 c) (7 3/5) 1 d) (5 + 13) 0 66 Halla el valor de k para que el polinomio: P() = k 8 sea divisible entre + 2 a) 1 b) 3 25 c) 7 3/5 d) 1 P( 2) = 0 4 2k = 0 k = 2 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 161

9 Ejercicios y problemas 67 Halla el polinomio que da el área del siguiente triángulo: 68 Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P() = 2 4 Y + 5 X ( + 5) 2 5 A() = = = 2, 2 = 2 P() = 2 4 Problemas 69 Escribe en forma de polinomio, en una variable, cada uno de los enunciados siguientes: a) El cuadrado de un número, menos dicho número, más 5 b) El cubo de un número,más el doble del cuadrado del número, menos el triple del número, más 4 c) El área de un cuadrado de lado d) El área de un rombo en el que una diagonal es el doble de la otra. a) P() = b) P() = c) A() = 2 d) A() = 2/2 = 2 70 Qué polinomio tenemos que sumar a P() = para obtener el polinomio Q() = ? Q() P() = Dada una caja sin tapa y su desarrollo, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = (10 2)(6 2) + 2(10 2) + + 2(6 2) = A() = b) V() = (10 2)(6 2) = m Halla el polinomio que da el área del siguiente rectángulo: 10 m A() = (2 3) = Halla el polinomio que da el área del siguiente triángulo rectángulo: SOLUCIONARIO

10 A() = (2 + 1)/2 = 2 + /2 74 Halla el polinomio que da el área del siguiente rombo: 78 Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P() = Y + 1 X 1 y = A() = ( + 1)( 1)/2 = 2 /2 1/2 1 = 1, 2 = 1, 3 = 3 75 Halla un polinomio tal que al dividirlo entre se obtenga de cociente y de resto ( )( ) = = división sea 5: ( 3 + k 2 4) : ( 2) P(2) = 5 4k + 4 = 5 k = 1/4 Para profundizar Dado el siguiente paralelepípedo: calcula en función de el área y el volumen. 3 A() = = 52 2 V() = = Halla el monomio que da el área de un triángulo equilátero en el que el lado mide 2 77 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 30 sea divisible entre + 3 P( 3) = 0 3k 33 = 0 k = 11 h h = 2 ( ) 2 = 2 = = A() = = /2 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 163

11 Ejercicios y problemas 81 Halla el polinomio que da el área del siguiente trapecio: 84 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k sea divisible entre P( 5) = 0 25k 350 = 0 k = A() = = Halla el polinomio que da el área del siguiente círculo: 85 El polinomio tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. 2 es siempre positivo o cero y al sumarle 25 es positivo, por tanto nunca se puede hacer cero. No tiene raíces reales. 5 A() = π( 5) 2 = π 2 10π + 25π 86 Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P() = 2 4 Y 83 división sea 9: ( k) : ( 4) P(4) = 9 k 20 = 9 k = 29 1 = 0, 1 = 4 P() = 2 4 X Aplica tus competencias 87 Calcula el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = 6 m/s 2, v 0 = 8 m/s y e 0 = 3 m e(t) = 3t 2 + 8t Calcula el espacio que lleva recorrido cuando hayan pasado 5 s e(5) = 118 m 89 Calcula el espacio que recorre entre el segundo 10 y el segundo 20 e(20) e(10) = = 980 m 164 SOLUCIONARIO

12 Comprueba lo que sabes 1 Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P() entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P(a) Ejemplo Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre + 3 R = P( 3) = ( 3) 3 7 ( 3) + 15 = = = 9 2 Ordena de forma decreciente de los grados el siguiente polinomio y calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente: Divide P() = entre Q() = Haz la comprobación. C() = R() = Se comprueba que Q() C() + R() = P() 6 Divide por Ruffini P() = entre Q() = + 3 C() = R = 3 7 Dado el siguiente paralelepípedo: Grado: 7 Coeficiente principal: 6 Término independiente: calcula en función de : a) El área. b) El volumen Desarrolla mentalmente los apartados a y b y factoriza los apartados c y d: a) (2 5) 2 b) ( + 3 )( 3 ) c) d) 2 5 a) b) 2 3 c) 3( + 2) 2 d) ( + 5 )( 5 ) Multiplica los polinomios: P() = Q() = a) A() = = 94 2 b) V() = = división sea 5: ( 3 + k 6) : ( 2) Se aplica el teoremadel resto, se tiene que verificar que P(2) = k 6 = k 6 = 5 2k = 3 k = 3/2 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 165

13 Windows Derive Paso a paso 90 Multiplica los polinomios: P() = y Q() = Calcula el valor numérico del polinomio: P() = para = 2 Resuelto en el libro del alumnado. 91 Desarrolla (5 + 3/7) 2 Resuelto en el libro del alumnado. 92 Factoriza Resuelto en el libro del alumnado. 93 Divide D() = entre d() = Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 95 Halla las raíces del polinomio: P() = Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 96 división sea 5 ( 3 + k 6) : ( 2) Resuelto en el libro del alumnado. 166 SOLUCIONARIO

14 Linu/Windows Practica 97 Desarrolla: a) 4 3 (2 + 3) 2 b) ( + 3) ( 3) ( + 3 ) ( 3 ) a) b) Factoriza: a) 3 9 b) 2 5 a) ( + 3)( 3) b) ( + 5 ) ( 5 ) 99 Multiplica los polinomios: P() = Q() = Divide y haz la comprobación: P() = entre Q() = C() = R() = Se comprueba que C() Q() + R() = P() 101 Divide D() = entre d() = + 2 C() = R = Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre 2 R = P(2) = 11 Halla las raíces del polinomio: P() = = 7, 2 = 2, 3 = 2 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: división sea 5: ( 3 + k 2 4) : ( + 3) P( 3) = 5 9k 31 = 5 k = 4 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre 3 R = P(3) = 0 Sí es divisible. 106 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 167