independiente de la cantidad de masa y es propio de cada sustancia c =.

Transcripción

1 Tema 7 Termodinámia 7.. Calorimetría y ambios de fase Capaidad alorífia y alor espeífio. La temperatura de un uerpo aumenta uando se añade alor o disminuye uando el uerpo desprende alor. (Por el ontrario, la temperatura de un uerpo permanee onstante durante los ambios de fase). = C ΔT = m ΔT [] donde C es la apaidad alorífia o térmia y es el alor espeífio. Este último es C independiente de la antidad de masa y es propio de ada sustania =. m Dependiendo de las unidades utilizadas para medir el alor, el alor espeífio de un uerpo se mide en al/gc ó en el sistema internaional en J/kgK (o bien J/kgC ya que el grado kelvin es igual de grande que el grado entígrado). El alor espeífio molar se define omo la apaidad alorífia por mol: C m ' = = = M siendo M la masa moleular. n n En la tabla se observa que todos los metales tienen aproximadamente el mismo alor espeífio molar (ver..) Unidades de medida del alor. Puesto que el alor es una forma de energía, en el sistema internaional se mide en julios. El alor también se puede medir en alorías. Una aloría es el alor neesario para aumentar en un grado Celsius la temperatura de un gramo de agua. Siendo más

2 preisos, la aloría se define omo el alor neesario para aumentar un gramo de agua desde 4.5ºC asta 5.5ºC a nivel del mar. al = 4.84 J 0.4 al = J Cabe destaar que el valor alório de los alimentos se mide en Cal (on mayúsula, Cal = kal) y que se determina quemando los alimentos en una bomba de alor. El Btu (Britis termal unit) es el alor neesario para aumentar un grado Fareneit una libra de agua. Btu = 5 al. Es muy importante reordar que el alor espeífio del agua es al/gc. Esta antidad equivale a 484 J/kgK en el sistema internaional. El alor espeífio del agua es muy elevado en omparaión on otras muas sustanias. El elevado alor espeífio del agua ae que ésta neesite grandes antidades de alor para ambiar su temperatura. Por ello, los mares pueden eder (en invierno) o absorber (en verano) grandes antidades de alor variando muy poo su temperatura Cambios de fase y alor latente. Los ambios de fase referentes al estado de la materia son: Solidifiaión: líquido a sólido. Fusión: sólido a líquido. aporizaión: líquido a gas (la evaporaión es una vaporizaión lenta) Condensaión: (gas a líquido) Sublimaión: sólido a gas o de gas a sólido (sin pasar por líquido) Existen muos tipos de ambios de fase relaionados on ualquier araterístia. Así existen ambios de fase ristalina, ambios de fase en el estado de propagaión de un líquido (turbulento-laminar),. En general, los ambios de fase no transurren de forma abrupta y su estudio (nuleaión) es omplejo. La temperatura permanee onstante durante un ambio de fase termodinámio y depende de la presión a la que tiene lugar el ambio de fase. El alor f neesario para fundir una sustania depende de su masa m y del llamado alor latente de fusión L f propio de ada sustania: f = ml f []

3 Para el agua a atm, L f =.5 kj/kg = 79 kal/kg. Igualmente, el alor v neesario para vaporizar una sustania depende de su masa m y del llamado alor latente de vaporizaión L v propio de ada sustania: v = ml v [] Para el agua a atm, L v = J/kg = 540 kal/kg Debido a su elevado alor espeífio y a su elevado alor latente de vaporizaión, el agua tiene una gran apaidad para absorber muo alor y por eso se usa para apagar inendios (otros extintores polvo, espumas, CO no son tan efiaes omo el agua pero son menos pesados y de deben usar uando existe peligro elétrio) Calorimetría La alorimetría onsiste en la mediión del alor que sale o entra de los uerpos, así omo en la determinaión del alor espeífio de un uerpo. Para ello se utiliza un alorímetro que básiamente es omo un termo on un termómetro en el que las paredes son de vidrio y está reubierto por un material de baja ondutividad térmia (aire, oro, et). Supongamos que queremos determinar el alor espeífio de una sustania de masa m onoida. Para ello vertemos en el alorímetro ierta antidad de agua de masa onoida m a y enfriamos el onjunto asta una temperatura T fría que medimos on el termómetro. Se supone que también onoemos la masa m y el alor espeífio del alorímetro. Calentamos aora la sustania desonoida asta una temperatura T alie por enima de la temperatura ambiente y la eamos dentro del agua del alorímetro.

4 Esperamos asta que se alane la temperatura de equilibrio T eq. Entones, la sustania abrá edido ierto alor ed que abrá sido absorbido abs por el agua y el alorímetro. Se umple que: agua. ed = abs siendo ed abs = m Es deir: ( Talie Teq ) ( T T ) + m ( T T ) = m donde a es el alor espeífio del m eq fría a a eq fría ( T T ) = m ( T T ) + m ( T T ) alie [4] eq De la eua. [4] podríamos despejar el alor espeífio desonoido. El llamado equivalente en agua M k de un alorímetro determinado representa la masa en gramos de agua que tendría el mismo efeto térmio que el alorímetro real. Conoer el equivalente en agua del alorímetro simplifia los álulos en la eua. [4] ya que m podrá ser sustituido por M k (multipliado por a que vale para el agua si trabajamos en gramos y alorías). eq fría a a eq fría Ejemplo 9.4 Tipler: Tenemos una botella de limonada a ºC y se ean 0.4 kg de ésta en un vaso y ubitos de ielo (m ubito = 0.05 kg a 0ºC) a) Cuál es la temperatura de equilibrio de la limonada? b) Si se ubieran eado 6 ubitos Cuál ubiera sido la temperatura de equilibrio de la limonada? a) El alor perdido por la limonada será: perdido = m lim lim ( T T ) Consideraremos que el alor espeífio de la limonada lim es omo el del agua, es deir, lim = a = 4.8 kj/kgc. La temperatura iniial aliente de la limonada es T i = ºC. El alor ganado por los ielos y por el agua (que resulta al fundirse los ubitos de ielo) será: i eq ( T 0) ganado = mielol f + mielo( agua) a eq donde L f =.5 kj/kg (alor latente de fusión del ielo) a = 4.8 kj/kgc

5 m ielo = m ielo agua ( ) = 0.05 = 0.05 kg. Igualando = podemos despejar T =. 5 ºC perdido ganado eq b) Si ubiéramos eado 6 ubitos m = = 0. 5 kg, sustituiríamos este valor en la euaión del alor ganado ielo ( T 0) ganado = mielol f + mielo( agua) a eq y si suponemos que se funde todo el ielo m = kg ielo = m ielo ( agua) = De nuevo igualaríamos = pero al despejar la temperatura de equilibrio perdido ganado obtendríamos: T = 0 ºC. Esto es imposible ya que no podríamos tener la mezla eq ielo-limonada más fría que los ubitos originalmente (0ºC). Lo que ourre es que, uando eamos 6 ubitos, no se funde todo el ielo, es deir, la mezla quedará a 0ºC on parte de ielo sin fundir. En esta situaión la limonada se enfriará asta un temperatura de equilibrio de 0ºC on lo que perderá un alor dado por: perdido = mlimlim i ( T 0 ) =. kj que ará que se ayan fundido: perdido 0. m ielo = = 0. kg, es deir, = 4 ubitos de los 6 que abíamos eado. L 0.05 f Aunque ubiéramos puesto más ielo a 0ºC, sólo se fundirían 4 ubitos y en la mezla siempre quedarían ubitos de ielo sin fundir. Los 0.4 kg de limonada a ºC sólo son apaes de fundir 4 ubitos a 0ºC. (En todo este problema siempre se a supuesto que el ambiente no influye para nada y que sólo ay interambio de alor entre la limonada y los ubitos, lo ual nuna ourre en la realidad). 7.. Calor y trabajo: er Prinipio de la Termodinámia. Supongamos que alentamos un pistón que ontiene gas. Si el émbolo puede expansionarse lo ará, realizará un trabajo y la temperatura del gas subirá poo en el interior del pistón. Por el ontrario, si no dejamos que el émbolo se expansione (realie trabajo), la temperatura del gas subirá enormemente. Reordamos por la e. [5] del Cap. 0 que aumentar la temperatura signifia aumentar la energía inétia de las moléulas de un gas. Esta energía inétia representa la llamada energía interna del gas.

6 Por tanto, el er prinipio de la termodinámia establee que el alor añadido a un sistema es igual a la variaión de su energía interna ΔU más el trabajo W realizado por el sistema. = ΔU + W [5] 7... Convenio de signos. El alor es positivo si se introdue en el sistema (lo ual ourre en un alentamiento). El alor es negativo si se saa o se desprende del sistema (lo ual ourre en un enfriamiento). El trabajo W es negativo si se ae sobre el sistema (lo ual ourre uando omprimimos un gas). El trabajo W es positivo si lo realiza el sistema (lo ual ourre en una expansión). 7.. Proesos térmios en un gas ideal Diagramas P-. Supongamos que tenemos un gas que se expansiona dentro de un pistón. Si sabemos que el pistón tiene un área A y se desplaza una distania dx, entones si onoemos en ada momento la presión P del gas, el trabajo dw realizado por el gas vendrá dado por: dw = F dx = PA dx = P d siendo d el inremento de volumen del gas. El trabajo total realizado en un desplazamiento determinado desde un volumen asta un volumen vendrá dado por el área bajo la urva P-: W P d = Debemos onoer ómo varía la presión durante la expansión, es deir debemos onoer el diagrama P- del gas. Es importante realar que el produto presión por volumen de un gas (P), representa una energía. De este modo, existe una onversión entre atmósfera por litros y julios: atm L = (0. 0 N/m ) (0 m )= 0. J

7 7... Transformaiones isóbaras, isóoras e isotermas.. Supongamos que tenemos un gas en un estado iniial P que puede llegar a un estado P mediante tres aminos distintos: ) El gas se alienta a presión onstante P aumentando su volumen asta (transformaión isóbara por el amino A) y después se enfría a volumen onstante y su presión desiende asta P (transformaión isóora). En la transformaión isóbara, la presión P se mantiene onstante de modo que el trabajo W realizado por el gas es: = P ( ) W isobário En la transformaión isóora no ay variaión de volumen y, por tanto, el gas no realiza trabajo. ) Primero se enfría el gas a volumen onstante (transformaión isóora) asta que su presión sea P y después se alienta a presión onstante P (transformaión isóbara por el amino B) y su volumen aumenta asta. En la transformaión isóora no se realiza trabajo (volumen onstante W = 0 ) y en la transformaión isóbara el trabajo W realizado por el isoório gas es: W isobário = P ( ) y omo P es muo menos que P, el trabajo realizado por el gas por el amino B es también menor que el realizado por el amino A. (según puede verse en las áreas sombreadas de ada figura.).

8 ) La expansión del gas a través del amino C, tiene la peuliaridad de que la temperatura del gas se mantiene onstante en todo el proeso que se denomina isotermo. Todos los puntos P por los que el gas pasa umplen P = nrt = te. Tendremos que nrt P =. De este modo: nrt dw = P d = d y el trabajo realizado por el gas para ir desde asta será: W isotermo = P d = nrt d y omo este proeso es isotermo T = te que puede salir de la integral: W isotermo = nrt = P d = d = nrt d nrt ln [6] que es el trabajo realizado en una expansión isoterma. En los aminos, el estado final es el mismo y, por tanto, su temperatura es la misma y su energía interna (que depende sólo de la temperatura) también es la misma. Como el trabajo en los aminos es diferente, también lo será el alor neto (absorbido o edido) en ada amino.

9 7... Capaidades alorífias de los gases. Los sólidos y los líquidos se dilatan poo de modo que la apaidad alorífia es independiente de este eo. Sin embargo, omo los gases se dilatan muo, su apaidad alorífia depende muo de la dilataión ya que al dilatarse realizan un trabajo. En un gas que se alienta a volumen onstante, su apaidad alorífia se designa por C. Si se alienta el gas y se deja que se dilate a presión onstante, su apaidad alorífia se designa por C P y será mayor que C ya que se debe ontabilizar el alor neesario para realizar el trabajo de expansión. Si llamamos al alor añadido a volumen onstante, por definiión de apaidad alorífia a volumen onstante, se umple: = C ΔT Cuando se añade alor a un gas a volumen onstante, éste no realiza trabajo, de modo que el alor añadido se emplea simplemente en aumentar su energía interna: = ΔU + W = ΔU = C ΔT y para ambios temperaturas pequeños se umple: du C = [7] dt Si añadimos alor a presión onstante entones ( P se denomina entalpía): = C ΔT y omo P P P = ΔU + W = ΔU + P Δ, es deir, ΔT = ΔU + P Δ que para ambios de temperaturas pequeños se esribe omo: Como C P dt = du + P d que on [7] resulta en: C dt = C dt + P d. C P P = nrt para presión onstante P d = nr dt : C P dt = C dt + nr dt y dividiendo entre dt tenemos: C P = C nr [8] P + que onfirma que C P es mayor C. Sabemos que la energía interna del gas es la energía inétia. Si el gas es monoatómio (gases nobles) esta energía inétia es sólo traslaional y viene dada por la e. [5] del Cap. 0. y la apaidades térmias serán: U = nrt

10 du 5 C = = nr y CP = C + nr = nr [9] dt Para gases diatómios la energía interna no es sólo energía inétia traslaional ya que las moléulas pueden rotar entorno a dos ejes que pasan por el entro de masas de la moléula y la energía interna es mayor ( grados de libertad traslaionales y rotaionales): 5 U = nrt De este modo, la apaidad alorífia a volumen onstante para un gas diatómio será: 5 C = nr y la apaidad alorífia a presión onstante será: C P = C 7 + nr = nr Para los sólidos vimos en.. que tienen todos el mismo alor espeífio molar y su valor es ' = R = 4. 9 J/mol K. Esto se onoe omo la ley de Dulong-Petit y se debe a que los átomos en los sólidos tienen 6 grados de libertad ( traslaionales y vibraionales).

11 7..4. Transformaiones adiabátias. En los proesos térmios estudiados en.. se permitía que entrara o saliera alor del sistema. Existen otro tipo de proesos que se denominan adiabátios en los que el sistema está aislado térmiamente. En un proeso adiabátio no ay interambio de alor, d = 0. El trabajo que se realiza en una expansión adiabátia, el gas lo obtiene de su energía interna y, por tanto, disminuye su temperatura. Los puntos de un gas unidos por una línea adiabátia no umplen P = te (aso isotermo) sino que umplen, omo veremos, la llamada euaión de Poisson. Por el primer prinipio de la Termodinámia: d = du + dw = C dt + P d = 0 y on P = nrt : nrt dt nr d C dt + d = 0 + = 0 T C Ya que C nr CP C CP C nr = = = γ, resulta: C C C P = Integrando, tenemos: ( γ ) te dt T γ + d ( γ ) = 0 ln T + ln = ln ( T ) = te, es deir: y omo P T = nr γ T = te [0] γ P = te que se onoe omo euaión de Poisson y difiere de la ley de Boyle [0 ] P = te para proesos no adiabátios isotermos. En una expansión adiabátia el trabajo realizado por el gas, ya que no ay transferenia de alor (d = 0), se obtiene de la energía interna: d = du + dw = 0 dw = du = C dt, entones:

12 W adiabátio T ( T T ) = C ( T T )= = C dt = C ΔT = C v T P P C P P = C = ( P P ) = [] nr nr C C γ P Ejemplo 9.8 Tipler: Sea 0. moles de un gas ideal monoatómio on C = nr que oupa. L a.4 atm y ourren los siguientes proesos desde A: ) Calentamiento a P = te asta 4.4 L en B. ) Enfriamiento a =te asta. atm en C. ) Compresión isoterma asta A. Enontrar: a) Temperatura en A, B y C Soluión: b) Determinar W,, y ΔU en ada amino y para el ilo entero. a) Usando P = nrt on n = 0. mol y R = 0.08 atm L/mol K se despeja la temperatura en ada punto: TA = TC = 0 K ; T B = 40 K b) Proeso (de A a B) expansión isobária (alentamiento): ( 4.4.) = 5.8 atm L 55 J = P Δ =.4 = W te P se a utilizado que atm L = 0. J 5 = C ΔT = nr = ( 40 0) 7 J on n = 0, mol y R = 8.4 J/mol K Δ U = W = 80 J que también se podía aber alulado omo Proeso (de B a C) transformaión isoória (enfriamiento): W = 0 ya que Δ = 0 = C ΔT = nr ( 0 40) = 80 J Δ U = 80 J ya que = ΔU + W y W = 0 C ΔT = nr ΔT

13 Proeso (de C a A) ompresión isoterma: W = nrt ln A = C 7 J donde se a utilizado la e. [6] ΔU = 0 ya que ΔT = 0 = 7 J ya que = ΔU + W e ΔU = 0 Para el ilo entero: W total total Δ U total + ( 7 J ) 64 J ( 80 J ) + ( 7 J ) 64 J J + ( 80 J ) = W + W + W = 55 J + 0 = = + + = 7 J + = = ΔU = 80 + ΔU + ΔU = En ualquier proeso ílio, al ser iguales la temperatura iniial y final, la variaión de energía interna es nula. Por este motivo, el trabajo realizado por el sistema es igual al alor neto interambiado. Este trabajo orresponde al área bajo la urva AB menos el área bajo la urva AC, esto es, el área de la figura ompleta. Existen muos ilos termodinámios que se emplean en máquinas térmias omo los motores de ombustión interna. Dada su importania para ursos posteriores, menionamos el ilo Otto en gasolina, el ilo Diesel, y el ilo de Stirling que atualmente se vuelve a emplear en motores térmios que generan eletriidad a partir de energía solar. Un sistema DISTAL I en operaión en la Plataforma Solar de Almería

14 7.4. Entropía. º Prinipio de la Termodinámia Entropía y desorden. La entropía es una medida del desorden. Cuando existen muos estados aesibles al sistema entones existe una mayor entropía, ya que el sistema tenderá a oupar todos los estados que le sean aesibles. Por ejemplo, en una lase el aire llena toda el aula y es imposible que todas las moléulas de gas se loalizaran espontáneamente en una mitad del aula quedando la otra son aire (en realidad no es imposible pero es tan improbable que nuna podría ourrir). Matemátiamente, el ambio de entropía S de un sistema umple T ds = d Reversibilidad. Los proesos siempre ourren en el sentido de oupar la mayor antidad de estados, aumentando la entropía. Un vaso que se rompe es un proeso irreversible ya que nuna ourre que los trozos rotos se puedan reomponer espontáneamente en el vaso original. El vaso roto tiene un mayor desorden. Una máquina que genera trabajo es un proeso irreversible, es deir, no puede ourrir que del trabajo reado se obtenga la misma antidad de ombustible de la que se partió. La entropía en un proeso reversible se mantiene onstante pero, en la prátia, la entropía siempre ree porque no ay proesos absolutamente reversibles. Es fáil onvertir todo el trabajo meánio en alor pero no es posible onvertir íliamente todo el alor de un uerpo en trabajo meánio. En un proeso isotermo ideal existe una interonversión total entre alor y trabajo mientras la energía interna se mantiene onstante. En la prátia, nuna es posible obtener un proeso isotérmio totalmente reversible en el que el ambio de entropía del sistema sea igual al ambio de entropía del resto del Universo. Por otra parte, un proeso adiabátio ideal es un proeso térmiamente aislado de modo que existe una interonversión total entre la energía interna y el trabajo. La entropía en un proeso adiabátio se mantiene onstante (proeso isentrópio). Tampoo es posible obtener un proeso adiabátio totalmente reversible. Mediante la ombinaión de proesos isotermos y adiabátios en el llamado ilo de Carnot, se enontrará un proeso ílio teóriamente reversible e ideal Enuniados del º Prinipio de la Termodinámia. Enuniado de Kelvin: Es imposible extraer alor de un sistema a una sola temperatura y onvertirlo en trabajo meánio sin influir en el sistema.

15 Enuniado de Clausius: No es posible que ourra un proeso espontáneo en el que pase alor de un uerpo a otro on más temperatura. En realidad, veremos que estos dos enuniados son equivalentes Máquinas térmias Esquema de una máquina térmia. Una máquina térmia es un dispositivo que trabaja en modo ílio tomando alor de un foo térmio aliente, realizando un trabajo, expulsando alor a un foo térmio frío y volviendo al estado iniial Conepto de foo térmio. Un foo térmio es una reserva (reservoir) ideal, muy grande, de la ual se puede saar o meter alor indefinidamente y sin variar su temperatura. Por esta razón, uando la máquina térmia omplete un ilo, se enontrará en un estado que tendrá la misma temperatura de la que abía partido y, por tanto, la variaión de la energía interna del ilo ompleto será nula ΔU = 0. Por el primer prinipio de la Termodinámia = ΔU + W, tendremos que = W, esto es, el trabajo eo por la máquina en un ilo será igual al alor neto interambiado (absorbido menos edido) por la máquina Trabajo y Rendimiento. El trabajo eo por una máquina térmia es igual al alor que entra del foo aliente (ot) menos el alor que sale aia el foo frío (old): W = [] Según el riterio de signos, el alor que sale de la máquina aia el foo frío es negativo, por lo ual lo emos tomado omo en [].

16 Se define rendimiento ε de una máquina térmia omo: W ε = = = [] En la prátia no resulta posible obtener máquinas térmias on rendimientos superiores al 50%. Si el rendimiento fuera del 00% (ε = ), todo el alor absorbido del foo aliente se onvertiría en trabajo sin expulsar ningún alor al foo frío. Es imposible onstruir una máquina térmia on un rendimiento del 00%. Esta propiedad de una máquina térmia es otra forma de enuniar el º Prinipio de la Termodinámia equivalente al enuniado de Kelvin Refrigeradores. Un refrigerador el esenialmente una máquina térmia funionando en sentido inverso. Esto es, un refrigerador extrae alor de un foo frío mediante el onsumo de un trabajo y lo expulsa al foo aliente. Se define el oefiiente de efiaia η de un refrigerador omo: η = [4] W Cuando mayor es la efiaia mejor es el refrigerador. Los refrigeradores omunes tienen efiaias del orden de 5 ó 6. Si la efiaia fuera infinita el refrigerador sería perfeto y no se neesitaría ningún onsumo de trabajo (W = 0) para extraer el alor del foo frío. Pero es imposible que un refrigerador extraiga alor del foo frío y lo expulse en el aliente sin onsumir trabajo. Este enuniado es equivalente al de Clausius.

17 Ambos enuniados (de Kelvin y de Clausius) son equivalentes ya que un refrigerador ordinario (a) que se pusiera entre dos foos a trabajar onjuntamente on una máquina térmia perfeta (b) produiría el mismo efeto que un refrigerador perfeto trabajando entre esos mismos foos (). Esto es, la existenia de (b) impliaría la existenia de () o vieversa pero ninguno de los dos puede existir en la realidad Cilo y Teorema de Carnot. En 84, el ingeniero franés Niolas Léonard Sadi Carnot enunió el siguiente teorema que lleva su nombre: Si una máquina térmia que trabaja entre dos foos es reversible entones no puede existir una máquina térmia on un rendimiento más elevado y que trabaje entre esos mismos foos. Este enuniado implia que si una máquina térmia trabaja entre dos foos y es reversible, entones tiene el máximo rendimiento posible Condiiones de reversibilidad. Para rear un ilo errado reversible, todos sus proesos se deben mantener lo más era posible del equilibrio (proesos quasi-estátios). Por otro lado, para que un proeso sea reversible uando ay transferenias de alor, no debe aber diferenias de temperatura (si ubiera ambios de temperatura, para que ubiera reversibilidad, en algún momento se neesitaría pasar alor de un uerpo frío a uno aliente de forma espontánea lo ual es imposible según el enuniado de Clausius). Esto implia que los

18 interambios de alor deben ser isotermos. Para errar el ilo también neesitaremos proesos sin interambio de alor (adiabátios). Entones, un ilo de Carnot onstará de los siguientes proesos:. Una absorión de alor isoterma y quasi-estátia de un foo aliente (expansión).. Una expansión adiabátia y quasi-estátia aia una temperatura más baja.. Una esión de alor isoterma y quasi-estátia a un foo frío (ompresión). 4. Una ompresión adiabátia y quasi-estátia asta volver al estado iniial Rendimiento de Carnot. Una máquina que funiona en ilo de Carnot es reversible y por tanto, funiona on el máximo rendimiento posible. eremos que el rendimiento Carnot viene limitado por la temperatura de los foos térmios entre los que trabaja la máquina. El rendimiento Carnot es útil porque proporiona el rendimiento máximo alanzable por una máquina térmia en ondiiones ideales (sin friión ni otras pérdidas irreversibles). El rendimiento viene dado por []: En los proesos isotermos ε = = W expansión isoterma a T de asta viene dado por [6]: =, es deir, el alor absorbido durante la nrt ln Igualmente, el alor edido en la ompresión isoterma a T desde asta 4 será:

19 (donde se a utilizado Tenemos: = nrt ln en lugar de 4 4 = ln 4 ln por que > 0 ) T T ln ln ( 4 ) ( ) los volúmenes y temperaturas están relaionados por las expresiones de Poisson [0] para proesos adiabátios: Para la expansión de a : T γ = T γ Para la ompresión de 4 a : γ T = T γ 4 Dividiendo miembro a miembro: γ = 4 γ = 4 ln = ln 4 T = y finalmente: T T ε = [5] T que úniamente depende de las temperaturas de los foos (atenión: las temperaturas en [5] deben estar expresadas en grados kelvin).